Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA
Matematika
METODIKA
Soustavy rovnic
Mgr. Marie Souchová
květen 2011
Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí podle obtížnosti a znalosti lineárních či kvadratických rovnic. Student má umět: roznásobení mnohočlenů umocňování dvojčlenu ekvivalentní úpravy rovnic stanovení podmínek pro jmenovatel zlomku vyjádření neznámé ze vzorce
Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond
I. Kapitola
Soustava dvou lineárních rovnic
Nejčastěji používáme metodu sčítací nebo dosazovací. Na vzorovém příkladu si ukážeme obě. V dosazovací metodě nejdříve vyjádříme z jedné rovnice jednu neznámou pomocí druhé. Vyjádřený vztah dosadíme do druhé rovnice a dopočítáme rovnicí o jedné neznámé. Ve sčítací metodě se snažíme dosáhnout vyloučení, odečtení jedné neznámé. Ve většině případů musíme nejdříve některou z rovnic nebo obě vynásobit vhodným číslem. Př. 1: Řešte v R2 soustavu rovnic
Řešení: a) metoda dosazovací: vyjádříme x z druhé rovnice dosadíme za x do první rovnice zpět do vyjádřené rovnice řešením je uspořádaná dvojice
(
[
)
]
[
]
b) metoda sčítací: v první rovnici odečteme 10 druhou rovnici vynásobíme (– 2) sečteme obě upravené rovnice dosadíme do některé rovnice a dořešíme pro x [ řešením soustavy je uspořádaná dvojice Př. 2: Řešte v R2 soustavu rovnic
(
)
]
(
[
]
)
Řešení: odstraníme závorky v první rovnici odstraníme zlomky v druhé rovnici sečteme rovnice dopočteme druhou neznámou řešením soustavy je uspořádaná dvojice
[
]
[
]
metodická poznámka Nejdříve upravit obě rovnice tak, aby každá osahovala každou neznámou nejvýše jednou.
2
Př. 3: Řešte v R2 soustavu rovnic ( (
)( )(
) )
( (
)( )(
) )
]
Řešení: odstraníme závorky, odečteme člen ab druhou rovnici vynásobíme (– 3) a obě rovnice sečteme dopočteme druhou neznámou řešením soustavy je uspořádaná dvojice
]
[
]
Řešte v R2 soustavy rovnic ( )
Cvičení 1: a) (
)
(
(
b) (
[
)] ) )(
(
)
)
[ ( c)
[
(
(
( )
)] (
)
)
)
(
)
d) ( Řešení:
)(
)
) [
]
) [
]
( * [
) + ]
) [
]
[
) [
]
*
+
metodická poznámka Správně umocnit dvojčlen. Odečíst stejné členy z obou stran rovnic.
Př. 4: Řešte v R2 soustavu rovnic
první rovnici vynásobíme 3 druhou rovnici vynásobíme (– 2) po sečtení Dospěli jsme k rovnici, která platí nezávisle na hodnotách x a y. Soustava má nekonečně mnoho řešení. Neplatí ovšem jakákoliv dvojice, jedna neznámá musí být závislá na druhé. ] [ ] Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [
3
Př. 5: Řešte v R2 soustavu rovnic
první rovnici vynásobíme 2 druhou rovnici vynásobíme 3 po sečtení obou rovnic Dospěli jsme k výrazu, který neplatí. Závěrem je, že soustava nemá řešení v R. metodická poznámka Pečlivě odlišit tyto dvě možnosti s velice rozdílnými závěry.
Cvičení 2: ( a)
Řešte v R2 soustavy rovnic ) ( )
b)
c)
Řešení:
) [ ) ) [
]
[
]
[
] ]
metodická poznámka Správně umocnit dvojčlen. Stanovit podmínky pro jmenovatele zlomku.
4
Soustava tří lineárních rovnic
II. Kapitola
Soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých redukujeme metodou sčítací nebo dosazovací na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pak postupujeme známým způsobem. Př. 6: Řešte v R3 soustavu rovnic
(– 2) násobek třetí rovnice druhou rovnici přičteme (– 5) násobek třetí rovnice první rovnici přičteme upravená soustava
s upravenou druhou a třetí rovnicí pokračujeme dále známým způsobem po vynásobení druhé rovnice (– 1) a přičtení třetí dostáváme výsledek první neznámé dosadíme 4 za z do druhé rovnice a vypočteme y
dosadíme 4 za z a 3 za y do první rovnice a vypočteme x
[
řešením soustavy je uspořádaná trojice metodická poznámka Pořadí rovnic lze v soustavě libovolně zaměňovat. Sčítat můžeme libovolné dvě rovnice.
Cvičení 3: a)
Řešte v R3 soustavy rovnic
5
]
[
]
b)
(
c) (
)
) (
)
(
) (
)
d)
Řešení:
III. Kapitola
) [ ) [
] ]
[ [
]
) [ ) [
]
] ]
[ [
] ]
Soustava rovnic s alespoň jednou kvadratickou rovnicí
Př. 7: Řešte v R2 soustavu rovnic
metodická poznámka Vyjádříme z lineární rovnice jednu neznámou a do kvadratické rovnice dosadíme. například dosadíme
(
)
pomocí Viètových vzorců
(
)(
dopočet řešením soustavy jsou dvě uspořádané dvojice
)
[
]
[
[
]
[
] [
]
[
]
Př. 8: Řešte v R2 soustavu rovnic
vyjádříme x z druhé rovnice dosadíme do první rovnice a upravíme
( )
řešením soustavy jsou dvě uspořádané dvojice
6
] [
]
[
]
Cvičení 4: a)
Řešte v R2 soustavy rovnic
b)
c)
d)
Řešení:
) [ ) [ ) [ )
] ] ]
[ [ [
] [ ] [
] ]
[ [
] ]
]
Př. 9: Řešte v R2 soustavu rovnic
metodická poznámka Je vhodné použít metodu srovnávací.
vyjádříme z obou rovnic y [
řešením soustavy je uspořádaná dvojice
]
[
]
Př. 10: Řešte v R2 soustavu rovnic
metodická poznámka Převedeme na soustavu lineární a kvadratické rovnice.
například (–1) násobek druhé rovnice přičteme k první rovnici vyjádříme x dosadíme do první rovnice vyjádříme rovnici pro jednu neznámou pomocí Viètových vzorců
(
) (
(
)( [
řešením soustavy jsou dvě uspořádané dvojice
7
)
) ]
[
] [
]
[
]
Cvičení 5: a)
Řešte v R2 soustavy rovnic
metodická poznámka Řešíme srovnávací metodou pro z obou rovnic. Jinak je nutno použít substituci v bikvadratické rovnici.
b)
metodická poznámka Dosadíme za součet druhých mocnin číslo 100.
c)
metodická poznámka Například z druhé rovnice dosadíme
Řešení:
) [ ) [ ) [
[
] ] ]
[ [
do první rovnice.
] [ ] ] [ ] [ ] [ ] [
[ ]
√ ] ]
Použitá literatura: 1. Jindra Petáková: Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, 1. vydání, Prometheus Praha 1998 2. Benda, Daňková, Skála: Sbírka maturitních příkladů z matematiky, 7. upravené vydání, SPN 1971 3. Josef Polák: Přehled středoškolské matematiky, 5. přepracované vydání, SPN 1991 4. František Janeček: Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy, 3. přepracované vydání, Prometheus 1995 V příloze jsou zadání příkladů, které mohou být použity pro práci studentů při hodinách individuální výuky.
8
Soustava dvou lineárních rovnic
I. Kapitola
Př. 1: Řešte v R2 soustavu rovnic
Př. 2: Řešte v R2 soustavu rovnic
(
Př. 3: Řešte v R2 soustavu rovnic ( (
)( )(
(
) )
(
)
(
(
b)
( (
)( )(
(
[
)] ) )(
(
)
)
[ (
(
(
( )
)] (
)
)
)
(
)
d) (
)(
)
(
)
Př. 4: Řešte v R2 soustavu rovnic
Př. 5: Řešte v R2 soustavu rovnic
Cvičení 2: ( a)
)
Řešte v R2 soustavy rovnic ( )
Cvičení 1: a)
c)
)
Řešte v R2 soustavy rovnic ) ( )
b)
c)
9
) )
Soustava tří lineárních rovnic
II. Kapitola
Př. 6: Řešte v R3 soustavu rovnic
Cvičení 3: a)
Řešte v R3 soustavy rovnic
b)
(
c) (
)
) (
)
(
) (
)
d)
10
III. Kapitola
Soustava rovnic s alespoň jednou kvadratickou rovnicí
Př. 7: Řešte v R2 soustavu rovnic
Př. 8: Řešte v R2 soustavu rovnic
Cvičení 4: a)
Řešte v R2 soustavy rovnic
b)
c)
d)
Př. 9: Řešte v R2 soustavu rovnic
Př. 10: Řešte v R2 soustavu rovnic
Cvičení 5: a)
Řešte v R2 soustavy rovnic
b) c)
11
