GYAKORLÓ FELADATOK BECSLÉS - HIPOTÉZISVIZSGÁLAT
1. feladat Egy külkereskedelmi vállalat 70 ezer üvegből álló gyümölcskonzerv szállítmányt exportál. A nettó töltősúly ellenőrzése céljából egy 900 elemű véletlen mintát vettek. A mérések eredményei: Nettó töltősúly (g) Üvegek száma (db) 440 - 460 30 461 - 480 140 481 - 500 520 501 - 520 160 521 - 540 50 Összesen 900 Feladat: Határozza meg 95%-os megbízhatósággal, hogy milyen határok között van: a) az átlagos nettó töltősúly; b) a 70 ezer üveg összes nettó töltősúlya; c) az 500 grammnál nagyobb töltősúlyú üvegek száma a külkereskedelmi vállalatoknál! d) az üvegek töltősúlyára vonatkozó szórás! 2. feladat Egy megyében több utazási iroda által meghirdetett főszezonbeli utazásokról reprezentatív felmérést készítettek. A felmérés során a meghirdetett utazások 5%-át vizsgálták meg. A mintába került utazások ár szerinti megoszlása a következő: Ár (Ft-ban) Utazások száma (db) - 20000 10 20001 - 40000 42 40001 - 60000 22 60001 - 80000 15 80001 - 100000 16 100001 15 Összesen 120 Feladat: a) Készítsen pontbecslést az utazások átlagos árára vonatkozóan! b) Határozza meg 98%-os megbízhatósággal, hogy milyen határok között van egy utazás átlagos ára! Értelmezze a standard hibát! c) Becsülje meg a legfeljebb 60.000 Ft-ba kerülő utazások arányát a sokaságban 95%-os megbízhatósággal! d) A b.) ponthoz képest mekkora minta-elemszámra van szükség ahhoz, hogy a maximális hibát a felére csökkentsük? e) A b.) ponthoz képest mekkora minta-elemszámra van szükség ahhoz, hogy a maximális hibát a 20%kal csökkentsük? f) A b.) ponthoz képest mekkora minta-elemszámra van szükség ahhoz, hogy a maximális hibát a 20%ra csökkentsük? g) Becsülje meg az utazási irodák várható árbevételét, ha tudjuk azt, hogy az utazások 70%-át veszik várhatóan igénybe! (π=96 %)
1
3. feladat Az újonnan átvett személygépkocsikat görgős próbapadon fogyasztásvizsgálatnak vetik alá, hogy meggyőződjenek a gyári beállítás pontosságáról és meghatározhatók legyenek a szükséges reakciók. A LADA 1500 L fogyasztásának becslése céljából kiválasztottak egy 25 elemű véletlen mintát (a fogyasztás normális eloszlású változó), az átadott LADA gépjárművek 10%-át. A mintába került 25 személygépkocsi fogyasztása 1/100 km: 10,25 10,13 10,17 10,05 10,11 10,21 10,35 10,27 10,11 10,15 10,29 10,10 10,14 10,17 10,08 10,11 10,25 10,13 10,19 10,07 10,14 10,35 10,16 10,13 10,07 Feladat: a) Készítsen pontbecslést a fajlagos fogyasztásra vonatkozóan! b) Készítsen intervallumbecslést 95%-os megbízhatósági szinten, annak figyelembe vételével, hogy a sokasági szórás 0,08 l! c) Milyen határok között van 98,8%-os megbízhatóság mellett a 10,2 l-nél kisebb fogyasztású gépjárművek aránya az alapsokaságban? d) Az előző esetekben mekkora elemszámra van szükség ahhoz, hogy a maximális hibát a felére csökkentsük (változatlan megbízhatósági szint mellett)? 4. feladat Egy kávét forgalmazó kereskedelmi cég új piacra szeretne belépni. Reklámstratégiájának kidolgozásához felmérést készít a kávéfogyasztók életkoráról. A 20 elemű egyszerű véletlen eljárással kiválasztott minta életkor szerinti megoszlását mutatja az alábbi tábla: Életkor (év) - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 Összesen
Kávéfogyasztók száma (fő) 1 6 7 5 1 20
Feladat: a) Készítsen intervallumbecslést az átlagos életkorra vonatkozóan 95%-os megbízhatósági szinten! b) Mekkora a 40 éves és attól fiatalabb kávéfogyasztók aránya a sokaságban 98%-os megbízhatósági szinten? c) Mekkora minta-elemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a maximális hibát 20 %-kal csökkentsük (változatlan megbízhatósági szint mellett)? d) Készítsen intervallumbecslést a kávéfogyasztók életkorának szórására vonatkozóan 95%-os megbízhatósági szinten! 5. feladat Az elmúlt hónapban Magyarországon 1600 KKV-nak vizsgálta meg az adóhatóság az árbevételét, melyből egyszerű, véletlen mintát vettek a célból, hogy következtetést vonjanak le a KKV-k nyereségére. Az alábbi táblázat az 6,25%-os mintába került KKV-kal kapcsolatos adatokat tartalmazza: Nyereség (mFt) 0 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 80 81 - 100 Összesen
KKV-k száma (db) 5 25 38 17 8 4 2 ….. …..
2
Feladat: a) Végezze el a KKV-k átlagos nyereségére vonatkozó pontbecslést 95%-os megbízhatósági szinten! b) Határozza meg a standard hibát és értelmezze! c) Becsülje meg, hogy egy év alatt maximum mekkora nyereséget érhetnek el a KKV-k π=99%-os szinten! d) Az előző esetet figyelembe véve mekkora minta-elemszámra van szükségünk, ahhoz, hogy a maximális hibát 20%-ra csökkentsük (π=95%)? e) Becsülje meg, azon KKV-k számát, melyeknek nyeresége 51 mFt-nál több π=99%-os szinten! 6. feladat Egy településen a lakossági vízfogyasztásról reprezentatív felmérést készítettek. A felmérés során a lakások 5%-át vizsgálták meg. A mintába került lakások vízfogyasztás szerinti megoszlása a következő: Vízfogyasztás (m3) - 15 15 - 25 25 - 35 35 - 45 45 -
Lakások száma (db) 10 38 32 28 12
Feladat: a) Határozza meg 95,5%-os megbízhatósággal, hogy milyen határok között van az átlagos vízfogyasztás! b) Milyen határok között van 95%-os megbízhatóság mellett a 35 m3-nél kisebb vízfogyasztású lakások aránya és száma az alapsokaságban? c) Határozza meg 95%-os megbízhatósággal, hogy milyen határok között van az összes lakás vízfogyasztása! d) Az a) feladatot figyelembe véve mekkora minta-elemszámra van szükség ahhoz, hogy a maximális hibát 30%-kal csökkentsük?
7. feladat A háztartások havi egy főre jutó élelmiszer kiadásait rétegzett kiválasztás alapján vizsgálták az északmagyarországi régióban. A felmérés során a húsfogyasztásra vonatkozóan az alábbi adatokat kapták:
Háztartás Városi Községi Összesen
Háztartások száma az alapsokaságban (ezer) 300 200 500
Minta elemszám (n) 900 600 1500
Átlagos Szórás (Ft) kiadás (Ft/fő) a mintában 15000 12000 ...
6000 3500 …
Feladat: a) Becsülje meg a városi háztartás évi átlagos egy főre jutó élelmiszerkiadásainak alsó határát 99,7%-os valószínűségi szinten! b) Becsülje meg 96%-os megbízhatósággal a háztartások egy főre jutó élelmiszer kiadásainak összegét!
3
8. feladat A STAT-III. közvélemény-kutató cég megbízást kapott, hogy állapítsa meg 98 %-os megbízhatósággal egy nagyvárosban a családok élelmiszer-vásárlásainak átlagos értékét. A cég rétegzett mintavételes eljárást alkalmazva az alábbi számítási részeredményekhez jutatott: Terület Belváros Külvárosi zöldövezet Lakótelep Összesen
Minta elemszám (n) 40 40 30 …
Átlagos vásárlási érték (Ft/fő/alkalom) 2.600 3.100 2.200 …
Korrigált tapasztalati szórás (Ft) 450 600 380 …
Az átlagos vásárlási érték normális eloszlást követ. A város 200000 lakosának ¼-e lakik a belvárosban és 60%-a lakótelepen, a többi a külváros zöldövezetében. Feladat: Milyen eredményre jutott a STAT-II. cég?
9. feladat Az egyetemi hallgatók kulturális és sportkiadásainak becslésére 100 elemű véletlen mintát választottak ki. A mintában a következő adatokat kapták: A hallgató neme Nő Férfi Összesen
Fő 20 80 100
Megoszlás az alapsokaság (%) 60 40 100
Heti kulturális és sportkiadás (Ft/fő) átlaga szórása 1600 200 1400 300 … ...
Feladat: a) Becsülje meg az egyetemi hallgatóság heti átlagos kulturális- és sportkiadását 95 %-os megbízhatósági szinten! b) Indokolja meg, hogy mikért folyamodtak a fenti mintavételi tervhez!
10. feladat Egy pizzéria üzletlánc piaci terjeszkedéséhez szeretné megbecsülni, hogy adott városban mekkora összeget költenek a fogyasztók havonta átlagosan pizzára. A felmérés során rétegzett mintavételi eljárással 400 elemű mintát vettek. A minta ¾-e fiatalokból (25 év alatti) és ¼-e idősebbekből (25 év feletti) állt. Ismert, hogy a városban a pizzát fogyasztókra is ugyanilyen arányok érvényesek. A minta alapján azt tapasztalták, hogy a fiatalok átlagos havi pizza-fogyasztásának értéke 1.800 Ft/fő/hó és a pizza-fogyasztás értékének négyzetösszege 1008627500,0 Ft. Az idősebbek a mintában 80000 Ft-ot költöttek pizzára, a korrigált tapasztalati szórás pedig 200 Ft volt. Feladat: Becsülje meg 96%-os megbízhatósággal a városban az átlagos pizza-fogyasztás értékét!
4
11. feladat Egy csővágó automata gépnek 1200 mm hosszú csődarabokat kell levágnia. Gyártásközi ellenőrzés feladata, hogy megállapítsa, hogy a gép által gyártott darabok hosszmérete megfelel-e az előírásoknak. Előző adatfelvételekből tudjuk, hogy a szóban forgó gép által gyártott darabok hossza normális eloszlású valószínűségi változó 3 mm szórással. A vizsgálat elvégzéséhez kiválasztottak egy 15 elemű mintát. A kiválasztott csődarabok hossza (mm-ben): 1208; 1204; 1202; 1202; 1194; 1195; 1205; 1194; 1197; 1193; 1205; 1202; 1191; 1195; 1194; Feladat: a) Ellenőrizzük, hogy a gyártott mintadarabok hossza megfelel-e az előírásnak! (α = 5%) b) Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia-szinten, hogy a legyártott csődarabok 25%-a 1200mm-nél rövidebb! c) Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia-szinten, hogy az alapeloszlás szórása lehet-e 3 mm a mintánk alapján?
12. feladat Kosárlabdázók teljesítményének értékelésére megnézték két sportolónál, hogy milyen arányban értékesítették a büntető dobásokat. Bobby nevű sportolónk 100 büntető dobásból 55-t dobott be, Jocky pedig 140-ből 91-t. Feladat: a) Ha egy szezonban 450 büntető dobást ítéltek a csapatnak, és azt mind Jocky végezte el, becsülje meg, hogy hány pontot szerzett a csapat a büntető dobásokból? (π=95%) b) Ellenőrizze le 5%-os szignifikancia-szinten azt a feltételezést, hogy Jocky legalább 70%-os megbízhatósággal dobja a büntetőket! c) A mintabeli adatok alapján tud-e egyértelmű döntést hozni a vezetőedző, hogy a két játékos közül Jocky pontosabban dobja a büntetőket?
13. feladat Sportorvosok tesztelni kívánták azt a feltevést, hogy az élsportolók testalkatában eltérés mutatható ki az általuk űzött sportág függvényében. A 14 véletlenszerűen kiválasztott igazolt kosárlabda-játékos testmagassága cm-ben a következő volt: 198; 202; 199; 202; 191; 198; 199; 205; 204; 200; 199; 199; 200; 204; A 10 szintén véletlenszerűen kiválasztott úszó átlagos testmagassága pedig 196 cm, szórása 5,2 cm volt. ( A testmagasság normális eloszlást követ.) Feladat: a) Készítse el a kosárlabdázók átlagos testmagasságának konfidencia intervallumát! (π=98%) b) Milyen szignifikancia-szinten fogadná el azt a feltételezést, hogy a kosárlabdázóknak legalább a fele magasabb 2 m-nél? c) Ellenőrizze le 5%-os szignifikancia-szinten azt a feltételezést, hogy a kosárlabdázók átlagos testmagassága maximum 5 cm-rel több az úszókénál!
5
14. feladat Egy távközlési vállalat reprezentatív felmérést készített a telefonhívások időtartamának vizsgálatához. A felmérés során a lezajlott hívások 5 %-át vizsgálták meg. Előző felmérésből ismert, hogy a telefonhívások szórása 0,3 perc. A kapott eredmények a következők: Telefonhívások időtartama (perc) - 1,0 1,1 - 2,0 2,1 - 3,0 3,1 - 4,0 4,1 Összesen
Telefonhívások száma (db) 160 100 70 50 20 400
Előző felmérésből ismert, hogy a telefonhívások időtartama normális eloszlást követ. Feladat: a) Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal a telefonhívások átlagos időtartamát! b) Becsülje meg 98%-os megbízhatósági szinten a 3 percnél nem hosszabb beszélgetések számát a sokaságban! c) Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten, hogy elfogadható-e az a feltételezés, hogy a telefonhívások átlagos időtartama 2 perc, szórása pedig 0,3 perc! d) α=10%-os szignifikancia-szinten elfogadhatjuk-e azt a feltételezést, hogy a telefon- hívásoknak legalább a fele 2 percnél hosszabb beszélgetés volt?
15. feladat Egy bizonyos termék gyártása során a termékekkel szemben támasztott minőségi követelmény, hogy az egyik összetevő értéke ne haladja meg a 0,5 mg/l-t. Ha az összetevő értéke nagyobb, mint 0,5 mg/l, akkor a gyártást le kell állítani, s a gép beállítását el kell végezni. Gyártásközi minőségellenőrzés céljából a gyártósorról véletlenszerűen levettek 10 terméket, s a következő eredményeket kapták (mg/l): 0,49; 0,43; 0,53; 0,57; 0,50; 0,46; 0,50; 0,49; 0,51; 0,53; Feladat: Hozzon döntést arról, hogy a minta adatai alapján leállítaná-e a termelést és beállítaná-e újra a gépet! (Szignifikancia-szint: 10%; Előzetes vizsgálatokból ismert, hogy az összetevő normális eloszlást követ.)
16. feladat Egy nagyvállalat 16 200 női dolgozója közül egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztottak 162 főt, akiknek összéletkora 5303 év (Az életkoruk négyzetösszege: Σx2=188110). Feladat: a) Adjon becslést az átlagéletkorra vonatkozóan (π=98,8%)! b) Mekkora mintaelemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a maximális hibát a felére csökkentsük? c) A mintába került 35 éven aluli nők száma 112. Elfogadná-e azt az állítást, hogy a nők 75%-a 35 éven aluli (α=5%)? d) Egy másik felmérés alapján 121 férfi átlagéletkora 36,9 év (s=9,504 év) volt. Milyen szignifikanciaszinten fogadná el azt az állítást, hogy a nők átlagéletkora 3 évvel alacsonyabb a férfiakénál?
6
17. feladat Egy üdítőital gyártó cég dolgozói körében végzett reprezentatív felmérés során 430 fő ( a teljes sokaság 5%a) jövedelmét vizsgáltuk foglalkozás szerinti bontásban. Havi fizetés (eFt) - 80 80 - 120 120 - 160 160 - 200 200 Összesen
Fizikai (fő) 110 130 70 20 10 340
Szellemi (fő) 0 10 25 40 15 90
Összesen (fő) 110 140 95 60 25 430
Feladat: a) Határozza meg 98%-os megbízhatósággal, hogy milyen határok között van a szellemi foglalkozású alkalmazottak havi átlagjövedelme! b) Hány szellemi dolgozót kellett volna megkérdezni, ha kétszeres pontosságú eredményt szerettek volna elérni? c) Milyen határok között van 95%-os megbízhatóság mellett a 160 eFt fölött keresők aránya és száma a szellemi és fizikai foglalkozásúak körében? d) Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal az összes alkalmazott fizetésének szórását! e) Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal az összes alkalmazott átlagos fizetését! f) Elfogadná-e azt az állítást, hogy az összes alkalmazott 60%-a 120 eFt-nál kevesebbet keres? (α=5%) g) Elfogadja α=5%-os szignifikancia szinten azt az állítást, hogy a fizikaiak átlagkeresete legfeljebb 60eFt-tal marad el a szellemiekétől? h) Milyen szignifikancia-szinten fogadná el azt az állítást, hogy a fizikai dolgozók legalább 93%-a 160 eFt-nál kevesebbet keres?
18. feladat 850 utazásszervezéssel foglalkozó utazási iroda közül egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztott 50 utazás iroda adatai: Bevétel (millió forint) - 2,5 2,5 - 2,7 2,7 - 2,9 2,9 - 3,1 3,1 - 3,3 3,3 - 3,5 3,5 Összesen
Utazási irodák száma (db) 1 4 6 17 11 9 2 50
Feladat: a) Az árbevétel normális eloszlását feltételezve adjon 95%-os megbízhatóságú konfidencia intervallumot az utazási irodák 1. átlagos bevételére, 2. összes bevételére! b) Mekkora mint-elemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a maximális hibát 30%-kal csökkentsük? c) Becsülje meg 98%-os megbízhatósággal azon irodák számát, amelyek árbevétele legalább 3,1 millió forint! d) 5%-os szignifikancia-szinten elfogadható-e, hogy az átlagos árbevétel 4 millióFt?
7
19. feladat A McDonald’s forgalmának növelése érdekében két különböző akcióba kezd. Egyik nap csökkenti a menük árát, a másik nap pedig ingyen fagylaltot adnak a menük vásárlásakor. Mindkét nap 10 véletlenszerűen kiválasztott McDonald’s üzletben vizsgálták a menük forgalmát (a vásárolt menük számát). Előzetes felmérésből ismert, hogy a vásárolt menük száma normális eloszlású változó. A kapott adatok a következők voltak: (menük száma, db) Üzlet sorszáma 1. nap 2. nap
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
162 153
102 88
109 122
98 93
121 112
105 108
139 135
106 97
99 104
93 85
Feladat: Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten azt az állítást, hogy az árcsökkentés sikeresebb marketing akció volt!
20. feladat A STAT-I. közvélemény-kutató cég megbízást kapott egy élelmiszer-áruházlánctól, hogy vizsgálja meg egy nagyvárosban a családok élelmiszer-vásárlási szokását. A cég a nagyváros három különböző területén egyszerű véletlen mintavételes eljárást alkalmazva az alábbi számítási részeredményekhez jutott: Terület Belváros Kertváros Lakótelep
Minta elemszáma (n) 40 40 30
Átlagos vásárlási érték (Ft/fő/alkalom) 2900 3050 2850
Korrigált tapasztalati szórás 320 400 350
Korábbi felmérésből ismert, hogy az átlagos vásárlási érték normális eloszlást követ. A 200000 lakosú város fele lakótelepen él, míg a kertvárosban csak a lakosság 20%-a lakik. Feladat: Milyen eredményre jutott a STAT-I. cég, ha az alábbi kérdésekre keresték a választ? a) Elfogadható-e az a feltevés, hogy a lakótelepen kevesebbet költenek élelmiszerre? (α=5%). b) Hol számíthat nagyobb összforgalomra az áruházlánc? (π=99%)
8
21. feladat Egy kohászati vállalatnál az ötvözetlen és a gyengén ötvözött acél zártszelvények szilárdságát vizsgálták mechanikus eljárással. Az elvárt minimális nyomásbírás az ötvözetlen acélnál 450 MPa, a gyengén ötvözöttnél 600 MPa. A legyártott darabok közül 1 %-os egyszerű, véletlen mintát vettek. A vizsgálat eredményeit az alábbi táblázat tartalmazza: Nyomás (MPa) 380 - 399 400 - 419 420 - 449 450 - 499 500 - 549 550 - 599 600 - 649 650 - 699 700 - 800 Összesen
Ötvözetlen acél (db) 2 1 4 36 55 12 110
Gyengén ötvözött acél (db) 3 2 69 31 15 120
Feladat: a) Becsülje meg a selejtarányt a gyengén ötvözött acél zártszelvény esetében! (π=98%) b) Mekkora mintaelemszámra lenne szükségünk akkor, ha a fenti becslés maximális hibáját 20 %-kal szeretnénk csökkenteni? c) Becsülje meg, hogy egy nap várhatóan hány darab selejtes zártszelvény készül gyengén ötvözött acélból! (π=96%) d) Ellenőrizze le a főmérnök azon kijelentését, hogy a gyengén ötvözött acélból készült zártszelvény nyomásbírása legfeljebb 510 Mpa. (α=5%)
22. feladat Egy autóabroncsokat gyártó cég az új típusú abroncs kopásállóságának ellenőrzése céljából 10 gépkocsira új abroncsokat szerelt és 50 000 km után megmérte a kopást. Az eredmények mm-ben: Új abroncs kopása: 1,2; 2,0; 1,7; 2,6; 1,1; 2,5; 2,3; 1,5; 2,1; 1,6 ( x = 1,86), (s = 0,716) A régi típusú abroncs kopása – ugyanazon az útvonalon: 1,4; 2,1; 1,7; 2,9; 1,0; 3,4; 2,5; 1,7; 2,4; 2,0 ( x = 2,11), (s = 0,716) A kopás mértékének eloszlása normálisnak tekinthető. Feladat: Ellenőrizze azt a hipotézist, hogy az új abroncs kopásállóbb! (α=5%)
9
23. feladat Egy vállalatnál ugyanazt az összeszerelő tevékenységet férfiak és nők is végzik. Véletlenszerűen kiválasztottak – egy ugyancsak véletlenszerűen kiválasztott munkanapon – 28 férfit és 16 nőt. A 28 férfi esetében az összeszerelt darabok száma a következő volt: Az összeszerelt darabok száma 20 21 22 23 24 25 26 Összesen
Fő 1 4 5 7 6 3 2 28
A véletlenszerűen kiválasztott 16 nő együttes napi teljesítménye 408 darab volt. (Teljesítményük négyzetösszege: Σx2=10450 darab) Korábbi felmérésből ismert, hogy az összeszerelési teljesítmény normális eloszlást követ. Feladat: a) Készítse el a nők átlagos teljesítményének (darab/fő) konfidencia intervallumát! (π=95%) b) Becsülje meg 98%-os megbízhatósági szinten egy olyan napon az összeszerelt darabok maximális, illetve minimális számát, amikor 40 férfi végzi ezt az összeszerelési tevékenységet! c) Milyen szignifikancia-szinten fogadná el azt az állítást, hogy a férfiak átlagos napi teljesítménye (darab/fő) legfeljebb 2 darabbal kevesebb, mint a nőké?
24. feladat A Füles és Micimackó Kft. kanyarfúró üzemében a napi termelésből véletlenszerűen kiválasztottak 15 kanyarfúrót, melyeknek 80 mm átmérőjű fúrókat kell készíteni. A kipróbálás során a következő átmérőket tapasztalták (mm-ben): 78,8; 78,9; 79,4; 79,6; 79,8; 79,9; 80,0; 80,0; 80,0; 80,1; 80,4; 80,6; 80,7; 80,8; 81,7; (Feltételezhetjük, hogy a méretek normális eloszlást követnek.) Feladat: a) Vizsgálja meg, hogy az átlagos átmérőnagyság megfelel-e az előírásnak! b) Korábbi felmérések alapján ismert, hogy a gépek által gyártott fúrók méretének szórása 0,73 mm. Milyen szignifikancia szinten fogadná el azt a feltételezést, hogy az átlagos átmérőnagyság nagyobb, mint 79,75 mm? c) A nagy piaci sikerre való tekintettel a cég új gépsort állít be. A próbagyártás során a következő méretű fúrókat gyártották (átmérőnagyság mm-ben): 78,8 79,4 79,7 79,9 79,9 80,0 80,0 80,0 80,0 80,2 80,3 80,3 80,4. Az új gépsor beállításával 10%-os szignifikancia-szinten csökken-e a furatok átlagtól való átlagos eltérése? d) Mit mondhatunk arról a feltételezésről, hogy az új gép 0,1 mm-rel kisebb méretű furatokat készítő fúrókat gyárt?
10
25. feladat Egy 9000 főt foglalkoztató gyár dolgozóira vonatkozó adatok 2001-ben: Foglalkoztatás Alapsokaságbeli Mintából számított minőség arány (%) Átlagkereset (Ft) Szórás (Ft) Fizikai 65 74800 13200 Nem fizikai 35 145800 25500 Összesen 100 … …
Létszám 400 400 800
Feladat: a) Becsülje meg 95,5%-os megbízhatósággal a foglalkoztatottak átlagkeresetének alsó és felső határát! b) Ellenőrizze azt a hipotézist, hogy az átlagkereset független a foglalkozástól! (α=5%)
26. feladat Egy felsőoktatási intézményben a hallgatók napi étkezésre fordított kiadásait vizsgálták, s étkezési lehetőségek szerint rétegzett mintavétellel az alábbi értékeket tapasztalták:
Étkezési lehetőség
Megkérdezettek száma (fő)
Menza Önkiszolgáló étterem Gyorsbüfé Összesen
100 100 100 300
Átlagos napi étkezési kiadás (Ft/fő) 380 520 450 …
A napi étkezési kiadás szórása (Ft/fő) 30 150 50 …
Feladat: a) Becsüljük meg 96%-os megbízhatósággal a hallgatók napi átlagos étkezési kiadását, ha ismert, hogy a hallgatók fel a gyorsbüfében, 20%-a pedig általában a menzán ebédel! b) Ha átlagosan egy nap 5600-an étkeznek az intézményben, akkor összesen mekkora bevételre számíthat naponta a három vendéglátó ipari egységet üzemeltető cég?
27. feladat Az egyetemisták alkoholfogyasztási szokásainak vizsgálatára egy minta alapján kérdőíves felmérést végeztek három egyetemen. A minta kiválasztása arányos rétegezéssel történt. A kérdőíves felmérés egyik kérdése úgy szólt, mennyi alkoholt fogyasztanak a megkérdezettek egy hétvégi bulin. A válaszokat az alkoholtartalom (o) alapján üveg sörre számították át:
Egyetem SZE ME DE Összesen
Megkérdezettek száma (fő) 80 50 70 200
Átlagosan elfogyasztott alkohol (üveg sör) 2,6 2,8 3,4 …
A fogyasztott alkohol szórása a mintában a sokaságban 1,8 2 1,6 1 2,7 3 … …
Feladat: a) Tegyük fel, hogy a három egyetem közös bulit rendez. Ha a 3 egyetemre együtt 45000-en járnak, akkor becsülje meg 95%-os biztonsággal, hány üveg sört (illetve annak megfelelő alkoholt) kell a bulira biztosítani, ha mindenkire számítanak ! b) Ellenőrizze le 5%-os szignifikancia –szinten, hogy van-e kapcsolat az egyetem és az alkoholfogyasztási szokás között!
11
28. feladat Egy felsőoktatási intézmény Statisztika Tanszékén a vizsgaidőszak végén kiértékelték a statisztika szigorlat eredményeit. Az írásbeli vizsga eredményeit 50 véletlenszerűen kiválasztott hallgató dolgozata alapján vizsgálták: Az írásbeli időpontja Május 29. Június 6. Június 13. Június 20. Június 26. Összesen
A mintába került hallgatók száma 5 15 8 12 10 50
Átlagos pontszám 61 55 66 70 53 …
A pontszám relatív szórása (%) 5 10 8 15 10 …
Feladat: α=5%-os szignifikancia-szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az egyes vizsganapokon azonos nehézségű dolgozatokat írtak a hallgatók?
29. feladat Adott évben Magyarországon 515.000 látogató vett részt hangversenyeken, akik közül településtípusonként egyszerű véletlen mintavételezéssel megállapították a látogatók átlagos életkorát. A látogatók településtípusonkénti megoszlását és a mintából származó adatokat a következő táblázat tartalmazza: A hangverseny helye Budapest A többi város Községek Összesen
Látogatók száma (fő) 123000 336000 56000 515000
Létszám (fő) 120 330 50 500
Látogatók átlagos életkora (év) a mintában 39,6 37,7 36,0 -
Életkor szórása (év) 15,4 16,2 13,8 -
Feladat: a) Számítsa ki, hogy 95 %-os megbízhatósági szint mellett mennyi a látogatók átlagos életkorának alsó és felső határa! b) Vizsgálja meg azt a feltételezést, hogy a városokban, községekben és Budapesten eltérő korosztály látogatja a hangversenyeket! (α = 5%)
30. feladat Egy 8000 hallgatóval rendelkező egyetemen a hallgatók egy részétől megkérdezték, hogy hetente mekkora összeget költenek kulturális és sportolási célokra. Egy 500 elemű véletlen mintát választottak, amelyről a következő adatok ismertek: a rétegekben a heti kulturális- és sportkiadás átlagosan a nők esetén 1300 Ft/fő, a férfiak esetén 1450 Ft/fő. Ezen átlagos kiadásoktól való eltérések korrigált négyzetes átlaga a férfiak esetén 450 Ft/fő, a nők esetén 310 Ft/fő. Az egyetemen a nők és a férfiak megoszlása 60-40% és a kulturális- és sportkiadásaik szórása 420, illetve 330 Ft/fő. A mintaelemek kiválasztási aránya férfiak esetén 7,8125%, a nők esetén 5,2083%. Feladat: Becsülje meg az egyetemi hallgatóság heti átlagos kulturális- és sportkiadását 95%-os megbízhatósági szinten!
12
31. feladat Egy 200 elemű véletlen minta megoszlása színházlátogatási szokások és szakképzettség szerint: Színházlátogatási szokások Nem jár színházba Néha jár Rendszeresen Összesen
8 általános 30 8 2 40
Középfokú végzettség 10 70 20 100
Felsőfokú 3 7 50 60
Összesen 43 85 72 200
Feladat: Vizsgálja meg, hogy van-e szignifikáns kapcsolat a két ismérv között! (α=5%)
32. feladat Egy megye 60 ezer személygépkocsi tulajdonosa közül véletlenszerűen kiválasztottak 50-et a gépkocsijavítási igények és a gépkocsi típusa közti kapcsolat jellegének feltárására. A mintát a következő kontingencia-tábla mutatja: A gépkocsi meghibásodása esetén azt - maga javítja - ismerőse javítja - magánszerviz javítja - márkaszerviz javítja Összesen
A gépkocsi Közepes értékű 3 3 7 3 16
Nagy értékű 1 0 4 1 6
Szerény értékű 11 7 2 8 28
Összesen 15 10 13 12 50
Feladat: Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia-szinten, hogy a gépkocsijavítási igények és a gépkocsi típusa függetlennek tekinthető-e?
33. feladat Közlekedésbiztonsági szervek 1000 személyi sérüléses közúti balesetet vizsgáltak meg aszerint, hogy milyen súlyos volt a baleset és a baleset alkalmával a sérült viselt-e biztonsági övet. A kapott eredmények az alábbiak voltak: Baleset kimenetele Könnyű Súlyos Halálos Összesen
viselt 440 100 60 600
Biztonsági övet nem viselt 160 200 40 400
Összesen 600 300 100 1000
Feladat: Ellenőrizze alkalmas próbával, hogy a baleset kimenetele független-e attól, hogy az illető viselt-e biztonsági övet! (α=0,1)
13
34. feladat Egy közvélemény kutatás során egyik gazdasági témájú TV műsorról az alábbi kép alakult ki a diplomások körében: Nyilatkozó foglalkozása Közgazdász Jogász Egyéb diplomás Összesen
Jó 100 100 100 300
A műsor megítélése Megfelelő 200 60 60 320
Összesen
Rossz 100 40 40 180
400 200 200 800
Feladat: Tesztelje 5%-os szignifikancia szinten a foglalkozás jellege és a TV műsor minősítése közötti kapcsolatot!
35. feladat Egy marketinggel foglalkozó cég vezetője arra kíváncsi, hogy jól kiképzett munkatársainak ügynöki teljesítménye független-e az életkortól. Az adatokat úgy gyűjtötték, hogy egy adott termékből egy hónap alatt hány darabot sikerült az ügynöknek eladni. A 600 elemű minta adatai: Életkor 30 év alattiak 30 és 40 év között 40 év felettiek Összesen
5 és 9 között 50 80 60 190
Eladások száma 10 és 15 között 80 90 50 220
16 és 20 között 70 90 30 190
Összesen 200 260 140 600
Feladat: Befolyásolja-e az életkor az ügynökök munkájának eredményességét? (α=5%)
36. feladat A különböző közgazdasági egyetemekre való jelentkezés eloszlásának vizsgálata céljából 1200 érettségizőt megvizsgáltak, hogy melyik egyetemre adta be jelentkezési lapját. A különböző intézetekbe történő jelentkezés megoszlása a következő volt: Egyetem Jelentkezők száma (fő)
Budapest 423
Debrecen 219
Pécs 155
Miskolc 216
Veszprém 187
Feladat: Ellenőrizze le 5%-os szignifikancia-szinten, hogy egyenlő megoszlásban jelentkeztek az egyes egyetemekre!
14
37. feladat Egy édesipari vállalat szállítási szerződése szerint egy cukorka-keverékben azonos arányúnak kell lennie az ötféle töltésű cukorkaszemeknek. Egy 1000 elemű mintában a megoszlás az alábbi tábla szerint alakult: Töltelékfajta Málna Meggy Méz Citrom Narancs Összesen
Cukorkák száma (db) 178 213 224 194 191 1000
Feladat: Ellenőrizze különböző szignifikancia-szinteken, hogy a szállítmány eleget tesz-e az eloszlásra vonatkozó követelményeknek!
38. feladat Egy város rendőrsége szerint az éjszakai betörések száma egyenletesen oszlik meg a hét napjain. Egy heti megfigyelés alapján a betörések száma az alábbi volt: Nap Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat Vasárnap Összesen
Betörések száma 6 8 5 7 12 17 15 70
Feladat: Ellenőrizze α=0,05 szignifikancia-szinten, hogy igaz-e a rendőrség állítása!
39. feladat Egy piackutatás során különböző (A, B, C, D, E) csomagolásban mutattak be egy új parfümkülönlegességet, s azt vizsgálták, hogyan befolyásolja a vásárlási szándékot a különböző csomagolás: Csomagolás A B C D E
A vásárlók száma (fő) 42 22 40 36 30
Feladat: Milyen szignifikancia szinten fogadhatjuk el azt a feltevést, hogy a vásárlókat a csomagolás is motiválja a vásárlás során?
15
40. feladat A légi közlekedésben fontos figyelemmel kísérni az utasok átlagos testsúlyát, hogy egyrészt ne terheljék túl a gépet, másrészt nem utazzon a gép fölös kapacitással. Ezért időről időre ellenőrzik, hogy a felnőtt utasok testsúlya nem tér-e el a feltételezettől. A légitársaság a terhelést 78 kg-os átlagos testsúlyra és 11 kg-os szórásra tervezi. A feltételezés ellenőrzése céljából megmérték 100 véletlenszerűen kiválasztott utas súlyát, akik között 44 nő volt. A mérés eredménye: Testsúly (kg) - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 100 Összesen
Utasok száma (fő) 7 15 32 28 13 5 100
Feladat: Végezze el az eloszlás normalitására vonatkozó feltételezés ellenőrzést! (α=1%)
41. feladat Egy ruhaüzletben véletlenszerűen kiválasztott 100 vásárló vásárlási érték szerinti eloszlását vizsgálták. Ismert, hogy a 100 vásárló átlagosan 10825 Ft-ért vásárolt, a vásárlási értékek korrigált tapasztalati szórása pedig 6,66 eFt. A vásárlási értékek eloszlásáról a következő adatokat ismerjük: Vásárlási érték (eFt/fő) - 5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 Összesen
Vásárlók száma (fő) 25 30 15 … 10 …
z
Pi ′
Pi
n ⋅ Pi
…
- 0,88 - 0,12 0,63 1,38 … …
… 0,4522 0,7356 .. .. ..
… 0,2628 0,2834 0,1806 .. ..
19 .. … … … …
1,8947 … … … 0,5 …
Feladat: a) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! b) Vizsgálja meg, hogy normálisnak tekinthető-e a vásárlási értékek eloszlása! − Írja fel a vizsgálandó hipotéziseket és az alkalmazott próbafüggvényt! − Végezze el a hipotézis vizsgálatot!
16
42. feladat Egy élelmiszerkereskedelmi cég árbevételének alakulását vizsgálva 100 véletlenszerűen kiválasztott üzletben megvizsgálták az árbevétel nagyság szerinti megoszlását egy adott napon. A 100 üzlet adatait a következő táblázat tartalmazza: Árbevétel (MFt) 5 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 Összesen
Üzletek száma (db) 5 15 … 30 10 …
z
Pi ′
Pi
n ⋅ Pi
- 0,634 0,372 1,378 … …
… 0,263 0,645 … … …
0,0505 0,213 … 0,269 0,086 …
5 … 38 … 9 …
… 0 … 0,105 … … …
Feladat: a) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait, ha ismert, hogy a 100 üzletben az átlagos árbevétel nagysága 26300 eFt volt, a korrigált tapasztalati szórás pedig 9,94 eFt. b) Vizsgálja meg, hogy az üzletek árbevétel szerinti eloszlása normálisnak tekinthető-e! − Írja fel a vizsgálandó hipotéziseket és az alkalmazott próbafüggvényt! − Döntsön, hogy a próba értéke alapján feltételezhető-e a normális eloszlás! 43. feladat Valamely gyorsbüfé-hálózat éttermeiben a vevőket 45 mp alatt kell kiszolgálni. Annak ellenőrzésére, hogy a kiszolgálási idő normális eloszlást követ-e, megmérték 400 véletlenszerűen kiválasztott vendég kiszolgálási idejét, melyet az alábbi táblázat tartalmaz: Kiszolgálási idő (mp) - 35 35 - 40 40 - 45 45 - 50 50 - 55 55 Összesen
Vendégek száma (fő) 20 80 100 100 60 40 400
………..
………….
…………
n ⋅ Pi
………..
-1,43 ……… 0,00 0,71 ……… ……… ………
……… 0,2389 ……… 0,7611 ……… 1 -
……… 0,1625 ……… ……… ……… 0,0764 1,0000
……… 65,00 ……… ……… 65,00 30,56
3,65 3,46 ……… ……… ……… ……… ………
Feladat: Ellenőrizze le a fenti tábla számítási részeredményeit felhasználva, hogy a kiszolgálási idő eloszlása tekinthető-e normális eloszlásúnak a minta alapján! Töltse ki a táblázat hiányzó rovatait!
17
