GÖRBEELMÉLET
ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ ÉS FELADATOK Ajánlott irodalom: 1. Szilasi József: Bevezetés a dierenciálgeometriába (modern szemlélet¶, sok ismeretet tartalmazó tankönyv, érdekl®d®knek kiváló) 2. Kurusa Árpád: Bevezetés a dierenciálgeometriába (modern szemlélet¶, összefoglaló jelleg¶ könyv, érdekl®d®knek ajánlom) 3. Sz®kefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Dierenciálgeometria (klasszikus szemlélet¶ tankönyv) 4. Strohmajer János: Dierenciálgeometriai példatár 5. V. T. Vodnyev: Dierenciálgeometriai feladatgy¶jtemény
1.
A háttér
R3 valós térben dolgozunk. Analízisb®l fel kell → Rm függvény adott pontbeli határértékének,
A gyakorlat során f®ként az idézni egy tetsz®leges
f: R
n
A következ®kben összefoglaljuk a legfontosabb jelölésbeli és szóhasználatbeli különbségeket, amelyeket a félév során alkalmazni fogunk. folytonosságának, dierenciálhatóságának stb. fogalmát.
•
R3 -ban, koordinátái R3 természetes bázisára 1 2 3 vonatkozóan x , x , x : r = x e1 + x e2 + x e3 . Amennyiben az r vektor 1 2 3 végpontja a P pont, úgy P (x , x , x ) írható. Legyen
r
tetsz®leges vektor
1
•
2
3
Használni fogjuk az
i
r = x ei , (i = 1, 2, 3)
Einstein-féle összegzési konvenció t, jelentése:
r=
3 P
i
x ei
ahol például az
.
i=1
•
Egy
R-b®l R3 -ba
képez®
függvényt
szokás
vektor-skalár függvénynek) is nevezni, és az jelölést is használjuk. (Azonnal látható, hogy Egy
r
vektor-függvény
homeomor zmus
vektor-függvény nek
(vagy
r : R → R3 , r(t) = xi (t)ei i itt x : R → R i = 1, 2, 3.)
(vagy topologikus leképezés),
r = (r1 , r2 , r3 ) r˙ (t) = ((r ) (t), (r2 )0 (t), (r3 )0 (t)).
ha bijektív, folytonos és az inverze is folytonos. Egy dierenciálhányados-függvényét A
2.
r˙ (t0 )
helyett szokásos még a
r˙ jelöli: dr dt t=t0 jelölés is.
1 0
A parametrizált görbe fogalma, érint®vektor, ívhossz
2.1. De níció. Legyen I ⊂ R nemüres, nyílt intervallum. Egy r : I → R3 leképezést parametrizált görbének nevezünk, ha az legalább C 3 -osztályú. A t ∈ I 1
valós számokat paraméternek nevezzük. r reguláris, ha r˙ (t) 6= 0 minden t paraméterre. r bireguláris, ha (˙r(t), ¨r(t)) lineárisan független minden t-re. r pályasebessége a v : I → R3 ,
t 7→ v(t) := k˙r(t)k
leképezés. Ha v(t) = 1 (minden t-re), akkor r-t egységpályasebesség¶nek vagy természetes paraméterezés¶nek (vagy ívhossz-paraméterezés¶nek) nevezzük. r gyorsulása a sebességének a deriváltja, amelyet ¨r-tal jelölünk. r
ívhossza
Z S(r) :=
Z k˙rk =
v= I
I
Z p
((r1 )0 )2 (t) + ((r2 )0 )2 (t) + ((r3 )0 )2 (t)dt ,
I
ahol r1 , r2 , r3 az r komponensfüggvényei;
ívhosszfüggvénye
Z σ : I → [0, S(r)] ,
t 7→ σ(t) :=
a
t
v a
függvény, ahol a = infI . érint®egyenese egy t paraméter¶ pontban az r(t) + L(˙ r(t)) lineáris sokaság.
r
Megjegyzés:
raméterezés¶ görbe esetén minden egyes ívhossza
r : [a, b] → R3 természetes pat ∈ [a, b] paraméter éppen a görbe r(t)-ig (a t-hez tartozó görbepontig),
Könnyen kiszámítható, hogy ha
r(a)-tól
(a görbe kezd®pontjától)
innen ered az ívhossz-paraméterezés¶ görbe elnevezés.
2.2. De níció. Az r : I → R3 és ˜r : I → R3 parametrizált görbék kongruensek, ha van olyan F : R3 → R3 izometria, hogy ˜r = F ◦ r. Az r : I → R3 és ˜r : I˜ → R3 parametrizált görbék ekvivalensek, ha létezik olyan θ : I˜ → I dieomor zmus, amelyre ˜r = r ◦ θ. Ekkor a θ függvényt paramétertranszformációnak nevezzük. Ha minden t ∈ I˜ esetén θ0 (t) > 0 (vagy θ0 (t) < 0), akkor a paramétertranszformáció irányítástartó (vagy irányításváltó). Megjegyzések: 1. A de nícióból látható, hogy több parametrizált görbe ugyanazt a térbeli ponthalmazt (térbeli görbét) adhatja; de nyilvánvalóan egy parametrizált görbéhez
2
egyetlenegy térbeli ponthalmaz tartozhat. 2. Parametrizált görbéket
r(t)
helyett
r(t)-vel, c(t)-vel
vagy
γ(t)-vel
is szokás
jelölni. 3.
Az érint®egyenest lehetne szel®k határhelyezeteként is de niálni.
Ehhez ele-
gend® végiggondolni a dierenciálhányados de nícióját.
Az ívhossz valójában a görbeívbe írt (normális) törtvonalak hosszainak halmazának fels® korlátja. 4.
5. Átparaméterezés során a regularitás, biregularitás invariáns, és az érint®egyenes nem változik. Irányítástartó paramétertranszformáció esetén az ívhossz is invariáns. 6. Egy reguláris parametrizált görbe akkor és csak akkor egyenes, ha gyorsulása elt¶nik.
U ⊂ Rn nemüres nyílt halmaz, f : U → Rm leképezés. Az f C -osztályú U -n, ha f minden koordinátafüggvényének összes parciális k deriváltja létezik, és folytonosak U fölött. Az f C -osztályú, ha minden koordik−1 nátafüggvényének összes parciális deriváltja C -osztályú. 7. Emlékeztet®ül: Legyen
1
2.3. Állítás. Minden parametrizált görbe ekvivalens egy természetes paraméterezés¶ görbével. Bizonyítás. Az
r
görbe
r : I → R3 parametrizált görbe és I = [a, b]. Rt σ : t ∈ [a, b] 7−→ σ(t) = v ∈ [0, S(r)] ívhosszfüggvényét tekintve az Tegyük fel, hogy
a
σ0 = v. ˙ injektív, v = k˙rk pozitív I fölött, ezért σ szigorúan monoton növekv®, és Az r −1 következik, hogy létezik az inverze: σ : [0, S(r)] → [a, b]. −1 Legyen ˜ r := r ◦ σ az r görbével ekvivalens parametrizált görbe. Könnyen látható, hogy ˜ r természetes paraméterezés¶:
−1
−1 1 1
= r˙ (σ (t)) ˙ = k˜r(t)k = r (σ (t))
0 −1 σ (σ (t)) |σ 0 (σ −1 (t))| 1 = v(σ −1 (t)) =1, −1 v(σ (t))
integrandus folytonos, így
(felhasználva, hogy
Megjegyzés:
σ
(f −1 )0 =
dierenciálható:
1 f 0 (f −1 ) ).
Bár az állítás biztosítja, hogy egy görbe ívhossza paraméterül
szolgálhat, nem biztos, hogy ezt meg is tudjuk adni. Ennek oka az, hogy az ívhossz képletében szerepl® integrált nem mindig tudjuk kiszámítani.
Feladatok a 2. fejezethez: 25 = x2 + y 2 egyenlet¶ kör. Adjuk meg a kör egy paraméterezését! van-e az (4, 3) koordinátájú pont a görbén? Határozzuk meg az
1. Adott a Rajta
érint®egyenes egyenletét egy tetsz®leges körpontban!
(Megoldás: r(t) = (5 cos t, 5 sin t)) 2. Írjuk föl az (a)
r
görbe
r(t0 )-beli
érint®egyenesének egyenletrendszerét, ha
r(t) = (et cos t, et sin t, et ), t0 = 0 (Megoldás: x − 1 = y = z − 1) 3
(b)
(c)
√ r(t) = (3t , ln3t , t2 + 1), t0 = 12 √ √ √ 3 3 √ (Megoldás: x− = y−ln = 2 5z−5 ) ln3 2 3ln3 r(t) = (cos 4t, sin 4t, t), t0 = π8 (Megoldás: − x4 = z − π8 , y = 1)
3. Számítsuk ki az
r : I → Rn
görbe ívhosszát, ha
(a)
I = [0, 2], r(t) = (t2 , t√3 ) (Megoldás: S(r) = 8(10 2710−1) )
(b)
I = [1, 3], r(t) = (cos 2t, sin 2t, 3t) √ (Megoldás: S(r) = 2 13)
(c)
I = [1, 3], r(t) = (t, 2t, t2 )√ 3 41 (Megoldás: S(r) = − 2 √ R√ x2 + a2 dx =
1 2
√
+ 54 ln 6+5 41 , felhasználva, √ 2 2 2 x x + a + a ln(x + x2 + a2 ) + c ) 3 2
4. Vezessünk be természetes paraméterezést az
hogy
r(t) = (et cos t, et sin t, et )
görbénél! (Az ívhossz-függvényt olyan intervallumon adjuk meg, amelynek
0 a baloldali (Megoldás:
˜ r(t) =
√t 3
végpontja.)
+ 1 cos ln √t3 + 1 , √t3 + 1 sin ln √t3 + 1 ,
√t 3
+1 )
5. Adjuk meg általánosan egy hengeres csavarvonal paraméterezését, és érint®jét tetsz®leges pontban! Vezessük be az ívhosszt paraméternek!
(Megoldás: ha α > 0 a henger alapkörének sugara, β ∈ R pedig a csavarvonal emelkedése, akkor r(t) = (α cos t, α sin t, βt), a természetes paraméterezés¶ ) ekvivalens görbe: ˜r(t) = α cos √ 2t 2 , α sin √ 2t 2 , √ βt 2 2 α +β
3.
α +β
α +β
A kísér® háromél
3.1. De níció. Tekintsünk egy r : I → R3 bireguláris, parametrizált görbét. ˙ r(t) 1. A továbbiakban az kr(t)k egységnyi hosszúságú vektort t(t)-vel jelöljük, tet˙ sz®leges t paraméterre.
2. Bármely t ∈ I esetén az r(t) + L(˙r(t), ¨r(t)) lineáris sokaságot az r görbe r(t)-beli simulósíkjának nevezzük. 3. Az r(t) simulósíkjára mer®leges, egységnyi hosszúságú vektort az r görbe r(t)-beli binormális vektorának hívjuk, és b(t)-vel jelöljük. Megjegyzések: 1. A simulósík szemléletesen a következ®képpen is el®állítható: Legyen adott a de nícióbeli görbén egy és
P2
P0 = r(t0 )
pont, valamint ezen kívül két különböz®
P1
pont. Ez a három különböz® pont egyértelm¶en meghatároz egy síkot a
két tetsz®leges görbepont tart az r(t0 ) ponthoz, akkor határhelyzetben a három pont által felfeszített sík éppen az adott ponthoz tartozó simulósík. A si-
térben. Ha
P1 , P2 → P0 ,
azaz a
(mint vektorok tartanak egy vektorhoz ld. analízis)
mulósík tehát az a sík, amely a görbe ívét az adott pontban(!) a lehet® legjobban közelíti, azaz simul a görbéhez.
4
t ∈ I para˙ r(t)ר r(t) méterre b(t) = ˙ kr(t)ר r(t)k teljesül. 3. Egy parametrizált görbe biregularitása szemléletesen azt jelenti, hogy a si2. A binormális vektor de níciójából azonnal adódik, hogy bármely
mulósík de níciójában szerepl® altér kétdimenziós, így a sík nem fajul el.
3.2. Lemma. Megtartva az el®z® de níció jelöléseit, az r görbe r(t)-beli simulósíkjának egyenlete: (r2 )0 (t)(r3 )00 (t) − (r3 )0 (t)(r2 )00 (t) (x − r1 (t))+ (r3 )0 (t)(r1 )00 (t) − (r1 )0 (t)(r3 )00 (t) (x − r2 (t))+ (r1 )0 (t)(r2 )00 (t) − (r2 )0 (t)(r1 )00 (t) (x − r3 (t)) = 0
Bizonyítás.
Egyszer¶ számolással adódik az egyenlet:
szorzat a sík normálvektora,
r(t)
r˙ (t) × ¨r(t)
egy adott pontja.
vektoriális
3.3. De níció. Legyen egy r : I → R3 bireguláris, parametrizált görbe. Tetsz®leges t paraméter¶ (görbe)pontot véve, • az f (t) := b(t) × t(t) egységnyi hosszúságú vektort az r görbe r(t)-beli f®normális vektornak nevezzük. • Az f (t) és b(t) által felfeszített síkot az r görbe r(t) pontjához tartozó normálsíkjának, az t(t) és b(t) által felfeszített síkot az r görbe r(t) pontjához tartozó rekti káló síkjának hívjuk. • A (t(t), f (t), b(t)) vektorhármast az r görbe r(t)-beli kísér® hároméljének (vagy Frenet-féle hároméljének mondjuk. (A teljes r görbére vonatkozóan a (t, f , b) : t 7→ (t(t), f (t), b(t)) leképezés-hármast Frenet-féle háromélmez®nek is nevezzük.)
Megjegyzések: 1. Egy bázisa
t paraméter¶ R3 -nak, ezért
ponthoz tartozó Frenet-féle háromél pozitív ortonormált
t=f ×b ,
f =b×t , 5
b=t×f .
2. Az
f (t)
f®normális kifejezhet® a
t(t)
érint®-egységvektorral:
f (t) =
t˙ (t)
kt˙ (t)k
.
3. Mivel egy parametrizált egyenes gyorsulása elt¶nik (ld. 2.1 utáni megjegyzés 6. pontját), ezért az nem bireguláris, és így a Frenet-féle háromélmez®je is elfajul. 4. Paramétertranszformációval szemben a f®normális vektor invariáns, a Frenetféle háromél másik két tagja invariáns, illetve el®jelet vált aszerint, amint a paramétertranszformáció irányítástartó, illetve irányításváltó.
4.
Görbület és torzió
4.1. De níció. Legyen r : I → R3 parametrizált görbe. r görbületfüggvénye
t˙ (t) . κ(t) := v(t)
κ: I → R ,
Speciálisan, ha r természetes paraméterezés¶, akkor κ = k¨rk. 1.
Megjegyzések: A görbület szemléletesen: Tudjuk, hogy a parametrizált egyenes pontbeli érin-
t®vektorai egymással párhuzamosak, hosszuk megegyezik. Egy tetsz®leges görbét véve, az érint® irányváltozása az egyenest®l való eltérést, az irányváltozás sebessége (=érint®vektor hossza) pedig az eltérés mértékét jelzi. Látható, hogy a görbület éppen ezt a változást mutatja. 2. Síkgörbék esetén bevezethet® az ún.
el®jeles görbületfüggvény, amely megmu-
tatja, hogy a görbe egy adott pontjának egy környezetében a görbe a normális felé hajlik (ekkor az el®jeles görbületfüggvény pozitív), vagy elhajlik a normális vektortól (ebben az esetben az el®jeles görbületfüggvény negatív). Részletesen lásd az ajánlott irodalmak közül például: Rapcsák-Tamássy 9./5. vagy Szilasi I/6.9(c). 3. A görbület paramétertranszformációval szemben invariáns. 4. A f®normális vektor el®áll
f=
1 ˙ vκ t alakban is.
4.2. Állítás. Egy r : I → R3 parametrizált görbe esetén κ=
Bizonyítás.
Mivel
t(t) =
˙ r(t) ˙ kr(t)k
=
k˙r × ¨rk 3
k˙rk
.
˙ r(t) v(t) , ezért
r˙ (t) = v(t)t(t).
Ezt deriválva:
¨r(t) = v 0 (t)t(t) + v(t)t˙ (t) . A
r˙ (t) × ¨r(t)
vektoriális szorzatot továbbírva
r˙ (t) × ¨r(t) = v(t)t(t) × v 0 (t)t(t) + v(t)t˙ (t) = = (v(t)t(t) × v 0 (t)t(t)) + v(t)t(t) × v(t)t˙ (t) = 0 + v 2 (t) t(t) × t˙ (t) E vektor normájának négyzetét véve:
2
2 (∗∗) 4 2 2 2 (∗) k˙r(t) × ¨r(t)k = v 4 (t) kt(t)k t˙ (t) − t(t), t˙ (t) = v (t) t˙ (t) 2
2
k˙r(t) × ¨r(t)k = v 4 (t) (κ(t)v(t)) = v 6 (t)κ(t)2 =⇒ k˙r(t) × ¨r(t)k k˙r(t) × ¨r(t)k =⇒ κ(t) = =⇒ κ(t) = 3 3 v (t) k˙r(t)k
=⇒
6
=⇒
(A
(∗)-gal
jelölt lépésben a Lagrange-identitást használtuk fel, a
(∗∗)-ban
pe-
konstans normájú vektor-függvény esetén a képvektor és annak deriváltja egymásra mer®leges, így skaláris szorzatuk nulla.) dig azt, hogy
Megjegyzések: 1. Egy parametrizált görbe pontosan akkor bireguláris, ha görbületfüggvénye seholsem nulla. 2. Egy
r
gyorsulása el®áll
¨r = v 0 t + v 2 κf
alakban is.
4.3. De níció. Tekintsünk egy r : I → R3 bireguláris parametrizált görbét, valamint ennek egy r(t) pontját. Azt a kört, amely benne van a r(t)-hez tartozó 1 1 simulósíkban, középpontja r(t) + κ(t) f (t), sugara κ(t) , az adott görbe illet® pontbeli simulókörének nevezzük. Megjegyzések: 1. A simulókör el®állítása szemléletesen: Tekintsünk egy görbén 3 különböz® pontot. Ezek egyértelm¶en meghatároznak egy kört. Most két ponttal tartsunk a harmadik ponthoz, és határhelyzetben a simulókörhöz jutunk. (v.ö.: simulósík szemléletes el®állítása) 2. A simulókör de níciójából azonnal leolvasható, hogy egy görbeponthoz tartozó simulókör görbülete és a görbe adott pontbeli görbülete megegyezik. 3. A görbe összes pontjához tartozó simulókörök középpontjainak összessége szintén parametrizált görbe, amelyet a görbe evolutájának hívunk.
4.4. De níció. Tekintve egy r bireguláris parametrizált görbét, a görbe függvénye az a τ : I → R függvény, amelyet a
torzió-
b˙ = −vτ f
képlet jellemez. 1.
Megjegyzések: A torzió szemléletesen:
Egy síkgörbe binormálisai egymással párhuzamos
vektorok (hiszen egy síkgörbe minden pontjának összes simulósíkja egybeesik). A binormálisok irányváltozása a síkgörbét®l való eltérést, az irányváltozás sebessége pedig az eltérés mértékét jelenti. A torzió ezt a változást mutatja. 2. A torziófüggvény irányítástartó izometriával és tetsz®leges paramétertranszformációval szemben invariáns, irányításváltó izometria esetén el®jelet vált.
4.5. Állítás. Legyen r bireguláris, parametrizált görbe. Ekkor r 1. parametrizált egyenes ⇐⇒ κ = 0. 2. parametrizált síkgörbe ⇐⇒ τ = 0. 3. körvonal ⇐⇒ κ > 0 konstans függvény és τ = 0. 4. csavarvonal ⇐⇒ κ pozitív, τ nemzérus konstans függvény. Megjegyzés:
1 R. (Szemléletesen: minél nagyobb a kör sugara, annál kevésbé hajlik el az egyeTetsz®leges
R
sugarú kör görbülete minden pontjában
nest®l a kör mint görbe.)
7
5.
Frenet-egyenletek. A görbeelmélet alaptétele
5.1. Tétel (Frenet-egyenletek). Tekintsünk egy r : I → R3 bireguláris parametrizált görbét. Ekkor t˙ = vκf f˙ = −vκt + vτ b b˙ = −vτ f
Speciálisan természetes paraméterezés esetén: t˙ = κf f˙ = −κt + τ b b˙ = −τ f
5.2. Állítás. Ha r bireguláris parametrizált görbe, akkor τ torziójára teljesül:
r˙ ¨r . = 2 det ... k˙r × ¨rk r
...
τ=
h˙r × ¨r, r i
1
2
k˙r × ¨rk
Természetes paraméterezés esetén ...
τ=
h˙r × ¨r, r i 2
k¨rk
r˙ 1 = 2 det ¨r . ... κ r
5.3. Tétel (A görbeelmélet alaptétele). 1.
2.
Tegyük föl, hogy r : I → R3 és ˜r : I → R3 bireguláris parametrizált görbe, amelyeknek görbület- és torziófüggvénye megegyezik. Ekkor létezik olyan irányítástartó izometria, amely a görbék egyikét a másikba viszi át, következésképpen a görbület- és a torziófüggvény irányítástartó izometriától eltekintve egyértelm¶en meghatározza az R3 -beli parametrizált görbéket.
Unicitás-tétel.
Tetsz®legesen adott κ : I → R3 pozitív érték¶, differenciálható és τ : I → R3 dierenciálható függvényhez létezik olyan r : I → R3 természetes paraméterezés¶ (szükségképpen bireguláris) parametrizált görbe, amelynek görbület- és torziófüggvénye a megadott κ, illetve τ függvény. Egzisztencia-tétel.
Megjegyzés:
A fenti tételek és állítások bizonyításait lásd irodalomjegyzék-
beli könyvek.
Feladatok a 3., 4. és 5. fejezetekhez: 1. Határozzuk meg a
r(t0 )-beli
Frenet-féle háromél élegyeneseinek egyenlet-
rendszerét és síkjainak egyenletét, ha
8
(a)
(b)
(c)
r(t) := 12 t2 , − 32 (t + 1)3 , − 12 t4 , t0 := 1 (Megoldás: érint® egyenes: x − 12 = 3y+16 = 2z+1 , normálsík: 6x − 48y − 12z = 265, −24 −4 2x−1 binormális egyenes: 16 = y + 16 , z = − 12 , simulósík: 24x + 3y = −4, 3 3y+16 2x−1 f®normális egyenes: 4 = −48 = 2z+1 , rekti káló sík: 12x − 96y + 130 390z = −323) r(t) := t, t2 , t3 , t0 := 0 (Megoldás: érint® egyenes: x = tetsz., y = z = 0, normálsík: x = 0, binormális egyenes: z = tetsz., x = y = 0, simulósík: z = 0, f®normális egyenes: y = tetsz., x = z = 0, rekti káló sík: y = 0) r(t) := et − t, e2t , −(2 + e−t ) , t0 := 0 = z + 3, normálsík: 2y + z = −1, (Megoldás: érint® egyenes: x = 1, y−1 2 z+3 = 1 − y = , simulósík: 6x − y + 2z = −1, binormális egyenes: x−1 6 2 y−1 z+3 f®normális egyenes: x−1 = = , rekti káló sík: 5x + 6y − 12z = 47) 5 6 −12
2. Igazoljuk, hogy tetsz®leges parametrizált egyenes görbülete valóban elt¶nik! 3. Mutassuk meg, hogy egy
R
sugarú kör görbülete a konstans
1 R függvény!
4. Lássuk be, hogy egy hengeres csavarvonal konstans görbület¶ és konstans torziójú!
(Megoldás: κ(t) =
α α2 +β 2
, τ (t) =
β α2 +β 2
)
5. Számítsuk ki az alábbi görbék adott pontbeli görbületét, ha (a)
r(t) = (3t2 − 2t, t3 , 1√ − t), p = (8, 8, −1) 6 69 √ ) (Megoldás: κ(2) = 1715 5
(b)
r(t) = (3t2 , 2t + 3, 3t3 ), p = (3, 1, −3) 6 (Megoldás: κ(−1) = 121 )
(c)
r(t) = (t3 − 2t2 , 3t √ + 2, t2 − 5), t0 = 1 3 42 (Megoldás: κ(1) = 98 ) r(t) = t cos t, t sin t, sin12 t , t0 = π2
(d)
(Megoldás: κ( π2 ) =
√
2
π 4 +32π 2 +128
√
(π 2 +4)
π 2 +4
)
6. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi görbék síkgörbék: (a)
r(t) = (2 cos t, 2 sin t, cos t)
(b)
r(t) = 2t2 + 3t − 1, t2 + 2t, −3t2 + 4
(c)
r(t) = (et cos t, et sin t, et (cos t + sin t))
7. Legyen
r(t)
bireguláris parametrizált görbe, melynek torziója seholsem
˙ b(t) szögét! (Megoldás: Frenet-egyenletek segítségével: α(t) = 0, ha τ (t) < 0, és α(t) = π , ha τ (t) > 0) t¶nik el. Határozzuk meg általánosan a
8. Határozzuk meg a (a)
t˙ (t0 ), f˙ (t0 )
és
˙ 0) b(t
t˙ (t)
és
vektorokat, ha
r(t) := (2t − sin 2t, cos 2t, 4 sint), t0 := π4 √ √ √ √ π (Megoldás: t˙ 4 = 1, 0, − 22 , f˙ π4 = − 96 , 4 6 6 , − 2 9 3 , b˙ √ − 5 9 3 , 0,
√ 5 6 18
) 9
π 4
=
(b)
r(t) :=
t2 2t3 t4 2, 3 , 4
,
t0 := 1
√ (Megoldás: t˙ (1) = − 66 , 0, √ √ 3 , 0, − 33 ) 3 (c)
√
6 6
, f˙ (1) =
√ √ 2 , − 2 3 2 , 62 6
√
˙ , b(1) =
r(t) := 3t2 − 2t, t3 ,1 − t , t0 := 0 √ √ √ √ √ ˙ (Megoldás: t˙ (0) = 6255 , 0, − 1225 5 , f˙ (0) = 1225 5 , 5, 6255 , b(0) = (1, 0, −2))
9. Adja meg az alábbi görbék adott pontjaiban a simulókör középpontját és sugarát! (a)
(b)
6.
r(t) = (3t2 + 2t − 1, 4t3 + t + 2,2t − 4), t√0 = 0 (Megoldás: középpont: 21 , 75 , − 26 , sugár: 9105 ) 5 r(t) = 1t , t2 , 2 + t2 t0 = 1 √ , sugár: 9 4 2 ) (Megoldás: középpont: 4, 47 , 15 4
Kiegészítés: Alapvet® ismeretek a görbékhez
A görbe megadási módjai: Példaképpen vegyük a síkon az origó középpontú, egységsugarú kört.
•
Implicit alak: g(x, y) = 0 a kör esetén:
•
; .
Paraméteres alak: r(t) = (a(t), b(t)) ; a kör esetén:
•
x2 + y 2 = 0
r(t) = (cos t, sin t)
Explicit alak: y = f√(x) a kör esetén:
vagy
x = cos t y = sin t
.
;
y = ± 1 − x2
.
Átjárhatóság a különböz® típusú egyenletek között: •
Implicit alakból paraméteres alak:
Amennyiben egy
g(x, y) = 0
egyen-
letb®l szeretnénk paraméteres egyenletrendszert el®állítani, úgy célszer¶ az implicit egyenletb®l explicit egyenletet létrehozni, és el®áll egy
(t, f (t))
√ y = ± 1√− x2 , innen r(t) = (t, ± 1 − t2 ) .
Példa: A kör explicit egyenlete el®álló paraméteres megadás:
•
r(t) =
alakú paraméteres alak.
Paraméteres alakból implicit alak:
az implicit alakból
r(t) = (a(t), b(t)) görbe x := a(t), és így t = a−1 (x). A má−1 sodik koordinátába ezt a t-t behelyettesítve b(t) = b a (x) -et kapunk, −1 (x) . ebb®l pedig: y = b a Példa: Kiindulva a kör r(t) = (cos t, sin t) megadásából, x = a(t) = cos t, a−1 (x) = arccos x. Ennek segítségével: y = sin (arccos x). Azonnal látható, Ha adott egy
(paraméteres alakban), akkor legyen
hogy ez valóban az általunk ismert kanonikus egyenlete a körnek, ugyanis:
y = sin (arccos x) =
p √ 1 − cos2 (arccos x) = 1 − x2 10
⇒
x2 + y 2 = 1
.
Hogyan írhatunk fel egy tetsz®leges térgörbét, és hogyan állapíthatjuk meg, hogy egy pont rajta van-e a görbén? Egy parametrizált görbének legalább háromszor folytonosan dierenciálhatónak kell lennie egy adott
I
intervallumon. Ezért ha komponensfüggvényeknek is
ilyen tulajdonságú függvényeket választunk, akkor parametrizált görbét adtunk meg. Például:
r(t) = (t3 , cos t, et )
(bireguláris) parametrizált görbét ad (egy
megfelel®en választott intervallumon), de az
r(t) = (cos π, 5[t + 3], et )
(ahol
[·]
az egészrész-függvény) nem parametrizált görbe.
P = (p1 , p2 , p3 ) pont rajta van az r(t) = (a(t), b(t), c(t)) görbén, ha az p = a(t), p2 = b(t), p3 = c(t) egyenletekb®l álló egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van (a kapott t az adott P ponthoz tartozó paraméter). Az el®bbi 3 t görbe esetén a P (0, 1, 1) pont görbepont, mivel a 0 = t , 1 = cos t és 1 = e egyenletrendszernek egyetlen közös megoldása a t = 0.
Egy
1
11
