Grafická prezentace a numerické modelování geochemických dat
Modelování petrogeneze vyvřelých hornin
Vybrané citace: ALBARÈDE F. 1995. Introduction to the Geochemical Modeling.– Cambridge University Press, pp. 1–543. BRYAN W.B., FINGER L.W. & CHAYES F. 1969. Estimating proportions in petrographic mixing equations by least-squares approximation.– Science 163: 926–927. CASTRO A., DE LA ROSA J.D. & STEPHENS W.E. 1990. Magma mixing in the subvolcanic environment: petrology of the Gerena interaction zone near Seville, Spain.– Contrib. Mineral. Petrol. 105: 9–26. COX K.G., BELL J.D. & PANKHURST R.J. 1979. The Interpretation of Igneous Rocks.– George Allen & Unwin, pp 1–450. EVANS O.C. & HANSON, G.N., 1993. Accessory-mineral fractionation of rare-earth element (REE) abundances in granitoid rocks.– Chem. Geol. 110: 69–93. FAURE G. 1986. Principles of Isotope Geology.– J. Wiley & Sons, Chichester, pp. 1–589. FOURCADE S. & ALLÈGRE C.J. 1981. Trace elements behavior in granite genesis: a case study. The calc-alkaline plutonic association from the Quérigut Complex (Pyrénées, France).– Contrib. Mineral. Petrol. 76: 177–195. GROMET L.P. & SILVER L.T. 1983. Rare earth element distribution among minerals in a granodiorite and their petrogenetic implications.– Geochim. Cosmochim. Acta 47: 925–939. HANSON G.N. 1978. The application of trace elements to the petrogenesis of igneous rocks of granitic composition.– Earth Planet. Sci. Lett. 38: 26–43. HANSON G.N. 1980. Rare earth elements in petrogenetic studies of igneous systems.– Ann. Rev. Earth Planet. Sci. 8: 371–406. JANOUŠEK V., BOWES D.R., ROGERS G., FARROW C.M. & JELÍNEK E. 2000A. Modelling diverse processes in the petrogenesis of a composite batholith: the Central Bohemian Pluton, Central European Hercynides. J. Petrol. 41: 511–543. JANOUŠEK V., BOWES D.R., BRAITHWAITE C.J.R. & ROGERS G. 2000B. Microstructural and mineralogical evidence for limited involvement of magma mixing in the petrogenesis of a Hercynian high-K calc-alkaline intrusion: the Kozárovice granodiorite, Central Bohemian Pluton, Czech Republic.– Trans. Royal Soc. Edinburgh: Earth Sci. in print. ROLLINSON H.R. 1993. Using geochemical data: Evaluation, presentation, interpretation.– Longman, pp 1–352. SAWKA W.N. 1988. REE and trace element variations in accessory minerals and hornblende from the strongly zoned McMurry Meadows Pluton, California.– Trans. Royal Soc. Edinburgh: Earth Sci. 79: 157–168. WALL V.J., CLEMENS J.D., CLARKE D.B. 1987. Models for granitoid evolution and source compositions. J. Geol 95: 731-749 WILSON M. 1989. Igneous Petrogenesis.– Unwin Hyman, pp 1–466.
4/2 7.1 Frakční krystalizace 7.1.1
Přímé modelování na hlavních prvcích
Frakční krystalizace způsobuje silné lineární korelace v binárních diagramech oxidů hlavních prvků. Pro kyselé vyvřelé horniny se jako index frakcionace používá SiO2 (tzv. Harkerovy diagramy); pro bazické horniny je vhodnější MgO nebo mg#. Tyto lineární trendy jsou však podobné jiným petrogenetickým procesům (např. parciálnímu tavení, binárnímu míšení apod. – Wall et al. 1989). Teprve až změny v krystalizujících minerálech nebo jejich proporcích mohou způsobit inflexe, sloužící jako důkaz frakční krystalizace (Obr. 7.1). apatite in
plagioclase in olivine - cpx
Al2O3
P2O5
MgO plagioclase in
% SiO2
% SiO2
Obr. 7.1
% SiO2
Harkerovy diagramy pro suitu kogenetických vulkanických hornin spjatých frakční krystalizací olivínu, klinopyroxenu, plagioklasu a apatitu (Wilson, 1989)
Grafické modelování procesu frakční krystalizace v Harkerových diagramech ukazuje Obr. 7.2 (Cox et al. 1979). Vynesena jsou složení mateřského magmatu (PM = primary melt) a krystalizujících fází (E = extract); diferencované magma (DM = differentiated melt) se pak vyvíjí podle naznačené přímky. Stupeň frakční krystalizace je dán pákovým pravidlem (Wilson 1989):
f fc =
i i c PM − c FM i i ccum − c FM
Ú
DM
PM parent magma E
R
PM
P Õ E
DM PM
% oxide A
% oxide A
differentiatedDM magma
% oxide A
(7.1)
ÕP
E
extract Q Ý
% SiO2
% SiO2
S Ô
Q
Ý
% SiO2
Obr. 7.2. Grafická reprezentace efektů frakční krystalizace jednoho, dvou a tří minerálů (podle Coxe et al., 1979)
Pro koncentraci prvku i platí: i i i c PM = ccum f fc + c FM (1 − f fc )
(7.2)
4/3 kde ffc = stupeň frakční krystalizace, PM = primitivní (nediferencované) magma, cum = kumulát, FM = frakcionované magma. Koncentrace prvku i v kumulátu je sumou jeho koncentrací v jednotlivých minerálech (ck) násobená jejich modálním zastoupením (fk): i ccum = ∑ c ki f ki
(7.3)
k
[Albarède (1995 - str. 5)] Soubor MaunaLoa.data obsahuje složení bazaltického magmatu z Havaje a olivínu (fo88), který z něj krystalizoval. spočtěte složení bazaltu po frakcionaci 5, 10 a 15 % olivínu. Cvičení 7.1
•
Z rovnice 7.2 vyplývá: i c PM − coli f ol i c FM = (1 − f ol ) Kde: PM = primární magma (bazalt), ol = olivín, FM = neznámý chemismus diferencované taveniny > > > > > > > > > > >
Tab 7.1. Složení havajského bazaltu a jeho olivínu
x<-read.table("MaunaLoa.data",sep="\t") x<-as.matrix(x) min<-x[,2] # složení olivínu WR<-x[,1] # složení magmatu f<-c(0.05,0.1,0.15) # stupeň krystalizace for (i in 1:length(f)){ y<-(WR-min*f[i])/(1-f[i]) x<-cbind(x,y) } colnames(x)<-c("WR","ol",f) print(round(x,2))
SiO2 TiO2 Al2O3 FeO MgO CaO Na2O
WR 51.63 1.94 13.12 10.80 8.53 9.97 2.21
ol 39.90 0.00 0.00 11.70 47.80 0.28 0.00
0.05 52.25 2.04 13.81 10.75 6.46 10.48 2.33
0.1 52.93 2.16 14.58 10.70 4.17 11.05 2.46
bazalt SiO2 TiO2 Al2O3 FeO MgO CaO Na2O
olivín
51.63 1.94 13.12 10.8 8.53 9.97 2.21
39.9 0 0 11.7 47.8 0.28 0
0.15 53.70 2.28 15.44 10.64 1.60 11.68 2.60
[Albarède (1995 - str. 8)] Soubor basalt.data obsahuje složení typického MORB bazaltu a některých jeho minerálů. spočtěte složení zbytkové taveniny po 20 % frakční krystalizaci kumulátu obsahujícího 20 % olivínu, 30 % diopsidu a 50 % anortitu. Jaké je složení kumulátu? Cvičení 7.2
• •
Tab 7.2. Složení typického bazaltu typu MORB a jeho horninotvorných minerálů
SiO2 Al2O3 FeO MgO CaO Na2O
bazalt
olivín
49.79 16.95 8.52 8.59 12.17 2.61
40.01 0 14.35 45.64 0 0
diopsid
anortit
54.69 0 3.27 16.51 25.52 0
48.07 33.37 0 0 16.31 2.25
4/4 > > > > > > > > > > >
x<-read.table("basalt.data",sep="\t") x<-as.matrix(x) WR<-x[,1] # složení primární taveniny mins<-x[,2:ncol(x)] # složení krystalizujících minerálů f<-c(0.2,0.3,0.5) # jejich proporce v kumulátu fc<-0.2 # stupeň frakční krystalizace ccum<-mins%*%f; # složení kumulátu crl<-(WR-ccum*fc)/(1-fc) # složení diferenciovaného magmatu x<-cbind(x,ccum,crl) colnames(x)<-c("bazalt",colnames(mins),"kumulát","dif.magma") print(round(x,2))
bazalt olivín SiO2 49.79 40.01 Al2O3 16.95 0.00 FeO 8.52 14.35 MgO 8.59 45.64 CaO 12.17 0.00 Na2O 2.61 0.00
7.1.2
diopsid 54.69 0.00 3.27 16.51 25.52 0.00
anortit 48.07 33.37 0.00 0.00 16.31 2.25
kumulát dif.magma 48.44 50.13 16.68 17.02 3.85 9.69 14.08 7.22 15.81 11.26 1.12 2.98
Inverzní modelování na hlavních prvcích – metoda nejmenších čtverců
Jak bylo ukázáno v předchozí kapitole, pří modelování frakční krystalizace lze považovat složení původního magmatu v zásadě za směs diferencované taveniny a vykrystalizovaných minerálů (kumulátu) (rov. 7.2). Vytvořme matici A v které první sloupec bude obsahovat složení diferencované taveniny a v sloupcích dalších bude uloženo složení jednotlivých minerálů. Vektor x bude obsahovat, jako svůj první prvek, frakci zbývající taveniny (tj. 1 – stupeň frakční krystalizace), následovanou relativními proporcemi krystalizujících minerálů v kumulátu (přepočtenými na sumu 1). Potom může být hmotová balance zapsaná ve formě (Bryan et al. 1969)
y = Ax
(7.4)
a řešena metodou nejmenších čtverců. Albarède (1995) diskutuje v detailu nezbytný matematický aparát, vedoucí k tomuto řešení. Pro nás je rozhodující, že v R je metoda nejmenších čtverců implementována pomocí funkce: lsfit (A, y, intercept = FALSE1)
Výstupem je seznam, jehož nejzajímavější komponentou je $coefficients, odpovídající vektoru x definovanému výše. Komponenta $residuals obsahuje odchylky mezi spočteným složením původní taveniny a skutečností. Suma čtverců těchto reziduí R2 je užitečným parametrem kvantifikujícím úspěšnost modelu. I když hodnota tohoto parametru klesá s počtem komponent, v zásadě by neměla výrazně převýšit 1. [inverze Cvičení 7.2] Soubor basalt2.data obsahuje výsledky z předchozího cvičení – složení mateřského MORB bazaltu, frakcionované taveniny a krystalizujících minerálů. Ukážeme si na něm jednoduché použití metody nejmenších čtverců pro inverzní modelování frakční krystalizace. Cvičení 7.3
1
Poznámka: parameter intercept musí být nastaven na FALSE aby řešení procházelo počátkem
4/5 Tab 7.3. Složení typického bazaltu typu MORB a jeho horninotvorných minerálů bazalt SiO2 Al2O3 FeO MgO CaO Na2O
•
DM
49.79 16.95 8.52 8.59 12.17 2.61
50.13 17.02 9.69 7.22 11.26 2.98
olivín 40.01 0 14.35 45.64 0 0
diopsid 54.69 0 3.27 16.51 25.52 0
anortit 48.07 33.37 0 0 16.31 2.25
spočtěte stupeň frakční krystalizace a pravděpodobné proporce krystalizujících minerálů, je-li dáno jejich složení, jakož i složení mateřského a frakcionovaného magmatu
Použijeme funkce lsfit(A,y,intercept=FALSE), kde matice A bude obsahovat složení frakcionované horniny a krystalizujících minerálů a y bude vektor složení iniciální taveniny, na kterou lze nahlížet jako na jejich směs. Pokud přiřadíme výsledek řekněme proměnné ee, koeficienty regrese vyvoláme pomocí ee$coeff. > > > > > > > > > >
x<-read.table("basalt2.data",sep="\t") x<-data.matrix(x) A<-x[,-1] y<-x[,1] # složení původního magmatu ee<-lsfit(A,y,intercept=FALSE) fc<-1-ee$coeff[1] # stupeň frakční krystalizace f<-ee$coeff[-1] # pokud jsou tyto normalizovány na 100% f<-f/sum(f) # dostáváme minerální proporce cat(round(100*fc,3),"% fc ","\n") print(f*100,4)
20.003 % fc olivine diopside 19.97 30.05
>
anorthite 49.98
cat("\nRsquared: ",sum(ee$residuals^2),"\n")
Rsquared: 8.11834e-32
Pokud chceme zkontrolovat řešení, můžeme spočíst kumulát analogicky ke cvičení 7.2: > > > > > >
mins<-x[,-(1:2)] parent<-x[,1] cum<-mins%*%f estimated<-(parent-fc*cum)/(1-fc) print(round(estimated,2)) # složení taveniny pro spočtený stupeň fc a proporce kryst. minerálů SiO2 Al2O3 FeO MgO CaO Na2O
[,1] 50.13 17.02 9.69 7.22 11.26 2.98
4/6 7.1.3
Přímé modelování na stopových prvcích
Koncentrace stopového prvku během frakční krystalizace se řídí Rayleighovou rovnicí cL = F ( D −1) c0
Kde: c0 = cL = F= D=
(7.5)
složení mateřského magmatu koncentrace stopového prvku ve frakcionující tavenině frakce zbývající taveniny (1→0); (1–F) je stupeň frakční krystalizace celkový distribuční koeficient pro krystalizující minerály: D=
∑ Kdi X i
(7.6)
i
Složení právě krystalizující fáze: csi = DcL = Dc0 F ( D −1)
(7.7)
Celkové složení kumulátu: cs = c0
1− F D 1− F
(7.8)
Frakční krystalizace rychle ochuzuje kompatibilní prvky v tavenině (Obr. 7.3). Maximální možný stupeň frakční krystalizace lze odhadnout pomocí silně nekompatibilního prvku (D → 0), pro který se Rayleighova rovnice [7.5] změní na: cL 1 → c0 F Cvičení 7.4
(7.9)
Datový soubor basalt3.data (Tab. 7.4) obsahuje koncentrace stopových prvků v bazaltu a distribuční koeficienty pro jednotlivé minerální fáze (Albarède 1995 — p. 494)
Tab 7.4. Koncentrace stopových prvků v bazaltu a distribuční koeficienty pro jeho hlavní minerální fáze
Ni Sr Yb Rb
basalt
ol
150 100 3 10
15 0 0.05 0
cpx 1 0.1 0.35 0
plg 0 2.0 0.25 0
• Spočtěte složení taveniny po 20% frakční krystalizace 30 % olivínu, 20 % diopsidu a 50 % plagioklasu • Jaké bylo složení právě krystalizující pevné fáze a průměrné složení kumulátu?
> > > > >
x<-read.table("basalt3.data",sep="\t") x<-data.matrix(x) c0<-x[,1] # složení původní taveniny Kd<-x[,-1] # tabulka distribučních koeficientů f<-c(0.3,0.2,0.5) # minerální proporce v kumulátu
4/7 F<-0.8 # frakce taveniny zbývající v systému D<-Kd%*%f # distribuční koeficienty cL<-c0*F^(D-1) # složení taveniny cS<-D*cL # okamžité složení pevné fáze cSavg<-c0*(1-F^D)/(1-F) # průměrné složení kumulátu result<-cbind(c0,D,cL,cS,cSavg) colnames(result)<-c("c0","D","cL","cS","cSavg") print(round(result,1))
c0 D cL cS cSavg Ni 150 4.7 65.7 308.8 487.2 Sr 100 1.0 99.6 101.5 101.8 Yb 3 0.2 3.6 0.8 0.7 Rb 10 0.0 12.5 0.0 0.0
100
Cvičení 7.5
10
cL c0
• vyneste graf závislosti složení taveniny log(cL/c0) na stupni frakční krystalizace pro různé distribuční koeficienty (D = 0.01, 0.1, 1, 2, 5, 10) [rovnice 7.5].
0.01 0.1 1
1.0
2
> > > > > >
F<-seq(1,0,by=-0.05);D<-1 plot(F,F^(D-1),xlab="F",ylab= expression(c[L]/c[0]),type="l", ylim=c(0.1,10),log="y") D<-c(0.01,0.1,2,5,10) for (i in 1:length(D)){ points(F, F^(D[i]-1),type="l") }
7.1.4
Reverzní modelování na stopových prvcích
D=
5
10
> > > > > > > >
0.1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
F Obr. 7.3. Závislost složení taveniny na frakci zbývající taveniny (F) a distribučních koeficientech (D) v průběhu frakční krystalizace. šedivá oblast je“zakázaná zóna ” vymezená maximálním možným nebohacením pro dokonale nekompatibilní prvek (D = 0; viz rovnice. 7.9)
Pro identifikaci možných krystalizujících fází slouží log–log diagramy koncentrací kompatibilních stopových prvků (např. Obr. 7.4), ve kterých se původně exponenciální trendy popsané Rayleighovou rovnicí změní na lineární: log( c L ) = log( c0 ) + ( D − 1) log( F )
Pro granitoidy se běžně používají LILE (Rb, Sr, Ba), které vstupují do hlavních horninotvorných minerálů a jejichž distribuční koeficienty (Kd) jsou poměrně dobře známé (Hanson, 1978; Tab. 7.5).
(7.10)
Tab 7.5. Typické distribuční koeficienty minerál/tavenina pro Rb, Sr a Ba běžných horninotvorných minerálů dacitických a ryolitických tavenin (Hanson 1978) Mineral garnet hypersthene clinopyroxene amphibole biotite K-feldspar plagioclase
Rb 0.0085 0.0027 0.032 0.014 3.26 0.659 0.041
Sr 0.015 0.0085 0.516 0.22 0.12 3.87 4.4
Ba 0.017 0.0029 0.131 0.044 6.36 6.12 0.31
4/8 O něco problematičtější je použití REE (např. Hanson, 1980), protože jejich distribuce je do značné míry kontrolována krystalizací akcesorických minerálů (Gromet & Silver 1983; Sawka 1988; Evans & Hanson 1993). Například zirkon má vysoké Kd pro HREE, allanit pro LREE, zatímco titanit a apatit preferují střední REE (Obr. 7.5). Z hlavních horninotvorných minerálů živce mají nízké Kd pro všechny REE s výjímkou Eu. Velikost této Eu anomálie v plagioklasu klesá s rostoucí fO2 a teplotou (Hanson 1980). Klinopyroxen preferuje střední a těžké REE; podobné vzory — i když při podstatně vyšších obsazích — má i amfibol. Naproti tomu biotit je charakterizován nízkými obsahy všech REE (Obr. 7.5).
1000 bi
10
hb
10
plg Kf
10
10
10 20
tná n Bla rusio t in 30
B 20
A vice o zár ion o K rus t in 30
10
40
50
A: 42% hb + 32% plg + 12% KF + 13% bi B: 26% hb + 47% plg + 27% bi 100 500
2000
1000
Ba (ppm) Obr. 7.4
Ba– Sr diagram pro kozárovickou (kosočtverce) a blatenskou (čtverečky) intruzi středočeského plutonu. Zobrazeny jsou vektory ukazující efekty 10% frakční krystalizace hlavních horninotvorných minerálů, kromě toho je modelována až 60% frakcionace amfibolu, plagioklasu, biotitu ± K-živce (A, B) (Janoušek et al. 2000a)
400 ZIRCON
100 4 50
GARNET
10
HORNBLENDE
CLINOPYROXENE 1
1
MINERAL/MATRIX
MINERAL/MATRIX
APATITE
ANORTHOCLASE
0.1
PLAGIOCLASE
HYPERSTHENE BIOTITE 0.01
0.1
K-FELDSPAR
0.05 Ce
Nd
Sm Eu Gd
Dy
Er
Yb
Ce
Nd
Sm Eu Gd
Dy
Er
Yb
Obr. 7.5 Distribuční koeficienty minerál/tavenina pro REE v dacitech a ryolitech (Hanson 1980)
4/9 7.2 Binární míšení Předpokládejme směs dvou komponent, A, B. Pokud frakce komponenty A označíme f:
f =
A A+ B
(7.11)
koncentrace prvku ve směsi M bude:
c M = c A f + c B (1 − f ) = f (c A − c B ) + c B
(7.12)
pro dva prvky, X a Y (Faure 1986):
YM = X M
Y X − YA X B (YA − YB ) + B A (XA − XB) XA − XB
(7.13)
což je rovnice přímky v diagramu X–Y.
Rovnice [7.13] je rovnicí přímky v diagramu cA–cB vs. cM–cB se sklonem odpovídajícím frakci komponenty A. To je princip mixing testu podle Fourcade & Allègre (1981) a Castro et al. (1990) (Obr. 7.6a).
20
a Si
10
cM-cB
7.2.1 Test míšení na hlavních prvcích
7.2.2 Test míšení na hlavních prvcích
3+ Fe2+ Fe
Ca
Mg
cA-cB -10 -10
3
2
Obr. 7.6 Testy míšení pro kozárovický kvarcmonzonit, středočeský pluton (Janoušek et al. 2000). a. test založený na hlavních prvcích (Fourcade & Allègre 1981). ca, cb a cM odpovídají hm. % oxidů v kyselém a bazickém koncovém členu (kozárovický granodiorit a monzonit) a předpokládaném hybridu. b. test stopových prvků (Castro et al., 1990) srovnávající skutečné koncentrace předpokládaného hybridu s teoretickým složením spočteným za předpokladu, že tento obsahuje 68 % granodioritové komponenty A (čárkovaně).
Mn
0
10
HYBRID/ BASIC
Castro et al. (1990) použili proporcí kyselého a bazického koncového členu pro výpočet teoretického složení stopových prvků v předpokládané hybridní hornině. Tyto teoretické koncentrace pak porovnávali se skutečnými daty (Obr. 7.6b).
Na K Al
Ti
0
20
b
1
0
Ba Rb Sr Zr Hf La Ce Y
Ni Co Cr
4/10 V souboru koza.data je uloženo složení tří horninových typů ze širšího okolí Kozárovic ve středočeském plutonu: kozárovického granodioritu, lučkovického monzonitu–monzogabra a kvarcmonzonitu, o kterém se lze na základě vztahů v terénu, mikrostrukturního studia, zonality minerálů a geochemických důkazů domnívat, že je jejich směsí (Janoušek et al. 2000b) Cvičení 7.6
B: lučkovické monzogabro
59.58 0.72 14.8 4.08 1.69 0.14 4.11 5.33 2.84 4.19
49.21 1.02 13.69 6.96 2.47 0.15 8.53 9.74 1.89 3.61
10
64.60 0.57 14.99 2.79 1.27 0.08 2.37 3.44 3.12 4.34
5
x<-read.table("koza.data",sep="\t") x<-as.matrix(x) mix1<-x[,1]-x[,3] mix2<-x[,2]-x[,3] plot(mix1,mix2,xlim=c(-10,15), ylim=c(-5,10),pch=1,bg="black", xlab=expression(c[a]-c[b]), ylab=expression(c[h]-c[b]))
M: kvarcmonzonit
Al2O3 Na2O K2O MnO TiO2 Fe2O3
0
> > > > >
A: kozárovický granodiorit
ch − cb
• otestujte na hlavních prvcích, zda skutečně mohl SiO2 kvarcmonzonit vzniknout TiO2 míšením kozárovického Al2O3 granodioritu s lučkovickým FeO monzogabrem Fe2O3 MnO • určete podíl granodioritu ve MgO směsi CaO • za předpokladu, že Na2O granodiorit obsahuje 1154 K2O ppm a monzogabro 2329 ppm Ba, spočtěte očekávaný obsah tohoto prvku v kvarcmonzonitu
FeO
> > > > >
abline(h=0);abline(v=0) text(mix1,mix2+0.5,rownames(x), cex=0.5) lq
>
print(lq$coeff) X 0.6841038 >
lq$coeff*1154+(1-lq$coeff)*2329 X 1525.178
-5
MgO CaO
-10
-5
0
5
10
ca − cb
Obr. 7.7
Test míšení na hlavních prvcích pro kolárovický kvarcmonzonit (cvičení 7.6)
15
4/11 7.2.3
Radiogenní izotopy (podle Faurea, 1986)
a. Jeden izotopický poměr Rovnice pro míšení dvou koncových členů o izotopickém složení IA, IB je:
⎛c f I M = I A ⎜⎜ A ⎝ cM
⎞ ⎛ c (1 − f ) ⎞ ⎟⎟ + I B ⎜⎜ B ⎟⎟ ⎠ ⎝ cM ⎠
(7.14)
Rovnice [7.12] a [7.14] mohou být zkombinovány do:
IM =
c A c B (I B − I A ) c A I A − c B I B + c M (c A − c B ) c A − cB
(7.15)
což je rovnice hyperboly v diagramu c–I (např. Sr–87Sr/86Sr). Při modelování hybridizace za použití izotopických dat se častěji používají diagramy 1/Sr–(87Sr/86Sr), v nichž se hyperbola míšení mění na přímku. Pokud padnou v tomto diagramu data pro suitu kogenetických vyvřelých hornin na přímku s nenulovým sklonem, ukazuje to na operaci nějakého procesu v otevřeném systému, jako míšení magmat nebo asimilaci okolních hornin. Naproti tomu frakční krystalizace v uzavřeném systému nemá na izotopické složení vliv a suita kogenetických hornin spjatých tímto procesem se vyvíjí podle horizontálního trendu. Parametr f můžeme spočítat podle rovnice:
f =
Cvičení 7.7
c B (I B − I M ) I M (c A − c B ) − I A c A + I B c B
(7.16)
[Albarède (1995 - str. 5)] Bazalt je při výstupu kontaminován rulou. Jejich složení je uvedeno v Tab. 7.7.
• vyneste teoretickou hyperbolu míšení mezi bazaltem a rulou v souřadnicích Sr–87Sr/86Sr a 1/Sr– 87 Sr/86Sr
• spočtěte 87Sr/86Sr poměr ve směsi, která obsahuje 50 % ruly • určete podíl ruly ve směsi, která má 87Sr/86Sr = 0.710 > > > > > > > > >
> >
ca<-100;ia<-0.712 Table 7.6. cb<-400;ib<-0.704 A: rula B: bazalt f<-seq(0,1,by=0.05) cm<-ca*f+(1-f)*cb Sr 100 ppm 400 ppm names(cm)<-f 87 86 Sr/ Sr 0.712 0.704 im<-ia*ca*f/cm+ib*cb*(1-f)/cm names(im)<-f par(mfrow=c(1,2)) plot(cm,im,xlab="Sr (ppm)",ylab=expression(" "^87*Sr/" "^86*Sr), type="b",col="red") plot(1/cm,im,xlab="1/Sr (ppm)",ylab=expression(" "^87*Sr/" "^86*Sr), type="b",col="red") # Obr. 7.8
> f<-0.5 > cm<-ca*f+(1-f)*cb > im<-ia*ca*f/cm+ib*cb*(1-f)/cm
4/12 > im [1] 0.7056 > im<-0.710 > f<-cb*(ib-im)/(im*(ca-cb)-ia*ca+ib*cb) > f [1] 0.923077
0.710 0.708
86
0.704
0.706
87
Sr
0.708 0.704
0.706
87
Sr
86
Sr
Sr
0.710
0.712
0.712
b. Dva izotopické poměry (typicky Sr–Nd)
100
200
300
400
Sr (ppm)
0.004
0.008
1/Sr (ppm)
Obr. 7.8. Teoretická hyperbola míšení při kontaminaci bazaltu okolní rulou (cvičení 7.7)
Z [7.12, 7.14] vyplývá: IM =
I A c A f + I B c B (1 − f ) c A f + c B (1 − f )
(7.17)
Tato rovnice umožňuje spočítat například sérii Sr a Nd izotopických poměrů pro řadu předem zvolených proporcí f koncového členu A a tato data vynést jako hyperbolu míšení v diagramu 87 Sr/86Sr – 143Nd/144Nd. Asymptoty hyperboly potom budou (Albarède 1995): ⎛ 87 Sr ⎞ ⎛ 87 Sr ⎞ ⎜⎜ 86 ⎟⎟ − q⎜⎜ 86 ⎟⎟ ⎝ Sr ⎠ B ⎝ Sr ⎠ A x0 = 1− q
⎛ 143 Nd ⎞ ⎛ 143 Nd ⎞ ⎜⎜ 144 ⎟⎟ − q⎜⎜ 144 ⎟⎟ ⎝ Nd ⎠ A ⎝ Nd ⎠ B y0 = 1− q
(7.18)
a její zakřivení (přímku obdržíme pouze pro q = 1): q=
Cvičení 7.8
( Sr / Nd ) A ( Sr / Nd ) B
[Albarède (1995 - str. 22)]
(7.19)
4/13 Bazalt je při výstupu kontaminován rulou. Složení je uvedeno v tab. • spočtěte Sr koncentraci, 87Sr/86Sr poměr, Nd koncentraci a 143Nd/144Nd poměr směsi obsahující 0, 5, 10, … 100 % ruly; výsledek vyjádřete v tabulce • vyneste teoretickou hyperbolu míšení mezi bazaltem a rulou v souřadnicích , 87Sr/86Sr – 143 Nd/144Nd • určete asymptoty
> > > >
>
B: bazalt
200 ppm 0.710 20 ppm 0.511
0.5115
0.5120
Nd
144
Nd
0.5125
0.5130
100 ppm 0.703 2 ppm 0.513
0.5110
> > > >
ca1<-200;cb1<-100 ia1<-0.710;ib1<-0.703 f<-seq(0,1,by=0.05) cm1<-ca1*f+(1-f)*cb1 im1<-ia1*ca1*f/cm1+ib1*cb1* (1-f)/cm1 ca2<-20;cb2<-2 ia2<-0.511;ib2<-0.513 cm2<-ca2*f+(1-f)*cb2 im2<-ia2*ca2*f/cm2+ib2*cb2* (1-f)/cm2 x<-cbind(cm1,im1,cm2,im2)
Sr Sr/86Sr Nd 143 Nd/144Nd 87
143
> > > > >
A: rula
0.703
0.705
0.707 87
Sr
0.709
86
Sr
rownames(x)<-f colnames(x)<-c("Sr","87Sr/86Sr","Nd","143Nd/144Nd") print(x)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Sr 100 105 110 115 120 125 130 135 140
87Sr/86Sr 0.7030000 0.7036667 0.7042727 0.7048261 0.7053333 0.7058000 0.7062308 0.7066296 0.7070000
Nd 143Nd/144Nd 2.0 0.5130000 2.9 0.5123103 3.8 0.5119474 4.7 0.5117234 5.6 0.5115714 6.5 0.5114615 7.4 0.5113784 8.3 0.5113133 9.2 0.5112609
>
plot(im1,im2,xlab= expression(" "^87*Sr/ " "^86*Sr), ylab=expression( " "^143*Nd/" "^144*Nd), type="b",col="red") # Obr. 7.9 > q<-(ca1/ca2)/(cb1/cb2) > x0<-(ib1-q*ia1)/(1-q) > y0<-(ia2-q*ib2)/(1-q) > x0 [1] 0.70125 > y0 [1] 0.5105
H.L. Mencken's Law: Those who can — do. Those who can't — teach. Martin's Extension: Those who cannot teach — administrate. Unnamed Law If you can't learn to do it well, learn to enjoy doing it badly.
