Gömbháromszögek tulajdonságainak vizsgálata a Lénárt gömbön Budai Boglárka
Témavezető: Dr. Fodor Ferenc
Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 2013
Tartalomjegyzék 1. 1.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Lénárt–készlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 4 4 6
2. A gömbi geometria alapjai 2.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Polárháromszög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 12
3. Gömbi trigonometria 3.1. Szinusz- és koszinusztétel(ek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Gömbháromszögek kerülete, területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 15 17
4. Izometria a gömbön 4.1. Euklideszi térizometriák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Gömbháromszögek egybevágósága . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Az euklideszi geometria eseteivel megegyező esetek 4.2.2. Nem párbaállítható alapesetek . . . . . . . . . . . .
20 20 22 22 28
5. Lexell–kör
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
36
2
1. fejezet
A dolgozat fő témája a gömbháromszögek tulajdonságainak vizsgálata a Lénárt–gömbön. Ezen belül a 4.2. fejezetben a gömbháromszögek egybevágósági alapeseteit vizsgáljuk meg részletesen. Ehhez azonban a bevezető utáni második fejezetben tárgyalnunk kell néhány (elemi) gömbi geometriai definíciót és tételt, különös tekintettel a gömbháromszögeket érintő fogalmakra. A harmadik fejezetben kapnak helyet a továbbhaladáshoz szükséges trigonometrikus tételek, valamint a gömbháromszögek kerületére és területére vonatkozó tételek is. A gömbháromszögek egybevágóságának vizsgálatát a negyedik fejezetben megelőzi az izometriák rövid tárgyalása az euklideszi térben és a gömbön. Majd párba állítjuk a gömbháromszögekre vonatkozó egybevágósági eseteket az euklideszi alapesetekkel. Megvizsgáljuk a hasonlóságokat és a lényeges különbségeket. Az összehasonlítás a dolgozat egészére jellemző, ugyanis a dolgozat célja is az, hogy megmutassuk, hogyan lehetne a gömbi geometriát az euklideszi geometriával párhuzamosan oktatni. A dolgozat utolsó fejezetében egy összetettebb tételt, a magyar szakirodalomban ritkán tárgyalt Lexell–tételt bizonyítjuk be.
3
1.1. Bevezetés Dolgozatom témájául a gömbi geometriát választottam. Azért ezt, mert ez a legtermészetesebb, a leghétköznapibb a nemeuklideszi geometriák közül. Mindannyian gömbfelületen élünk, hiszen bár a Föld forgási ellipszoid, inkább tekint rá az ember gömbként. A gömbi geometriát használják például a csillagászatban, égitestek távolságának, illetve méretének megállapításához is. Erasztothenész (Kr.e. kb. 276–196) már az ókorban meg tudta mondani a Föld kerületét 10%-os eltéréssel. Abból indult ki, hogy Sziénában a nyári napfordulókor a nap délben nem vetett árnyékot, ám Alexandriában, Sziénától északra megvizsgálta, ahol ugyanebben az időpontban a tárgyak 7, 2◦ -os szöget vetettek. Így fel tudott írni egy arányossági képletet a Föld kerületére: 7, 2◦ d(Sz, A) = , KF 360◦ ahol d(Sz, A) jelöli Sziéna és Alexandria távolságát, KF pedig a Föld kerületét. Sztadionban számolt és manapság már nem tudjuk biztosan, hogy egy sztadion hány méternek felelt meg, de annyit igen, hogy 154 és 215 méter közé esik. 160 métert feltételezve 40000km adódik a Föld kerületére, ami mindösszesen 74km-rel tér el a ténylegestől. Egy másik ókori tudós, Arisztarkhosz (Kr.e. kb. 310–230) pedig már jóval Kopernikusz előtt megalkotta a heliocentrikus világképet. Abból indult ki, hogy a Föld a Holdra köríves árnyékot vet, így hát gömb alakú. Számításai nem voltak pontosak, de az elmélete ma is megállja a helyét. A gömbi geometria tehát már több ezer éves múltra tekint vissza, fontossága nem is lehet kérdés. A tudományokon kívül a hétköznapokban is jelentőséggel bír, gondolhatunk itt például a repülőgépek pilótáira, vagy éppen a hajóskapitányokra.
1.2. Áttekintés A dolgozat célja, hogy megmutassuk, a gömbi geometriának is helye van a középszintű oktatásban, valamint, hogy az euklideszi geometriával párhuzamosan – a két geometriát összehasonlítva, így azok megértését kölcsönösen elősegítve – kerülhet elő. Ehhez természetesen szükséges eszköz a Lénárt–készlet, hiszen bár a tanár próbálkozhat a táblánál szerkesztéseket felvázolni, a diákok mégis könnyebben tanulnak a saját felfedezéseikből. Emellett a szemléltetőeszközön minden könnyedén leolvasható, egyszerűen bemutatható. A diákok tanulják az euklideszi geometriát, amellyel a gömbi geometria sok hasonlóságot, és néhány 4
lényeges eltérést mutat. Ezekre is kitér a dolgozat. Az összeállításánál törekedtünk arra, hogy a felépítése az oldalak előrehaladtával egyre nagyobb tudású olvasóhoz szóljon, így bárki kézbe vehesse és a tudását nem meghaladó szintig elolvashassa. A következő fejezetben gömbi geometriai alapfogalmakat, tételeket tárgyalunk, melyek nagy részét már egy általános iskolás korú diák is könnyen befogadja. Az euklideszi geometriával párba állítva és a Lénárt–gömbbel szemléltetve megértheti az itt tárgyaltakat. A harmadik fejezetben szereplő trigonometriához azonban már középiskolai ismeretek szükségesek. Az ott tárgyalt tételek euklideszi változatait az olvasó a középiskolából ismeri, itt már lényeges eltérés is előfordul a két tárgyalt geometria között. Végül a negyedik fejezetben, a dolgozat fő témájához jutunk, a gömbháromszögek egyértelműségéhez, azaz, hogy egy gömbháromszöget milyen adatok alapján tudunk egyértelműen megszerkeszteni, mikor lesz két gömbháromszög egybevágó. Itt a szemléltetéshez néhány esetben a Lénárt–gömbi szerkesztés menetét írjuk le, valamint a legtöbb esethez feladat is társul. Ebben a részben már olyan eltéréseket is megmutatunk a két geometria között, hogy annak megértéséhez az absztraktabb gondolkodás elengedhetetlen. Végül a dolgozat befejező részében a magyar szakirodalomban ritkán tárgyalt Lexell–kör is szerepet kap. Ezen befejező rész megértéséhez már magasabb szintű ismeretek szükségesek, de egy tehetségesebb, a matematika iránt érdeklődő középiskolásnak érdemes megmutatni, így differenciálva a gömbi geometria tanítását. A dolgozatban szereplő definíciók, tételek és bizonyítások mindegyike megtalálható a mai magyar gömbi geometriai szakirodalmakban, mindenki kicsit másképp fogalmaz, másképp értelmezi és más célra használja fel ezeket a definíciókat, tételeket. A dolgozatban szereplő tételek is és így a bizonyítások is több irodalomból merítettek, hogy a dolgozat céljának megfeleljenek. Saját elképzelés szerint követik egymást, hogy a dolgozat felépítése a korábban említett lineáris növekedést mutassa a benne szereplő tételek nehézségét tekintve. A dolgozatban be nem bizonyított tételek mindegyike megtalálható a felsorolt szakirodalmak valamelyikében, a legtöbbjük mindegyikben. Valamint a bizonyított tételek is a szakirodalmak alapján készültek. Kurusa Árpád Nemeuklidészi geometriák című könyvéből származik a 2.1.2. és a 2.1.3. tételek bizonyítása, a 2.2.1. és a 3.1.5. tétel bizonyításához Hajós György példáját vettem alapul, erről a tételről a Bevezetés a geometriába című könyvében ír. Csikós Balázs nagyon szép bizonyítást mutat be az Új matematikai mozaikban a 3.2.1. és a 3.2.2. tételre, így ezek bizonyítása onnan eredeztethető. Végül a dolgozat utolsó fejezetében szereplő Lexell-tételhez két bizonyítást is sikerült találnunk. Csikós Balázsnak ugyanazon cikkében is szerepel egy, de számunkra kevesebb előkészülettel járó, direktebb
5
bizonyítást mutatunk be Fejes Tóth László könyve alapján. Ez a könyv magyarul nem jelent meg, így a dolgozatban a német nyelvű Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und im Raum-ban található bizonyítást próbáltuk meg magyar nyelvre átültetni és kiegészíteni. A gömbi trigonometria című fejezetben szereplő szinusz- és koszinusztételeknek a bizonyításához a matematikai szakirodalom nagy része felcserélési- és kifejtési tételt használ, amely középiskolában még általában nem ismert. Az érdeklődők azonban megtalálhatják több helyen is, például Hajós György Bevezetés a geometriába című könyvében. Középiskolai ismeretekkel rendelkezők számára is található azonban nagyon szép bizonyítás ezekre a tételekre. Az Új matematikai mozaikban Csikós Balázs ugyanis ezekre a tételekre is egy könnyebben értelmezhető bizonyítást ad, vektori- és vegyesszorzat használata nélkül. A dolgozat ábrái GeoGebrával készültek.
1.3. Lénárt–készlet A középiskola geometria tananyaga csak és kizárólag az euklideszi geometriára korlátozódik, pedig a Lénárt István-féle eszközökkel könnyen bevihető már akár általános iskolába is a gömbi geometria. Nemcsak szerkesztéshez használható eszközöket készített, de még tananyag ötletet is könyv formájában. Lénárt István matematikatanár és oktatáskutató. A rajzgömbkészlet első változatát 1986ban készítette el, a manapság használt Lénárt–gömböt pedig 1996-ban. A készlet eszközei: 1. Gömb: vastag műanyagból készült gömb, melynek felületén szemléltethető a gömbi geometria. Rajzolhatunk rá közvetlenül, vagy helyezhetünk rá gömbi rajzlapot. 2. Tórusz: alátétként szolgál, hogy a gömbünk ne guruljon el. 3. Gömbi rajzlapok/félgömbfóliák: A rajzlapok segítségével nem kell közvetlenül a gömbfelületre rajzolnunk és akár későbbre is megőrizhetjük munkánkat. A rajzlapokat néhány szerkesztéshez akár szét is vághatjuk, ha arra van szükség. 4. Kapcsológyűrű: Két rajzlapot a kapcsológyűrűvel gömbbé illeszthetünk össze. Így egy nagyon könnyű gömböt kapunk, amely akár fel is függeszthető, valamint meglepően stabil, így akár további szerkesztéseket is végezhetünk rajta. 5. Gömbi vonalzó: két fokbeosztással ellátott élével rajzolhatunk gömbi főköröket, illetve főköríveket, a többi éle viszont főkörívek rajzolására nem alkalmas. A gömbvonal-
6
zót kialakítása miatt akár a tórusz helyett is használhatjuk, valamint mérhetünk vele szögeket is. 6. Gömbi szögmérő: Szögeket mérhetünk vele a gömbön úgy, hogy a rajta lévő lyukat a szög csúcsához illesztjük, a 90◦ -os tengelykeresztjét a szög egyik szárával fedésbe hozzuk, így könnyen leolvasható a gömbi szögünk nagysága. 7. Gömbi körző és középpontkereső: Tetszőleges sugarú gömbi köröket rajzolhatunk vele, melyek nem főkörök. 8. Filctollak és körzőbetétek: Vízoldékony, illetve alkoholos filcekkel rajzolhatunk a gömbre és a gömbi rajzlapokra, előbbit vizes ronggyal, utóbbit alkohollal tudjuk eltávolítani a felületről. A négyféle körzőbetét pedig arra szolgál, hogy különböző méretű filctollakat lehessen a körzőbe helyezni.
7
2. fejezet A gömbi geometria alapjai Bármilyen sugarú gömbre ugyanazok a szabályok vonatkoznak, így a dolgozatban való számolás egyszerűsítéséért a gömb sugarát ezentúl egységnyinek vesszük.
2.1. Alapfogalmak A dolgozat ezen részében a gömbi geometria alapfogalmait tisztázzuk. Az egyenesek az euklideszi síkon alapvető fontosságúak, ez a gömbre is igaz. 1. Definíció. Minden, a gömb középpontján átmenő sík főkört metsz ki a gömbből. Ezeket a főköröket gömbi egyeneseknek nevezzük. A főkörök az egyenesek szerepét játsszák a gömbön, a gömbi körök pedig a gömb olyan síkokkal való metszetei, amelyek nem mennek át a gömb középpontján. Az euklideszi síkon két pontot összekötő legrövidebb görbe a két pontot összekötő szakasz, mely azon egyenes része, melyre mindkét pont illeszkedik. A gömbön is definiálható a szakasz. 2. Definíció. Ha az A és a B pontok a gömbön nem átellenesek, akkor az origóval együtt meghatározott síkjuk kimetsz a gömbből egy főkört. Ennek a főkörnek az A és B közé eső rövidebb ívét nevezzük gömbi szakasznak. Ha a két pont átellenes, akkor végtelen sok π hosszúságú szakasz köti össze őket a gömbfelületen. A pontok távolsága is megadható a szakasz hosszának segítségével, csakúgy, mint az euklideszi geometriában. 3. Definíció. Két pont gömbi távolsága az őket összekötő szakasz ívhossza.
8
Ez tényleg metrikát ad a gömbön, hiszen nem negatív, csak akkor nulla, ha a két pont egybeesik, valamint teljesül a háromszög egyenlőtlenség is, melyet lentebb bizonyítunk is. Két egyenes hajlásszöge egyszerűen leolvasható az euklideszi síkon, ez a gömbön egy kicsit másképp van és a Lénárt–gömb szögmérője nélkül komolyabb számolást igényelne. A Lénárt–szögmérő segítségével azonban könnyedén leolvasható bármely szög nagysága. 4. Definíció. Két főkör szögén a metszéspontjukban vett érintőik által bezárt szöget értjük. Az euklideszi síkon a sokszögeknek legalább három csúcsuk van, de a gömbön két főkör meghatározhat egy ennél kevesebb csúcsú sokszöget is, a gömbkétszöget.
2.1. ábra. Gömbkétszög 5. Definíció. Ha a gömbön két fél főkör végpontjai (A és B) egybeesnek, akkor ezek a végpontok és az a, b fél főkörök gömbkétszöget alkotnak. Az A és B pontok a gömbkétszög csúcsai, az a és b félkörök a gömbkétszög oldalai és a két főkör metszésszögét a kétszög nyílásszögének (α) nevezzük. (Lásd 2.1. ábra.) 9
2.1.1. Tétel. Egy α szögű gömbkétszög területe 2α. (A tétel bizonyítása megtalálható például Hajós György[3] könyvének 29. fejezetének 29.8 tételében, a 244.-245. oldalon.) A síkon három nem kollineáris pont egyértelműen meghatároz egy háromszöget, ez a gömbön is így van. 6. Definíció. Ha a gömbön három pont nem egy főkörre esik, akkor közülük semelyik kettő sem átellenes, azaz páronként meghatároznak egy-egy gömbi szakaszt. A három szakasz unióját nevezzük gömbháromszögnek. 7. Definíció. Gömbháromszög oldalhosszának a gömbháromszög csúcsait összekötő gömbi szakaszokat értjük, a gömbháromszög belső szögei alatt pedig az oldalegyenesei metszéspontjában húzott érintőik metszéspontját. A következő tétel az euklideszi geometriában is ugyanígy hangzik.
2.2. ábra. 2.1.2. Tétel.
1. Egyenlőszárú gömbháromszög alapon fekvő szögei egyenlők. 10
2. Egy általános gömbháromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög található. Bizonyítás. A 2.2. ábra alapján vegyük az AB euklideszi szakasz felező merőleges S síkját. Ez a sík átmegy a gömb középpontján, valamint A és B S-re nézve egymás tükörképei. Az S sík minden egyes pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től, így a gömbfelületen is, ahol S a gömböt metszi. Így ha C az S síkra esik, akkor a gömbfelület S síkra vonatkozó szimmetriája igazolja az első állítást. Ha a C pont nincs rajta az S síkon, akkor vagy az a, vagy a b oldal metszi az S síkot a gömbfelületen. Legyen ez az a oldal, a metszéspont pedig legyen D. Ekkor a b oldal nem metszi az S-t. Ebből az következik, hogy b < a. Az ADB háromszög pedig egyenlő szárú, így az első állítás szerint a DAB gömbi szög megegyezik a β szöggel. A DA főkörív továbbá kettévágja az α szöget, így adódik, hogy β < α, azaz a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Korábban említettük, hogy a gömbi távolság csak akkor ad metrikát, ha teljesül az euklideszi geometriából már jól ismert háromszög-egyenlőtlenség is a gömbön.
2.3. ábra. Háromszög–egyenlőtlenség (Lásd: Kurusa[6]: 4.o.)
11
2.1.3. Tétel (Háromszög–egyenlőtlenség). Gömbháromszögekre is teljesül a háromszögegyenlőtlenség, azaz a szokásos jelölésekkel a gömbháromszög oldalainak hosszára: a + b > c. Ha a háromszög elfajuló, akkor egyenlőségjel van. (Elfajuló egy gömbháromszög, ha mindhárom csúcsa egy főkörre illeszkedik) Bizonyítás. A gömbháromszögek egy oldalának hossza legfeljebb a főkörök kerületének fele lehet, azaz π, így az állítás teljesül, ha a + b > π. A másik esetet viszont, amikor a + b ≤ π, meg kell vizsgálnunk. Az 2.3. ábra alapján legyenek a gömbháromszög csúcsai rendre A, B, C, oldalai a, b, c és szögei α, β, γ. Hosszabbítsuk meg az a oldalt C csúcson túl a b oldal hosszával és nevezzük a végpontot D-nek. Ekkor dG (B, D) ≤ π, hiszen feltettük, hogy a + b ≤ π és a DCA gömbháromszög egyenlő szárú, amelyben így az előző tétel alapján a D és az A csúcsnál ugyanaz a szög található, nevezzük ezeket δ-nak. Mivel az előbbi tétel szerint nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van és δ < δ + α, így c ≤ a + b. (Egyenlőség akkor teljesül, ha α = 0, ekkor elfajuló a gömbi háromszög.)
2.2. Polárháromszög Képzeljük el, hogy a gömbháromszögünk oldalaihoz tartozó főkörök síkjára merőlegest állítunk a gömb középpontjából. Ez a három merőleges összesen hat pontot döf ki a gömb felszínén. Ezek közül tekintsük mindig azt a pontot, amely az adott főkörre nem illeszkedő csúcshoz közelebb van. Ezen pontok által meghatározott gömbháromszöget nevezzük az eredeti gömbháromszög polárháromszögének. Lásd 2.4. ábra. Ennek érdekessége, hogy az euklideszi geometriában ilyen egyáltalán nincsen. A tanításakor nehézségekkel kell szembenéznünk, hiszen ez egy olyan újdonság, amelyhez hasonlóval a diákunk a korábbi euklideszi tapasztalataiban még nem találkozott. Ezért nagyon fontos a különbözőségekre is felhívnunk diákjaink figyelmét, valamint ezek miatt az újdonságok miatt még sokkal fontosabbá válik a Lénárt-gömbi szemléltetés. Szerkesztés menete. Az ABC gömbháromszög polárgömbháromszögének szerkesztési lépései. 1. Lénárt–gömbi vonalzóval merőleges főkört rajzolunk a gömbháromszög AB oldalára. 2. Az így kapott főkörön kapjuk meg a polárgömbháromszög C 0 csúcsát, mely pontosan 90◦ távolságra található a gömbháromszög AB oldalától azon a félgömbön, amelyen az 12
eredeti gömbháromszög harmadik, C csúcsa is található. 3. A teljes eljárást megismételjük a gömbháromszög másik két oldalára is, majd összekötjük az így kapott csúcsokat.
2.2.1. Tétel. Polárháromszög polárháromszöge az eredeti gömbháromszög. Bizonyítás. Az ABC gömbháromszögről és a hozzá tartozó A0 B 0 C 0 polárgömbháromszögéről azt mondhatjuk, hogy a BA0 , CA0 ; CB 0 , AB 0 ; AC 0 , BC 0 főkörívek negyedkörök, hiszen a polárháromszög csúcsa úgy keletkezett, hogy az oldalak főkörének síkjára állítottunk merőlegest a gömb középpontjából és az a metszéspont (a polárháromszög csúcsa) ezen főkör minden gömbfelületi pontjához merőleges és 90◦ távolságra van. Valamint tudjuk, hogy az AA0 , BB 0 , CC 0 főkörívek pedig negyedkörnél kisebbek, hiszen a polárháromszög csúcsainak éppen azokat a pontokat választottuk a merőlegesről, amelyek mindig az adott harmadik csúcshoz közelebb vannak. Ha az A, A0 ; a B, B 0 és a C, C 0 pontok szerepét felcseréljük, akkor ugyanezeket az íveket kapjuk. Tehát ha ellenkező irányban végezzük el a polárháromszög keresését, akkor az A0 B 0 C 0 polárháromszöge éppen az ABC gömbháromszög lesz. 2.2.2. Tétel. Polárháromszög minden oldalának hossza az eredeti gömbháromszög megfelelő szögét kiegészítő szög. Azaz, ha a gömbháromszög oldalai és szögei rendre a, b, c, α, β, γ, valamint a polárháromszög oldalai és szögei rendre a0 , b0 , c0 , α0 , β 0 , γ 0 , akkor a0 + α = b0 + β = c0 + γ = π, 13
valamint az előző tétel szerint a + α0 = b + β 0 = c + γ 0 = π. (A tétel bizonyítása megtalálható például Hajós György Bevezetés a geometriába című könyvének 33. fejezetében.)
2.4. ábra. Polárháromszög
14
3. fejezet Gömbi trigonometria Ebben a fejezetben a gömbi szinusz- és koszinusztételek kapnak helyet. Közülük csak az utolsót bizonyítjuk, de a későbbiek megértéséhez a többi tétel kimondása is elengedhetetlen. Valamint ebben a fejezetben határértéket adunk a gömbháromszög kerületére és tárgyaljuk a területét is.
3.1. Szinusz- és koszinusztétel(ek) A szinusztételt az euklideszi geometriában arra használjuk, hogy a segítségével a háromszög három független adatából meghatározzuk a hiányzó negyediket (két oldal és szemben valamelyikkel egy szög, illetve két szög és szemben valamelyikkel egy oldal). A nagyobb oldallal szemközti szög meghatározásakor két megoldást is kaphatunk, mert egy adott szinuszértékhez egy hegyes- és egy tompaszög is tartozik, ezért mindig mérlegelni kell, melyik megoldás a jó. Ezért a szinusztételt általában hegyesszögű háromszögekre használjuk az euklideszi geometriában. 3.1.1. Tétel. Ha egy síkháromszög oldalait és szögeit a, b, c és α, β, γ jelöli, akkor a : b : c = sin α : sin β : sin γ. A gömbi geometriában egy hasonló tétel teljesül a gömbháromszögekre. 3.1.2. Tétel (Gömbi szinusztétel). Ha egy gömbháromszög oldalait és szögeit a, b, c és α, β, γ jelöli, akkor sin a : sin b : sin c = sin α : sin β : sin γ. 15
A koszinusztétel a síkgeometriában a Pitagorasz–tétel általánosítása. Segítségével ki tudjuk számolni egy háromszög harmadik oldalát, ha adott a másik kettő és az általuk bezárt szög. 3.1.3. Tétel. Ha egy síkháromszög oldalait és szögeit a, b, c és α, β, γ jelöli, akkor c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ. Ez a tétel a gömbi geometriában az oldalakra és – az euklideszi geometriától eltérően –, a szögekre is megjelenik. 3.1.4. Tétel (Oldalakra vonatkozó koszinusztétel). Ha egy gömbháromszög oldalait és szögeit a, b, c és α, β, γ jelöli, akkor cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ. 3.1.5. Tétel (Szögekre vonatkozó koszinusztétel). Ha egy gömbháromszög oldalait és szögeit a, b, c és α, β, γ jelöli, akkor cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c. A szinusztételt és az oldalakra vonatkozó koszinusztételt a dolgozatban nem bizonyítjuk, de megtalálhatóak például Hajós György Bevezetés a geometriába című könyvének 33. fejezetében. Viszont megmutatjuk, hogy a szögekre vonatkozó koszinusztétel hogyan következik az oldalakra vonatkozóból. Ugyanis az egyiket megkaphatjuk a másik segítségével. Bizonyítás. Legyenek a gömbháromszög oldalai a, b és c, szögei pedig α, β és γ. Írjuk fel ezen gömbháromszög polárháromszögére az oldalakra vonatkozó koszinusztételt (a 2.2.2. tétel segítségével), azaz cos(π − γ) = cos(π − α) cos(π − β) + sin(π − α) sin(π − β) cos(π − c). De mivel sin(π − x) = sin x, illetve cos(π − x) = − cos x, ezért − cos γ = − cos α(− cos β) + sin α sin β(− cos c). Ezt az egyenletet (−1)-gyel szorozva éppen a tétel állítását kapjuk. 16
Az utóbbi szögekre vonatkozó tételnek következményeként belátható, hogy a gömbháromszögek között nincsen hasonlóság, hiszen ez alapján egy háromszög oldalait egyértelműen meghatározzák a szögei.
3.2. Gömbháromszögek kerülete, területe Az oldalakra vonatkozó koszinusztételből is belátható a háromszög–egyenlőtlenség, valamint a következő tétel is. 3.2.1. Tétel. Egy gömbháromszög kerülete kisebb, mint egy főkör hossza. Bizonyítás. Jelöljük a gömbháromszög oldalait és szögeit a, b, c-vel és α, β, γ-val. 0 < α < π miatt cos α > −1, tehát az oldalakra vonatkozó koszinusztételből cos a > cos b cos c − sin b sin c, ahol a jobb oldalon egy azonosság áll, tehát cos a > cos (b + c). És igaz, hogy 0 < a < π – hiszen a gömbháromszögek oldala rövidebb a gömb kerületének felénél – , valamint 0 < b + c < 2π. A koszinuszfüggvény a [0; π] intervallumon szigorúan monoton csökken, a [π; 2π] intervallumon pedig szigorúan monoton nő, így a két egyenlőtlenségből kapjuk, hogy a < b + c < 2π − a. Tehát teljesül a háromszög–egyenlőtlenség, valamint a + b + c < 2π.
Legyen egy polárháromszög három oldala a0 , b0 és c0 . Alkalmazzuk rá az előző tételt. a0 + b0 + c0 < 2π. Tudjuk, hogy a polárháromszög oldalai az eredeti gömbháromszög szögeinek kiegészítő szögei (2.2.2. tétel), azaz α + a0 = β + b0 = γ + c0 = π. Ezt behelyettesítve az előző egyenlőtlenségbe π − α + π − β + π − γ < 2π
17
Ezt rendezve kapjuk, hogy π < α + β + γ. Tehát egy gömbháromszög szögeinek összege mindig nagyobb, mint π, ellentétben az euklideszi háromszögekkel, ahol a belső szögösszeg mindig pontosan π. Az α + β + γ − π mennyiséget a gömbháromszög szögtöbbletének nevezzük. A következő tétel nagyon különlegesnek tűnhet annak, aki csak az euklideszi geometriában jártas, így a diákok többségének is. Ugyanis azt állítja, hogy egy gömbháromszögnek a területét megadhatjuk csakis a szögeiből. Nem szükséges hozzá az euklideszi geometriából olyan jól ismert területképlet, mely szerint a háromszög területe t = am2 a , ahol a a háromszög egyik oldala, ma pedig a hozzá tartozó magasság. Csak a szögek ismerete szükséges. A tétel szépsége, hogy egy jó ábrával, egy szép Lénárt–gömbi szemléltetéssel nagyon könnyen elmagyarázható a diákoknak. 3.2.2. Tétel (Girard tétele.). Egy gömbháromszög területe egyenlő a szögtöbbletével. Bizonyítás. A teljes gömb felszíne – vagy mondhatjuk területnek is – 4π. Egy α szögű gömbkétszög területe a 2.1.1. tétel szerint 2α. Legyen a gömbháromszögünk három csúcsa A, B, C és ezen pontokkal átellenes pontok legyenek A1 , B1 , C1 (lásd 3.1. ábra). Az AB és AC főkörök meghatároznak két α szögű gömbkétszöget (egymás tükörképeit), melyek jele legyen AA1 G. A BA és BC főkörök két β szögű gömbkétszöget határoznak meg (BB1 G) és ugyanígy nyilván a CA és CB főkörök is két γ szögű gömbkétszöget (CC1 G). Ez a háromszor kettő darab gömbkétszög lefedi a teljes gömböt. Méghozzá az ABC és az A1 B1 C1 háromszögeket háromszor, a gömb többi részét pedig egyszer. Jelöljük az ABC gömbháromszög területét TABC -vel, az A1 B1 C1 gömbháromszög területét pedig TA1 B1 C1 -vel. A gömbkétszögek területének összege így 2(2α + 2β + 2γ) = 3(TABC + TA1 B1 C1 ) + 4π − (TABC + TA1 B1 C1 ), és mivel az ABC és az A1 B1 C1 gömbháromszögek éppen egymás tükörképei, így a területük megegyezik, azaz 4(α + β + γ) = 4π + 4TABC , amiből TABC = α + β + γ − π. 18
3.1. ábra. Girard tétel
19
4. fejezet Izometria a gömbön Ebben a fejezetben a jel nem csak a bizonyítások végét jelöli, hanem a szerkesztési menet leírásának végét is, valamint a feladatok megoldásául kapott végeredmények után is találkozhat vele az olvasó. A gömbfelületre is definiáljuk az izometriákat. 8. Definíció. Azokat a geometriai transzformációkat, melyek megtartják a pontpárok távolságát, izometrikus transzformációknak, vagy izometriáknak nevezzük. A gömbi izometriák tulajdonképpen az euklideszi térizometriák megszorításai, ezért először ezeket nézzük meg.
4.1. Euklideszi térizometriák Az ebben a részben előforduló euklideszi tér izometriáira vonatkozó definíciók és tételek mindegyike Kurusa Árpád Euklideszi geometria című könyvének 4.2. fejezetéből való. A bizonyításaik is ott találhatók, a dolgozatban a bizonyításoktól eltekintünk. 4.1.1. Tétel. Minden térizometria előállítható legfeljebb négy síkra vonatkozó tükrözéssel. 9. Definíció. Az egy síkra vonatkozó tükrözést az euklideszi térben síkra való tükrözésnek nevezzük. A gömbön a gömb középpontján átmenő síkokra való tükrözés is izometria. 10. Definíció. Két metsző síkra vonatkozó tükrözés szorzatát tengely körüli forgásnak nevezzük, ha ez a két sík merőlegesen metszi egymást, akkor tengelyes tükrözésnek. A két sík metszésvonalát a forgás tengelyének nevezzük. 20
A gömb középpontján átmenő két síkra vonatkozó tükrözések ugyanezeket az izometriákat adják a gömbön. 11. Definíció. Két, egymással párhuzamos síkra való tükrözés szorzatát párhuzamos eltolásnak nevezzük. Mindenképpen meg kell jegyeznünk, hogy ilyen a gömbi geometriában ebben a formájában nincsen, ott csak olyan izometriák vannak, melyek a gömb középpontját fixen hagyják, a párhuzamos eltolás pedig egy pontot sem hagy fixen. A gömbön is lehet párhuzamos eltolást definiálni, csak nem két síkra vonatkozó tükrözés szorzataként. Párhuzamos eltolásnak is lehet ugyanis nevezni a tengely körüli forgatást. 12. Definíció. Három, egymást egy C pontban páronként merőlegesen metsző síkokra való tükrözések szorzatát centrális tükrözésnek nevezzük. A gömb középpontjára vonatkozó tükrözés a gömbi centrális tükrözés. 13. Definíció. Ha két, egymást metsző sík mindegyike (S1 , S2 ) merőleges egy harmadik síkra (S3 ) ˙(Lásd 4.1. ábra), akkor ezen három síkra vonatkozó tükrözések szorzatát forgatva tükrözésnek, vagy tükrözve forgatásnak nevezzük.
4.1. ábra. Ezeken kívül még olyan térizometriák léteznek, melyeknek nincsen fixpontja, így a gömbön nem léteznek. Ilyenek például a csúsztatva tükrözés, vagy a csavarmozgás. 21
4.1.2. Tétel. Minden gömbi izometria egy olyan euklideszi térizometria megszorítása a gömbfelületre, mely fixen hagyja a gömb középpontját. Tehát a gömbi izometriák a következők: 1. a gömb középpontján átmenő síkra – azaz egy főkör síkjára – vonatkozó tükrözés, 2. a gömb középpontján áthaladó tengely körüli forgatás (ez két olyan síkra vonatkozó tükrözés szorzata, melyek metszésvonala áthalad a gömb középpontján), 3. a gömb középpontján áthaladó tengelyre vonatkozó tükrözés (ez két, egymásra merőleges síkra vonatkozó tükrözés szorzata, mely síkok metszésvonala átmegy a gömb középpontján), illetve 4. a gömb O középpontjára való centrális tükrözés (az euklideszi változat olyan megszorítása, amikor a síkok metszéspontja a gömb középpontjába esik). 4.1.3. Tétel. Két alakzat egybevágó a gömbfelületen, ha létezik olyan gömbi izometria, amely az egyik alakzatot a másikba viszi.
4.2. Gömbháromszögek egybevágósága Két gömbháromszög egybevágóságára nyolc esetet különböztetünk meg a gömbi geometriában. Ezek közül három megegyezik az euklideszi geometriában tapasztalt egybevágósági alapesetekkel. Az euklideszi alapeseteket kilencedik osztályban tanulják a gyerekek, megtalálhatóak az irodalomjegyzékben felsorolt gimnáziumi matematika tankönyvben. Először ezeket tárgyaljuk.
4.2.1. Az euklideszi geometria eseteivel megegyező esetek 4.2.1. Állítás. Két gömbháromszög egybevágó, ha mindhárom oldaluk páronként egyenlő. Bizonyítás. Ha három oldala adott a gömbháromszögnek, akkor ki tudjuk számolni a gömbháromszög szögeit is, hiszen az oldalakra vonatkozó koszinusztételbe a három oldalra behelyettesítve egyértelmű eredményt kapunk a szögekre, vagy ha a legnagyobb szinuszú oldallal szemközti szöget számoljuk ki először, utána már a szinusz tételt is alkalmazhatjuk a további számolás
22
egyszerűsítéséért. Így számolással belátható, hogy három oldal egyértelműen meghatároz egy háromszöget. Szerkesztés menete. Tegyük fel, hogy adott a gömbháromszög három oldala a, b, illetve c. A Lénárt-gömbi szerkesztés menete a következő: 1. Lénárt-gömbi vonalzóval felvesszük a-t. 2. Lénárt-gömbi körzővel b hosszúsággal körzünk a egyik végpontjából. 3. a másik végpontjából c-vel körzünk, ahol elmetszi a b-t, ott lesz az A csúcs. 4. Az így kapott A csúcsot a Lénárt–vonalzó fokbeosztással rendelkező élének segítségével összekötjük a két végpontjával.
Nézzünk meg ehhez az esethez egy példát. 4.2.1. Feladat. Számítsuk ki a gömbháromszög szögeit, ha oldalainak hossza a = 60◦ , b = 45◦ és c = 90◦ ! Megoldás: 1. Megoldás (a) Alkalmazzuk az oldalakra vonatkozó koszinusztételt a legnagyobb szinuszú, azaz a c oldalra. cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ, ezt rendezve
cos c − cos a cos b , sin a sin b amelybe behelyettesítve kapjuk, hogy cos γ =
1 γ = arccos − √ 3 23
γ ≈ 125, 26◦ (b) Alkalmazzuk a szinusztételt előbb az α, majd a β kiszámolására. sin a : sin b : sin c = sin α : sin β sin γ sin γ sin a sin c melyekbe behelyettesítve kapjuk, hogy α = arcsin
α = 45◦
β = arcsin
sin γ sin b , sin c
β ≈ 35, 26◦
Ez a megoldási mód csak úgy alkalmazható, ha először a legnagyobb szinuszú oldalra írjuk fel a koszinusztételt. Egyértelmű megoldási eredményekért azonban célszerű csak a koszinusztételekkel dolgozni, mert a szinusztétel nem feltétlenül ad egyértelmű eredményt. 2. Megoldás (a) Szintén az oldalakra vonatkozó koszinusztételből kiszámoljuk a γ-t. γ ≈ 125, 26◦ (b) Majd koszinusztétellel a β-t β = arccos
cos b − cos a cos c sin a sin c
β ≈ 35, 26◦ (c) És utolsó lépésként az α-t is az oldalakra vonatkozó koszinusztételből fejezzük ki. α = arccos
cos a − cos b cos c sin b sin c
α = 45◦ Ez az egybevágósági alapeset az euklideszi geometriában is szóról-szóra így hangzik. 4.2.2. Állítás. Két gömbháromszög egybevágó, ha két-két oldaluk és az általuk bezárt szögek 24
egyenlők. Bizonyítás. Ha egy gömbháromszög két oldala és az általuk bezárt szöge van megadva, akkor a harmadik oldalt az oldalakra vonatkozó koszinusztétel adja, így három oldal ismeretében a fentebb leírt eljárást kell megismételni. Szerkesztés menete. Legyen a gömbháromszög adott oldalainak jele a és b, valamint az általuk bezárt szög γ. 1. Lénárt–gömbi vonalzóval felvesszük az a oldalt. 2. Lénárt–gömbi szögmérővel felvesszük γ-t úgy, hogy annak csúcsa a egyik végpontja (C csúcs), egyik szögszára pedig éppen a főköre legyen. 3. Az így keletkezett gömbi szög másik szárára rámérjük b hosszát a gömbi körzővel, így kapjuk meg a gömbháromszög A csúcsát. 4. Végül az A csúcsot összekötjük az a oldal másik végpontjával a Lénárt–vonalzó segítségével (B csúcs).
Vizsgáljunk meg ehhez is egy példát. 4.2.2. Feladat. Számítsuk ki a gömbháromszög hiányzó oldalát és szögeit, ha a = 75◦ , b = 60◦ és γ = 45◦ ! Megoldás: 1. Alkalmazzuk az oldalakra vonatkozó koszinusztételt a c oldalra, cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ,
25
melyből c-t kifejezve: c = arccos (cos a cos b + sin a sin b cos γ), amelybe behelyettesítve kapjuk, hogy c ≈ 43, 87◦ 2. Alkalmazzuk az oldalakra vonatkozó koszinusztételt a legnagyobb szinuszú, azaz az a oldalra: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α, amelyből α-t kifejezve: cos a − cos b cos c , sin b sin c amelybe behelyettesítve kapjuk, hogy α ≈ 99, 75◦ α = arccos
3. Alkalmazzuk a szinusztételt a β kiszámolására sin b sin β = , sin a sin α ebből β-t kifejezve β = arcsin
sin α sin b . sin a
Ebbe behelyettesítve β ≈ 62, 08◦ Ez a tétel is pontosan ugyanaz, mint az euklideszi testvére. És végül az utolsó euklideszi alapeset párja: 4.2.3. Állítás. Két gömbháromszög egybevágó, ha egy-egy oldaluk és a rajta fekvő szögeik egyenlők. Bizonyítás. Ha egy oldal és a rajta fekvő szögek vannak megadva, akkor a szögekre vonatkozó koszinusztétel megadja a harmadik szög nagyságát, majd a másik két oldalt ki lehet számolni az oldalakra vonatkozó koszinusztétellel, illetve kiszámolhatjuk előbb a legnagyobb szinuszú szöggel szemközti oldalt a koszinusztétellel, a többit pedig a szinusz tétel segítségével. Szerkesztés menete. Legyen a gömbháromszög oldala a, a rajta fekvő szögek pedig β és γ.
26
1. Lénárt–vonalzóval felvesszük az a oldalt. 2. Lénárt–szögmérővel a egyik végpontjába (C csúcs) felvesszük γ-t úgy, hogy annak egyik szára a főköre legyen. 3. Az a másik végpontjába (B csúcs) felvesszük β-t úgy, hogy annak egyik szögszára a főköre legyen és ugyanazon a félgömbön zárja be a β szöget az a-val a másik szögszár, mint ahol a γ is található. 4. A két szög nem a-ra illeszkedő szárai fogják kimetszeni a háromszög harmadik (A) csúcsát, ezt kössük össze a Lénárt–vonalzó segítségével a két végpontjával.
4.2.3. Feladat. Számítsuk ki a háromszög hiányzó oldalait és szögét, ha c = 135◦ , α = 120◦ és β = 60◦ ! Megoldás: 1. A szögekre vonatkozó koszinusztétellel számoljuk ki a harmadik szöget. cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c γ = arccos (− cos α cos β + sin α sin β cos c) Ebből γ ≈ 106, 28◦ . Mivel az α és a β szinusza megegyezik, így a biztosan jó eredmény érdekében a szögekre vonatkozó koszinusztétellel számolunk tovább. (Alkalmazhatnánk a szinusztételt is, csak meg kellene vizsgálni az eredmények helyességét.) 2. A szögekre való koszinusztételt α-ra felírva és rendezve kapjuk, hogy a = arccos
cos α + cos β cos γ , sin β sin γ 27
melybe behelyettesítve a = 140, 36◦ 3. Ugyanezt megismételjük β-ra, melyből b-re rendezve b = arccos
cos β + cos α cos γ , sin α sin γ
melyből b = 39, 64◦ . Ezen a három eseten kívül nincs több, ami az euklideszi síkháromszögek egybevágósági alapeseteivel megegyezne. Ezek mind pontosan így ott is megtalálhatók, ami jelentős hasonlóság, viszont az euklideszi síkon van egy negyedik alapeset is, illetve a gömbi geometriában pedig még öt másik eset. A három hasonló esetet a tanítás során könnyen el lehet fogadtatni a gyerekekkel, viszont a további öt esethez már komolyabb tudásra és a jó szemléltetésre mindenképpen szükség van. Az alább tárgyalt euklideszi negyedik eset is megfelelően választott gömbháromszög adatokat kíván, hogy megmutathassuk, hogy ez az alapeset a gömbi geometriában nem állja meg a helyét.
4.2.2. Nem párbaállítható alapesetek Az euklideszi geometria negyedik alapesetében két háromszög egybevágóságának feltétele, hogy két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő legyen. Ez a gömbi geometriában nem elegendő, ugyanis két megoldáshoz is vezethet. Vizsgáljunk meg ehhez egy példát. 4.2.4. Feladat. Számítsuk ki a gömbháromszög hiányzó oldalát és szögeit, ha a = 150◦ , b = 60◦ és α = 150◦ Megoldás: A feladatban úgy kellett megválasztani a szögeket, hogy a leghosszabb oldal szögének szinusza kisebb legyen, mint a másik adott oldal szinusza, hiszen arra van egy tétel alább, hogy a nagyobb szinuszú szöggel, ill. oldallal szembeni oldal vagy szög jó. Illetve kellően nagy szöget is kellett választani, hogy mindkét megoldás előfordulhasson. 1. Szinusztétellel kiszámoljuk β-t. sin b sin β = sin α sin a sin α sin b β = arcsin . sin a 28
Ebből (a) β = 60◦ , vagy (b) β = 120◦ lehet a megoldás. 2. A koszinusztételt felírjuk a c oldalra és a γ szögre is cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c 3. Az egyenletrendszerbe való behelyettesítés és megoldás után √
(a) c = arccos 3−4 13
3
≈ 107, 59◦
√
és γ = arccos 4
√
3−3 13
≈ 72, 41◦ , vagy
(b) c = γ = arccos −4 133−3 ≈ 139, 79◦ Vizsgáljuk meg, hogy a kapott eredmények valóban meghatároznak-e két különböző háromszöget. A két kapott háromszögünk adatai: 1. a = 150◦ , b = 60◦ , c = 107, 59◦ , α = 150◦ , β = 60◦ , γ = 72, 41◦ 2. a = 150◦ , b = 60◦ , c = 139, 79◦ , α = 150◦ , β = 120◦ , γ = 139, 79◦ A háromszög–egyenlőtlenségnek mindhárom oldalra, valamint a 3.2.1.tételben szereplő összefüggéseknek is teljesülnie kell. a+b>c α+β+γ >π Ezek mindegyike mindkét háromszögre teljesül. Ha ugyanezeket az összefüggéseket felírjuk a polárháromszögre és a 2.2.2.tétel alapján behelyettesítünk, újabb feltételeket kapunk. π − α + π − β > π − γ, amiből α + β − γ < π,
29
valamint π − a + π − b + π − c > π, amiből a + b + c < 2π. Ez a két feltétel is teljesül a feladat mindkét megoldására. Ezzel a példával láthattuk, hogy nem elegendő, ha két oldal és a hosszabbal szemközti szöge adott a háromszögnek, viszont vannak más, konkrétabb feltételek, melyek már elegendőek. Ennek az öt alapesetnek a vizsgálata következik. 4.2.4. Állítás. Két gömbháromszög egybevágó, ha mindhárom szögük megegyezik. Bizonyítás. Ha adott a gömbháromszög három szöge, akkor a szögekre vonatkozó koszinusztételbe a három szögre behelyettesítve könnyedén ki tudjuk számolni a gömbháromszög három oldalát is, illetve ugyanúgy mint az oldalak esetében az első alapesetnél, itt is kezdhetjük a legnagyobb szinuszú szöggel szemközti oldallal és utána a szinusztétellel dolgozhatunk a maradék két oldal hosszának kiszámításáért. Szerkesztés menete. Legyen a gömbháromszög három szöge α, β és γ. Tudjuk, hogy a polárháromszög minden oldalának hossza az eredeti gömbháromszög megfelelő szögét kiegészítő szög (2.2.2. tétel). Így, ha a polárháromszög oldalait a0 , b0 és c0 jelöli, akkor a0 = π − α, b0 = π − β és c0 = π − γ. Ha megszerkesztjük a polárháromszöget az első egybevágósági eset után leírt módon, akkor a polárháromszögek tételére hivatkozva (2.2.1. tétel), mely szerint egy polárháromszög polárháromszöge az eredeti gömbháromszög, megszerkeszthető az eredeti gömbháromszög, a polárháromszögek szerkesztésénél leírt módon. 4.2.5. Feladat. Számoljuk ki a gömbháromszög három oldalát, ha szögeik α = γ = 45◦ és β = 120◦ ! Megoldás: 1. A gömbháromszög b oldalát koszinusztétellel számoljuk ki cos β = − cos α cos γ + sin α sin γ cos b b = arccos
cos α cos γ + cos β sin α sin γ 30
b = arccos 0 Ebből b = 90◦ . 2. Az a és a c oldalt ugyanazzal a szinusztétellel számolhatjuk ki, hiszen a két szög (α és γ) egyenlő, így a háromszög egyenlő szárú (2.1.2. tétel). sin a sin α sin c = = sin b sin b sin β a = c = arcsin
sin b sin α sin β
Ebből a = c ≈ 54, 74◦ . Ez az eset elsőre furcsának tűnhet, hiszen az euklideszi geometriában a megegyező szögű háromszögek lehettek csak hasonlóak is. Ezzel azt is mondjuk, hogy a gömbi geometriában a hasonlóság háromszögek között nem létezik. Két háromszög vagy egybevágó, vagy "teljesen" különböző. Ez a furcsaság már a koszinusztételeknél is látszott, hiszen a szögekre vonatkozó koszinusztételből egyértelműen belátható, hogy nincsenek hasonló háromszögek a gömbön. A következő két állítást együtt tárgyaljuk, hiszen nagyon hasonlóak. Most az elsőt vizsgáljuk meg alaposabban, a második állítás bizonyítását pedig nyugodtan fel lehet adni a gyerekeknek házi feladatként. 4.2.5. Állítás. Két gömbháromszög egybevágó, ha két különböző szinuszú oldalaik és a nagyobb szinuszúval szemközti szögeik egyenlők. 4.2.6. Állítás. Két gömbháromszög egybevágó, ha két különböző szinuszú szögük és a nagyobb szinuszúval szemközti oldalaik egyenlők. Ezekben az esetekben megszorítások szerepelnek. A megszorítások nélkül ezek az állítások nem volnának helyesek. Az első állításnál kikötjük, hogy a nagyobbik szinuszú oldalakkal szemközti szögek legyenek egyenlők. Azt már láttuk, hogy a nagyobb oldallal szemközti szög nem elegendő, most megnézzük azt is, hogy miért nem elegendő a kisebbik szinuszú oldallal szemközti szög. Bizonyítás. Ezt az esetet a 4.2. ábra mutatja. Az első állításhoz A1 B1 C és az A1 B2 C gömbháromszögeket kell vizsgálni. A CB1 , CB2 főkörívek egyenlők. Vegyük észre, hogy ha meg van 31
adva a háromszögünk két oldalának hossza, jelen esetben az A1 C és az A1 csúccsal szemközti kisebb szinuszú oldal hossza, valamint az A1 csúcsnál lévő szög (α), akkor nem egyértelmű a megoldásunk, ugyanis két lehetséges háromszög is születhet belőle. Gondoljuk át egy kicsit másképpen is. Ha adott a háromszögnek két oldala és a kisebb szinuszú oldalával szemközti szöge, akkor szinusztétellel számolnánk ki a másik oldallal szembeni szöget. Ez két szöget adna eredményül, egymás kiegészítő szögeit. És a két különböző szöghöz különböző harmadik oldalak és szögek tartoznak. Így számolással is igazolható, hogy nem elegendő a kisebb szinuszú oldallal szemközti szög. (Lásd 4.2.4. feladat) Viszont, ha adott a háromszögnek két oldala, valamint a nagyobb szinuszúval szemközti szöge, akkor is szinusztétellel kezdjük a számolást, de két olyan eredményt kapunk, melyek közül egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy melyik a jó. (Lásd 4.2.6. feladat) A tétel részletes bizonyítását lásd Hajós[3] 33. fejezetében (284.-285.o.) Az ábra A2 ponttal vett kiegészítése a második állítás bizonyításához szükséges.
4.2. ábra. Gömbháromszögek egybevágósága Az első állításhoz nézzünk meg egy példát is. 4.2.6. Feladat. Számítsuk ki a gömbháromszög hiányzó oldalát és szögeit, ha a = 120◦ , b = 45◦ és α = 60◦ ! 32
Megoldás: 1. Szinusztétellel számoljuk ki a β-t. Ez két eredményre vezet, de a 2.1.1. tétel második állítása szerint nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, így csak a kisebb oldalhossz jöhet szóba (mert a másik eredmény nagyobb lenne, mint az α). sin b sin β = sin α sin a β = arcsin
sin α sin b sin a
Ebből β = 45◦ . 2. Ezután meg kell oldani a következő egyenletrendszert: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c Ebbe való behelyettesítés és rendezés után √ √ −2 2 − 3 ≈ 155, 8◦ c = γ = arccos 5 A most következő két állítást is együtt tárgyaljuk a dolgozatban, a másodikat bizonyítva és arra példát is mutatva. De az eljárás hasonló az elsőre is, így annak megoldását házi feladatként szintén a diákokra lehet bízni. 4.2.7. Állítás. Két gömbháromszög egybevágó, ha két egyenlő szinuszú, de 90◦ -tól különböző oldalaik és valamelyikkel szemközti szögük egyenlő. 4.2.8. Állítás. Két gömbháromszög egybevágó, ha két egyenlő szinuszú, de 90◦ -tól különböző szögeik és valamelyikkel szemközti oldaluk egyenlő. Bizonyítás. Ha adott két egyenlő szinuszú, de különböző szög (ha egyenlők a szögek, akkor egyenlő szárú a háromszög) és az egyikkel szemközti oldal, akkor szinusztétellel kiszámoljuk a másikkal szemközti oldalt. Egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy melyik megoldást válasszuk
33
a számoláskor, hiszen nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. Ezután pedig már a szokásos koszinusztételekből alkotott egyenletrendszer adja a harmadik oldalt, illetve szöget. Ez a két állítás sem volna igaz a megszorítások nélkül. Kikötöttük, hogy nem lehet 90◦ -os a két egyenlő oldal az első esetben, ill. a szögek a második esetben. Hiszen ilyenek azok a gömbháromszögek, amelyek tetszőleges gömbkétszögekből keletkeznek oly módon, hogy az oldalaik felezőpontját összekötjük főkörívvel. A 4.3. ábrán látható, hogy tetszőleges gömbkétszögek oldalainak felezőpontját összekötöttük a k főkörrel. Így olyan – nem egybevágó – gömbháromszögeket kaptunk, melyeknek két-két oldala és két-két szöge is 90◦ .
4.3. ábra. Itt is vizsgáljunk meg egy példát a második állításra. 4.2.7. Feladat. Számítsuk ki a gömbháromszög hiányzó oldalait és szögét, ha α = 60◦ , β = 120◦ és a = 45◦ Megoldás: 34
1. Szinusztétellel kiszámoljuk a b oldalt: √ sin a sin β 2 = arcsin b = arcsin sin α 2 Ez a számológépbe beütve 45◦ -ot ad eredményül, de mivel a β szög a nagyobb az α-nál, így a b oldal is nagyobb az a-nál (2.1.1. tétel), azaz a 45◦ kiegészítő szögét, a 135◦ -ot √ kell vennünk a b oldal hosszának, hiszen annak a szinusza is 22 . Tehát b = 135◦ . 2. A koszinusztételeket felírjuk γ-ra és a c oldalra (a) cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c √ √ 1 1 3 3 cos γ = − × − × cos c + 2 2 2 2 (b) cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ √ √ √ √ 2 2 2 2 cos c = × − × cos γ + 2 2 2 2 Melyekből megkapjuk, hogy γ = arccos(−0, 2) ≈ 101, 54◦ , valamint c = arccos(−0, 6) ≈ 126, 87◦
35
5. fejezet Lexell–kör
5.1. ábra. Képzeljük el az euklideszi geometriában azt az esetet, amikor egy háromszögnek adott egy oldala a háromszög két csúcsával. Hol kell keresnünk a háromszög harmadik csúcsát, hogy a területünk egy adott állandó maradjon? A válasz erre a kérdésre egy, vagyis tulajdonképpen 36
kettő egyenes a síkon. Hiszen a háromszög területe T =
cmc , 2
azaz egy oldal szorozva annak magasságával és osztva kettővel. Így ha adott egy oldalunk, akkor a hozzá tartozó megfelelő magassággal párhuzamost állítva az oldalra éppen olyan egyeneseket kapunk, melyeken a háromszög harmadik csúcsa ugyanakkora területet ad. Lásd 5.1. ábra. Ugyanezt a kérdést fel lehet tenni a gömbi geometriában is, ez az úgynevezett Lexell– tétel. A gömbön egy gömbi köríven helyezkedik el a gömbháromszög harmadik csúcsa úgy, hogy a terület ne változzon, de ez a kör nem egy főkör. A dolgozatnak ebben a fejezetében ezt a tételt látjuk be. Ez a tétel amiatt is érdekes, mert nagy hasonlóságot mutat az euklideszi testvérével. 5.0.1. Tétel (Lexell–kör). Adott egy gömbháromszög rögzített A és B csúcsa, valamint a területe. A háromszög C csúcsának mértani helye egy olyan köríven található, melynek két végpontja az A és a B csúcs átellenes pontja. Ezt a kört szokás Lexell–körnek nevezni.
5.2. ábra. Lexell–kör 37
Bizonyítás. A bizonyításhoz felhasználjuk a gömbháromszög polárháromszögét, melyet az 5.2. ábrán 0 A ,B 0 ,C 0 csúcsokkal jelöltünk. 1. Először is vegyük észre, hogy ha a C csúcs a tételben szereplő köríven mozog, akkor az a0 és b0 oldalakat tartalmazó főkörök függetlenek C-től, hiszen az a0 -t tartalmazó −→ −−→ főkörre merőleges OA, illetve a b0 -t tartalmazó főkörre merőleges OB rögzítettek. Így tehát az a0 és b0 hossza változhat, de a főkör, amin vannak, nem. 2. Most megmutatjuk, hogy az a0 , b0 , c0 úgy változik, hogy az a0 + b0 + c0 – azaz a polárháromszög kerülete – állandó. Ehhez vegyük a c0 oldal külső érintőkörét, jelöljük k-val. Ez a k kör érintse továbbá az a0 és b0 oldalak főköríveit is. Ezen érintési pontok jele: C2 , A2 és B2 . Mivel a külső pontból gömbi körhöz húzott érintő szakaszok egyenlőek, ezért A0 A2 = A0 C2 ,
valamint
B 0 B2 = B 0 C2 .
A polárháromszög kerülete felírható A0 C2 + C2 B 0 + B 0 C 0 + C 0 A0 alakban, ami az előbbiek alapján A2 C 0 + C 0 B2 kifejezéssel egyenlő, azaz független a C2 érintési ponttól. 3. Továbbá a c0 oldal úgy mozog, hogy a C2 pont befutja a k kör A2 B2 közötti ívét. Ekkor a 5.3. ábrán látható v~k , érintési pontba állított normális (P a k kör középpontja), valamint ezzel egyidejűleg a c0 oldal főkörének normálisa (~ vc ) is egy körívet ír le, ugyanis 0 a c oldal főkörének síkja forog. A C csúcs tehát egy körívet ír le. 4. Mivel a C csúcs a c0 oldal főkörének pólusa, így a C által befutott körív végpontjai egybeesnek a C 0 B 0 és a C 0 A0 főkörök pólusaival, azaz pontosan A-val vagy A1 -gyel, illetve B-vel vagy B1 -gyel. De mivel az A és a B pontok nem tekintendők a C lehetséges mértani helyének, így az A1 és a B1 közé eső köríven van a C mértani helye. 38
5.3. ábra.
39
Irodalomjegyzék [1] Csikós Balázs, Gömbi geometria, in Hraskó András (szerk.), Új matematikai mozaik, Typotex, Budapest, 2002, 337-374.o. [2] Fejes Tóth László, Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und im Raum. (German) Zweite verbesserte und erweiterte Auflage. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 65. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972. [3] Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1995. [4] Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Dr. Urbán János, Vincze István, Sokszínű matematika 9, Mozaik, Szeged, 2005. [5] Kurusa Árpád, Euklidészi geometria, Polygon, Szeged, 2008. [6] Kurusa Árpád, Nemeuklidészi geometriák , Polygon, Szeged, 2009. [7] Lénárt István, Sík és gömb : összehasonlító geometriai kísérletek síkon és gömbön a Lénárt-gömb segítségével, Lénárt Oktatási, Kereskedelmi és Szolgáltató Bt., Budapest, 2009. [8] Sain Márton, Nincs királyi út!: matematikatörténet, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986. [9] Strohmajer János, Geometriai példatár II. kötet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1969.
40
Nyilatkozat Alulírott Budai Boglárka kijelentem, hogy a szakdolgozatban foglaltak a saját munkám eredményei, és csak a hivatkozott forrásokat használtam fel. Tudomásul veszem, hogy szakdolgozatomat a Szegedi Tudományegyetem könyvtárában a kölcsönözhető könyvek között helyezik el, és az interneten is nyilvánosságra hozhatják.
Budai Boglárka
