GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. Mnohostěny mají stěny, hrany a vrcholy např. krychle, jehlan, atd. Rotační tělesa vznikají rotací rovinného útvaru, nemají stěny, hrany a vrcholy např. válec, koule, atd.
Mnohostěny Mnohostěn je část prostoru, která je ohraničena několika mnohoúhelníky. Je to „těleso (n-stěn), jehož hranicí je sjednocení n-mnohoúhelníků, u kterých strana každého z nich je zároveň stranou sousedního mnohoúhelníku a žádné dva sousední mnohoúhelníky neleží v téže rovině.“1 Tyto mnohoúhelníky se nazývají stěny mnohostěnu, jejich vrcholy jsou vrcholy mnohostěnu a jejich strany jsou hrany mnohostěnu. Tak jako mnohoúhelníky můžeme i mnohostěny rozdělit na konvexní (Obr. 1)
a
nekonvexní (Obr. 2). Konvexní mnohostěn obsahuje s každými dvěma svými body X, Y i celou úsečku XY. Pro nekonvexní mnohostěny to neplatí.
Obr 1 – Konvexní n-úhelník
Obr. 2 – Nekonvexní n-úhelník
Pro konvexní mnohostěny platí Eulerova věta: „V konvexním mnohostěnu je součet počtu stěn a počtu vrcholů roven počtu hran zvětšeném o dvě, tj. platí: s + v = h + 2.“ Tento vztah mohou žáci snadno odvodit sami. Stačí si jen vypsat dostatečné množství těles a jejich stěny, vrcholy a hrany. Mnohostěny ještě můžeme rozdělit na pravidelné, polopravidelné a nepravidelné. Platónská tělesa (pravidelné mnohostěny) Obdobou pravidelných mnohoúhelníků v rovině jsou v prostoru pravidelné mnohostěny (Obr. 3). 1
Pravidelné (platónské) těleso je konvexní mnohostěn, jehož všechny stěny jsou
Polák J., Středoškolská matematika v úlohách II, Prométheus, Praha 1999
navzájem shodné pravidelné mnohoúhelníky. Všechny hrany jsou stejně dlouhé a úhly stejně veliké. A v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn a hran. V rovině můžeme sestrojit mnoho pravidelných mnohoúhelníků, v prostoru je počet pravidelných mnohostěnů omezen na pět. Jsou to: Pravidelný čtyřstěn (je to těleso s nejmenším možným počtem stěn), pravidelný šestistěn (krychle), pravidelný osmistěn, pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn.
Obr.3 - Pravidelná tělesa: Čtyřstěn (tetraedr), Šestistěn (hexaedr), Osmistěn (oktaedr), Dvanáctistěn (dodekaedr), Dvacetistěn (ikosaedr). Tabulka 1. – Přehled pravidelných těles České označení
Mezinár. označení
Počet stěn
Počet vrcholů
Počet hran
Tvar stěny
Počet hran jednoho vrcholu
Počet hran jedné stěny
Čtyřstěn
Tetraedr
4
4
6
Rovnostranný trojúhelník
3
3
Šestistěn
Hexaedr
6
8
12
Čtverec
3
4
Osmistěn
Oktaedr
8
6
12
Rovnostranný trojúhelník
4
3
Dvanáctistěn
Dodekaedr
12
20
30
Pravidelný pětiúhelník
3
5
Dvacetistěn
Ikosaedr
20
12
30
Rovnostranný trojúhelník
5
3
To, že je těchto těles jen pět může být pro někoho udivující a někdo tomu také nemusí věřit a může mít námitku: „Co když je jich více a nějaká jsme třeba ještě ani neobjevili!“ Dokážeme, že tomu tak není, že jich je opravdu jen pět a ani o jedno více.
Důkaz je velmi jednoduchý: Nejednodušší mnohostěn (čtyřstěn) má stěny tvořené třemi rovnostrannými trojúhelníky. Pravidelné mnohostěny, jejichž stěny tvoří rovnostranné trojúhelníky, jsou tři. Další už nejsou. V tetraedru se stýkají ve vrcholu tři rovnostranné trojúhelníky, v oktaedru se stýkají čtyři rovnostranné trojúhelníky a v ikosaedru pět rovnostranných trojúhelníků. V dalším pravidelném mnohostěnu by se muselo stýkat v jednom vrcholu šest rovnostranných trojúhelníků.
Jenže, když těchto šest rovnostranných trojúhelníků s jedním společným
vrcholem poskládáme tak, aby měli jeden společný vrchol, dávají dohromady pravidelný šestiúhelník. Nemohou tak tvořit prostorový útvar. (Vnitřní úhel rovnostranného trojúhelníku má 60°. Tedy 5 . 60° = 360°) Stejné je to se čtverci. Pravidelný mnohostěn se čtvercovými stěnami je jen jeden. Je to krychle, kde se v jednom vrcholu stýkají tři čtvercové stěny. Kdyby se stýkaly jen dvě stěny, tak je to málo a čtyři stěny nám už dávají dohromady také rovinu a tvoří větší čtverec. (Vnitřní úhel čtverce má 90°. Tedy 4 . 90° = 360°) Pravidelný mnohostěn s pravidelnými pětiúhelníkovými stěnami je také jen jeden (dodekaedr). V jednom vrcholu se zde stýkají tři stěny. Opět, kdyby byly jen dvě, je to málo a kdyby byly čtyři, je to už moc. (Vnitřní úhel pětiúhelníku má 108°. Tedy 4 . 108° = 432°, 432° > 360°) Šestiúhelníkové a další mnohoúhelníkové stěny jsou vyloučeny. Ale připusťme existenci mnohostěnu s šestiúhelníkovými stěnami. V jednom vrcholu by se stýkaly buď dvě stěny, což je málo nebo tři stěny a to je již moc. Stejné je to i pro další mnohoúhelníky. (Vnitřní úhel šestiúhelníku má 120°. Tedy 3 . 120° = 360°)
Důkaz není opravdu moc těžký a nejsou k němu potřeba žádné odborné znalosti. Může se stát vhodným doplňkem při studiu těles na základní škole. Při provádění důkazu je vhodné vystřihnout nebo si složit z papíru potřebné pravidelné mnohoúhelníky – šest rovnostranných trojúhelníků, čtyři čtverce, tři pravidelné pětiúhelníky a šestiúhelníky. Tyto mnohoúhelníky pak žáci jedním vrcholem přikládají k sobě a sami objevují, že další mnohoúhelníky kromě uvedených není možné sestavit. Tento objev je pro žáky důležitější než jen vysvětlování učitele.
Obr. 4 - Důkaz, že pravidelných těles je právě 5. Tento důkaz může posloužit i pro další „hraní“ s rovinnými pravidelnými útvary ⇒ mozaikové dlaždice. Další vlastnosti pravidelných mnohostěnů Pro hexaedr a oktaedr a pak pro dodekaedr a ikosaedr platí, že středy stěn jednoho tělesa jsou vrcholy druhého tělesa. Takovýmto dvojicím těles se říká duální mnohostěny. Tetraedr je duální sám k sobě. Co znamená duální? Znamená to, že jedno těleso lze vepsat do druhého. Jak se dá poznat, že jsou tělesa k sobě duální? Jde to velmi snadno. Počet stěn jednoho tělesa je stejný jako počet vrcholů druhého tělesa (viz. Tabulka 1). Když najdeme v tělese středy stěn a tyto středy pospojujeme, dostaneme jiné těleso. Duální tělesa mají stejný počet hran, neboť sčítání je komutativní operace:
s+v=v+s.
A víme, že platí Eulerův vztah:
s+v=h+2. Pravidelným mnohoúhelníkům je možné vepsat či opsat kružnici. Stejně tak pravidelným mnohostěnům lze vepsat a opsat kulovou plochu, neboť pro všechny pravidelné mnohostěny platí: Střed pravidelného mnohostěnu má tutéž vzdálenost od jeho vrcholů (střed koule opsané) a tutéž vzdálenost od jeho stěn (střed koule vepsané). A jak najdeme tento střed? Nejednoduší je sestrojit rovinu souměrnosti těchto mnohostěnů. Řezem mnohostěnu rovinou souměrnosti je mnohoúhelník. Najít střed kružnice opsané mnohoúhelníku již není tak složité. Provedeme-li řez čtyřstěnem, dostaneme trojúhelník, šestistěnem – čtyřúhelník, osmistěnem – čtyřúhelník, dvanáctistěnem – šestiúhelník, dvacetistěnem – šestiúhelník.
Trocha historie Těchto pět pravidelných těles znali starořečtí matematici na přelomu 5. a 4. století před naším letopočtem. Prvním matematikem, který se zabýval dodekaedrem a ikosaedrem, byl Theaitetos z Athén (410 – 368 př. n. l.). Ovšem lze také nalézt, že to byl již Pythagoras ze Samu (550 – 501 př. n. l.). Když se ale těmito tělesy zabývali již tito filosofové a matematici, proč nesou název podle Platona (427 – 347 př. n. l.)? Platon dal této pětici pravidelných
mnohostěnů zvláštní filosofický význam. Předpokládal totiž, že atomy, nedělitelné částice živlů, z nichž je tvořen svět, mají tvar pravidelných mnohostěnů. Tedy, že pravidelný čtyřstěn představuje oheň, pravidelný šestistěn zemi, pravidelný osmistěn vzduch a dvacetistěn vodu. Dvanáctistěn považoval za představitele jsoucna, všeho co existuje. Platon říká, že ho Bůh určil pro Vesmír.
Polopravidelné mnohostěny Polopravidelné mnohostěny jsou také konvexní a jejich stěny jsou pravidelné mnohoúhelníky, které se v každém vrcholu
stýkají stejným způsobem. Rozdíl od
pravidelných je v tom, že všechny stěny nejsou shodné. Polopravidelných mnohostěnů je mnoho. My se budeme zabývat menší skupinkou a to tělesy, které nesou zvláštní označení – Archimédovská.
Archimédovská tělesa Takto říkáme mnohostěnům, které vzniknou ořezáním hran či vrcholů pravidelných mnohostěnů a jejich řezy jsou pravidelné mnohoúhelníky. Archimédes (287 – 212 př. n. l) objevil těchto těles třináct. Čtrnácté objevil teprve Aškinuze (1957), který jej získal ořezáním krychle. Toto těleso proto bývá v některých knihách a článcích označováno jako Aškinuzeho. Stejně ho budu označovat i já. Přesný překlad z angličtiny totiž neexistuje – rhombicuboctahedron.
Obr. 5. – Aškinuzeho těleso Nejznámějším Archimédovským mnohostěnem je kubooktaedr (obr. 6), který vznikne ořezáním krychle nebo osmistěnu. Stěny tohoto mnohostěnu tvoří čtverce a rovnostranné trojúhelníky. Velmi používaným Archimédovských tělesem, i když si to většina neuvědomuje, je komolý dvacetistěn. Tento komolý dvacetistěn znázorňuje fotbalový míč (Obr. 7).
Je tvořen z dvanácti pravidelných pětiúhelníků a z dvaceti pravidelných
šestiúhelníků. Vznikl ořezáním pravidelného dvacetistěnu.
Obr. 6 – Kubooktaedr
Obr. 7 – Komolý dvacetistěn
Mezi polopravidelné mnohostěny řadíme také kolmé n-boké hranoly (Obr. 8), jejichž podstavou je pravidelný mnohoúhelník a výška je rovna délce straně tohoto mnohoúhelníku. Těchto mnohostěnů je nekonečně mnoho. Dále sem také patří n-boké hranolce (Obr. 9), kterých je také nekonečně mnoho. Podstavou je opět pravidelný mnohoúhelník a výška je též rovna délce strany mnohoúhelníku. Plášť je však tvořen rovnostrannými trojúhelníky.
Obr. 8 – Polopravidelný n-boký hranol
Obr. 9 – Polopravidelný n-boký hranolec
Deltastěny Deltastěny jsou takové mnohoúhelníky, jejichž stěny mají tvar rovnostranných trojúhelníků (Obr. 10). Odtud název deltastěn neboť řecké tiskací písmeno delta „ ∆ “ připomíná trojúhelník. Můžeme je také dělit na konvexní a nekonvexní. Nekonvexních deltastěnů je nekonečně mnoho. Konvexních deltastěnů je pouze osm. Dokázal to v roce 1947 matematik Freudenthal. Jsou to: delta-čtyřstěn (tetraedr), delta-šestistěn, delta-osmistěn (oktaedr), delta-desetistěn (pětiboká dvojpyramida), delta-dvanáctistěn, delta-čtrnáctistěn, delta-šestnáctistěn a deltadvacetistěn.
Obr. 10 – Delta čtrnáctistěn, Delta dvacetistěn
Velmi snadné je například proměnit krychli v deltastěn nad každou její stěnu doplníme čtyřboký jehlan, jehož strany jsou rovnostranné trojúhelníky. Takto získáme nekonvexní delta-dvacetičtyřstěn.
Hvězdicové mnohostěny Hvězdicové mnohostěny jsou velmi dekorativní a vznikají z mnohostěnů tak, že se stěny mnohostěnu protahují do té doby, dokud se neprotnou.
