Gedempt Massa-veersysteem © WISNET-HBO update april 2009
1 Inleiding Elke krachtenvergelijking is in feite een differentiaalvergelijking. In het volgende gaan we het gedempt massa-veersysteem onderzoeken. Hierbij gaat het over een massa die onder invloed van een demper, een veer en eventulee nog onder invloed van een uitwendige kracht staat. De uitwendige kracht noemen we ook wel input of storing. Hoe het systeem zal reageren wat betreft bijvoorbeeld de uitwijking van de massa, noemen we de output of responsie.
2 Massa-veersysteem: Krachtenvergelijking Een massa-veer-systeem met een demper waarop een uitwendige kracht werkt, heeft als krachtenvergelijking:
F =F tot
veer
CF
demp
CF
uitwendig
Q De totale kracht = som van de krachten resulteert in een versnelling a t =
d
2 2
x t .
dt 2
Dus F
tot
d
=m a t =m
2
x t
.
dt
Q Verder is de veerkracht volgens de wet van Hooke evenredig met de uitwijking x t dus: F =k x t . veer
Q De demping is evenredig met de snelheid: F
demp
=c
d x t dt
.
Q De differentiaalvergelijking van het gedempt massa-veer-systeem is dan: 2
m
d
2
dt
x t
Cc
d x t dt
Ck x t = F
uitwendig
3 Massa-veersysteem: Differentiaalvergelijking Uitgaande van de differentiaalvergelijking van het massa-veersysteem (een heel bekend tweede orde-systeem) met massa m, demping c, veerconstante k en uitwendige kracht F:
2
d x t 2 dt
m
Cc
d x t dt
Ck x t = F
Hierin kan bijvoorbeeld de uitwendige kracht (input of storing) F gelijk gesteld worden aan 0 of aan de eenheids-stap (Heaviside). Of we stellen F gelijk aan een trilling met vaste amplitude F0 en frequentie ω. Dus F = F0 cos ω t . Allerlei storingen F t zijn mogelijk.
4 Eenhedenbeschouwing Eenhedenbeschouwingen kunnen bijdragen tot beter begrip van formules die systemen beschrijven. Zie ook de les Eenheden bij Basiskennis-Breuken. Ga uit van het gedempt massa-veersysteem. Dit systeem wordt beschreven door de volgende differentiaalvergelijking. Het gaat daarbij om de som van de krachten die op een massa m werken in kg en de uitwijking van de massa is x in meter.
m
d
2 2
x t
Cc
dt
d x t dt
Ck x t = F
Opgave Doe deze opgave met pen en papier. Let op dat de eenheid Newton gelijk is aan
kg m . s2
opgave a Wat zijn de eenheden van k, m en c? oplossing voor k De veerkracht k x heeft als eenheid Newton. De uitwijking x is in meter dus N de veerconstante k heeft eenheid m kg of anders geschreven s2 oplossing voor m De masa is in kg. oplossing voor c De dempingskracht (in N) is evenredig met de snelheid. De evenredigheidsconstante c heeft dus eenheid
N m s
=
Ns m
kg s
of anders geschreven:
opgave b Wat is de eenheid van
k en wat is de eenheid van m
k ? m
oplossing De eenheid van
k is m
1 s2
k is dus m
en dus is de eenheid van
1 s
.
opgave c Wat is de eenheid van
mk ?
oplossing De eenheid van
kg N m
m k is
=
kg2 s2
=
kg s
opgave d Wat is de eenheid van
c
?
mk oplossing De eenheid van c is
De eenheid van Dus
c
kg s
.
m k is ook
kg s
.
is eenheidsloos.
mk
5 Massa-veersysteem met beginuitwijking (zonder input) Er zijn verschillende mogelijkheden voor de input F t en de vraag is hoe zal de output x t zijn? Met andere woorden hoe zal de massa zich gaan bewegen (responsie) nadat vanaf t = 0 de storing F t begint? We beginnen met een eenvoudige oefening in het geval er geen uitwendige kracht is (
F = 0) alleen een beginuitwijking namelijk x 0 = 0.1 en de beginsnelheid stellen we op 0. st
Stel nu eens dat de uitwijking van de massa zich zal gedragen als x t = A e nadat we deze een klein beginuitwijking A = x(0) hebben gegeven en vervolgens weer loslaten. De onbekende s moet voldoen aan de volgende vergelijking ook wel de karakteristieke vergelijking genoemd:
2
m s Cc sCk = 0 5.1 uitwerking Gegeven is dus de differentiaalvergelijking van het gedempt massa-veersysteem. d2 d Dv := m x t Cc x t Ck x t = 0 2 dt dt Stel nu eens dat de uitwijking van de massa zich zal gedragen als x t = A es t nadat we deze een klein beginuitwijking hebben gegeven en vervolgens weer loslaten. Vul deze functie eens in in de differentiaalvergelijking. De grootheid s kan dus ook complex zijn! (Zie de les over de gedempte trillingen.) x t := A es t verg := m A s2 es t Cc A s es t Ck A es t = 0 Zo te zien valt er erg veel te vereenvoudigen! We delen alles links en rechts door A en ook door de e-macht. m A s2 es t Cc A s es t Ck A es t =0 A es t 2 m s Cc s Ck = 0
1 Kc C 2
c2 K4 m k 1 cC ,K m 2
1 c 1 s1 := K C 2 m 2
c2 K4 m k m
c2 K4 m k m
1 c 1 c2 K4 m k K 2 m 2 m De vorm onder het wortelteken is de discriminant. Q Als de discriminant negatief is, dan is s een complex getal en dan zijn de twee oplossingen elkaars complex geconjugeerden. We krijgen in dat geval een gedempte trilling (zie ook de les over Gedempte trillingen) s2 := K
Q Als de discriminant gelijk is aan 0, krijgen we een kritisch gedempt systeem. Q Als de discriminant groter is dan 0, krijgen we een overgedempt systeem.
6 Gedempte trilling (ondergedempt) Als de discriminant van de karakteristieke vergelijking negatief is, dan is s een complex getal en dan zijn de twee oplossingen elkaars complex geconjugeerden. We krijgen in dat geval een gedempte trilling (zie ook de les over Gedempte trillingen) Hierin is de demping dan Dv := m
d2 x t dt2
Cc
d x t dt
Ck x t = 0
m s2 Cc s Ck = 0 Rv := x 0 = 0.100, D x 0 = 0 m := 30 c := 40 k := 80.000 s1 := K0.667 C1.491 j s2 := K0.667 K1.491 j opl := x t = 0.045 eK0.667 t sin 1.491 t C0.100 eK0.667 t cos 1.491 t
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0 5
K0.02
10 t
15
20
7 Kritisch gedempt De karakteristieke vergelijking (kwadratische) vergelijking heeft twee samenvallende oplossingen. De discriminant is gelijk aan 0. d d2 x t Cc x t Ck x t = 0 Dv := m 2 dt dt m s2 Cc s Ck = 0 Rv := x 0 = 0.100, D x 0 = 0 m := 30 k := 80 c := 40 6 s1 := K1.633 s2 := K1.633 opl := 0.100 eK1.633 t C0.163 eK1.633 t t 0.100 eK1.633 t C0.163 eK1.633 t t
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0 0
5
10 t
15
20
8 Overgedempt De karakteristieke (kwadratische) vergelijking heeft twee verschillende oplossingen. De discriminant is groter dan 0. Het systeem komt dan niet meer aan trilling toe. De demping heeft de overhand. d d2 x t Cc x t Ck x t = 0 Dv := m 2 dt dt m s2 Cc s Ck = 0 Rv := x 0 = 0.100, D x 0 = 0 m := 30 k := 80 c := 100 s1 := K1.333 s2 := K2.000 opl := x t = K0.200 eK2.000 t C0.300 eK1.333 t
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0 0
5
10 t
15
20
