Gál László A KIJELENTÉSEK LOGIKÁJA

Gál László A KIJELENTÉSEK LOGIKÁJA

Kiadói tanács Dr. Benedek József egyetemi tanár (Kolozsvár) Dr. Péntek János egyetemi tanár (Kolozsvár) Dr. Rostás Zoltán egyetemi tanár (Bukarest)

EGYETEMI JEGYZETEK

Megjelent az Apáczai Közalapítvány

támogatásával

GÁL LÁSZLÓ

A kijelentések logikája

EGYETEMI MŐHELY KIADÓ Bolyai Társaság – Kolozsvár 2009

A jegyzet elkészítését az Apáczai Közalapítvány 606/21. nyilvántartási számú programja támogatta.

© Gál László; Bolyai Társaság, 2009

Lektorálta: dr. Szigeti Attila egyetemi adjunktus Szaknyelvi lektorálás: dr. Ungvári Zrínyi Imre egyetemi adjunktus Kiadja az Egyetemi Mőhely Kiadó – Bolyai Társaság, Kolozsvár Felelıs kiadó: A kiadvány felelıs szerkesztıje: Veress Károly Korrektúra: András Zselyke Borítóterv: Makkai Bence Az ábrákat készítette: Gál Theodor Eduárd Számítógépes tördelés: Czompó Csaba Nyomta az AmGraphis, Kolozsvár ISBN, ISBN

Descrierea CIP a Bibliotecii NaŃionale a României

TARTALOM ELİSZÓ Elsı fejezet. BEVEZETÉS 1.

Hagyományos logika és szimbolikus logika

2.

A nyelv fogalma

3.

A kijelentés

Második fejezet. INTUITÍV KIJELENTÉSLOGIKA 1.

A kijelentések intuitív logikája

2.

A kijelentéslogika nyelve

3.

Szimbolizálás a kijelentések logikájában

Harmadik fejezet. AZ IGAZSÁGFÜGGVÉNY 1.

Az igazságfüggvény fogalma

2.

Az igazságfüggvények logikai jelentése és fontosabb törvényeik

Negyedik fejezet. AZ ELDÖNTÉS 1.

Az eldöntés kérdése a kijelentések logikájában

2.

Eldöntési módszerek 1. Az értéktáblázatos módszer 2. Az eldöntés rövidített módszere 3. A normál (kanonikus) formák módszere

Ötödik fejezet. A KÖVETKEZTETÉS 1.

A következmény reláció

2.

A deduktibilitási viszony

3.

Az ekvivalencia reláció

Hatodik fejezet. A KIJELENTÉSEK LOGIKÁJÁNAK AXIOMATIZÁLÁSA 1. A kijelentések logikájának axiomatikus felépítése

Függelék

1. függelék. Logikai szimbolizálás és értelmezés (részlet), in Gál László (2003), Társadalom és logikusság, Kriterion Könyvkiadó, Kolozsvár, 162 - 177. 2. függelék. A H1 rendszer tulajdonságai 3. függelék. ERNEST NAGEL, JAMES R. NEWMAN: A GÖDEL-BIZONYÍTÁS* , in Gál László, Szigeti Attlia (2001), Logika (szöveggyőjtemény), Studium Kiadó, Kolozsvár. 4. függelék. Gál László (2003) Gödeli kérdés* , in Társadalom és logikusság, Kriterion Könyvkiadó, Kolozsvár, 57- 66. IRODALOM Tárgymutató

A könyvben használt fontosabb szimbólumok

*

E. Nagel – J. R. Newman: Gödel’s Proof. Copyright © 1956 by Scientific American, Inc. Minden jog fenntartva. Változatlan új kiadás a Scientific American, Inc. engedélyével. Magyarul megjelent: Copi I.M., Gould J.A. (1985) Kortárs tanulmányok a logikaelmélet kérdéseirıl. Budapest, Gondolat. 70-103. * Eredeti megjelenés angol nyelven (Gödelian question) Studia Universitatis Babeş-Bolyai, Philosophia, 2001,XLVI, 1-2, 83-89.

Elıszó E könyv elsısorban azoknak szól, akik másodéves filozófus hallgatókként tantervük követelményei szerint kötelesek levizsgázni logikából. Viszont haszonnal kézbe vehetik az egyetem többi szakain hallgató diákok is, amennyiben tantervükben szerepel a logika. De bárkinek, aki a logika iránt érdeklıdik, remélem, nem okoz majd csalódást. Miért A kijelentések logikája e könyv címe? Több érv szól e mellett. Egyrészt 2007-ben az egyetemi kiadó megjelentette a Hagyományos logika címő könyvemet. A könyv a következtetésnek nem egy logikatörténeti megközelítése volt. Hanem elsısorban annak a célnak rendelıdött alá, hogy megadja azokat a logikai eszközöket, melyek segítségével a filozófiatörténet, de általában véve a eszmetörténet problematikája iránt érdeklıdnek sikeres vezérfonalat , vagy gondolati támogatást nyújtson a különbözı korok megértésében. Például elég nehezen lehet megérteni azt, hogy miért „Isten a legfelsı és legvégsı” szubsztancia, ha nem ismerjük a fogalmak elméletének hagyományos logikai elsısorban extenzionális megközelítését. Azaz a fogalmak közötti alá- és fölérendelési viszonyokat. A történet viszont nem állt meg itt. A XIX. század végén és a XX. században a szekularizáció kiteljesedése, a modern társadalom komplexitásának növekedése, valamint mindazok a folyamatok, amelyek az utóbbi 150 év folyamán lejátszódtak végeredményben az arisztotelészi fogantatású hagyományos logika megkérdejelzıdése felé vezettek. Megkérdejelızése, de nem elfelejtése fele. A végbemenı matematizálási folyamatnak az lett az eredménye, hogy a diszciplinarizálódó tudományok egyre átfogóbb és komplexebb matematikát építettek be saját elméleteikbe. A logikában George Boole, Augustus De Morgan és nagymértékben Gottlob Frege e folyamat elindítói a XIX. században. Nekik köszönhetı a logikai függvényfogalom, a logikai kalkulus és a szimbolikus logikai nyelv kialakulása. A XX. század elsı felében Bertrand Russell, Alfred North Whitehead valamint Ludwig Wittgenstein munkássága révén megszületik az új logika elsı két paradigmatikus elmélete: a kijelentések logikája és a predikátumok logikája. Az új logika megjelenése a hagyományos logikával szembeni ellenszenvet és tagadását idézte elı. A változás a múlt század ’20 éveinek végén következett be. Jan Lukasiewicz lengyel logikus ekkor alkalmazta sikerrel a hagyományos logika tematikájának kifejtésében a szimbolikus logika adta eszközöket és ezzel felhívta a figyelmet arra, hogy bizonyos értelemben folytonosság van elméleteik között, következésképpen nem kell a történelem lomtárába dobni. A század második felében Rudolf Carnap, Alfred Tarski, Willard van Orman Quine, de nem kevésbé Saul Kripke, Alonzo Church vagy Kurt Gödel jelentıs hozzájárulásokkal véglegesítették és bıvítették az új logika elméleteit és dolgoztak ki oktathatósági mintát. Következésképpen e könyv a szimbolikus logika alapvetı elméletét tartalmazza, nevezetesen a kijelentések logikáját. Azért nevezem alapvetınek, mert ezen elmélet eszköztára bizonyos értelemben beépül a predikátumok logikájának, a többértékő logikák, a modális logika, az idı logikája, a kérdések logikája, a logikai szemantika stb. elméleteibe is és nélküle szinte érthetetlenek. Az idık folyamán a kijelentések logikájának elmétét több megnevezéssel illeték meg. A XX. század közepén logisztikának nevezték. Utólag e szó kikerült az új logika megnevezései közül. Jelenleg e szó egészen más értelemmel rendelkezik. Vele illetik meg azt a komplex ellátási folyamatot amit a harcban levı hadseregek ígényelnek (kezdve a felszereléssel, folytatva az étkeztetéssel, a mozgékonyság biztosításával, a kommunikációs rendszerek kidolgozásával és használatával stb.). De szintén logisztikának nevezhetı a civil szférában lezajló komplex termelésellátási folyamatot is.

A múlt század második felében kijelentések logikájának (logic of propositions, logique des proposition) nevezték. Újabban egyre inkább teret hódít a nullarendő logika megnevezés, utalva ezzel ennek alapvetı voltára.

Gál László Kolozsvár, Zsobok 2009 január – március

E – mail: [email protected]

Elsı fejezet

BEVEZETÉS 4.

Hagyományos logika és szimbolikus logika

5.

A nyelv fogalma

6.

A kijelentés

E bevezetı fejezetben kapcsolatot teremtünk a hagyományos logika, illetve a szimbolikus logika, nevezetesen a kijelentések logikája között. A második részben bemutatunk egy általánosított nyelvfogalmat. Ez képezi a kijelentésslogika mesterséges nyelvének kidolgozási alapját. Végül pedig megvizsgáljuk, hogy az „új” logika mit tekint kijelentésnek. • A téma célja bemutatni a hagyományos és a szimbolikus logika közötti kapcsolatot, valamint azokat az alapvetı különbségeket, amelyek a következtetés tárgyalásának hagyományos logikai és szimbolikus logikai eszközeinek másságából fakadnak • A téma átvétele után képes kell legyél világosan látni a következtétés fele való közelítés eszközökbeni különbségeit. 1. Hagyományos logika és szimbolikus logika A hagyományos logika keretei között a logikát a helyes következtetés tudományaként határoztuk meg. A logika ezen új fejezete, a szimbolikus logika keretei között a megadott meghatározás érvényes marad. Viszont mi az ami alapvetıen új? Elsısorban az, hogy a kijelentések logikája más eszközökkel közelít a következtetés problematikájához. Ezen eszköz pedig a szimbolikus nyelv. A szimbólumok alkalmazása a hagyományos logikában sem volt ismeretlen. Így a kijelentések szubjektumát és predikátumát S-el és P-vel jelöltük, vagy a szillogizmus középsı terminusára az M jelet használtuk. A feltételes és szétválasztó szillogizmusokban A, B és C-vel jelöltük a benne részt vevı kijelentéseket. A kijelentéskalkulus szimbolikus nyelvében viszont a szimbólumok alkalmazása teljes és átfogó lesz. Miért van erre szükség? Azért mert ebbıl több elıny származik. Így logika kifejezésmódja gazdaságosabbá válik, más szóval kevesebb jel használatával többet fejezhetünk ki. Továbbá, nagyrészt lemondhatunk a folytonos természetes nyelvi

példázásokról. Valamint, és ez a legfontosabb, lehetıvé válik a logikai kalkulus végzése. Emiatt a következtetések helyességének vizsgálata többé nem túlnyomórészt intuitíven történik, hanem a logikai kalkulus sokkal szigorúbb és megbízhatóbb eszköze segítségével. A szimbolikus nyelv használata egyben a természetes nyelven kifejezett következtetések új modelljét nyújtja és ez sokban különbözik a hagyományos logikai megközelítésmód nyújtotta modelltıl. Ez nem jelenti viszont azt, hogy a szimbolikus és a hagyományos logika között nincs semmilyen folytonosság. A bevezetı kezdetén mondtuk már, hogy a tárgyunk ugyanaz, a következtetés. Csakhogy a szimbolikus logika a következtetés egy általánosabb és elvontabb tárgyalását jelenti, ahol az érvényesség vizsgálata a lehetséges szintjén történik, eltekintve konkrét tartalmaktól és így a konkrét kijelentések igazságértékétıl, ami miatt az érvényesítı logikai formákra koncentrálhatunk. Az általános logikai formák visszahelyezhetık az emberi pszihikum kognitív szerkezetébe, mint mentális logika. A mentális logika fogalma, amely a kognitív információt feldolgozó legfontosabb eszköz egyben lehetıvé teszi az emberi pszichikum ilyen jellegő modellálását és így egy mély és elválaszthatatlan kapcsolat kialakítását a logika és a pszichológia tudományai között. Ebben az esetben a pszichológia elemzési és értelmezési eszköze a logikából átvett. Ezt tette például J. Piaget amikor a gyermeki kognitív fejlıdést vizsgáló kísérleteiben az eredményeket a kijelentéskalkulus segítségével értelmezte és megállapította ennek szakaszait. A kép világossá tételéhez nézzük meg milyen "szintek" között fogunk mozogni. Megkülönböztettük eddig a következtetést, mint a logika tárgyát. A következtetések nem vizsgálhatók csak nyelvi megnyilvánulásaikban (ez az állítás persze nem kizárólagos, mert a pszichológusok elfogadottnak tekintik a "képi gondolkodást" , ami a logika szempontjából a képekkel való következtetést jelenti). Leggyakoribb megnyilvánulási helye pedig a természetes nyelv. Ezt vizsgálni lehet a hagyományos logika eszközeivel és ekkor a következtetés hagyományos logikai modellje alakul ki. Továbbá ugyanazokat a természetes nyelvi következtetéseket vizsgálni lehet a szimbolikus logika eszközeivel. Ebben az esetben a következtetés szimbolikus logikai modellje alakul ki. Ezt a modellt pedig alkalmazni lehet az emberi pszichikum formális oldalának értelmezésében. Ez azt jelenti, hogy a szintek a következık: természetes nyelvi következtetés, a hagyományos logika vagy a szimbolikus logika eszközei (nyelvei) és az innen adódó különbözı modellek.

Természetes nyelvi

←

A hagyományos logika eszközei

→

A következtetés hagyományos logikai modellje

←

A szimbolikus logika eszközei (nyelve)

→

A következtetés szimbolikus logikai modellje

Következtetés

↓

Természetes nyelvi

←

A hagyományos logika eszközei

→

A következtetés hagyományos logikai modellje

←

A szimbolikus logika eszközei (nyelve)

→

A következtetés szimbolikus logikai modellje Alkalmazás

Következtetés

1. ábra. A következtetések elemzési szintjei Ezen ábrából kiderül, hogy az elemzés alapszintjét a természetes nyelven kifejezett következtetés képezi. A természetes nyelven megfogalmazott következtetést viszont csakis egy tıle különbözı, rajta kívül álló nyelvbıl lehet vizsgálni, mivel egyetlen tudományos nyelv sem mondhat semmit önmagáról, azaz nem lehet autoreferenciális. E két nyelvet két névvel illetik meg. Az egyik a tárgynyelv, a másik a metanyelv. Tárgynyelven itt azt a nyelvet értjük, amelyen a következtetést megfogalmazzuk. A metanyelv, pedig az, amelyen kijelentéseket fogalmazunk meg a tárgynyelvrıl, az a nyelv amelyben elhelyezkedve mi a tárgynyelvet, végül is a természetes nyelvi következtetéseket vizsgáljuk. Az elemzés eredményeképpen nyert modellek pedig különbözı területeken alkalmazhatóak. Ez történt a következtetés szimbolikus logikai modelljével is, amikor J. Piaget, J. Fodor stb. e modellben a mentális formát vélték felfedezni és így a kognitív pszichológia magyarázataiban használták fel. Az alkalmazási lehetıségek viszont nem állnak meg csak itt. A számítógépek végeredményben a kijelentések logikájának mőszaki alkalmazásai. Ennek hosszabbtávú eredménye pedig az amit jelenleg mi már digitális világnak nevezünk. Összefoglalás. A következtetés központi logikai kérdése fele különbözı eszközökkel lehet közelíteni. A hagyományos logikán kívül ilyen eszköket szolgáltat a szimbolikus logika. Ebben a megközelítésben a természetes nyelvi következtetés tárgynyelvet, a hagyományos logikai és a szimbolikus logikai elemzése pedig a metanyelvet jelenti.

2. A nyelv fogalma • A téma célja bemutatni a nyelvek felépítési módját. • A téma átvétele után képes kell legyél megérteni mind a természetes, mind a mesterséges nyelvek szintaktikai és szemantikai szerkezetét. A fentiekben elmondottak feltételezik egy adott nyelvfogalom meglétét. Ahhoz, hogy ezt kialakítsuk vizsgáljuk meg a nyelvek általános szerkezetét. A természetes nyelv szerkezetébıl kiindulva a következı elemeket azonosíthatjuk. Elıször is minden nyelvben megvannak a jelek, vagy szimbólumok. Ha idegen nyelveket

tanulunk, akkor azzal kezdjük, hogy elsajátítjuk az illetı nyelv ábécéjét (A). A nyelvben meglévı jelek kimondott-, vagy írott formái a hangok és a betők. Tehát egyetlen nyelvet sem lehet elképzelni ábécé nélkül. Az ábécéhez hozzáadódnak aztán jeleinek használati szabályai. E szabályok alkalmazása által nyerünk helyes vagy jólformált kifejezéseket az illetı nyelven. A jelhasználati szabályok összessége képezi adott nyelv szintaxisát. E szabályok az illetı nyelv grammatikájához (G) tartoznak. A szintaxis természetes nyelvenként különbözik. Elsajátítása adott esetben elég nagy erıfeszítést igényel. Tehát minden nyelv alapvetıen ábécébıl és grammatikából tevıdik össze. Nyelv = Ábécé (A) ∪ Grammatika (G) , ahol az ∪ jele az egyesítést jelenti. Ezzel viszont nem merítettük ki a nyelv összes elemét, mivel minden nyelvnek megvannak azon szabályai is amelyek segítségével külön választhatjuk a megfogalmazható kijelentések közül azokat, amelyek értelmesek és jelentenek. például a magyar nyelv szintaktikai szabályai szerint jólformált a „krimpusz” szó, ellenben hozzá nem társul sem értelem, sem jelentés. Tehát a grammatikában a szabályok egy másik csoportja is elkülöníthetı, éspedig a szemantikai szabályok. A szemantika, a jelentés kérdését tekinti központinak. Következésképpen a nyelvek grammatikája két szabálycsoportot foglal magába a szintaktikai és a szemantikai szabályok csoportját. Grammatika = Szintaktikai szabályok (Szi) ∪ Szemantikai szabályok (Sze). Sorra véve most a szabályokat a következı csoportok azonosíthatók. 1. A szintaktikai szabályok csoportja. a. A kialakítási szabályok. E csoport azt szabályozza, hogy az ábécé jeleibıl miként nyerhetünk jólformált kifejezéseket. Például a "mαmα" szó nem jólformált a magyar nyelvben, mivel benne a görög ábécé "alfa" betője szerepel és ez nem tartozik a magyar nyelv ábécéjéhez. Tehát mint nem jólformáltat el kell utasítanunk. b. Az átalakítási szabályok csoportja megmondja, hogy jólformált kifejezésekbıl miként nyerhetünk újabb jólformált kifejezéseket. Például a "tehetséges"-bıl a "legtehetségesebb" kifejezést. Viszont a "legmegtehetségesebb" kifejezés nem jólformált a magyar nyelvben mivel nem tartja be a felsıfok képzésének nyelvtani, azaz szintaktikai szabályát. Emiatt el kell utasítanunk. c. A leválasztási szabályok szerint kapjuk meg a jólformált kifejezések egy adott halmazából az összes lehetésges újabb jólformált kifejezést. Például abból a kijelentésbıl, hogy "Minden ember halandó." azt, hogy "Szókrátész halandó." Ha visszagondolunk a hagyományos logika keretei között tárgyaltakra, akkor világos, hogy itt egy következtetésrıl van szó az általánostól az egyedi fele, amit érvényesen meg lehet tenni. A leválasztási szabályok csoportja, tehát a következtetés szintaktikai oldalára vonatkozik. 2. A szemantikai szabályok csoportja. a. Az értelemkeltı szabályok segítségével választhatjuk külön az értelmes kifejezéseket az értelmetlenektıl. Az értelmes kifejezések közül egyeseknek megvannak a maguk jelöletei. A jelöletek azonosítása a jelölési szabályok szerint történik. b. Az igazságszabályok szerint tulajdonítunk igazságértéket kijelentéseinknek. Ezt leggyakrabban az igaz vagy a hamis igazságérték valamelyikének tulajdonításával

tesszük. Megtörténik viszont, hogy az igazságérték odarendelése nem oldható meg egy kétértékő logika keretei között és ekkor több igazságértéket tekintünk elfogadottnak és ezek közül rendelünk hozzá egyet kijelentésünkhöz. Továbbá az igazságszabályok szerint teremtünk kapcsolatot az igaz kijelentéseink között. Logikailag a szemantikai szabályok csoportja a következtetésben részt vevı kijelentések igazságértékeinek összefüggéseit szabályozza. Mindkét szabálycsoport megfogalmazása a nyelv szintaktikai és szemantikai oldalára próbál fényt vetni. A természetes nyelv viszont egy nagyon bonyolult társadalmi, kultúrahordozó és egyben kultúrspecifikus jelenség. E szabályok nem meríthetik ki a maga teljességében. A XX. században a természetes nyelvek felépítési mintájára alkották meg az eszperantó nyelvet. E mesterséges nyelv szerkezete nagyon közel állt a természetes nyelvekhez. Ennek ellenére nem terjedt el és nem tudta betölteni azt a szerepet amit neki szántak. Nem vált az emberiség általánosan ismert kommunikációs eszközévé ezáltal megkönnyítve az emberek és kultúrák közötti kapcsolatokat. Hiányossága éppen abban állt, hogy az eszperantó nyelvhez nem tartozott egyetlen specifikus kultúra sem, hanem csak különbözö nyelvek szavait tartalmazta, anélkül az a többérrtelmőség és kifejezıképesség is benne lett volna ami a kultúrahordozó természetes nyelvekben megvan. A múlt század mesterséges nyelvalkkotási kíséreltei viszont nem voltak mind sikertelenek. Erre példa a szimbolikus logika nyelve. Emellett viszont ott vannak mindazok a mesterséges nyelvek amelyek a számítógépek 1940-töl kezdıdı történetével kapcsolatosak. A szoftok fejlıdése egyben a számítógépnyelvek fejlıdését is jelentették, persze a hozzájuk tartozó szemantikák egészen más jellegőek és sokkal gyngébb kifejezıerejőek mint a természetes nyelvek. Ilyen nyelvek az informatika területérıl ismert Cobol, Fortran, Algol stb. Ahhoz, hogy a kép valamennyire teljes legyen a szintaktikai és szemantikai oldalon kívül feltétlenül meg kell említenünk a pragmatikai oldalt is. Ez arra vonatkozik, hogy mikét használnak egy nyelvet. Ugyanazon kijelentés különbözı kontextusokban különbözı értelemmel és jelentéssel rendelkezhet. A nyelv segítségével, az emberi tevékenységen keresztül környezetünket, a természetet és társadalmat vagyunk képesek módosítani. Vagy, az ember a nyelven keresztül projektálja, vetíti ki magát. Azaz, belsı "világát" nagyrészt a nyelven keresztül teszi külsıvé, mások által is érzékelhetıvé és megérthetıvé. A tudományos kutatás, általában a tudomány nem fogható fel a nyelven kívül. És amennyiben ez így van tisztában kell lenni szerkezetével. Tisztában kell lenni továbbá azzal is, hogy a pszichológiai diskurzus tárgynyelvi vagy metanyelvi szintjén helyezkedünk-e el. Ha ezt nem látjuk világosan, akkor a félreértések és fölösleges viták meddı területére kerülünk.

3. A kijelentés A hagyományos logikában a kijelentést úgy határoztuk meg, hogy „az az alapvetı logikai forma, amelyben valamirıl állítunk valamit és hozzárendelhetı vagy az igaz, vagy

a hamis logikai igazságérték.”1 A kijelentés megnevezése a magyar „kijelentı mondat” megnevezésbıl származik. A kettı valamelyike között választhatunk mostani megnevezésében. A mondat szava nem kielégítı, mivel nem minden kijelentı mondat egyben logikai értelemben is az. Például a z „İ jött el éjfélkor.” kijelentı mondat logikai értelemben nem az, mivel nem tudjuk ki az az „İ”, aki éppen eljött. Emiatt nem tudunk hozzárendelni semmilyen logikai igazásgértéket. Ha viszont tudjuk, hogy az említett „İ”, Pista vagy Tibor, akkor az igazságérték kérdése megoldható. Emiatt rögzíteni kell az „İ” kontextuális értelmét. Így már meg lehet állapítani a kijelentés igazságértékét, azaz állításunk tárgya egyértelmővé és megkérdıjelezhetetlenné vált. Szerkezetében pedig megkülönböztettük a logiai szubjektumot és predikátumot. E meghatározásnak a mostani szempontunkból számos elégtelensége van. Szerinte eléggé nehéz megkülönböztetni a szubjektumot és predikátumot, mivel az e funkciót betöltı fogalmak felcserélhetık, azaz a szubjektumként szereplı fogalom predikátummá válhat és fordítva. Emiatt a kettı megkülönböztetése viszonylagos. Továbbá a hagyományos logika nem tud mit kezdeni azzal a kijelentéssel, hogy „Mária anyja vízért ment.”, mivel az anyaság reláció. És végül ebben a logikában nincs semmilyen különbség a között, hogy „A macska állat.” és „A narancssárga kellemes szín.”, annak ellenére, hogy az elsı a macskákat besorolja az állatok osztályába, a második pedig tulajdonságot fejez ki. Számos gond van azzal is, hogy a kijelentésben az állítás mirıl szól és milyen igazságértéket rendelünk hozzá. Például senkit sem lep meg ha a következıket állíjuk: (1) Ma szép idı van. (2) A világ politikai viszonyai kiélezıdtek. (3) A fák mőanygból vannak. (4) A Discovery őrrepülıgép megérkezett a világ közepébe. (5) A hétfejő sárkány ötödik fején kalap van. Az elsı két állítás megszokott, elvárásainknak megfelelı. Ezzel szemben azt állítani a fákról, hogy mőanyagból vannak teljesen meglepı és váratlan. Ez azért van így, mert egyáltalán nem felel meg a valóságnak az, hogy a fák és a mőanyag együtt alkotnának egy dolgot. Emiatt az állítást egyszerően hamisnak tekinthetjük. Ez az az alapvetı különbség ami szerint különbözıképpen értékeljük egyrészt az elsı két állítást, valamint a harmadikat. Másszóval az elsı két állítás pozitív értéket jelenthet számunkra akkor amikor kiválasztjuk öltözékünket, vagy a világ politikai állapotáról akarunk tájékozódni. Innen adódik igaz voltuk. Ellenben a fáról azt állítottuk, hogy mi nem és nem azt, hogy valójában mi. Emiatt hamisnak tekinthetjük. A három állításban van azonban valami közös. Éspedig az, hogy mind a mai nap, mind a szép idı, mind a világ politikai viszonyai, mind a kiélezıdés, és mind a fák és mind mőanyagok valóban létezı dolgokat megnevezı szavak és ezek összekapcsolásából jöttek létre a mondatok, azaz az állítások. Csakhogy egyeseket igazként, másokat pedig hamisként értékeltünk. A (4)-es és az (5)-ös mondatokban a létezı Discovery őrrepülıgéprrıl állítottuk azt, hogy megérkezett a világ nemlétezı közepébe, illetve a nemlétezı hétfejő sárkányról állítottuk azt, hogy nemlétezı ötödik fején kalap van. Hogyan értékeljük az ezen mondatokkal kifejezett állításokat? Az egyik lehetıségünk az, hogy egyszerően hamisaknak tekintsük ıket, azon az alapon, hogy nemlétezı dolgokról állítanak. A másik 1

Gál László (2007) Hagyományos logika, Egyetemi Mőhely Kiadó, Bolyai Társaság, Kolozsvár, 50.

lehetıségünk az, hogy mivel nemlétezı dolgokró állítanak ne is tekintsük ıket mondatoknak a szó logikai értelmében. Az utolsó lehetıségünk pedig az, hogy rendeljünk referenciát a nemlétezıt jelölı szóhoz és így igazzá válik. Melyek lehetnek ezek a referenciák? A világ közepe esetében a referenciát a nullaentitás képezhetné. A hétfejő sárkány esetében pedig az a mesefigura, amelyet bármely óvódás gyerek képes lerajzolni. Tehát ez utóbbi két mondatunk lehet igaz, vagy lehet hamis, vagy nem tekinthetı mondatnak és így igazságértékkel sem rendelkezik. Melyiket válasszuk ezen három lehetıség közül? Valyon van-e valamilyen logikai szabályszerőség arra, hogy választásunkat vezérelje? Ilyen szabályszerőség sajnos nincs. Emiatt a válsztás alapját csakis az egyéni hit vagy meggyızıdés képezheti. Vagyis igaznak tekinthetjük ezen mondatokat akkor, ha meg vagyunk gyızıdve a világ közepének, valamint a hétfejő sárkánynak a létezésérıl. Következésképpen elsı három mondatunk létezıkrıl állít, míg az utolsó kettı pedig nemlétezıkrıl. Ezt általánosítva állapíthatjuk meg, hogy a létezés nem képezi az állíthatóság korlátját. A létezés az emberi elmén kívül elhelyezkedı dolgokból áll össze. Persze maga az emberi elme is a létezık körébe tartozik. Az emberi elmét a szavak, azaz a fogalmak sokasága népesíti be, amelyekkel mind létezıket, mind nemlétezıket meg lehet nevezni. Azt, hogy e szavak, azaz fogalmak miképpen állanak össze állításokká nem szabályozza semmi, vagy amint azt az elıbb konkrétabban megállapítottuk, ennek nincsenek logikai korlátai. Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy elvileg bármi állítható. Sıt a bárminek az állítása képezi az emberi szabadság egyik alapvetı dimenzióját. Az egyedüli korlát ami itt határt szab az állíthatóságnak az az, hogy például a magyar nyelv szókincsének mely részével rendelkezem. Azaz az, hogy egyáltalnán mibıl képezhetek állításokat. De hogy a dolog még bonyolultabb legyen, a bármi állításához az emberi elme referenciát is tulajdoníthat. Emiatt valóknak tekinthetık a boszorkányok, a mindent oldó folyadék vagy a filozófusok köve. Összefoglalva, a logikát a mondat mint igazságértékkel rendelkezı állítás érdekli. Csakhogy nem konkrét állítások konkrét igazságértékei azok, amelyek a logikai vizsgálódás tárgyát képezik. Ez azért van így, mert ha a logika lenne az, amely módszert tudna nyújtani arra, hogy mindenik konkrét mondat igazságértékét miként lehet megállapítani, akkor egyetlen univerzális tudomány létezne és ez a logika lenne. A dolgok viszont egyáltalán nem így állnak. A tudományos és a mindennapi élet mondatainak igazságértékeit a tudósok, illetve a mindenannapi életüket élı emberek állapítják meg. A logika csak annyit tud mondani, hogy mondatainkkal mindig állítunk valamit és ezen állításhoz feltétlenül igazságértéket rendelünk. A logikai kikötés itt az, hogy minden mondatnak van igazságértéke és adott körülmények között csakis egyetlen igazságértéke lehet. Mindennapi életünkben legtöbbször az igaz vagy a hamis igazságértéket rendeljük állításainkhoz. Ez azt jelenti, hogy egy kétértékő logika keretei között helyezkedünk el. Viszont adódnak olyan esetek is amikor adott állítás igazságértéke nem oldható meg a kétértékő logika keretei között. Ilyenek a jövıre vonatkozó állításaink. Például azon állításnak, hogy Szerdán esni fog az esı.

szinte lehetetlen az igaz vagy a hamis igazságértéket tulajdonítani, mivel egyáltalán nem vagyunk biztosak abban, hogy az úgy is lesz. Emiatt ezen állításról azt fogjuk mondani, hogy valószinő. Viszont ez egyben azt is jelenti, hogy kiléptünk a kétértékő logika keretei közül és átléptünk egy három igazságértéket elfogadó logikába. Azt tudni, hogy szerdán valószinüleg esni fog az esı többet jelent annál mintha semmit sem tudnánk a szerdai idıjárásról, viszont sokkal kevesebbet annál, hogy igaz az, hogy szerdán esni fog az esı. Emiatt sokkal értékesebb számunkra az igaz állítás mint a valószinő. Ehhez hasonló az igaz és a hamis állítás értékelése is. Azaz bennünket elsısorban az igaz állítások érdekelnek és nem a hamisak. Levonhatjuk tehát azt a következtetést, hogy egyrészt az igaz és másrészt a hamis, illetve a valószinő igazságértékek nem szimmetrikusak. Másszóval az igaz igazságértéke kitüntetett helyet foglal el az igazságértékek között. Általánosítva, ha a kétértékő logika keretei között helyezkedünk el, akkor az 1 és a 0 értékek szerepelnek az igazásgértékek halamazában. Lé: {1, 0}, és 1 ∩ 0 = ∅, mivel a kizárt harmadik alaptörvénye tiltja a harmadik logikai igazságérték odarendelését, és az ellentmondásmentesség alaptörvénye szerint nem lehetséges mindkét logikai igazságérték szimultán odarendelése. Ezt nevezzük a logikai érték elvének, ami általánosítja a kétértékőség elvét. Tehát a kijelentések logikájában a kijelentések mint igazásgértékkel rendelkezık jelennek meg, és ez képezi logikai jelentésüket, másszóval verifunkcionálisak. E logikában az fog érdekelni bennünket, hogy több kijelentés igazságértékeitıl miként függ az összetett kijelentés igazságértéke. Összefoglalás. A logikai következtetés modellek különböznek a hagyományos logikában és a szimbolikus logikában. A szimbolikus logika nyelve metanyelv a természetes nyelv tárgynyelvéhez képest. A természetes nyelv alapvetıen ábécébıl és grammatikából áll. A grammatika a szintaktikai és a szemantikai szabályok csoportját foglalja magába. E modell szerint vannak felépítve a mesterséges nyelvek is. Szemben a természetes nyelvvel a mesterséges nyelvek nem kultúrahordozók. Kulcsfogalmak nyelv, szintaxis, szemantika, tárgynyelv, metanyelv, mesterséges nyelv, természetes nyelv. Gyakorlatok 1. Miben különbözik a hagyományos logika következtetési modellje a szimbolikus logikaitól? 2. Miért nem vált az eszperantó nyelv a „XX. század latinjává”? 3. Milyen szabálycsoport ellen vét a „varcig” a magyar nyelv ábécéjén megfogalmazott kifejezése? 4. A szimbolikus logika nyelvének van-e metanyelve? 5. Milyen szerepe volt az informatika által alkotott mesterséges nyelveknek az ember-számítógép párbeszédben?

6. Mibıl áll a magyar nyelv szintaxisa? 7. Milyen elınyei vannak a szimbolikus nyelv használatának a logikában? 8. Mit mond ki a logikai érték elve?

Második fejezet

INTUITÍV KIJELENTÉSLOGIKA

4.

A kijelentések intuitív logikája

5.

A kijelentéslogika nyelve

6.

Szimbolizálás a kijelentések logikájában

A fejezet keretei között megtesszük az elsı lépést a természetes nyelvtıl a kijelentések logikájának szimbolikus nyelve fele. Ez a folyamat az elvonatkoztatások sorozatára épül, amelynek eredményeképpen kialakítjuk az igazságfüggvény fogalmát.

1. A kijelentések intuitív logikája • A téma célja megvizsgálni a természetes nyelv legfontosabb kijelentésközi kapcsolatainak sokféleségét. • A téma átvete után képes kell legyél az elıbb említett természetes nyelvi sokféleséget valamelyest egységesíteni a kijelentések logikájának nyelvén. A szimbolikus logika egyik klasszikus fejezete a kijelentések logikája. Azért nevezik klasszikusnak, mert egyrészt az egyik elsıként kidolgozott fejezete, másrészt pedig a XX. századi logika minta értékő elmélete. A kijelentéskalkulus illetve a predikátumok logikája volt az, amelyek kidolgozása révén a hagyományos logika megújult eszközeiben, eljárásaiban és nem utolsó sorban eredményeiben. A kijelentések logikája a kijelentést irreduktibilisnek tekinti és a velük végezhetı állandó logikai mőveleteket tanulmányozza. Azaz azt, hogy adott összetett kijelentés igazságértéke miként függ az ıt alkotó kijelentések igazságértékeitıl. A predikátumok logikája ezzel szemben azt vizsgálja, hogy a kijelentéseken belül milyen állandó logikai kapcsolatok léteznek. Tehát elsı pillantásra a két elmélet egymástól eltér. A valóságban ez nem így van, mivel mint látni fogjuk a predikátumok logikája feltételezi, magába építi a kijelentéskalkulust. Továbbá mindkét elmélet alapvetıen a következtetés központi logikai kérdését tárgyalja közös és egymástól különbözı eszközökkel. A kijelentések logikájának felépítése az egyre magasabb absztrakciós szintek elérését jelenti. Kiindulópontját a természetes nyelven megfogalmazott összetett kijelentések képezik, amelyek aztán a következtetésekbe épülnek bele. Az elvonatkoztatás célja olyan állandó kapcsolatokat azonosítani a kijelentések között, amelyeket aztán logikai szempontból pontosan definiálhatunk. Ezen alfejezet pontosan ezen abstrakciós út elsı lépését hivatott el végigvinni. Kiindulópontunkat a kijelentések közötti leggyakoribb állandó, természetes nyelven kifejezett kapcsolatok képezik. Példáinkat, a közérthetıség kedvéért a mindennapi élet egyik legismertebb és

kézenfekvıbb kifejezéseibıl választjuk, a közmondások közül. Vegyük tehát sorra a leggyakoribb állandó logikai kijelentésközi kapcsolatokat. a. A konjunktív kijelentés. Szabványos nyelvi formában a konjunktív kapcsolatot az és szócska segítségével fejezzük ki. A természetes nyelvben viszont ez nem mindig explicit. Például. Ígérni könnyő, megtenni nehéz. A példában szereplı két kijelentést összekötı vesszı konjunktív kapcsolatot takar. E kapcsolat nem jelenik meg expliciten. Azt, hogy konjunktív kapcsolatról van-e szó onnan lehet megállapítani, hogy a két állítást helyez egymás mellé. Az egymás mellé helyezés intuitív jelentése többféle lehet. Konjunktívan fejezhetünk ki egyszerő egymásmellettiséget (Kívül fényes, belül férges.), helyzeteket (A kakastól elfut, oroszlánra talál.), állapotok tulajdonságait (Feje mint egy hordó, esze mint egy dió.), térbeliséget (A hazugág világot kerül, az igazság egy helyben ül.), egyidejőséget és egymásutániságot (Farkast emlegettünk, a kert alatt jár., Nincs olyan hosszú nap, hogy estéje ne volna.) Ilyen jellegő kapcsolatot változatos nyelvi formában lehet kifejezni. A magyar nyelvben a következı kifejezési lehetıségek állnak rendelkezésünkre: de, hogy, ilyenformán, habár, mégis stb. A konjunktív kapcsolat változatos és adott esetben többértelmő, intuitív természetes nyelvi jelentését egyértelmősíti rögzített logikai jelentése. Ezen jelentés eltekint a kijelentések konkrét tartalmától és csakis igazságértékeiket, valamint a közöttük fennálló kapcsolatot veszi figyelembe. Eszerint: • ha a konjunktív kijelentés igaz, akkor mindkét tagja igaz, • ha a konjunktív kijelentés hamis, akkor legalább egyik tagja hamis. A logikai jelentés tehát azt veszi figyelembe, hogy milyen állandó logikai kapcsolat van a kijelentések között és eltekint a konkrét tartalmuktól. Más szóval nem az érdekli, hogy valami valóban „kívül fényes”-e vagy sem és „belül férges”-e vagy sem és eszerint igaz-e a kijelentés vagy sem, hanem az, hogy ha az egyik igaz és a másik is igaz, akkor a konjunktívan összetett kijelentés is igaz. b. A megengedıen diszjunktív kijelentés szabványos nyelvi formája a vagy. Ezen kívül még kifejezhetjük az akár szócska segítségével is. A természete nyelv távolról sem biztosítja annyi lehetséges kifejezésmódját, mint ez a konjunkció esetében teszi. Például: Elmegyek a moziba, vagy veszek magamnak egy fagylaltot. A két diszjunktívan összekötött kijelentés intuitívan választást fejez ki két alternatíva közül. Ez egyben egyezik a diszjunktív kijelentés általános intuitív jelentésével. E választásban viszont benne van az is, hogy az alternatívák közül az egyiket, a másikat vagy egyszerre mindkettıt is választhatom. Más szóval a moziba menetel nem zárja ki

azt, hogy vegyek magamnak egy fagyit. Emiatt a diszjunktív kijelentés e formáját megengedınek2 is nevezik. A megengedıen diszjunktív kijelentés logikai jelentése a következı: • ha a diszjunktív kijelentés igaz, akkor legalább egyik tagja igaz, • ha a diszjunktív kijelentés hamis, akkor mindkét tagja hamis. Ezen logikai jelentés is kizárólagosan a tagok, valamint az összetett kijelentés igazságértékeit veszi figyelembe. c. A kizáróan diszjunktív kijelentés szabványos nyelvi kifejezési eszköze a vagy....vagy szócskák. Ezen kívül kifejezhetjük még az akár....akár szavak segítségével is. A természetes nyelven viszont nem mindig fejezzük ki expliciten a két vagy-ot. Megtörténhet, hogy egyetlen vagy-nak is kizáró jelentése van. Például: A holtakról vagy jót, vagy semmit. közmondásban a diszjunkció kizáró jelentéső és ezt nyelvileg is expliciten kifejezi. Az állított alternatívák közül csak az egyiket választhatjuk, mivel a társadalmi normák szerint tilos a holtakat káromolni. Mindkét alternatívát pedig nem lehet választani, mivel nem lehet a semmit mondva jót mondani, vagy jól mondva a semmit. A diszjunkciót kifejezhetjük egyetlen vagy segítségével, de megtörténik, hogy kizáró jelentése van. Például: Kimész az udvarra, vagy bennmaradsz a házban. Itt az egyetlen vagy kizáró jelentéső, mivel fizikai lehetetlenség egyszerre az udvaron is lenni és a házban is maradni. Tehát a kizáró vagy megengedı diszjunkció azonosítása feltételezi azt, hogy pontosan definiált logikai jelentéssel rendelkezzünk. A kizáróan diszjunktív kijelentés logikai jelentése tehát a következı: • ha a kizáróan diszjunktív kijelentés igaz, akkor tagjai igazságértékei különböznek, • ha a kizáróan diszjunktív kijelentés hamis, akkor tagjai igazságértékei megegyeznek. A kizáró és megengedı diszjunkció logikai jelentéseit összehasonlítva kiderül a közöttük levı különbség, ami abban áll, hogy az elıbbi mindkét tagja nem lehet egyszerre igaz, míg a másik tagjai lehetnek egyszerre igazak. d. A kondicionális kijelentés szabványos nyelvi formája a ha....akkor. Megnevezése szerint is feltételt fejez ki. A ha szócska által bevezetett feltétel mellett teljesül az akkor szócska által bevezetett következmény. Emiatt a feltételt a kondicionális elıtagjának, a következményt pedig utótagnak nevezzük. A megkülönböztetés azért 2

Az utóbbi idıben magyar logikai terminológia is átvette a nemzetközileg használt alternáció megnevezést. A megengedı diszjunkció régebbi és az alternáció mostani megnevezései szinonímáknak tekinthetık, azaz logikai értelmük megegyezik. A késıbbiekben majd mi is az utóbbi megnevezést fogjuk hassználni.

fontos, mert a kettıt nem lehet felcserélni, mint az a konjunktív, vagy diszjunktív kijelentésekben lehetséges. A természetes nyelv a kondicionális kapcsolat kifejezésének széles skáláját biztosítja. A kijelentésközi kapcsolatok ezen típusát lehet kifejezni a: mert, tehát, emígy, így, emiatt, amiatt, hogyha stb. szavak segítségével. Például Ha beköszön a szükség, vége a szeretetnek. közmondásban nem jelenik meg expliciten az utótagot bevezetı akkor szócska, hanem a vesszı helyettesíti. Ennek ellenére világos a kondicionális kapcsolat. Szintén kondicionális kapcsolat van jelen a következı közmondásban is Akkor beteg az orvos, mikor mások egészségesek. azzal a különbséggel, hogy itt elıbb állítja az utótagját, majd csak utána az elıtagját. Ha egyértelmővé akarjuk tenni, akkor a következıképpen fejeznénk ki Ha mások egészségesek, akkor az orvos beteg. A kondicionális kijelentés intuitív értelme szerint a következıket fejezheti ki: oksági összefüggést (Özönvíz ha tombol, hegyeket lerombol.), szükségszerőséget (Ha János magasabb mint Béla és Béla magasabb mint Péter, akkor János magasabb mint Péter.), térbeliséget (Ha nincs otthon a macska, táncolnak az egerek.), idıbeliséget (Ha a jót most elveted, késıbb sírva keresed.) és helyzeteket (Hol az ember egész nap csak furulyál, ott az asszony csak éhesen sírdogál.). Logikai jelentése szerint • ha a kondicionális kijelentés igaz, akkor nem igaz hogy elıtagja igaz és utótagja hamis. • ha a kondicionális kijelentés hamis, akkor elıtagja igaz és utótagja hamis. Ezen jelentése szerint ismerhetjük fel, hogy melyik az utótagja és melyik az elıtagja, valamint így különböztethetjük meg az összetett kijelentések többi típusától. e. A bikondicionális kijelentés szabványos nyelvi formáját az .... akkor és csakis akkor, ha ...., vagy az ...akkor és csak akkor ha... kifejezéssel kapjuk meg. Természetes nyelvünkben kifejezhetı még az olyan mint, csakolyan, ugyanaz, ugyanolyan stb. szavak segítségével. Például a Amilyen az ember, olyan a munkája. közmondás az embert azonosítja munkájával. Ha kitöltjük kitöltetlen helyeit és teljesen explicitté tesszük, akkor a következıképpen fogalmazhatjuk át: Jó munkát végzel, akkor és csakis akkor, ha jó szakmai tudásod van.

vagy János munkája jó eredményő, akkor és csakis akkor, ha jó szakmai tudása van. A bikondicionális kijelentés intuitív értelme szerint azonosságig menı hasonlóságot (Pénteki nevetés, vasárnapi sírás.), elengedhetetlen feltételt (A definíció akkor és csakis helyes, ha betartja az idevonatkozó szabályokat.), egyenlıséget (Sok beszéd szegénység.) fejez ki. A bikondicionális kijelentés logikai jelentése szerint • ha a bikondicionális kijelentés igaz, akkor tagjai igazságértékei megegyeznek. • ha a bikondicionális kijelentés hamis, akkor tagjai igazságértékei különböznek. Egyértelmő logikai jelentése világosan megkülönböztethetıvé teszi az összetett kijelentések többi típusától. f. A negált kijelentéseket szabványos formáját úgy kapjuk meg, hogy eléjük a Nem igaz, hogy .... kifejezést helyezzük. Természetes nyelven ez többféleképpen fejezhetı ki a nem, sem, ne szavakkal. Továbbá, mindennapi életünkben szinte egyáltalán nem fordul elı az hogy a negáció szabványos nyelvi formáját használjuk. Általában véve a negáló szó a kijelentés belsejében fordul elı, a következıképpen: Elvesztett becsületet nem találni meg. E közmondás szabványos formája a következı lenne Nem igaz, hogy az elvesztett becsületet meg lehet találni. A negációt alkalmazni lehet nemcsak egyedi kijelentésekre, hanem összetettekre is. Például a Halat szálka nélkül, embert hiba nélkül nem lehet találni. közmondásban három negáció található. Kettı a konjunktív kijelentés tagjain és a harmadik magán a konjunktív kijelentésen. Szabványossá alakítva Nem igaz, hogy a halnak nincs szálkája és az embernek nincs hibája. kifejezést kapjuk. A negáció logikai és intuitív jelentése megegyezik abban, hogy megváltoztatják a kijelentés igazságértékét. Ellenben a negáció logikai értelme egyértelmőbb és világosabban azonosíthatóvá teszi. • ha a kijelentés igaz, akkor a negáltja hamis, • ha a kijelentés hamis, akkor a negáltja igaz, • a kettıs negáció a kijelentés igazságértékét változatlanul hagyja.

g. Az inkompatibilis kijelentést nyelvileg „a vagy sem...vagy sem” kifejezéssel szoktuk megfogalmazni. Például: Vagy én se megyek korcsolyázni, vagy te se mész. Intuitívan azt fejezi ki, hogy az összetett kijelentés elemi kijelentéseiben állítottak legalább egyike nem következik be. Tehát igazságfeltételeit a következıképpen fogalmazhatjuk meg: • •

ha az inkompatibilis kijelentés igaz, akkor legalább az egyik tagja hamis. ha az inkompatibilis kijelentés hamis, akkor akkor mindkét tagja igaz.

A természetes nyelvi kifejezésekben eléggé ritkán találkozunk vele. h. Vannak a nyelvnek olyan összetett mondatai is, amelyekben az összetétel a „sem...sem” kifejezéssel valósul meg. Például: Sem hal szálka nélkül, sem ember hiba nélkül. Intuitív jelentése abban áll, hogy a benne szereplı elelmi kijelentések állításai közül egyik sem valósul meg. Az inkompatibilis kijelentésektıl abban különbözik, hogy ez esetben nem lehet szó arról, hogy valamelyik tagja igaz lehessen. Azaz igazságfeltételei: • •

ha a „sem...sem” kijelentés igaz, akkor mindkét tagja hamis. ha a „sem...sem” kijeletés hamis, akkor legalább egyik tagja igaz.

A következı fejezetben meg fogjuk látni, hogy e kijelentéstípusnak is külön igazságfüggvény felel meg, a Scheffer-funktor. Összefoglalás. A kijelentésközi állandó logikai kapcsolatok feltérképezésében az elsı lépést az intuitív közelítés jelenti. Ebben a helyzetben egyben már elértük az elsı absztrakciós szintet azon az úton, amelynek végén a kijelentésközi álladó logikai kapcsolatokat formálisan és átfogóan szimbolikus formában fogjuk tárgyalni. Kulcsfogalmak: intuitív értelem, szabványosított értelem, konjunktív, diszjunktív (alternatív), kizáróan diszjunktív, kondicionális, bikondicionális, negált kijelentés Gyakorlatok 1. Keressetek példát konjunktív, diszjunktív (alternatív), kizáróan diszjunktív, kondicionális, bikondicionális, negált kijelentésekre. 2. Mi az összefüggés az összetett kijelentések természetes nyelvi és logikai értelemben vett igazságértékei között? 3. Alkossatok példátákat a konjunktív, diszjunktív (alternatív), kizáróan diszjunktív, kondicionális, bikondicionális, negált, inkompatibils és „sem...sem” kijelentésekre.

4. Miben különbözik az összetett kijelentések intuitív (természetes nyelvi) és logikai értelme?

2. A kijelentések logikájának nyelve A kijelentések logikájának nyelve egy mesterségesen megalkotott nyelv. Saját ábécével, grammatikával és szemantikával rendelkezik. E részben e mesterséges nyelv két egymástól különbözı írásmódját fogjuk tárgyalni, azaz ábécéjét és grammatikáját. Ehhez szemantikát csak valamivel késıbb fogunk rendelni, mivel a nyelv elsajátítása fokozatosan fog történni. • A téma célja bemutatni a kijelentéslogika mesterséges nyelvének ábécéjét és grammatikáját. • A téma átvétele után képes kell legyél helyesen írni a logikát a Peano és a Lukasiewicz féle írásmódban.

Mint minden nyelv, e nyelv is ábécé-bıl és grammatikából tevıdik össze. A kijelentéskalkulus ábécéjében a következı jelcsoportok szerepelnek: 1. a kijelentésváltozók jelei, amire a magyar nyelv ábécéjének második felébıl való mássallhagzókat használjuk: p, q, r, s, t és abban az esetben ha nagyon sok változót kell felhasználnunk, akkor indexel láthatjuk el: p1, p2, ...., pn. 2. & v + ⊃ ↔ ~,¬

a logikai állandók vagy mőveletek jelei: a konjunkció jele, a megengedı diszjunkció, az alternáció jele, a kizáró diszjunkció jele, a kondicionális jele, a bikondicionális jele és a a negáció jele.

3. kisegítı jelek szerepét a zárójelek töltik be: ( ) a kerek zárójel, [ ] a szögletes zárójel és {} a kapcsos zárójel. A zárójelek szerepe az, hogy a kijlentések logikájában megfogalmazható kifejezésekben szereplı logikai állandók, vagy mőveletek erısségét meghatározzák. A következı módon: a legerısebb a kerek zárójel és a benne szereplı logikai mőveletet végezzük elıször, folytatva a szögletes- és a kapcsos zárójellel. A kijelentések logikája ábécéjének használatát szabályozó szintaktikai szabályok a következık: 1. A kijelentésváltozó jólformált.

2. A kijelentésváltozókat összekötı logikai állandó, vagy mővelet jólformált. Például: p & g, p v q, p + q, p ⊃ q, p ↔ q. Az így nyert kifejezéseket, vagy sémákat Aval, B-vel, C-vel stb. is jelölhetjük. 3. Két kijelentésváltozó között mindig kell lennie egy állandónak. 4. Ha a kijelentésváltozó jólformált, akkor jólformált a ~p, ~q, ~r stb. kifejezés is. 5. Ha az A, B, C stb. séma, vagy kifejezés jólformált, akkor jólformált a ~A, ~B, ~C stb. séma is. A kijelentések logikájának szemantikai szabályai az állandók pontos logikai jelentését rögzítik. Mivel mi egy kétértékő logikában helyezkedünk el, az állandók logikai jelentése az igazságértékek terminusaiban való meghatározásukat feltételezi. Erre egy következı részben kerül majd sor. Megjegyzés. Az ábécében szereplı jelek nem azonosak minden logikusnál. Az eddig bemutatott írásmód G. Peano-tól származik és a legelterjedtebb. Használatos még, elsısorban a fejledtebb logikákban a Lukasiewicz-féle írásmód is. A következıkben ezt mutatjuk be. A Lukasiewicz-féle írásmód ábécéjében a változók szimbólumai megegyeznek a Peano-féle írásmód jeleivel. Így a változókat szintén p, q, r, valamint p1, p2, ...., pn-el jelöljük. A különbség a logikai állandók és a szintaktikai szabályok terén adódik. K A C E N

a konjunkció jele az alternáció a kondicionális jele a bikondicionális jele és a negáció jele.

A többi logikai állandónak nincs külön jele, mivel, mint ezt késıbb látni fogjuk az állandók szemantikailag kifejezhetık egymással, azaz egymással ekvivalensek. Megfigyelhetjük, hogy ezen ábécében az állandók szimbólumai megyegyznek a megnevezésük kezdıbetőjével. Kivétel a kikondicionális. Ellenben akkor amikor Lukasiewicz kidolgozta írásmódját ezt ekvivalenciának is nevezték. Miért volt szüksége Lukasiewicznek ezen írásmódra? Azok számára akik logikát írtak a klasszikus, mechanikus írógépen világos, hogy mennyire nehéz, adott esetben szinte lehetetlen ilyen jellegő szöveget alkotni. A nehézség fı forrását pontosan a Peanoféle írásmódban használt logikai állandók szimbólumai jelentik. Ezeket helyettesítik megnevezésük kezdıbetői. Az ide tartozó szintaktikai szabályok a következık: 1. A kijelentésváltozó jólformált. 2. A kifejezéseket, vagy sémákat úgy írjuk, hogy a változók szimbólumai a mővelet szimbólumát követik: Kpq, Apq, Cpq stb. Sorrendben e kifejezéseknek a Peanoféle írásmódban a következı sémák felelnek meg: p & q, p v q, p ⊃ q. 3. A negációt úgy írjuk, hogy a negált változót vagy a mőveletet az N bető elızi meg: Np, Nq, NApq, NCNpNq. Sorrendben a Peano-féle írásmódban a következı sémák felelnek meg: ~p, ~q, ~ (p v q), ~ (~p ⊃ ~q)

4. Ha a kondicionális vagy a bikondicionális a séma fımővelete, akkor szimbóluma elırehozható: CKpqq, ENKpq ANpNq. Az elıre nem hozott fımővelető sémának a Peano-féle írásmódban a következı sémák felelnek meg: (p & q) ⊃ q, ~ (p & q) ↔ (~p v ~q). Mint látjuk a Lukasiewicz-féle írásmód nem használ kisegítı jeleket, a mőveletek jelei pedig nem ikonszerőek, hanem a magyar nyelv ábécéjének nagybetői. Emiatt sokkal könnyebben lehet ezen írásmód jeleit használva logikát írni. Az írásmód hátránya viszont az, hogy egy Lukasiewicz-féle írásmódbeli sémának gyakran több Peano-féle írásmódbeli átírás felel meg. Emiatt a logika írásának tapasztalata kell a hátunk mögött álljon, ahhoz hogy a két írásmód megfeleltetéseit helyesen értelmezzük. Összefoglalás. A kijelentések logikája ábécéjében szereplı szimbólumok (jelek) és a hozzájuk tartozó szintaktikai szabályok függvényében többféleképpen lehet a kijelentések logikájának szimbolikus nyelvén írni. Ezek közül megismertétek a Peano- és a Lukasiewicz-féle írásmódot. Kulcsszavak logikai állandók, logikai változók, Peano-féle írásmód, Lukasiewiczféle írásmód Gyakorlatok 1. Írjátok át a Peano-féle írásmódból Lukasiewicz-féle írásmódba a következı sémákat: a. (p & q ) ⊃ p b. (p v q) ↔ (q v p) d. ~p ⊃ (p v q) e. (p ⊃ q) ↔ (~q ⊃ ~p) f. [ p v (q & r) ] ↔ [ (p v q) & (p v r) ] g. [ ~ (~p ⊃ ~ q) ] ↔ (q v r) h. (p v p) ⊃ ~p i. (~p v ~q v ~r) ⊃ ~ (p & q & r) 2. Írjátok át a Lukasiewicz-féle írásmódból a Peano-féle írásmódba a következı sémákat: a. Apq C Kpq b. Cpq C Cqr C Cpr c. Kpq E Kqp d. NANpNq E KNpNq e. ECpq K Crq Kpr Cq h. CKpq Apq i. KNpNqKNr C NApqAr 3. Melyek a Lukasiewicz-féle írásmód elınyei és hátrányai a Peano-féle írásmóddal szemben?

3. Szimbolizálás a kijelentések logikájában

A kijelentések logikájának nyelve metanyelv a természetes nyelv tárgynyelvéhez képest. Ennek az a következménye, hogy a természetes nyelv kifejezéseit le kell fordítanunk a kijelentéslogika nyelvére. Így a természetes nyelv kijelentésközi többértelmő szavai a fordítás eredményeképpen egyértelmő logikai jelentést nyernek. A természetes nyelvi kifejezések pedig logikai kifejezésekké alakulnak, vagyis ezen logika által eszközeivel vállnak kezelhetıkké. • A téma célja világossá tenni a kijelentések logikájának metanyelvi és a természetes nyelv tárgynyelvi státusát. Konkrétabban a célunk az, hogy alkalmazzuk a kijelentések logikájának ábécéjét és szintaktikai szabályait a természetes nyelvi kifejezésekre. • A téma átvétele után képes kell legyél a természetes nyelvi összetett kijelentések és következtetések lefordítására a kijelentések logikájának metanyelvére. Ahhoz, hogy a természetes nyelven kifejezett következtetések elemezhetıek legyenek a kijelentéslogika eszközeivel feltétlenül meg kell teremtenünk e két nyelv közötti kapcsolatot. A szimbolizálás éppen e kérdésre ad választ. Szimbolizálni tehát azt jelenti, hogy a kijelentések logikájának szimbolikus nyelvét, azaz ábécéjét és grammatikáját használjuk fel a természetes nyelven megfogalmazott kifejezések lefordítására. Például. A következı természetes nyelvi kifejezést a következıképpen írhatjuk át a kijelentéskalkulus nyelvére. „A tudósok között is vannak vallásosok, vannak ateisták és vannak, akiket ez a probléma egyáltalán nem érdekel.” 3 Felhasználva a már ismert kijelentésfogalmunkat lássuk elıször, hogy ezen összetett kijelentésben hány elemi kijelentés van. Ehhez viszont szabványos formájúakra kell ıket hoznunk. Irányadó az, hogy mindenik kijelentésben állításnak kell lennie. Így a mostaniban a következıket azonosíthatjuk: A tudósok között vannak vallásosak. p A tudósok között vannak ateisták. q Egyes tudósokat ez a probléma egyáltalán nem érdekli. ~ r. A három kijelentést jobboldalt szimbólumokkal láttuk el. Ez azt jelenti, hogy a konkrét kijelentések helyett a változók állnak. Láthatjuk, hogy a harmadik kijelentés negált és emiatt a negációjel szerepel az r kijelentésváltozó elıtt. A következı lépésben az érdekel, hogy a kijelentésváltozók között milyen logikai állandók vannak. A fenti szövegben a kijelentéseket egyszerően vesszı választja el. Emiatt nem mindig nyelvi kifejezés köti össze és így nincs semmilyen nyelvi utalás sem 3

Mérı László (1989), Észjárások, Akadémiai Kiadó, Optimum Kiadó, Budapest, 47-48.o.

arra, hogy milyen logikailag állandó kapcsolat van a három kijelentés között. Viszont intuitívan érezhetjük, hogy a három elemi kijelentésben állítottak egymás mellé helyezésérıl van itt szó. Így értelmezve a logikai állandókat, a kezdeti összetett kijelentés következı logikailag pontos és egyértelmő formáját kapjuk: A tudósok között vannak vallásosok p/ és a tudósok között vannak ateisták q/ és egyes tudósokat ez a probléma egyáltalán nem érdekli ∼r/. Ezt szimbólumokkal átírva az eredeti összetett kijelentésnek a következı a logikai szerkezete: (1) p & q & ~r. Tehát a természetes nyelvi kifejezést a kijelentések logikájának nyelvére fordítottuk át, szimbolizálás által. A szimbolizálás nem egy mechanikus eljárás. A mi példánkban is láttuk, hogy adott esetben értelmeznünk kellett a természetes nyelvi kifejezést, ahhoz hogy a szimbolikus forma minél jobban megfeleljen az eredeti formának. Milyen céllal írtuk át a természetes nyelvi kifejezést a kijelentéskalkulus nyelvére? Ha megfigyeljük az (1)-es kifejezést, akkor láthatjuk hogy ilyen formában lehetıvé válik a kalkulus. A kalkulus célja pedig a következtetések érvényességének vizsgálata. Az (1)-es kifejezés nem következtet, hanem megállapít. A logika nyelvén szólva állít. Az állítások valamilyen logikai mővelet szerinti egymáshoz kötése is képezheti az érvényesség vizsgálatának tárgyát. Lássunk most egy példát a következtetés szimbolizálására. "Egy néninek ötös találata volt a lottón. Kérdezik tıle, hogy hogyan találta el a számokat. − Hát az úgy volt, hogy elızı este repülı birkákkal álmodtam, a hátuk pettyes volt, mint a katicabogár. A birkáknak négy lába volt, a hátukon hét petty, ezért megtettem a 4-est és a 7-est. Összeolvasva 47, megtettem hát ezt is. Az összegük 11, szorzatuk pedig 32, ez lett a negyedik és a ötödik számom. − De hiszen négyszer hét az nem 32, hanem 28! − veti ellene a kérdezı. − Már hogy lenne 32, amikor nyertem vele!" 4 A következtetés elemi kijelentéseit azonosítva az alábbiakat kapjuk: Elızı este birkákkal álmodtam. A birkák háta pettyes volt, mint a katicabogárnak. A birkának négy lába volt. A birkák hátán négy petty volt. Ezért megtettem a 4-est. Ezért megtettem a 7-est. 4 és 7 összeolvasva 47. 4

i.m. 18.o.

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7

Ezért megtettem a 47-et. 4 és 7 összege 11. 4 és 7 szorzata 32. Ez lett a negyedik és az ötödik számom.

p8 p9 p10 p11

A következtetés egyértelmő logikai formája a következı: Elızı este birkákkal álmodtam és a birkák háta pettyes volt, mint a katicabogárnak és a birkáknak négy lába volt és a birkák hátán négy petty volt, tehát megtettem a 4-est és megtettem a 7-est. 4 és 7 összeolvasva 47, tehát megtettem a 47-et. 4 és 7 összege 11 és 4 és 7 szorzata 32, tehát ez lett a negyedik és az ötödik számom. A következtetésben három következmény van, amit a „tehát” szó vezet be. Ez azt jelenti, hogy a következményt egy vagy több premisszából nyerjük. A következményi viszony leírására a kijelentések logikájában a kondicionális áll rendelkezésünkre. A premisszák között pedig konjunktív kapcsolat azonosítható. Sémákban kifejezve: (2) (p1 & p2 & p3 & p4) ⊃ (p5 & p6) (3) p7 ⊃ p8 (4) (p9 & p10) ⊃ p11. Az öreg néni következtetésének rekonstruálása azt mutatja, hogy konjunktívan összetéve három premisszacsoportból nyerte következményeit. Annak ellenére, hogy a p10-es premisszája hamis volt, mégis megnyerte az ötöst a lottón. Hogyan volt ez lehetséges? Úgy, hogy a „valóság szempontjából” teljesen mindegy az, hogy mi igazat vagy hamisat állítunk róla. A számokat mindenképpen kihúzták, és a néni állításai és következtetései ettıl teljesen függetlenek. Hogy érvényesen következtetett-e vagy sem, arra kissé késıbb még vissza kell térnünk, mivel egyelıre nem állnak rendelkezésünkre azok az eszközök, amelyek segítségével a kijelentések logikája keretei között ezt képesek lennénk ellenırizni. Említettük már, hogy a szimbolizálás nem mechanikus eljárás. Adott esetben eléggé meggondolkoztató és bonyolult feladat. Ennek ellenére nem fölösleges megfogalmazni itt egynéhány követendı lépést, amelyek segítségünkre lehetnek. 1. Azonosítjuk az összetett kijelentés elemi kijelentéseit. 2. Azonosítjuk az összetett kijelentés logikai szavait, amelyek adott esetben valós, más esetben értelmezés tárgyát képezı logikai mőveleteket takarnak. 3. Az összetett kijelentést logikailag egyértelmővé tesszük. 4. A konkrét kijelentéseket változókkal, a logikai szavakat a mőveletek szimbólumaival helyettesítjük. 5. Felírjuk az összetett kijelentésnek megfelelı logikai sémát. [Hogy mennyire meggondolkodtató feladat ez esetben a fordítás az kiderül a függelékbıl.(1. függelék)]

Összefoglalás. A szimbolizálás azt jelenti, hogy a természetes nyelvi kifejezéseket lefordítjuk, átírjuk a kijelentések logikájának nyelvére. Ennek célja az, hogy mindazon eszközt, amelyet a kijelentéslogika rendelkezésünkre bocsát alkalmazhassuk a következtetések érvényességének ellenırzésére. A szimbolizálás nem egyszerő és mechanikusan megvalósítható eljárás. Támpontjainkat figyelembe véve a hibák egy része elkerülhetı. Kulcsfogalmak fordítás, szimbolizálás, természetes nyelvi kifejezés, logikai kifejezés Gyakorlatok 1. Szimbolizáljátok a következı kijelentéseket: a. Ha el akarod találni a célt, feljebb irányozz. b. Amilyen az anyja, olyan a lánya. c. Nem azért akasztják fel a tolvajt, mert lopott, hanem azért, mert nem tudta elrejteni. d. A gazda a nagykapun négy ökörrel behordja, a gazdasszony a kötıjével a kiskapun kihordja. e. Kinek feje rossz, lába se jó. f. „A pszichológia tudományának is változnak a paradigmái, de ennek oka inkább csak az, hogy egy másik keretben a korábbiaknál jobban szerkesztett rejtvényeket lehet felállítani.”5 g. „Ha nem teljes szavakat mondunk a kísérleti személyeknek, hanem csak értelmetlen szótagokat, esetleg betőket, akkor is stabilan hét körül van az említett küszöbszám.” h. "Ha a sakknagymester hosszan gondolkodik, többnyire nem azt számolgatja, hogy mi történik ha én ide lépek, ı meg oda, hanem azon töri a fejét, hogy mi legyen a mondanivalója az adott helyzetben." i. "Ha azt az elvet, ami szerint osztályoz, el tudja mondani akármilyen eszközök felhasználásával (akár dallal, tánccal, csókkal) úgy, hogy ennek alapján egy másik értelmes lény is képes úgy osztályozni a számokat, hogy az eredmény mindig ugyanaz , mint az elsı esetében, akkor az osztályozási elv matematikai algoritmus formájában is megfogalmazható, és az említett absztrakt számítógépen megvalósítható." (a Church-Turing tézis) 2. Adottak a kijelentések logikájának következı sémái. Ezek alapján alkossatok természetes nyelvi összetett kijelentéseket. a. p & q & r & s b. (p & q) v r c. p + q + r d. (p & q) ⊃ r e. (p v q) ⊃ p f. (p ↔ q) ⊃ q g. (p & q) ⊃ (p v q) 5

A szimbolizálási gyakorlatok idézıjelbe tett része Mérı László már ismert könyvébıl valók.

h. ~[(p & q) ⊃ r] i. ~ (~p & ~q) 3. A jelen téma értelmében mit jelent fordítani?

Harmadik fejezet

AZ IGAZSÁGFÜGGVÉNY

3.

Az igazságfüggvény fogalma

4.

Az igazságfüggvények logikai jelentése és fontosabb törvényeik

Az igazságfüggvény a kijelentések logikájának alapfogalma. E fogalom kialakulása vezetett a logika megújulásához a múlt század elején. Fontossága nem csak abban rejlik, hogy, amint azt már mondtuk az alaplogika alapfogalma, hanem abban is, hogy szinte nincs a tágabb értelemben vett szimbolikus logikának olyan témája, elmélete, továbbfejlesztése, amely valamilyen módon ne venné ezt át. A fejezet második részében a logikai állandókhoz pontos logikai jelentést rendelünk. Ezzel bejárjuk az az utat, amely végén a kijelentések logikájának nyelve egy teljes nyelvvé válik, azaz ábécével, grammatikával (együttesen szintaxissal) és szemantikával (jelentéssel) rendelkezik. Továbbá a törvény fogalmát konkretizáljuk a logika területére és megadjuk a logikai törvény fogalmának sajátos értelmét.

1. Az igazságfüggvény fogalma • A téma célja bevezetni a kijelentéslogika alapfogalmát, valamint bemutatni az összes lehetséges, egymástól független igazságfüggvényt. • A téma átvétele után képes kell legyél felismerni az egymástól különálló igazságfüggvényeket és meghatározni ıket. A kijelentések közötti állandó logikai kapcsolatok függvényszerő tárgyalása századunk újítása. E tárgyalásmód feltételezi a matematikai függvényfogalmat és ennek alkalmazását a logikában. Középiskolás ismereteink szerint minden függvény három elem meglétét feltételezi. Ezek közül kettı halmaz, a harmadik pedig a halmaz elemei közötti megfeleltetés. Az egyik halmazt értelmezési tartománynak, a másikat pedig értéktartománynnak nevezik. E két halmaz elemei között végzünk megfeleltetéseket. A matematikai függvényre általában az jellemzı, hogy értelmezési tartományának és értéktartományának elmei különnemőek, más szóval egymástól különbözı elemeket tartalmaznak. Ezzel szemben az igazságfüggvénynek mind értelmezési tartományában, mind értéktartományában az igaz (1) és a hamis (0) igazságérték van jelen. Az igazságfüggvény fogalma lényegében arra szolgáltat magyarázatot, hogy az összetett kijelentés elemi kijelentéseinek igazságértékeitıl miként függ magának az összetett kijelentésnek az igazságértéke. Innen adódik aztán azon sajátosság is, hogy mind az értelmezési tartományban, mind az érttéktartományban csakis az igaz és a hamis

igazságértékek szerepelnek. E két meghatározó halmaz között pedig az a különbség, hogy az értelmezési tartományban az igaz és a hamis igazságértékek kombinációi, az értéktartományban pedig az ennek megfelelı igaz vagy hamis igazságérték fog megfelelni. Például a szimbolizálás folyamán kaptuk az (1)-es kifejezést (1) p & q & ~r. A kijelentések logikájának alapfogalma, az igazságfügvény arra ad magyarázatot, hogy a p, q és az r kijelentésváltozók lehetséges igazságértékeitıl, valamint a köztük meglévı logikai állandóktól miként függ a teljes kifejezés igazságértéke. Tehát ha két logikai igazságértéket fogadunk el, az igazat (1)és a hamisat (0), akkor a kijelentésváltozók helyett ezek az állandó logikai igazságértékek állhatnak és köztük levı állandók függvényében adódik az összetett kijelentés igazságértéke. p lehet 1

q lehet 0

~r lehet

1 0 kimeneti igazságértékek

1

0

Másképpen megközelítve a kérdést, abban az esetben ha két kijelentésváltozó között a konjunktív kapcsolat, röviden konjunkció áll fenn, akkor a két változó igazságértéke vagy az igaz vagy a hamis lehet. Más logikai értéket nem vehetnek fel, mert tiltja a kizárt harmadik logikai alaptörvénye és nem vehetik fel egyszerre a mindkettıt, mivel tiltja az ellentmondásmentesség logikai alaptörvénye. Továbbá a konjunktív kapcsolat logikai értelme szerint ha igaz, akkor mindkét változójának igaz az igazságértéke, ha hamis, akkor legalább egyik változó igazságértéke hamis. Ha figyelembe akarjuk venni a konjunkció tagjainak összes lehetséges az igaz és hamis szerinti értékkombinációját, akkor négy ilyet kapunk: egyik igaz és a másik igaz (1,1), az egyik igaz és a másik hamis (1,0), ez egyik hamis és a másik igaz (0,1), végül az egyik hamis és a másik hamis (0,0). Ezek a párok képezik az igazságfüggvény értelmezési tartományát. Az értéktartomány viszont csak két elemet fog tartalmazni, az igaz és a hamis igazságértéket, mivel az összetett kijelentés az értelmezési tartomány egyik értékkombinációjára csak egy értéket vehet fel, szintén a logika alaptörvényei szerint. Így két halmaz jön létre az egyik a négyelemő értelmezési tartomány az igazságértékek kombinációival, valamint a kételemő értéktartomány az igaz és a hamis igazságértékkel. Ábrázolva. Értelmezési tartomány

Értéktartomány

1, 111 1 1, 0

0, 1, 0, 0

1, 0

2. ábra. Az igazságfüggvény Az ábra szerint az értelmezési tartomány egyik értékkombinációjának egy és csakis egy értéktartománybeli érték felel meg. Világos továbbá, hogy az igazságfüggvény is felfogható halmazok és ezek elemi közötti megfeleltetésként. Eljutottunk tehát oda, hogy a konjunkció logikai értelmét igazságfüggvényszerően tárgyalhassuk. A következıképpen. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

& 1 0 0 0

p és q kijlentésváltozók igazságértékkombinációit az elsı két oszlop tartalmazza. Ez a konjunkció igazságfüggvényének értelmezési tartománya. Az utolsó oszlop a bemeneti igazságértékeknek megfelelı kimeneti igazságértéket foglalja magába és ez a konjukció értéktartománya. Az elsı két oszlop és az utolsó között húzott nyilak a megfeleltetést jelölik. Most meghatározhatjuk az igazságfüggvényt. Egy n változós igazságfüggvényen egy olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a változók igazságértékeibıl képezhetı n tagú sorozatok száma, értéktartománya pedig az igaz vagy a hamis igazságérték. Szimbólumokkal Ft : T (p,q) → T φ , (p,q) ahol Ft az igazságfüggvényt jelöli, T (p,q) a függvény értelmezési tartománya, T φ az értéktartománya, → pedig a megfeleltetés. A φ görög bető, azt a módot (p,q) jelöli, ahogy a p és q váltózók egymástól különálló módon összekapcsolhatók. A következı kérdés amire válaszolnunk kell, az hogy hány egymástól különbözı igazságfüggvéy létezik a kétértékő logikában. E kérdést ilyen egyértelmően L. Wittgenstein tette fel, emiatt Wittgenstein-féle táblázatnak is nevezik. 1. Táblázat. A kétértékő logika egymástól különbözı lehetséges igazságfüggvényei Sorszám p q φ1 φ2 φ3

1 1 1 1 1

1 0 1 1 1

0 1 1 1 0

0 0 1 0 1

Elnevezés

Szimbólum Olvasat

Tautológia megengedı diszjunkció fordított kondicionális

Nincs pvq p⊂ q

mindig igaz p vagy q akkor p, ha q

φ4

1 1 0 0

φ5 φ6

1 0 1 1 1 0 1 0

φ7 φ8 φ9 φ 10 φ 11

1 1 0 0 0

φ 12 φ 13

0 1 0 1 0 0 1 1

Nonkondicionális pre-nonpendencia

φ 14

0 0 1 0

φ 15 φ 16

0 0 0 1 0 0 0 0

fordított kondicionális Scheffer-funktor Ellentmondás

0 0 1 1 1

0 0 1 1 0

1 0 1 0 1

Prependencia

p, attól függetlenül, hogy q p q p⊃q

Kondicionális Posztpendencia

q p↔q p&q p/q p+q

Bikondicionális Konjunkció Inkompatibilitás kizáró diszjunkció poszt-nonpendencia

p  ~q ~(p ⊃ q) ~p  q non ~(p ⊂ q) p↓q Nincs

ha p, akkor q q, attól függetlenül, hogy p p akkor és csakis akkor, ha q p és q vagy sem p, vagy sem q vagy p, vagy q nem q, attól függetlenül, hogy p nem igaz hogy, ha p akkor q nem p, attól függetlenül, hogy q nem igaz, hogy akkor p, ha q sem p, sem q mindig hamis

A táblázatot elemezve néhány fontos megállapítást tehetünk. Elıször is a 16 lehetséges egymástól különbözı igazságfüggvény közül leggyakrabban 5-6-ot szoktunk használni. Ezek a &, v, +, ⊃, ⊂, ↔. Pontosan ezek kialakulását kíséri végig Piaget a gyereki fejlıdés folyamán. A logika viszont e táblázatán keresztül azt bizonyítja, hogy kifejezési eszközeink, a lehetıség szintjén szélesebb skálán mozognak mint az gyakorlatilag történik. A táblázatban nem jelenik meg expliciten a negáció. Ennek az a magyarázata, hogy a negálni mind a változót, mind a kijelentések logikájának sémáit lehet. Továbbá azt is megfigyelhetjük, hogy a 8. és a 9. sor választóvonala egyben a táblázat negáció szerinti szimmetriatengelyét is jelenti. Más szóval az elsı nyolc igazságfüggvény kifejezhetı az utolsó nyolc, illetve a negáció segítségével. Másképpen fogalmazva a táblázat elsı nyolc igazságfüggvénye redukálható az utolsó nyolcra, illetve a negációra. Tehát az igazságfüggvények között logikai szemantikai megfelelések léteznek. Összefoglalás. Az igazságfüggvény a kijelentések logikájának alapfogalma. Segítségével a konkrét kijelentések közötti állandó logikai kapcsolatok, valamint a következtetések tárgyalása átkerül a konkrétból a lehetségesbe. Az igazságfüggvény fogalma, bizonyos sajátosságokkal megegyezik függvény általános fogalmával. Az összes lehetséges igazságfüggvény száma nagyobb mint az általában használtaké. Az igazságfüggvények a kijelentések közötti állandó logikai kapcsolatot jelentik és kifejezhetık egymással. Kulcsfogalmak Wittgenstein-táblázat

értelmezési

tartomány,

értéktartomány,

igazságfüggvény,

Gyakorlatok 1. Miben áll a logikai igazságfüggvény szpecifikuma (sajátossága) a függények között? 2. Hol helyezkedik el a negáció a kétértékő igazságfüggvények táblázatában? 3. Határozzátok meg a Wittgenstein-táblázat tulajdonságait. 4. Mi a különbség a leggyakrabban használt és az összes lehetséges kétrétékő igazságfüggvények között?

2. Az igazságfüggvények logikai jelentése és fontosabb törvényeik •

A téma célja megadni a fontosabb igazságfüggvények egyértelmő logikai jelentését.

•

A téma átvétele után képes kell legyél az igazságfüggvények félreérthetetelen azonosítására és törvényeik elsajátítására.

A továbbiakban kiemejük az 1. Táblázatban szereplı legyakrabban használt igazságfüggvényeket és rendre felsoroljuk tulajdonságaikat, illetve a hozzájuk tartozó logikai törvényeket. Azért pont ezeket, mert egyrészt a leggyakoriabbak és logikaiszemantikailag a többi kifejezhetı ezek segítségével. A konjunkció (a Wittgenstein- féle táblázatban φ8) logikai jelentését a következı értéktábálazat tartalmazza: pq 11 10 01 00

& 1 0 0 0

A konjunkció tulajdonságai a következık: (T1) kommutatív (felcserélhetı): (p & q) ⇔6 (q & p), (T2) asszociatív (csoportosítható): [(p & q) & r] ⇔ [p & (q & r)], (T3) p & p = p, ami azt jelenti, hogy a konjunkció tagjainak többsszöri elıfordulása redukálható egyre, mivel ha p = 1, akkor az 1 érték akárhányszori ismétlıdése konjunktívan 1 értéket ad, vagy ha p = 0, akkor a 0 igazságérték akárhányszori ismétlıdése konjunktívan 0 értéket ad. (T4) (p1 & p2 & .....& pn), azaz egy n tagú konjunkció igazságértéke a pi-dik tag értékétıl függ. Ez a tulajdonság abból adódik, hogy a konjunkció csak akkor igaz, ha 6 E szimbólumnak Wittgensten – táblázatban nincs logikai – szemantikai jelentése. Ekvivalenciának nevezik. Meghatározására késıbb kerül sor, az ekvivalencia – reláció témája keretei között. Egyelıre intuitívan azt kell tudni róla, hogy akkor igaz ha a bal és a jobb oldalán levı változók, vagy sémák igazságértékei megegyeznek, ellenkezı esetben hamis.

mindkét tagja igaz, ellenkezı esetben hamis. Ez azt jelenti, hogy ha egy n tagú konjunkció egyetlen tagjáról tudjuk azt, hogy hamis, akkor a konjunkció hamis. Az alternáció (megengedı diszjunkció), (φ2 a Wittgenstein-féle táblázatban) meghatározó igazságértéktáblázata: pq 1 1 1 0 0 1 0 0

v 1 1 1 0

Az alternáció tulajdonságai: (T5) kommutatív (felcserélhetı): (p v q) ⇔ (q v p), (T6) asszociatív (csoportosítható): [(p v q) v r] ⇔ [p v (q v r)], (T7) p v p = p, azaz azonos terminusok diszjunkciójának értéke megegyezik a terminus értékével, az alternáció tagjainak többsszöri elıfordulása redukálható egyre, mivel ha p = 1, akkor az 1 érték akárhányszori ismétlıdése diszjunktívan 1 értéket ad, vagy ha p = 0, akkor a 0 igazságérték akárhányszori ismétlıdése diszjunktívan 0 értéket ad. (T8) pi-dik tag meghatározza a p1 v p2 v .....v pn, n tagú diszjunkció igazságértékét. Ez amiatt van így, mert a diszjunkció csak akkor hamis, ha mindkét tagja hamis. Tehát ha egy n tagú diszjunkció egyetlen tagjáról tudjuk azt, hogy igaz, akkor a diszjunkció igaz lesz. Az alternációés a konjunkció kapcsolatáról több törvény szól. Az egyik a disztributivitás tulajdonságára vonatkozik: (T9) a konjunkció az alternációvan szemben disztributív: [p & (q v r)] ⇔ [(p & q) v (p & r)], (T10) a diszjunkció a konjunkcióval szemben disztributív: [p v (q & r)] ⇔ [(p v q) & (p v r)]. A kondicionális (a Wittgenstein-táblázat φ5-ös sora) logikai jelentése a következı: pq ⊃ 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A kondicionális nem kommutatív és nem asszociatív. Emiatt meg kell különböztetsük elıtagját és utótagját. Meghatározó igazságértéktáblázatában az elıtag a p, az utótag pedig a q változó. Tulajdonságai: (T11) tranzitív: [(p ⊃ q) & (q ⊃ r)] ⇒ (p ⊃ r), (T12) minden változó, vagy séma implikálja önmagát: p ⊃ p. A bikondicionális (a Wittgenstein-féle táblázat φ 7-es sora). Logikai jelentése: pq ↔

11 10 01 00

1 0 0 1.

Tulajdonságai: (T13) kommutatív (felcserélhetı): (p ↔ q) ⇔ (q ↔ p), (T14) tranzitív: [(p ↔ q) & (p ↔ r)] ⇔ (p ↔ r), (T15) a változó vagy séma és önmaga között mindig igazan áll fenn a bikondicionális viszony: p ↔ p. A kizáró diszjunkció (a Wittgenstein-féle táblázat φ10-es sora) logikai jelentése: pq 11 10 01 00

+ 0 1 1 0.

Tulajdonsága: (T16) kommutatív (felcsrélhetı): (p + q) ⇔ (q + p). A negáció a Wittgenstein-féle táblázatban nincs benne expliciten. Logikai jelentése: p ~p 1 0 0 1. Tulajdonsága: (T17) a kettıs negáció a változó vagy séma igazságértékét változatlanul hagyja: ~~p ⇔ p. A kijelentések logikájának több fontos törvénye a logikai mőveletek, vagy igazságfüggvények kapcsolatára vonatkozik. Közülük néhányat már láttunk. Ilyenek a Wittgenstein-féle táblázat elsı nyolc és utolsó nyolc sora negáció szerinti kapcsolata, valamint a konjunkció és diszjunkció disztributivitás törvényei. Tisztázzuk viszont a logikai törvény fogalmának értelmét. A kijelentéslogika adott kifejezése akkor nevezhetı törvénynek, ha a változók bármely értelmezésére a kifejezés kimeneti igazságértéke mindig igaz. Vagy fordítva, a változóknak nincs olyan értelmezése amelyre a séma hamis igazságértéket venne fel. Másszóval a kijelentéslogika törvényei mindig igaz kimentőek, a változók értelmezésétıl függetlenől. Jelenleg még nem állanak rendelkezésünkre azon eszközök, amelyek segítségével a törvény voltot ellenırizhetnénk. Erre majd a késıbbiekben kerülhet sor, miután elsajátítottuk a logikai eldöntés néhány módszerét. Most bemutatunk az igazságfüggvények (logikai állandók) törvényei közül néhányat: (T18) ~(p & q) ⇔ (~p v ~q),

(T19) ~ (p v q) ⇔ (~p & ~q), mindkettı a konjunkció, az alternáció és a negáció kapcsolatára vonatkozik és De Morgan törvények néven tartják számon, (T20) a kontrapozíció törvénye: (p ⊃ q) ⇔ (~q ⊃ ~p), amely szerint az elıtag és az utótag sorrendje felcserélhetı, azzal a feltétellel, hogy a változókat negáljuk, (T21) (p ↔ q) ⇔ [(p ⊃ q) & (q ⊃ p)] a kondicionális és a bikondicionális kapcsolatára vonatkozik és egyben magyarázza ez utóbbi névadását, azaz ha a bikondicionális kapcsolat fennáll, akkor az elıtag is implikálja az utótagot, illetve az utótag is implikálja az elıtagot, (T22) (p ⊃ q) ⇔ (~p v q), (T23) (p ⊃ q) ⇔ ~(p & ~q), ez utóbbi két törvény a kondicionális illetve a konjunkció, alternáció és negáció kapcsolatára vonatkozik. Viszont ha a kondicionális kifejezhetı konjunkció, alternáció és negáció segítségével, akkor a bikondicionális is kifejezhetı velük, mivel biimplikációnak tekinthetı, ami miatt a (T24) a (T22)- bıl és a (T21)- bıl adódik: (T24) (p ↔ q) ⇔ [(~p v q) & (~q v p)], (T25) a kizáró diszjunkció és a bikondicionális kapcsolatáról: (p + q) ⇔ ~(p ↔ q), vagyis a kizáró diszjunkció negált bikondicionális, és fordítva a bikondicionális negált kizáró diszjunkció, (T26) ~(p & q) ⇔ (p / q), az inkompatibilitás negált konjunkció, (T27) ~(p v q) ⇔ (p ↓ q), a Scheffer-funktor negált diszjunkció, (T28) p/p ⇔ ~p, e törvény szerint a negáció kifejezhetı az inkompatibilitás segítségével, ami az jelenti, hogy a negáció is reduktibilis, (T29) [(p / q) / (p / q)] ⇔ (p & q) szerint a konjunkció is redukálható az inkompatibilitásra. Ha a negáció és a konjunkció is reduktibilisek az inkompatibilitásra, akkor ez azt jelenti, hogy a kijelentéskalkulus mindenik állandója, vagy igazságfüggvénye kifejezhetı segítségével. Ez pedig egy nagyon fontos következmény. Összefoglalás. Az igazságfüggvényeknek, vagy logikai mőveleteknek pontos logikai jelentése van. Mindenikhez bizonyos tulajdonságok tartoznak. Az igazságfüggvények jelentése között logikai - szemantikai kapcsolatok jönnek létre. Ez abban fejezıdik ki, hogy egymásra redukálhatóak. Az ebben az alfejezetben használt logikai törvényfogalom még nem eléggé világos és pontos. Pontosítását a következı alfejezet hozza. Kulcsfogalmak meghatározó igazságértéktáblázat, a törvény kijelentéslogikai értelme, komutativitás, asszociativitás, disztributivitás, redukció Gyakorlatok 1. Mi a törvény kijelentéslogikai értelme? 2. Melyek a De Morgan törvények? 3. Próbáljátok bizonyítani a (T24) (p ↔ q) ⇔ [(~p v q) & (~q v p)] törvényt. A bizonyítás során hivatkozzatok azon ismert törvényekre, amelyeket felhasználtatok. 4. Miként bizonyítható e törvény (p ↔ q) ⇔ [(~(p & ~q)) & (~(q & ~p))]? 5. Mi a jelentısége annak, hogy a negáció kifejezhetı az inkompatibilitás segítségével?

Negyedik fejezet

AZ ELDÖNTÉS

3.

Az eldöntés kérdése a kijelentések logikájában

4.

Eldöntési módszerek 1. Az értéktáblázatos módszer 2. Az eldöntés rövidített módszere 3. A normál (kanonikus) formák módszere

Az eldöntéskérdés a kijelentések logikájának központi témája. Az eldöntéskérdés megoldása ereményeképpen állapíthatjuk meg a szintaktialiag jólformált kifejezésekrıl, hogy logikai törvények-e vagy sem. Amennyiben törvényre bukkantunk, annyiban olyan mindig igaz sémát találtunk, amit átértelmezhetünk a logika tárgyára, a következtetés érvényességére. Röviden, a hagyományos logika intuitív érvényességfogalma a kijelentések logikájában eldöntéskérdésként kezelhetı és kalkulatórikusan oldható meg. Ez azt jelenti, hogy a hagyományos logikában érvényseknek neveztük azokat a következtetéseket, amelyeknek premisszái igazak és helyes volt. Az érvényesség kijelentéslogikai értelme a logikai törvényekkel kapcsolatos. Ha a kijelentések logikájának sémája törvény, akkor egyben érvényesnek nevezhetı. 1. Az eldöntés kérdése a kijelentések logikájában • A téma célja bemutatni azon módszereket, amelyek segítségével a kijelentések logikájának bármely jólformált kifejezésérıl meg lehet mondani azt, hogy logikai törvénye-e vagy sem. Ez azon az alapon, hogy minden tudomány és így a logika számára is alapvetıen fontos azt tudni, hogy miként lehet törvényszerő kijelentéseket kapni. • A téma átvétele után képes kell legyél arra a logikai kalkulusra, amely a kijlentéslogika kifejezéseinek törvényszerő voltát hivatott meghatározni. Elıször is határozzuk meg az eldöntés kérdését. A kijelentések logikájában eldönteni azt jelenti, hogy találni olyan módszert, amelynek segítségével, véges lépésen keresztül, képesek vagyunk megállapítani az összes jólformált kifejezésrıl, hogy logikai törvény-e vagy sem. Ilyen módszer rendelkzsésünkre áll. Nem is egy. A módszerek közül mi néggyel fogunk majd foglalkozni: az értéktáblázat módszerével, egy rövidített módszerrel (másnéven Quine-módszer) és a normál formák módszerével. Ezek közül az elsı kettı a kijelentéslogika sémáinak szemantikai értelmezését feltételezi, a harmadik pedig inkább szintaktikai módszer. Azért inkább, mivelhogy tisztán szintaktikailag gyakorlatilag nem járhatunk el.

A szemantikai módszerekkel végzett döntés elsı lépése mindig a változók helyettesítése az igaz (1) vagy a hamis (0) igazságértékekkel. A helyettesítés eredményképpen a változók helyét állandók veszik át, mivel az igazságártékek konkrétan determináltak. Kezdjük a szemantikai módszerekkel mivel ezek eléggé intuitívak, nagyon explicitek és könnyen kezelhetık. 1. Az értéktáblázat módszere. Mint neve is mutatja táblázat megszerkesztését jelenti, amelynek fokozatosan, logikai kalkulus alapján töltjük ki sorait. Azért szemantikai módszer, mert a változókat a lehetséges igazságértékekkel helyettesítjük, azaz logikailag értelmezzük. A logikai változók helyettesítése a konkrét igazságértékekkel a változók értékelését jelenti. Az értékelés a szemantikai módszerek kötelezı kezdeti lépése és ez teszi a különbséget a szintaktikai módszrekkel. Így a változók adott értelmezéseire, a logikai kalkulust elvégezve, bizonyos kimeneti igazságértéket kapunk. A módszert egy példán keresztől mutatjuk be. Legyen a kijelentéslogika következı sémája. S1: ~[ (p v q) ⊃ p] ↔ (~p & ~q) E sémáról, ebben a formájában nem lehet megállapítani azt, hogy logikai törvény-e vagy sem. Emiatt elsı lépésben változóit értelmeznünk kell. Ehhez szükséges a táblázat felépítése a következıképpen. A táblázat oszlopainak és sorainak számát a sémában lévı változók (n) és állandók (k) függvényében állapítjuk meg. A fenti sémában két változó van (p, q). Tehát n = 2. Az állandók számának megállapításakor elınyös ıket leszámozni abban a sorrendben amelyben a kalkulust végezni fogjuk, a következıképpen: S1: ~3[ (p v1 q) ⊃2 p] ↔7 (~4p &6 ~5q) A számozást a kerek zárójelekkel kezdtük, úgy hogy figyelembe vettük a változókat összekötı logikai állandók erısségét. Így a 6. konjunkció mővelete nem végezhetı el addig amíg a 4. és 5. negációt nem számítottuk ki. A mi sémánk 7 állandót tartalmaz. Tehát k = 7. A táblázat vonalait (sorait) a 2n képlet szerint számítjuk ki, azért mert két logikai igazságérték kéttagú kombinációit kell megkapnunk. Az oszlopok számát az n + k képlet adja. A mi esetünkben a sorok száma 22 = 4, az oszlopok száma pedig 2 + 7 = 9. A táblázat a következı. p q

v1

1 1 0 0

1 1 1 0

1 0 1 0

⊃2 1 1 0 1

~3 0 0 1 0

~4 0 0 1 1

~5 0 1 0 1

&6 0 0 0 1

↔7 1 1 0 0

Szokás szerint a táblázat elsı oszlopaiba a változók igazságértékeinek kombinációit írjuk úgy, hogy az elsı oszlopon, jobbról balra az értékeket egyenkét váltogatjuk, a következın kettenként, a következın nyolcanként, a következın tizenhatonként stb. Ezen

értékkombinációk képezik az igazságfüggvény értelmezési tartományát. Az utánuk következı oszlopokban a logikai állandók jelentése szerint (1. Táblázat. A kétértékő logika egymástól különbözı lehetséges igazságfüggvényei) végezzük el a kalkulust. Ennek eredményeképpen megkapjuk az igazságfüggvény értéktartományát, más szóval kimeneti igazságértékeit. A mi sémánk esetében ez a 9. oszloban van. A eldöntés kérdésének megoldását ezen utolsó oszlop alapján végezzük el. Itt három eset lehetséges: α. ha az utolsó oszlop, azaz az igazságfüggvény értéktartománya csak igaz értékeket tartalmaz, akkor a séma logikai törvény. Ez azt jelenti, hogy a változók bármely értelmezésére a séma mindig igaz, β. ha az utolsó oszlop, azaz az igazságfüggvény értéktartománya igaz és hamis igazságértékeket tartalmaz, akkor a séma kielégíthetı, χ. ha az utolsó oszlop, azaz az igazságfüggvény értéktartománya csakis hamis igazságértékeket tartalmaz, akkor a séma logikai ellentmondás, azaz mindig hamis. Az S1 séma kimeneti igazságértékei között igaz és hamis igazságérték is szerepel, tehát kielégíthetı. Mit jelent ez? Azt jelenti, hogy a S1 séma változóinak bizonyos értelmezéseire az igaz, más értelmezéseire hamis értéket vesz fel. Azaz a séma által leírt következtetés nem érvényes. Lássunk most egy újabb példát. Ezúttal a következı sémáról kell döntenünk. S2: [p & (q v r)] ↔ [(p & q) v (p & r)] Az oszlopok és a sorok megállapításához: n = 3, k = 6. S2: [p &2 (q v1 r)] ↔6 [(p &3 q) v5 (p &4 r)] Tehát az oszlopok száma 9, a sorok száma pedig 8. p

q

r

v1

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 0 1 1 1 0

&2 1 1 1 0 0 0 0 0

&3 1 1 0 0 0 0 0 0

&4 1 0 1 0 0 0 0 0

v5 1 1 1 0 0 0 0 0

↔6 1 1 1 1 1 1 1 1

Mivel az utolsó oszlopon csak igaz érték van, a séma logikai törvény. Ez viszont nem más mint a (T9)-es törvény amit a 3. fejezet 2. alfejezébıl ismerünk, azaz a konjunkciónak a diszjunkcióval szembeni disztributivitásának törvénye. Az akkor törvénynek nevezett kifejezés itt nyert igazolást, mivel ott nem álltak rendelkezésünkre azok az eszközök, amelyek segítségével ezt bizonyíthattuk volna. Próbáljuk most összefoglalni azokat a lépéseket, amelyeket követnünk kell, ahhoz hogy e módszerrel dönthessünk a kijelentések logikájának bármely sémájáról.

1. Megszámoljuk a sémában szereplı változókat és mőveleteket. A mőveleteket leszámozzuk erısségük sorrendjében. 2. Kiszámítjuk az értéktáblázat oszlopainak és vonalainak (sorainak) számát. 3. Elvégezzük az értéktáblázat igazságfüggvényei által megadott logikai kalkulust. A kalkulus alapját a logikai mőveletek (igazságfüggvények) jelentése képezi (1. Táblázat). 4. Az értéktáblázat utolsó oszlopa alapján az α., β. és χ. pontokban megadottak szerint döntünk. E módszer hátránya, hogy nagyszámú változót tartalmazó sémák esetében nagyon sok sort és oszlopot tartalmazó táblázatot kell készítenünk. Ez adott esetben bonyodalmakat okozhat. Újabb módszer elsajátítása emiatt elınyös lehet. Egy újabb eldöntési módszer azért is szükséges, mert lehetıségünk kell legyen arra, hogy egy adott módszerrel nyert eredményt valamilyen módon ellenırizzünk. 2. Az eldöntés rövidített módszere (a Quine-módszer). E módszer elınye abban áll, hogy a kalkulus folyamán nem kell az értelmezési tartomány összes lehetséges értékkombinációjának megfelelı kimeneti igazságértéket megkeresni. A módszer alkalmazása olyan szabályokra alapszik, amelyek közvetlenül kiolvashatók az igazságfüggvények meghatározó igazságértéktáblázataiból. Ezek a következık. 1. A konjunkció szabályai: a. ha a konjunkció egyik tagja igaz, akkor a konjukció értéke a másik tag értékére redukálható: p&1=p b. ha a konjunkció egyik tagja hamis, akkor a konjunkció hamis: p & 0 = 0. 2. Az alternáció szabályai: a. ha az alternáció egyik tagja igaz, akkor az alternáció igaz: pv1=1 b. ha az alternáció egyik tagja hamis, akkor az alternáció értéke a másik tag értékére redukálható: p v 0 = p. 3. A kondicionális szabályai. Mivel a kondicionális nem kommutatív, külön szabályok vonatkoznak az elıtagjára és az utótagjára: a. ha a kondicionális elıtagja igaz, akkor értéke megegyezik az utótag értékével: 1 ⊃ p = p,

b. ha a kondicionális elıtagja hamis, akkor a kondicionális igaz: 0 ⊃ p = 1, c. ha a kondicionális utótagja igaz, akkor a kondicionális igaz: p ⊃ 1 = 1, d. ha a kondicionális utótagja hamis, akkor a kondicionális értéke megegyezik az elıtag negáltjának értékével: p ⊃ 0 = ~p. 3. A bikondicionális szabályai. Itt csak két szabály létezik a kommutativitás miatt: a. ha a bikondicionális egyik tagja igaz, akkor értéke redukálható a másik tag értékére: p ↔ 1 = p, b. ha a bikondicionális egyik tagja hamis, akkor értéke redukálható a másik tag értékének negáltjára: p ↔ 0 = ~p. 4. A kizáró diszjunkció szabályai: a. ha a kizáró diszjunkció egyik tagja igaz, akkor értéke megegyezik a másik tag értékének negáltjával: p + 1 = ~p, b. ha a kizáró diszjunkció egyik tagja hamis, akkor értéke megegyezik a másik tag értékével: p + 0 = p. Az eldöntés e módszer esetében is a változók értelmezésével kezdıdik. Az elıbbi módszertıl abban különbözik, hogy itt sorozatos feltételezéseket végzünk a változó igazságértékére vonatkozóan. Íme egy példa. Döntsünk a következı sémáról. S1: ~p ⊃ (p ⊃q) Az eldöntés azzal kezdıdik, hogy megnézzük mely változó a leggyakoribb elıfordulású a sémában. Itt a p. Tételezzük fel róla azt, hogy igaz. Behelyettesítve azt kapjuk, hogy: S1: 0 ⊃ (1 ⊃ q),

de a 3.b. szabály szerint ha a kondicionális elıtagja hamis, akkor a kondicionális igaz. Sorrendben az elsı kondicionális elıtagja hamis, tehát az utótag értékétıl függetlenül a kondicionális igaz. Így megkaptuk az S1 séma egyik kimeneti igazságértékét, ami igaz. A második feltételezés szerint p hamis. Behelyettesítve: S1: 1 ⊃ (0 ⊃ q). Ezúttal a második kondicionális elıtagja hamis. Tehát a zárójel értéke igaz. Megmarad a következı séma: S1: 1 ⊃ 1. Itt a kondicionális elıtagja és utótagja is igaz. Tehát a kondicionális csakis igaz lehet. Ezáltal megkaptunk még egy kimeneti igazságértket. Mivel a kimeneti igazságértékek mind igazak, az α. pont alapján sémánk logikai törvény (tautológia). Ellenırizzük most le a kapott eredményt értéktáblázatos módszerrel. A sémában két változó és három logikai állandó van. Tehát a sorok száma 4, valamint az oszlopok száma 5. Leszámozva a mőveleteket a következıt kapjuk. S1: ~2p ⊃3 (p ⊃1 q ) Az értéktáblázat a következı lesz. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

⊃1 1 0 1 1

~2 0 0 1 1

⊃3 1 1 1 1

E módszer által kapott eredmény igazolja a rövidített módszer útján kapott eredményt. Lássunk most egy valamivel összetettebb példát. Döntsünk a Quine módszerrel a következı sémáról. S2: [p v (p ⊃ q)] ⊃ (q v r) Tételezzük fel, hogy p igaz. Behelyettesítve az S2: [1 v (1 ⊃ q)] ⊃ (q v r) sémát kapjuk. Ebben az egyenes zárójelben szereplı kondicionális a 3.a. szabály szerint redukálható utótagjára és az S2: [ 1 v q] ⊃ (q v r)

sémát kapjuk. Ebben a kondicionális elıtagja igaz lesz, mivel a 2.a. szabály szerint az alternáció egyik tagja igaz. Emiatt a séma az S2: 1 ⊃ (q v r) sémára redukálódik. Itt a kondicionális elıtagja igaz, tehát a séma az S2: q v r sémára redukálódik. Ebben a helyzetben egy újabb feltételezéshez kell folyamodnunk. Tehát tételezzük fel a q változóról azt, hogy igaz. Behelyettesítve az S2: 1 v r sémát kapjuk. Újra a 2.a. szabály szerint az itteni alternáció igaz, mivel egyik tagja igaz. Tehát megkaptuk az egyik kimeneti igazságértéket. Most viszont fel kell tételeznünk azt is, hogy q hamis. Ebben az esetben a séma az S2: 0 v r sémává alakul. Itt a 2.b. szabály szerint a séma értéke r-re redukálódik. r pedig lehet igaz vagy hamis. E két érték a séma két újabb kimeneti igazságértéke. Most térjünk vissza a p változóhoz. Tételezzük fel, hogy p hamis. Behelyettesítve az S2: [0 v (0 ⊃ q)] ⊃ (q v r) sémát kapjuk. Ebben a kerek zárójelben szereplı kondicionális igaz a 3.b. szabály szerint. Tehát a séma az S2: [0 v 1] ⊃ (q v r) sémára redukálódik. Ebben az egyenes zárójel igaz a 2.a. szabály szerint. Tehát a séma az S2: 1 ⊃ (q v r) sémává alakul. Itt a kondicionális 3.1. szabálya szerint a séma az utótagra redukálódik. Tehát marad az S2: q v r séma. Ez a forma egyezik az elıbb már megtalált formával, azelıtt mielıtt q-ról feltételeztük azt, hogy hamis. A teljesség kedvéért vigyük végig a kalkulust. Tehát tételezzük fel q-ról azt hogy igaz. Sémánk az

S2: 1 v r sémává alakul. Itt a 2.a. szabály szerint az alternáció igaz. Tehát megkaptuk az egyik kimeneti igazságértéket. Tételezzük most fel, hogy q hamis. Ebben az esetben a séma az S2: 0 v r alakú lesz. Itt a 2.b. szabály szerint az alternáció r-re redukálódik. r pedig igaz vagy hamis lehet, ami egyben újabb két kimeneti igazságérték. Mivel a kimeneti igazságértékek felváltva hamisak és igazak a sémáról azt dönthetjük el, hogy kielégíthetı. Ellenırizzük most le a kapott eredményt az értéktáblázatos módszerrel. Az S2-es sémában 3 változó és 4 mővelet van. A számozásuk a következı S2: [p v2 (p ⊃1 q)] ⊃4 (q v3 r). Tehát a táblázatnak 8 sora és 7 oszlopa lesz. p q r 1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

⊃1 1 1 0 0 1 1 1 1

v2

v3

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 0 1 1 1 0

⊃4 1 1 1 0 1 1 1 0

Az értéktáblázatos módszer alkalmazása azt mutatja, hogy a séma kielégíthetı. Más szóval mindkét módszerrel ugyanazt az eredményt kaptuk. Az eldöntés rövidített módszerének bizonyos hátrányai is vannak. Így az S1 séma két igazságértékét kaptuk meg a lehetséges négybıl, az S2 séma lehetséges nyolc igaságértékébıl pedig csak hatot. Tehát az eldöntés e módszere segítségével nem kapjuk meg analitikusan az összes lehetséges kimeneti igazságértéket. Egy másik megjegyzés amit meg kell tennünk arra vonatkozik hogy az S2-es séma értékelése folyamán a második feltételezése után már világos volt, hogy sem az igaz, sem a hamis igazságérték nem fordulhat elı homogénen, azaz az igazságértékek váltakozni fognak. Emiatt a kalkulus ezen szakaszában már eldönthetıvé vált az, hogy a séma kielégíthetı. A következtetések érvényességének vizsgálata, mint láttuk kölönbözı eszközöket használ a hagyományos logikában és a kijelentések logikájában. A hagyományos logika feltételes és a szétvélasztó szillogizmusai a kijelentéslogika tematikájába illı. Vizsgáljuk meg, hogy a modus ponens kitüntetett következtetési sémájának érvényessége miként tevıdik fel e két elméletben.

A hagyományos logika7, feltételes és szétválasztó következtetést tárgyaló részében felírtuk a következı sémát: A A

→

B B,

és ezt neveztük modus ponensnek (állító mód). Erre a következı két példát adtuk: Ha tizesre vizsgázom logikából, akkor elmegyek kirándulni. Tizesre vizsgáztam logikából. Tehát: Elmegyek kirándulni. Arra hivatkoztunk, hogy annak igazságából, hogy „tizesre vizsgázom logikából” szükségszerően adódik annak igzsága, hogy „elmegyek kirándulni”. A következtetést érvényesnek neveztük. Az itteni érvényességfogalom viszont egy intuitív érvénysségfogalom volt és csakis példák segítségével tudtuk megvilágítani. Az érvénytelen modus ponenst a következı példával szemléltettük: Ha tizesre vizsgázom logikából, akkor elmegyek kirándulni. Elmegyek kirándulni Tehát: Tizesre vizsgáztam logikából. ahol is az „elmegyek kirándulni” mondat igazsága nem alapozza meg szükségszerően a „tizesre vizsgáztam logikából” mondat igazságát. E nem helyes modus ponenshez a következı séma tartozott: A

→

B B

A. A két séma különbsége abban áll, hogy az elsıben a kondicionális elıtagja érvényesen alapozza meg az utótagja igazságát, míg a másodikban az utótag igazsága érvénytelenül alapozza meg az elıtag igazságát. Másszóval az érvényes modus ponensben a következmény szükségszerően igaz, míg az érvénytelenben esetleges. Felhasználva most a kijelentések logikájának már ismert eszközeit, fordítsuk le a helyes modus ponenst az új nyelvre. Eszerint az A és B helyét kijelentésváltozók veszik át, az elsı premisszában kondicionálist azonosítunk, a két premissza között konjunkció rejtızik, illetve a premisszákat és a következményt kondicionális köti össze. Innen adódik a következtetésnek megfelelı szimbolikus forma: S1: [(p ⊃1 q) &2 p] ⊃3 q Lévén egy kétvéltozós séma döntsünk felıle az értéktáblázatos módszer segítségével: 7

Gál László (2007) Hagyományos logika, Egyetemi mőhely kiadó, Bolyai Társaság, Kolozsvár, 13-14, 100-102.

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

⊃1 1 0 1 1

&2 1 0 0 0

⊃3 1 1 1 1

Mivel az utolsó oszlopon csak igaz igazságértékek szerepelnek, a séma logikai törvény. Nézzük meg most a nem helyes modus ponens kijelentéslogikai tárgylását. Neki a következı séma felel meg: S2: [(p ⊃1 q) &2 q] ⊃3 p. Döntsünk róla: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

⊃1 1 0 1 1

&2 1 0 1 0

⊃3 1 1 0 1

E séma viszont nem logikai törvény, hanem kielégíthetı. Innen levonhatjuk a következtetést, hogy a hagyományos logika intuitív érvényességfogalma a kijelentéslogika eszközeivel sokkal pontosabban, kalkulatórukusan ellenırizhetı. Másszóval a logikai törvények érvényes következtetéseknek felelnek meg és az eldöntés eredményeképpen kitüntetetteknek tekinthetık a kijelentéslogika összes sémái között. Összefoglalás. Az eldöntés kérdése a logika központi kérdése. A logika, mint a helyes következtetés tudománya a kijelentéslogika eldöntéskérdésének megoldásán keresztül, egyben a következtetés helyességének egy modelljét nyújtja. Az értéktáblázatos- és a rövidített módszer a következtetések helyességének ellenırzésére nyújtott erıs kalkulatórikus eszközök. A helyesség és az érvényeség ellnırzése, mint láttuk a lehetséges szintjén valósul meg. Kulcsfogalmak értékelés, szemantikai módszerek: értéktáblázat, Quine-féle módszer, szintaktikai módszerek, logikai törvény, ellentmondás, kielégíthetıség Gyakorlatok 1. Döntsetek az értéktáblázatos módszerrel a következı sémákról. 1. Döntsetek az értéktáblázatos módszerrel a következı sémákról. a. (p v q) v (p & q) b. ~(p & q) ⊃ (p v q) c. p ⊃ (~p & q) d. ~p ⊃ (p v q) e. (p ↔ q) ⊃ (p⊃ q)

f. (p & q) ⊃ ~p g. [p v (p v r)] ⊃ (~p v q) h. (p ↔ q) ↔ [(p ⊃q) & (q ⊃ p)] i. p ↔ ~p j. (p v q v r v s) ⊃ (~q & ~r & ~s) k. {[(~p & q) & ~r] + (p & ~r)} → (~r ⊃ ~q) l. p v ~p m. ~[(p ↔q) ↔ (~q ↔ ~p)] 2. Döntsetek a rovidített módszerrel a következı sémákról. Ellenırizzétek az eredményt az értéktáblázatos módszerrel. a. p ↔ (~q & r) b. (~p v q ) ↔ (p v ~q) c. (p v q ) ⊃ ~p d. (p ⊃ q) ⊃ (q ⊃ p) e. [(q & r) ⊃p] ↔ [(q ⊃ p) & (~r ⊃ p)] f. [(p & q) & (r v ~s)] ⊃ [ (~s v q) ↔ (r ⊃~p)] g. [(p & q) ⊃ ~r] ⊃ [(r v p) ⊃ (~q ⊃ r)] h. [p v (q & r)] ↔ [(p & q) v (p & r)] i. ~[(p ⊃ q) ↔ ~(p & ~q)] 3. Mit gondoltok milyen logikai jelentése van a sémák tautológikus, ellentmondásos és kelégíthetı voltának? 3. A normál formák (kanonikus formák) módszere. E módszerre az jellemzı, hogy egyrészt felhívja a figyelmet arra, hogy az igazságfüggványek szemantikailag egymással kifejezhetık, valamint arra, hogy az eldöntés logikai kérdése szintaktikailag is megoldható. Kanonikus formájúak a kijelentéslogika azon kifejezései, amelyekben kisszámú elıre megválasztott állandóra redukálják az összes többi állandót. Más szóval a szabályok (kanonok) azok, amelyek szerint az átalakítás megtörténik. Ezáltal pedig a kifejezések adott szabvány szerinti formájúakká válnak. Egyetlen meghatározásba összefoglalva: A normál (kanonikus) formák, olyan kifejezések, amelyekrıl közvetlenül, szintaktikai tulajdonságaik alapján már lehetséges az eldöntés. Annak függvényében, hogy melyek azon megválasztott mőveletek, amelyekre segítségével az összes többit kifejezzük, többféle normál forma ismeretes. Mi a továbbiakban a Boole-féle normál formákkal fogunk foglalkozni. Nevét a XIX. századi angol logikustól és matematikustól, G. Boole-tól kapta. Ennek elıre megválasztott állandói a &, v és a ~. Erre a következı feltételek kell teljesüljenek: 1. a kifejezésben csak &, v és ~ szerepel, 2. a negáció csak a változókra esik, 3. a névadó állandó nem szerepel a kifejezés tagjaiban.

Aszerint, hogy melyik a névadó állandó megkülönböztetünk konjuktív normál formát (ahol a fımővelet a konjunkció, az alternáció pedig csak a tagokban jelenik meg), és diszjunktív normál formát (ahol a fımővelet az alternáció, és a konjunkció csak a tagokban jelenik meg). Így normál formának tekinthetı: - bármely változó: p, q, r, - bármely negált változó: ~p, ~q, ~r. Ezeket elemi terminusoknak nevezzük, -az elemi terminusok konjunkciói: p & q, p & ~r, amelyeket elemi konjunkcióknak nevezünk. Az elemi terminusok diszjunkciói: p v r, ~p v q, amelyeket elemi diszjunkcióknak nevezünk, - az elemi konjunkciók diszjunkciói: (p & q) v (p & r). Az elemi diszjunkciók konjunkciói: (p v q) & (q v r). Megjegyezzük, hogy az elemi konjunkció nullaelemő diszjunktív normál formának tekinthetı: (p & q) v ∅. Továbbá az elemi diszjunkció nullaelemő konjunktív normál formának tekinthetı: (p v q) & ∅. A következı kifejezések nem tekinthetık normál formájúaknak: p ⊃ (p v q), (p v q) v (p & r), ~ (p & q) ⊃ (p v r), mivel nem tesznek eleget az 1.-3. feltételekenek. A normál formára való hozás bizonyos lépéseket kell kövessen. Ezek a következık. a. Amennyiben a kijelentéskalkulus bármely jólformált kifejezése a &-ón, v-ón és ~-ón (egynéven Boole-mőveletek) más mőveleteket is tartalmaznak, ıket az alábbi törvények szerint alakítjuk át Boole-mőveletekké: (1) (A ⊃ B) ⇔ (~A v B) (2) (A ↔ B) ⇔ [(~A v B) & (~B v A)] (3) (A / B ) ⇔ (~A v ~B) (4) (A + B) ⇔ [(~A & B) v (~B & A)] (5) (A ↓ B) ⇔ (~A & ~B). Megjegyezzük, hogy az A, B, C... nagybetők a kijelentésváltozók és a kijelentéslogika sémáinak metajelei. E törvényeket ismerjük már. Itteni felsorolásuk viszont nem fölösleges, mivel itt kerülnek felhasználásra. A különbség a törvények itteni és a 3. fej. 2. alfejezbeli bemutatása között az, hogy benne nem csak kijelentésváltozók szerepelnek. Mint az elıbb is mondtuk A és a B betők itt a kijelentéskalkulus bármely jólformált kifejezését helyettesítik. b. Ha a negáció nem a változókra, hanem az állandókra esik, akkor a De Morgan törvények, illetve a kettıs negáció törvényei szerint hozzuk le a változókra: (6) ~ (A & B) ⇔ (~A v ~B) (7) ~ (A v B) ⇔ (~A & ~B) (8) ~~A ⇔ A. c. Ha a fımővelet a normál forma tagjaiban is megjelenik, akkor felhasználva a disztributivitás és az asszociativitás törvényeit, a megfelelı normál formára hozzuk: (9) [A & (B & C)] ⇔ [(A & B) & C)]

(10) [A v (B v C)] ⇔ [(A v B) v C)] (11) [A v (B & C)] ⇔ [(A v B) & (A v C)] (12) [A & (B v C)] ⇔ [(A & B) v (A & C)]. Lássuk most konkrétan miként is hozhatunk egy adott kifejezést normál formára. Legyen: S: (p ⊃ q) ⊃ (q ⊃ r). Amint látjuk, e sémában kizárólagosan nem Boole-mőveletek szerpelnek. Emiatt át kell ıket alakítanunk Boole-mőveletekké az (1)-es törvény alapján. A következı képpen: S: ~(~p v q) v (~q v r). Ezzel a séma minden mővelete Boole-mővelet. Csakhogy még mindig nem felelünk meg a Boole-féla normál forma 2. feltételének, mivel a negáció az állandókra is esik. Emiatt a (7) és (8)-as törvények alapján le kell ıket hoznunk a változókra. S: (p & ~q) v (~q v r ) lesz belıle. Ez a kifejezés újra nem felel meg a Boole féle normál forma 3. feltételének, azaz a fımővelet a tagokban is szerepel. Így felhasználva a (9)-es törvényt, a diszjunkció asszociativitásának törvényét, megkapjuk a a konjunktív normál formát (k.n.f.). S: p & (~q v ~q v r). -k.n.f. A diszjunktív normál formához fel kell használnunk a konjunkciónak a diszjunkcióval szembeni disztributivitását, a (12)-es törvényt, a következı képpen: S: (p & ~q) v (p & ~q) v (p & r). -d.n.f. Ez a diszjunktív normál forma (d.n.f.). Az összetettebb sémákkal végzett kalkulus megkönnyítésére, de nem feltétlenül csak ezekben az esetben, érdemes a mellékmőveletet elhanyagolni. Így a séma írása leegyszerősödik. Például sémánk d.n.f.-ját röviden így is írhatjuk S: p~q v p~q v pr mivel egyértelmő, hogy az alternáció tagjaiban csakis konjunkció szerepelhet. Ugyanígy írhatjuk a k.n.f.-t is, csakhogy ezúttal a tagokban lévı alternációkat hanyagoljuk el. S: p & ~q~qr. A normál forma eldöntési módszere a konjunkció és az alternáció tulajdonságaira alapszik. Ezeket a meghatározó értéktáblázataikból egyszerően kiolvashatjuk:

(T13) A v ~A = 1, azaz a változót vagy sémát, illetve ezek negáltjait tartalmazó kifejezés diszjunkciói mindig igazak, (T14) A & ~A = 0, azaz a változót vagy sémát, illetve ezek negáltjait tartalmazó kifejezés konjunkciói mindig hamisak, (T15) B & (A v ~A) = 1, azaz n igaz tagú konjunkció az mindig igaz, (T16) B v (A & ~A) = 0, azaz n hamis tagú diszjunkció az mindig hamis. Az eldöntés maga a következı törvényes alapokon nyugszik: (T17) Ha a diszjunktív normál forma mindenik tagja A & ~A alakú kifejezést tartalmaz, akkor az logikai ellentmondás. (T18) Ha a konjunktív normál forma mindenik tagja A v ~A alakú kifejezést tartalmaz, akkor az logikai törvény. (T19) Ha a normál formák az elıbbi két törvnénynek nem tesznek eleget, akkor az eredeti kifejezés kielégíthetı. Amint azt megállapíthajuk, eredeti sémánk a (T17)-(T18) feltételeknek nem felel meg. Emiatt kielégíthetı, a (T19)-es alapon. Ellenırizve a kapott eredményt az értéktáblázatos módszerrel, a következıt kapjuk. S: (p ⊃1 q) ⊃3 (q ⊃2 r) Az oszlopok száma 5, a sorok száma pedig 8. A táblázata a következı. p

q

r

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

⊃1 1 1 0 0 1 1 1 1

⊃2 1 0 1 1 1 0 1 1

⊃3 1 0 1 1 1 0 1 1

Az értéktáblázatos módszer ellenırzi a normál forma módszerével kapott eredményt. Összefoglalás. A normál formákkal történı eldöntés olyan túlnyomórészt szintaktikus módszer, amelynek segítségével a kérdés viszonylag egyszerően megoldható. A logikai mőveletek szemantikai megfelelései itt is fontos szerepet játsznak. Kulcsfogalmak normál (kanonikus) forma, Boole-féle normál forma, konjunktív normál forma, diszjunktív normál forma, eldöntés Gyakorlatok

1. Döntsetek a normál forma módszerével az alábbi sémákról. a. (p ↔ q) v (p ↔r) b. ~p ⊃ (p ⊃ q) c. ~ [ p ⊃ (q ⊃ p] 2. Ellenırizzétek a kapott eredményt az eldöntés valamely más módszerével.

Ötödik fejezet

A KÖVETKEZTETÉS

4.

A következmény reláció

5.

A deduktibilitási viszony

6.

Az ekvivalencia reláció

A következtetés képezi a logika tárgyát. Tehát e témán keresztül a logika kemény magjához értünk el. A következtetéshez tartozó alalpvetı fogalom az érvényesség fogalma. A hagyományos logika érvényességfogalma intuitív és szinte ellenırizhetetlen pontos logikai eszközökkel, mivel a helyességnek nincsnek vizsgálati eszközei és a premisszák igazságának ellenırzése az ismeretelméleti logika fele csúsztatja el. Ezzel szemben a kijelentések logikájának érvényességfogalma pontos és kemény eszközökkel vizsgálható fogalma. A helyesség az ismertetett eldöntési módszerekkel vizsgálható, a premisszák igazsága pedig a logikai változóknak állandókkal (az igaz és hamis igazságértékekkel) való helyettesítését jelenti. A kijelentéslogika nem a konkrét következtetés érvényességét vizsgálja, hanem adott séma összes lehetséges interpretációinak függvényében fennálló logikai törvény voltot. • A téma célja a következtés érvénysségének, mint a logika alapvetı tárgyának vizsgálata a kijelentések logikája eszközeivel. • A téma átvétele után képes kell legyél a következtetések érvényességének megállapítására a kijelentéslogika által biztosítot eszközök segítségével.

1. A következményreláció A következmény reláció témáján keresztül eljutunk a logika központi kérdéséhez, azaz a következtetéshez. E téma az, amely a következtetés megközelítését a kijelentéslogika nyújtotta eszközökkel teszi lehetıvé. Ennek meghatározása a következı. A kijelentések logikájának két sémája között akkor és csak akkor áll fenn a következmény reláció, ha a változóknak nincs olyan értelmezése, amelyre az elsı séma igaz, a második pedig hamis legyen. Szimbólumokkal: S1 ⇒ S2, ahol a ⇒ a következmény reláció szimbóluma.

Ebben a felírásban viszont nem lehet kalkulatórikusan ellnırizni azt, hogy a két séma között valóban fennáll-e a következményreláció, már csak azért sem, mert a ⇒ szimbólumával jelzett viszony egy általunk ismeretlen igazságfüggvény. Emiatt a következményrelációt a következı algoritmus szerint lehet vizsgálni. 1. A sémákat a ⇒ szimbóluma helyett a kondicionális (→) szimbólumával kötjük össze, ami már egy ismert igazságfüggvény. 2. Döntünk az így nyert sémáról. Ha tautológia, akkor azt mondjuk, hogy a következményreláció fenáll a két séma között. Ha nem, akkor nem. Például, legyen: S1: ~p S2: ~(p & q). Az elıbbiek alapján azt kell megvizsgálnunk, hogy e kettı között valóban fennáll-e a következmény reláció, vagyis az S1 ⇒ S2 összefüggés. Az algoritmus szerint: S1 ⊃ S2, vagyis ~p ⊃ ~(p & q) az a séma amelyrıl döntenünk kell. Ehhez felhasználjuk az eldöntés valamelyik általunk ismert módszerét. Legyen ez a Quine-módszer. Legyakoribb változónk a p. Tételezzük tehát fel, hogy p igaz. Behelyettesítve: ~1 ⊃ ~(1 &q), de alkalmazva a szabályokat 0 ⊃ ~(q), ahol a 3.b. szabály alapján a hamis utótag értékétól függetlenül a kondicionális mindig igaz. Ez tehát az egyik kimeneti igazságérték. Tételezzük most fel, hogy p hamis. Behelyettesítve: ~0 ⊃ ~(0 & q), és tovább 1 ⊃ ~(0), tehát 1 ⊃ 1. Az innen adódó kimeneti igazságérték pedig szintén igaz. Tehát a két séma közötti kondicionális kapcsolat mindig igaz, vagyis tautológia. Most általánosítva, azt mondhatjuk, hogy ha a két séma közötti kondicionális mindig igaz, akkor közöttük fenáll a következményreláció. Más szóval az S1:~p sémából mindig igazan következik az S2: ~(p & q) séma. Mint láthattuk, a következményreláció „tesztjét” a kondicionális képezi. Mi a különbség viszont a következmény reláció és a kondicionális között? Ez világosan megfogalmazható. Míg a kondicionális kimeneti igazságértékei között igaz és hamis igazságértékek szerepelnek, addig a következmény reláció akkor és csakis akkor áll fenn, ha a neki megfelelı kondicionális kimeneti igazságértékei csak igazak. Tehát a következményreláció egy mindig igaz kondicionális. Más megfogalmazásban a

kondiconális kielégíthetı, a következmény reláció pedig tautológia. Emiatt szimbólumaik is különböznek egymástól. Felmerül az a kérdés, hogy miként értelmezzük a tautológiát, abban az esetben amikor a következményreláció fennállását igazolja? A definícióból kiindulva, azt jelenti, hogy a váltózók akármilyen értelmezésére az elsı sémából mindig következik a második. Tovább értelmezve viszont kiderül, hogy itt a következtetésre vonatkozó logikai érvényességfogalom közbelépésérıl van szó. A hagyományos logikai érvényességfogalmat úgy értelmeztük, mit azt a feltételt, amelynek a következtetések meg kell feleljenek. Eszerint a következtetést akkor nevezhetjük érvényesnek, ha igaz premisszákból kiindulva, helyesen következtetünk, és így szükségszerően igaz következményhez jutunk. Ellenben az érvényésség fogalmának új értelmét nyerjük a kijelentéslogika keretei között. Itt neki a következményreláció felel meg, amit a tautológikus kondicionális „tesztel”. Tehát az érvényes következtetés kijelentésklogikai megfelelıje a fennálló következmény reláció. A következményreláció több tulajdonságal rendelkezik. a. Reflexív, ami azt jelenti, hogy mindenik séma következik önmagából. Szimbólumokkal: S ⇒ S. b. Tranzitív, ami azt jelenti, hogy ha az elsı séma és a második között fennáll a következményreláció és a második és harmadik séma között szintén fennáll a következményreláció, akkor ez fennáll az elsı és a harmadik között is. Szimbólumokkal: S1⇒ S2, és S2⇒ S3, akkor S1⇒ S3. c. Tautológiák bármely sémából kikövetkeztethetık, de belılük csak tautológiák származnak. d. Ellentmondásokból bármilyen séma kikövetkeztethetı, de ık csak ellentmondásokból származnak. E két utóbbi tulajdonság a kondicionális meghatározó igazságérték táblázatából is kiolvasható. Mélyebb értelmük arra szolgáltat magyarázatot, hogy a kétértékő logikában miért kitüntetett igazságérték az igaz. Mivel bárki saját állításainak túlnyomó többségét igaznak tartja, innen igazan csak az igaz következhet. A következményrelációval kapcsolatosan pedig az ide vonatkozó modell pontosan a tautológia. Összefoglalás. A következményreláció témája a következtetések érvényességének elemezéséhez nyújt eszközöket a kijelentések logikája keretei között. Az érvényesség e modell szerinti vizsgálata az eldöntés kérdéséhez vezet el. A következményreláció fennállása a tautológikus kondicinális segítségével ellenırizhetı. Kulcsfogalmak tautológikus kondicionális, következményreláció, tranzitivitás, a kijelentéslogika érvényességfogalma

Gyakorlatok

reflexivitás,

1. Vizsgáljátok meg a következményreláció fennállását a következı sémák között: S1: p v q S2: p v q v r S3: p + q + r S4: (p & q) ⊃ r S5: p ↔ (p ⊃ q) S6: p / q / q S7: ~ (~p v ~q) S8: p ⊃ (~p v ~q) S9: p & q & r & s S10: p & (q v r)

2. A deduktibilitási viszony • A téma célja bemutatni a következény reláció szerepét a kijelentéskalkulus egészének rendezésében. • A téma átvétele után képes kell legyél a kijelentéskalkulus bármely sémájának összes lehetséges premisszáinak és következményeinek meghatározására. A következményreláció fennállása vagy hiánya az eldöntés valamely módszerével ellenırizhetı. Az ellenırzés viszont mindenik jólformált kijelentéskalkulusbeli sémára ki kell terjedjen. Ez azt jelenti, hogy a kijelentéslogika sémái elsı pillantásra szétesı sokféleséget és változatosságot mutatnak. A dolgok valójában nem így állanak. Elképzelhetı az, hogy a kijelentéslogika összes sémája között megvizsgáljuk a következényreláció fennállását vagy sem. Ezáltal pedig egy olyan rendezıelvet találhatnánk, amelynek segítségével a teljes kijelentéslogika egy egységgé állna össze. Csakhogy ez nagyon hosszadalmas és sok erıfeszítést ígénylı folyamat lenne. Létezik egy ettıl különbözı és egyszerőbb megoldás is. Így a probléma leegyszerősíthetı arra, hogy kapjunk egy olyan módszert, amely segítségével adott kijelentéskalkulusbeli séma összes lehetséges premisszája, illetve következménye meghatározhatóvá váljon, ami egyben a következményreláció fennállását jelenti egyrészt a premisszák és a következmény, másrészt a következmény és ennek következményei között. A deduktibilitási viszony kérdése éppen abban áll, hogy találjunk olyan módszert, amely segítségével mindenik jólformált kijelentéskalkulusbeli sémának meglelhetıvé válik összes lehetséges premisszája, illetve következménye. Ezen értelem szerint a deduktibilitási viszony és a következményreláció között nincs különbség. A deduktibilitási viszony a következményreláció alapján értelmezhetı. Csakhogy, míg a következményreláció elemi, mondhatni „atomisztikus” megközelítésben veti fel a következtetés kérdését, addig a deduktibilitási viszony a lehetıségek szintjén mozog és mondhatni „molekuláris” megközelítést állít elénk. Továbbá, felhasználva az

igazságfügvények szemantikai korrespondenicáit, a deduktibilitási viszonyon keresztül a kiljelentések logikájának olyan belsı rendjét fedezhetjük fel, amely a sorozatos eldöntéseken keresztül nehezen, vagy szinte egyáltalán nem látható át. A kijelentéslogikában van módszer a sémák össes lehetséges premisszáinak és következményeinek meghatározására. Neve a tökéletes normál formák (kanonikus formák) módszere. A kijelentéslogika adott kifejezése akkor és csakis akkor nevezhetı tökéletes normál formának (röviden: t.n.f.) ha eleget tesz a következı feltételeknek: 1. 2. 3. 4.

Eleget tesz a boole normál forma követelményeinek. Mindenik tagja tartalmazza a sémában megjelenı mindenik változót. A változó nem jelenik meg a tagban a negáltjával együtt. Adott tag csak egyszer jelenik meg.

Akárcsak a Boole- féle normál formák esetében itt is megkülönböztetjük a diszjunktív- és konjunktív tökéletes normál formát. Ahhoz hogy eljussunk adott séma tökéletes normál formájához a következı algoritmust kell követnünk. A diszjunktív tökéletes normál formára való hozás algortimusa: 1. 2.

3.

1. 2.

3.

Felépítjük az illetı séma értéktáblázatát. Kiválasztjuk a változók azon értékkombinációit, amelyekre a séma az igaz (1) értékeket veszi fel és oszlopba állítjuk. Mindenik érték helyébe a neki megfelelı változót (az 1értéket a változóval, a 0 értéket a változó negáltjával helyettesítjük) tesszük. Az így kapott változókat konjunkciókkal kötjük össze, a tagokat pedig diszjunkciókkal. A konjunktív tökéletes normál formára való hozás algoritmusa: Felépítjük az illetı séma értéktáblázatát. Kiválaszjuk a változók azon értékkombinációit, amelyekre a séma a hamis (0) értékeket veszi fel és oszlopba állítjuk. Mindenik 1 érték helyébe a változó negáltját és mindenik 0 érték helyébe a változót helyezzük. Az így kapott változókat diszjunkciókkal kötjük össze, majd a tagokat konjunkciókkal. Például legyen a következı séma: S: p ⊃ (q v r)

Algoritmusunk szerint feltétlenül fel kell építsük értéktáblázatát. Ez a következı: p 1 1 1 1 0

q 1 1 0 0 1

r 1 0 1 0 1

qvr 1 1 1 0 1

p ⊃ (q v r) 1 1 1 0 1

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 0

1 1 1

A diszjunktív tökéletes normál formára való hozás feltétele az, hogy kiválasszkuk azokat az igazságérték kombinációkat, amelyekre a séma az igaz értékeket veszi fel. Ezek a következık.       

111 110 101 011 010 001 000

pqr p q ~r p ~q r ~p q r ~p q ~r ~p ~q r ~p ~q ~r

A táblázatba elvégeztük a feltételek által megszabott behelyettesítéseket is. Innen adódnak aztán a diszjunktív tökéletes normál forma (d.t.n.f.) tagjai. Ezek a következık. (p & q & r) v (p & q & ~r) v (p & ~q & r) v (~p & q & r) v (~p & q & ~r) v (~p & ~q &r) v (~p & ~q & ~r)  d.t.n.f. A konjunktív tökéletes normál formára (k.t.n.f.) való hozás feltétele az értéktáblázat 0 igazságértékének megfelelı igazságérték kombinációk kiválasztása. Sémánk esetében egy ilyen van. 100



~p q r

A k.t.n.f. a következı lesz: (~p v q v r) & ∅  k.t.n.f. Láthajuk tehát, hogy egyetlen tagot tartalmaz, amit konjunkcióval egy nullaelemő taghoz kapcsolunk. Továbbhaladva, a deduktibilitás kérdését a tökéletes normál formák segítségével oldhatjuk meg. Itt egyrészt az érdekel bennünket, hogy melyek a kezdeti séma összes lehetséges premisszái. Ezt a következı lépésekben érhetjük el. • Megkeressük a kezdeti séma diszjunktív tökéletes normál formáját. • A séma premisszái lesznek: 1. a d.t.n.f. mindenik tagja, 2. a d.t.n.f. mindenik tagjának kombinációi, 3. a teljes d.t.n.f. A séma összes lehetséges következményét a konjunktív tökéletes normál forma segítségével kaphatjuk meg a következı képpen. • Megkeressük a kezdeti séma konjunktív tökéletes normál formáját.

• A séma következményei lesznek: 1. a k.t.n.f. mindenik tagja, 2. a k.t.n.f. mindenik tagjának kombinációi, 3. a teljes k.t.n.f. Eszerint a kezdeti sémánk premisszái a következık: (p & q & r) v (p & q & ~r) v (p & ~q & r) v (~p & q & r) v (~p & q & ~r) v (~p & ~q & r) v (~p & ~q & ~r)  d.t.n.f. Innen premisszának lehet tekinteni mindenik tagot külön-külön, a tagok kombinációit, valamint a teljes d.t.n.f.-át. Továbbá a kezdeti sémánk következményei a következık: (~p v q v r) & ∅  k.t.n.f. Mint látjuk az összes lehetséges következmények száma itt egyre redukálódik, mivel a k.t.n.f.-nek egyetlen tagja van. Vegyünk most még egy egyszerő példát. Legyen kezdeti sémánk a következı: S: p ⊃ q. Az ennek megfelelı értéktáblázat: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

⊃ 1 0 1 1

A d.t.n.f. megtalálása végett oszlopba állítva a következıt kapjuk: 11  pq 01  ~pq 00  ~p~q. Innen a séma premisszái: (p & q) v (~p & q) v (~p & ~q). A k.t.n.f. megtalálásának oszlopa: 1 0  ~p q. Innen a séma következményei:

(~p v q ) & ∅. Tehát a p → q séma deduktibilis a (p & q) v (~p & q) v (~p & ~q) teljes d.t.n.f.-ból, valamint ennek tagjaninak kombinációiból, továbbá a sémából deduktibilis a ~p v q séma. Összefoglalás. A deduktibilitás kérdése egy olyan témával gazdagítja a logikát, amely az eddigiek alapján még megfogalmazható sem volt. Általa mindaz ami az eldöntés fáradságos kalkulatórikus megoldását jelenti, leegyszerősödik. Így érvényesen oldható meg a kijelentések logikájának sémái közötti logikai kapcsolat vizsgálatának kérdése. Továbbá a deduktibilitás kérdése a kijelentéslogikanak a következményreláció kritériuma szerinti belsı koherenciáját adja meg. Kulcsfogalmak deduktibilitási viszony, összes lehetséges premissza, összes lehetséges következmény

Gyakorlatok 1.Határozzátok meg a következı sémák összes lehetséges premisszáit és következményeit. a. p&q b. p⊃q c. pvq d. p↔q e. p ⊃ (q v r) f. ~p ⊃ ~(q v r) g. [p & (~p ⊃ q)] ↔ [p v (q & r)] h. ~[(p ⊃ q) ↔ (~q ⊃ ~p)] i. (p + q) → (p v q) j. (p v q) ⊃ (p + q) 2. Állapítsátok meg az alábbi következtetéseknek megfelelı kijelentéslogikai sémákat. Majd a tökéletes normál formák segítségével határozzátok meg összes lehetséges premisszáit és következményeit. a. Ha teszt eredményei jók, akkor a jelöltet alkalmazni fogják. A teszt eredményei jók. Tehát a jelöltet alkalmazni fogják. b. Ha a teszt eredményei jók, akkor a jelöltet alkalmazni fogják. A jelöltet nem alkalmazzák. Tehát a teszt eredményei nem jók. c.

Ha a teszt eredményei jók, akkor a jelöltet alkalmazni fogják.

A jelöltet alkalmazni fogják. Tehát a tesz eredményei jók. d. Ha a teszt eredményei jók, akkor a jelöltet alkalmazni fogják. A teszt eredményei nem jók. Tehát a jelöltet nem fogják alkalmazni.

3. Az ekvivalencia reláció • A téma célja bemutatni a kijelentések logikájának másik alapvetı viszonytípusát. Ennek értelmében a logikai állandók szemantikailag egymással kifejezhetık. Így az azonosság logikai alaptörvénye a kijelentéslogikában az ekvivalencia reláció segítségével válik kalkulatórikusan ellenırizhetıvé. • A téma átvétele után képes kell legyél az ekvivalencia reláció fennállállásának megállapítására. Az ekvivalencia reláció a kijelentések logikájának sémái közötti logikai szemantikai azonosságot fejezi ki. Ezt azért kell kihangsúlyozni, mert az azonosság lehet szintaktikai is. Meghatározása szerint: Az S1 és S2 igazságfüggvény sémák egymással ekvivalensek, ha változóiknak ugyanazon bemeneti igazságérték kombinációira azonos kimeneti igazságértékeket vesznek fel. Szimbólumokkal: S1 ⇔ S2, ahol ⇔ az ekvivalancia reláció szimbóluma. Így az ekvivalencia reláció jelölésére egy új szimbólumot vezettünk be. Ennek viszont nem ismerjük a meghatározó igazságérték táblázatát. Tehát valamilyen kapcsolatot kell teremtenünk az ekvivalancia reláció valamint az általunk már ismert igazságfüggvényekkel. A szimbolikkus logikában e kapcsolatot számon is tartjuk. Már az ekvivalencia reláció meghatározásából is láthatjuk, hogy a kapcsolat a bikondicionálissal áll fenn. Így a következmény relációt bikondicionálisként fogjuk értelmezni. Csakhogy a kettı között különbségek is vannak. Ezek közül a legfontosabb az, hogy a bikondicionális, meghatározó igazságérték táblázata szerint lehet mind igaz, mind hamis. Ezzel szemben az ekvivalnecia reláció akkor és csakis akkor áll fenn, ha a neki megfelelı bikondicionális mindig igaz. Szimbólumokkal ez azt jelenti, hogy az S1↔ S2 bikondicionális mindig igaz kell legyen. Másszóval az ekvivalencia reláció akkor áll fenn, ha a neki megfelelı bikondicionális sohasem hamis.

Az ekvivalencia reláció tulajdonságai a következık. 1. Reflexív, ami azt jelenti, hogy minden séma ekvivalens önmagával. Szimbólumokkal: S ⇔ S. 2. Szimmetrikus, azaz, ha az S1 séma ekvivalens az S2 sémával, akkor az S2 séma is ekvivalens az S1-el. Szimbólumokkal: S1 ⇔ S2 ; S 2 ⇔ S1. 3. Tranzitív, vagyis ha két séma egymással ekvivalens, és egyikük ekvivalens a harmadikkal, akkor ez az elıbbivel is ekvivalens. Simbólumokkal: S1⇔ S2 ; S2 ⇔ S3; S1 ⇔ S3. Az ekvivalencia reláció fennállásának ellenırzése tehát a bikondicionális ellenırzésén keresztől történik. Evégett a következı két lépést kell követnünk. I. Az S1 ⇔ S2 sémában az ekvivalenciát bikondicionálissal helyettesítjük: S1 ↔ S2. II. Ha az így nyert séma mindig igaz, azaz tautológia, akkor az ekvivalencia reláció fennáll, ellenkezı esetekben nem. Például legyen a következı két séma: S1: (p & q) ⊃ p, és S2: [(p v q) & q] ⊃ (p v q). Vizsgáljuk meg, hogy fennáll-e az ekvivalancia reláció a kettı között. Ehhez az ıket összekötı bikondicionális érvényességérıl kell döntenünk. Tehát a teljes sémánk a következı lesz: S1 ↔ S2, azaz [(p &1 q) ⊃2 p] ↔7 {[(p v3 q) &4 q] ⊃6 (p v5 q)}. A döntést az értéktáblázatos módszerrel végezzük. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

&1 1 0 0 0

⊃2 1 1 1 1

v3 1 1 1 0

&4 1 1 1 0

v5 1 1 1 0

⊃6 1 1 1 1

↔7 1 1 1 1

Az értéktáblázat utolsó oszlopa szerint a két séma között fennáll az ekvivalencia reláció.

Az ekvivalencia reláció fennállása egyben azt is jelenti, hogy a kijelentések logikájának állandói vagy sémái logikai szemantikai szempontból azonosak. Ezt már megállapíthattuk akkor is amikor a kértékő logika mővelteinek Wittgenstein-i táblázatát felépítettük. Emlékeztetıől itt a táblázat elsı nyolc sorának állandói vagy igazságfüggvényei kifejezhetıek voltak a második nyolc állandó, illetve a negáció segítségével. Tehát logikai szemantikai azonosságról, azaz ekvivalenciáról volt szó. A kijelentések logikájában több olyan rendszert dolgoztak ki, amely az ekvivalencia reláció fennálására alapszik. A Boole-féle rendszer. E rendszer primitív igazságfüggvényei a konjunkció (&), a negáció (~), valamint az alternáció (v). Az, hogy primitív itt azt jelenti, hogy a kijelentéslogika összes többi mőveletét ezek segítségével fejezzük ki, azaz ezek az eleve megválasztott állandók. A Boole-féle rendszer legfontosabb ekvivalenciái a következık. 1. (A ⊃ B) ⇔ (~A v B) 2. (A ↔ B) ⇔ [(~ A v B) & (~B v A)] 3. (A / B) ⇔ (~A v ~B) 4. (A + B) ⇔ [(~A & B) v (~B & A)] 5. (A ↓ B) ⇔ (~A & ~B) Ezen ekvivalenciákban az “A” és a “B” a kijelentéslogika sémái helyett állnak. Amint láthatjuk a Boole-féle rendszer segítségével a Wittgenstein-i táblázat mindenik igazságfüggvénye kifejezhetı, azaz redukálható &-ra, v-ra és ~ - ra. Az ekvivalencia relációval kapcsolatosan egy érdekes fogalmat vezethetünk be, éspedig a helyettesítés fogalmát, amit a következıképpen határozhatunk meg. A helyettesítés azon mővelet, melynek során egy S0 sémában adott „x” változót egy S1 sémával cserélünk ki és egy olyan S0’ nyerünk, amely ekvivalens az S0 sémával, azzal a feltétellel, hogy a cserét „x” mindenik jelenésében végezzük el. Például végezzük el a következı sémában az adott helyettesítést. S0: (p & q) ⊃ p, ahol helyettesítsük a p változót (p v q)-val. Innen adódik az S0’: [(p v q) & p] ⊃ (p v q) séma. Ellenırizzük most a kettı közötti ekvivalencia fennállását. Újra az eldöntés valamely módszeréhez kell folyamodnunk. Mivel csak két változó van elvégezhetjük az értéktáblázatos módszerrel. [(p &1 q) ⊃2 p] ↔7 [(p v3 q) &4p] ⊃6 (p v5 q) p

q

&1

⊃2

v3

&4

v5

⊃6

↔7

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 0

1 0 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

1 1 1 1

A számításokat elvégezve eldönthetjük, hogy az S0 és az S0’ sémák egymással ekvivalensek és ezt helyettesítés útján nyertük. Összefoglalás. Az ekvivalencia reláció az igazságfüggvények, azaz a logikai állndók közötti szemantikai azonosságot fejezi ki. Fennállásának ellenırzése az eldöntés valamely módszere segítségével történik. Az ekvivalencia reláció is a kijelentéslogika sémáinak egyik rendezési kritérimát jelenti. A megválasztott primitív igazságfüggvény szerint több rendszer alakul ki. Egymással ekvivalens sémákat egyszerően nyerhetünk helyettesítés útján. Kulcsfogalmak ekvivalencia reláció, reflexivitás, szimmetria, tranzitivitás, helyettesítés, rendezési elv Gyakorlatok 1. Vizsgáljátok meg az ekvivalencia reláció fennállását a következı sémák között. a. S1: (p & q) ⊃ p S2: [(p v q) & p] ⊃ (p v q) b. S1: (p ⊃ q) ⊃ p S2: (p & ~q) v p c. S1: (p v q) ⊃ [(p & r) v (q & r)] S2: (p ⊃ q) & (q ⊃ p) S3: p v q d. S1: p & (p ⊃ q) S2: q ⊃ p 2. Írjátok át a Boole-féle rendszerbe a következı sémákat: a. b. c. d.

[(p / q) ⊃ (q / p)] & [(p ↓q) ⊃ (q ↓ p)] (p ↔ q) ⊃ (q ↔ p) [p & (~p ↓ q)] v (p ⊃ q) (p & q & r) ⊃ ~(~p v ~r)

Hatodik fejezet A KIJELENTÉSEK LOGIKÁJÁNAK AXIOMATIZÁLÁSA

1. A kijelentések logikájának axiomatikus felépítése

Az elsı axiomatikus rendszerek már az ókorban megszülettek. Euklidész síkmértana axiomatizált volt. De hozzá hasonló zárt deduktív rendszert képvisel Arisztotelész szillogisztikája is. A XVII. és XVIII. században újra megnıtt az axiomatikus rendszerekkel szembeni érdeklıdés. Például Leibniz korának tudását axiomatikusan akarta rendezni, amiben az igaz ismereteket a matematikai számítás mintájára nyerhették volna, jól meghatározott szabályok alapján. Leibniznek nem sikerült olyan konkrét rendszert alkotni, amely beváltotta volna tervét. A XIX. század végén és a XX. század elején David Hilbert dolgozta ki az axiomatizálás módszereit és alkotott a kijelentések logikája terén egy róla elnevezett zárt deduktív rendszert, ahol primitívként elfogadott igazságokból, meghatározott szabályok alapján, újabb igaz igazságok nyerhetık. A Leibniztıl által megfogalmazott gondolat, miszerint az emberi ismereteket számításokkal lehet megsokszorosítani, és így egyetlen elmélet elégséges lenne az összes igazság nyerésére nem valósult soha meg. Ennek elvi megvalósíthatatlanságát bizonyította Kurt Gödel a XX. század elsı felében. A Gödel-bizonyítás az összes emberi ismeretnek egyetlen zárt deduktív rendszerbe való foglalásának lehetetlenségét mutta be. Viszont ez nem zárja ki annak lehetıségét, hogy adott tudományos elméleteket axiomatikus formában építsük fel. Azok amiket meg lehet alkotni, azok az alternatív, egymást kiegészítı axiomatizált elméletek, amelyek így kiegészítik egymást. • A téma célja bemutatni azt, hogy a kijelentések logikájának törvényei miként igazolhatóak zárt deduktív rendszereken belül. • A téma átvétele után képes kell legyél az axiomatizálás módszerének felismerésére és alkalmazására egyes törvények érvényességének vizsgálatában. A következményreláció és az ekvivalencia reláció tanulmányozása felhívta a figyelmünket arra, hogy a kijelentések logikájúnak törvényei között kapcsolat van és arra, hogy e két relációban meg lehet találni azt a „rendezı elvet”, amely segítségével a törvények együttese egy bizonyos belsı koherenciát kap. Mivel az igaz elıtagból, igazan, csakis igaz utótag származhat a törvények a következményreláción keresztül mintegy azonosíthatóvá teszik egymást. Az innen adódó kérdés az, hogy ki lehetne-e alakítani egy olyan szervezett együttest, amely egybe fogalaja a kijelentéslogika törvényeit, úgy hogy ezek valamilyen módon egymásból származzanak. A matematikából átvett modell szerint ez az axiomatikus rendszer. Az axiomatikus rendszerek a legfejlettebb deduktív rendszerek. Ez azt jelenti, hogy egy adott elmélet törvényei bizonyos elfogadott és igaz kijelentésekbıl tisztán a megjelölt szabályok segítségével nyerhetık. Ennyit az axiomatikus rendszerekrıl már minden leérettségizett ember tud.

De lássuk milyen szerkezettel rendelkezik minden axiomatikus rendszer. Két részt különböztetönk meg bennük: a primitív részt és származtatott részt. Ezekben a következı elemek vannak: I. Primitív rész: 1. A primitív terminusok. Ezekre az jellemzı, hogy nem meghatározottak. Adott esetben egy tudományos elmélet alapfogalmai. 2. A primitív kijelentések vagy másnéven axiómák. Ezek feltétlenől igaz kijelentések. 3. Definíciók. 4. Következtetési szabályok. Ezek szerepe az, hogy alkalmazva ıket a primitív kijelentésekre újabb terminusokat és igaz kijelentéseket adnak. Segítségükkel jön létre az axiomatikus rendszer származtatott része. II. A származtatott rész: 1. A meghatározott terminusok, amelyek bevezetésének alapját a primitív rész tartalmazza. 2. A tételek vagy teorémák olyan igaz kijelentések, amelyek igazságának alapját az axiómák képezik. Elsı pillantásra úgy tőnik, hogy axiomatikus rendszert egyszerően lehet alkotni. Viszont ez egy hosszadalmas és bonyolult feladat, mivel kreativitást, kitartást és nem utolsó sorban mély ismereteket feltételez. A nehézség többek között abból adódik, hogy az axiomatikus rendszerek eleget kell tegyenek bizonyos formális feltételeknek. E formális feltételek a konzisztencia, a teljesség és a függetlenség. Ha végigvizsgáljuk ıket, akkor kiderül, hogy axiomatikus rendszert alkotni mennyire bonyolult feladat és egyben az is, hogy mennyire nem önkényes. Mindhárom követelmények van egy szintaktikai és egy szemantikai megfogalmazása. 1. Az axiomatikus rendszerek konzisztenciája (ellentmondás mentessége). Def.1 (szintaktikai): Az axiomatikus rendszer akkor ellentmondásmentes szintaktikailag, ha benne nem bizonyítható egyszerre az A és a ~A formula. Def.2 (szemantikai): Az axiomatikus rendszer szematikailag ellentmondásmentes, ha kielégíthetı, azaz van legalább egy értelmezése vagy modellje. 2. Az axiomatikus rendszerek teljessége. Def.3 (szintaktikai): Az axiomatikus rendszer akkor teljes szintaktikailag, ha axiómáihoz hozzáadva egy nem származtatható kijelentést, akkor ellentmondást nyerünk. Def.4 (szemantikai): Az axiomatikus rendszer akkor teljes szemantikailag, ha a rendszer mindenik érvényes kijelentése bizonyítható és fordítva. 3. Az axiomatikus rendszerek függetlensége. Def.5 (szintaktikai): Az axiomatikus rendszer akkor független szintaktikailag, ha egyetlen axiómája sem bizonyítható a többibıl. Def.6 (sezmantikai): Az axiomatikus rendszer akkor független szemantikailag, ha mindenik axiómája értelmezhetı úgy, hogy értékei különböznek a többi axióma értékeitıl. E hat kemény követelmény, amelyet minden axiomatikus rendszerrel szemben állítunk rávilágít arra, hogy mennyire nehéz és nem önkényes feladat a kidolgozásuk.

A kijelentéslogika elmélete axiomatizálható elmélet. Sıt ezen elméletet több egymástól különbözı axiomatikus rendszerbe is belefoglalták. Ezen rendszerek elsısorban abban különböznek egymástól, hogy szerzıik milyen primitív logikai állandót választottak ki maguknak.Ezek közül az egyik legismertebb a Hilbert és Ackermann által kidolgozott H1 rendszer. A rendszer primitív mőveletei a v (alternáció) és a ~ (negáció). A H1 rendszer. I.

Primitív rész

1. Definíciók Def.1. (A ⊃ B) ⇔ (~A v B) Def.2. (A & B) ⇔ ~ (~A v B) Def.3. (A ↔ B) ⇔ ~[~(~A v B) v ~(~B v A)] 2. Axiómák Ax.1. ~(p v p) v p Ax.2. ~p v (p v q) Ax.3. ~(p v q) v (q v p) Ax.4. ~(~p v q) v [~(r v p) v (r v q)] Viszont a Def.1. szerint az axiómák felírhatók a kondicionális segítségével is így velük ekvivalens megfogalmazásaikat kapjuk. Ax.1.’ (p v p) ⊃ p Ax.2.’ p ⊃ (p v q) Ax.3.’ (p v q) ⊃ (q v p) Ax.4.’ (p → q) ⊃ [(r v p) → (r v q)] 3. Szabályok. Sz.1. modus ponens: A, A ⊃ B, B Sz.2. helyettesítés: ha egy A(x) alakú sémában az x változót egy B sémával helyettesíthetjük és ezáltal egy olyan A’ sémát kapunk amelyre érvényes az A ⇔ A’ reláció. II.

Származtatott rész

1. A származtatott rész elsı csoportját a származtatott szabályok csoportja képezi. Sz.3. (A v A) ⇒ A - az alternáció idempotenciája. Sz.4. A ⇒ (A v B) - az alternáció bevezetése. Sz.5. (A v B) ⇒ (B v A) - az alternáció komutativitása. Sz.6. (A ⊃ B) ⇒ (C v A) ⊃ (C v B) - a kondicionális diszjunktív kiterjesztése. Sz.7. (A ⊃ B), (B ⊃ C) ⇒ (A ⊃ C) - a szillogizmus szabálya. Sz.8. Φ(A), A ↔ B ⇒ Φ(A) ↔ Φ(B) - az ekvivalens formulák helyettesítése.

Sz.9. [A ⊃ (B ⊃ C)] ⇒ [B ⊃ (A ⊃ C)] - az elıtagok felcserélhetısége. Sz.10. [A ⊃ (B ⊃ C)] ⇒ [(A & B) ⊃ C] - az elıtagok (premisszák) összevonása. Sz.11. [A ⊃ (A ⊃ B) ⇒ (A ⊃ B) - az azonos elıtagok összevonása. 2. Tételek (Th.) Th.1.(p ⊃ q) ⊃ [(r ⊃ p) ⊃ (r ⊃q)] Th.2. ~p v p Th.3. p v ~p - e két tétel az ellentmondás mentesség törvényének kijelentéslogikai mgfogalmazásai. Th.4. p ⊃ ~~p Th.5. ~~p ⊃ p - e két tétel a kettıs negáció törvényei. Th.6. (p ⊃ q) ⊃ (~q ⊃ ~p) - a kontrapozíció törvénye. Th.7. ~(p & q) ⊃ (~p v ~q) Th.8. (~p v ~q) ⊃ ~(p & q) Th.9. ~(p v q) ⊃ (~p & ~q) Th.10. (~p & ~q) ⊃ ~(p v q) - ez utóbbi négy tétel a De Morgan törvényeket fejezi ki. Th.11. (p & q) ⊃ (q & p) - a konjunkció komutativitása. Th.12. (p & q) ⊃ p Th.13. (p & q) ⊃ q - a konjunkció implikálja mindenik tagját. Th.14.[p v (q v r)] ⊃ [q v (p v r)] Th.15. [p v (q v r)] ⊃ [(p v q)v r] Th.16. [(p v q) v r] ⊃ [p v (q v r)] - az alternáció asszociativitásának tételei. Th.17. [p & (q & r)] ⊃ [(p & q) & r] Th.18. [(p & q) & r] ⊃ [p & (q & r)] - a konjunkció asszociativitásának tételei. Th.19. p ⊃ [q ⊃ (p & q)] Th.20. [(p v q) & (p v r)] ⊃ [p v (q & r)] - a disztributivitás tétele. Illusztrálásképpen bemutatunk két bizonyítást. Ezáltal kialakíthatunk egy képet arról, hogy a származtatott rész miként nyerhetı a primitív részbıl a szabályok alapján. Legyen az Sz.4. származtatott szabálya. Bizonyítására induljunk ki egy olyan axiómából, amelyrıl úgy gondoljuk, hogy felhasználható. Legyen az Ax.2 axióma. Sz.4. A ⇒ (A v B) - a bizonyítandó. 1. lépés: ~p v (p v q) - Ax.2. 2. lépés: A ⊃ (A v B) - ahol p-t helyettesítettük A-val és q-t helyettesítettük B-vel az Sz.2. alapján és felhasználtuk a Def.1.-et 3. lépés: A ⇒ (A v B) ahol a kondicionális szimbólumát helyettesítettük a következményreláció szimbólumával. Próbáljuk meg a Th.2. bizonyítását is. Th.2. ~p v p - a bizonyítandó. Induljunk ki az Ax.2.’-bıl. 1. lépés: p ⊃ (p v p), ahol az Sz.2. alapján a q változót helyettesítettük a p változóval. 2. lépés: (p v p) ⊃ p, ami nem más mint az Ax.1.’.

3. 4.

lépés: p ⊃ p, amit a 2. és a 3. lépésbıl nyertünk az Sz.7. alapján. lépés: ~p v p, amit a 4. lépésbıl nyertünk a Def.1.-es alapján.

A H1 rendszer kielégíti az axiomatikus rendszerekkel szemben állított mindenik követelményt. Másszóval a H1 rendszer konzisztens, teljes és független. Ennek bizonyításától itt eltekintünk. Vizsgáljuk most meg azokat a következményeket, amelyeket a kijelentések logikája axiomatizált formája hoz magával. Elıször is világos, hogy a H1 rendszer nem fogalaja magába a kijelentéslogika összes általunk ismert törvényét. Ez azt jelenti, hogy egyetlen axiomatikus rendszerbe nem foglalható bele az egész kijelentéslogika a maga teljességében. Más megállapítás. A Th.2. bizonyíthatósága a rendszeren belül arra hívja fel a figyelmünket, hogy a kijelentéslogika sémáinak törvényszerő voltát kétféleképpen lehet igazolni. Az egyik az eldöntés valamelyik módszerével történhet. A másik a H1 rendszeren belül. Mivel a primitív rész csak törvényeket foglal magába emiatt a származtatott rész sémáinak törvényszerő voltára ezek biztosítanak alapot. Tehát egy tétel bizonyított volta egy axiomatikus rendszeren belül a megalapozás egy új módját jelenti. A tétel tehát nem azért törvény mert az eldöntés valamely módszerével igazoltuk ezt róla, hanem azért mert az axiomatikus rendszer része. Az axiomatikus rendszerekkel kapcsolatosan felmeről a kérdés: hogy vajon nem tudonánk-e egy olyan a axiomatikus rendszert alkotni amelyben véges számú axiómából kiindulva elvileg bármelyik iagazság nyerhetı lenne? Ez azt jelentené, hogy egyetlen ilyen rendszeren belül nyerhetıvé válna az összes igaz kijelentés, másszóval a teljes emberi tudás. Egy ilyen rendszer axiómáit megtanulva és ismerve a szabályait minden igaz ismeret generálható volna. Erre a kérdésre Kurt Gödel adott választ a két világháború között híres tételével. Bonyolult aritmetikai eljárással kimutatta, hogy az axiomatikus rendszereken belül felépíthetıek olyan kijelentések amelyekrıl nem bizonyítható, hogy igazak és negáltjukról sem az, hogy hamisak. Röviden eldönthetetlenek. Ez azt jelenti, hogy ha a rendszer teljes, akkor eldönthetetlen és ha eldönthetı, akkor nem teljes. Milyen következményekkel jár ez? Elıször is elvi korlátot szab a minden igazságot generáló axiomatikus rendszer felépítése elé. Másszóval ilyen rendszert nem lehet felépíteni. Ez azt jelenti továbbá, hogy ha az összes igazság befogadására nyitottak akarunk lenni,akkor ezt nem tehetjük meg csak több alternatív rendszeren keresztül. Tehát nincs „egyetlen tudomány” hanem csak alternatív, egymást kiegészítı tudományok. Összefoglalás. Az axiomatikus rendszerek deduktívan rendezik a tudást egy adott területen. Az így lértejövı rendszer gazdaságos, azaz egyértelmően lehet generálni a bizonyosan igaz kijelentéseket. Az axiomatizált elméletek a deduktívan megalkotott elméletek legfejlettebb formái. Axiomatizálni bármely tudományban lehetséges. Ez meg is történt a matematikában, fizikában, nyelvészetben és a biológiában (a darwini evolúcióelmélet). Kulcsfogalmak zárt deduktív rendszer (axiomatikus rendszer), konzisztencia, függetlenség, teljesség, megalapozás.

Gyakorlatok 1. Milyen szerepe van adott elmélet axiomatizálásának? 2. Lehetséges-e egy átfogó, minden ismeretet magába foglaló axiomatikus rendszer megalkotása? Miért? 3. Mit mond ki a Gödel-tétel? 4. Milyen következményei vannak Gödel tételének? 5. Milyen kritériumok szerint rendezi a kijelntések logikájának elméletét a H1 rendszer? 6. Milyen feltételeknek kell megfeleljenek az axiomatizált elméletek? 7. Milyen tudományterületeken léteznek axiomatizált elméletek? 8. Miben különbözik az eldöntéses alapon történı és az axiomatikus rendszeren belül történı megalapozás között?

A gyakorlatok és feladatok megoldása Elsı fejezet 1. A logika e két elmélete különbözı eszközöket használ fel a természetes következtetés vizsgálatára. A szimbolikus logika modellje több alkalmazási lehetıséget biztosít mint a hagyományos logika. 2. Mert az eszperantóhoz nem tartozik egy specifikus kultúra, ami miatt kefejezési lehetıségei is korlátozottabbak mint a természetes nyelveknek. 3. Szintaktikailag jólformált, viszont szemantikailag nem tartozik hozzá jelentés. 4. Elvileg minden mesterséges nyelvnek lehetséges metanyelve. Nem értelmetlen a metanyelvnek tárgynyelvként való kezelése és ennek egy meta-metanyelvbıl való vizsgálata. 5. A párbeszéd leegyszrősödött és egyre hatékonybbá vált. 6. A magyar ábécébıl és a magyar nyelv grammatikájából (nyelvtani szabályaiból). 7. Gazdaságosabb kifejezésmód, kalkulatórukus érvényességvizsgálat, rögzített egyértelmőség. Második fejezet 2. 1. Írjátok át a Peano-féle írásmódból Lukasiewicz-féle írásmódba a következı sémákat: a. Kpq Cp b. Apq E Aqp, alkalmazva a 4. szabályt Eapq Aqp d. Np C Apq, CNp Aqp e. Cpq E C NqNp, Ecpq CNqNp f. Ap Kqr E Apq KApr, EApKqrApqKApr g. NCNpNq E Aqr, EACNpNqAqr h. App C Np, CAppNp i. ANpNqANr NC KpqKr 2. Írjátok át a Lukasiewicz-féle írásmódból a Peano-féle írásmódba a következı sémákat: a. (p v q) ⊃ (p & q) b. [(p ⊃ q) ⊃ (q ⊃ r)] ⊃ (p ⊃ r) c. (p & q) ↔ (q & p) d. ~(~p v ~q) ↔ (~p & ~q) e.[(p ⊃ q) & (r ⊃ q)] ↔ [(p & r) ⊃ q] h. (p & q) ⊃ (p v q) i. (~p & ~q & ~r) ⊃ ~(p v q v r) KNpNqKNr C NapqAr 3. A Lukasiewicz-féle írásmódban könnyebben lehet írni a zárójelek hiánya és az állandókat jelölı betők miatt, viszont kevésbé intuitív és többféleképpen fordítható vissza a Peano-féle írásmódba. 3.

1. Szimbolizáljátok a következı kijelentéseket: a. p ⊃ q, Ha el akarod találni a célt, feljebb irányozz., Expliciten: Ha el akarod találni a célt, akkor feljebb irányozz. b. p ↔ q, Amilyen az anyja, olyan a lánya., Expliciten: A lány anyja olyan és csak olyan mint a lánya. c. (~p ⊂ q) & (p ⊂ ~r), Nem azért akasztják fel a tolvajt, mert lopott, hanem azért, mert nem tudta elrejteni. d. p & q, A gazda a nagykapun négy ökörrel behordja, a gazdasszony a kötıjével a kiskapun kihordja. e. p ⊃ q, Kinek feje rossz, lába se jó., Expliciten: Ha a feje rossz, akkor a lába sem jó. f. p ⊂ q, „A pszichológia tudományának is változnak a paradigmái/p, de ennek oka inkább csak az, hogy egy másik keretben a korábbiaknál jobban szerkesztett rejtvényeket lehet felállítani/q.”8, Expliciten: A pszichológia tudományának is változnak a paradigmái, mert egy másik keretben a korábbiaknál jobban szerkesztett rejtvényeket lehet felállítani. g. [~p & (q v r)] ⊃ t, „Ha nem teljes szavakat mondunk a kísérleti személyeknek/~p, hanem csak értelmetlen szótagokat/q, esetleg betőket/r, akkor is stabilan hét körül van az említett küszöbszám/t.” h. (p ⊃ ~q) ⊃ r, „Ha a sakknagymester hosszan gondolkodik/p, többnyire nem azt számolgatja, hogy mi történik ha én ide lépek, ı meg oda/q, hanem azon töri a fejét, hogy mi legyen a mondanivalója az adott helyzetben /r.” i. p ⊃ (q & r) , „Ha azt az elvet, ami szerint osztályoz, el tudja mondani akármilyen eszközök felhasználásával (akár dallal, tánccal, csókkal) úgy, hogy ennek alapján egy másik értelmes lény is képes úgy osztályozni a számokat, hogy az eredmény mindig ugyanaz, mint az elsı esetében,/p akkor az osztályozási elv matematikai algoritmus formájában is megfogalmazható/q, és az említett absztrakt számítógépen megvalósítható/r.” (a Church-Turing tézis) 2. A fordításnak két útja van. Az elsı esetben a kiinduló nyelv a természetes nyelv, az érkezı nyelv pedig a kijelentéslogika nyelve. Az érkezı nyelvben több ábécét és grammatikát lehet használni. A második esetben a kiinduló nyelv a kijelentéslogika nyelve, az érkezı nyelv pedig a természetes nyelv. Harmadik fejezet 1. 1. Mind az értelmezési tártománya, mind az értéktartománya az igaz és a hamis igazságértékeket tartalmazza, tehát ebbıl a szempontból homogén. 2. A negáció nem explicit, hanem egyes igazságfüggvények meghatározó igazságértéktáblázatában van elrejtve.

8

A szimbolizálási gyakorlatok idézıjelbe tett része Mérı László már ismert könyvébıl valók.

3. Szimmetrikus a 8. és 9. vonal között. Ez képezi szimmetriatengelyét. A különbözı igazságfüggvények logikai-szemantikailag egymással kifejezhetık Ennek következtében egymásra redukálhatók. 4. Elvileg csak definícióbeli különbség van. Ellenben logikai-szemantikailag egymással kifejezhetık. 2. 1. A kijelentéslogika törvényei olyan igazságfüggvények vagy sémák, amelyekbıl váltózóik bármilyen értelmezésére mindig igaz kimeneti igazásgérték származik. 2. ~(p & q) ⇔ (~p v ~q), ~ (p v q) ⇔ (~p & ~q). 3. Fel kell használni a (T21) (p ↔ q) ⇔ [(p ⊃ q) & (q ⊃ p)] és a (T22) (p ⊃ q) ⇔ (~p v q) törvényt. 4. Fel kell használni a (T21) (p ↔ q) ⇔ [(p ⊃ q) & (q ⊃ p)] és a (T23) (p ⊃ q) ⇔ ~(p & ~q). 5. Végeredményben az, hogy az összes igazságfüggvény, a negációval bezárólag redukálható az inkompatibilitásra. Negyedik fejezet 2. a.-b. 1. Döntsetek az értéktáblázatos módszerrel a következı sémákról. a. (p v1 q) v3 (p &2 q) ; kielégíthetı. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

V1 1 1 1 0

&2 1 0 0 0

v3 1 1 1 0

b. ~2(p &1 q) ⊃4 (p v3 q); kielégíthetı. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

&1 1 0 0 0

~2 0 1 1 1

v3 1 1 1 0

⊃4 1 1 1 0

c. p ⊃3 (~1p &2 q); kielégíthetı. p 1 1 0

q 1 0 1

~1 0 0 1

&2 0 0 0

⊃3 0 0 1

0

0

1

0

1

~1 0 0 1 1

v2 1 1 1 0

⊃3 1 1 1 0

d. ~1p ⊃3 (p v2 q); kielégíthetı. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

e. (p ↔1 q) ⊃3 (p⊃2 q); logikai törvény, értelme az, hogy ha két változó között fennáll a bikondicionális, akkor fennáll a kondicionális is. p 1 1 0 0

↔1 1 0 0 1

q 1 0 1 0

⊃2 1 0 1 1

⊃3 1 1 1 1

f. (p &1q) ⊃3 ~2p; kielégíthetı, ami egyezik az antikonjunkció (inkompatibilitás) meghatározó igazságértéktáblázatával. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

&1 1 0 0 0

⊃3 0 1 1 1

~2 0 0 1 1

g. [p v2 (p v1 r)] ⊃5 (~3p v4 q); kielégíthetı. p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

v1 1 1 1 1 1 0 1 0

V2 1 1 1 1 1 0 1 0

~3 0 0 0 0 1 1 1 1

v4 1 1 0 0 1 1 1 1

⊃5 1 1 0 0 1 1 1 1

h. (p ↔1 q) ↔5 [(p ⊃2q) &4 (q ⊃3 p)]; logikai törvény, azaz a bikondicionálisban az elıtag is implikálja az utótagot, valamint az utótag is implikálja az elıtagot. p 1

q 1

↔1 1

⊃2 1

⊃3 1

&4 1

↔5 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 1 1

1 0 1

0 0 1

1 1 1

i. p ↔2 ~1p; ellentmondás, ami alırelátható volt, mivel egytlen séma vagy változó sem lehet ekvivalens negáltjával, mert megszegi az ellentmodásmentesség logikai alaptörvényét. p 1 0

↔2 0 0

~1p 0 1

j. (p v1 q v2 r v3 s) ⊃9 (~4q &7 ~5r &8 ~6s); kielégíthetı. p 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

q 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

r 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

s 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

v2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

v3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

~4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

~5 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

~6 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

&7 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1

&8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

k. {[(~1p &2 q) & ~3r] +6 (p &5 ~4r)} ⊃10 (~7r ⊃ 9~8q); kielégíthetı. p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

~1 0 0 0 0 1 1 1 1

&2 0 0 0 0 1 1 0 0

~3 0 1 0 1 0 1 0 1

~4 0 1 0 1 0 1 0 1

&5 0 1 0 1 0 0 0 0

+6 0 0 0 0 0 1 0 1

~7 0 1 0 1 0 1 0 1

~8 0 0 1 1 0 0 1 1

⊃9 1 0 1 1 1 0 1 1

⊃10 1 1 1 1 1 0 1 1

⊃9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

l. p v ~p; logikai törvény, a kizárt harmadik alaptörvényének kijelentéslogikai bizonyítása. p 1 0

~1p 0 1

v 1 1

m. ~6[(p ↔1q) ↔5 (~2q ↔4 ~3p)]; ellentmondás, amit úgy nyertünk, hogy az utolsó elıtti oszlopon levı törvényt az utolsó oszlopon negáltuk. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

↔1 1 0 0 1

~2 0 1 0 1

~3 0 0 1 1

↔4 1 0 0 1

↔5 1 1 1 1

~6 0 0 0 0

2. Döntsetek a rovidített módszerrel a következı sémákról. Ellenırizzétek az eredményt az értéktáblázatos módszerrel. a. p ↔ (~q & r) Tételezzük fel, hogy p = 1, behelyettesítve: 1 ↔ (~q & r) Ha az ↔ egyik tagja igaz, akkor a másik tag igazágértékétıl függ. Tahát marad a ~q&r. Feltételezzük most, hogy q = 1, behelyettesítve 0 & r. Ahonnan marad r, ami lehet igaz vagy hamis, ami egyben az eredeti séma két kimeneti igazságértéke. Innen már eldönthetjük, hogy a séma kielégíthetı. Ellenırizzük a döntést az értéktáblázatos módszerrel. p ↔3 (~1q &2 r) p 1 1 1 1 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0

r 1 0 1 0 1 0 1

~1 0 0 1 1 0 0 1

&2 0 0 1 0 0 0 1

↔3 0 0 1 0 1 1 0

0

0

0

1

0

0

Ezzel a módszerrel is azt találtuk, hogy a séma kielégíthetı. b. (~p v q ) ↔ (p v ~q) Tételezzük fel, hogy p = 1, behelyettesítve (0 v q ) ↔ (1 v ~q) Innen marad q ↔ 1, ahonnan marad q, ami lehet igaz vagy hamis, ami egyben a kezdeti séma két kimeneti igazságértéke. Tehát kielégíthetı. c. (p v q ) ⊃ ~p, kielégíthetı. d. (p ⊃ q) ⊃ (q ⊃ p), kielégíthetı. e. [(q & r) ⊃p] ↔ [(q ⊃ p) & (~r ⊃ p)], kielégíthetı. f. [(p &1 q) &4 (r v3 ~2s)] ⊃10 [ (~5s v6 q) ↔9 (r ⊃8~7p)]; kielégíthetı. Ellenırizzétek a rövidített módszerrel. p 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

q 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

r 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

s 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

&1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

~2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

v3 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

&4 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

~5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

v6 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

~7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

⊃8 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

↔9 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

⊃10 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

g. [(p & q) ⊃ ~r] ⊃ [(r v p) ⊃ (~q ⊃ r)]; kielégíthetı. h. [p v (q & r)] ↔ [(p & q) v (p & r)]; logikai törvény. i. ~[(p ⊃ q) ↔ ~(p & ~q)]; ellentmondás. 3. A tautológikus sémák mindig igazak, az ellentmodások mindig hamisak, ellenben ıket negálva törvényeket nyerünk. A kielégíthetı sémák a változók adott értelmezéseire igazak más értelmezéseire viszont hamisak. Ha konrét, természetes nyelvi

kifejzésekkel helyettesített sémákkal van dolgunk, akkor azokra az esetekre amelyekre a séma kimeneti igazásgérétke igaz, a következtetés érvényes lehet. 2.c. 1. a. (p ↔ q) v (p ↔r) 1. [(~p v q) & (~q v p)] v [(~p v r) & (~r v p)] 2. ~p q ~p r & ~p q ~r p & ~q p ~p r & ~q p ~r p / k.n.f 3. ~p ~q v ~p p v q ~q v q p v ~p ~r v ~p p v r ~r v r p/ d.n.f.; kielégíthetı. b. ~p ⊃ (p ⊃ q) 1. p v (~ p v p) 2. p ~p q / k.n.f.; logikai törvény. c. ~ [ p ⊃ (q ⊃ p] 1. ~ [~ p v (~q v p)] 2. p & (q & ~p) 3. p & q & ~p/ k.n.f. 3. p ~p q / d.n.f. ; ellentmondás. 2. Ellenırizzétek a kapott eredményt az eldöntés valamely más módszerével. Ötödik fejezet 1. 1. Vizsgáljátok meg a következményreláció fennállását a következı sémák között: S1: p v q S2: p v q v r S3: p + q + r S4: (p & q) ⊃ r S5: p ↔ (p ⊃ q) S6: p / q / q S7: ~ (~p v ~q) S8: p ⊃ (~p v ~q) S9: p & q & r & s S10: p & (q v r) Például: S8 ⇒ S10 Helyettesíjük a következményreláció szimbólumát a kondicionáilséval: S8 ⊃S10, és alkalmazzuk az eldöntés valamelyik módszerét. [p ⊃4 (~1p v3 ~2q)] ⊃7 [p &6 (q v 5r)]

p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

~1 0 0 0 0 1 1 1 1

~2 0 0 1 1 0 0 1 1

⊃4 0 0 1 1 1 1 1 1

v3 0 0 1 1 1 1 1 1

v5 1 1 1 0 1 1 1 0

⊃7 1 1 1 0 1 1 1 0

&6 0 0 1 0 1 1 1 0

Az eldöntés eredményeképpen a séma kielégíthetı, tehát közöttük nem áll fenn a következményreláció. Ugyanezt kell elvégezni a sémák mindenik párosítására. 2. 1.Határozzátok meg a következı sémák összes lehetséges premisszáit és következményeit. a. p & q b. p ⊃ q c. p v q d. p ↔ q e. p ⊃ (q v r) f. ~p ⊃ ~(q v r) g. [p & (~p ⊃ q)] ↔ [p v (q & r)] h. ~[(p ⊃ q) ↔ (~q ⊃ ~p)] i. (p + q) → (p v q) j. (p v q) ⊃ (p + q) Például a g. séma: g. [p &3 (~1p ⊃2 q)] ↔6 [p v5 (q &4 r)] p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

~1 0 0 0 0 1 1 1 1

⊃2 1 1 1 1 1 1 0 0

&3 1 1 1 1 0 0 0 0

&4 1 0 0 0 1 0 0 0

v5 1 1 1 1 1 0 0 0

Kiválaszjtuk azokat a kimeneti igazságrétékeket amelyekre a séma igaz. 1 1 1  1, ahonnan: p q r

↔6 1 1 1 1 0 1 1 1

1 1 0  1, ahonnan: p q ~r 1 0 1  1, ahonnan: p ~q r 1 0 0  1, ahonnan: p ~q ~r 0 1 0  1, ahonnan: ~p q ~r 0 0 1  1, ahonnan: ~p ~q r 0 0 0  1, ahonnan: ~p ~q ~r. Továbbá a változókat konjunciókkal, a tagokat pedig alternációkkal kötjük össze: (p&q&r) v (p&q&~r) v (p&~q&r) v (p&~q&~r) v (~p&q&~r) v (~p&~q&r) v (~p& ~q&~r), amelyek egyben a kezdeti séma premisszái lesznek. 0 1 1  0, ahonnan: p ~q ~r. p v ~q v ~r, amelyek a kezdeti séma következményei lesznek. 2. Állapítsátok meg az alábbi következtetéseknek megfelelı kijelentéslogikai sémákat. Majd a tökéletes normál formák segítségével határozzátok meg összes lehetséges premisszáit és következményeit. a. Ha teszt eredményei jók/ p, akkor a jelöltet alkalmazni fogják/q. A teszt eredményei jók/p. Tehát a jelöltet alkalmazni fogják/q. [(p ⊃ q) & p] ⊃ q b. Ha a teszt eredményei jók/p, akkor a jelöltet alkalmazni fogják/q. A jelöltet nem alkalmazzák/~q. Tehát a teszt eredményei nem jók/~p. [(p ⊃ q) & ~q] ⊃ ~p c. Ha a teszt eredményei jók, akkor a jelöltet alkalmazni fogják. A jelöltet alkalmazni fogják. Tehát a tesz eredményei jók. [(p ⊃ q) & q] ⊃ q d. Ha a teszt eredményei jók, akkor a jelöltet alkalmazni fogják. A teszt eredményei nem jók. Tehát a jelöltet nem fogják alkalmazni. [(p ⊃ q) & ~p] ⊃ ~q 3. a. S 1 ⇔ S2, tehát közötti bikondicionális fenn kell álljon:

S1 ↔ S2, azaz [(p & q) ⊃ p] ↔ {[(p v q) & p] ⊃ (p v q)}, sémáról kell dönteni. b. Az a. gyakorlathoz hasonlóan. c. Az elıbbi két gyakorlathoz hasonlóan, csakhogy meg67y kell vizsgálni minden esetet: S1 ⇔ S2, S2 ⇔ S3, S1 ⇔ S3, S1. d. Az elıbbi gyakorlatokhoz hasonlóan. 2. a. [(p / q) ⊃ (q / p)] & [(p ↓q) ⊃ (q ↓ p)] ⇔ ~[~(p & q) v ~(q & p)] & ~[~(p v q) v ~(q v p)] b. (p ↔ q) ⊃ (q ↔ p) ⇔ ~[(~p v q) & (~q v p)] & [(~q v p) & (~p v q)] c. [p & (~p ↓ q)] v (p ⊃ q) ⇔ [p & ~(~p v q)] v (~p v q) d. (p & q & r) ⊃ ~(~p v ~r) ⇔ [~ (p & q & r)] v ~ (~p v ~r) Függelék

1. függelék. Logikai szimbolizálás és értelmezés (részlet), in Gál László (2003), Társadalom és logikusság, Kriterion Könyvkiadó, Kolozsvár, 162 - 177. „4. Egy logikai értelmezési példa Mostani szimbolizálási példánk különbözik a 2. részben bemutatottól. Esısorban abban, hogy sokkal többértelmőbb, másodsorban pedig abban, hogy a szimbolizálását nem e tanulmány szerzıje végezte el. Ezúttal felkértük 34 diákunkat arra, hogy a következı közmondást írják át természetes nyelvrıl a kijelentések logikájának nyelvére. A 34 diák az elızı félévben a kijeletések logikáját hallgatta és levizsgázott belıle. A közmondás így szólt: „Nem azért akasztják fel a tolvajt, mert lopott, hanem azért, mert nem tudta elrejteni.” Az elsı kérdés amire e feladat kijelölésekor választ akartunk kapni az az volt, hogy vajon e természetes nyelvi kifejezésnek egy vagy több logikai forma felel-e meg az átfordítás útján és hogy ezek ekvivalensek-e vagy sem. Az eredmény ez lett, hogy a diákok az eredeti közmondásnak 6 megfelelı logikai formát azonosítottak és ezek egymástól különböztek. Az 1. logikai értelmezés szerint a közmondásnak a következı forma felel meg: (1) ( ~p ⊂ q ) & (p ⊂ ~r)

Ezen értelmezésben a p változó a „akasztják fel a tolvajt” kijelentés, a q változó a „(a tolvaj) lopott” kijelentés, az r változó pedig a „eltudta rejteni” kijelentés helyett áll. E logikai formának természetes nyelven a következı kifejezés felel meg: „A tolvajt nem akasztják fel tudta elrejteni ~r/.”

~p

/, ha lopott q/, hanem azért (akasztják fel) p/, mert nem

E kifejezésben az akotó kijelentéseket ferde vonallal (/) választottam el egymástól. A vonal fölé pedig a kijelentés helyett álló változó szimbólumát írtam. A benne szereplı logikai állandók szimbólumai pedig ~ a negáció jele, ⊂ a fordított kondicionális jele, a & pedig a konjunkció jele. A szimbolizálás által megkaptuk tehát a közmondásnak a kijelentések logikájának nyelvén megfelelı egyik formáját. A továbbiakban meg kell keresnünk e forma logikai interpetálását. A 3. részben ezt úgy definiáltuk, hogy igazságértékeket kell hozzárendelnünk. Ezt pedig mindenik változóra meg kell tennünk, mindkét igazságértékkel. Mivel három változónk van és két igazságértékünk, az igazságértékek lehetséges kombinációinak száma 23 = 8. A változók ezen interpretálására az (1)-es logikai formának az állandók függvényében 8 kimeneti igazságértéke származik. Ezt összefoglalva az 1. Táblázat tartalmazza. 1. Táblázat. Az (1)-es logikai forma interpretálása p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

~p 0 0 0 0 1 1 1 1

~r 0 1 0 1 0 1 0 1

~p ⊂ q 0 0 1 1 1 1 1 1

p ⊂ ~r 1 1 1 1 1 0 1 0

(1) 0 0 1 1 1 0 1 0

Az 1. Táblázat szerint az (1)-es logikai forma kielégíthetı. Ez azt jelenti, hogy a változóinak bizonyos interpretálására az igaz értéket veszi fel, más interpretálásra pedig a hamis értéket. Például ha p = 1, q = 0 és r = 1, akkor a teljes séma igaz, míg ha p = 0, q = 1 és r = 0 akkor a teljes séma hamis. A logikai intepretálás alapján a logikai formáról csak ennyit tudhatunk meg. A 2. logikai értelmezés szerint a közmondásnak a következı logikai forma felel meg: (2) ~ (q ⊃ p) & (~r ⊃ p). E logikai forma természetes nyelvi visszaírása a következıképpen hangzik:

„Nem igaz, hogy, ha a tolvaj lopott q/, akkor felakasztják p/, hanem, ha nem tudta elrejteni (amit lopott) ~r/, akkor felakasztják p/.” Ezen interpretálás abban különbözik az elıbbitıl, hogy egyrészt a kezdeti negációt az elsı kondicionálisra nem pedig a p változóra esıként értelmezi, másrészt pedig kondicionálisokat használ a fordított kondicionálisok helyett. A (2)-es séma igazságértékek szerinti logikai interpretálását a 2. Táblázat foglalja össze. 2. Táblázat. A (2)-es logikai forma intepretálása p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

q⊃p 1 1 1 1 0 0 1 1

~ (q ⊃ p) 0 0 0 0 1 1 0 0

~r ⊃ p 1 1 1 1 1 0 1 0

(2) 0 0 0 0 1 0 0 0

A 2. Táblázat szerint a (2)-es logikai forma is kielégíthetı, azaz bizonyos értelmezések mellett igaz, más értelmezések mellett pedig hamis. És a logikai intepretáció ennyit tud mondani róla. A 3. logikai értelmezés a következı séma szerint történt: (3) (q ⊃ ~p) & [(q & ~r) ⊃ p]. Természetes nyelven kifejezve a (3)-as logikai formát a következı kifejezést kapjuk: „Ha a tolvaj lopott q/, nem akasztják fel ~p/, de ha lopott q/ és nem tudta elrejteni ~r/, akkor felakasztják p/.” E séma abban különbözik az elıbbiektıl, hogy mind a p, mind a q változó kétszer jelenik meg. Emiatt a logikai szerkezet elsı fele p-t q premisszájaként értelmezi, a második fele p-t és non-r-t tekinti q premisszájának. A 3. Táblázat tartalmazza a (3)-as séma logikai interpretálását. 3. Táblázat. A (3)-as logikai forma interpretálása p 1 1 1 1

q 1 1 0 0

r 1 0 1 0

q ⊃ ~p 0 0 1 1

q & ~r 0 1 0 0

(q & ~r) ⊃ p 1 1 1 1

(3) 0 0 1 1

0 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 1

0 1 0 0

1 0 1 1

1 1 1 1

A (3)-as séma logikai interpretálása ereményeképpen is azt kaptuk, hogy kielégíthetı. Azaz, a változók bizonyos értelemezéseire igaz, más értelezésekre hamis. A 4. logikai értelmezés szerint a következı séma került felszínre: (4) (~p ⊂ q) v (p ⊂ ~r), ahol v a diszjunkció szimbóluma. Természetes nyelven e logikai forma a következıképpen olvasható ki: „Nem azért akasztják fel a tolvajt ~p/, mert lopott q/, vagy azért akasztják fel (a tolvajt) p/, mert nem tudta elrejteni ~r/.” Az elıbbiekhez képest a séma újdonsága abban áll, hogy új logikai állandó szerepel benne, éspedig a v (diszjunkció). Ennek segíségével az értelmezés választást fejez ki a felakasztás és a fel nem akasztás ténye között. A 4. Táblázat a (4)-es séma logikai interpretálását tartalmazza. 4. Táblázat. A (4)-es logikai forma interpretálása p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

~p 0 0 0 0 1 1 1 1

~r 0 1 0 1 0 1 0 1

~p ⊂ q 0 0 1 1 1 1 1 1

p ⊂ ~r 1 1 1 1 1 0 1 0

(4) 1 1 1 1 1 1 1 1

A táblázat utolsó oszlopa ezúttal csak igaz értékeket tartalmaz. Ezt eddig nem tapasztaltuk. Az intepretáció újdonsága abban áll, hogy logikai törvényre bukkantunk. Ez azt jelenti, hogy a változók értelmezéseitıl függetlenül e séma mindig igaz. Más szóval a változókat bármilyen konkrét kijelentéssel helyettesíthetjük, ez logikai formai szempontból mindig igaz lesz. Az 5. logikai értelmezést a következı séma írja le. (5) (~p & q) ⊃ (p & ~r).

Ezen értelmezésben a túlnyomó többséget a konjunkciók (&) jelentik. Az értelezés premisszájában és konkúziójában is konjunkció szerepel. Természetes nyelven az értelmezés a következıképpen hangzik: „Ha nem akasztják fel a tolvajt ~p/ és lopott q/, akkor felakasztják p/ és nem tudta elrejteni /.”

~r

E kissé furán hangzó természetes nyelvi kifejezésben a furcsaságot a premisszában és a konklúzióban is szereplı konjunkció adja, amit viszont egy erısebb kondicionális kapcsolat köt össze. Ez az az egyedüli séma amelyben nem szerpel legalább két kondicionális. A teljes logikai interpretálást az 5. Táblázat foglalja össze. Táblázat. Az (5)-ös logikai forma intepretálása

p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

~p & q 0 0 0 0 1 1 0 0

p & ~r 0 1 0 1 0 0 0 0

(5) 1 1 1 1 0 0 1 1

A táblázat utolsó oszlopa szerint e séma is kielégíthetı. A továbbiakban fogjuk azt megvizsgálni, hogy a különbözı intepretálások miként viszonyulnak egymáshoz. A 6. logikai értelmezés a következı logikai séma szerint történt: (6) ~(p ⊃ q) ⊃ (p ⊂ ~r). E séma sajátossága az, hogy benne kondicionálisok kötik össze a változókat. A kondicionálisokon kívül két negáció van jelen, egyik változóra, másik logikai állandóra esik. Természetes nyelvre átírva a következı kifejezést kapjuk. „Nem igaz, hogy ha felakasztják a tolvajt p/, akkor lopott q/, hanem akkor akasztják fel (a tolvajt) p/, ha nem tudta elrejteni ~r/.” A kifejezésben szereplı elsı kondicionális kissé furának tőnik, mivel a tolvaj attól tolvaj, hogy lop és nem attól, hogy tolvaj. Emiatt ebben a kondicionálisban mintha az elıtag és az utótag fel lenne cserélve.

A kezdeti közmondás ezen 6. logikai értlemzését a 6. Táblázat foglalja össze. Táblázat. A (6)-os logikai forma interpretálása p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

p⊃q

~(p ⊃ q)

p ⊂ ~r

1 1 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 0 1 0

(6) 1 1 1 1 1 1 1 1

A táblázat utolsó oszlopa alapján megállíthatjuk, hogy ezen intepretáció is logikai törvény, vagyis a változói igazságértékeitıl függetlenül a kimeneti igazságértékek mindig igazak. Ebbıl a szempontból ekvivalensnek tekinthetı a (4)-es interpetációval. A továbbiakban arra a kérdésre keressük a választ miszerint a 6 egymástól különbözı logikai interpretáció miként viszonyul egymáshoz. Ezt úgy állapíthatjuk meg ha összhasonlítjuk a 6 eddig megszerkesztett táblázat utolsó oszlopát. Az utolsó oszlopokon szerpelnek azok a kimeneti igazságértékek, amelyeket a logikai sémák változóinak különbözı értelmezéseire kaptunk. A logikai formák akkor tekinthetık egymással ekvivalenseknek, ha a változók ugyanazon értelmezésére azonos kimetei igazságértéket vesznek fel. Nyolc esetet különböztetünk meg, annak megfelelıen, hogy a három logikai változót milyen igzságérték kombinációk szerint értelmeztük. a. Abban az esetben ha p = 1, q = 1 és r = 1. Ekkor az (1)-es, a (2)-es és a (3)as logikai forma hamis. A (4)-es, (5)-ös és a (6)-os logikai forma pedig igaz. b. Ha p = 1, q = 1 és r = 0. Ebben az esetben az (1)-es, a (2)-es és a (3)-as logikai forma ugyancsak hamis. A (4)-es, (5)-ös és a (6)-os logikai forma pedig igaz. c. Ha p = 1, q = 0 és r = 1. Erre az értelmezésre a (2)-es logikai forma hamis, az (1)-es, (3)-as, (4)-es ,az (5)-ös és (6)-os pedig igaz. d. Ha p = 1, q = 0 és r = 0. Ekkor a (2)-es séma hamis, a többi pedig igaz. e. Ha p = 0, q = 1 és r = 1. Erre az igazságérték kombinációra csak az (5)-ös séma hamis, az összes többi pedig igaz. f. Ha p = 0, q = 1 és r = 0. Ekkor az (1)-es, (2)-es és az (5)-ös séma hamis, a többi pedig igaz. g. Ha p = 0, q = 0 és r = 1. Ebben az esetben a (2)-es séma hamis a többi pedig igaz. h. Végül, ha p = 0, q = 0 és r = 0. Ekkor az (1)-es és a (2)-es logikai forma hamis. A (3)-as, a (4)-es, (5)-ös és a (6)-os sémák pedig mind igazak. Ahhoz, hogy az esetleges ekvivalenciák áttekinthetıbbek legyenek a 6 logikai séma utolsó oszlopát táblázatba foglaltuk. Táblázat. Az (1) – (6) logikai forma kimeneti igazságértékei

p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

(1) 0 0 1 1 1 0 1 0

(2) 0 0 0 0 1 0 0 0

(3) 0 0 1 1 1 1 1 1

(4) 1 1 1 1 1 1 1 1

(5) 1 1 1 1 0 0 1 1

(6) 1 1 1 1 1 1 1 1

Amint említettük, a logikai formák annyiban ekvivalensek egymással amennyiben kimeneti igazságértékei a változók minden interpretálására azonosak. Ez azt jelenti, hogy mindenik változat mind a nyolc kimeneti igazságértéke soronként kell egyezzen. Ha végignézzük a 7. Táblázatot, akkor egyetlen ilyen esettel találkozunk. Ez azt jelenti, hogy a diákok által megalkotott értelmezések közül csak néhány logikailag ekvivalens a többivel. Vagy más megfogalmazásban, a diákok által megalkotott intepretációk túlnyomórészt logikailag egymástól függetlenek. Ez azt jelenti, hogy a diákok a 6 logikai szerkezet segítségével mintegy másvalamit állítanak. Vagy úgy is fogalmazhatnánk, hogy a 6 logikai interpretálás másképpen egyértelmősíti a kezdeti közmondást. Hogy ez így van, vagy sem az csak akkor derül ki, ha a 6 változat természetes nyelvi megfogalmazását is elemezzük. Erre a továbbiakban sor kerül. Még egy megjegyzés a 7. Táblázattal kapcsolatosan az, hogy a (4)-es és a (6)-os változat logikai törvény. Ez azt jelenti, hogy a logikai sémák változóinak intepretálásától függetlenül mindig igazak. Más megfogalmazásban, a sémák változói bármilyen igazságértéket is vesznek fel, a teljes sémák igazságértéke mindig az igaz lesz. 4. A logikai állandók logikai és intuitív értelme A kijelentéskalkulus pontos definíciókban rögzíti a logikai állandók értelmét. Ezen definíciók segítségével a logikai állandók egyértelmőekké válnak. Az 1. – 6. táblázatok kalkulusait ezen egyértelmő és rögzített logikai értelem alapján végeztük el. A 8. Táblázatban összefoglaljuk a kezdeti közmondás logikai interpetációiban szereplı állandók rögzített definícióit. 8. Táblázat. A fontosabb logikai állandók definíciói p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

⊃ 1 0 1 1

& 1 0 0 0

v 1 1 1 0

A táblázat megadja a változók azon intepretációit amelykre a logikai állandó igaz és azokat amelyekre hamis. Megfigyelhetjük, hogy a táblázat nem tartalmazza a negáció definícióját. Ez azért van, mert a negáció nemcsak az állandóra, hanem a változóra is eshet. Emiatt a negáció definíciója külön táblázatban adható meg. Íme a definíció.

9. Táblázat. A negáció definíciója p 1 0

~p 0 1

E táblázat szerint a negáció alapvetı logikai szerepe abban áll, hogy a változó igaz igzságértékét hamissá, a hamis igazságértékét pedig igazzá alakítja. A logikai állandókat természetes nyelven kötıszavak segítségével fejezzük ki. A természetes nyelvi kifejezésekben viszont a kötıszavak nem mindig jelennek meg expliciten. Ennek ellenére az összetett kijelentésekben megjelenı nem explicit nyelvi kapcsolat is mindig valamilyen logikai állandót rejt. A szimbolizálás egyik nehézségét pontosan az adja, hogy a kötıszavak többértelmőek lehetnek. A kötıszavak többértelmősége még egy következményt von maga után. Ez abban áll, hogy annak ellenére hogy az állandók logikai értelme pontosan rögzített, a természtes nyelven kifejezettek árnyalhatók a kötıszavak segítségével. Az árnyalást a természetes nyelven kifejezett állítások természete teszi szükségessé. Így a logikailag rögzített értelmő állandók, a természetes nyelvileg változatosan kifejezezettek mintegy csomópontjában helyezkednek el. De azáltal, hogy logikailag rögzítették értelmüket, egyben elveszett a természetes nyelvileg meglévı sokféleség és változatosság. Emiatt az állandóknak megvan egyrészt a logikai értelmük, és emellett megvan az intuitív értelmük is. Mivel a 8. és a 9. táblázat megadja az állandók logikai értelmét, most lássuk milyen intuitív értelmeik vannak. 1. A konjunkció intuitív értelmei. A konjunkció segíségével több intuitív értelem adható meg. a. A konjunkció két állítást egyszerően egymás mellé helyezhet, anélkül, hogy a közöttük szoros relevéns kapcsolat lenne. Például a következı közmondásban: A kutya ugat, a karaván halad. A kutyák ugatását összekapcsolni a karaván haladásával, egymáshoz képest irreleváns. Ennek természetes nyelvi jelentése a hiábavalóság, a dolgok menetébe való beavatkozás lehetetlensége. b. Szintén konjunkció segítségével fejezhetık ki helyzetek. Például a következı közmondásban: A kakastól elfut, oroszlánra talál. A közmondásban jelen levı két állítás a helyzet rosszabbodását fejezi ki. A kisebb rossz elutasítása maga után vonja a nagyobbik rossz megjelenését. c. A konjukció intuitív értelmei közé tartozik az is, amikor segítségével egy adott állapot tulajdonságait fejezzük ki. Például: Juhot nyírni, nem nyúzni kell. E közmondásban az állapot bizonyos eleme (a juh nyírása – a juh nyúzása) képezi az igazság állításának alapját. A megnevezett tulajdonság az állapot releváns tulajdonsága és tagadása visszafordíthatatlan károk lehetıségére hívja fel a figyelmet. d. Más intuitív értelem a térre vonatkozik. Például a következı közmondásban: A hazugság világot kerül, az igazság egy helyben ül. Ebben az esetben távolságok megtételérıl van szó. Itt a két állításon keresztül bejárjuk a tér egy részét. e. Az intuitív értelmek újabb csoportja az idıre mint egyidejőségre és mint egymásutániságra vonatkozik. Például a „Farkast emlegettünk, a kert alatt jár.” közmondás az egyidejőséget fejezi ki. Viszont a következı közmondás „Ki a bort

megissza, ura legyen.” az egymásutániságot fejezi ki. Pontosan a konjunkció az, amelynek segíségével az idıbeliséget leggyakrabban fejezzük ki. 2. A kondicionálisok intuitív értelmei. Az (1) – (6) logikai formák szerkezetében két típusú kondicionálist különböztettünk meg. A különbség a kettı között nem lényegi. A kondicionálisban az elıtagja szerepel elsıként, az utótagja medig másodikként, a fordított kondicionálisban az utótagja szerepel elsıként az elıtagja pedig másodikként. Tehát a különbséget a sorrend adja. a. A kondicionálisok segítségével lehet kifejezni leggyakrabban az oksági kapcsolatokat. Például: Özönvíz ha tombol, hegyeket lerombol. Itt az özönvíz tombolása az oka a hegyek lerombolásának. A „ha…akkor” kötıszavak segíségével kifejezhetı kondicionális kapcsolatok a természetes nyelvi kifejezésekben nagyon gyakran jelen vannak. b. A kondicionálisok intutív értelmének más csoportja a helyre vonatkozik. Például: Ahol ketten jóllaknak, ott a harmadik sem marad éhen. Más szóval, azon a helyen ahol ketten jóllaknak, a harmadik is ehet. c. Kondicionálisok segítségével is kifejezhetı az idıbeliség. Például: Amit Misi tanul, Mihály sem fejeti el. Eszerint a gyermek által megtanultakat a felnıtt ember is fogja tudni. d. A kondicionálisok segítségével a körülmények széles skálája fejezhetı ki. Például: Hol az ember egész nap csak furulyál, ott az asszony csak éhesen sírdogál., vagy Nem jön be a kutya a pitvarba, ha beteszik az ajtót. A kondicionális elıtagját bevezetı „ha” szócska szerepe abban áll, hogy belehelyezzen abba a körülménybe, amely érvényesíti a közmondás kimondását. 3. A diszjunkció intuitív értelme az, hogy választást fejezzen ki. Például: Aki sokat beszél vagy sokat tud, vagy sokat hazudik. E közmondásban három kijelentés van jelen. A diszjunkció a második és a hamradik között teremt kapcsolatot. A diszjunkció ezen intuitív értelme akkor áll fenn, ha a tudás és a hazudás fennállását egyszere jelen levıként intepretáljuk. 4. A negáció intuitív értelme nem különbözik logikai értelmétıl. Így intuitív értelme szerint is a kijelentés igazságértékét változtatja meg. A logikai állandók intuitív értelmeinek ezen ad hoc azonosítását illetve a rögzített logikai értelmeket felhasználhatjuk az (1) – (6) logikai formák elemzésére. A kérdés amire választ kellene adjunk az az, hogy diákjaink miképpen értelmezték a kezdeti közmondást. 6. A logikai és az intuitív értelem kapcsolata Használjuk fel most az eddig tárgyalt logikai és intuitív elemzési eszközöket a kezdeti közmondás intepretációinak vizsgálatára. Ennek megkönnyítésére soroljuk fel újra ıket itt is.

(1) ( ~p ⊂ q ) & (p ⊂ ~r) „A tolvajt nem akasztják fel ~p/, ha lopott q/, hanem azért (akasztják fel) p/, mert nem tudta elrejteni ~r/.”

Az (1)- es értelmezés szerint oksági kapcsolat azonosítható aközött, hogy a tolvajt felakasztják vagy sem, illetve ennek alapja szerint. Azon az alapon, hogy a tolvaj lopott nem akasztják fel, míg azon az alapon, hogy nem tudta elrejteni felakasztják. Mindez fordított sorrendben jelenik meg: elıször az állítás, utána pedig alapja. Emiatt vannak jelen a logikai interpetációban a fordított kondicionálisok. E két állítást ezen értelmezés egyszerően egymás mellé helyezi. Innen adódik a konjunktív kacsolat közöttük. A negációk csakis a változókra esnek. (2) ~ (q ⊃ p) & (~r ⊃ p). „Nem igaz, hogy, ha a tolvaj lopott q/, akkor felakasztják p/, hanem, ha nem tudta elrejteni (amit lopott) ~r/, akkor felakasztják p/.” A (2) értelmezés szerint a kondicionálisok elıtagja elsıként, utótagja pedig másodikként jelenik meg. Emiatt a logikai értelmezés kondicionálisokként történt. Az állítás és ennek alapja a normális idırendi sorrendet követi. Azaz elıbb történik meg a lopás és utána a felakasztás negációja, valamint elıbb történik meg az el nem rejtés és utána a felakasztás. Az intuitív kapcsolat szintén oksági. A két kondicionálist ezúttal is konjunkció köti össze, azaz egymás mellé helyezi a két kondicionális állítást. Figyelemre méltó, hogy a negáció egyik alkalommal a logikai állandóra, másik alkalommal a változóra esik, azaz egyik alkalommal kijelentések kapcsolatát negálja, masik alkalommal pedig egyetlen állítást. (3) (q ⊃ ~p) & [(q & ~r) ⊃ p]. „Ha a tolvaj lopott q/, nem akasztják fel ~p/, de ha lopott q/ és nem tudta elrejteni ~r/, akkor felakasztják p/.” A (3) értelmezésben a fel nem akasztásnak egy alapja van (a lopás), míg a felkasztásnak kettı (a lopás, illetve az el nem rejtés). A többi értelmezésben is benne van impliciten az, hogy a felakasztáshoz nem elégséges csak az elrejtés, ellenben itt ez explicit. A két kondicionális elıtagja és utótagja ebben a sorrendben követik egymást. A kondicionálisok intuitív értelme ezúttal is oksági kapcsolatot fejez ki. A két kondicionálist összekapcsoló konjunkció az állításokat egymás mellé helyezi. A negációk a változóra esnek, emiatt a p kijelentés igazságértékét változtatja meg, valamint negált alapot biztosít a második kondicionálisban. (4) (~p ⊂ q) v (p ⊂ ~r), „Nem azért akasztják fel a tolvajt ~p/, mert lopott q/, vagy azért akasztják fel (a tolvajt) p/, mert nem tudta elrejteni ~r/.” Szembetőnı a (4)-es értelmezés hasonlósága az (1)-el. Mindkét értelmezésben a fordított kondicionálisok elıtagjai és utótagjai megegyeznek. Emiatt az oksági kapcsolat itt is fennáll. Csakhogy a két fordított kondicionálist ezúttal diszjunkció kapcsolja össze. Ezáltal kiemeli a választást a fel nem akasztás és a felakasztás ténye között. A diszjunktív kapcsolat egyben hozzájárul ahhoz, hogy ezen logikai értelmezés törvény legyen. Ez az egyik olyan változat, amely törvényként intepretálható. A negáció e itt is csak azt a szerepet játsza, hogy megváltoztatja a kijelentések igazságértékét.

(5) (~p & q) ⊃ (p & ~r). „Ha nem akasztják fel a tolvajt ~p/ és lopott q/, akkor felakasztják p/ és nem tudta elrejteni ~r /.” Az (5)-ös értelmezésben a konjunkció mellékmőveletként, a kondicionális pedig fımőveletként jelenik meg. Ez azt jelenti, hogy az állítások egyszerően egymás mellé vannak helyezve, és ezen egymás mellé helyezett állítások között áll fenn az oksági kapcsolat. A logikai állandók ilyen használata teszi ezt a változatot természetes nyelven kissé furcsának. A negáció itt is a változókra esik. (6) ~(p ⊃ q) ⊃ (p ⊂ ~r). „Nem igaz, hogy ha felakasztják a tolvajt p/, akkor lopott q/, hanem akkor akasztják fel (a tolvajt) p/, ha nem tudta elrejteni ~r/.” A (6)-os interpetációban csak kondicinálisok vannak jelen. Segítségükkel oksági kapcsolatok kerülnek felszínre. Az elsı kondicionális viszont nem helyénvalóan állítja, hgoy a felakasztás a lopás alapja, pontosan fordítva kellene legyen. A harmadik kondicionális már helyénvalóan teszi az el nem rejtés tényét a felakasztás alapjává. A kondicionális fımővelet ezt a változatot is logikai törvénnyé teszi. Emiatt ezen változat logikailag ekvivalens a (4)-el. A negáció itt is egyrészt kijelentés összetételre, másrészt változóra esik. 7. Következtetések Végül lássuk, hogy e tanulmányban feltett kérdésekre milyen válaszokat kaptunk. 1. Bebizonyosodott, hogy a logikai szimbolizáláson és értelmezésen keresztül hermeneutikai kérdések kezelhetık valamivel pontosabban, adott esetben kalkulatórikusan. Ami nem bizonyosodott be az az, hogy a kejelentéskalkulus szinte algoritikus megoldásokat tudna biztosítani az értelmezés bonyolult kérdésére. Emiatt az értelmezés logikai megközelítésmódja csak rögzíthet bizonyos értelmi változatosságot, anélkül, hogy kimerítené ezt. 2. A logikai értelmezési példánk tárgyalása kiemelte, hogy ugyanazon természetes nyelvi kifejezésen az emberek más dolgokat értenek. Azon értelmezési skála határai amelyen mozognak nem láthatók be teljesen. A logika bizonyos eszközei ezen értelmezések közötti különbségeket valamennyire pontosan képesek rögzíteni. Továbbá világossá vált, hogy egyedül csak a logikai értelmezés használata eléggé szegényes eredményekhez vezet. Emiatt eszközeink közé fel kellett vennünk egy új fogalmat is, a logikai állandók intuitív értelmének fogalmát. Ezen ad hoc fogalom bizonyos mértékben hozzájárult ahhoz, hogy a kezdeti közmondás értelmezései közötti különbségeket világosabban lássuk. 3. A logikai és intuitív értelem fogalmai példánkban megragadhatóvá tették az interpretációs változatosság és árnyaltság tényét. Viszont nem szolgáltattak magyarázatot, arra vonatkozólag, hogy a kísérleti személyeink miért értelmezik különbözıképpen ugyanazt a természetes nyelvi kifejezést. Meg vagyunk gyızıdve arról,

hogy az értelmezési változatosság egyik tényezıje, vagy oka pontosan logikai jellegő. Miért csak az egyik tényezı? Azért mert bizonyára a különbözı értelmezésekben fontos szubjektív alkotóelem is részt vesz. Ennek felmérése az általunk használt eszközökkel nem lehetséges. 4. A kísérleti személyek által megalkotott négy értelmezési változat logikailag egymástól független, kettı pedig egymással ekvivalens. Emiatt jelenthettük ki azt, hogy túlnyomórészt mást értenek és állítanak ugyanazon nyelvhasználati szituációban. Ez viszont nem zárja ki azt a lehetıséget, hogy logikailag megegyezı változatot is alkossanak.”

2. függelék. A H1 rendszer tulajdonságai Ahhoz hogy bizonyítsuk a rendszer szemantikai konzisztenciáját (ellentmondásmentességét) ki kell mutatnunk axiomáinak és tételeinek logikai törvény voltát. E kérdés megoldásához az eldöntés valamely ismert módszerét kell felhasználnunk. Például: Ax1.’ (p v p) ⊃ p, ahol, ha p = 1, akkor (1 v 1) ⊃ 1, ami redukálódik a 1 ⊃ 1 kondicionálisra és igaz. Ha p = 0, akkor (0 v 0) ⊃ 0, ami redukálódik a 0 ⊃ 0 kondicionálisra és ez szintén igaz. Tehát az Ax.1 logikai törvény. Vagy: Ax.2’ p ⊃ (p v q), ahol, ha p = 1, akkor 1 ⊃ (1 v q), ami redukálódik az 1 ⊃ 1 kondicionálisra és igaz. Ha p = 0, akkor 0 ⊃ (0 v q), ami redukálódik a 0 ⊃ q kondicionálisra, de mivel elıtagja hamis, a kimeneti értéke mindig igaz. Tehát ez is logikai törvény. Ahhoz, hogy bizonyítsuk a rendszer szemantikai függetlenségét mindenik axióma számára kell találnuk egy a többitıl független értelmezést. E kérdés nem oldható meg a kétértékő logika keretei között, mivel az elıbb láttuk, hogy a kétértékő logika keretei között mindenik axióma logikai törvény, azaz mindig igaz. Emiatt olyan logikát kell választanunk, amelyben több logikai érték van. Térjünk át tehát egy háromérétékő logikára, ahol a logikai értékek halmaza: Lé3: {1, 0, 2}. Ennek az a következménye, hogy a H1 rendszer primitív logikai állandóinak (~, v) új definíciót kell adjunk (Lukasiewicz háromértékő logikájából valók). Ezek a következık: p ~p

1 0

0 1

2 2

0

1

2

0

1

2

Továbbá az v (alternáció) definíciója: Q P 0

1 2

1 2

1 2

2 2

~ (p v p) 1 0 2

Ax1. 1 1 2

Ellenırizzünk legalább két axiómát. Ax1. ~ (p v p) v p P 0 1 2

pvp 0 1 2

Döntsünk most a Ax2.- rıl. Csakhogy abba a helyzetbe kerültünk, hogy fel kell építsük a döntéshez szükséges táblázatot. Tudjuk azt, hogy ezúttal 3 logikai igazságrétékünk van, illetve két változónk. A táblázat sorainak száma 32 = 9, az oszlopok száma pedig 5, azaz a változók száma illetve az igazságfüggvények száma. Ax2.: ~p v (p v q) p 0 0 0 1 1 1 2 2 2

q 0 1 2 0 1 2 0 1 2

~ 1 1 1 0 0 0 2 2 2

pvq 0 1 2 1 1 1 2 2 2

Ax2. 1 1 1 1 1 1 2 2 2

Tehát a két axiómának egymástól független értelmezése van. Ebbıl a szempontból a rendszer független. Ahhoz, hogy a rendszer teljes legyen, minden nem a rendszer sémáját képezı sémáról bizonyítani kell, hogy általa ellentmondást nyerünk. Ez nagyon hosszadalmas folyamat lenne, mivel gyakorlatilag a kijelentések logikájának mindenik jólformált sémája a bizonyítás tárgyát képezné. Lássunk egy példát. A p v p séma nem igazolható a rendszerben. 1. p v p 2. (p v p) ⊃ p / Ax 1. 3. p / 1., 2, Sz1. 4. ~p v ~p / 1., Sz2. p-t helyettesítettük ~p-vel 5. ~p /4., Sz3. Következésképpen a 3. pontban p-t, az 5. pontben pedig ~p-t nyertünk, ami egyben ellentmondás.

3. függelék. ERNEST NAGEL, JAMES R. NEWMAN A GÖDEL-BIZONYÍTÁS* , in Gál László, Szigeti Attlia (2001), Logika (szöveggyőjtemény), Studium Kiadó, Kolozsvár „Kurt Gödel, fiatal, huszonöt éves matematikus 1931-ben egy német tudományos folyóiratban jelentette meg dolgozatát, s csak kevés matematikus olvasta el. Címe ijesztı volt: “A Principia Mathematica és a hozzá hasonló rendszerek formálisan eldönthetetlen kijelentéseirıl”. Tárgya mindmáig csak egészen kevés kutatót vonzott, gondolatmenete pedig annyira újszerő és bonyolult volt, hogy még a matematikusok többsége számára is érthetetlennek bizonyult. De Gödel tanulmánya a 20. századi tudomány egyik mérföldkövévé vált. Általános következtetéseit “Gödel-bizonyítás”-ként sok tudós megismerte és forradalmi jelentıségőnek ítélte. Gödel kiváló teljesítményét több kitüntetéssel méltányolták; nem sokkal cikkének megjelenése után a fiatal kutatót Bécsbıl meghívták Princetonba, hogy legyen az Institute for Advanced Study vendégprofesszora, 1938-tól pedig az intézet rendes tanára. Amikor 1952-ben a Harvard Egyetem díszdoktorává avatták, idézték bizonyítását, és a modern idık egyik legfontosabb logikai eredményének minısítették. Gödel a matematika alapjainak egyik központi problémáját vitatta. A görögök által feltalált axiomatikus módszert mindig a legszilárdabb alapnak tartották matematikai gondolati rendszerek felállítására. Ez a módszer – mint minden logikával foglalkozó tudós tudja – abból áll, hogy feltételezünk bizonyos kijelentéseket, vagy axiómákat (például, ha egyenlıket adunk egyenlıkhöz, akkor egyenlıket kapunk), és más kijelentéseket vagy tételeket ezekbıl az axiómákból vezetünk le. A legújabb idıkig a tudósok többsége a geometriát tekintette az egyetlen mély axiomatikus alapokra épülı matematikai tudományágnak. Az utóbbi két évszázadban azonban a matematika más ágaihoz, többek között az egész számok jólismert aritmetikájához is felépítettek erıs és szigorú axiómarendszereket. A matematikusok kezdték már azt remélni és hinni, hogy a matematikai okoskodások egész tartománya rendezhetı az axiomatikus módszer segítségével. Gödel írása véget vetett ennek a reménynek. A matematikusok elé tárta annak bizonyítását, hogy az axiomatikus módszernek vannak bizonyos belsı korlátai, amelyek lehetetlenné teszik még azt is, hogy az egész számok szokásos aritmetikáját rendezzük axiomatikus módszerrel. Sıt mi több, bizonyítékai arra a meglepı és elszomorító felfedezésre késztették a matematikusokat, hogy lehetelen bármely komplex deduktív rendszer logikai konzisztenciáját kimutatni, ha nem fogadjuk el az érvelés alapelveit; ezek belsı konzisztenciája viszont éppoly kérdéses, mint magáé a rendszeré. Gödel cikkének mégsem csak negatív hatása volt. A matematika alapjainak elemzésére meghonosított egy új eljárást, amely hasonlóan termékenynek bizonyult, mint az, hogy annak idején René Descartes bevezette a geometriában az algebrai módszert. Gödel munkája a matematikai logika területén egészen új kutatási ágak kiindulópontja lett. A matematika filozófiájának és valójában általában a tudományfilozófiának az átértékelését idézte elı. *

E. Nagel – J. R. Newman: Gödel’s Proof. Copyright © 1956 by Scientific American, Inc. Minden jog fenntartva. Változatlan új kiadás a Scientific American, Inc. engedélyével. Magyarul megjelent: Copi I.M., Gould J.A. (1985) Kortárs tanulmányok a logikaelmélet kérdéseirıl. Budapest, Gondolat. 70-103.

Gödel korszakalkotó tanulmánya még nem közismert, aprólékos bizonyításai túl bonyolultak ahhoz, hogy nem matematikusok követni tudják, de érvelésének váza és következtetései érthetık. Cikkünkben összefoglaljuk a probléma történetét és Gödel felfedezéseinek lényegét.

Az új matematika A 19. században hatalmas mértékben, ugrásszerően fejlıdtek a matamatikai kutatások. Sok olyan alapvetı problémát oldottak meg, amelyek megoldása már hosszú idı óta váratott magára; új matematikai tudományágak születtek; a különbözı tudományágakhoz új alapokat teremtettek vagy átalakították a régieket. A legforradalmibb fejlıdés a geomeria területén ment végbe, ahol Eukleidész egyik axiómáját egy másik axiómával helyettesítve új geometriákat szerkesztettek. Különösen Eukleidész párhuzamossági axiómájának módosítása vezetett rendkívül gyümölcsözı eredményekhez (lásd Morris Kline: The Straight Line. “Scientific American”, március). Ez a szerencsés kezdet ösztönözte a matematika más ágainak felépítését is, amelyeket addig többé-kevésbé intuitív módon mőveltek. A matematika alapjainak ebbıl a kritikai felülvizsgálatából adódó egyik fontos következtetés volt, hogy nem helyes, sıt félrevezetı a matematika hagyományos, a “mennyiségek tudományaként” való felfogása. Hiszen nyilvánvaló lett, hogy a matematika legfıbb feladata szükségszerő következtetések levonása, axiómák (vagy posztulátumok) adott halmazából. Így ismerték fel, hogy a matematika sokkal “absztraktabb” és “formálisabb”, mint hagyományosan feltételezték: “absztraktabb”, mert matematikai állítások bármirıl konstruálhatók, nem csupán objektumok valamilyen szigorúan körülhatárolt halmazáról vagy tulajdonságairól; “formálisabb”, mert a matematikai bizonyítások érvényessége nem annyira egy sajátos tárgy természetén, hanem inkább az állítások struktúráján alapul. A bizonyító matematika egyetlen ágának posztulátumai sem kizárólag térrıl, mennyiségrıl, almákról, szögekrıl vagy költségvetésekrıl szólnak, és semmiféle, a posztulátumok leíró terminusaihoz esetlegesen kapcsolódó különleges jelentés nem játszik lényeges szerepet a tételek levezetésének folyamatában. Az elméleti matematikus számára (ellentétben azzal a tudóssal, aki a matematikát egy szaktárgy kutatása során alkalmazza) nem az a kérdés, hogy igazak-e az általa feltételezett posztulátumok vagy belılük levezetett következtetések, hanem csak az, hogy a szóban forgó következtetések valóban szükségszerő logikai következményei-e a kezdeti feltevéseknek. Ezt a szemléletet idézi fel Bertrand Russell ismert mondása: A tiszta matematika olyan tudomány, amelyben sem azt nem tudjuk, hogy mirıl beszélünk, sem azt, hogy igaz-e, amit mondunk. A szigorú absztrakció világában, ahol nincsenek ismerıs határkövek, bizony nem könnyő tájékozódni. De viszonzást is kínál: új mozgásszabadságot és új távlatokat. A matematika absztraktabbá válásával az emberi gondolkodás megszabadult a nyelv szokásos kétértelmőségeitıl, és újszerő posztulátumrendszereket építhetett fel. A formalizálás matematikailag valóban igen érdekes és értékes rendszerek változatosságát eredményezte. Igaz, e rendszerek közül néhány nem alkalmas olyan nyilvánvalóan intuitív (“józan ésszel” belátható) értelmezésre, mint az euklideszi geometria vagy az artitmetikai rendszerek, de ez a tény nem ok az aggodalomra. Elıször is, az intuíció

rugalmas képesség. Gyermekeinknek éppúgy nem jelent majd nehézséget a relativitás paradoxonjait intuitíven nyilvánvalóként elfogadni, mint ahogy mi már nem hátrálunk meg olyan gondolatok elıl, amelyeket néhány nemzedékkel ezelıtt egyáltalán nem tekintettek intuitívnak. Továbbá, az intuíció – mint mindannyian tudjuk – nem megbízható vezérelv: kockázat nélkül nem használható a tudományos kutatásban sem az igazság, sem az eredményesség kritériumaként. A matematika megnövekedett absztrakt volta azonban felvetett egy komolyabb problémát is. Amikor objektumok meghatározott, jól ismert tartományára vonatkozik egy axiómarendszer, akkor rendszerint meg lehet állapítani, hogy az axiómák valóban igazake ezekre az objektumokra, és ha igazak, akkor kölcsönösen konzisztensnek is kell lenniük. Úgy látszott azonban, hogy az absztrakt nem eukleidészi axiómák nyilván hamisan írják le a teret, és ezért kétséges, igazak-e egyáltalán valamire. Ezért hatalmas feladat volt a nem eukleidészi renszderek belsı konzisztenciájának kimutatása. Például a Riemann-féle geometriában Eukleidész nevezetes párhuzamossági axiómáját azzal a feltevéssel helyettesítik, hogy egy egyenessel egy rajta kívül levı adott ponton át nem húzható párhuzamos egyenes ugyanabban a síkban. Most tegyük fel a kérdést: konzisztens a Riemann-féle posztulátumrendszer? A tapasztalainknak megfelelı, közönséges térre látszólag nem igazak ezek a posztulátumok. Akkor hogyan ellenırizhetı konzisztenciájuk? Hogyan bizonyítható, hogy nem vezetnek majd ellentétes tételekhez? Egy általános módszert javasoltak e probléma megoldására. Az alapgondolat az volt, hogy “modellt” kell készíteni a posztulátumokhoz, mégpedig úgy, hogy minden egyes posztulátumot a modellre vonatkozó igaz állítássá alakítunk át. Az eljárást a következıképpen illusztrálhatjuk. Az “osztály” szó jelentse megkülönböztethetı elemek vagy “tagok” összességét! (Például a 10-nél kisebb prímszámok osztálya a 2, 3, 5 és 7 tagokból álló összesség.) Tegyük fel, hogy most két tisztán absztrakt osztályt – K-t és Let – vizsgálunk, s ezekre a következı posztulátumokat fogadjuk el: 1. K bármely két elemét L-nek csak egy eleme tartalmazza. 2. K egyetlen elemét sem tartalmazza L-nek kettınél több eleme. 3. L egyetlen eleme sem tartalmazza K minden elemét. 4. L bármely két eleme K-nak csak egy elemét tartalmazza. 5. L egyetlen eleme sem tartalmazza K-nak kettınél több elemét. Ebbıl a kis halmazból, a szokásos következtetési szabályokat alkalmazva, levezethetünk bizonyos tételeket. Például kimutatható, hogy K csak három elemet tartalmaz. De konzisztens-e ez a halmaz, azaz sohasem vezethetık le belıle egymásnak ellentmondó tételek? Itt segítségül hívjuk az osztályok modelljét vagy értelmezését. K jelölje egy háromszög csúcsait, L pedig oldalait! Ekkor az öt absztrakt posztulátum mindegyike átalakítható igaz állítássá: az elsı posztulátum például azt állítja, hogy bármely két csúcs csak egy oldalhoz tartozhat. Így a halmaz konzisztensnek bizonyult.

Minden gentleman udvarias. Egyetlen bankár sem udvarias. Egyetlen gentleman sem bankár. g⊂u b⊂~u ∴g ⊂ ~ b g~u=0 bu=0 ∴g b = 0 A SZIMBOLIKUS LOGIKÁT George Boole angol matematikus találta ki a 19. század közepén. Ebben a példában egy szillogizmust két különbözı módon fordítottunk le az ı jelölésére. A felsı képletcsoportban a ⊂ jel azt jelenti, hogy “tartalmazza”. Így például g ⊂ u azt jelenti, hogy az udvarias emberek osztálya magában foglalja a gentlemanek osztályát. Az alul levı egyenlıségekben két bető együtt azoknak a dolgoknak az osztályát jelöli, amelyek mindkét sajátossággal rendelkeznek. Például bu azoknak az egyéneknek osztályát jelöli, akik bankárok és udvariasak. A csoport második egyenlete azt állítja, hogy ez az osztály üres. Egy bető elıtti volnal ezt jelenti: "nem". (Nem u például azt jelenti, hogy udvariatlan.)

Elsı pillantásra egy ilyen eljárás talán megfelelınek látszik egy olyan absztrakt rendszer konzisztenciájának kimutatására, mint a Riemann-féle síkgeometria. A Riemann-féle posztulátumok kifejezésére elfogadhatunk egy modellt, amelyben a “sík” kifejezés egy eukleidészi gömb felületét, a “pont” kifejezés ennek a felületnek egy pontját, az “egyenes szakasz” pedig e felület egy fıkörívét jelenti, és így tovább. Ekkor minden egyes Riemann-féle párhuzamossági posztulátum így hangzik: a gömbfelület egyetlen pontján át sem húzható egy adott fıkörívvel párhuzamos fıkörív. Sajnos, ez a módszer súlyos ellenvetéssel támadható, mégpedig azzal, hogy az egyik tartományban jelentkezı problémát egyszerően úgy próbálja megoldani, hogy áthelyezi egy másik tartományba (vagy másképpen fogalmazva: Eukleidészt hívjuk segítségül, hogy bebizonyítsuk egy olyan rendszer konzisztenciáját, amelyik felbomlasztja az eukleidészi rendszert). A Riemann-féle geometria csak akkor bizonyul konzisztensnek, ha az eukleideszi geometria konzisztens. Most már az a kérdés, hogy konzisztens-e az eukleideszi geometria. Ha erre a kérdésre megint egy másik modell segítségével próbálunk válaszolni, akkor nem jutunk közelebb a célunkhoz. Röviden, minden e módszerrel végrehajtott bizonyítás a konzisztenciának csak “relatív” és nem abszolút bizonyítása lesz. Amíg képesek vagyunk véges sok elemet tartalmazó modellel interpretálni egy rendszert, nem nagyon nehéz bebizonyítanunk posztulátumaink konzisztenciáját. Például a K és L osztály posztulátumainak ellenırzésére használt háromszögmodell véges, ezért gyakorlati vizsgálattal viszonylag egyszerő eldönteni, hogy “igazak”-e a posztulátumok, tehát konzisztens-e a rendszer. Sajnos a matematika fontos ágainak alapjait alkotó posztulátumrendszerek többsége nem fejezhetı ki véges modellekben, hanem csak nem véges modellekkel elégíthetı ki. Az elemi aritmetika jól ismert axiómahalmazának egyik axiómája kimondja, hogy az egész számok sorozatában minden számot közvetlenül követ egy olyan egész szám, amely különbözik minden egész számtól. Nyilvánvaló, hogy a

posztulátumhalmaz ellenırzésére használt minden olyan modellnek tükröznie kell azt, amit ez az axióma posztulál, azaz az elemek végtelenségét. Ebbıl adódik, hogy a rendszer igazságát (és így konzisztenciáját) nem lehet ellenırzéssel és felsorolással megállapítani. Úgy látszik, holtpontra jutottunk.

A Russel-paradoxon Ennél a pontál talán csábító az az ötlet, hogy akkor lehetünk biztosak egy posztulátumhalmaz konzisztenciájában, azaz ellentmondásmentességében, ha az alkalmazott alapfogalmak áttetszıen “világosak” és “biztosak”. A gondolkodás története azonban nem volt kegyes az intuitív tudás doktrínájához, amelyet hallgatólagosan beleértünk ebbe az ötletbe. A matematikai kutatás bizonyos területein alapvetı ellentmondások merültek fel, a feltevésekben szereplı fogalmak “intuitív” világossága ellenére és az elvégzett gondolati konstrukciók látszólag konzisztens jellege dacára. Ilyen ellentmondások (szaknyelven “antinómiák”) jelentkeztek például a végtelen számosságok elméletében, amelyet Georg Cantor fejlesztett ki a 19. században. Elmélete az osztály elemi és látszólag “világos” fogalmára épült. Mivel a modern rendszereket, különösen az elemi aritmetikát a matematika más ágaiban is az osztályok elméletének alapjára építették, helyénvaló a kérdés, hogy nem fertızték-e meg ellentmondások ezeket is. Valóban, Bertrand Russell magának az elemi logikának a keretei között konstruált egy ellentmondást. Ez pontosan megegyezik a végtelen osztályok elıször Cantor elméletében kifejtett ellentmondásával. A Russell-féle antinómiát a következıképpen fogalmazhatjuk meg. Az összes osztályokat nyilvánvalóan két csoportba sorolhatjuk: az egyikbe tartozók nem tartalmazzák önmagukat elemként, a másodikba tartozók pedig tartalmazzák önmagukat elemként. Az elsıre példa a matematikusok osztálya, hiszen maga ez az osztály kétségtelenül nem matematikus, így nem eleme önmagának. A másodikra példa az összes elgondolható fogalmak osztálya, hiszen az összes elgondolható fogalmak osztálya maga is elgondolható fogalom, ezért eleme önmagának. Az elsı típusú osztályokat “normál” osztályoknak, a második típusúakat “nem normál” osztályoknak fogjuk nevezni. Jelölje N az összes normál típusú osztályok osztályát! Feltesszük azt a kérdést, hogy maga N normál osztály-e. Ha igen, akkor eleme önmagának. Ebben az estben viszont N nem normál, mert a definíció szerint az önmagát elemként tartalmazó osztály nem normál. Ha viszont N nem normál, és így eleme önmagának, akkor normál osztálynak kell lennie, mert a definíció szerint N minden eleme normál. Röviden: N akkor és csak akkor normál, ha N nem normál. Ez a súlyos ellentmondás az osztály látszólag kristálytiszta fogalmának kritikátlan alkalmazásából származik. Késıbb találtak más paradoxonokat is; ezek mindegyikét ismert és látszólag meggyızı következtetési módszerekkel konstruálták. A nem véges modellek saját természetükbıl adódóan olyanok, hogy lehetıséget nyújtanak ellentmondásos posztulátumrendszerek használatára. Így vált világossá, hogy bár a modell-módszer nagyon értékes matematikai eszköz axiómák konzisztenciájának megállapítására, ez a módszer mégsem ad végleges választ a megoldandó problémára.

A Hilbert-féle metamatematika A kiváló német matematikus, David Hilbert ellentétes megközelítést választott a modellek elkerülésére és arra, hogy a matematikát mindenféle jelentéstıl megszabadítsa. A Hilbert-féle teljes formalizálásban a matematikai kifejezéseket egyszerően üres jelképeknek tekintjük. A (kalkulusnak nevezett) jelrendszerbıl felépített posztulátumok és tételek egyszerően jelentés nélküli, szigorú megállapodás szerint világosan megfogalmazott szabályokkal összekapcsolt jelsorozatok. A tételek posztulátumából való levezetése felfogható úgy is, mint jelsorozatok egyik halmazának pontos mőveleti szabályok alapján történı átalakítása egy másik ilyen halmazzá. Hilbert remélte, hogy ily módon elkerüli azt a veszélyt, hogy az okoskodás során valamilyen kimondatlan elvet alkalmazzon. A formalizálás nehéz és bonyolult dolog, de értékes célt szolgál. Leplezetlen világossággal tárja fel a logikai relációkat, és egy gép számára is megfelelı munkamodell. Lehetıvé teszi, hogy lássuk a különbözı jel-“sorok” szerkezeti mintáit: hogyan függnek össze egymással, hogyan kapcsolódnak egymáshoz, hogyan illeszkedik egyik a másikba, és így tovább. Egy ilyen formalizált matematika “jelentés nélküli” jeleivel teleírt lap nem állít semmit, egyszerően egy bizonyos struktúrával rendelkezı absztrakt vázlat vagy mozaik. Leírhatók azonban egy ilyen renszer konfigurációi, és állítások tehetık különbözı egymás közti viszonyaikról. Mondhatjuk azt, hogy egy “sor” szép, vagy hasonlít egy másikhoz, vagy az egyik “sor” három másikból áll, és így tovább. Az ilyen állítások nyilván értelmesek lesznek. Mármost nyilvánvaló, hogy egy jelentés nélküli rendszerrıl szóló jelentéssel rendelkezı állítások maguk nem tartoznak ehhez a rendszerhez. Hilbert ezeket az állításokat külön tartományba utalta, amelyet “metamatematikának” nevezett el. A metamatematikai állítások valamely formalizált matematikai rendszer jeleirıl és kifejezéseirıl szóló állítások: arról szólnak, hogy milyen fajtái vannak e jeleknek, és milyen elıírások vonatkoznak rájuk, amikor “formuláknak” nevezett hosszabb jelsorokat alkotva kapcsolódnak össze, vagy arról, hogy milyen relációk állhatnak fenn a formulák között az elıre megszabott mőveleti szabályok következtében. Néhány példával szemléltetjük a Hilbert által megfogalmazott különbséget a matematika (jelentés nélküli kifejezések rendszere) és a metamatematika (a matematikáról szóló állítások) között. Vizsgáljuk a 2+3 = 5 aritmetikai kifejezést! Ez matematikai kifejezés, és csak elemi jelekbıl épül fel. Errıl a kijelentésrıl állíthatunk is valamit, pélául: “ ‘2+3 = 5’aritmetikai formula”. Ez az állítás nem aritmetikai tényt fejez ki, hanem metamatematikai jellegő, mert aritmetikai jelsort jellemez. Hasonlóképpen az ‘x = x’ matematikai kifejezés, de az ” ’x’ egy változó” állítás metamatematikai. Ugyancsak metamatematikai állítás a következı: ”A ’0 = 0’ formula levezethetı az ’x = x’ formulából, ha az ’x’ változót a ’0’ számjeggyel helyettesítjük”. Ez az állítás azt írja le, hogy az egyik aritmetikai formulát miként kaphatjuk meg a másik formulából, tehát azt írja le, hogyan függ össze a két formula egymással. A ” ’0 ≠ 0' nem tétel” szintén metamatematikai állítás. Azt jelenti, hogy a kérdéses formula nem vezethetı le az aritmetika axiómáiból, vagy más szavakkal, egy bizonyos reláció nem áll fel a rendszer meghatározott formulái között. Végül, a következı állítás is a metamatematikához tartozik: “az aritmetika konzisztens” (azaz az aritmetika axiómáiból nem vezethetı le a 0 = 0 formula is, és az 0 ≠ 0 formula is).

K

A K és L osztályról szóló posztulátmok halmazának MODELLJE egy olyan háromszög, amelynek a csúcsai K elemei, az oldalai pedig L elemei. A geometriai modell azt mutatja, hogy a posztulátumok konzisztensek.

Ezen az alapon – a metamatematikai leírásokat elválasztva magától a matematikától – Hilbert megpróbált felépíteni egy módszert a matematikai rendszerek belsı konzisztenciájának “abszolút” bizonyítására. Elsısorban olyan bizonyításelmélet kidolgozására törekedett, amely a teljesen formalizált (vagy “nem értelmezett”) kalkulusban a kifejezések pusztán szerkezeti jellegzetességének elemzéséval igazolná a konzisztenciát. Egy ilyen elemzés kizárólag a formulákban szereplı jelek fajtáinak és elıírásainak számbavételébıl és annak eldöntésébıl áll, hogy az explicit módon megfogalmazott mőveleti szabályok szerint egy adott jelkombináció megkapható-e más jelkombinációkból. Az aritmetika konzisztens voltának abszolút bizonyítása – ha felépíthetı volna – abból állna, hogy “finit” (nem végtelen) jellegő metamatematikai eljárásokkal kimutatná: érvényes következtetési szabályokkal sem axiómákból, sem kiinduló formulákból nem lehet két “ellentmondó” formulát levezetni, például azt, hogy (0 = 0) és a negációját. Illusztrációképpen hasznos lehet összehasonlítani a metamatematikát mint bizonyításelméletet a sakkelmélettel. A sakkot 32 elıírt alakú figurával játsszák egy 64 kisebb négyzetre osztott négyzet alakú táblán, ahol a figurák rögzített szabályok szerint mozoghatnak. A játékon kívül sem a figurák, sem a négyzetek, sem a figuráknak a táblán elfoglalt helyzete nem jelent semmit. Ebben az értelemben a figurák és elhelyezkedésük a táblán “jelentés nélküli”. A játék tehát hasonló egy formalizált matematikai kalkulushoz. A figurák és a tábla mezıi megfelelnek a kalkulus elemi jeleinek; a figurák kiinduló helyzete megfelel a kalkulus axiómáinak vagy kiinduló formuláinak; az egymás után következı helyzetek megfelelnek az axiómákból levezetett formuláknak (azaz a tételeknek), a játékszabályok pedig a kalkulus következtetési szabályainak. Bár a figurák elhelyezkedése a táblán “jelentés nélküli”, az ezekre a helyzetekre vonatkozó állításoknak éppúgy van jelentése, mint a matematikai formulákról tett metamatematikai állításoknak. Egy “metasakk” állítás például azt állítja, hogy világosnak 20 lehetséges nyitólépése van, vagy hogy ha adott a figurák egy bizonyos elhelyezkedése, és a világos lép, sötét három lépésben mattot kap. Sıt, általános “metasakk” tételek is bizonyíthatóak a táblán megengedett véges számú helyzetek alapján. Így állítható fel a világos kezdılépéseinek

számára vonatkozó metasakk tétel, és az a metasakk tétel is, hogy ha világosnak csak két huszárja van, akkor nem tud mattot adni sötétnek. Más szóval, az ilyen és ehhez hasonló “metasakk” tételek finit okoskodási módszerekkel bizonyíthatók, azaz oly módon, hogy megvizsgáljuk a véges számú lehetséges helyzetek mindegyikét, amelyek megállapított körülmények között elıfordulhatnak. Hilbert bizonyításelméletének ugyanígy az volt a célja, hogy egy adott kalkulusban ilyen finit módszerekkel bebizonyítsa: ellentétes formulák levezetése lehetetlen egy kalkuluson belül.

A Principia Hilbert módszere, összekapcsolva magának a logikának a formalizálásával, amelyet Alfred North Whitehead és Bertrand Russell valósított meg a Principia Mathematicában, vezetett ahhoz a válsághoz, amelyre Gödel adott végsı választ.

Bernhard Riemann NEM EUKLIDESZI GEOMETRIÁJA ábrázolható egy euklideszi modellel. A sík egy euklideszi gömbfelület lesz, a síkon levı pontok a gömbfelület pontjai, az egyenesek pedig fıkörök lesznek. A sík egyenes szakaszok által határolt részének tehát megfelel a gömb fıkörívek által határolt része (középen). Két párhuzamos szakasz két fıkörív (lenn), és ezek, ha meghosszabbítjuk ıket, valójában metszik egymást, így ellentmondanak a párhuzamossági axiómának.

Az 1910-ben kiadott Principia fı célja annak bizonyítása volt, hogy a matematika csak a logika egyik fejezete. Most azonban fıleg két eredménye érdekes számunkra. Elıször is, George Boole 19. századi úttörı munkáját követve, megadott egy olyan szimbólumrendszert, amely lehetıvé tette a tiszta matematika minden állításának standard kodifikálását (lásd John E. Pfeiffer: Symbolic Logic. “Scientific American”, 1950. december). Másodszor, explicit alakban kifejezte a formális logikának a matematikai bizonyításokban alkalmazott legtöbb szabályát. Így a Principia nélkülözhetetlen eszköznek bizonyult az aritmetika egész rendszerének mint olyan

“jelentés nélküli” jelrendszernek a vizsgálatához, amely explicit módon megfogalmazott szabályok szerint mőködtethetı. Most elkezdjük a Principia egy kis részletének, a kijelentések elemi logikájának a formalizálását. A feladat az, hogy ezt a részletet átalakítsuk nem értelmezett jelek “jelentés nélküli” kalkulusává, leírjunk egy módszert annak bizonyítására, hogy a kalkulus ellentmondásmentes. Az eljárás négy lépésbıl áll. Elıször, pontosan meg kell határoznunk a kalkulusban alkalmazandó jelek teljes “szókészletét”. Másodszor, megállapítjuk a “képzési szabályokat” (a “nyelvtani” szabályokat), amelyek megmutatják, hogy milyen jelkombinációk engedhetık meg mint formulák (vagy “mondatok”). Harmadszor, megnevezzük a “transzformációs szabályokat”, amelyek azt mondják meg, hogyan lehet formulákat levezetni más formulákból. Végül, kiválasztunk bizonyos formulákat mint az egész rendszer alapjait alkotó axiómákat. A rendszer “tételei” mindazok a formulák – az axiómákkal együtt –, amelyek az axiómákból a transzformációs szabályok alkalmazásával levezethetık. Egy “bizonyítás” olyan szabályos formulák véges sorozata, amelyek mindegyike egy axióma, vagy transzformációs szabályokkal levezethetı a sorozatban elızıleg szereplı formulákból. A kijelentések elemi logikájának (gyakran “kijelentéskalkulus”-nak is nevezik) a szókészlete igen egyszerő. A “kijelentés”-változók (amelyek mondatoknak vagy állításoknak felelnek meg) bizonyos betők: p, q, r stb. Azután van néhány kapcsolójel: “nem” helyett ~ áll, “vagy” helyett v, “ha..., akkor helyett ⊃, “és” helyett pedig &. Az írásjelek szerepét a zárójelek veszik át. Mindegyik kijelentésváltozó formula, és a jeleket a képzési szabályok szerint összekapcsolva más formulákat alkothatunk, például p ⊃ q. Ha egy adott mondat (p ⊃ q) formula, akkor a negációja is az: ~ (p ⊃ q). Ha két mondat, S1 és S2, formula, akkor kombinációjuk (S1) v (S2), is az. Hasonló konvenciók érvényesek a többi kapcsolójelre. 1. (p v p) ⊃ p Ha p, vagy p, akkor p

Ha vagy VIII. Henrik bugris volt, vagy VIII. Henrik bugris volt, akkor VIII. Henrik bugris volt. Ha a pszichoanalízis hatásos, akkor vagy a 2. p ⊃ (p v q) pszichoanalízis hatásos, vagy a fejfájás Ha , akkor vagy p, vagy q elleni porok jobbak. Ha vagy Immanuel Kant pontos volt, vagy 3. (p v q) ⊃ (q v p) Hollywood züllött, akkor vagy Hollywood Ha vagy p, vagy q, akkor vagy q, vagy p züllött, vagy Immanuel Kant pontos volt. Ha abból, hogy a kacsák totyognak, 4.(p ⊃ q) ⊃ [ (r v p) ⊃ (r v q)] Ha p-bıl következik q, akkor (vagy r, következik, hogy √2 egy szám, akkor vagy p)-bıl következik (vagy r, vagy q) abból, hogy (vagy Churchill konyakot iszik, vagy a kacsák totyognak) következik, hogy (vagy Churchill konyakot iszik, vagy √2 egy szám). A KIJELENTÉSKALKULUS vagy a kijelentések elemi logikája négy axiómára épül. A képtelen állítások szemléltetik, hogy mennyire általános a szimbólumok jelentése.

Csak két transzformációs szabály van. Az egyik a helyettesítési szabály. Ez azt mondja ki, hogy ha egy kijelentésváltozókat tartalmazó mondatból indulunk ki, akkor bármely tetszıleges formulával helyettesíthetık ezek a változók. Az új mondat logikai következménye lesz az eredetinek. Így például, ha elfogadtuk a p ⊃p (ha p, akkor p) formulát, akkor p-t mindig helyettesíthetjük q-val, s tételként a q ⊃ q formulát kapjuk; vagy p-t helyettesíthetjük (p v q)-val, és így a (p v q) ⊃ (p v q) formulát kapjuk. A másik szabály, a leválasztás szabálya egyszerően azt mondja ki, hogy ha az S1 és az S1 ? S2 mondat logikailag igaz, akkor az S2 mondatot is logikailag igaznak fogadhatjuk el. A kalkulusnak négy axiómája van – lényegében ezek szerepelnek a Principiában is –, amelyeket a fenti táblázatban képtelen mondatokkal együtt közöltünk, hogy illusztráljuk függetlenségüket a jelentéstıl. A fordítások esetlensége, különösen a negyedik axióma esetében, talán segít majd az olvasónak megérteni, hogy milyen elınyökkel jár egy különleges szimbólumrendszer használata.

Egy bizonyítás keresése Az említett axiómák mindegyike “nyilvánvalónak” és triviálisnak tőnik. Az ismertetett transzformációs szabályok segítségével mégis levezethetı belılük egy meghatározatlan nagyságú tételosztály, s a levezetett tételek korántsem nyilvánvalóak vagy triviálisak. Most azonban nem az érdekel bennünket, hogy miként vezethetık le tételek az axiómákból, hanem annak igazolása, hogy ez az axiómahalmaz nem ellentmondásos. Azt akarjuk bizonyítani, hogy a transzformációs szabályokat alkalmazva az axiómákból semmiféle S formula (azaz olyan kifejezés, amely közönségesen mondatnak tekintendı) nem vezethetı le a negációjával, ~ S-sel egyidejőleg. Igazolható, hogy p ⊃ (~ p ⊃q) (ha p, akkor ha nem p, akkor q) a kalkulus egyik tétele. A bizonyítás kedvéért tegyük fel, hogy S formula és a vele ellentétes ~ S is levezethetı az axiómákból, és a következményket ellenırizzük e tétel segítségével! A tételben S-sel helyettesítve p-t – ahogy ezt a helyettesítési szabály megengedi –, elıször az S ⊃ (~ S ⊃q) formulát kapjuk. Feltételezve, hogy S bizonyíthatóan igaz, ezután a leválasztási szabállyal ~ S ⊃q adódik. Végül, ha feltesszük, hogy ~ S is bizonyítható, akkor a leválasztási szabály szerint q-t kapjuk. Mivel q-t bármely tetszıleges formulával helyettesíthetjük, ez azt jelenti, hogy bármely tetszıleges formula levezethetı az axiómákból. Ha tehát mind S, mind a vele ellentétes ~ S levezethetı volna az axiómákból, akkor bármely formula levezethetı volna. Arra a következtetésre jutunk, tehát, hogy ha a kalkulus nem konztisztens (azaz ha S és ~ S is levezethetı), akkor bármely tétel levezethetı az axiómákból. Eszerint az a feladat, hogy bebizonyítsuk a kalkulus konzisztenciáját, leegyszerősödött arra a feladatra, hogy legalább egy olyan formulát találjunk, amelyik nem vezethetı le az axiómákból. Ezt a célt úgy érhetjük el, hogy metamatematikai vizsgálatnak vetjük alá a rendszert. Ez az eljárás elegáns. Az a lényege, hogy meg kell találni a formuláknak egy olyan sajátosságát, amely kielégíti a következı három feltételt: 1. mind a négy axiómára jelemzı; 2. “öröklıdı” azaz az axiómákból levezethetı bármely formulának (azaz bármely tételnek) rendelkeznie kell ezzel a tulajdonsággal; 3. kell lennie legalább egy olyan formulának, amelyik nem rendelkezik ezzel a sajátossággal, tehát nem tétel. Ha

sikerül teljesíteni ezt a háromszoros feladatot, akkor megkapjuk az axiómák konzisztenciájának abszolút bizonyítását. Ha találunk olyan jelsorozatot, amely megfelel a formula követelményeinek, de nem rendelkezik a kijelölt sajátossággal, akkor ez a formula nem lehet tétel. Más szavakkal, a rendszer konzisztenciájának igazolásához elegendı egyetlen olyan formulát találni, amelyik nem tétel. Szükséges sajátosságként válasszuk a “tautológia” tulajdonságot. A hétköznapi nyelvben rendszerint a redundáns állítást tekintik tautológiának, például: “János Károly apja, és Károly János fia.” A logikában azonban a tautológiát olyan állításként definiáljuk, amely kizárja a logikai lehetetlenséget, például : ”Vagy esik az esı, vagy nem esik az esı.” Más szavakkal ezt úgy szokták kifejezni, hogy egy tautológia “minden lehetséges világban igaz”. Ezt a definíciót alkalmazzuk a vizsgálandó rendszer formuláira. Egy formuláról akkor mondjuk, hogy tautológia, ha mindig igaz, tekintet nélkül arra, hogy elemi alkotórészei (p, q, r, stb) igazak vagy hamisak. Mármost mind a négy axiómánk nyilvánvalóan rendelkezik a tautológia tulajdonsággal. Például az elsı axióma, (p v p) ⊃ p, igaz, függetlenül attól, hogy p igaz, vagy hamis. Az axióma például ezt állítja: “ha vagy a Rainier hegy 20 000 láb magas, vagy a Rainier hegy 20 000 láb magas, akkor a Rainier hegy 20 000 láb magas.” Mindegy, hogy a Rainier hegy valóban 20 000 láb magas-e vagy sem, az állítás mindkét esetben igaz. Egy hasonló bizonyítást elvégezhetünk a többi axiómára is. Ezután igazolható, hogy a “tautológia” tulajdonság a transzformációs szabályok értelmében öröklıdik, bár most mellızzük a bizonyítást. Ebbıl következik, hogy az axiómákból helyesen levezetett minden formula (azaz minden tétel) szükségképpen tautológia. Miután ezt a két lépést végrehajtottuk, csak az a feladat, hogy keressünk egy olyan formulát, amelyik nem tautológia. Nem nehéz ilyen formulát találni. Például p v q megfelel a követelményeknek. Nyilván nem tautológia, hiszen ugyanazt jelenti, mintha ugyanazt mondanánk: “Vagy János filozófus, vagy Károly olvassa a Scientific Americant”. Ez kétségtelenül nem logikai igazság; nem alkotórészeinek igaz vagy hamis voltától függetlenül igaz mondat. Tehát bár p v q kislibának készült, kiskacsa lett; formula, de nem tétel. Elértük célunkat. Találtunk legalább egy olyan formulát, amelyik nem tétel, ezért az axiómák szükségképpen konzisztensek.

Gödel válasza A kijelentéskalkulus egy olyan matematikai rendszer példája, amelyben teljesen megvalósíthatók Hilbert bizonyításelméletének céljai. Ez a kalkulus azonban a formális logikának csak egy töredékét kodifikálja. A kérdés továbbra is megmarad: Bizonyíthatóe, hogy egy az egész aritmetikát magába foglaló formalizált rendszer a Hilbert-féle program értelmében konzisztens? Ezt a rejtélyt oldotta meg Gödel. 1931-es cikkében kimutatta, hogy minden ilyen, az aritmetika ellentmondásmentességének bizonyítására irányuló kísérlet reménytelen. Két fı következtetése volt. Elıször is kimutatta, hogy lehetetlen metamatematikailag bizonyítani egy olyan rendszer konzisztenciáját, amely elég átfogó ahhoz, hogy az egész aritmetikát tartalmazza, hacsak maga a bizonyítás nem alkalmaz sokkal erısebb következtetési szabályokat, mint a rendszerben a tételek levezetésekor

használt transzformációs szabályok. Röviden: csak azért pusztítottunk el egy sárkányt, hogy egy másikat teremtsünk. Gödel másik fı következtetése még meglepıbb és forradalmibb volt, hiszen nyilvánvalóvá tette, hogy alapvetıen korlátozottak magának az axiomatikus módszernek a lehetıségei. Gödel kimutatta, hogy lényegénél fogva nem teljes sem a Principia, sem semmiféle más rendszer, amelyen belül felépíthetı az aritmetika. Más szavakkal, bármely konzisztens aritmetikai axiómahalmaz esetén vannak a halmazból nem levezethetı igaz aritmetikai állítások. Az eddig minden bizonyítási kísérletnek ellenálló matematikai “tétel” klasszikus példája Christian Goldbachnak az az állítása, hogy minden páros szám két prímszám összege. Még egyetlen olyan páros számot sem találtak, amelyik nem két prímszám összege, de azt sem sikerült még senkinek sem bebizonyítania, hogy a szabály kivétel nélkül minden páros számra érvényes. Gödelnek válaszolva esetleg felvethetnénk, hogy nem lehetne-e úgy módosítani vagy kibıvíteni az aritmetikai axiómák halmazát, hogy a “levezethetetlen” állításokat levezethetıvé tegyük. Gödel azonban megmutatta, hogy ez a megközelítés sem ígér végleges megoldást. Vagyis akárhány véges sok új axiómát csatolunk is a rendszerhez, mindig lesznek olyan aritmetikai igazságok, amelyek formálisan nem vezethetık le. Hogyan bizonyította következtetéseit Gödel? Tanulmánya nehéz. Az olvasónak el kell sajátítani 46 elızetes definíciót és több fontos elızetes tételt, mielıtt eljut a fı eredményekhez. Mi sokkal könnyebb úton haladunk; ennek ellenére reméljük, hogy legalább nagyjából megvilágíthatjuk az érvelést.

A Gödel-számok Gödel elıször is kigondolt egy olyan módszert, amellyel egy formalizált rendszerben minden elemi jelhez, minden formulához és minden bizonyításhoz hozzárendel egy számot mint címkét. Az elemi jelekhez az 1-tıl 10-ig terjedı egész számokat kapcsolta “Gödel-számként”; a változójelekhez bizonyos szabályok szerint rendelte hozzá a számokat. . . . Hogy lássuk, miként adható meg a rendszer egy formulájának Gödel-száma, vegyük a következı példát: (∃ x) (x = S y); ez szavakkal kifejezve azt jelenti, hogy “van olyan x, hogy x y közvetlen rákövetkezıje”. A formulában szereplı 10 egymást követı jelhez kapcsolódó számok a következık: 8, 4, 13, 9, 8, 13, 5, 7, 16, 9 (lásd a következı oldalon levı táblázatot). Most ezeket a számokat az elsı 10 prímszám (azaz 2, 3, 5 stb.) exponenseként vagyis hatványkitevıjeként kell használni. Az e hatványokra emelt prímszámokat összeszorozzuk. Így a következı számot kapjuk: 2 8 · 3 4 · 5 13 · 7 9 · 11 8 · 13 13 · 17 5 · 19 7 · 23 16 · 29 9. · A szorzat a formula Gödel-száma. Minden formula ugyanígy kifejezhetı egyetlenegy számmal. KONNEKTÍVUMOK ÉS ELEMI JELEK Jelek

Gödel-szám

Jelentés

~ v

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

⊃ ∃ = 0 S ( ) ,

Nem Vagy ha…, akkor van olyan… Egyenlı Nulla a közvetlenül következı szám írásjel írásjel írásjel

KIJELENTÉSVÁLTOZÓK (MINDEGYIKET EGY 3-MAL OSZTHATÓ ÉS 10-NÉL NAGYOBB SZÁM JELÖLI) Változók p q

Gödel-szám 12 15 18

r

Példa VIII. Henrik bugris volt A fejfájás elleni porok jobbak A kacsák totyognak

INDIVIDUUMVÁLTOZÓK (MINDEGYIKET EGY OLYAN 10-NÉL NAGYOBB SZÁM JELÖLI, AMELYNEK, HA 3-MAL OSZTJUK, A MARADÉKA 1) Változók x y z

Gödel-szám 13 16 19

Jelentés számváltozó számváltozó számváltozó

PREDIKÁTUMVÁLTOZÓK (MINDEGYIKET EGY OLYAN 10-NÉL NAGYOBB SZÁM JELÖLI, AMELYNEK, HA 3-MAL OSZTJUK, A MARADÉKA 2 ) Változók p q r

Gödel-szám 14 17 20

Példa Bugrisnak lenni Fejfájás elleni pornak lenni Kacsának lenni

A fenti táblázatban szemléltetett szabályos séma szerint ELEMI GÖDEL -SZÁMOK jelölnek a Gödel szimbolikus logikai rendszerében használt minden szimbólumot.

Hasonló eljárással számmal címkézhetjük meg a valamilyen bizonyításban esetleg elıforduló formulasorozatokat. Mondjuk, van egy két formulából álló formulasorozatunk, amelyben a második formula az elsıbıl származott. Például y-t 0-val helyettesítve a fentebb említett formulában. a (∃ x) (x = S0) formulát kapjuk; e szerint 0-nak van közvetlen rákövetkezıje. Most Gödel-számokkal azonosítjuk a formulákat, s az elsıt mnek, a másodikat n-nek fogjuk nevezni. E sorozat címkézését úgy végezzük el, hogy az m és n Gödel-számot kitevıként használjuk, s az ezekre a kitevıkre emelt elsı két prímszámot (2 és 3) összeszorozzuk. Azaz a sorozatot azonosító Gödel-szám 2m · 3n.

Ehhez hasonlóan a rendszer bármely formulasorozatához és bármely más kifejezéséhez megadhatunk egy számot.

A B C A B C D E

100 4 · 25 22·52 162 2 · 81 21·34 1 4 ↓ ↓ ~ ∃ ~∃

Formulák GÖDEL-SZÁMÁT úgy szerkesztjük meg, hogy a prímszámokat sorra a hozzájuk tartozó szimbólumok Gödel-számának megfelelı hatványra emeljük. 100 tehát nem Gödel-szám, mert tényezıi között nem szerepel a 3-as prímszám. 162 viszont a “nincs olyan” Gödel-száma. Eddig nem tettünk mást, mint megalapoztunk egy formális rendszer teljes aritmetizálására alkalmas módszert. A módszer lényege egy utasításhalmaz, amelynek segítségével egy- egyértelmő megfelelés létesíthetı meghatározott számok és a rendszer különbözı elemei vagy elemkombinációi között. Ha adott egy kifejezés, akkor egyértelmően megadható a száma. Sıt mi több, bármely Gödel-számot visszafordíthatunk az általa jelképezett kifejezésre úgy, hogy felbontjuk az ıt alkotó prímszámokra. Az aritmetika egyik ismert tételébıl tudjuk, hogy ezt csak egyféleképpen lehet megtenni (lásd a következı táblázatot). Más szavakkal, szétszedhetjük a számot, mintha gép volna, megnézhetjük, hogyan szerkesztették, és mibıl állt össze; ugyanígy felbonthatunk egy formulát vagy bizonyítást is.

A B C D

E

125 000 000 64 · 125 · 15 625 26·35·56 656 ↓↓↓ 0=0 0=0

A “nulla egyenlı a nullával” ARITMETIKAI FORMULA Gödel-száma 125 millió. Ha A-tól Eig lefele olvassuk, akkor a táblázat azt mutatja, hogyan fordíthatunk le egy számot az általa jelképezett kifejezésre. Alulról felfelé olvasva azt mutatja, hogyan adódik a szám a formulára.

Ez vezet a következı lépéshez. Gödel rájött, hogy a metamatematikai állítások a térképezéshez hasonló eljárással lefordíthatók aritmetikai kifejezésekre. A földrajzban a gömb alakú földön levı pontok közti térbeli viszonyok sík térképre vetíthetık; a matematikai fizikában az elektromos áram tulajdonságai közötti összefüggések letérképezhetık a folyadékáramlás kifejezéseivel; magában a matematikában a geometriai relációk lefordíthatók az algebra nyelvére. Gödel megértette, hogy ha egy rendszerre vonatkozó bonyolult metamatematikai állítások magán a rendszeren belül lefordíthatók volnának aritmetikai állításokra, akkor jóval világosabban fejezhetnénk ki gondolatainkat, és az elemzés lényegesen könnyebbé válhatna. Nyilván könnyebb a bonyolult logikai relációk aritmetikai megfelelıivel foglalkozni, mint magukkal a logikai relációkkal. Egy triviális hasonlatot említünk: Ha egy áruházban a vásárlóknak számozott cédulákat adnak, s ezek a cédulák határozzák meg, hogy milyen sorrendben szolgálják ki ıket, akkkor csupán a számokat kell figyelemmel kísérni, és egyszerően megállapítható, hány embert szolgáltak ki, hányan várnak még, ki ki elıtt kerül sorra, és hány vásárló következik még utána stb. Gödel nem kisebb célt akart elérni, mint a metamatematika teljes aritmetizálását. Ha a formális rendszerben minden metamatematikai állítás egyértelmően reprezentálható volna egy számok közötti relációt kifejezı formulával, akkor a metamatematikai állítások közötti logikai összefüggések feltárhatók volnának az egész számok közötti megfelelı relációk vizsgálatával. Ami azt illeti, Gödel valóban nagyszerően leképezte az aritmetika metamatematikáját magára az aritmetikára. Elegendı egy példa annak illusztrálására, hogyan feleltethetı meg valamely metamatematikai állítás a formális aritmetikai rendszer egy formulájának. Vegyük a (p v p) ⊃ p formulát! Azt a metamatematikai állítást tehetjük, hogy a (p v p) formula az egész formula elsı része. Ezt a metamatematikai állítást reprezentálhatjuk egy olyan aritmetikai formulával, amely szerint az elsı rész Gödel-száma tulajdonképpen az egész formula Gödel-számának egyik tényezıje. Ez nyilván így van, hiszen a (p v p) formula Gödel-száma 2 8 · 3 12 · 5 2 · 7 12 · 11 9, míg az egész (p v p) ? p formula Gödel-száma 2 8 · 3 12 · 5 2 · 7 12 · 11 9 · 13 3 · 17 12.

Az ábra szemléleti objektumok LEKÉPEZÉSÉT egyik tartományból egy másikba. A felsı, vízszintes síkon levı pontok egyértelmően leképezhetık az alsó, hátsó részétıl az eleje felé lejtı síkra, mégpedig úgy, hogy egyetlen pontból kiinduló egyeneseket húzunk a felsı sík pontjain keresztül, és meghosszabbítjuk ıket, amíg nem metszik az alsó síkot. A felsı síkon levı kör így az alsón ellipszisként jelenik meg. Gödel az aritmetikáról szóló állításokat aritmetikai kifejezésekként képezte le.

Az eldönthetetlen kijelentés Most érkeztünk el Gödel elemzésének leglényegesebb pontjához. Megmutatta, hogyan szerkeszthetı egy olyan formula – a Gödel-száma legyen h –, amelyik megfelel a következı metamatematikai állításnak: “A h Gödel-számú formula nem bizonyítható.” Más szóval, ez a formula (nevezzük G-nek) – noha az aritmetika formális rendszeréhez tartozó, helyes formula – a saját bizonyíthatatlanságát állítja. Ezután Gödel azt a kérdést vizsgálta, hogy G bizonyítható formulája-e az aritmetikának vagy nem. Sikerült kimutatnia, hogy G akkor és csak akkor bizonyítható, ha a negációja, ~ G is bizonyítható. Ha viszont egy axiómahalmazból valamely formula és a formula negációja egyaránt levezethetı, akkor az axiómák nyilvánvalóan nem konzisztensek. Ha tehát az aritmetika konzisztens, akkor sem G, sem a negációja nem bizonyítható. Ebbıl Gödel bebizonyította annak a kijelentésnek a bizonyíthatatlanságát, hogy az aritmetika konzisztens. Igazolható, hogy az aritmetika konzisztens voltát kifejezı metamatematikai álllítás megfelel egy bizonyos aritmetikai formulának, A-nak. és az is igazolható, hogy az A ⊃ G (ha A, akkor G) aritmetikai formula bizonyítható. Ha tehát A bizonyítható volna, akkor G-nek is bizonyíthatónak kellene lennie, de éppen most láttuk, hogy G nem bizonyítható. Következésképpen A eldönthetetlen. Röviden: az aritmetika konzisztenciája eldönthetetlen minden olyan metamatematikai okoskodással, amely kifejezhetı az aritmetika formális rendszerén belül. Gödel elemzése nem zárja ki az aritmetika konzisztenciája metamatematikai bizonyításának lehetıségét; valóban fel is építettek ilyen bizonyításokat, elsısorban Gerhard Gentzen, a Hilbert-iskola tagja. Ezek a “bizonyítások” azonban bizonyos

értelemben céltalanok, mert olyan következtetési szabályokat alkalmaznak, amelyeknek a belsı konzisztenciája ugyanannyira kétséges, mint magának az aritmetikának a formális konzisztenciája. A Gentzen bizonyításában használt egyik következtetési szabály tulajdonképpen megengedi egy formula levezetését végtelen premisszaosztályból is. És ennek a nem finit metamatematikai fogalomnak az alkalmazása ismét feltámasztja azt a nehézséget, amelynek a megoldására irányult Hilbert eredeti programja. Van még egy meglepı eredmény. Bár a G formula eldönthetetlen, metamatematikai okoskodással kimutatható, hogy G mégis igaz aritmetikai állítás, és az aritmetikai egész számok tulajdonságát fejezi ki. Ennek a következtetésnek az igazolása egészen egyszerő. Elég felidézni, hogy Gödel metamatematikai állításokat oly módon képezett le aritmetikai formulákra, hogy minden egyes igaz metamatematikai állítás megfelel egy igaz aritmetikai formulának. G pedig egy olyan metamatematikai állításnak felel meg (“A h Gödel-számú formula nem bizonyítható”), amelyik – mint láttuk – igaz, ha az aritmetika nem inkonzisztens. Ebbıl következik, hogy G igaz kell, hogy legyen. Metamatematikai érveléssel tehát aritmetikai igazságot alapoztunk meg. Most Gödel csodálatos és mély intellektuális szimfóniájának fináléjához érkeztünk. Az aritmetika nem teljes abban a közvetlen értelemben, hogy van legalább egy olyan aritmetikai igazság, amely az aritmetika axiómáiból nem vezethetı le, de megalapozható a rendszeren kívüli metamatematikai érveléssel. Egyébként az aritmetika elsısorban azért nem teljes, mert még ha a G igaz formulát axiómának tekintenénk is, és hozzátennénk az eredeti axiómákhoz, a kiegészített rendszer sem volna elég az összes aritmetikai igazságok formális levezetéséhez: még mindig szerkeszthetnénk olyan igaz formulát, amely a rendszeren belül nem volna formálisan bizonyítható. És ugyanez volna a helyzet, bármilyen gyakran ismételnénk meg azt az eljárást, hogy axiómákat adunk hozzá az eredeti halmazhoz. Ez a meglepı következtetés nyilvánvalóvá teszi az axiomatikus módszer belsı korlátozottságát. Az elızetes feltételezésekkel szemben, az aritmetikai igazság hatalmas “kontinensén” úgy nem alakítható ki szisztematikus rend, hogy egyszer s mindenkorra pontosan meghatározunk egy rögzített axiómahalmazt, amelybıl minden igaz aritmetikai állítás formálisan levezethetı. Az ember és a számítógép Gödel következtetéseinek széles körő jelentıségét még nem tártuk fel teljesen. E következtetések elárulják, hogy reménytelen vállalkozás abszolút bizonyítást keresni minden, az egész aritmetikát kifejezı deduktív rendszer konzisztens voltára, ha egy ilyen bizonyításnak ki kell elégítenie Hilbert eredeti programjának finit követelményeit. Azt is kimutatják, hogy végtelen sok olyan igaz aritmetikai állítás van, amely a következtetési szabályok valamilyen zárt halmaza alapján nem veztehetı le semmiféle pontosan meghatározott axiómahalmazból. Következésképpen például a számelmélet axiomatikus megközelítése nem merítheti ki az aritmetikai igazság tartományát. Még vita tárgya, hogy kigondolható-e a matematikai vagy logikai igazság mindent magába foglaló, általános definíciója, és hogy – mint, úgy látszik, Gödel is hiszi – csak teljesen következetes platóni realizmus szolgáltathat-e ilyen definíciót. Gödel eredményei azzal a kérdéssel is összefüggnek, hogy felépíthetı-e egy olyan számítógép, amely a matematikai okoskodás terén felér az emberi aggyal. A jelenlegi

számítógépekbe rögzített számú utasítást építettek be, és szakaszos módszerel mőködnek. Gödel nem teljességi tétele alapján azonban végtelen sok olyan elemi számelméleti probléma van, amelyre ezek a gépek természetükbıl fakadóan képtelenek választ adni, akármilyen bonyolult legyen is beépített szerkezetük és akármilyen gyorsan mőködnek. El kell ismerni, az emberi agynak is meglehetnek a maga beépített korlátai, és lehetnek számára is megoldhatatlan matematikai problémák. Ennek ellenére, úgy látszik, az emberi agy mőveleti szabályok olyan struktúráját testesíti meg, amely sokkal hatékonyabb, mint a jelenleg tervezett mesterséges gépek struktúrája. Nincs közvetlen lehetıség az emberi értelem robotokkal való helyettesítésére. Nem kell, hogy Gödel bizonyítása kétségbeesést idézzen elı. Az a felfedezés, hogy vannak formálisan nem bizonyítható aritmetikai igazságok, nem jelenti azt, hogy vannak örökre megismerhetetlen igazságok, vagy hogy misztikus intuíciónak kell a meggyızı bizonyítás helyébe lépnie. Csak annyit jelent, hogy az emberi intellektus segédeszközeit nem formalizáltuk teljesen, és nem is lehet teljesen formalizálni, s hogy a bizonyítás új elveit mindig újra fel kell találni, fel kell fedezni. Láttuk, hogy egy adott axiómarendszerbıl formális dedukcióval nem megalapozható matematikai kijelentések megalapozhatók “informális” metamatematikai okoskodással. Lehetelen az emberi aggyal egyenértékő számítógépet szerkeszteni, de ez a tény sem jelenti szükségképpen azt, hogy reménytelen vállalkozás az élı anyagot és az emberi értelmet fizikai és kémiai kifejezésekkel megmagyarázni. Gödel nem teljességi tétele nem zárja ki eleve, de nem is állítja határozottan az ilyen magyarázatok lehetıségét. A tétel csak azt jelzi, hogy az emberi értelem szerkezete és teljesítıképessége sokkal bonyolultabb és finomabb, mint amit egy élettelen géptıl elvárhatunk. Gödel saját munkássága figyelemreméltó példája ennek a bonyolultságnak és finomságnak. Nincs ok a csüggedésre, viszont igenis újra kell értékelni az alkotó gondolkodás erejét. 4. függelék. Gál László (2003) Gödeli kérdés* , in Társadalom és logikusság, Kriterion Könyvkiadó, Kolozsvár, 57- 66.

„ Every white hath its black, and every sweet its sour. Proverb 1. Bevezetés A logika alaptörvényei az európai kultúra racionalitásának alappillérei. A teljesítményorientált évezredes tevékenységformák, kezdve az árutermelés központi tényét képezı adás-vételtıl, egészen a tudományokig elutasítják az azonosság tagadását,valamint az állításokhoz egyidıben rendelt igaz és hamis igazságértékeket. Emiatt bármikor az európai ember abba a helyzetbe került, ahol valaminek az állítása illetve tagadása is egyforma státussal volt tételezve, akkor felbomlott magának a racionális voltának az alapjai. Ez pedig azzal a következménnyel járt, hogy a teljesítmény maga lehetetlenné vált. De lehetetlenné vált sokminden más is: a megértés, a *

Eredeti megjelenés angol nyelven (Gödelian question) Studia Universitatis Babeş-Bolyai, Philosophia, 2001,XLVI, 1-2, 83-89.

kommunikáció, a hatékony cselekvés, a hit stb. Ezeket egyetlen szóba lehet összefoglalni, abba, hogy a helyzet eldönthetetlenné vált. Ha valamilyen állításunkról nem dönthetı el sem az hogy igaz, sem az hogy hamis, akkor maga az ismeret, az igaz tudás megléte kérdıjelezıdik meg. Ekkor nincs már többé különbség az igaz és a hamis között, maga a megkülönböztetés értelmetlen. Az igaz ismeret válik kérdésessé, mivelhogy az igaz ismeret, szemben a hamissal kitüntetett szerepő az évezeredes európai megismeréstörténetben. Gödel-tétele pontosan az ellentmondás lıtrejöttérıl és meglétérıl szól. Az ellentmondások elterjedségének és természetének vizsgálata más területeken is mint az aritmetika és a kijelentéskalkulus területei képezik ezen írás témáját. 2. A Gödel-bizonyítás Kurt Gödel híres tételét két területen bizonyította. Az aritmatika területén arra vonatkozik, hogy adott aritmetikai kijelentés igazsága nem bizonyítható. Azaz az aritmetika axiomatikus felépítésének szándéka azt hozza magával, hogy mindig fogunk találni olyan aritmetikai kijelentést amelynek igazságértéke eldönthetetlen. Ez azt jelenti, hogy az illetı axiomatikus rendszer ha eldönthetı, akkor nem teljes, vagy ha teljes, akkor nem eldönthetı. Más szóval, az aritmetika igazságainak összessége nem foglalható egyetelen axiomatikus rendszer kereteibe. A klasszikus kijelentéskalkulus területén Gödel a Principia Mathematica-típúsú rendszerek eldönthetetlenségét igazolta. Az aritmetika eldönthetetlenségét Gödel egy hosszú és nehezen követhetı bizonyításon keresztül mutatta ki. Emiatt itt az egyszerőbb kijelentéskalkulusbeli bizonyítást mutatjuk be. A Principia Mathematica-típúsú rendszeren belül viszont az aritmetika felépíthetı. A Principia Mathematica-típúsú rendszerek bizonyításában Gödel a következı jelölésekbıl indult ki: F (x) egy adott osztály jele, amelyet a benne szereplı predikátum határoz meg, Par (x) a páros számok osztályának jele, {α1, α2, …,αn,…} az osztályjelek halmaza, R az osztályjelek rendezési relációja, n az osztályjel helye a sorozatban. A principia Mathematica-típúsú rendszerekben definiálható mind az osztályjel, mind a rendezési reláció fogalma. [α, n] az α osztályjel helyettesítését jelenti az n hellyel. Így például ha P(x) a 10. helyet foglalja el, ezt úgy jelöljük, hogy [Par (x) ; 10] ≡ Par (10) , ami egyben egy igaz kijelentés. Ellenben a 13. helyre vonatkozóan a [Par (x) ; 13] ≡ Par (13) , egyben egy hamis kijelentés. Legyen K a természetes számok halmaza, amelyben a érvényes a következı definíció:

(1) n ∈ K ≡ ~Bew [R (n) ; n], ahol Bew a német Beweisbar rövidítése és magyarul bizonyíthatót jelent, a ~ jel pedig a negáció jele. Legyen továbbá S, K osztályjele az osztályjelek halmazában, S rendezési kifejezése pedig S = R (q) . Eszerint [S; q] azt jelenti, hogy q ∈ K. A továbbiakban a gödeli bizonyítás célja az, hogy kimutassa [R (q) ; q] eldönthetetlenségét. a) Tételezzük fel, hogy Bew [R(q) ; q], ami azt jelenti, hogy q ∈ K. A bizonyítás elsı lépésében q ∈ K ≡ ~ Bew [R (q) ; q], amit (1)-bıl kaptunk, úgy hogy n-et helyettesítettük q-val. Innen a második lépésben azt kapjuk, hogy ~ Bew [R (q) ; q], az elızı lépésbıl, felhasznnálva a modus ponens következtetési szabályát. Ez viszont ellentmond feltételezésünknek. b) Tételezzük fel, hogy ~ Bew [R (q) ; q], ami azt jelenti, hogy q ∉ K. Itt elsı lépésben azt kapjuk, hogy q ∉ K ≡ ~ ~ Bew [R (q) ; q], szintén az (1)-bõl, ahol n-et helyettesítettük q-val. Alkalmazva a modus ponens következtetési szabályát, illetve a kettõs negáció törvényét azt kapjuk, hogy Bew [R (q) ; q]. Ez szintén ellentmond, ezúttal második feltételezésünknek. A bizonyítás eredményeképpen azt nyertük tehát, hogy [R (q) ; q] állítása és tagadása, azaz hamissága és igazsága egyformán bizonyítható, tehát eldönthetetlen. Általánosítva az állíhatjuk, hogy kaptunk egy olyan p kijelentést, amely önmagáról állítja azt, hogy bizonyíthatatlan. Szimbólumokkal: p = Ind. (“ p “), ahol Ind. az indemonsztrábilis rövidítése. Végigkísérve ezt a Gödeli bizonyítást nem lehet nem észerevenni, hogy feltételezése és eredménye hasonlít a hazug paradoxonához. Értelme szerint pedig azt

fejezi ki, hogy egy “végtelen hurokba”, vagy “ördögi körbe” vezet. Ennek feloldása pedig lehetetelen a megfogalmazás tárgynyelvi szintjén, ami miatt csak egy magasabb szintő, metanyelvben lehetséges. Abban az esetben pedig, ha olyan “p” kijelentést kaptunk, amelynek igazsága eldönthetetlen az adott rendszerben, azonnal adódik a kérdés, hogy valyon egyetlen más rendszerben sem lehetséges ez. De igen. Midig találhatunk olyan más rendszert amelyben a “p” kijelentés igazsága bizonyítható, de ehhez fel kell építeni azt a más rendszert. Más szóval a rendszerek váltogatása elengedhetetlen feltétele annak, hogy minden igazságot bizonyíthatóvá tegyünk. Ennek fordított megfogalmazása pedig az, hogy egyetlen rendszerbe sem fogalalható bele minden igazság. 3. A gödeli kérdés Általánosítva, tehát azt mondhatjuk, hogy bármikor ellentmondásba ütközünk, bizonyos értelemben egy gödeli kérdéssel van dolgunk. A gödeli kérdés így a kijelentések ellentmondó igazságértékeivel kapcsolatos. Fel kell hívjuk viszont a figyelmet arra is, hogy a gödeli kérdés mibenlétébe a bizonyíthatóság is közrejátszik. Arról van szó, hogy a kijelentések igazságértéke egy bizonyos alapon mond ellent egymásnak. A kijelentések megalapozása pedig adott rendszeren belül történik. A rendszert itt tekinthetjük egészen szigorúan és világosan megfogalmazott szabályok alapján létrejövı rendszereknek, de mőködhet egy intuitívabb értelme is. Például a mindennapi ismeretek életvilágokba szervezıdı rendszere is, bizonyos értelemben rendszernek tekinthetı. Ezért ha egy hozzávetıleges definícióját szeretnénk adni a gödeli kérdésnek, akkor azt kapnánk, hogy Gödeli kérdésnek nevezzük mindazokat a helyzeteket, amikor egy bizonyos alapon nem tudjuk eldönteni sem azt, hogy egy kijelentés igaz, sem azt, hogy hamis és emiatt egyiket sem, vagy mindkettıt el kell fogadnunk. Amit látszik e definíció az eldönthetetlenség kérdésén kívül tartalmazza még az elfogadás fogalmát is. Mit jelent ez? Az elfogadás fogalma viszonyfogalom, amely az elfogadottat, az elfogadót és az elfogadás viszonyát jelöli. Az elfogadott maga az felismert ellentmondás, az elfogadó a különbözı élethelyzetekben elhelyezkedı ember, az elfogadási viszony pedig az kijelentés állításának a meglévı tudásba való integrálását jelenti, abban az értelemben, hogy nem kerül összeütközésbe, disszonanciába azokkal amelyek már megvannak. Aláhúzzuk, hogy felismert ellentmondásról van szó, vagyis a felismerés egyben a gödeli kérdés heylzetébe való meglét feltétele. Miért? Azért mert az emberek nem mindig tudják megállapítani azt, hogy ellentmondásos, és így eldönthetetlen kérdésben helyezkednek el vagy sem. Gyakran átsíklanak fölötte, magától értetıdınek veszik. 4. Gödeli kérdések Milyen gödeli kérdések azonosíthatók be a matematika és a logika területein kívül? D.R. Hofstadter Gödel, Escher, Bach címû könyvében (Hofstadter D.R., 1979) a matematikus, a képzõmûvész és a zeneszerzõ kissé furcsa hármasában pontosan a gödeli

kérdések meglétét próbálja feltérképezni. Itt vizsgálja végig, hogy e területeken miként jelenik meg az ellentmondás, miként kerül észlelésünk végtelen hurkokba és miként kell értelmezni például Escher festményeit úgy, hogy egy magasabb szintrõl figyelve a paradoxonok feloldódjanak és kimondottan a szép érzését keltsék. Ezt az utat követve aztán más gödeli problémákat is bezonosít. Ilyen például a molekuláris biológia Gödel-tétele “Minden sejthez létezik olyen DNS fonal, amely ha bekerül a sejtbe, az átírási folyamat során, olyan protein létrehozását okozza, amelyek szétrombolják magát a sejtet, és így azt eredményezik, hogy a sejt mégsem reprodukálja ezt a DNS-t.” (Hofstadter D.R., 1979, 536.) Ezen a megfogalmazáson nem lepõdnének meg túlságosan a molekuláris biológusok, mivel nem egy általuk feltétlenül felismert gödeli helyzetrõl van benne szó. Értelem szerint arról van benne szó tehát, hogy ha a sejt reprodukálja önmagát, akkor nem reprodukálja többé önmagát, mivel kitermeli a szaporodását meggátoló mechanizmust is. A paradoxális helyzet nyilvánvaló és gödeli kérdésként való kezelése egyáltalán nem meglepõ. De hasonló eljárás szerint fogalmazható meg a társadalom Gödel-tétele is: “…minden teljesen formálisan meghatározott társadalmi rendszerben is vannak olyan tökéletesen normális emberek, akiket a rendszer nem enged kibontakozni. Kicsit fellengzõsen így is fogalmazhatunk: a történelemnek nincs megoldása. A társadalmi rendszer kérdésének ugyanúgy nem létezhet teljes egyetértést ígérõ eszmei kerete, mint ahogy az evolúció eredményes vizsgálatához is a végsõ megoldást ígérõ fogalmi keretek elhagyásán keresztül vezet az út.” (Mérõ L., 1989, 235.) E tétel értelme szerint a közjó lehetetlenségét állítja. Egyetlen társadalmi rendszeren belül sem lehetséges mindenki javát megvalósítani, illetve ha a társadalom mindenki javát óhajtja megvalósítani, akkot magát a társadalmi rendszert kell megváltoztatni. Ebben a megfogalmazásban mindha érthetõbbé válna az a mechanizmus, amely a történelmet mozgatja, annek ellenére, hogy “nincs megoldása”. Harmadsorban egy olyan gödeli kérdést szeretnénk bemutatni, amely Románia oktatási rendszerére jellemzõ a mostani átmeneti idõszakban. Ennek a paradoxális helyzetleírásnak ihletõje Gál Denizia doktori disszertációja (Gál Denizia, 2000). Szerzõje szerint “hatalmas ûr tátong az iskolai felkészülés szintje és a vizsgakövetelmények között” (I.m., 91.). Ez azért van így, mert “Az oktatási rendszerben elsajátított ismeretanyag szempontjából a vizsgák szinte áthághatatlan akadályt jelentenek. Ez annál is inkább mert az oktatás “tömegeket” céloz meg, nem differenciált és még kevésbé egyéniesített.” (I.m., 91.). És tovább, pontosabban fogalmazva felmerül a kérdés, hogy “vajon az esélyegyenlõtlenséget nem a jelenlegi román iskola hozza létre és tartja fenn tevékenységi formáin keresztül?” (I.m., 91.) Világossá téve az ellentmondást: az átmeneti idõszak román iskolája kilépéskor nem azokkal az ismeretekkel látta el diákjait, amelyeket õ maga követel meg a vizsgákon. Vagy a fordított, ezzel ekvivalens megfogalmazásban, a vizsgakövetelményeknek való megfeleltetés egy más típúsú iskolai felkészítést tenne szükségessé. 5. A mindennapi élet gödeli kérdése Ennek a résznek az ihletõje az “életvilág (lebenswelt)” fogalma. Ez a fogalom a fenomenológiai szociológiából származik és e tanulmányban A. Schütz értelmében fogjuk használni (A. Schütz, 1962). E fogalmat elég nehéz pontosan meghatározni.

Osztenzív eljárásban azt mondhatjuk, hogy az életvilágok olyanok mint a fizikusok világa, a háziasszonyok világa, de beszélhetünk a nık és a férfiak világáról is. Mi jellemzı általában e világokra? Elıször is embercsoportok osztályokba való sorolását fejezi ki. Azonosításuk azáltal válik lehetıvé, hogy jellemzı rájuk a társadalmi értékek és normák egy adott szerkezete, az attitődök egy bizonyos rendszere, adott gondolkodásmód, a kifejezési szokások (nyelvhasználat) egy bizonyos típusa. A legátfogóbb életvilág, amelybe gyakorlatilag minden ember viselkedésén keresztül besorolható a mindennapi élet világa. E fogalmat újra nagyon nehéz egy meghatározáson keresztül pontosítani. Jelöletébe olyanok tartoznak mint, hogy elsısorban a túlélést szolgálja, ruházkodási, étkezési szokásokat tartalmaz, az ember életének legfontosabb eseményeit egy bizonyos módon tartja nyilván és celebrálja, kifejezései (nyelvhasználata) közösségeket és egyéneket is megkülönböztethetıvé teszi, alapvetı teoretizálási formája a tapasztalat és ennek leglényegesebb megjelenítését a közmondások, valamint a szólások képezik stb. A gödeli kérdések vajon felleltık-e ezen a területen is, a mindennapi élet világának területén? Ennek a kérdésnek a megválaszolására a mindennapi élet teoretizálási formájához folymodtunk, nevezetesen a közmondásokhoz. A közmondások elsısorban a hagyományos társadalom velejárói. Itt az az elsırendő szerepük, hogy adott megértı-cselekvési helyzetekben hozzájárulnak felismeréséhez és, normatív jellegük folytán, irányítják a helyzet megoldását. Csakhogy a megértı-cselekvési helyzetek nagyon változatosak, ami miatt a hozzájuk kapcsolódó teoretizálás is nagyon sokféle. Arra, hogy miként is történik ez a közmondások esetében egy közmondásszótárt használtunk fel (Lefter V., 1979). E szótárban a közmondások egyik csoportosítási kritériumául ezek kulcsszava szolgál. Ilyenek például a barátság, a pénz, az Isten, a tanulás, a munka, a férfi, az asszony, az állatok stb. Ezek közül válogattunk ki néhányat, azzal a kimondott céllal, hogy esetleg képesek legyünk gödeli kérdést beazonosítani. Ime a gazdagságnak szentelt közmondások: The rich are meaner than the poor. (A gazdag fukarabb mint a szegény.) Poverty is in want of much, avarice of everything. (Többet ér az élete egy egészséges koldusnak, mint egy beteg királynak.) The pleasures of the mighty are the tears of the poor. (Nem a gazdag fizet, hanem a szegény.) Ha ezen közmondások szerint kellene eldöntsük azt, hogy szegények legyünk vagy gazdagok, akkor nem lehtne eggyértelmően a gazdagságot választani. Ilyen értelemben a közmondások egymással ellentétes tanácsot adnak. A feleségnek szentelt közmondások közül: He that hath a white horse and a fair wife, never wants trouble. (Okos feleség nagy isten ajándéka.) Who hath a fair wife needs more than two eyes. (Diófának, szamárnak, asszonyembernek verve veszik hasznát.) Végül is e két közmondás alapján nem tudjuk eldönteni, hogy szép feleséget vagy csúnyát válasszunk, akkor amikor házasodni akarunk.

És egy utolsó példa a pénzrıl Money will do anything. (Kinek pénze van, mindene van.) One hand will not wash the other for nothing. (Ide sógor, oda sógor, le a cseresznyefáról.) A gentleman without money is like a pudding without suet. (Ember pénz nélkül, vak bot nélkül.) Lay up against a rainy day. (Fehér pénz, fekete napokra.) Money is the devil’s eye. (A pénz az ördög szeme.) Az elsı négy közmondás különbözı oldalakról emeli ki a pénz értékes voltát. Ezzel szemben az ötödik az elıbbi értékes voltot kérdıjelezi meg és emeli ki a pénz értéktelen voltát. Tehát az elsı négy közmondás az ötödik ellentettje. Vajon melyik az igaz közülük, melyet érdemes irányadónak tekinteni a megértı-cselekvési helyzetekben? Ha jól meggondoljuk, akkor a pénzt nem lehet csak értékesnek, vagy csak értéktelennek tekinteni. Emiatt el kell fogadnunk a két ellentétes kijelentéstípus együtttes igazságát. Erre utal a gödeli kérdésnek adott meghatározás is. És amit ki kell még emelnünk, az elfogadás minden ellentétes közmondáscsoportra fennáll, mind a gazdagságra, mind a feleségre és mind a pénzre vonatkozókra. Túllépjük ezáltal az európai kultúra racionalitásmodelljének kereteit? Úgy tőnik, hogy igen. Ebbıl a szempontból az irracionálisban helyezkedünk el. Honnan adódik viszont a gödeli kérdések meglétének lehetısége a közmondások, és tágabb értelemben a mindennapi élet terén? Utaltunk már a mindennapi élet változatos és sokféle jellegére. A közmondások, mint e sokféleség teoretizálásai szintén változatosak. Nyelvileg ez különbözıképpen volt bevonva az állításokba. Más szóval, a mindennapi élet állításai különbözı, sıt ellentmondó igazságértékő kijelentésekben fejezıdnek ki. Van-e valamilyen elvi korlát arra, hogy mirıl mit állítunk? A logika eleddig nem szabott elvi korlátot arra ami állítható. Tehát bármi állíható, még az ellentmondó kijelentések is. Ezek a mindennapi élet terén a megértı-cselekvési helyzetek sokféleségébıl adodóan egyformán elfogadhatóak. A “közmondásreceptek” az egyetemes igényével lépnek be életünkbe. Ezt csak úgy tudják megtenni, ha ellentmondóak. Az ellentmondás a feltétele annak, hogy minden igazság belefoglalható legyen e teoretizálási formába. A szerzı tanulmányában kiindul Gödel tételének egy bizonyításából. E tétel mondanivalóját aztán megpróbálja általánosítani a gödel kérdés fogalmának bevezetésével. Példákkal szemlélteti a molekulári biológia, a társadalom az oktatási rendszer gödeli kérdését. A tanulány utolsó része tartalmazza a szerzı hozzájárulását ami, a mindennapi életvilág gödeli kérdésének beazonosítását végzi el a közmondások esetén.„

Könyvészet GÁL Denizia (2002) EducaŃia şcolară şi mizele ei sociale, Editura Dacia, Cluj-Napoca. GÁL László

(2000) Nyelv és logikusság, Pro Philosophia Kiadó, Kolozsvár. GÁL László (1999) Bevezetés a logikába, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca. GÁL László (1998) Translation and Logical Sense in the Dictionary of Proverbs, In: Philobiblon, vol.III, number 1-2, p. 138-154. MÉRİ László (1989) Észjárások,Akadémiai Kiadó, Optimum Kiadó, Budapest. KNEALE William, KNEALE Martha (1987) A logika fejlıdése,Gondolat Kiadó, Budapest. ENESCU Gheorghe (1985) DicŃionar de logică,Editura ŞtiinŃifică şi Enciclopedică, Bucureşti. NAGEL Ernest, NEWMANN James R. (1985) A Gödel bizonyítás, In: Copi I.M., Gould J. A. (eds.) Kortárs tanulmányok a logikaelmélet körébıl, Gondolat Kiadó, Budapest, 70 – 105. HOFSTADTER Douglas R. (1998) Gödel, Escher, Bach,Typotext Kiadó, Budapest. LEFTER Virgil (1978) DicŃionar de proverbe român-englez,Editura ŞtiinŃifică şi enciclopedică, Bucureşti. DUMITRIU Anton (1977) History of Logic (vol. IV),Abacus Press, Tunbridge Wells, Kent. SCHÜTZ Alfred (1962) Collected Papers,The Hague, Nijhoff.

IRODALOM BALAIŞ, Mircea (1978), Logică simbolică. Cluj-Napoca. BOTEZATU, Petre (1997) Introducere în logică. Editura Polirom, Iaşi. DIMA, Teodor, MARGA, Andrei, STOIANIVICI, Virgil (1990) Logică generală. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti. DUMITRIU, Anton (1994-1998) Istoria logicii. EdiŃie revăzută şi adăugită. I-IV kötet, Editura Tehnică, Bucureşti. ENESCU, Gheorghe (1993) Tratat de logică. Editura Sincron, Bucureşti.

GÁL László (1999) Bevezetés a logikába. Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj. GÁL László (2000) Nyelv és logikusság, Pro Philosophia Kiadó, Kolozsvár. GÁL László (2003) Társadalom és logikusság, Kriterion Könyvkiadó, Kolozsvár. GÁL László (szerk.) (2004) Arról, ami állítható..., Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj. GÁL László (2007) Hagyományos logika, Egyetemi Mőhely Kiadó, Bolyai Társaság, Kolozsvár. KNEALE, William, KNEALE, Martha (1988) A logika fejlıdése. Gondolat, Budapest. MARGA, Andrei (2006) Argumentarea. Editura FundaŃiei Studiilor Europene, Cluj-Napoca. MARGITAY Tihamér (2004) Az érvelés mestersége. Typotext, Budapest. READ, Stephen (2001) Bevezetés a logika filozófiájába. Kossuth Kiadó, Budapest. RUZSA Imre (2000) Bevezetés a modern logikába. Osiris, Budapest. RUZSA Imre (1984) Klasszikus, modális és intenzionális logika. Akadémiai Kiadó, Budapest. VERNANT, Denis (2001) Introduction à la logique contemporaine. Flammarion, Paris. Tárgymutató

A könyvben használt fontosabb szimbólumok & ↔ ⇒

A konjunkció jele. A bikondicionális jele. A következményreláció (a deduktibilitási viszony) jele.

⇔ (), [], {} ⊃,⊂ ~ + v / ↓ p, q, r... S1, S2 ...

Az ekvivalencia reláció jele. Zárójelek. A kijelentéskalkulus kisegítı jelei. A kondicionális és a fordított kondicionális jelei. A logikai negáció jele. A kizáró diszjunkció jele. Az alternáció jele. Az inkompatikilitás jele. A Scheffer-funktor jele. A kijelentésváltozók jelei. A kijelentéslogika sémáinak jelölésére használt metajelek.