FOURIER Oktober 2014, Vol. 3 No. 2, 146 – 166
KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE A. Rifqi Bahtiar 1, Muchammad Abrori 2, Malahayati 3 1, 2, 3
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Abstrak Ruang metrik merupakan salah satu konsep yang penting dalam ranah analisis fungsional. Dikatakan penting karena konsep ruang metrik banyak dipakai dalam teori-teori matematika yang lain dan sering dipakai juga dalam studi fisika lanjut. Ruang metrik adalah suatu himpunan yang berlaku suatu metrik. Metrik adalah suatu fungsi dengan domain sembarang himpunan yang tak kosong menuju kodomain bilangan real atau fungsi bernilai real dengan definisi urutan dalam bilangan real. Pada tahun 2007 Huang Long Guang dan Zhang Xian menggeneralisasikan konsep ruang metrik menjadi ruang metrik cone. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji konsep dasar ruang metrik cone yang meliputi mengkaji barisan konvergen, barisan cauchy beserta contohnya dan hubungan barisan konvergen dan barisan terbatas dalam ruang metrik cone, mengkaji hubungan ruang metrik dan ruang metrik cone dan mengkaji salah satu teorema titik tetap dalam ruang metrik cone. Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode studi literatur yaitu dengan membahas dan menjabarkan konsep-konsep yang sudah ada di dalam literatur. Diharapkan dari penelitian ini dapat memberikan gambaran umum tentang konsep dasar ruang metrik cone. Selanjutnya dari penelitian ini dapat dibuktikan bahwa setiap ruang metrik adalah ruang metrik cone dengan ruang Banach dan cone tertentu dan juga dapat dibuktikan bahwa pemetaan kontraktif pada ruang metrik cone dengan cone normal mempunyai titik tetap tunggal. Kata Kunci: Ruang Metrik, Cone, Ruang Metrik Cone, Teori Titik Tetap. 1. PENDAHULUAN Pada tahun 2007 dalam paper yang berjudul “Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems
of
Contractive
Mappings”,
Huang
Long
Guang
dan
Zhang
Xian
menggeneralisasikan konsep ruang metrik menjadi ruang metrik abstrak atau ruang metrik cone. Pada skripsi ini akan diteliti seperti apakah konsep dasar ruang metrik cone. Konsep dasar disini yang dimaksud adalah menjelaskan definisi ruang metrik cone beserta contohnya, mengkaji barisan konvergen, barisan Cauchy dalam ruang metrik cone beserta contohnya dan mencari hubungan barisan konvergen dan barisan terbatas dalam ruang metrik cone dan juga mengkaji hubungan ruang metrik dengan ruang metrik cone lalu meneliti seperti apakah teorema titik tetap dalam ruang metrik cone.
146
Konsep Dasar Ruang Metrik Cone
2. KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE 2.1. Pengertian Ruang Metrik Cone Pada subbab ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat yang terkait dengan ruang metrik cone. Definisi 2.1.1. (Huang Long Guang dan Zhang Xian., 2007: 1468) Diberikan ruang banach real
⊆
dan himpunan
memenuhi: (i)
≠ {0}
himpunan tertutup, dan
(ii) Jika , (iii) Jika
∈ ℝ dengan ,
∈
dan –
∈
≥ 0 dan , =0
maka
Selanjutnya dalam tulisan ini
∈
dengan
≠ ∅,
+
maka
disebut cone apabila
∈
selalu menyatakan ruang Banach real dan
merupakan cone.
Contoh 2.1.2 Diberikan himpunan (i) Jelas
≠ ∅, dan
= { ∈ ℝ| ≥ 0}. Himpunan
≠ {0} . Sebab
= { ∈ ℝ| ≥ 0}.
Selanjutnya
adalah cone.
tertutup, sebab
(ii) Ambil sembarang Jadi dapat disimpulkan (iii) Ambil sembarang
memuat semua titik limitnya.
∈ ℝ dengan ∈
≥ 0, dan
∈ .
yang memenuhi − ∈
∈
≥ 0 jelas bahwa
sehingga
≥ 0.
= { ∈ ℝ| ≥ 0} sehingga hanya 0 ∈
dan − ∈ , karena
oleh karena itu – = 0 sama artinya dengan
Berdasarkan (i), (ii), dan (iii) terbukti bahwa himpunan
adalah cone.∎
= 0.
Berikut ini akan diberikan relasi urutan yang berlaku pada ruang Banach. Definisi 2.1.3 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1469) ⊆
Untuk sembarang cone (i) (ii) (iii)
berlaku relasi urutan sebagai berikut:
≼
jika dan hanya jika
≪
jika dan hanya jika
≺ y jika dan hanya jika
−
∈ , untuk setiap ,
−
∈
−
∈
tetapi .
∈ .
≠ , untuk setiap ,
∈ .
≠ ∅.
Selanjutnya dalam penelitian ini diasumsikan
Pada subbab ini akan diberikan definisi normal cone yang akan selalu dipakai dalam definisi-definisi dan contoh-contoh selanjutnya. Definisi 2.1.4. (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1469) Himpunan ,
adalah normal cone apabila terdapat bilangan
∈ , dengan 0 ≼
≼
berlaku ∥
∥≤
∥ 147
∥.
> 0 sehingga untuk setiap
A Rifqi Bahtiar, Muchammad Abrori, & Malahayati
Selanjutnya bilangan positif
disebut konstanta normal dari
. Berikut diberikan contoh
normal cone. Contoh 2.1.5 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1469) = {( , ) ∈ | ,
Diberikan
≥ 0}. Himpunan
=1.
normal
adalah normal cone dengan konstanta
Terlebih dahulu akan ditunjukan himpunan adalah cone. (i) Jelas ≠ ∅, dan ≠ {0}. Sebab = {( , ) ∈ : ,
≥ 0}
Selanjutnya tertutup, sebab memuat semua titik limitnya. (ii) Ambil sembarang , =( ,
=(
+
karena
) dan
+
+
∈ ℝ dengan ,
=( ,
= ( , ,
+
) sehingga
)+ ( ,
)=(
)
≥ 0 dan
+
∈ , dengan
(iii) Ambil sembarang
≥ 0, dan
=( ,
∈ dengan
) + (b ,
,
≥ 0 maka
,
+
)
∈ .
), dan –
∈ dengan –
(− , − ) menurut definisi dari hanya (0,0) yang memenuhi − karena itu (− , − ) = (0,0) sama artinya dengan −
Berdasarkan (i), (ii), dan (iii) terbukti bahwa adalah cone.
= 0 sehingga
)=
= −1( ,
= (− , − ) oleh = 0.
Akan ditunjukkan cone adalah normal. Ambil sembarang ,
∈ , misalkan
0. Selanjutnya untuk 0 ≼ ∥
∥.
0≼
≼
berarti
dan
∥=
berarti
∈ ⇔(
,
)−( ,
−
≥0⇔
≥
−
≥0⇔
≥
Akan ditunjukkan ∥
) dan
≼ , akan dibuktikan ada
Diberikan norma pada ℝ =∥ −
=( ,
∥≤∥
+ )=(
=(
.
∥.
148
,
−
) dengan
,
,
> 0 sedemikian sehingga ∥
. −
,
)∈
,
≥
∥≤
Konsep Dasar Ruang Metrik Cone
∥=∥ ( ,
∥
sehingga
) ∥=
sehingga jika 0 ≼
+
+
≼
≤---
∥=∥ (
dan ∥ +
maka ∥
,
berarti ∥
∥≤∥
) ∥=
∥.
∥≤∥
+
. karena
∥. Jadi ada
≥
dan
≥
= 1 sedemikian
Jadi terbukti bahwa himpunan adalah normal cone.∎ Berikut ini akan diberikan salah satu sifat dari normal cone. Lemma 2.1.6 (Sh. Rezapour dan R. Hamlbarani, 2008: 720) < 1.
Tidak ada normal cone yang mempunyai konstanta normal Bukti: Andaikan
≠ {0} dan sembarang
(1 − )
< 1. Ambil sembarang
normal cone dengan konstanta normal ≼
dengan 0 <
maka (1 − )‖ ‖ >
< 1 sehingga
∈
dengan
< 1 − . Oleh karena itu jika
‖ ‖. Ini kontradiksi dari definisi normal cone. Jadi
terbukti tidak ada normal cone yang mempunyai konstanta normal
< 1. ∎
Berikut ini diberikan definisi ruang metrik cone beserta dua contohnya dan topologi pada ruang metrik cone. Contoh yang pertama ruangnya adalah bilangan real sedangkan contoh yang kedua ruangnya adalah himpunan barisan. Definisi 3.1.7 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1469) ≠ ∅. Pemetaan :
Diberikan himpunan
(i) 0 ≼ ( , ) untuk setiap , jika dan hanya jika
= .
∈
×
→
yang mempunyai sifat:
dan ( , ) = 0
(ii) ( , ) = ( , ) untuk setiap ,
∈ .
(iii) ( , ) ≼ ( , ) + ( , ) untuk setiap , , ∈ .
disebut metrik cone pada . Selanjutnya pasangan ( , ) disebut ruang metrik cone. Contoh 3.1.8 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1469) Diberikan :
×
→
=ℝ ,
= {( , ) ∈ : ,
dengan
≥ 0}, dan
= ℝ. Didefinisikan
( , ) = {| − |, | − |} dengan
adalah ruang metrik cone. Ambil sembarang , , (i)
0∈ dan
∈ℝ
( , ) = (| − |, | − |), karena | − | ≥ 0 dan sama artinya dengan 0 ≼ ( , ).
( , ) = 0 ⇔ (| − |, | − |) = 0
⇔| − |=0
| − |=0⇔
−
=0 ⇔
= .
149
≥ 0 akan ditunjukan ( , )
| − | ≥ 0 sehingga
( , )−
A Rifqi Bahtiar, Muchammad Abrori, & Malahayati (ii)| − | = |−( − )| = |−1|| − | = | − | selanjutnya
( , ) = (| − |, | − |) = (| − |, | − |) = ( , ).
Jadi terbukti ( , ) = ( , ).
(iii) Akan dibuktikan ( , ) ≼ ( , ) + ( , ), menurut definisi ( , ) = (| − |, | − |) ( , ) = (| − |, | − |)
( , ) = (| − |, | − |)
maka
( , ) + ( , ) = (| − |, | − |) + (| − |, | − |)
= (| − | + | − |, | − | +
| − |)
= [| − | + | − |, (| − | + | − |)]. ( , )+ ( , )− ( , )
= [| − | + | − |, (| − | + | − |)] − (| − |, | − |) = [| − | + | − | − | − |, (| − | + | − |) − | − | = [| − | + | − | − | − |, (| − | + | − |) − | − |).
Akan dibuktikan (| − | + | − | − | − |) ≥ 0 | − |=| − + − | = |( − ) + ( − )| ≤ | − | + | − |,
sehingga | − | + | − | ≥ | − | jika dan hanya jika (| − | + | − | − | − |) ≥ 0 sehingga dengan
(| − | + | − |) − | − |) ≥ 0 ≥ 0 sehingga
( , )+ ( , )− ( , )∈ .
Oleh karena itu
( , )≼ ( , )+ ( , )
Jadi pasangan ( , ) adalah ruang metrik cone.
Contoh 3.1.9 (Mehdi Asadi dan Hossein Soleimani, 2011: 4) > 0, dan
Diberikan
= {{
}
×
→
∈ :
=
={
≥ 0, ∀ }
} ∈ :∑
|
| < ∞ dengan cone
dan diketahui ( , ) adalah ruang metrik. Jika diberikan pemetaan :
dan selanjutnya didefinisikan 150
Konsep Dasar Ruang Metrik Cone
dengan
( , )={
}
( , ) 2
=
Akan ditunjukan ( , ) ruang metrik cone. Ambil sembarang , , ∈
(i) Akan ditunjukan 0 ≼ ( , ). Didefinisikan: ( , ) = karena diketahui ruang metrik sehingga ( , )
( , ) ≥ 0 oleh karena itu
≥ 0 sama artinya dengan ( , ) ∈
sehingga dapat disimpulkan
0 ≼ ( , ).
(i) Akan ditunjukan ( , ) = 0 jika dan hanya jika ( , )=
( , ) 2
( , ) =0 2 ⇔ ( , )=0 ⇔
( , )
( , ) 2
=0 ⇔
=
=0
karena diketahui ( , ) adalah ruang metrik maka untuk ( , ) = 0 berakibat
= , jadi terbukti ( , ) = 0 jika dan hanya jika
(ii) Akan dibuktikan ( , ) = ( , ). ( , )=
( , ) 2
=
( , ) 2
= .
karena ( , ) metrik sehingga terbukti bahwa ( , ) = ( , ). (iii) Akan dibuktikan ( , ) ≼ ( , ) + ( , ) Didefinisikan:
( , )= ( , )=
( , ) 2
( , ) 2
151
A Rifqi Bahtiar, Muchammad Abrori, & Malahayati
( , ) 2
( , )=
karena ( , ) ruang metrik berakibat ( , ) ≤ ( , ) 2
( , ) 2
≤
( , ) 2
≤
+
( , ) 2
( , ) 2
( , ) + ( , ), sehingga
( , ) 2
+
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) sehingga jelas ( , ) + ( , ) − ( , ) ∈ .
Oleh karena itu ( , ) ≼ ( , ) + ( , ).
Terlihat dari (i), (ii), (iii) dan (iv) jadi ( , ) ruang metrik cone. 2.2. Barisan dalam Ruang Metrik Cone
Pada bagian ini akan diberikan definisi barisan konvergen beserta contohnya, barisan Cauchy beserta contohnya dan barisan terbatas pada ruang metrik cone serta sifat-sifat yang melekat pada barisan konvergen, barisan Cauchy dan barisan terbatas pada ruang metrik cone. Definisi 2.2.1. (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1469) Diberikan ruang metrik cone ( , ) dengan konvergen ke setiap (
>
berlaku lim
Dinotasikan dengan Contoh 2.2.2 Diberikan dengan
= ℝ,
=
→
= ℝ,
}⊂
dengan
Ambil sembarang
sedemikian sehingga
karena
∈
, 0) = | dan
∈
=
} ⊂
. Barisan {
→
dengan
sehingga untuk
→ ∞.
→ 0 dengan
maka
∈
} dikatakan
×
⟶
→ ∞.
∈ ℝ dengan 0 ≪ . Menggunakan sifat Archimides, ada < . Oleh karena itu untuk setiap
Konsekuensinya untuk setiap (
atau
= { ∈ ℝ| ≥ 0}. Pemetaan :
( , )=| − |
dan barisan {
dan {
∈ , dengan 0 ≪ . terdapat
apabila untuk setiap
, ) ≪ .
∈
− 0| <
≥
⇔
1
berlaku <
sehingga − ∈ . Jadi
152
≪
≥
yang artinya
diperoleh
≤
∈
< .
Konsep Dasar Ruang Metrik Cone
→ 0 dengan
Jadi
(
→ ∞.
, 0) ≪ .
Di bawah ini akan diberikan lagi contoh barisan konvergen dengan barisan yang sama dengan contoh 2.2.2 tetapi dengan ruang Banach, cone dan metrik yang didefinisikan pada contoh 2.1.8 Contoh 2.2.3 Diberikan ruang metrik cone ( , ) dengan ruang Banach : ,
≥ 0}, dan
dengan
untuk
:
×
= ℝ jika didefinisikan pemetaan
→
( , ) = {| − |, | − |}
≥ 0, dan diberikan barisan {
Ambil sembarang
∈
hukum Archimides ada
> karena
− (
, 0) = ( ,
> dan
− ,
Jadi barisan {
>
−
∈
∈
= . Barisan {
dengan
dengan 0 ≪ . Misalkan >
karena itu untuk setiap
}⊂
=( , >
sedemikian sehingga <
berakibat
)−
1
maka
,
1
=
− > 0 dan
⇔ (
} konvergen ke 0.
< 1 − ,
, 0) ≪ 0.
) untuk dan
<
dan
= {( , ) ∈
= ℝ , cone
>
,
} konvergen ke 0 .
≥ 0, berdasarkan
untuk
> 0. Oleh
< . Jadi untuk untuk setiap
−
− > 0 sehingga
Berikut ini diberikan lemma 3.2.4 untuk membantu membuktikan lemma 3.2.5
Lemma 2.2.4 (Duran Turkoglu dan Muhib Abuloha, 2010:489) Diberikan ruang metrik cone ( , ), kemudian untuk setiap Jika ‖ ‖ <
∈
dengan
Bukti:
Ambil sembarang sedemikian
∈
sehingga
‖( − ) − ‖ <
maka −
dengan 0 ≪
∈
.
berarti
{ ∈ :‖ − ‖ < } ⊂
oleh karena itu ( − ) ∈
∈ .∎
.
∈
dengan
> 0.
. Oleh karena itu pasti ada
>0
Selanjutnya
Lemma 2.2.5 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1469) 153
dan 0 ≪
‖ ‖=
‖(− )‖ =
A Rifqi Bahtiar, Muchammad Abrori, & Malahayati Diberikan ruang metrik cone ( , ), dengan normal cone . Barisan { jika dan hanya jika (
, ) → 0 dengan
Bukti: (⟹)
→ ∞.
} konvergen ke . Ambil sembarang
Diketahui {
0 ≪ . Berdasarkan hukum Archimides ada ‖ ‖ < . Berdasarkan dari diketahui ada (
, )≪
⇔ − ( ⇔ (
karena
⇔ − (
, )∈
, )∈
, )≼
normal cone sehingga untuk
‖ (
, )‖ ≤
‖ ‖< .
Itu sama artinya dengan ( (⟸)
⊂
>
, )∈
Ini sama dengan (
, ) → 0 dengan
>
sehingga untuk setiap
berakibat
→ ∞ berarti ada
, )‖ < . Ambil sembarang
.
, ) ≪ . Sehingga terbukti bahwa {
Jadi terbukti Barisan { (
∈
, ) → 0 dengan
berdasarkan lemma 3.2.4 maka − (
dengan
> 0 sedemikian sehingga
berakibat ‖ (
≥
sehingga untuk setiap
∈
konvergen ke
, ) → 0 ( → ∞).
> 0 karena (
Ambil sembarang
> 0, pilih
}⊆
}⊆
konvergen ke
∈
∈
sedemikian dengan 0 ≪
} konvergen ke .
jika dan hanya jika
→ ∞. ∎
Selanjutnya diberikan salah satu sifat barisan konvergen dalam ruang metrik cone.
Lemma 2.2.6 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1470) Diberikan ruang metrik cone ( , ), Diberikan { Bukti:
} ⊂ . Jika { ∈
Ambil sembarang ∈
dengan 0 ≪ ada (
, )≪ . 2
(
, )≪
Barisan {
} konvergen ke
dan {
dengan 0 ≪ . Selanjutnya {
} konvergen ke 2
adalah normal cone dengan konstanta normal
∈
sehingga untuk setiap
artinya untuk setiap
154
>
} konvergen ke , maka } konvergen ke >
berlaku
berlaku
.
= .
artinya untuk setiap
Konsep Dasar Ruang Metrik Cone
selanjutnya (
⇔
2
, )≪ − (
⇔ (
2
⇔
2
, )∈
− (
, )∈
⊆
, )≼
2 dengan cara yang sama (
⇔ ⇔
2
karena
, )≪ − ( (
2
⇔
, )∈
, )≼
2
− (
, )∈
⊆
2
metrik cone:
( , )≼ ( ,
Jadi 0 ≼ ( , ) ≼
)+ (
karena
‖0‖ ≤ ‖ ( , )‖ ≤
, )= (
, )+ (
normal cone sehingga
, )≼
‖ ‖
2
+
2
=
oleh karena itu untuk sembarang ‖ ‖ ≥ 0 menyebabkan Jadi
‖ ( , )‖ = 0 ⇔ ( , ) = 0 ⇔ = .
= .
Berdasarkan lemma tersebut menunjukan bahwa setiap barisan konvergen dalam ruang metrik cone juga memiliki titik limit tunggal.
Teorema 2.2.7 (H. Kunze, D. La Torre, F. Mendivil dan Vrscay, 2012:3) Barisan { ∈
Bukti:
(
}⊂
ada
konvergen ke ∈
Ambil sembarang untuk setiap
≥
, )≪
⇔ − ( (⟸)
jika dan hanya jika untuk setiap
sedemikian sehingga untuk setiap
, )≼ .
(⟹)
(
∈
⇔ (
∈
, karena
berlaku ⇔ − (
, )∈
, )∈
→
dengan ⊆
, )≼ .
155
≥
berakibat
→ ∞ sehingga ada
∈
sehingga
A Rifqi Bahtiar, Muchammad Abrori, & Malahayati ∈
Ambil sembarang ∈
dengan dengan (
( )⊂
∈
diketahui ada
−
sehingga
sehingga untuk
, ) ≪ . Sehingga terbukti
Jadi terbukti barisan { ∈
}⊂
≥
∈
→
∈
, ) ≼ .∎
, )≤
→ ∞.
dengan
≥
( )⊂
∈
dan ambil
≪ , dari
yang sama artinya dengan
berakibat (
konvergen ke
sedemikian sehingga untuk setiap
(
> 0 yang berakibat
sehingga ada
≪ . Itu sama artinya ∈
jika dan hanya jika dengan
berakibat
ada
Definisi 2.2.8. (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1470) Diberikan ruang metrik cone ( , ) dan { apabila untuk setiap berlaku (
)≪ .
,
∈
} ⊂ . Barisan {
dengan 0 ≪
} disebut barisan Cauchy pada
∈
ada
sehingga untuk setiap
,
>
Contoh 2.2.10 = ℝ,
Diberikan
= ℝ,
( , )=| − |
dan barisan {
}⊂
karena
< , dan ,
∈
<
⟶
dengan
} adalah barisan Cauchy di ( , ).
,
≥
diperoleh
< . Konsekuensinya untuk setiap
)=|
−
dan juga
artinya dengan (
×
∈ ℝ dengan 0 ≪ . Menggunakan hukum Archimides, ada
< . Oleh karena itu apabila
sehingga
(
= . Barisan {
dengan
Ambil sembarang
<
= { ∈ ℝ| ≥ 0}. Pemetaan :
,
−
|=
1
∈
−
) ≪ . Jadi {
1
≤
1
sehingga
−
1
−
<
2
−
+
,
2
=
≥
∈ . Jadi
∈
berlaku
−
} adalah barisan Cauchy pada ( , ).
≪
yang sama
Definisi 2.2.9 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1470) Ruang metrik cone ( , ) disebut ruang metrik cone lengkap apabila setiap barisan Cauchy pada ( , ) juga merupakan barisan yang konvergen pada ( , ). Contoh 2.2.10 Diberikan
= [ , ],
= ℝ,
: [ , ] × [ , ] → ℝ dengan
= { ∈ ℝ| ≥ 0} dan didefinisikan pemetaan 156
Konsep Dasar Ruang Metrik Cone ( , ) = sup{| ( ) − ( )|: ∈ [ , ]}
akan ditunjukan pasangan ( [ , ], ) adalah ruang metrik cone lengkap. Ambil sembarang barisan Cauchy { } ⊂ terdapat
(
,
∈
( )−
Hal ini berarti bahwa untuk setiap |
,
sehingga untuk setiap
) = sup{|
( )−
( )| ≪
4
[ , ]. Untuk sebarang ≥
( )|: ∈ [ , ]} ≪ . ∈ [ , ] dan
atau dengan kata lain untuk setiap
konvergen ke suatu bilangan ( ). Jadi ( )| = lim | →
≥
asalkan
( ,
) = sup {| ( ) −
= sup{ lim |
≪
lim
( )−
→
( )−
( )−
an
( ) ≪
( )| ≪
≥
berlaku
( ) = ( ) itu akan berakibat (1)
merupakan fungsi bernilai bilangan real yang
( )|: ∈ [ , ]}
∈ [ , ] dengan | − | < ( ) ∈
≪ + + = .
Jadi terbukti fungsi
( )−
berlaku
sehingga
( )−
( ) < ,
(3)
diperoleh
| ( ) − ( )| ≤
(2)
kontinu seragam pada [ , ], artinya ada bilangan
selanjutnya berdasarkan (1), (2), (3) untuk setiap , | − |<
berlaku
( )|: ∈ [ , ] } ≪
> 0 sehingga untuk setiap ,
karena ∈
≥
∈ [ , ] barisan { ( )} konvergen, katakan
( )−
kontinu pada [ , ] maka
karena
→
. Selanjutnya jelas bahwa
terdefinisi pada [ , ] dan untuk
,
dengan 0 ≪ , maka
∈ [ , ] barisan { ( )} merupakan barisan Cauchy di
dalam ℝ. Oleh karena itu untuk setiap | ( )−
berlaku
∈
( ) +
kontinu pada [ , ] atau
∈ [ , ] dengan ( )−
( ) +
∈ [ , ].
( )− ( )
Kesimpulanya karena sebarang barisan Cauchy { } ⊂ [ , ] konvergen ke suatu [ , ] maka terbukti ruang metrik cone ( [ , ] , ) lengkap. ∎
Lemma 2.2.11 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1470) 157
∈
A Rifqi Bahtiar, Muchammad Abrori, & Malahayati Diberikan ruang metrik cone ( , ) dan {
} ⊂ . Jika {
adalah barisan Cauchy.
} konvergen ke
maka {
}
Bukti: Ambil sembarang
∈
dengan 0 ≪ , karena { ,
sedemikian sehingga untuk setiap (
, )≪ (
,
dan juga (
Jadi terbukti {
)≼ (
, )≪
, )+ ( ,
} barisan Cauchy. ∎
>
} konvergen ke
berlaku
karena
metrik cone
)= (
, )+ (
, )≪
2
+
∈
maka ada
2
= .
Kebalikan dari teorema 3.2.13 belum tentu berlaku, berikut diberikan contohnya.
Contoh 3.2.12 (Counter Example) Pada contoh 3.2.12 di sini akan mengambil contoh 2.2.15 yang diasumsikan sebagai ruang metrik cone. Pada subbab 3.4 akan dibuktikan bahwa setiap ruang metrik adalah ruang metrik cone. = [0,1],
Diberikan
∫ | ( ) − ( )| sebagai berikut:
( )=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
, dengan
−
0,
1,
1 + 1, 2
Berdasarkan dari definisi { } Barisan { }
= { ∈ ℝ| > 0} dengan metrik cone
= ℝ dan ,
∈ [0,1] dan diberikan barisan { }
0≤
≤
1 1 − 2
1 1 − < 2
1 < ≤1 2 ⊂ [0,1]
∈
>
) berlaku
)=
| ( )−
(diasumsikan
=
,
( )|
[0,1] sebab untuk sembarang 0 ≪ , >
dengan
( )
≤
+
1 1 1 1 1 1 1 + < + =2 ≤2 <2 = 2 2
karena , (
,
) > 0 sehingga − (
,
dengan definisi
1 2
mempunyai barisan Cauchy di
berdasarkan hukum Archimides ada
(
≤
( , )=
untuk setiap
( )
) > 0 itu sama artinya dengan 158
,
≥
Konsep Dasar Ruang Metrik Cone (
,
)≪ .
Selanjutnya diandaikan barisan { }
konvergen ke suatu
( , ) → 0 ( → ∞) diperoleh ( , )=
| ( )|
jika dan hanya jika ∫ | ( )| barisan { }
| ( ) − ( )|
+
= 0 dan ∫ |1 − ( )|
sehingga dapat disimpulkan { }
⊂ [0,1] sehingga untuk
+ |1 − ( )|
=0
= 0. Kontradiksi dengan definisi ⊂ [0,1].
tidak konvergen ke suatu
Jadi dapat disimpulkan bahwa tidak setiap barisan Cauchy konvergen.
Telah dibuktikan bahwa setiap barisan konvergen merupakan barisan Cauchy, tetapi sebaliknya belum tentu berlaku. Sama halnya seperti pada ruang metrik apabila pada barisan Cauchy ditambahkan suatu syarat tertentu maka akan diperoleh jaminan kekonvergenan barisan tersebut pada ruang metrik cone. Syarat-syarat tertentu yang dimaksud dapat dilihat dalam teorema berikut ini.
Teorema 2.2.13 (S. Jain, S. Jain dan L. Jain, 2010:116) Diketahui ruang metrik cone ( , ) dan { barisan bagian yang konvergen maka {
}⊂
barisan Cauchy. Jika {
} konvergen ke titik limit yang sama.
} memuat suatu
Bukti: Ambil sembarang
∈
,
sehingga untuk setiap (
,
)≪ .
Selanjutnya diketahui {
dengan 0 ≪
. Oleh karena itu ada
yang untuk setiap (
, )≪ .
≥
>
berlaku
∈
,
barisan Cauchy maka ada
sehingga untuk sembarang
berlaku
diperoleh , )≼
}⊂
∈
} memuat suatu barisan bagian yang konvergen yang dimisalkan
Selanjutnya jika diambil bilangan asli
(
karena {
+
Jadi terbukti bahwa barisan Cauchy {
,
= maks{ ≪
2
+
2
, = .
∈
dengan 0 ≪
} maka untuk setiap
} juga konvergen ke titik . ∎ 159
≥
ada
∈
dan
≥
A Rifqi Bahtiar, Muchammad Abrori, & Malahayati
Selanjutnya akan diberikan lagi beberapa sifat dari barisan konvergen dan Cauchy pada ruang metrik cone.
Lemma 3.2.14 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1470) Diberikan ruang metrik cone ( , ) dan normal cone } ⊂ . Barisan {
Diberikan barisan { (
)→0( ,
,
Bukti: (⟹)
→ ∞).
0 ≪ . Berdasarkan hukum Archimides ada ‖ ‖< .
setiap ,
(
,
>
berlaku )≪
⇔ − ( ⇔ (
karena
⇔ − (
,
)≼
,
)∈
,
)∈
artinya dengan (
)→0 ( ,
,
(⟸)
> 0 karena
Ambil sembarang
→ ∞).
sedemikian sehingga untuk setiap , dengan 0 ≪ . Untuk ,
yang berarti (
,
, ≥
dengan
> 0 sedemikian sehingga ∈
oleh karena itu untuk
berakibat ‖ (
,
)‖ ≤
) → 0 dengan
,
→ ∞ berarti ada
berlaku ‖ (
,
‖ ‖ < . Itu sama ∈
)‖ < . Ambil sembarang
berdasarkan lemma 3.2.4 diperoleh
) ≪ . Sehingga terbukti bahwa {
Jadi terbukti barisan { ∞). ∎
≥
(
∈
⊂
>
normal cone jadi ketika
> 0, pilih
} Cauchy berarti ada
Berdasarkan dari diketahui barisan {
.
} adalah barisan Cauchy jika dan hanya jika
} barisan Cauchy. Ambil sembarang
Diketahui {
, dengan konstanta normal
− (
} barisan Cauchy.
} adalah barisan Cauchy jika dan hanya jika (
,
)∈
)→0( ,
,
∈ →
Lemma 2.2.15 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1471) Diberikan ruang metrik cone ( , ) dan Diberikan { ( → ∞).
}⊂
dan { } ⊂ . Jika
adalah normal cone dengan konstanta normal → ,
Bukti:
160
→
( → ∞) maka (
,
.
)→ ( , )
Konsep Dasar Ruang Metrik Cone > 0 karena {
Ambil sembarang 0 ≪ ada (
dan ada
, )≪
∈
berlaku (
(
, )≼ (
(
, )≼ (
= ( (
, )+ ( ,
⇔ − (
⇔
− (
, ), ( , ) ∈
)
, )∈
⊆
⇔ − ( , )∈
⊆
, )∈
, )≼
( , )≪
⇔ − ( , )∈ ⇔ ( , )≼ ,
sehingga (
, )≼ (
, ) + ( , ) + ( , ) ≼ ( , ) + 2 … (1)
karena ( , ) ruang metrik cone : ( , )≼ ( ,
≼ ( , = ( ,
≼ (
)+ (
)+ ( ,
, )= ( ,
)+ ( ,
)+ ( , )+ (
, ) + 2 … (2)
,
)+ ( ,
)
)
)
Dari (1) dan (2) (
, ) ≼ ( , ) + 2 ⇔ −2 + (
( , )≼ (
sehingga −2 + (
, )+2
, )≼ ( , )≼ (
0≼ ( , )+2 − (
, )≼4
ditambahkan kedua ruas dengan (
dengan
maka pasti ada
karena ( , ) ruang metrik cone sehingga:
, )+ ( , )
, )+ ( , )
∈
oleh karena itu untuk setiap
, ) + ( , ) + ( , ),
, )≪
⇔ (
∈
dan ( , ) ≪ karena (
, )+ ( , )
selanjutnya
berlaku
yang berlaku ‖ ‖ <
, )≼ (
≼ (
dan
, )≪
berarti untuk setiap
berlaku ( , ) ≪ . Pilih
} sehingga ada
,
dengan 0 ≪ (
>
sehingga untuk setiap
dan { } →
>
sehingga untuk setiap
= supremum {
>
}→
, )≼ ( , )
, ) + 2 jika dan hanya jika
, ) − ( , ) maka menjadi 161
A Rifqi Bahtiar, Muchammad Abrori, & Malahayati
karena
(
, )− ( , )≼2 ≼4 + (
normal cone
, )− ( , )
‖ (
,
) − ( , )‖ ≤ ‖2 ‖ ≤ ‖4 + (
‖ (
,
) − ( , )‖ ≤ ‖ ( , ) + 2 − (
sehingga jelas bahwa
≤ 4 ‖ ‖ + 2‖ ‖ = (4 + 2)‖ ‖ < .
Jadi terbukti (
,
) − ( , )‖,
,
)‖+‖2 ‖
,
) ⟶ ( , )( ⟶ ∞). ∎
Selanjutnya akan diberikan definisi barisan terbatas dalam ruang metrik cone dan
hubungan barisan terbatas dengan barisan konvergen dalam ruang metrik cone.
Definisi 3.2.16 (H. Javidzadeh dan M.R Haddadi, 2011:1) Diberikan ruang metrik cone ( , ) dan barisan { apabila ada (0,
≫ 0, sedemikian sehingga untuk setiap
)≪ .
} ⊂ , barisan { ∈
berlaku
} dikatakan terbatas
Lemma 2.2.17 Setiap barisan yang konvergen di ruang metrik cone adalah terbatas. Bukti: Ambil sembarang ∈
dengan 0 ≪ , karena {
∈
sehingga untuk setiap (0,
)= (
berarti untuk setiap
karena
(
, 0) ≼ (
≥
≥
berlaku (
, ) + ( , 0)
} konvergen berarti ada
, ) ≪ , karena ( , ) ruang metrik cone:
, ) + ( , 0) ≼ + ( , 0)
metrik cone sehingga 0 ≼ ( , 0), sehingga dapat dipilih
0≪
= + ( , 0).
Jadi terbukti barisan {
, dengan
} terbatas. ∎
2.3. Hubungan Ruang Metrik Cone dengan Ruang Metrik. Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa setiap ruang metrik merupakan ruang metrik cone. Teorema 2.3.1 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1469) Ruang metrik cone adalah generalisasi dari ruang metrik atau bisa ditulis setiap ruang metrik pasti ruang metrik cone. Bukti: 162
Konsep Dasar Ruang Metrik Cone Ambil sebarang ruang metrik ( , ) karena ruang metrik sehingga untuk setiap , , ∈ berlaku sifat-sifat: ( , )≥0
1)
( , ) = 0 jika dan hanya jika
2)
( , )= ( , )
3)
=
( , ) ≤ ( , ) + ( , ).
4)
Jelas bahwa ℝ adalah ruang Banach, dan dibentuk cone ( , ) ∈ . Untuk sifat 4, karena
0 sehingga
= { ∈ ℝ| ≥ 0} karena ( , ) ≥
( , ),
( , ),
( , )≥0
sehingga
( , ) + ( , ) − ( , ) ≥ 0 oleh karena itu ( , ) + ( , ) − ( , ) ∈ . Jadi dapat
disimpulkan bahwa ( , ) juga merupakan ruang metrik cone. ∎ 2.4. Teorema Titik Tetap dalam Ruang Metrik Cone
Pada bagian ini akan dibuktikan salah satu teorema titik tetap dari pemetaan kontraktif di ruang metrik cone. Teorema 2.4.1 (Huang Long Guang dan Zhang Xian, 2007: 1471) Jika diberikan ruang metrik cone lengkap ( , ) dan normal cone P dengan konstanta normal . Diberikan pemetaan :
→ , dengan
( ), ( ) ≼
untuk setiap ,
∈
Bukti:
( , )
∈ [0,1) maka
dengan
∈ , dibentuk
Pilih =
= ( ),
( ), …
kontraktif yaitu
= ( )= ( ( )=
mempunyai sebuah titik tetap tunggal di .
( ), … ,
Bisa dibentuk sehingga (
≼
=
,
(
(
= = ≼
(
), (
,
(
(
( ,
), (
)
(
≼ ≼
,
)= ( (
,
), (
, )
) )
)
) )
)…
karena ( , ) ruang metrik cone maka untuk setiap 163
≥
= (
)
A Rifqi Bahtiar, Muchammad Abrori, & Malahayati (
≼
≼(
karena
)≼ (
,
( ,
(
karena
+ ⋯+
)‖ ≤
,
‖ ( ,
1− → ∞ maka ‖ (
( ( ∗ ), (
(
Oleh karena
,
∗)
≼ ( (
∗)
+ (
), ( ∗ ) +
)≼
(‖
→
∗
)
( ,
)‖
)(
, →
∗
∈
) )+ ( (
( (
),
∗)
} adalah barisan Cauchy. Selanjutnya
∗
(
,
maka
‖ ( ( ∗ ),
∗ )‖
∗ )‖
∗ )‖
≤
‖
(
+ ‖ (
,
∗)
,
∗ )‖
= 0 ⇔ ( ( ∗ ),
∗)
+ (
,
Akan dibuktikan bahwa
karena
( ∗,
∗
∗
=0
tunggal.
titik tetap lain dari ∗)
=
∗ )‖
= 0 ⇔ ( ∗,
Jadi terbukti, titik tetap
∗
jadi
∗
merupakan titik tetap .
maka
( ∗ ), ( ∗ ) ≼
∈ [0,1) sehingga hanya
‖ ( ∗,
( → ∞).
∗ )‖
sesuai sifat ruang metrik cone dapat disimpulkan ( ∗ ) = Andaikan
∗
→
), ∗ )
∗)
)‖ = 0 jika dan hanya jika
,
sedemikian sehingga
), (
,
→ ∞)
normal cone maka diperoleh
0 ≤ ‖ ( ( ∗ ), karena
( ,
)
,
)‖ → 0. Berarti lim ‖ (
,
lengkap maka pasti ada
≤
) + ⋯+ (
) = 0. Menurut lemma 3.2.5 berarti {
,
≼
) + ⋯+
) ( ,
Berdasarkan sifat ruang metrik cone
=
,
( ,
normal cone diperoleh:
Untuk , lim
)+
+
‖ (
, →
)+ (
,
( ∗,
∗)
= 0 yang memenuhi, berarti
∗)
=0⇔
adalah tunggal. ∎
∗
=
∗
.
Akibat 3.4.2 Diberikan ruang metrik cone lengkap ( , ), dan Selanjutnya ambil sembarang
∈
{ ∈ | ( , ) ≼ }. Jika pemetaan ( , ):
( ), ( ) ≼
( , )
:
normal cone dengan konstanta normal
dengan 0 ≪ ⟶
164
dan
∈ , dibentuk
.
( , )=
bersifat kontraktif yaitu untuk setiap ,
∈
Konsep Dasar Ruang Metrik Cone
dengan ( , ).
∈ [0,1) dan ( ( ),
) ≼ (1 − ) maka
mempunyai titik tetap tunggal pada
Bukti:
Berdasarkan teorema 3.4.1 berarti hanya perlu dibuktikan bahwa ( ) ∈ ( , ) untuk setiap
( , ) ⊂ . Sehingga barisan {
Oleh karena
∈ ( , ). Ambil sembarang barisan Cauchy { } cauchy pada .
lengkap maka ada
( , ) ruang metrik cone sehingga ( , )≼ (
)+ (
,
Berdasarkan lemma 3.2.5, jika
artinya
( , )≼
( , ) lengkap dan
∈
sehingga
, )≼ + (
→
maka (
→
} pada
→ ∞. Selanjutnya karena
dengan
, )
, ) → 0 sehingga
∈ ( , ). Sehingga terbukti ( , ) lengkap.
Selanjutnya untuk setiap
∈ ( , )
, ( ) ≼ ( ( ),
≼ (1 − ) +
= .
)+
( ), ( ) ≼ (1 − ) +
Sehingga dapat disimpulkan ( ) ∈ ( , ). Oleh karena
( , ) lengkap dan ( ) ∈ ( , ) untuk setiap
mempunyai titik tetap tunggal pada ( , ). ∎
( , )
∈ ( , ), jadi terbukti
3. KESIMPULAN Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, disimpulkan teorema-teorema pada barisan konvergen dan barisan Cauchy dalam ruang metrik ternyata berlaku juga pada barisan konvergen dan barisan Cauchy dalam ruang metrik cone. Selanjutnya disimpulkan juga bahwa ruang metrik cone adalah perluasan dari ruang metrik dan pemetaan kontraktif pada ruang metrik cone dengan cone normal mempunyai titik tetap tunggal.
4. DAFTAR PUSTAKA [1] Agariaval, Ravi P., Maria Mehan., and Donald D Regan. 1986. Fixed Point Theory and Applications. United Kingdom: Cambridge University Press. [2] Asadi, Mehdi and Hossein Soleimani. 2011. Examples In Cone Metric Spaces: A Survey. http://arxiv.org/pdf/1102.4675v1.pdf. Diakses pada tanggal 5 Februari 2011 pukul 16.00 WIB. [3] Bartle, R.G. 1967. The Element Real of Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc. [4] Bartle, R.G. and Sherbert, D.R. 1982. Introduction to Real Analysis. Second Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. [5] Darmawijaya, Soeparna. 2006. Pengantar Analisis Real. Yogyakarta: Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada. [6] __________ 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Yogyakarta : Jurusan. [7] Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada.
165
A Rifqi Bahtiar, Muchammad Abrori, & Malahayati
[8] Davies, Paul. 2002. Membaca Pikiran Tuhan. Yogyakarta: Pustaka Pelajar. [9] Deimling. 1985. Nonlinear Functional Analysis. New York: Springer, Verlag New York. Inc. [10] Gordji, M. Eshagi, M. Ramezani, H. Khodaei dan H. Baghani. 2009. Cone Normed Spaces. http://arxiv.org/pdf/0912.0960v1.pdf. Diakses pada tanggal 5 Februari 2011 pukul 16.00 WIB. [11] Guang, Huang Long and Zhang Xian. 2006. Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings . J.Math Anal. Appl. 332(2007) 1468-1476. [12] Jamil, Anas. 2009. Fungsi Bervariasi Terbatas pada Interval [a,b]. Skripsi. Malang: Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim. [13] Javidzadeh, H. Dan M.R Haddadi. 2011. Some Fixed Point Theorems for Pointwise Contractions. http://sid.ir/en/VEWSSID/J_pdf/1011420111007.pdf. Diakses pada tanggal 6 April 2012 pukul 16.30 WIB. [14] Khamsi, Mohammed A. 2010. Remarks On Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings. http://www.emis.de/journals/HOAFPTA/Volume2010/315398.pdf. Diakses pada tanggal 6 Desember 2011 pukul 20.05 WIB. [15] Jain, S., S. Jain dan L. Jain. 2010. Weakly Compatible Maps In Cone Metric Spaces. http://seminariomatematico.dm.unito.it/rendiconti/68-2/115.pdf [16] Kunze, H., H.D. La Torre, F. Mendivil, dan E.R Vrscay. 2012. Generalized Fractal Transforms and SelfSimilar Objects In Cone Metric Spaces. http://math.acadiau.ca/mendivil/Papers/ConeMetrics.pdf. Diakses pada tanggal 6 Desember 2011 pukul 20.15 WIB. [17] Mardalis. 1995. Metode Penelitian Suatu Pendekatan Proposal. Jakarta: PT Aksara. [18] Nurnugroho, Burhanuddin Arif. 2009. Konsep Dasar Ring Bernorma. Skripsi. Yogyakarta: Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga. [19] Shirali, Satish dan Harkrishan L. Vasudeva. 2006. Metric Spaces. London: Springer-Verlag. [20] Turkoglu, Duran dan Muhib Abuloha. 2010. Cone Metric Spaces and fixed point theorems in diametrically contractivemappings.http://www.google.co.id/search?q=Cone+Metric+Spaces+and+fixed+point+theorems +in+diametrically+contractive+mappings&ie=utf8&oe=utf8&aq=t&rls=org.mozilla:enGB:official&client= firefox-a. Diakses pada tanggal 3 April 2012 pukul 01.57 WIB.
166
