A Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as II. el˝ oad´ assorozat negyedik t´ em´ aja. ´ ¨ ´ A NAGY SZAMOK TORV ENYE Ezen el˝ oad´as t´em´aja a nagy sz´amok (er˝ os ´es gyenge) t¨orv´enye. Kiss´e leegyszer˝ us´ıtve fogalmazva a nagy sz´amok t¨orv´enye azt mondja ki, hogy ha vessz¨ uk n f¨ uggetlen ´es egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ´ atlag´ at, akkor ez az a´tlag nagyon a´ltal´ anos felt´etelek mellett egy konstanshoz tart n → ∞ eset´en. A r´eszletesebb t´argyal´ asban meg kell ´erteni, hogy milyen ´ertelemben tartanak ezek az ´ atlagok konstanshoz, illetve hogy milyen felt´eteleket kell teljes´ıtenie a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ as´anak ahhoz, hogy egy ilyen konvergencia ´erv´enyes legyen. Ezenk´ıv¨ ul szeretn´enk meghat´ arozni a limeszben megjelen˝o konstans ´ert´ek´et is. Mint l´atni fogjuk ez a sz´am nagyon a´ltal´ anos esetben azon val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok v´ arhat´ o ´ert´ek´evel egyenl˝o, amelyeknek az a´tlag´ at tekintett¨ uk. F¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok konvergenci´ aj´anak a fogalm´ at t¨obb k¨ ul¨ onb¨oz˝ o m´ odon defini´alhatjuk, ´es e definici´ ok mindegyike ´ertelmes. Ebben az el˝ oad´asban a nagy sz´amok er˝ os ´es gyenge t¨orv´eny´et ismertetem, amelyek a majdnem minden¨ utt ´es a sztochasztikus konvergenci´ aval kapcsolatosak. A nagy sz´amok er˝ os t¨orv´enye annak adja meg a sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel´et, hogy f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ atlagai egy val´ osz´ın˝ us´eggel tartsanak egy sz´amhoz, a nagy sz´amok gyenge t¨orv´enye pedig annak, hogy ez a konvergencia sztochasztikus ´ertelemben teljes¨ ulj¨on. Mint l´atni fogjuk mind a nagy sz´amok er˝ os mind a nagy sz´amok gyenge t¨orv´enye bizonyos momentum jelleg˝ u felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en ´erv´enyes. Ezek a felt´etelek azt k¨ ovetelik meg, hogy a tekintett ´ atlagban r´esztvev˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok csak viszonylag kis val´ osz´ın˝ us´eggel vegyenek fel nagy ´ert´ekeket. Ez ¨ osszhangban van a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelr˝ ol tanultakkal. A centr´ alis hat´areloszl´ast´etel akkor ´erv´enyes, ha teljes¨ ul a Lindeberg felt´etel. Ez szint´en olyan megk¨ ot´est jelent, hogy a tekintett val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok csak kis val´ osz´ın˝ us´eggel vesznek fel nagyon nagy ´ert´ekeket. Az eredm´enyek jobb meg´ert´ese ´erdek´eben el˝ osz¨ or ´ attekintem az eredm´enyekben megjelen˝o konvergencia fogalmak k¨ oz¨ otti kapcsolatot. Felid´ezek t¨obb kor´ abban tanult eredm´enyt. Ugyancsak ismertetem a nagy sz´amok er˝ os ´es gyenge t¨orv´eny´enek olyan kor´ abban tanult, egyszer˝ us´ıtett v´ altozat´ at, amelyekben ezeket az eredm´enyeket a sz¨ uks´egesn´el er˝ osebb felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en bizony´ıtottam be. E bizony´ıt´ asok o¨sszehasonl´ıt´ asa az eredeti eredm´enyek bizony´ıt´ as´aval ´erthet˝obb´e teszi bizonyos ´ervel´esek szerep´et ´es bizonyos r´eszeredm´enyek jelent˝os´eg´et. A bizony´ıt´ asok sor´ an n´eh´ any o¨nmag´ aban is ´erdekes eredm´eny is megjelenik. Ilyen eredm´eny a Kolmogorov egyenl˝otlens´eg, amely f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok r´eszleto¨sszegeinek maximum´ar´ ol ad olyan becsl´est, mint amilyet a Csebisev egyenl˝otlens´eg ad akkor, ha csak e szupr´emum utols´ o tagj´ at becs¨ ulj¨ uk. Ezenk´ıv¨ ul bebizony´ıtok n´eh´ any olyan eredm´enyt, amelyek bizony´ıt´ asa az itt t´argyalt m´ odszerek seg´ıts´eg´evel t¨ort´enik. Ilyen a Kolmogorov-f´ele h´arom sor t´etel, amely megadja annak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel´et, hogy v´egtelen sok f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o¨ osszege egy val´ osz´ın˝ us´eggel konverg´ aljon. Egy m´ asik fontos t´argyaland´o eredm´eny az u ´gynevezett Kolmogorovf´ele nulla–egy t¨orv´eny, amely arra ad magyar´ azatot, hogy mi´ert tal´ alkozunk f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok tulajdons´againak a vizsg´alat´an´ al gyakran olyan esem´enyekkel, 1
amelyeknek a val´ osz´ın˝ us´ege bizonyos esetekben nulla m´ as esetekben egy, de sohasem valamely e k´et sz´am k¨ oz¨ otti ´ert´ek. Ahhoz, hogy a nagy sz´amok er˝ os ´es gyenge t¨orv´eny´et megfogalmazhassuk, el˝ osz¨ or meg kell adnunk az ezen eredm´enyekben haszn´ alt konvergenci´ ak definici´ oj´at ´es tiszt´aznunk kell ezek kapcsolat´ at egym´ assal. Ezenk´ıv¨ ul felid´ezem az eloszl´ asban val´ o konvergencia fogalm´at is annak ´erdek´eben, hogy ezt is ¨ osszehasonl´ıthassuk a fenti k´et konvergenciafogalommal. Az egy val´ osz´ın˝ us´ eg˝ u konvergencia definici´ oja: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ξn , n = 1, 2, . . . , sorozata akkor konverg´ al egy val´ osz´ın˝ us´eggel egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, ha (egyr´eszt ezek a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ugyanazon az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on vannak defini´ alva, m´ asr´eszt) P ω: lim ξn (ω) = ξ(ω) = 1. n→∞
Megjegyz´es: Az egy val´ osz´ın˝ us´egi konvergencia fogalm´at a m´ert´ekelm´eletben is haszn´ alj´ ak, de ott azt majdnem minden¨ utt val´ o konvergenci´ anak is h´ıvj´ ak. (Az angol nyelv˝ u irodalomban az almost sure convegence, almost everywhere convergence vagy convergence with probability one kifejez´esek haszn´ alatosak.) A sztochasztikus konvergencia definici´ oja: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ξn , n = 1, 2, . . . , sorozata akkor konverg´ al sztochasztikusan egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, ha (egyr´eszt ezek a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ugyanazon az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on vannak defini´ alva, m´ asr´eszt) minden ε > 0 sz´ amra lim P (|ξn (ω) − ξ(ω)| > ε) = 0.
n→∞
Megjegyz´es: A m´ert´ekelm´eletben el˝ ofordul´o kifejez´esek k¨ oz¨ ul a m´ert´ekben val´ o konvergencia felel meg ennek a fogalomnak. Az egyetlen apr´o k¨ ul¨ onbs´eg a m´ert´ekelm´elet ´es val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as sz´ohaszn´alata k¨ oz¨ ott abban van, hogy a m´ert´ekelm´eletben v´eges, de nem felt´etlen¨ ul val´ osz´ın˝ us´egi (azaz egyre norm´ alt) m´ert´ekeket tekintenek. Az eloszl´ asban val´ o konvergencia definici´ oja: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ξn , n = 1, 2, . . . , sorozata akkor konverg´ al eloszl´ asban egy F (u) eloszl´ asf¨ uggv´enyhez vagy az ezen eloszl´ asf¨ uggv´eny a ´ltal meghat´ arozott eloszl´ ashoz, ha lim P (ξn < u) = F (u) minden n→∞
olyan u sz´amra, ahol az F (·) eloszl´ asf¨ uggv´eny f¨ uggv´eny folytonos. (Azt mondjuk, hogy a ξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata eloszl´ asban konverg´ al egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, ha ez a sorozat eloszl´ asban konverg´ al az F (u) = P (ξ < u) eloszl´ asf¨ uggv´enyhez.) A k¨ ovetkez˝ o kapcsolat ´erv´enyes a fenti konvergenciafogalmak k¨ oz¨ ott. Egy val´ osz´ın˝ us´egi konvergencia ⇒ Sztochasztikus konvergencia ⇒ Eloszl´asban val´ o konvergencia. 2
El˝osz¨ or megt´ argyalom az egy val´ osz´ın˝ us´egi ´es sztochasztikus konvergencia kapcsolat´ at. Ha ξn (ω) → ξ(ω) egy val´ osz´ın˝ us´eggel, akkor defini´alva az An = An (ε) = ω: sup |ξk (ω) − ξ(ω)| < ε k≥n
halmazokat kapjuk, asba skatuly´azott An halmazokra, (azaz A1 (ω) ⊂ az egym´ ∞ hogy S An = 1. Ez´ert lim P (An ) = 1. Mivel {ω: |ξn (ω) − ξ(ω)| < A2 ⊂ · · · ), P n→∞
n=1
ε} ⊃ An , P (|ξn (ω) − ξ(ω)| < ε) → 1, azaz P (|ξn (ω) − ξ(ω)| ≥ ε) → 0, ha n → ∞. Ez azt jelenti, hogy az egy val´ osz´ın˝ us´eg˝ u konvergenci´ ab´ ol k¨ ovetkezik a sztochasztikus konvergencia. Megfogalmazom az al´ abbi ´ all´ıt´ ast, amelyet nem neh´ez bebizony´ıtani. De mivel nem lesz r´a k´es˝obb sz¨ uks´eg¨ unk, az´ert elhagyom a bizony´ıt´ ast.
´ ıt´ All´ as: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ξn , n = 1, 2, . . . , sorozata, akkor ´es csak akkor konverg´ al egy val´ osz´ın˝ us´eggel egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, ha az ηn = sup |ξk − ξ| val´ osz´ın˝ us´egi k≥n
v´ altoz´ ok sorozata sztochasztikusan konverg´ al null´ ahoz, azaz minden ε > 0 sz´ amra lim P sup |ξk − ξ| > ε = 0. n→∞
k≥n
L´ assunk p´eld´at arra, hogy lehets´eges olyan ξn , n = 1, 2, . . . , ´es ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat konstru´ alni, amelyekre a ξn , n = 1, 2, . . . , sorozat sztochasztikusan tart ξhez, de a ξn sorozat nem konverg´al egy val´ osz´ın˝ us´eggel a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz. Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ ot: Ω a [0, 1] intervallum, A a Borel m´erhet˝ o halmazok σ-algebr´aja a [0, 1] intervallumon, a P val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek a Lebesgue m´ert´ek. Legyen ( 1 ha x ∈ (n − 2k )2−k , (n + 1 − 2k )2−k ξn (x) = 0 ha x ∈ / (n − 2k )2−k , (n + 1 − 2k )2−k akkor ha 2k ≤ n < 2k+1 ,
k = 1, 2, . . . ,
´es ξ(x) = 0 minden 0 ≤ x ≤ 1 sz´amra. Ekkor P (|ξn − ξ| > ε) = 2−k minden 1 > ε > 0 sz´amra, ha 2k ≤ n < 2k+1 . Teh´ at a ξn , n = 1, 2, . . . , sorozat sztochasztikusan konverg´ al a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz. Viszont mivel lim sup ξn (x) = 1 minden 0 ≤ x ≤ 1 sz´amra, n→∞
ez´ert a ξn sorozat nem konverg´al egy val´ osz´ın˝ us´eggel a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz. M´asr´eszt tekints¨ unk egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot ´es ξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi ∞ P P (|ξn − ξ| > ε) < ∞ minden ε > 0 sz´amra. Ekkor v´ altoz´ ok olyan sorozat´at, amelyre n=1
3
a Borel–Cantelli lemm´ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy a ξn sorozat egy val´ osz´ın˝ us´eggel konverg´ al a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz. Ez azt jelenti, hogy egyr´eszt mint az el˝oz˝ o p´elda mutatja a lim P (|ξn − ξ| > ε) rel´ aci´o teljes¨ ul´ese minden ε > 0 sz´amra elegend˝ o a sztochasztikus, n→∞ de nem elegend˝ o az egy val´ osz´ın˝ us´eggel val´ o konvergenci´ ahoz. M´asr´eszt az er˝ osebb ∞ P P (|ξn − ξ| > ε) < ∞ rel´ aci´o teljes¨ ul´ese minden ε > 0 sz´amra elegend˝ o az egy n=1
val´ osz´ın˝ us´egi konvergenci´ ahoz is.
A sztochasztikus konvergencia ´es eloszl´ asban val´ o konvergencia k¨ oz¨ otti kapcsolatra ´erv´enyesek a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok. 1. ´ alll´ıt´ as sztochasztikus ´ es eloszl´ asban val´ o konvergencia kapcsolat´ ar´ ol. Ha valamely ξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sztochasztikusan konverg´ alnak egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, akkor ezek a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban is konverg´ alnak ehhez a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz. Indokl´ as: Legyen x folytonoss´agi pontja a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o F (·) eloszl´ asf¨ uggv´eny´enek, ´es r¨ogz´ıtve egy ε > 0 sz´amot v´ alasszunk olyan δ = δ(ε) > 0 sz´amot, melyre F (x) − 2ε ≤ F (x − δ) ≤ F (x + δ) < F (x) + 2ε . Ezut´an v´ alasszunk olyan n0 = n0 (ε, δ) ε sz´amot, amelyre P (|ξn − ξ| ≥ δ) < 2 . Ekkor P (ξn < x) < P (ξ < x + δ) + P (|ξn − ξ| ≥ δ) ≤ F (x + δ) + 2ε ≤ F (x) + ε. M´asr´eszt P (ξn > x) < P (ξ > x − δ) + P (|ξn − ξ| ≥ δ) ≤ 1 − F (x − δ) + 2ε ≤ 1 − F (x) + ε, ha n ≥ n0 . Innen F (x) − ε ≤ P (ξn < x) ≤ F (x) + ε n ≥ n0 eset´en. Mivel minden ε > 0 eset´en ´erv´enyes egy ilyen becsl´es, innen k¨ ovetkezik a megfogalmazott ´ all´ıt´ as. Term´eszetesen lehets´eges, hogy ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy sorozata eloszl´ asban konverg´ al egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, de sztochasztikusan nem konverg´ al. Erre p´elda az az eset, amikor a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es azonos eloszl´ as´ uak. Ekkor az eloszl´ asban val´ o konvergencia ny´ılv´an teljes¨ ul, de ha a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asa nem elfajult, azaz a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok nem egyenl˝oek egy konstanssal egy val´ osz´ın˝ us´eggel, akkor e val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok nem konverg´alnak sztochasztikusan. Viszont abban az esetben, ha a limesz konstans akkor igaz a k¨ ovetkez˝ o a´ll´ıt´ as: 2. ´ all´ıt´ as sztochasztikus ´ es eloszl´ asban val´ o konvergencia kapcsolat´ ar´ ol. Ha valamely ξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy a konstanshoz konverg´ alnak eloszl´ asban, (azaz egy olyan val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, amelynek ´ert´eke egy val´ osz´ın˝ us´eggel ez az a konstans, akkor a ξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata sztochasztikusan is konverg´ al ehhez az a konstanshoz. Indokl´ as: A limeszk´ent megjelen˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggv´enye az az F (x) eloszl´ as, amelyre F (x) = 0, ha x ≤ a, ´es F (x) = 1 ha x > a. Az F (x) f¨ uggv´enynek az x = a pontot kiv´eve minden pont folytonoss´agi pontja. Ez´ert minden ε > 0 sz´amra lim P (ξn < a + ε) = 1, lim P (ξn < a − ε) = 0. Innen k¨ ovetkezik, hogy lim P (|ξn − n→∞
n→∞
n→∞
ξ| < ε) = lim P (|ξn − a| < ε) = lim (P (ξn < a + ε) − P (ξn ≤ a − ε)) = 1. Innen n→∞ n→∞ k¨ ovetkezik a 2. a ´ll´ıt´ as eredm´enye. 4
Ezut´an megfogalmazom pontosan, hogy mikor mondjuk, hogy teljes¨ ul a nagy sz´amok gyenge ´es er˝ os t¨orv´enye, ´es megfogalmazok k´et t´etelt, amelyek megadj´ak e k´et t¨orv´eny teljes¨ ul´es´enek a sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel´et. Ezt a k´et eredm´enyt o¨sszehasonl´ıtom. Nagy sz´ amok gyenge t¨ orv´ eny´ enek a definici´ oja. Legyen ξn , n = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata egy val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, Sn = n P ξk , k = 1, 2, . . . . Azt mondjuk, hogy ezek a ξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok k=1
teljes´ıtik a nagy sz´ amok gyenge t¨ orv´eny´et, ha l´etezik olyan E sz´ am, amelyre teljes¨ ul, hogy Sn osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sztochasztikusan konverg´ alnak az E sz´ amaz n , n = 1, 2, . . . , val´ hoz, azaz ahhoz a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, amely egy val´ osz´ın˝ us´eggel az E konstanssal egyenl˝ o. Nagy sz´ amok er˝ os t¨ orv´ eny´ enek a definici´ oja. Legyen ξn , n = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen, n P egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata egy val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, Sn = ξk , k=1
k = 1, 2, . . . . Azt mondjuk, hogy ezek a ξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok teljes´ıtik a nagy sz´ amok er˝ os t¨ orv´eny´et, ha l´etezik olyan E sz´ am, melyre teljes¨ ul, hogy az Snn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy val´ osz´ın˝ us´eggel konverg´ alnak az E sz´ amhoz, azaz ahhoz a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, amely egy val´ osz´ın˝ us´eggel az E konstanssal egyenl˝ o. T´ etel a nagy sz´ amok er˝ os t¨ orv´ eny´ er˝ ol. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen, egyforma n P eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, ´es defini´ aljuk e sorozat Sn = ξk , n = k=1
Sn (ω) n , n ξ1 , ξ2 , . . .
= 1, 2, . . . , sorozat egy 1, 2, . . . , r´eszlet¨ osszegeit. Ha E|ξ1 | = ∞, akkor az val´ osz´ın˝ us´eggel divergens. Ha E|ξ1 | < ∞, akkor a sorozat teljes´ıti a nagy sz´ amok er˝ os t¨ orv´eny´et E = Eξ1 konstanssal, azaz ebben az esetben Sn (ω) = Eξ1 n→∞ n lim
majdnem minden ω ∈ Ω-ra.
T´ etel a nagy sz´ amok gyenge t¨ orv´ eny´ er˝ ol. Legyen ξk , k = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata valamely F eloszl´ asf¨ uggv´ennyel. Ezen n P 1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok n ξk , n = 1, 2, . . . , a ´tlagai akkor ´es csak akkor teljes´ıtik a k=1
nagy sz´ amok gyenge t¨ orv´eny´et, azaz akkor ´es csak akkor konverg´ alnak sztochasztikusan n → ∞ eset´eben valamely a, −∞ < a < ∞, sz´ amhoz, ha teljes¨ ulnek a lim x [F (−x) + (1 − F (x))] = 0,
x→∞
rel´ aci´ ok. A lim
Ru 1 n
lim
u→∞
u
xF ( dx) = a
−u
xF ( dx) = a felt´etelben szerepl˝ o a sz´ am, megegyezik azzal az a n P ξk , n = 1, 2, . . . , a ´tlagok konverg´ alnak.
u→∞ −u
sz´ ammal ahov´ a az
´es
Z
k=1
5
A fenti k´et t´etel ¨ osszehasonl´ıt´ as´ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy ha teljes¨ ulnek a nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´er˝ ol sz´ol´ o t´etel felt´etelei, akkor a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´er˝ ol sz´ol´ o t´etel felt´eteleinek is teljes¨ ulni¨ uk kell. L´ assuk be k¨ ozvetlen¨ ul ezt az ´ all´ıt´ ast. Ru A Lebesgue t´etelb˝ ol ´es az E|ξ| < ∞ rel´ aci´ob´ ol k¨ ovetkezik, hogy lim −u xF ( dx) = u→∞ R∞ R∞ R∞ xF ( dx) = Eξ . M´ a sr´ e szt x(1 − F (x)) ≤ uF ( du), ´ e s lim uF ( du) = 0 1 −∞ x x x→∞
szint´en a Lebesgue t´etel szerint. Teh´ at lim x(1 − F (x)) = 0, ha E|ξ1 | < ∞. Hasonl´ oan x→∞
lim xF (−x) = 0 ebben az esetben.
x→∞
Annak ´erdek´eben, hogy a nagy sz´amok gyenge ´es er˝ os t¨orv´eny´enek a kapcsolat´ at jobban meg´erts¨ uk tekints¨ unk n´eh´ any p´eld´at. 1. p´elda. Tekints¨ uk f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok olyan ξ1 , ξ2 , . . . , sorozat´at, amelyeknek van s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny¨ uk, ´es az f (x) = C|x|−α , ha |x| ≥ 1, fR (x) = 0, ha |x| < 1 alak´ u, ahol α > 1, ´es a C = C(α) konstans u ´gy van v´ alasztva, hogy R∞ ∞ f (x) dx = 1, azaz f (x) s˝ u r˝ u s´ e gf¨ u ggv´ e ny. Ha α > 2, akkor E|ξ | = |x|f (x) dx < 1 −∞ R−∞ ∞ ∞, ´es ´erv´enyes a nagy sz´amok er˝ os t¨orv´enye. Ha α = 2, akkor E|ξ1 | = −∞ |x|f (x) dx = ∞,R ´es a nagy sz´amok er˝ os t¨orv´enye nem teljes¨ ul. S˝ot, ebben az esetben F (x) = ∞ 1 −1 C x x2 dx = Cx , ha x > 1, ez´ert lim xF (x) = C > 0, ´es a nagy sz´amok gyenge x→∞ t¨orv´enye sem teljes¨ ul. Ha 1 < α < 2, akkor szint´en sem a nagy sz´amok er˝ os sem a nagy sz´amok gyenge t¨orv´enye nem teljes¨ ul. 2. p´elda. Tekints¨ unk f¨ uggetlen, egyforma, Cauchy eloszl´ as´ u ξ1 , ξ2 , . . . , val´ osz´ın˝ us´egi 1 1 v´ altoz´ okat, azaz olyan val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, amelyeknek f (x) = π 1+x2 , −∞ < x < ∞, alak´ u s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny¨ uk van. Az els˝ o p´elda ´ervel´ese (az α = 2 esetben) mutatja, hogy ezek a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sem teljes´ıtik a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´et. S˝ot, mint k´es˝obb l´atni fogjuk, ennek a sorozatnak a k¨ ovetkez˝ o nevezetes tulajdons´aga is n P ξn ´ atlagainak az eloszl´ asa minden n sz´amra megvan. E val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok n1 k=1
ugyanaz a Cauchy eloszl´ as, mint a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa.
3. p´elda: Legyen ξk , k = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok C sorozata, az f (u) = u2 log |u| , ha |u| > 3, f (u) = 0, ha |u| ≤ 3, k´eplettel megadott R du aci´o hat´arozza meg.) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel. (A C konstanst az |u|>3 u2Clog |u| = 1 rel´ m P Defini´ aljuk az Sn = ξk , n = 1, 2, . . . , r´eszlet¨ osszegeket. Ekkor E|ξ1 | = ∞, ez´ert ezek k=1
a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok nem teljes´ıtik a nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´et. M´a sr´eszt az Snn atlagok sztochasztikusan tartanak null´ ´ ahoz, azaz minden ε > 0 sz´amra P Snn > ε → 0, ha n → ∞. Ez azt jelenti, hogy ez a sorozat teljes´ıti a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´et. R R ∞ 2C A 3. p´elda indokl´ asa: E val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra E|ξ1 | = uf (u) du = 3 u log u du = Rx 1 x o, ∞, mert 3 u log u du = [log log u]3 , ´es lim log log x = ∞. (Ez p´eld´aul onnan l´athat´ x→∞
1 hogy az x log ıv f¨ uggv´enye a log log x f¨ uggv´eny.) Ez azt jelenti, hogy ez a x primit´ sorozat nem teljes´ıti a nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´et. Mivel a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
6
s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye p´aros f¨ uggv´eny, annak megmutat´ asa ´erdek´eben, hogy az
Sn n
=
1 n
n P
ξk
k=1
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sztochasztikusan tartanak null´ ahoz a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´er˝ ol sz´ol´ o t´etel alapj´ an el´eg megmutatni azt, hogy lim x[(1 − F (x)) + F (−x)] = lim x
x→∞
x→∞
Z
∞ x
u2
2C du = 0. log log u
(a)
2C Mivel minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan x = x(ε) k¨ usz¨ obindex, amelyre u2 log log u ≤ R R ∞ ∞ −2 ε 2C ert x x u2 log log u du ≤ εx x u du = ε, ha x ≥ x(ε). Mivel ez u2 , ha u ≥ x, ez´ az egyenl˝otlens´eg minden ε > 0 sz´amra ´erv´enyes, innen k¨ ovetkezik az (a) formul´ aban megfogalmazott rel´ aci´o.
K´es˝obb, a gyakorlaton megt´ argyalom, hogyan lehet a 3. p´elda a´ll´ıt´ as´ at k¨ ozvetlen¨ ul, a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´er˝ ol sz´ol´ o t´etel felhaszn´al´ asa n´elk¨ ul bebizony´ıtani. A fenti p´eld´ak hasonl´ıtottak egym´ ashoz abban, hogy mindegyikben a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny a plusz-minusz v´egtelen k¨ ornyezet´eben aszimptotikusan u ´gy viselkedett, mint u12 szorozva egy logaritmus hatv´any rend˝ u korrekci´ os taggal. E korrekci´ os tag nagys´aga befoly´asolta, hogy b´ızonyos integr´alok konvergensek-e vagy divergensek, ´es ett˝ ol f¨ ugg¨ott, hogy teljes¨ ul-e a nagy sz´amok er˝ os vagy gyenge t¨orv´enye. L´ attuk, hogy a nagy sz´amok k¨ ul¨ onb¨oz˝ o t¨orv´enyeit kimond´o t´etelekben ´es p´eld´akban az j´ atszott fontos szerepet, hogy az o¨sszeadand´ ok eloszl´ asf¨ uggv´enyei hogyan viselkednek a ±∞ k¨ ornyezet´eben, milyen gyorsan tartanak ott az eloszl´ asf¨ uggv´enyek egyhez illetve null´ ahoz. Ett˝ol f¨ ugg ugyanis, hogy az ott szerepl˝o integr´alok konvergensek vagy divergensek. R´ at´erek a nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´enek a bizony´ıt´ as´ara. A bizony´ıt´ asban hasznos az al´ abbi lemma, amely azt a tulajdons´agot, hogy egy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o abszolut ´ert´ek´enek a v´ arhat´ o ´ert´eke v´eges ekvivalens m´ odon fejezi ki a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggv´eny´enek a seg´ıts´eg´evel. Lemma annak jellemz´ es´ er˝ ol, hogy egy val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o abszolut ´ ert´ ek´ enek a v´ arhat´ o´ ert´ eke mikor v´ eges. Egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o abszolut ´ert´ek´enek ∞ P P (|ξ| > n) < ∞. E|ξ| v´ arhat´ o ´ert´eke akkor ´es csak akkor v´eges, ha n=1
A lemma bizony´ıt´ asa. Vezess¨ uk be a k¨ ovetkez˝ o ξ˜ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot: ξ˜ = j, ha ˜ j − 1 < |ξ| ≤ j, j = 1, 2, . . . . Ekkor P (0 ≤ |ξ| − ξ ≤ 1) = 1, ez´ert a |ξ| ´es ξ˜ val´ osz´ın˝ us´egi ∞ P v´ altoz´ ok v´ arhat´ o ´ert´eke egyszerre v´eges vagy v´egtelen. M´asr´eszt E ξ˜ = jP (ξ˜ = j) = j=1
∞ P
jP (j − 1 < |ξ| ≤ j), ez´ert ennek az ¨ osszegnek a konvergenci´ aj´at vagy divergenci´ aj´at
j=1
kell vizsg´alnunk. Fel´ırhatjuk, hogy
∞ P
jP (j − 1 < |ξ| ≤ j) =
j=1
∞ P
j=1
7
j(P (|ξ| > j − 1) − P (|ξ| > j)).
Rendezz¨ uk ´ at a fenti ¨ osszeget a k¨ ovetkez˝ o m´ odon. Tetsz˝oleges N sz´amra N X
jP (j − 1 < |ξ| ≤ j) =
j=1
N X
j(P (|ξ| > j − 1) − P (|ξ| > j))
j=1
=
N −1 X
P (|ξ| > j)((j + 1) − j) − N P (|ξ| > N ) =
j=1
N −1 X
P (|ξ| > j) − N P (|ξ| > N ).
j=1
Megmutatom, hogy N → ∞ hat´ar´ atmenettel a fenti rel´ aci´ob´ ol k¨ ovetkezik a Lemma all´ıt´ ´ asa. Val´ oban, ha E|ξ| < ∞, akkor v´ alaszthat´o egy K < ∞ sz´am u ´gy, hogy ∞ P jP (j − 1 < |ξ| ≤ j) ≤ tetsz˝oleges N ≥ 1 eg´esz sz´amra N P (|ξ| > N ) ≤ j=N +1
∞ P
jP (j − 1 < |ξ| ≤ j) ≤ K. Ebben a becsl´esben a K konstans nem f¨ ugg az N
j=1
sz´amt´ol. ´Igy az el˝ oz˝ o becsl´es alapj´ an az E|ξ1 | < ∞ esetben l´eteznek olyan univerz´ alis L ´es K sz´amok, amelyekre L≥
N −1 X
P (|ξ| > j) − K
minden N = 1, 2, . . . sz´amra,
j=1
´es innen
∞ P
P (|ξ| > j) < ∞).
j=1
Ha E|ξ| = ∞, akkor
∞ P
P (|ξ| > j) = ∞, mert ekkor
N =1 N −1 X
P (|ξ| > j) ≥
j=1
´es lim
N P
N →∞ j=1
N X
jP (j − 1 < |ξ| ≤ j),
j=1
jP (j − 1 < |ξ| ≤ j) = ∞.
Megjegyz´es: Az ¨ osszegnek a fenti sz´amol´ asban t¨ort´ent ´ atrendez´es´et Abel-f´ele a´trendez´esnek nevezik, ´es ez sokszor hasznos. Az Abel-f´ele ´ atrendez´es egy´ebk´ent az integr´alsz´am´ıt´ asban alkalmazott parci´ alis integr´al´ as diszkr´et megfelel˝ oje. Megjegyzem, hogy ennek a fenti lemm´anak igaz a k¨ ovetkez˝ o a´ltal´ anos´ıt´ asa, amelyet hasonl´oan lehet bizony´ıtani. De mivel erre nem lesz sz¨ uks´eg¨ unk, ennek bizony´ıt´ as´at elhagyom. A v´ arhat´ o ´ ert´ ek l´ etez´ es´ er˝ ol sz´ ol´ o lemma ´ altal´ anos´ıt´ asa. Egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi r v´ altoz´ o akkor ´es csak akkor teljes´ıti az E|ξ| < ∞ momentum felt´etelt valamely r ≥ 1 ∞ P nr−1 P (|ξ| > n) < ∞. sz´ amra, ha n=1
8
A nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´enek el˝ osz¨ or a negat´ıv fel´et bizony´ıtom be. A nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´er˝ ol sz´ol´ o t´etelnek ezt a r´esz´et az al´ abbi lemma tartalmazza. Lemma f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u nem integr´ alhat´ o val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ´ atlag´ anak a viselked´ es´ er˝ ol. Ha ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ on P sz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, ´es E|ξ1 | = ∞, akkor az Snn(ω) = n1 ξk (ω), n = 1, 2, . . . , a ´tlagok k=1
sorozata majdnem minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre divergens.
A lemma bizony´ıt´ asa. Felhaszn´ajuk azt a lemm´at, amely azt jellemzi, hogy egy val´osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o abszolut ´ert´ek´enek a v´ arhat´ o ´ert´eke mikor v´eges. Ezen eredm´eny, az E|ξ1 | = ∞ rel´ aci´o ´es a ξj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok azonos eloszl´ asa miatt ´erv´enyes ∞ ∞ P P P (|ξn | > n) = ∞ rel´ aci´o. A ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok P (|ξ1 | > n) = a n=1
n=1
f¨ uggetlens´ege miatt az {ω: |ξn (ω)| > n} esem´enyek is f¨ uggetlenek. Ez´ert a Borel– Cantelli lemm´ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy majdnem minden ω ∈ Ω-ra |ξn (ω)| > n v´egtelen sok az (ω elemi esem´enyt˝ol f¨ ugg˝o) n indexre. Tekints¨ unk egy olyan ω ∈ Ω elemi Sn (ω) ugghet esem´enyt, amelyre lim n = a valamilyen v´eges a sz´amra. (Ez az a sz´am f¨ n→∞
(ω) az ω elemi esem´enyt˝ol.) Ilyen ω pontokban a lim Sn−1 = a rel´ aci´o is teljes¨ ul. Ez´ert n n→∞ (ω) = lim ξnn(ω) = 0. Ez a rel´ aci´o viszont, mint l´attuk, csak egy lim Snn(ω) − Sn−1 n n→∞ n→∞ nulla val´ osz´ın˝ us´egi halmazon teljes¨ ulhet.
A nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´er˝ ol sz´ol´ o t´etel konvergencia r´esz´enek bizony´ıt´ asa megfelel˝o becsl´esek alkalmaz´as´at ig´enyli. Annak ´erdek´eben, hogy a bizony´ıt´ asban felmer¨ ul˝ o probl´em´akat ´es gondolatokat jobban meg´erts¨ uk, felid´ezem e t´etel azon gyeng´ebb v´ altozat´anak a bizony´ıt´ as´at, amelyet a bevezet˝ o val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as el˝ oad´ason ismertettem. A nagy sz´ amok er˝ os t¨ orv´ eny´ er˝ ol sz´ ol´ o t´ etel egy gyeng´ ebb v´ altozata. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, amelyekre teljes¨ ul az Eξ14 < ∞ felt´etel, ´es vezess¨ uk be az Sn = n P Sn (ω) osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok majdnem minξj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat. Ekkor az n val´ j=1
den ω ∈ Ω-ra konverg´ alnak az Eξ1 , sz´ amhoz, azaz ezen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata teljes´ıti a nagy sz´ amok er˝ os t¨ orv´eny´et az E = Eξ konstanssal.
A t´etel bizony´ıt´ asa. Bevezetve a ξ¯j = ξj − Eξj , j = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat olyan f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat kapunk, amelyeknek a v´ arn n P P hat´o ´ert´eke nulla, ´es E ξ¯4 < 0. Ezenk´ıv¨ ul ξj = ξ¯j + nEξ1 . Ez´ert el´eg bel´ atni a j=1
j=1
t´etel a ´ll´ıt´ as´at nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ atlag´ ara. Tekints¨ uk ezt az esetet, ´es sz´amoljuk ki az E
Sn n
4
=
1 E(ξ1 + · · · + ξn )4 n4 9
v´ arhat´ o ´ert´ekeket. ESn4
4
= E(ξ1 + · · · + ξn ) =
n X
X
Eξk4 + 6
k=1
Eξj2 Eξk2 + 4
1≤j
+ 12
X
=
nEξ14
Eξj3 Eξk | {z } 1≤j,k≤n j6=k
=0
Eξj2 Eξk Eξl | {z } 1≤k
+ 24
X
X
=0
Eξj Eξk Eξl Eξm | {z } 1≤j
+ 3n(n −
=0
1)(Eξ12 )2 ,
ez´ert ! 4 4 Sn ESn4 1 Sn 4 >ε = E ≤ n ε4 n n4 ε4 1 1 4 2 Eξ + 3 1 − )(Eξ ) const. 1 1 n ≤ 2 4 . = n 2 4 n ε n ε
Sn P > ε = P n
Ebb˝ ol a becsl´esb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy
∞ P
n=1
P Snn > ε < ∞ minden ε > 0 sz´amra, ´es a
Borel–Cantelli lemma (k¨onnyebbik fel´eb˝ ol) k¨ ovetkezik, hogy minden ε > 0 sz´amra ´es Sn (ω) majdnem minden ω ∈ Ω pontban teljes¨ ul, hogy n ≤ ε, ha n ≥ n0 (ω). Alkalmazva
ezt a rel´ aci´ot minden ε = t¨orv´eny´et.
1 k
sz´amra k = 1, 2, . . . , megkapjuk a nagy sz´amok er˝ os
A bizony´ıt´ asban f¨ uggetlen, nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a´tlag´ anak a negyedik momentum´ ara adtunk j´ o becsl´est, ´es ebb˝ ol a becsl´esb˝ ol k¨ ovetkezett a nagy sz´amok t¨orv´enye. Ahhoz azonban, hogy ezt a becsl´est v´egre tudjuk hajtani, sz¨ uks´eg volt arra a felt´etelre, hogy a tekintett val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak l´etezik negyedik momentuma. Felmer¨ ul a k´erd´es, hogyan lehet a fenti ´ervel´est u ´gy m´ odos´ıtani, hogy az megadja a nagy sz´amok t¨orv´eny´et j´ oval gyeng´ebb momentum felt´etelek eset´en is. Ha a tekintett val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak l´etezik m´ asodik momentuma, de enn´el er˝ osebb momentumfelt´etelt nem tesz¨ unk fel, akkor az el˝ oz˝ o m´ odszer megfelel˝ oje a Csebisev egyenl˝otlens´eg alkalmaz´asa lenne f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ok a´tlag´ ara. Felid´ezem a Csebisev egyenl˝otlens´eget. Csebisev egyenl˝ otlens´ eg: Ha egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o m´ asodik momentuma Eξ 2 = m2 , akkor tetsz˝ oleges x > 0 sz´ amra P (|ξ| > x) ≤ 10
m2 . x2
Innen k¨ ovetkezik, ha ezt az egyenl˝ otlens´eget a ξ¯ = ξ − Eξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ora alkalmazzuk, hogy Var ξ , P (|ξ − Eξ| > x) ≤ x2 F¨ uggetlen, nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es v´eges m´ asodik momentummal rendelkez˝ o ξ1 , ξ2 , n P . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok Sn = ξj ¨ osszeg´enek eloszl´ as´ara a Csebisev egyenl˝otlens´eg j=1
a k¨ ovetkez˝ o becsl´est adja.
n P Var ξj X n Var S j=1 n P (|Sn | > x) = P = ξj > x ≤ x2 x2 j=1
Ha f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a´tlag´ at tekintj¨ uk, akkor a fenti egyenl˝otlens´eg a Sn P > nε ≤ n
n P
Eξj2
j=1 ε2 n2
Eξ12 = nε2
becsl´est adja. Ebb˝ ol a becsl´esb˝ ol k¨ ovetkezik a nagy sz´amok gyenge t¨orv´enye, de nem k¨ ovetkezik a nagy sz´amok er˝ os t¨orv´enye. Viszont az al´ abb ismertetend˝ o Kolmogorov egyenl˝otlens´eg seg´ıts´eg´evel, amely tekinthet˝ o a f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok o¨sszeg´enek eloszl´ as´ar´ ol sz´ol´ o Csebisev egyenl˝otlens´eg ´eles´ıt´es´enek is, be lehet bizony´ıtani a nagy sz´amok t¨orv´eny´et az ´ altal´ anos esetben. Ismertetem ezt az eredm´enyt. Kolmogorov egyenl˝ otlens´ eg. Legyenek ξ1 , . . . , ξn f¨ uggetlen, (nem felt´etlen¨ ul egyk P ξp , forma eloszl´ as´ u) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, Eξk = 0, Eξk2 = Var ξk = σk2 , Sk = p=1
k = 1, . . . , n. Ekkor
P
ES 2 sup |Sk | ≥ x ≤ 2n = x 1≤k≤n
n P
σk2
k=1 x2
minden x > 0-ra. Tekints¨ uk f¨ uggetlen, nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u, v´eges m´ asodik momentummal rendelkez˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozat´at, ´es legyen Sn az els˝ o n tag r´eszlet¨ osszege. Nyilv´ anval´ o, hogy sup |Sk (ω)| ≥ |Sn (ω)|. Viszont vannak a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ asnak olyan eredm´e1≤k≤n
nyei, amelyek azt fejezik ki, hogy a tekintett sup |Sk (ω)| kifejez´es nem sokkal nagyobb, 1≤k≤n
mint az ebben a szupr´emumban szerepl˝o utols´ o |Sn (ω)| tag. Ezekben az eredm´enyekben annak a val´ osz´ın˝ us´eg´et hasonl´ıtj´ak ¨ ossze, hogy e k´et kifejez´es ´ert´eke nagyobb, mint valamilyen x > 0 sz´am, ´es ezek bizonyos ´ertelemben azonos nagys´agrend˝ uek. 11
A Kolmogorov egyenl˝otlens´eg is tekinthet˝ u eredm´ o ilyen jelleg˝ enynek. Ez az egyen-
l˝otlens´eg ugyanazt a fels˝o becsl´est adja a P
sup |Sk (ω)| > x
val´ osz´ın˝ us´egre, mint
1≤k≤n
amit a Csebisev egyenl˝otlens´eg ad a P (|Sn (ω)| > x) val´ osz´ın˝ us´egre. A Kolmogorov egyenl˝otlens´eg bizony´ıt´ asa el˝ ott megmutatom, hogyan lehet ezen egyenl˝otlens´eg ´es az al´ abb megfogalmazott (nem val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as jelleg˝ u eredm´enyt tartalmaz´ o) Kronecker lemma seg´ıts´eg´evel bebizony´ıtani a nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´et az a´ltal´ anos esetben. A Kronecker lemma bizony´ıt´ as´at is k´es˝obbre halasztom. Kronecker lemma: Ha az an ´es qn , n = 1, 2, . . . , val´ os sz´ amoknak olyan sorozatai, ∞ P an o ¨sszeg konvergens, a qn sorozat monoton n˝ o ´es lim qn = ∞, akkor amelyekre n→∞
n=1
n P
ak qk lim 1 n→∞ qn k=1
= 0.
´ Erdemes a Kronecker lemma k¨ ovetkezm´enyek´ent megfogalmazni annak al´ abbi speci´ alis eset´et, amelyet an = xnn ´es qn = n v´ alaszt´ assal kapunk. Kronecker lemma k¨ ovetkezm´ enye. Legyen xn , n = 1, 2, . . . , val´ os sz´ amok olyan ∞ n P P xn 1 sorozata, amelyre a ¨sszeg konvergens. Ekkor lim n xk = 0. n o n→∞
n=1
k=1
A nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´et a fenti eredm´enyek seg´ıts´eg´evel fogom bebizony´ıtani az ´ altal´ anos esetben. A bizony´ıt´ asban alkalmas csonk´ıt´ ast fogunk alkalmazni, amely lehet˝ ov´e teszi, hogy v´eges m´ asodik momentummal rendelkez˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okkal dolgozzunk.
A nagy sz´ amok t¨ orv´eny´er˝ ol sz´ ol´ o t´etel konvergens r´esz´enek a bizony´ıt´ asa a fenti eredm´enyek seg´ıts´eg´evel. Azt kell megmutatni, hogy amennyiben ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen, egyforma n P Eξk (ω) → Eξ1 1 val´ osz´ın˝ ueloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, ´es E|ξ1 | < ∞, akkor n1 k=1
s´eggel. Bevezetve a ξ¯n = ξn − Eξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat nem neh´ez bel´ atni, hogy az ´ all´ıt´ ast elegend˝ o bel´ atni nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok atlag´ ´ ara. Ez´ert a tov´ abbiakban felteszem, hogy Eξ1 = 0. Vezess¨ uk be a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ξn = ξn′ + ξn′′ , ξn′ = ξn I(|ξn | ≤ n), ξn′′ = ξn I(|ξn | > n) alak´ u felbont´as´at, ahol I(A) az A halmaz indik´atorf¨ uggv´eny´et jel¨oli. Felhaszn´alva a lemm´at annak jellemz´es´er˝ ol, hogy egy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o abszolut ´ert´ek´enek a v´ arhat´ o ´ert´eke mikor v´eges kapjuk, hogy ∞ X
P (ξk′′
k=1
6= 0) =
∞ X
P (|ξk | > k) < ∞.
k=1
Ez´ert a Borel–Cantelli lemma alapj´ an egy val´ osz´ın˝ us´eggel csak v´eges sok k indexre teln P jes¨ ul a ξk′′ (ω) 6= 0 rel´ aci´o, ´es n1 ξk′′ (ω) → 0 egy val´ osz´ın˝ us´eggel. A t´etel bizony´ıt´ as´ahoz k=1
12
azt kell bel´ atni, hogy a
1 n
n P
k=1
ξk′ (ω) → 0 egy val´ osz´ın˝ us´eggel rel´ aci´o szint´en teljes¨ ul.
Ezel˝ ott azt mutatom meg, hogy
1 n
n P
k=1
Eξk′ (ω) → 0. Val´ oban,
n n n 1 X 1X 1X ′ ′′ Eξk = − Eξk ≤ E|ξ1 |I(|ξ1 | ≥ k) → 0, n n n k=1
k=1
k=1
ha n → ∞, mert az E|ξ1 | < ∞ rel´ aci´ob´ ol k¨ ovetkezik, hogy E|ξ1 |I(|ξ1 | ≥ k) → 0, ha k → ∞. Ezen ¨ ossszef¨ ugg´es alapj´ an a t´etel bizony´ıt´ as´ahoz azt kell igazolni, hogy n
1X ′ (ξk (ω) − Eξk′ (ω)) → 0 n
egy val´ osz´ın˝ us´eggel.
k=1
Ennek ´erdek´eben el˝ osz¨ or azt mutatom meg, hogy ∞ ∞ X X 1 1 2 ′ Var ξk ≤ Eξk′ < ∞. 2 2 k k
k=1
k=1
Ezen ´ all´ıt´ as igazol´as´anak c´elj´ab´ ol ´ırjuk fel az ∞ k 1 1 X 2 1 X 2 ′ ′2 j P (j − 1 ≤ |ξk | < j) = 2 j P (j − 1 ≤ |ξ1 | < j) Eξ ≤ 2 k2 k k j=1 k j=1
egyenl˝otlens´eget, ´es ¨ osszegezz¨ uk ezt minden k = 1, 2, . . . indexre. Azt kapjuk, hogy ∞ ∞ k ∞ ∞ X X X X X 1 1 1 2 j 2 P (j − 1 ≤ |ξ1 | < j) = Eξk′ ≤ j 2 P (j − 1 ≤ |ξ1 | < j) 2 2 k k j=1 k2 j=1
k=1
k=j
k=1
≤ const.
∞ X
jP (j − 1 ≤ |ξ1 | < j) ≤ const. (E|ξ1 | + 1) < ∞,
j=1
amint ´ all´ıtottam. Az el˝ oz˝ o egyenl˝otlens´eg ´es a Kolmogorov egyenl˝otlens´eg seg´ıts´eg´evel bel´ atom, hogy a
∞ X ξ ′ (ω) − Eξ ′ (ω) k
k=1
k
k
v´egtelen ¨ osszeg 1 val´ osz´ın˝ us´eggel konvergens. 13
(b)
Ehhez el´eg azt megmutatni, hogy a Tn (ω) =
n P
k=1
′ ′ ξk (ω)−Eξk (ω) , k
n = 1, 2, . . . , sorozat egy
val´ osz´ın˝ us´eggel Cauchy sorozat. Viszont a Kolmogorov egyenl˝otlens´eg alapj´ an P sup |Tk − Tn | > ε = lim P sup |Tk − Tn | > ε N →∞ n≤k<∞ n≤k
ε = lim P sup N →∞ j n≤k
minden n-re ´es ε > 0-ra. Ez´ert P
sup n≤k,l<∞
+P
!
|Tk (ω) − Tl (ω)| > 2ε
sup |Tk (ω) − Tn (ω)| > ε
n≤k<∞
∞ 2 X 1 2 Eξj′ . sup |Tl (ω) − Tn (ω)| > ε ≤ 2 2 ε j=n j n≤l<∞
Vezess¨ uk be az An = An (ε) = {ω: ∞ P
1 ′2 2 Eξj n→∞ j=n j
zokat. Mivel lim
≤P
sup n≤k,l<∞
|Tk (ω) − Tl (ω)| > 2ε}, n = 1, 2, . . . halma-
= 0, az utols´ o becsl´esb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy lim P (An ) = n→∞
0. Mivel az An halmazok egym´ asba skatuly´azottak, A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · ez´ert ez a rel´ aci´o azt jelenti, hogy majdnem minden ω-hoz l´etezik olyan n = n(ω, ε) index, amelyre ω ∈ / An , azaz sup |Tk (ω) − Tl (ω)| ≥ 2ε. Mivel ez minden ε > 0 sz´amra igaz, n≤k,l<∞
innen k¨ ovetkezik, hogy a Tn (ω) sorozat Cauchy sorozat majdnem minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre, ´es a (b) rel´ aci´o ´erv´enyes. n P A Kronecker lemma k¨ ovetkezm´enye ´es a (b) rel´ aci´o alapj´ an n1 (ξk′ − Eξk′ ) → 0
egy val´ osz´ın˝ us´eggel. A t´etel bizony´ıt´ as´at befejezt¨ uk.
k=1
Be kell m´eg bizony´ıtani a Kolmogorov egyenl˝otlens´eget ´es a Kronecker lemm´at. A Kolmogorov egyenl˝ otlens´eg bizony´ıt´ asa: Defini´ aljuk a τ (ω) = min{k: k ≤ n; |Sk (ω)| ≥ x} val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot. (τ (ω) = n ha Sk (ω) < x minden k ≤ n-re.) Azt a´ll´ıtom, hogy ESτ2(ω) ≤ ESn2 . Az utols´ o egyenl˝otlens´eg ´es a Csebisev egyenl˝otlens´eg alapj´ an ESτ2(ω) ESn2 P max |Sk | > x = P |Sτ (ω) | > x ≤ ≤ , k≤n x2 x2 14
(c)
´es ez a Kolmogorov egyenl˝otlens´eg. A k´ıv´ant egyenl˝otlens´eg bebizony´ıt´ as´anak ´erdek´eben vegy¨ uk ´eszre, hogy ESn2 − ESτ2(ω) = =
n X
k=1 n X
E(Sn − Sk )(Sn − Sk + 2Sk )I({τ (ω) = k}) E(Sn − Sk )2 I({τ (ω) = k}) + 2
k=1
n X
E(Sn − Sk )Sk I({τ (ω) = k}).
k=1
(d) Mivel az Sn − Sk ´es Sk I({τ (ω) = k}) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, (az Sn − Sk a ξl , l = k + 1, . . . , n, az Sk I({τ (ω) = k}) az ξl , l = 1, . . . , k val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okt´ ol f¨ ugg,) ´es E(Sn − Sk ) = 0, ez´ert E(Sn − Sk )Sk I({τ (ω) = k}) = E(Sn − Sk )ESk I({τ (ω) = k}) = 0. Innen k¨ ovetkezik, hogy a (d) azonoss´ag jobboldal´ anak a m´ asodik tagja nulla. Mivel az els˝ o tag egy nem negat´ıv val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok v´ arhat´ o ´ert´ek´enek az o¨sszege, ez´ert a (d) azonoss´agb´ol k¨ ovetkezik az (c) rel´ aci´o. A Kolmogorov egyenl˝otlens´eget bebizony´ıtottuk. A Kronecker lemma bizony´ıt´ asa. A bizony´ıt´ as az un. Abel f´ele a´trendez´es m´ odszer´en ∞ P alapul. Vezess¨ uk be az sn = ak mennyis´egeket. Legyen q0 = 0. Ekkor k=n
n n 1 X 1 1 X ak qk = (sk − sk+1 )qk = qn qn qn k=1
−sn+1 qn +
n X
sk (qk − qk−1 ) .
k=1
k=1
!
R¨ ogz´ıtve egy tetsz˝olegesen kis ε > 0 sz´amot v´ alasszunk egy olyan N = N (ε) k¨ usz¨ obindexet, amelyre igaz, hogy |sk | < ε ha k > N . (Ez lehets´eges, mert lim sn = 0.) Mivel n→∞ qk − qk−1 ≥ 0 minden k indexre a qk sorozat monotonit´ asa miatt, ez´ert n 1 X ε(q − q n N −1 ) sk (qk − qk−1 ) ≤ ≤ ε. qn qn k=N
M´asr´eszt, mivel lim qn = ∞ ´es lim sn = 0 n→∞
1 lim n→∞ qn
n→∞
−sn+1 qn +
N −1 X
sk (qk − qk−1 )
k=1
A fenti becsl´esekb˝ol k¨ ovetkezik, hogy n 1 X lim sup ak qk ≤ ε. n→∞ qn k=1
15
!
= 0.
Mivel ez az ´ all´ıt´ as tetsz˝oleges ε > 0-ra igaz, innen k¨ ovetkezik a Kronecker lemma. A nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´enek bizony´ıt´ as´anak fontos r´esze volt azon (b) formul´ aban megfogalmazott ´ all´ıt´ as igazol´asa a Kolmogorov egyenl˝otlens´eg seg´ıts´eg´evel, ∞ ′ ′ P ξk −Eξk amely szerint a osszeg konvergens. Term´eszetes m´ ¨ odon felmer¨ ul az az k k=1
a´ltal´ anosabb k´erd´es, hogy v´egtelen sok f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o o¨sszege mikor konvergens. A Kolmogorov egyenl˝otlens´eg seg´ıts´eg´evel erre a k´erd´esre is kiel´eg´ıt˝ o v´ alaszt lehet adni. Ismertetek k´et ilyen jelleg˝ u eredm´enyt. Az els˝ o eredm´eny, amelyet Kolmogorov-f´ele egy-sor t´etelnek is neveznek az irodalomban egy gyakran j´ ol haszn´ alhat´ o, egyszer˝ uen ellen˝ orizhet˝o felt´etelt ad a konvergencia teljes¨ ul´es´ere. A m´ asodik, az irodalomban Kolmogorov-f´ele h´arom sor t´etelnek h´ıvott eredm´eny, amely ennek ´eles´ıt´ese, megadja annak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel´et, hogy v´egtelen sok f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o¨ osszege egy val´ osz´ın˝ us´eggel konverg´aljon. Ismertetem ezt a k´et eredm´enyt.
Kolmogorov-f´ ele egy sor t´ etel. Legyenek ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, amelyeknek l´eteznek v´eges Eξk2 < ∞ m´ asodik momentumai minden k = 1, 2, . . . sz´ amra, ∞ ∞ P P ´es Eξk = 0 minden k = 1, 2, . . . indexre. Ha Var ξk < ∞, akkor a ξk sorozat egy k=1
val´ osz´ın˝ us´eggel konverg´ al.
k=1
Kolmogorov-f´ ele h´ arom sor t´ etel. Legyenek ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ al′ toz´ ok. R¨ ogz´ıts¨ unk valamely C > 0 sz´ amot, ´es defini´ aljuk a ξk = ξk I({|ξk | < C}) val´ o∞ P sz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, k = 1, 2, . . . , ahol I(A) az A halmaz indik´ atorf¨ uggv´enye. A ξk k=1
v´eletlen o ¨sszeg akkor ´es csak akkor konvergens egy val´ osz´ın˝ us´eggel, ha a ξk , k = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o felt´eteleket: ∞ ∞ P P (i) P (ξk 6= ξk′ ) = P (|ξk | ≥ C) < ∞, k=1 ∞ P
(ii) A
(iii)
k=1 ∞ P
k=1
k=1
Eξk′ o ¨sszeg konvergens.
Var ξk′ < ∞.
1. megjegyz´es: A Kolmogorov-f´ele h´arom sor t´etel eredm´enye speci´ alisan azt is jelenti, hogy ha a benne szerepl˝o (i), (ii) ´es (iii) felt´etel teljes¨ ul valamilyen C > 0 sz´amra, akkor az minden C > 0 sz´amra teljes¨ ul. Ezt nem neh´ez k¨ ozvetlen¨ ul bel´ atni, de ennek bizony´ıt´ as´at´ ol eltekintek. Viszont megmutatom, hogy amennyiben f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata teljes´ıti a Kolmogorov-f´ele egy sor t´etel felt´eteleit, akkor teljes´ıti a Kolmogorov-f´ele h´arom sor t´etel felt´eteleit is. Ez speci´alisan azt is jelenti, hogy a Kolmogorov-f´ele egy sor t´etel bizony´ıt´ as´at elhagyhatjuk, el´eg a Kolmogorov-f´ele h´arom sor t´etelt bebizony´ıtani. Ha f¨ uggetlen ξ1 , ξ2 , . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata teljes´ıti a Kolmogorov-f´ele ∞ P egy sor t´etel´et, azaz Eξk2 < ∞, Eξk = 0 minden k = 1, 2, . . . indexre, ´es Eξk2 < ∞, k=1
16
akkor ezek a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok teljes´ıtik a Kolmogorov-f´ele h´arom sor t´etel felt´eteleit is. Az (i) felt´etel teljes¨ ul, mert a Csebisev egyenl˝otlens´eg alapj´ an P (ξk 6= ξk′ ) = ∞ ∞ P P ´ enyes a P (|ξk | ≥ C) ≤ 12 Eξ 2 , ez´ert P (ξk 6= ξ ′ ) =≤ 12 Eξ 2 < ∞. Erv´ C
k
k
k=1
(ii) felt´etel al´ abbi ´elesebb v´ altozata is:
∞ P
k=1
ez´ert 1 C
∞ P
k=1
|Eξk′ |
k=1
k
|Eξk′ | < ∞. Val´ oban, mivel Eξk = 0,
1 2 C Eξk I(|ξk |
= |Eξk I(|ξk | > C)| ≤
C
> C) ≤
Eξk2 < ∞. V´eg¨ ul a (iii) rel´ aci´o is teljes¨ ul, mert
∞ P
k=1
1 2 C Eξk ,
´es innen
Var ξk′ ≤
∞ P
k=1
∞ P
k=1
|Eξk′ | ≤
Eξk2 < ∞.
2. megjegyz´es: A Kolomogorov-f´ele h´arom sor t´etel annak adja meg a sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel´et, hogy f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszege egy val´ osz´ın˝ us´eggel ´ konverg´ aljon. Erdemes megjegyezni, hogy amennyiben e felt´etelek valamelyike nem teljes¨ ul, ´es a tekintett ¨ osszeg nem konverg´al egy val´ osz´ın˝ us´eggel, akkor az csak nulla val´ osz´ın˝ us´eggel konverg´ alhat. K¨ ozb¨ uls˝ o eset nincsen. Teh´ at nem lehets´eges megadni p´eld´aul olyan f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, amelyek ¨ osszege mondjuk 1/2 val´ osz´ın˝ us´eggel konverg´ al ´es 1/2 val´ osz´ın˝ us´eggel diverg´al. Ez k¨ ovetkezik a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as egyik alapvet˝ o eredm´eny´eb˝ ol, az u ´gynevezett 0–1 t¨orv´enyb˝ol, amelyet a h´arom sor t´etel bizony´ıt´ asa ut´ an fogok t´argyalni. A Kolmogorov-f´ele h´arom sor t´etelnek itt csak az el´egs´eges r´esz´et bizony´ıtom be, a felt´etelek sz¨ uks´egess´eg´enek bizony´ıt´ as´at a kieg´esz´ıt´esben teszem meg. Ennek az az oka, hogy egyr´eszt alkalmaz´asokban az el´egs´egess´eg a T´etel fontos r´esze, m´ asr´eszt a sz¨ uks´egess´eg bizony´ıt´ asa az itteni t´argyal´ ast´ ol elt´er˝ o m´ odszert ig´enyel. L´ attuk ugyanis, hogyan lehet f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sz˝or´ asn´egyzeteinek az ismeret´eben e v´ altoz´ ok o¨sszegeit megbecs¨ ulni. De, ha a f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok o¨sszeg´enek a konvergenci´ aj´ab´ ol a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sz´or´ asn´egyzeteinek ¨ osszeg´ere akarunk k¨ ovetkeztetni, akkor ez u ´j gondolatokat ig´enyel. A Kolmogorov-f´ele h´ arom sor t´etel el´egs´egess´eg r´esz´enek bizony´ıt´ asa. Azt akarjuk megmutatni, hogy amennyiben a f¨ uggetlen ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok teljes´ıtik az (i), (ii) n P ´es (iii) felt´eteleket, akkor a Tn = ξk (ω), n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy k=1
val´ osz´ın˝ us´eggel konvergensek. Hasonl´ oan ´ervelve, mint amikor a nagy sz´amok er˝ os t¨orv´eny´enek a konvergencia r´esz´et bizony´ıtottuk, megmutathatjuk, hogy el´eg bel´ atni azt, hogy tetsz˝oleges ε > 0 sz´amra m ! X lim P sup ξk > ε → 0. n→∞ m≥n k=n
Vegy¨ uk ´eszre, hogy m ! ∞ X X P sup ξk > ε ≤ P (ξk 6= ξk′ ) + P m≥n k=n
k=n
17
m ! X sup ξk′ > ε m≥n k=n
m m ! X X ′ ′ ′ ′ ≤ P (ξk 6= ξk ) + P sup (ξk − Eξk ) > ε − sup Eξk , m≥n m≥n k=n k=n k=n m ∞ P P ′ ′ tov´ abb´a P (ξk 6= ξk ) → 0 n → ∞ eset´en az (i) felt´etel miatt, ´es sup Eξk < 2ε , ∞ X
n≥m k=n
k=n
ha n > n(ε) a (ii) felt´etel miatt. V´eg¨ ul a Kolmogorov egyenl˝otlens´eg alapj´ an
P
∞ P m ! Var ξk′ X ε → 0, ≤ 4 k=n 2 sup (ξk′ − Eξk′ ) > 2 ε m≥n
ha n → ∞
k=n
a (iii) tulajdons´ag miatt. Ezekb˝ol az egyenl˝otlens´egekb˝ ol k¨ ovetkezik a Kolmogorov-f´ele h´arom sor t´etelben megfogalmazott konvergencia, ha teljes¨ ulnek az (i)–(iii) felt´etelek. K¨ ovetkez˝ o l´ep´esben az u ´gynevezett Kolmogorov-f´ele nulla egy t¨orv´enyt t´argyalom, amely inform´ alisan ´es kiss´e pongyol´ an megfogalmazva azt mondja ki, hogy egy olyan esem´enynek, amely f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozat´anak csak a ‘v´egtelen t´avoli tagjait´ ol’ f¨ ugg vagy nulla vagy egy a val´ osz´ın˝ us´ege. Kiss´e pontosabban, olyan esem´enyeket tekint¨ unk, amelyekre igaz az, hogy b´armely n indexre azok bek¨ovetkez´ese vagy be nem k¨ ovetkez´ese nem f¨ ugg a ξ1 (ω), . . . , ξn (ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ert´ekeit˝ ol. Annak ´erdek´eben, hogy a t´etelt pontosan meg tudjam fogalmazni el˝ osz¨ or bevezetem a farok σ-algebra fogalm´at. Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok sorozata ´ altal meghat´ arozott farok σ-algebra definici´ oja. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata valamely (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on. E val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata a ´ltal meghat´ arozott F∞ farok σ-algebr´ at ∞ T Fn k´eplet hat´ arozza meg, ahol Fn = B(ξn , ξn+1 , . . . ) a legsz˝ ukebb olyan az F∞ = n=1
σ-algebra, amelyre n´ezve a ξn , ξn+1 , . . . val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok mindegyike m´erhet˝ o. Ezut´an megfogalmazom a Kolmogorov-f´ele nulla egy t¨orv´enyt.
Kolmogorov-f´ ele nulla egy t¨ orv´ eny. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, ´es tekints¨ uk e sorozat a ´ltal meghat´ arozott F∞ farok σ-algebr´ at. Ha egy A esem´enyre A ∈ F∞ , akkor vagy P (A) = 0 vagy P (A) = 1. A t´etel bizony´ıt´ asa. Tekints¨ unk egy A ∈ F∞ esem´enyt, ´es jel¨olje B az A esem´enyt˝ol f¨ uggetlen esem´enyekb˝ ol ´ all´ o rendszert, azaz B ∈ B akkor ´es csak akkor, ha P (A ∩ B) = P (A)P (B). Azt ´ all´ıtom, hogy F1 ⊂ B, ahol F1 = B(ξ1 , ξ2 , . . . ) a legsz˝ ukebb olyan σalgebra, amelyre n´ezve a ξ1 , ξ2 , . . . val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok mindegyike m´erhet˝ o. Val´ oban, tetsz˝oleges n = 1, 2, . . . sz´amra minden B ∈ B(ξ1 , . . . , ξn ), esem´eny f¨ uggetlen az A esem´enyt˝ol, mert A ∈ F∞ ⊂ Fn+1 , ´es a Fn+1 = B(ξn+1 , ξn+2 , . . . ) ´es B(ξ1 , . . . , ξn ) σ-algebra elemei egym´ ast´ ol f¨ uggetlen esem´enyek. Vezess¨ uk be a µ1 (B) = P (A ∩ B) ´es µ2 (B) = P (A)P (B) halmazf¨ uggv´enyeket min∞ S B(ξ1 , . . . , ξn ) den B ∈ A halmazra. L´ attuk, hogy µ1 (B) = µ2 (B) minden B ∈ F = n=1
18
halmazra. Ezenk´ıv¨ ul, mind µ1 mind µ2 m´ert´ek az A σ-algebr´an. Tov´ abb´a az el˝ obb defini´alt F halmazrendszer algebra, ´es az F algebr´at tartalmaz´ o legsz˝ ukebb σ-algebra a F1 σ-algebra. Mivel egy m´ert´ek kiterjeszt´ese egy algebr´ar´ ol az ˝ ot tartalmaz´ o legsz˝ ukebb σ-algebr´ara egy´ertelm˝ u, innen k¨ ovetkezik, hogy µ1 (B) = µ2 (B), azaz P (A ∩ B) = P (A)P (B) minden B ∈ F1 halmazra, mint ´ all´ıtottam. A bebizony´ıtott ´ all´ıt´ asb´ ol speci´alisan az is k¨ ovetkezik, hogy minden A ∈ F∞ 2 esem´eny f¨ uggetlen ¨ onmag´ at´ ol, azaz P (A) = P (A) . Ez az ¨ osszef¨ ugg´es u ´gy is fel´ırhat´ o, hogy P (A)(1 − P (A)) = 0, azaz vagy P (A) = 0 vagy P (A) = 1, ´es ezt kellett bel´ atni. Nem neh´ez bel´ atni, hogy annak az esem´enynek a bek¨ovetkez´ese, hogy f¨ uggetlen ∞ P ξ1 , ξ2 , . . . val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ξk (ω) ¨ osszege konverg´al nem f¨ ugg az els˝ o n´eh´ any k=1
ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ´ert´ek´et˝ ol, ez´ert ez az esem´eny eleme az F∞ σ-algebr´anak. ´Igy ennek az esem´enynek a val´ osz´ın˝ us´ege vagy nulla vagy 1 a Kolmogorov-f´ele nulla egy t¨orv´eny alapj´ an. Hasonl´ oan, annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi n P ξk (ω) ´ atlagai Cauchy sorozatot alkotnak, azaz konvergensek, v´ altoz´ ok Tn (ω) = n1 k=1
vagy nulla vagy egy a Kolmogorov-f´ele nulla egy t¨orv´eny alapj´ an. Annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a < lim inf Tn ≤ lim sup Tn (ω) < b szint´en vagy nulla vagy egy tetsz˝oleges a ´es b n
n
sz´amokra. Ezen ´eszrev´etel seg´ıts´eg´evel be lehet l´atni, hogy a Tn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata vagy 1 val´ osz´ın˝ us´eggel divergens, vagy l´etezik egy olyan −∞ < a < ∞ sz´am, hogy a Tn sorozat egy val´ osz´ın˝ us´eggel ehhez az a sz´amhoz konverg´ al. A Kolmogorov f´ele nulla-egy t¨orv´eny seg´ıts´eg´evel az is l´athat´ o, hogy tetsz˝oleges qn → ∞, ha n → ∞ n P ξk = A = 1 valamely −∞ ≤ A ≤ ∞ sz´amra. (Az, hogy sorozatra P lim sup q1n n
k=1
A = ∞ vagy A = −∞ szint´en lehets´eges ebben a rel´ aci´oban.) Hasonl´ o a´ll´ıt´ as ´erv´enyes akkor is, ha lim sup helyett lim inf-et tekint¨ unk.
R´ at´erek a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´enek a t´argyal´ as´ara. Nem neh´ez bel´ atni ezt az ´ all´ıt´ ast a Csebisev egyenl˝otlens´eg seg´ıts´eg´evel f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u v´eges m´ asodik momentummal rendelkez˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ atlagaira. De, mint l´attuk, ha f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok abszolut ´ert´ek´enek v´eges a v´ arhat´ o ´ert´eke akkor ezek ´ atlagai teljes´ıtik a nagy sz´amok er˝ os ´es ez´ert a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´et is. Ez azt jelenti, hogy a v´eges m´ asodik momentumok k¨ ovetel´ese t´ ul er˝ os felt´etele a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´enek. Megfogalmaztam egy eredm´enyt, amely megadja annak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel´et, hogy teljes¨ ulj¨on a nagy sz´amok gyenge t¨orv´enye. Ez a felt´etel kiss´e gyeng´ebb k¨ ovetelm´enyt ´ır el˝ o ann´al, hogy az a´tlagban r´esztvev˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok abszolut ´ert´ek´enek legyen v´eges a v´ arhat´ o ´ert´eke. Al´abb megfogalmazok majd bebizony´ıtok egy t´etelt, amely a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´enek felt´eteleit megad´o eredm´eny ´eles´ıt´es´enek tekinthet˝ o. T´ etel f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ´ atlagainak sztochasztikus konvergenci´ aj´ ar´ ol. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, ´es jel¨ olje F (x) e val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asf¨ uggv´eny´et. Akkor ´es csak akkor l´etezik val´ os sz´ amok olyan An , n = 1, 2, . . . , sorozata, amelyre a 19
Tn =
1 n
n P
ξk − An , n = 1, 2, . . . , sorozat sztochasztikusan null´ ahoz tart, ha teljes¨ ul a
k=1
lim x(1 − F (x) + F (−x)) = 0 felt´etel. Ha l´etezik val´ os sz´ amok ilyen An sorozata, akkor Rn az v´ alaszthat´ o, mint An = −n xF ( dx), n = 1, 2, . . . .
x→∞
Az el˝ oz˝ o t´etel alapj´ an a nagy sz´amok gyenge t¨orv´enye akkor ´es csak ul R n akkor teljes¨ valamely a konstanssal, ha lim x(1 − F (x) + F (−x)) = 0, ´es lim −n xF ( dx) = a. x→∞ n→∞ Ahhoz, hogy bel´ assuk ezen eredm´eny seg´ıts´eg´evel a a nagy sz´amok gyenge ol R u t¨orv´eny´er˝ sz´ol´ o t´etelt, elegend˝ o megmutatni, hogy az adott felt´etelek mellett a lim −u xF ( dx) = u→∞
a rel´ aci´o ´erv´enyes val´ os u (´es nemcsak eg´esz n) sz´amokra. Ez k¨ ovetkezik a
Z lim xF (dx) ≤ lim ([u] + 1)(1 − F ([u]) + F (−[u]) = 0 u→∞ [u]≤|x|≤u u→∞
becsl´esb˝ ol, ahol [u] az u sz´am eg´esz r´esz´et jel¨oli. Ez a becsl´es a lim x(1 − F (x) + x→∞
F (−x)) = 0 rel´ aci´o k¨ ovetkezm´enye. Az el˝ oad´as f˝ o r´esz´eben a f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a ´tlagainak sztochasztikus konvergenci´ aj´ ar´ ol sz´ol´ o t´etelnek csak az el´egs´egess´eg r´esz´et bizony´ıtom. A sz¨ uks´egess´egr˝ol sz´ol´ o r´esz bizony´ıt´ as´at a kieg´esz´ıt´esben ismertetem. A f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a ´tlagainak sztochasztikus konvergenci´ aj´ ar´ ol sz´ ol´ o t´etel el´egs´egess´eg r´esz´enek a bizony´ıt´ asa. Tegy¨ uk fel, hogy a ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok F (x) eloszl´ asai teljes´ıtik a lim x(1−F (x)+F (−x)) = 0 felt´etelt. x→∞
(n) (n) Adott n eg´esz sz´amra defini´aljuk a ξ¯k = ξ¯k = ξk I(|ξk | ≤ n) ´es ¯ξ¯k = ¯ξ¯k = ξk − ξ¯k , n n n P P P ¯ξ¯ , ez´ert 1 ≤ k ≤ n, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat. Ekkor n1 ξ¯k + n1 ξk = n1 k k=1
elegend˝ o azt megmutatni, hogy
1 n
n P (ξ¯k − An ) ⇒ 0 ´es
k=1
k=1
k=1
n P ¯ξ¯ ⇒ 0, ahol ⇒ sztok
1 n
k=1
chasztikus at jel¨ol. A m´ asodik rel´ aci´o k¨ ovetkezik a t´etel felt´eteleib˝ol, mert n konvergenci´ n P P ¯ξ¯ 6= 0 ≤ P 1 P (|ξk | ≥ n) = n [F (−n) + (1 − F (n))] → 0, ha n → ∞. Az n
k=1
k
k=1
els˝ o rel´ aci´o a Csebisev egyenl˝otlens´eg seg´ıts´eg´evel bizony´ıthat´ o, mert minden ε > 0 sz´amra n n ! ! 1 X 1 X Var ξ¯1 nVar ξ¯1 = . P (ξ¯k − An ) > ε = P (ξ¯k − E ξ¯k ) > ε ≤ n n n2 ε nε k=1
k=1
(n)
Var ξ¯1 n n→∞
Ez´ert a bizony´ıt´ as befejez´es´ehez el´eg azt megmutatni, hogy lim Var ξ¯1 ≤ E ξ¯12 =
Z
n
−n
2
u F ( du) =
Z
L
−L
20
2
u F ( du) +
Z
L≤|u|≤n
= 0. Mivel
u2 F ( du)
tetsz˝oleges L > 0 sz´amra, ´es az utols´ o¨ osszeg els˝ o tagja r¨ogz´ıtett L sz´amra nem f¨ ugg az n sz´amt´ol, ez´ert elegend˝ o azt megmutatni, hogy minden ε > 0 sz´amra l´etezik olyan Rn R −L L = L(ε) sz´am, amelyre n1 L u2 F ( du) ≤ ε ´es n1 −n u2 F ( du) ≤ ε minden n > L sz´amra. A t´etel felt´etelei alapj´ an l´etezik olyan L = L(ε) sz´am, amelyre x ≥ L eset´en x(1 − F (x)) ≤ 4ε ´es xF (−x) ≤ 4ε . Ez´ert parci´ alis integr´al´ assal kapjuk, hogy ilyen L-re n R R R −1 n 2 1 n 1 n 2 u F ( du) = n L u (d(1 − F u)) = n L 2u(1 − F (u)) du − n1 u2 (1 − F (u) L ≤ n R L n ε ε asik egyenl˝otlens´eg hasonl´oan bizony´ıthat´ o. 2n L 1 du + 2 ≤ ε. A m´
A nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´enek ismertet´ese ut´ an a 2. p´eld´aban megeml´ıtettem, hogy f¨ uggetlen, Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ atlagai nem teljes´ıtik a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´et, s˝ot a Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak van egy al´ abb ismertetett nevezetes tulajdons´aguk, amely kiz´ arja, hogy teljes´ıts´ek a nagy sz´amok gyenge t¨orv´eny´et. Eml´ekezetetek, hogy egy olyan ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot nevezt¨ unk 1 , −∞ < x < ∞, Cauchy eloszl´ as´ unak, amelynek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f (x) = π1 1+x 2 alak´ u. A tov´ abbiakban az ilyen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat 1 param´eter˝ u Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak nevezem. Ezenk´ıv¨ ul defini´alom az a param´eter˝ u, 0 < a < ∞, param´eter˝ u Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, mint olyan val´ osz´ın˝ us´egi 1 v´ altoz´ okat, amelyek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f (x) = πa a2 +x , −∞ < x < ∞, alak´ u . Ez 2 azt jelenti, hogy ha ξ 1 param´eter˝ u Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, akkor aξ, a > 0, a param´eter˝ u Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. F¨ uggetlen Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´enek eloszl´ as´ar´ ol sz´ol az al´ abbi t´etel. T´ etel f¨ uggetlen Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´ enek az eloszl´ as´ ar´ ol. Legyen ξ ´es η k´et f¨ uggetlen Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, a > 0 ´es b > 0 param´eterekkel. Ekkor ξ + η Cauchy eloszl´ as´ u a + b param´eterrel. K¨ ovetkezm´ eny. Tekints¨ uk n f¨ uggetlen a param´eter˝ u Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oo ¨sszeg´et ´es a ´tlag´ at. Az o ¨sszeg na param´eter˝ u, az a ´tlag pedig a param´eter˝ u Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Teh´ at f¨ uggetlen, azonos param´eter˝ u Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a ´tlag´ anak az eloszl´ asa megegyezik az o ¨sszeadand´ ok eloszl´ as´ aval. A k¨ ovetkezm´eny indokl´ asa. Ha ξ1 , . . . , ξn Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a = 1 n P 1 n param´eterrel, akkor Sn = ξk s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye gn (x) = π n2 +x2 . M´asr´eszt, ha egy S k=1
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye g(x), akkor Sn s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ng(nx). Ez´ert 2 Sn 1 1 1 ur˝ us´egf¨ uggv´enye nn n2 +(nx) all´ıtottuk. 2 = π 1+x2 , amint ´ n s˝
A t´etelt be lehet bizony´ıtani u ´gy, hogy kisz´ amoljuk f¨ uggetlen Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´enek a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et konvoluci´ o seg´ıts´eg´evel. Ez meglehet˝ osen kellemetlen, de (parci´alis t¨ortekre bont´as seg´ıts´eg´evel) kisz´ amolhat´o integr´alokhoz vezetne. L´enyegesen egyszer˝ ubben c´elhoz ´er¨ unk, ha tudjuk a Cauchy eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´eny´et. Az a = 1 param´eter˝ u Cauchy eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´enye ϕ(t) = e−|t| , ahonnan az a param´eter˝ u Cauchy eloszl´ as karakterisztikus −a|t| f¨ uggv´enye ϕa (t) = e . Innen l´atszik, hogy ϕa (t)ϕb (t) = ϕa+b (t), ahonnan a t´etel all´ıt´ ´ asa azonnal l´athat´ o. Term´eszetesen ez az indokl´ as csak u ´gy teljes, ha ki tudjuk sz´am´ıtani a Cauchy eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´eny´et. 21
Megmutatom, hogyan lehet ezt a karakterisztikus f¨ uggv´enyt kisz´ amolni. A sz´amol´ as a komplex f¨ uggv´enytan egyik legfontosabb m´ odszer´enek, a reziduumsz´ am´ıt´ asnak az alkalmaz´as´an alapul. T´ etel Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok karakterisztikus f¨ uggv´ eny´ er˝ ol. Legyen ξ Cauchy eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o a = 1 param´eterrel . Ekkor Ee
itξ
=
Z
∞
−∞
1 eitu du = e−|t| . π 1 + u2
Bizony´ıt´ as. Ezt az integr´alt a komplex f¨ uggv´enytan reziduum t´etele seg´ıts´eg´evel ki tudjuk sz´am´ıtani. itz
e uggv´eny analitikus a komplex Vegy¨ uk ´eszre, hogy a g(z) = gt (z) = π(1+z 2 ) f¨ sz´ams´ıkon, k´et p´olusa van a z = ±i pontokban. A g(z) f¨ uggv´eny reziduuma az i pontban e−t a −i pontban et . Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o k¨ orintegr´alt. A g(z) = gt (z) f¨ uggv´enyt integr´aljuk a [−R, R] szakaszon, majd a a |z| = R Im z ≥ 0 f´elk¨ or¨ on, ha t ≥ 0 ´es a |z| = R, Im z ≤ 0 f´elk¨ or¨ on, ha t ≤ 0. Ekkor ennek a k¨ orintegr´alnak az ´ert´eke a g(z) f¨ uggv´eny i pontbeli reziduum´aval egyenl˝o t > 0 ´es a −i pontbeli reziduum´aval a t < 0 esetben. M´asr´eszt az integr´al megszor´ asa az R sugar´ u f´elk¨ orre null´ ahoz tart, Rha R → ∞. Innen R ∞ıt´ ∞ k¨ ovetkezik, hogy Eeitξ = −∞ gt (u) du = e−t , ha t > 0, ´es Eeitξ = −∞ gt (u) du = et , ha t < 0. Egys´eges jel¨ol´essel azt ´ırhatjuk, hogy Eeitξ = e−|t| .
V´eg¨ ul megfogalmazom a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as egyik h´ıres eredm´eny´et, az u ´gynevezett iter´alt logaritmus t´etelt. Iter´ alt logaritmus t´ etel. Legyenek ξ1 (ω), ξ2 (ω), . . . olyan f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, amelyekre Eξ1 (ω) = 0, Var ξ1 (ω) = σ 2 < ∞. Ekkor lim sup n→∞
´es lim inf n→∞
ξ1 (ω) + · · · + ξn (ω) p = 1, 2nσ 2 log log n
ξ1 (ω) + · · · + ξn (ω) p = −1, 2nσ 2 log log n
majdnem minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre,
majdnem minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre.
22
Kieg´ esz´ıt´ es. Bebizony´ıtom mind a Kolmogorov-f´ele h´arom sor t´etelnek mind a f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ atlagainak sztochasztikus konvergenci´ aj´ar´ ol sz´ol´ o t´etelnek a sz¨ uks´egess´eg r´esz´et. Mind a k´et bizony´ıt´ asban fontos szerepet j´ atszik egy a karakterisztikus f¨ uggv´enyek tulajdons´again alapul´o ´erv. A h´ arom sor t´etel sz¨ uks´egess´eg fel´enek a bizony´ıt´ asa. Ha a
∞ P
ξk (ω) o¨sszeg egy va-
k=1
l´osz´ın˝ us´eggel konvergens, akkor a |ξk (ω)| > C esem´eny csak v´eges sok k indexre teljes¨ ul. Ezenk´ıv¨ ul ezek az esem´enyek k¨ ul¨ onb¨oz˝ o k indexre f¨ uggetlenek, ez´ert, ha az ∞ P al´ abbi sorozat konverg´ al, akkor a Borel–Cantelli lemma alapj´ an P (|ξk | > C) < ∞, k=1
azaz az (i) tulajdons´ag teljes¨ ul. Tov´ abb´a a Borel-Cantelli lemma m´ asik fele alapj´ an ∞ ∞ P P a (ξk (ω) − ξk′ (ω)), ´ıgy a ξk′ (ω)) ¨ osszeg is egy val´ osz´ın˝ us´eggel konvergens, ahol k=1
k=1
ξk′ (ω) = ξk (ω)I(|ξk (ω)| < C). A bizony´ıt´ as k¨ ovetkez˝ o l´ep´es´eben egy m´ as probl´em´ak megold´ as´aban is hasznos m´ odszert, az un. szimmetriz´ al´ ast alkalmazom. Legyen ξk′′ f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, melyek a ξk′ sorozatt´ ol is f¨ uggetlenek, ´es ξk′′ ugyanolyan eloszl´ as´ u mint a ξk′ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Legyen ξ˜k = ξk′ − ξk′′ . Ekkor ξ˜k , k = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen, szimmetrikus, azaz olyan eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ok ∞ P sorozata, melyekre P (ξ˜k > x) = P (ξ˜k − < x) minden x sz´amra, ´es a ξ˜k sorozat egy k=1
val´ osz´ın˝ us´eggel konvergens. Be fogom l´atni az al´ abbi lemm´at.
Lemma f¨ uggetlen, korl´ atos val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´ enek a sz´ or´ asn´ egyzet´ er˝ ol. Ha ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen, szimmetrikus eloszl´ as´ u, korl´ atos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, azaz olyanok, amelyekhez l´etezik olyan K > 0 sz´ am, hogy P (|ξk | ≤ K) minden ∞ P k = 1, 2, . . . indexre, ´es a ξk (ω) o ¨sszegek egy val´ osz´ın˝ us´eggel konverg´ alnak, akkor ∞ P
k=1
Var ξk < ∞.
k=1
El˝osz¨ or befejezem a h´arom sor t´etel sz¨ uks´egess´eg fel´enek a bizony´ıt´ as´at e lemma se∞ P g´ıts´eg´evel. E lemma alapj´ an tudjuk, hogy Var ξ˜k < ∞, ´es mivel Var ξ˜k = 2Var ξk′ k=1
innen k¨ ovetkezik a (iii) tulajdons´ag. A
ξk′
− Eξk′ sorozatra
∞ P
k=1
E(ξk′ − Eξk′ )2 < ∞,
´es E(ξk′ − Eξk′ ) = 0 minden k = 1, 2, . . . sz´amra, ez´ert a Kolmogorov-f´ele egy sor ∞ P t´etel alapj´ an a (ξk′ − Eξk′ ) sorozat egy val´ osz´ın˝ us´eggel konverg´ al. Teh´ at mind a ∞ P
k=1 ∞ P
k=1
k=1
(ξk′
−
Eξk′ )
Eξk′ =
∞ P
k=1
mind a
ξk′ −
∞ P
k=1
∞ P
k=1
ξk′ ¨ osszegek konvergensek egy val´ osz´ın˝ us´eggel. Ez´ert a ´es
(ξk′ − Eξk′ ) o¨sszeg is konvergens, ´es a (ii) tulajdons´ag is teljes¨ ul.
A lemma bizony´ıt´ asa. Jel¨olje a ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggv´eny´et Fk (x), ´es 23
karakterisztikus f¨ uggv´eny´et ϕk (t). El˝osz¨ or azt mutatom meg, hogy el´eg kis t indexre a ∞ ∞ P P (1 − ϕk (t)) ¨ osszeg is konvergens, s˝ot abszolut konvergens. Val´ oban, a ξk (ω) egy k=1
k=1
val´ osz´ın˝ us´eggel val´ o konvergenci´ aj´ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy e v´eletlen o¨sszegek eloszl´ asban n Q is konverg´ alnak, ez´ert a ϕk (t) f¨ uggv´enyek konverg´alnak egy folytonos ϕ(t) (karaktek=1
risztikus) f¨ uggv´enyhez. A ϕk (t) karakterisztikus f¨ uggv´enyek a ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok szimmetrikus eloszl´ asai miatt val´ os ´ert´ek˝ uek, ´es 1-n´el kisebbek. E kifejez´es logaritmus´ at ∞ P v´eve azt kapjuk, hogy a log ϕk (t) abszolut konvergens, ´es kis t sz´amra ennek az k=1
¨sszegnek az abszolut ´ert´eke kisebb, mint ε. (Azt haszn´ o aljuk ki ebben a l´ep´esben, hogy a ϕ(t) hat´arf¨ uggv´eny a null´ aban folytonos, ´es ϕ(0) = 1.) Tekintve a log(1 + x) f¨ uggv´eny Taylor sor´ at nulla kis k¨ ornyezet´eben x = 1 − ϕk (t) v´ alaszt´ assal kapjuk, hogy ∞ P 1 − ϕk (t) ≤ −2 log ϕk (t) el´eg kis t-re minden k indexre, ´es (1 − ϕk (t)) < ∞, amint k=1
all´ıtottam. ´ Legyen ξ olyan val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, amelyre P (|ξ| ≤ K) = 1, ´es jel¨olje ϕ(t) ξ karakterisztikus, ´es F (x) ξ eloszl´ as f¨ uggv´eny´et. Azt ´ all´ıtom, hogy ha t > 0 olyan sz´am, t2 oban ekkor melyre tK ≤ 1, akkor 4 Var ξ ≤ Re Var ϕ(t). Val´ Re (1 − ϕ(t)) =
Z
K
(1 − cos tx)F ( dx) ≥
−K
mivel |tx| ≤ |tK| ≤ 1 eset´en 1 − cos tx >
Z
K
−K
t2 x2 t2 t2 F ( dx) = Eξ 2 ≥ Var ξ, 4 4 4
(tx)2 4 .
A fenti k´et ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy eset¨ unkben
∞ P
k=1
∞ egy el´eg kis t > 0 sz´ammal.
Var ξk ≤
4 t2
∞ P
(1 − ϕk (t)) <
k=1
F¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a ´tlagainak sztochasztikus konvergenci´ aj´ ar´ ol sz´ ol´ o t´etel sz¨ uks´egess´eg fel´enek a bizony´ıt´ asa. Jel¨olje ϕ(t) a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi n P v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´et. Abb´ol, hogy a n1 (ξk − An ) a´tlagok sztochasztik=1
kusan null´ ahoz tartanak, k¨ ovetkezik, hogy eloszl´ asban is null´ ahoz tartanak, ez´ert karakterisztikus f¨ uggv´eny¨ uk a null´ aba koncentr´ m´ert´ek karakterisztikus f¨ uggv´ alt eny´ehez tart, n n azaz ϕ nt e−iAn t → 1, ahonnan lim ϕ nt = 1, ´es lim nRe log ϕ nt = 0 minden n→∞ n→∞ t val´ os sz´amra. Tov´ abb´a az el˝ obb fel´ırt konvergenci´ ak egyenletesek, ha a t v´ altoz´ o egy r¨ogz´ıtett v´eges intervallumban van. Innen az is k¨ ovetkezik, hogy lim n 1 − Re ϕ nt = 0, ´es ez a konvergencia n→∞ is egyenletes a t v´ altoz´ oban minden v´eges intervallumban. Val´ oban, alkalmazva a t 2 log(1 + u) = u + O(u ) k¨ ozel´ıt´est kis u sz´amokra, az u = log Re ϕ n − 1 v´ alaszt´ assal 1 kapjuk ezt az ´ all´ıt´ ast. Innen az is ad´ odik, hogy lim x 1 − Re ϕ x = 0, azaz x→∞ oban, egyr´eszt 1 − Re ϕ x1 ≥ 0. M´asr´eszt v´eve minlim u1 (1 − Re ϕ(u)) = 0. Val´ u→0
den x ≥ 1 sz´amhoz azt a k = k(x) eg´esz sz´amot, amelyre 2k ≤ x < 2k+1 , ´es 24
k+1
2 k+1 sz´amokat, azt kapjuk, hogy defini´alva az n = n(x) = 2 , ´es t = t(x) = x 1 ≤ t ≤ 2, ´es x 1 − Re ϕ x1 ≤ n 1 − Re ϕ nt , ahonnan lim x 1 − Re ϕ x1 ≤ x→∞ lim sup n 1 − ϕ Re nt = 0.
n→∞ 1≤t≤2
A fentiek alapj´ an tetsz˝oleges ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan x = x(ε) k¨ usz¨ obindex, amelyre |Re [1 − ϕ(u)]| < εu < xε , ha 0 ≤ u < x1 , ´es x > x(ε). Ez´ert minden x ≥ x(ε) sz´amra 2
ε>x =
Z
Z
1/x
Re [1 − ϕ(u)] du =
0 ∞ Z 1/x
−∞ 0 Z ∞
=x
−∞
Z
1/x
0
Z
∞
x2 (1 − cos ut)F ( dt) du
−∞
2
x (1 − cos ut) duF ( dt) =
1−
Z
∞
−∞
sin xt t x
x F ( dt) ≥ 2
Z
x2 sin xt x− t
F ( dt) =
{|t|>2x}
F ( dt)
x [(1 − F (2x)) + F (−2x)] . 2
Mivel ez az egyenl˝otlens´eg minden ε > 0 sz´amra ´erv´enyes, innen k¨ ovetkezik, hogy lim x[(1 − F (x) + F (−x)] = 0, amint ´ all´ıtottam.
x→∞
25
