Finanční matematikou rozumíme soubor obecných matematických metod uplatněných v oblasti financí. Základní pojmy ve finanční matematice:

1

Úvod

Finanční matematikou rozumíme soubor obecných matematických metod uplatněných v oblasti financí. Základní pojmy ve finanční matematice: 1. Úrok je cena půjčky. Věřitel, který půjčku poskytne, si účtuje úrok jako cenu za riziko, které takto podstupuje. Z hlediska dlužníka je úrok cena, kterou za půjčku (jako za jiný předmět obchodu) zaplatí. 2. Úroková míra je výše úroku uvedená v procentech za určité období, nejčastěji za rok. Např., 5% p.a. značí úrok 5 procent, který bude připsán na konci roku. 3. Míra zisku (výnosnost, výnosové procento) je úroková míra většinou na roční bázi realizovaná při investování. 4. Doba splatnosti (úroková doba) je doba, po kterou je kapitál uložen či zapůjčen. 5. Úrokové období je doba, na jejímž konci je připsán úrok z vkladu. Obecně nemusí být stejně dlouhé jako doba splatnosti. 6. Úročení je způsob výpočtu úroku. Z hlediska doby splatnosti dělíme úročení na jednoduché, složení a smíšené. Z hlediska doby výplaty úroků rozdělujeme úročení na předlhůtní (anticipativní) a polhůtní (dekursivní).

2

Jednoduché úročení

Předpoklady: úrokové období je jeden rok, doba splatnosti bývá obvykle kratší než jeden rok, je-li delší, počítáme pak úrok ze stále stejného počátečního kapitálu (nepočítáme tedy úroky z úroků). Výpočet jednoduchého úroku u = P it

(1)

kde P je základní kapitál pro výpočet úroku (výše půjčky), i je úroková míra vyjádřená desetinným číslem a t je čas v letech, po které je základní kapitál uložen (půjčen). Ze vzorce (1) je zřejmé, že závislost výše úroku na čase je lineární. Vzorec (1) lze také přepsat do tvaru u=P

p k , 100 360 1

kde p je úroková míra jako počet procent za rok, k je počet dní. Pro vyjádření doby splatnosti ve dnech se v evropských zemích používají tzv. standardy: • ACT/365 (anglický standard) znamená, že každý měsíc má skutečný počet dní (ACT) a rok má 365 dní v roce • ACT/360 (francouzský standard) znamená, že každý měsíc má skutečný počet dní (ACT) a rok má 360 dní v roce • 30E/360 (německý standard) znamená, že každý měsíc má 30 dní a rok má 360 dní v roce Výpočet úroku pomocí úrokových čísel(UC) a úrokového dělitele (UD):

UC =

Pk , 100

u=

UD =

Pk 100 360 p

=

360 p

UC . UD

Tohoto způsobu výpočtu úroku se používá při účtování na běžných a kontokorentních účtech, a při výpočtech splatných částek směnek.

2.1

Jednoduché polhůtní úročení

Zde je navíc předpokládáno, že příslušný úrok je vyplacen na konci doby splatnosti. Základní rovnice jednoduchého polhůtního úročení:

S = P + u = P (1 + it) = P (1 +

p k ), 100 360

(2)

kde S je splatná částka a P je základní kapitál (půjčka). Současná a budoucí hodnota kapitálu Vzhledem k inflaci se hodnota peněz v čase mění. Při výpočtech, kde potřebujeme porovnávat finanční částky v různých časech, je pravidlem vztahovat všechny tyto částky k jedinému časovému okamžiku. Je-li tímto časovým okamžikem ”teď”, nazývají se hodnoty přepočtených částek současnými hodnotami. Jestliže jsou částky přepočítány do nějakého budoucího časového bodu, nazývají se pak jejich hodnoty budoucími hodnotami. V případě jednoduchého úročení je tedy splatná částka S budoucí hodnotou počátečního kapitálu P a, naopak, kapitál P je současnou hodnotou splatné částky S. 2

2.2

Jednoduché předlhůtní úročení

Zde je, na rozdíl od předchozí podkapitoly, předpokládáno, že úrok je vyplacen hned na začátku doby splatnosti. Takový úrok se nazývá diskont (značíme D) a počítá se ze splatné částky S. Částka P je rovna částce S snížené o diskont. Příslušná úroková míra se nazývá diskontní míra d. Výpočet diskontu: D = Sdt Výpočet splatné částky P = S(1 − dt) = S(1 −

pD tz ), 100 360

(3)

kde pD je diskontní míra v procentech a tz zbytková doba splatnosti ve dnech. Vztah mezi polhůtní úrokovou mírou i a diskontní mírou d získáme porovnáním částek S ze vzorců (2) a (3). Obdržíme vztahy i=

d 1 − dt

d=

i , 1 + it

(4)

které nacházejí využití při porovnání výhodnosti krátkodobých půjček, aniž bychom museli počítat splatné částky.

3

Aplikace jednoduchého úročení

Jednoduchého úročení je v praxi využíváno v polhůtním i diskontním principu. Krátkodobé cenné papíry (doba splatnosti kratší než jeden rok) bývají před svou dobou splatnosti obchodovány na diskontním principu, zatímco při tvorbě uzávěrek běžných či kontokorentních účtů se používá polhůtního úročení.

3.1

Aplikace jednoduchého úročení s diskontním principem

• Pokladniční poukázky, depozitní certifikáty Cena P těchto krátkodobých cenných papírů před dobou splatnosti se vypočte podle vzorce P = S(1 − dt),

(5)

kde S je nominální hodnota cenného papíru, d je roční diskontní míra. 3

• Směnky Cena směnky S D před dobou splatnosti se opět vypočte podle vzorce (5), kde S je směnečná částka (ozn. S), která je vždy uvedena přímo na směnce. Pro směnku tedy platí S D = SC(1 − dt) = S(1 −

pD t z ). 100 360

Chceme-li zjistit, jaká bude celková vyplacená částka v den eskontu za více směnek s různými směnečnými částkami a různými zbytkovými dobami splatnosti při stejné diskontní míře, pak je pro výpočet diskontu výhodnější pracovat s úrokovými čísly a úrokovým dělitelem. Pro i-tou směnku, i = 1, . . . , n bude výše diskontu rovna Di =

S i .tzi 1 U Ci . = , 100 360 UD p D

pro celkový diskont pak Pn

i=1 U Ci

D=

UD

=

pD

Pn

i=1 S i .tzi

36000

.

Vyplacenou částku za všechny směnky dohromady pak vypočteme pomocí vzorce n X

S Di =

i=1

=

n X

Pn

i=1 U Ci

Si −

UD

i=1 n X

Si −

pD

Pn

i=1 S i .tzi

36000

i=1

=

.

Určení střední doby splatnosti tS a středního data splatnosti TS směnek: pD

Pm

i=1 S i .(tS

− tzi )

36000 Pm

tS =

=

i=1 S i tzi Pm i=1 S i

pD

Pn

j=1 S j .(tzj

36000 + nj=1 S j tzj P . + nj=1 S j P

TS = datum eskontu + tS .

4

− tS )

3.2

Aplikace polhůtního úročení

V této podkapitole bude ukázáno na příkladech, jak se provádí uzávěrka běžného a kontokorentního účtu na konci roku. Předpokládám roční úročení, tj. patřičný úrok je na účet připsán na konci roku. Veškeré úroky budou počítány pomocí úrokových čísel a úrokových dělitelů. • Běžné účty Existují tři způsoby, jak provádět uzávěrku na běžném účtu: 1. Zůstatkový způsob Zůstatky na účtu jsou úročeny vždycky za dobu, po kterou skutečně na účtu ležely. Pro úrok u, který bude na konci roku připsán na účet, platí při úrokové míře i Pn

u=

i=1 U Ci

UD

,

kde U Ci , i = 1, . . . , n jsou úroková čísla za i-tou dobu, po kterou ležel zůstatek na účtu. Při standardu 30E/360 určíme počet dní za každé i-té období podle vztahu 30(M2 − M1 ) + D2 − D1 .

(6)

2. Postupný způsob Úroky z jednotlivých položek jsou počítány za dobu od data, kdy se na účtu objevily (toto datum nepočítáme) až do konce roku. U položek ze sloupce ”Dal” budou mít příslušná úroková čísla kladné znaménko, u položek ze sloupce ”Má dáti” záporné znaménko. Při standardu 30E/360 se počty dní opět počítají podle vzorce (6). Výše úroku připsaného na účet na konci roku pak činí P

u=

U CDal − U CM dti . UD P

3. Zpětný způsob Postup výpočtu úroku je opačný než u v předchozím případě. Úroky jsou počítány od zvoleného data epochy (např. 1.1.) až do data změny na účtu, znaménka úrokových čísel pro položky ”Dal” jsou záporná a pro položky ”Má dáti” kladná. Úrokové číslo náležející zůstatku ze dne 31.12. má však kladné znaménko. Celkový připsaný úrok bude u=

P

U CM dti −

P

U CDal +U C31.12. . UD

Konečný zůstatek dostaneme sečtením zůstatku ze dne 31.12. a vypočteného úroku u. 5

• Kontokorentní účet Na takovém účtu je krátkodobě povoleno přejít z kladných zůstatků na záporné, je tedy o jakousi půjčku ze strany banky nazvanou kontokoretní úvěr. Další pojmy: – úvěrový rámec (UR) - maximální povolený debet (záporný zůstatek) na účtu – kreditní úrok - úrok z kladných zůstatků připsaný ve prospěch majitele účtu – debetní úrok - úrok ze záporných zůstatků, které nejsou větší než sjednaný úvěrový rámec – pohotovostní provize - náklady vzniklé v důsledku sjednaného, avšak nečerpaného úvěru; patří sem pohotovostní provize z nečerpaného úvěrového rámce (NU) – provize za překročení úvěrového rámce (PR) - sankční úrok i přesto, že překročení bylo povoleno Výpočty: Provádíme uzávěrku na konci roku s tím, že ic je kreditní úroková míra, id debetní úroková míra a dále známe procentuální sazby pohotovostní provize z nečerpaného úvěru pN U a sankčního úroku překročení úvěru pP R . Kreditní a debetní úroky se vypočítají zůstatkovým způsobem (viz předchozí podkapitola), pohotovostní provize z nečerpaného úvěrového rámce podle vzorce

uN U =

t.U R 100

Pt

− j=1 100 UD

Uj

a provize za překročení úvěrového rámce se spočítá pomocí vztahu Pt j=1

100

uP R =

4

Uj

− UD

t.U R 100

Složené úročení

Předpoklady: počáteční kapitál ve výši K0 , úrokové období je roční, doba splatnosti je n roků, kde n je celé kladné číslo, úroky jsou připsány vždy na konci roku při roční úroková míře i, tj. jedná se o polhůtní složené úročení. Předlhůtní složené úročení nemá v praxi využití, nebudu se jím tedy zabývat. Odvození základní rovnice polhůtního složeného úročení:

6

Rok 1 2 3 . . n

Stav na konci roku K1 = K0 (1 + i) K2 = K1 (1 + i) = K0 (1 + i)2 K3 = K2 (1 + i) = K0 (1 + i)3 . . Kn = K0 (1 + i)n

Základní rovnice pro složené úročení je uvedena v posledním řádku, tedy Kn = K0 (1 + i)n ,

(7)

kde Kn je splatná částka na konci n-tého roku. Částky Ki , i = 1, . . . , n na konci i-tého roku tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem 1 + i, který se nazývá úrokovací faktor neboli úročitel. Interpretace úročitele: budoucí hodnota jednotkového kapitálu na konci roku Z hlediska času je částka Kn budoucí hodnotou počátečního kapitálu K0 a, naopak, částka K0 je současnou hodnotou splatné částky Kn . Současnou hodnotu K0 vypočítáme ze základní rovnice (7): K 0 = Kn

1 n 1 = Kn ( ) , n (1 + i) 1+i

1 podíl 1+i se nazývá diskontní faktor neboli odúročitel. V literatuře se často značí jako v, tj.

1 , 1+i K0 = K n v n , v=

a je interpretován jako současná hodnota jednotkového kapitálu počítaná za období jednoho roku.

4.1

Složené úročení s častějším připisováním úroků

Předpoklady: počáteční kapitál ve výši K0 , doba splatnosti je tvořena více úrokovými obdobími kratšími než jeden rok, jejichž počet je vyjádřen celým kladným číslem, úroky jsou připsány vždy na konci úrokového období při roční úrokové míře i. Příklady úrokových období (m značí počet úrokových období v jednom roce):

7

Úrokové období roční pololetní čtvrtletní měsíční týdenní denní

m 1 2 4 12 52 365

Je-li úrokové období kratší než jeden rok a je-li i roční úroková míra, musíme ve výpočtech tuto úrokovou míru vydělit příslušnou hodnotou m. Odvození splatné částky na konci n-tého roku: Část roku (m) 1 m 2 m 3 m

. . m−1 m m m

. 2m m

. 3m m

. . nm m

Stav kapitálu na konci části roku K 1 = K0 (1 + mi ) m K 2 = K 1 (1 + mi ) = K0 (1 + mi )2 m m K 3 = K 2 (1 + mi ) = K0 (1 + mi )3 m m . . K m−1 = K m−2 (1 + mi ) = K0 (1 + mi )m−1 m m = K0 (1 + mi )m = K1 Km m . K 2m = K0 (1 + mi )2m = K2 m . K 3m = K0 (1 + mi )3m = K3 m . . K nm = K0 (1 + mi )nm = Kn m

V posledním řádku tabulky nalezneme rovnici pro výpočet splatné částky po n letech.

4.2

Smíšené úročení

Předpoklady: počáteční kapitál ve výši K0 , doba splatnosti zde není vyjádřena celým kladným číslem, je dána jako součet celého počtu úrokových období (nm ) a zbytku (l), který je kratší než jedno úrokové období, po dobu nm jsou úroky připisovány vždy na konci úrokového období a v dalším období znovu úročeny, pouze na konci doby splatnosti (za dobu l) se úročí jednoduše, uvažujeme roční úrokovou míru i. Splatná částka při smíšeném úročení

Kn = K0 (1 +

i nm ) (1 + il), m

8

kde n = nm + l.

4.3

Efektivní úroková míra, úroková intenzita

Efektivní úroková míra ie je roční úroková míra, která poskytne za jeden rok stejný úrok jako roční úroková míra i s častějším připisováním úroků. Platí

1 + ie = (1 + ie = (1 +

i m ) m

i m ) − 1. m

Je-li úrokové období nekonečně malé, tj. budou-li úroky připisovány spojitě, platí 1 + ie = limm→0 (1 +

i m m)

= limm→0 [(1 +

1

m i

m

) i ]i = ei

ie = ei − 1 Efektivní úroková míra odpovídající spojitému úročení se nazývá úroková intenzita. Splatná částka při spojitém úročení: Kn = K0 ein . Využití efektivní úrokové míry: při porovnávání úrokových měr s různou frekvencí připisování úroků. Při častějším připisování úroků je odpovídající efektivní úroková míra rostoucí, svého maxima dosahuje v případě spojitého úročení.

4.4

Nominální a reálná úroková míra

Nominální úroková míra - přímo napsaná ve smlouvách, v nabídkách bankovních produktů nebo přímo na cenných papírech (dluhopisech). Reálná úroková míra - úroková míra, k jejímuž určení se počítá s mírou inflace. Máme-li počáteční kapitál K0 , bude splatná částka za jeden rok při nominální roční úrokové míře i činit podle (2) K1 = K0 (1 + i). Uvažujeme-li míru inflace ii , bude platit: 9

K0 (1 + i)

1 = K0 (1 + ir ), 1 + ii

kde ir je reálná úroková míra. Úpravou rovnice dostaneme vztah i = ir + ii + ir ii , zvaný Fisherova rovnice. Součin ir ii se někdy pro svoje nízké hodnoty zanedbává a Fisherova rovnice se zapisuje ve zkráceném tvaru . i = ir + ii .

4.5

Hrubá a čistá výnosnost

Hrubá výnosnost je úroková míra realizovaná při investování. Čistá výnosnost je hrubá výnosnost snížená o daň. Je-li d daňová sazba, i hrubá výnosnost, pak čistá výnosnost je i = i(1 − d). Čistý konečný kapitál je v případě jednoduchého úročení vyjádřen jako Kn = K0 [1 + i(1 − d)t], v případě složeného úročení Kn = K0 [1 + (1 − d)i]n .

5

Investiční rozhodování

Základní pojmy: 1. hodnota peněz - nezůstává v čase stejná, mění se vlivem inflace nebo mírou zisku

10

2. finanční toky (cash flows) - realizované nebo očekávané pohyby peněžních prostředků v různých časových okamžicích investičních projektů, dělíme je na příjmy - finanční toky s kladným znaménkem výdaje - finanční toky se záporným znaménkem 3. investice - je systém finančních toků rozložených v čase, při výpočtech obvykle vztahujeme všechny finanční toky k jednomu časovému bodu, tzv. referenčnímu datu, přičemž použijeme úročení, jdeme-li časově dopředu (zajímají nás budoucí hodnoty) a diskontování při pohybu dozadu (zajímají nás současné hodnoty) 4. ocenění investice - pomocí investičních pravidel určíme, zda je vhodné investovat či ne pravidla pro ocenění investic: pravidlo (čisté) současné hodnoty pravidlo vnitřní míry výnosnosti pravidlo doby návratnosti 5. hodnotová rovnice - rovnice, v níž porovnáváme dané finanční toky vztažené k referenčnímu datu a řešíme podle příslušné neznámé.

5.1

Pravidlo současné hodnoty

Nechť C0 , C1 , . . . , Cn jsou finanční toky vztažené k určité investici, kde C0 značí počáteční výdaj (pořizovací cenu investice) a i je požadovaná úroková míra požadovaná investorem v rámci investic se srovnatelnými parametry. Pak současná hodnota (present value, PV) finančních toků C1 , . . . , Cn je n X Cj PV = = Cj v j j (1 + i) j=1 j=1 n X

Pravidlo současné hodnoty spočívá v porovnání hodnot P V a C0 a podle toho, která z hodnot je větší, se doporučuje investovat nebo neinvestovat. • je-li P V > C0 , pak investuj, • je-li P V < C0 , pak neinvestuj, • je-li P V = C0 , pak nelze podle tohoto pravidla rozhodnout. Započítáme-li do sočasné hodnoty také částku C0 , dostaneme tzv. čistou současnou hodnotu (net present value, NPV): 11

NPV =

n X

n X Cj = Cj v j j (1 + i) j=0 j=0

Pravidlo čisté současné hodnoty: • je-li N P V > 0, pak investuj, • je-li N P V < 0, pak neinvestuj, • je-li N P V = 0, pak nelze podle tohoto pravidla rozhodnout.

5.2

Pravidlo vnitřní míry výnosnosti

Vnitřní míra výnosnosti i? je odhadována z rovnice n X

Cj = 0, (1 + i?)j j=0 a následně porovnána s mírou zisku běžně dostupnou na kapitálovém trhu v rámci investic se srovnatelnými parametry. Při použití tohoto pravidla záleží také na průběhu funkce popisující závislost čisté současné hodnoty na míře zisku. Proto • je-li i? > i a zároveň je NPV (na levé straně rovnice výše) klesající funkcí míry zisku, pak investuj • je-li i? < i a zároveň je NPV rostoucí funkcí míry zisku, pak investuj

5.3

Pravidlo doby návratnosti

Doba návratnosti je doba, za kterou postupně splatí kumulované příjmy investovaný kapitál. Při použití tohoto pravidla preferujeme investici s nejkratší dobou návratnosti. Vypočtenou dobu návratnosti porovnáváme se známou dobou návratnosti v rámci stejného typu investice.

5.4

Investiční kritéria

Investoři při výběru vhodné investice sledují zpravidla následující tři hlediska: 1. výnosnost, s níž souvisí ocenění investice dle tří pravidel výše 12

2. riziko (bývá vyjádřeno směrodatnou odchylkou, existují různé stupnice rizika) 3. likviditu, tj. rychlost, s jakou lze investici zpět proměnit v hotovost. Tato tři kritéria se většinou vzájemně vylučují, proto musí investor udělat mezi nimi kompromis. Výnosnost investice vždy bývá spjata s rizikem, že jí nedosáhneme. Příslušné riziko může nabývat určitých hodnot vypočtených jako směrodatné odchylky od průměrné výnosnosti. Pro lepší představu o rizikovosti jednotlivých typů investic existuje stupnice rizika např.: nemovitosti, drahé kovy, starožitnosti pokladniční poukázky, peněžní vklady, státní obligace, komunální obligace depozitní cetifikáty, podílové listy, pojistky směnky, prioritní akcie obyčejné akcie termínové obchody Jednotlivé typy investic jsou seřazeny podle rostoucího rizika. Podobně jako pro riziko, existuje také stupnice likvidity: peněžní prostředky (tuzemské, devizy, valuty) zlato, vklady, pokladniční poukázky, podílové listy depozitní certifikáty, obligace, akcie kotované na burze obligace a akcie nekotované na burze nemovitosti, starožitnosti, podnikatelské projekty Uvedené investice jsou seřazeny od těch vysoce likvidních až po nejméně likvidní.

6

Spoření

Cílem této kapitoly je odvodit potřebné vztahy pro výpočet naspořených částek. Předpoklady: určitou částku ukládáme v pravidelných časových intervalech (na počátku nebo na konci) po dobu jednoho nebo několika úrokových období. Zajímá nás, jak velká bude konečná naspořená částka, případně jakou část z ní zaujímají úložky a úroky z nich. Rozlišujeme částku uloženou (součet všech úložek) a částku naspořenou (součet částky uložené a příslušných úroků). Z hlediska počtu úrokových období dělíme spoření na krátkodobé a dlouhodobé, případně kombinované. Podle toho, spoříme-li stanovenou částku na počátku pravidelného časového intervalu nebo na jeho

13

konci, mluvíme o spoření předlhůtním nebo polhůtním. Kombinací těchto výše uvedených rozlišení získáme několik typů spoření, jejichž splatné částky budou odvozeny v následujících podkapitolách.

6.1

Krátkodobé předlhůtní spoření

Předpoklady: částku ve výši x Kč ukládáme na počátku každé m-tiny daného úrokového období (tj. úroky budou připsány až na konci úrokového období) při úrokové míře i. Odvození naspořené částky S0x : Pořadí úložky 1 2 3 . m

Doba splatnosti úložky 1 mm 1 (m − 1) m 1 (m − 2) m . 1 m

Úrok 1 i m mm 1 i m m (m − 1 i m m (m −

1) 2)

. 1 i mm

Hodnoty úroků z jednotlivých úložek (ve třetím sloupci tabulky) tvoří arit1 i metickou posloupnost s diferencí d = m . m . Sečtením těchto hodnot dostaneme výši celkového úroku: u = mx m+1 2m i Částka uložená činí mx Kč, částka naspořená S0x pak je 

S0x = mx + mx m+1 2m i = mx 1 + 



m+1 2m i

.



Výraz 1 + m+1 2m i vyjadřuje naspořenou částku, činí-li uložená částka 1 Kč, tj. ukládámeli pravidelně počátkem každé m-tiny úrokového období částku 1 m Kč.

6.2

Krátkodobé polhůtní spoření

Předpoklady: částku ve výši x Kč ukládáme na konci každé m-tiny daného úrokového období při úrokové míře i. Odvození naspořené částky Sx Pořadí úložky 1 2 3 . m−1 m

Doba splatnosti úložky m m−1 m 1 (m − 2) m 1 (m − 3) m .

Úrok − 1) − 2) − 3) .

1 i m m (m 1 i m m (m 1 i m m (m

1 m

1 i mm

0

0 14

Hodnoty úroků z jednotlivých úložek tvoří opět aritmetickou posloupnost s 1 i diferencí d = m m . Celkový úrok má hodnotu u = mx m−1 2m i Částka uložená činí mx Kč, částka naspořená Sx pak je 

Sx = mx + mx m−1 2m i = mx 1 + 



m−1 2m i



Výraz 1 + m−1 2m i vyjadřuje naspořenou částku, činí-li uložená částka 1 Kč, tj. ukládámeli pravidelně počátkem každé m-tiny úrokového období částku 1 m Kč.

6.3

Dlouhodobé předlhůtní spoření

Předpoklady: spoříme částku a Kč na začátku zvoleného úrokového období po dobu n úrokových období (tj. úroky z úložek jsou znovu úročeny) při úrokové míře i. Odvození naspořené částky S0: Pořadí úložky

Počet období, po která je úložka úročena n (n − 1) (n − 2) . 1

1 2 3 . n

Hodnota úložky na konci n-tého období a(1 + i)n a(1 + i)n−1 a(1 + i)n−2 . a(1 + i)

Hodnoty ve třetím sloupci tabulky) tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem q = (1 + i). Sečtením těchto hodnot dostaneme přímo výši naspořené částky:

S0 = a(1 + i)

(1 + i)n − 1 i

n

(8)

Výraz (1 + i) (1+i)i −1 se nazývá střadatel předlhůtní a lze jej interpretovat jako naspořenou částku, kterou získáme, spoříme-li na počátku každého úrokového období 1 Kč po dobu n úrokových období při úrokové míře i. (1+i)n −1 Označení: (1 + i) = s0in i Zkrácený zápis rovnice (8):

S0 = as0in

15

6.4

Dlouhodobé polhůtní spoření

Předpoklady: spoříme částku a Kč na konci zvoleného úrokového období po dobu n úrokových období při úrokové míře i. Odvození naspořené částky S0: Pořadí úložky 1 2 3 . n

Počet období, po která je úložka úročena n−1 (n − 2) (n − 3) . 0

Hodnota úložky na konci n-tého období a(1 + i)n−1 a(1 + i)n−2 a(1 + i)n−3 . a

Hodnoty ve třetím sloupci tabulky) tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem q = (1 + i). Sečtením těchto hodnot dostaneme opět výši naspořené částky:

S=a

(1 + i)n − 1 i

(9)

n

Výraz (1+i)i −1 se nazývá střadatel polhůtní a lze jej interpretovat jako naspořenou částku, kterou získáme, spoříme-li na konci každého úrokového období 1 Kč po dobu n úrokových období při úrokové míře i. Označení: (1+i)n −1 = sin i Zkrácený zápis rovnice (9):

S = asin

Vztah mezi střadatelem předlhůtním a polhůtním: s0in = (1 + i)sin

6.5

Kombinace krátko- a dlouhodobého spoření

Předpoklady: částku ve výši x Kč ukládáme buď na počátku nebo na konci každé m-tiny daného úrokového období po dobu n úrokových období (tj. úroky jsou připsány na konci každého úrokového období) při úrokové míře i. Odvození naspořených částek: do konce prvního úrokového období naspoříme na principu krátkodobého spoření částky S0x a Sx . Na obě částky pak pohlížíme jako na úložky při dlouhodobém polhůtním spoření trvajícím n úrokových období. Příslušné vztahy pro naspořenou částku v předlhůtním a polhůtním případě jsou následující:

16

m+1 S0 = mx 1 + i sin 2m   m−1 S = mx 1 + i sin 2m 

7



Důchody

Důchodem rozumíme systém plateb realizovaných v pravidelných časových intervalech. V této kapitole budou odvozeny současné hodnoty určitých typů důchodů a v některých případech o budoucí hodnoty. Předpoklady: částka a, která se též nazývá anuita, je vyplácena v pravidelných časových intervalech. U důchodů nás zajímá především jeho současná hodnota D, která je rovna součtu všech současných hodnot jednotlivých budoucích plateb. Počítá se též koncová hodnota důchodu jakožto budoucí hodnota všech výplat. Místo úrokového období je zde zaveden pojem výplatní období. Důchody lze rozlišovat podle několika hledisek: • dle celkové doby výplat - důchod dočasný a věčný • dle toho, je-li výplata uskutečněna na začátku či na konci pravidelného intervalu - důchod předlhůtní a polhůtní • dle toho, odkdy se s výplatami začíná - důchod bezprostřední a odložený • dle toho, je-li výplatní období dlouhé právě jeden rok nebo je kratší než jeden rok - důchody roční a področní

7.1

Důchod dočasný

Předpoklady: částka a Kč je vyplácena po dobu n výplatních období 7.1.1

Důchod bezprostřední předlhůtní roční

Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška počátkem každého roku při úrokové míře i. Odvození současné hodnoty bezprodstředního předlhůtního důchodu: Pořadí výplaty 1 2 3 . n

Současná hodnota a a.v a.v 2 . a.v n−1 17

Sečtením hodnot v pravém sloupci tabulky dostaneme současnou hodnotu důchodu PV:

P V = a(1 + i)

1 − vn 1 − (1 + i)−n 1 − vn =a =a , i iv d

(10)

1 je diskontní faktor z kapitoly 4 a d je diskontní míra z kapitoly kde v = 1+i 1−v n ¨n| a 2.2. Výraz d se jmenuje zásobitel předlhůtní, značíme ho a0in nebo a lze jej interpretovat jako současnou hodnotu důchodu s anuitami ve výši 1 Kč vyplácenými počátkem každého roku po dobu n let při úrokové míře i.

Zkrácený zápis pro vztah (10):

P V = a.¨ an| = a.a0in .

Vztah pro budoucí hodnotu důchodu se odvodí jako součet plateb úročených ke konci n-tého roku:

F V = a(1 + i)

(1 + i)n − 1 i

Tento vztah také vyjadřuje hodnotu naspořené částky pro dlouhodobé (1+i)n −1 předlhůtní spoření. Pro výraz (1 + i) existuje druhé označení (první i bylo s0in ), a sice s¨n| . 7.1.2

Důchod bezprostřední polhůtní roční

Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška koncem každého roku při úrokové míře i. Odvození současné hodnoty bezprodstředního polhůtního důchodu: Pořadí výplaty 1 2 3 . n

Současná hodnota av a.v 2 a.v 3 . a.v n

Sečtením hodnot v pravém sloupci tabulky dostaneme současnou hodnotu důchodu PV:

PV = a

1 − vn 1 − (1 + i)−n =a i i

n

(11)

Výraz 1−v se jmenuje zásobitel polhůtní, značíme ho ain nebo an| a lze i jej interpretovat jako současnou hodnotu důchodu s anuitami ve výši 1 Kč vyplácenými koncem každého roku po dobu n let při úrokové míře i. 18

Zkrácený zápis pro vztah (11):

P V = a.an| = a.ain .

Vztah pro budoucí hodnotu důchodu se odvodí jako součet plateb úročených ke konci n-tého roku:

FV = a

(1 + i)n − 1 i

Tento vztah je stejný jako vztah pro hodnotu naspořené částky v případě n dlouhodobého polhůtního spoření. Pro výraz (1+i)i −1 existuje též druhé označení (první bylo sin ), a sice sn| . Výpočet počtu výplatních období n: Ze vzorce (11) pro n dostaneme

n=−

ln(1 − P aV i ) . ln(1 + i)

Aby měl výraz v čitateli zlomku smysl, musí platit 1 −

PV i a

> 0, odtud je

a > P V i. Hodnoty n tedy jsou (

n=

7.1.3

ln(1− P aV i ) ln(1+i)

− ∞

je-li a > P V i, je-li a ≤ P V i.

Důchod bezprostřední předlhůtní področní

Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška počátkem každé m-tiny roku při úrokové míře i, výplatní (úrokové) období je právě jedna m-tina roku. Odvození současné hodnoty PV: Pořadí výplaty 1 2 3 . n

Současná hodnota a 1 a.v m 2 a.v m . a.v

(n−1)m m

Současná hodnota důchodu PV je:

19

PV = a

kde výraz

i −nm 1−(1+ m ) i 1− m

1 − (1 + mi )−nm 1 − mi

(12)

se značí symbolem a ¨mn| i a můžeme jej interpretovat m

jako současnou hodnotu jednotkového důchodu vypláceného počátkem každé m-tiny roku po dobu n let při úrokové míře i. Zkrácený zápis pro současnou hodnotu: P V = a.¨ amn| i . m

Budoucí hodnota důchodu FV:

F V = a(1 +

7.1.4

i (1 + ) m

i nm m) i m

−1

= a¨ smn| i

m

Důchod bezprostřední polhůtní področní

Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška koncem každé m-tiny roku při úrokové míře i, výplatní (úrokové) období je právě jedna m-tina roku. Odvození současné hodnoty PV: Pořadí výplaty 1 2 3 . n

Současná hodnota 1 a.v m 2 a.v m 3 a.v m . nm a.v m

Současná hodnota důchodu PV je:

PV = a

kde výraz

i −nm 1−(1+ m ) i m

1 − (1 +

i −nm m)

(13)

i m

se značí symbolem amn| i a můžeme jej interpretovat m

jako současnou hodnotu jednotkového důchodu vypláceného koncem každé m-tiny roku po dobu n let při úrokové míře i. Zkrácený zápis pro současnou hodnotu: P V = a.amn| i

m

Budoucí hodnota důchodu FV:

FV = a

(1 +

i nm m) i m

20

−1

= asmn| i

m

Pro področní důchody existují ještě přibližné vztahy. Pro předlhůtní důchody přibližně platí m+1 . i)an|i P V = ma(1 + 2m m+1 . i)sn|i F V = ma(1 + 2m Pro polhůtní področní důchody přibližně platí m−1 . P V = ma(1 + i)an|i 2m m−1 . F V = ma(1 + i)sn|i 2m 1 Jestliže budeme zkracovat výplatní období délky m až na nulu, dostaneme případ spojitého důchodu, pro jehož současnou a budoucí hodnotu platí: n

a (1 − e−in ) i 0 Z n a FV = a eit dt = (ein − 1) i 0 Z

PV = a

7.2

e−it dt =

Důchod věčný

Předpokládejme, že platby v hodnotě a Kč jsou vypláceny v pravidelných intervalech stále (do nekonečna), proto je věčný důchod limitním případem všech předchozích uvedených typů důchodů. Uvedu vztah pro výpočet současné hodnoty věčného bezprostředního ročního důchodu předlhůtního a polhůtního. Pro předlhůtní důchod platí P V = a + av + av 2 + · · · = a

1 a = , 1−v d

kde d je je diskontní míra z kapitoly 2.2. Jiný přístup k odvození současné hodnoty je pomocí limity: P V = lim a n→∞

1 − vn a = d d

Pro polhůtní důchod dostaneme vztahy P V = av + av 2 + · · · = av 21

1 a = , 1−v i

P V = lim a n→∞

7.3

1 − vn a = i i

Důchod odložený

Na rozdíl od bezprostředního důchodu zde budeme předpokládat období v délce k výplatních období, o které budou jednotlivé platby opožděny. Současnou hodnotu odloženého důchodu získáme diskontováním současných hodnot všech výše uvedených důchodů. V případě področních důchodů je třeba diskontovat o km výplatních období. Příklady odložených důchodů a jejich současné hodnoty: 1. dočasný roční předlhůtní důchod n

P V = av k 1−v = ak| a ¨n| d 2. dočasný roční polhůtní důchod n

P V = av k 1−v = ak| an| i 3. dočasný področní předlhůtní důchod P V = av km

i −mn 1−(1+ m ) 1− 1 i 1+ m

4. dočasný področní polhůtní důchod P V = av km

i −mn 1−(1+ m ) i m

5. věčný předlhůtní důchod PV =

av k d

6. věčný polhůtní důchod PV =

av k i

Využití důchodů: splácení dluhu, výpočty pojištění

8

Splácení úvěrů

Předpoklady: dluh ve výši D splácíme polhůtními ročními anuitami ve výši a při neměnné roční úrokové míře i. Splátka (a) se skládá z úroku (U ) a úmoru (M ), platí a = U +M a vypočteme ji ze vztahu (11), tj. a=

Di 1−v n .

22

Pro splácení dluhů se sestavují umořovací plány, což jsou tabulky obsahující stav dluhu za jednotlivá období, hodnoty úroků, úmorů a anuit. Umořovací plán pro splácení dluhu se stejnými splátkami: Rok 0 1 2 3 . n−1 n

Splátka

Úrok

Úmor

a a a . a a n.a

a(1 − v n ) a(1 − v n−1 ) a(1 − v n−2 ) . a(1 − v 2 ) a(1 − v) n.a − D

a.v n a.v n−1 a.v n−2 . a.v 2 a.v D

P

Stav dluhu D = a.an| a.an−1| a.an−2| a.an−3| . a.v 0 -

V praxi často nastane případ, že poslední splátka je menší než všechny předchozí. Předpokládejme, že tuto nižší splátku uhradíme v (n + 1)-ním roce a označíme ji b. Pro současnou hodnotu úvěru tedy platí D = av + av 2 + . . . + av n + bv n+1 Počet roků, po které je úvěr splácen určíme ze vztahu (11): n=

) ln(1− D.i a ln v

a pro výši poslední splátky máme b=

D−a 1−v i v n+1

n

.

Umořovací plán pro splácení dluhu s nestejnými splátkami, ale s konstantním úmorem : Je-li počet období pro splácení dluhu n, bude výše úmoru činit Rok 0 1 2 3 . n−1 n P

Splátka D n (i.n

+ 1) D [i(n − 1) + 1] n D n [i(n − 2) + 1] . D n (2i + 1) D n (i + 1)  D n+1 2 .i + 1

Úrok

Úmor

n. D n .i (n − 1). D n .i D (n − 2). n .i . D 2 n .i D n .i n+1 D 2 .i

D n D n D n

23

. D n D n

D

Stav dluhu D = n. D n D n (n − 1) D n (n − 2) D n (n − 3) . D n

0 -

D n.

8.1

Hypotéční úvěr

Tento úvěr bývá poskytován v souvislosti s pořízením nemovitosti, která slouží jako zástava po dobu splácení úvěru. Velikost poskytnuté půjčky je v současné době až sto procent, dříve banky poskytovaly maximálně 70 procent z požadované částky. Úvěr se poskytuje na dobu 5-30 let a bývá obvykle splácen měsíčními anuitami, jejichž výši vypočteme ze vztahu (13), tj.

PV = a

1 − (1 + i m

i −nm m)

.

Pokud jde o úrokovou míru, existuje dnes možnost ji zafixovat na určitý počet roků, konkrétně na 1-15 let, výjimečně až na 30 let. Za určitých podmínek lze využít státní podpory (dotace), jejíž výše závisí na velikosti úrokové míry pro hypotéční úvěry, viz následující tabulku: Úroková míra > 10% > 9% > 8% > 7% < 7%

Podpora 4% 3% 2% 1% 0

Podpora se vyjadřuje v procentech a vypočte se jako rozdíl mezi splátkami odpovídajícími sjednané úrokové míře a úrokové míře snížené o procenta z podpory. Státní podpora se poskytuje na dobu maximálně 10 let a nemusí se vztahovat na celou výši půjčky. To však záleží na typu pořizované nemovitosti a také na tom, je-li do půjčky zahrnuta též cena pozemku. Podpora se tedy vztahuje na půjčky ve výši • 1,5 mil. Kč na výstavbu nebo koupi rodinného domku s jedním bytem • 2 mil. Kč na výstavbu nebo koupi rodinného domku se dvěma byty • 12 000 Kč za 1 m2 celkové podlahové plochy bytu, nejvýše však 800 000 Kč na jeden byt v bytovém domě s více než dvěma byty • 12 000 Kč za 1 m2 celkové podlahové plochy bytu, nejvýše však 800 000 Kč na jeden byt, pokud přístavbou, vestavbou, půdní nástavbou nebo stavebními úpravami vznikne nový byt s podlahovou plochou nejméně 40 m2 . V prvních třech případech je možné podporu uplatnit na částku zvýšenou o dalších 200 000 Kč, je-li hypotéční úvěr použit též na nákup pozemku, 24

na němž se má nová nemovitost nacházet. Toto zvýšení platí bez ohledu na počet bytů v domě. Výpočet splátky při uplatnění státní podpory: Nechť D je výše poskytnutého hypotéčního úvěru a Dp jeho část, na niž se bude uplatňovat státní podpora. Nechť i je úroková míra zafixovaná na celou dobu splácení úvěru po dobu n let a is je úroková míra snížená o procenta z přiznané podpory. Splátky úvěru budou realizovány vždy koncem každého měsíce. Teoreticky pro hodnoty D a Dp platí: D > Dp . Nechť D > Dp . Pak výslednou anuitu a můžeme spočítat dvěma způsoby: 1. Pomocí vztahu (13) vypočteme anuitu a0 pro celkový dluh D: a0 =

D i −nm 1−(1+ m )

.

i m

Pro dluh Dp vypočítáme splátku ai při úrokové míře i a splátku ap při snížení úrokové míře is . Rozdíl ai − ap pak vyjadřuje absolutní výši podpory. Tuto hodnotu potom odečteme od splátky a0 , čímž obdržíme splátku a sníženou o přiznanou státní podporu. ai =

Dp i −nm 1−(1+ m ) i m

ap =

Dp 1−(1+ ims )−nm is m

a = a0 − (ai − ap ) 2. Dluh D rozdělíme na část Dp , na kterou se bude vztahovat státní podpora a na část D − Dp , na ni se podpora nevztahuje. Pro obě části dluhu vypočítáme anuity ap a ab s příslušnými úrokovými mírami a poté je sečteme. ap =

Dp 1−(1+ ims )−nm is m

ab =

D − Dp i −nm 1−(1+ m ) i m

25

a = ap + ab Nechť D = Dp . Pak ai = a0

ap =

D 1−(1+ ims )−nm

.

is m

Výslednou anuitu a určíme ze vztahu a = a0 − ap .

9

Obligace

Obligace (dluhopis) je dlouhodobý cenný papír se stanovenou dobou splatnosti, který vyjadřuje závazek emitenta (dlužníka) vůči oprávněnému majiteli (věřiteli) splatit k určitému datu půjčku a proplatit úroky ve stanovených termínech. Z tohoto důvodu je obligace dlouhodobým cenným papírem s fixním výnosem. Nominální hodnota (F ) obligace je částka vytištěná na cenném papíru a je vyplacena na konci doby splatnosti. Cena obligace je skutečná tržní hodnota, za kterou je obchodována na kapitálových trzích. Přesně v den splatnosti je cena obligace rovna nominální hodnotě. Kurz obligace je cena vyjádřená v procentech z nominální hodnoty, např. je-li cena obligace 11 038 Kč a její nominální hodnota 10 000 Kč, bude hodnota kurzu činit 110,38 procent. Kupónová platba (C) je sjednaný úrok vyplácený v pravidelných intervalech. Kupónová sazba (c) je kupónová platba vyjádřená v procentech z nominální hodnoty, platí tedy C = cF . Kupónové období (nejčastěji roční nebo pololetní) je období, na jehož konci je vyplacena kupónová platba. Vzhledem ke kupónovým platbám dělíme obligace na klasické (konečný počet kupónových plateb), bezkupónové (neexistují kupónové platby, obligace se chová jako dlouhodobý depozitní certifikát) a na konzoly (nekonečně mnoho kupónových plateb). Příklady obligací: • státní obligace - emitovány při deficitu státního rozpočtu, např. povodňové dluhopisy v roce 1997

26

• komunální obligace - emitovány při potřebě peněz na straně městské správy • podnikové obligace

9.1

Cena obligace

Cena obligace se vypočítá jako součet všech budoucích plateb diskontovaných k současnému datu, neboli cena obligace je současná hodnota (PV):

PV =

C C C C +F + + ··· + + 1 + i∗ (1 + i∗)2 (1 + i∗)n−1 (1 + i∗)n

(14)

Úpravou tohoto vztahu a dosazením za C dostaneme stručnější vyjádření pro cenu obligace: 1 P V = F can|i∗ + . 1 + i∗)n 



Mezi tržní cenou obligace a nominální hodnotou mohou nastat situace: P V = F právě tehdy, když i∗ = c P V > F právě tehdy, když i∗ < c P V < F právě tehdy, když i∗ > c

tzv. prodej za nominální hodnotu tzv. prodej s prémií tzv. prodej s diskontem

Vztah (14) je použitelný pouze v případě, že cenu obligace počítáme v datu, kdy nastala výplata kupónové platby. Cena obligace odhadovaná datu, které leží v období mezi dvěma kupónovými platbami, se vypočte jako součet tržní hodnoty a poměrné části kupónové platby naběhlé od poslední minulé výplaty kupónu. Tomuto naběhlému úroku se říká alikvotní úrokový výnos (AUV) a doba, po kterou se tento výnos vyplácí, se nazývá výnosové období. Čím více se blížíme k datu výplaty kupónové platby, tím vyšší bude tento výnos a s tím souvisí tzv. datum ex-kupon. To je den, počínaje jím až do nejbližšího budoucího data výplaty kupónu (tzv. ex-období) je obligace obchodována již bez tohoto kupónu a příslušná platba připadne tomu, kdo obligaci vlastnil před datem ex-kupon. Nový majitel už tedy nemá na tuto kupónovou platbu nárok. Místo toho zaplatí za obligaci tržní cenu sníženou o poměrnou část kupónu za dobu od daného data do data výplaty nejbližšího budoucího kupónu jako kompenzaci za ušlou kupónovou platbu. U nás bývá datum ex-kupon nejčastěji stanoveno 30 dní před datem výplaty kupónu. V praxi se rozlišuje den, v němž byl obchod s obligací uzavřen a den, kdy došlo k vypořádání obchodu, tj. zaplacení ceny obligace. Potom výnosové období

27

začíná dnem výplaty posledního minulého kupónu (nebo dnem emise obligace, pokud nebyl ještě žádný kupón proplacen) a končí dnem vypořádání obchodu. Je-li obchod s obligací uzavřen po datu ex-kupon, začíná výnosové období označované jako záporné výnosové období dnem vypořádání obchodu a končí dnem výplaty nekbližšího budoucího kupónu. 9.1.1

Výpočet ceny obligace před datem ex-kupon

Celý výpočet má tři kroky: 1. vypočteme ceny P V1 , P V2 obligace podle vztahu(14) po řadě k datu poslední minulé a nejbližší budoucí výplaty kupónové platby: 1 P V1 = F can|i∗ + 1 + i∗)n 



1 P V2 = F can−1|i∗ + 1 + i∗)n−1 



2. interpolací cen PV1 a PV2 určíme cenu k datu vypořádání obchodu (P V 0), pro počet dní se obvykle používá standard 30E/360:

P V 0 = P V1 +

360(R2 − R1 ) + 30(M2 − M1 ) + D2 − D1 (P V2 − P V1 ), 360

kde R1 M1 D1 je datum poslední minulé výplaty kupónu a R2 M2 D2 je datum vypořádání obchodu, k němuž počítáme cenu obligace. 3. vypočteme alikvotní úrokový výnos za příslušné výnosové období a přičteme jej k ceně P V 0 získané v kroku 2:

AU V = C

9.1.2

360(R2 − R1 ) + 30(M2 − M1 ) + D2 − D1 360 P V = P V 0 + AU V

Výpočet ceny obligace po datu ex-kupon

První a druhý krok výpočtu je zcela stejný jako v předchozím případě, ve třetím kroku vypočteme výši kupónové platby za příslušné záporné výnosové období a odečteme ji od interpolované ceny získané v kroku 2.

28

9.2

Výnosy z obligace

U obligací se můžeme setkat se třemi druhy výnosů: 1. kupónový výnos rk rk =

C F

2. běžný výnos rB rB =

C PV

3. výnos do splatnosti i∗, odhadujeme jej pomocí finančního kalkulátoru nebo počítače ze vztahu (14), tj. PV =

9.3

C C C C +F + + ··· + + 2 n−1 1 + i∗ (1 + i∗) (1 + i∗) (1 + i∗)n

Durace

Durace je definována jako střední (průměrná) doba života obligace a vypočítá se jako vážený průměr všech období, v nichž došlo k výplatě kupónových plateb, přičemž váhami zde jsou současné hodnoty všech kupónových plateb a v posledním období také diskontovaná nominální hodnota. Duraci tedy vypočteme ze vztahu Pn

C F j=1 j (1+i∗)j + (1+i∗)n C F j=1 (1+i∗)j + (1+i∗)n

D = Pn

.

Pro duraci bezkupónové obligace platí D = n a pro konzolu je durace rovna zlomku 1+i∗ i∗ , který dostaneme limitním přechodem pro n jdoucí k nekonečnu, Dkonzoly = limn→∞ Dn , kde Dn je durace klasické obligace. Pomocí durace měříme citlivost změny ceny obligace v závislosti na změně ve výnosnosti do splatnosti. Pro vyšetřování citlivosti se používá přibližný vztah

29

∆P V (i∗) . ∆i∗ = −D , P V (i∗) 1 + i∗ jehož odvození vychází z Taylorova rozvoje funkce P V (i∗): 1 dP V (i∗) . P V (i ∗ +∆i∗) = P V (i∗) + ∆i∗ 1! di∗

(15)

dP V (i∗) −C −2C −n(C + F ) = + + ··· + 2 3 di∗ (1 + i∗) (1 + i∗) (1 + i∗)n+1 dP V (i∗) C 2C n(C + F ) (−1)(1 + i∗) = + + ··· + 2 di∗ 1 + i∗ (1 + i∗) (1 + i∗)n dP V (i∗) 1 + i∗ − = di∗ P V (i∗)

C 1+i∗

+

2C (1+i∗)2

+ ··· +

n(C+F ) (1+i∗)n

P V (i∗)

=D

dP V (i∗) P V (i∗) = −D di∗ 1 + i∗ Dosadíme do vztahu (15) 1 P V (i∗) . P V (i ∗ +∆i∗) = P V (i∗) + (−D) ∆i∗ 1! 1 + i∗ P V (i∗) . P V (i ∗ +∆i∗) − P V (i∗) = −D ∆i∗ 1 + i∗ ∆P V (i∗) . ∆i∗ = −D . P V (i∗) 1 + i∗

10

Akcie

Akcie je dlouhodobý cenný papír obchodovatelný na kapitálovém trhu, s nímž jsou spojena práva majitele • podílet se na řízení akciové společnosti (účast a hlasování na valné hromadě, právo kontroly) • na zisk společnosti (rozdělený do dividend) 30

• na podíl likvidačního zůstatku při zániku společnosti • přednosti na nákup nových (mladých) akcií (předkupní nebo odběrní právo) Majitel akcie (akcionář) není věřitelem tak jako v případě majitele obligace, nýbrž spoluvlastníkem celé akciové společnosti. Nominální hodnota akcie je podíl na majetku akciové společnosti vyjádřený vlastnictvím akcie. S nominální hodnotou souvisí pojem základní jmění (základní kapitál), které je dáno součtem nominálních hodnot všech prodaných (upsaných) akcií. Nadřazenějším pojmem je vlastní jmění, v němž je zahrnuto základní jmění, emisní ažio (kladný rozdíl mezi tržní cenou a nominální hodnotou akcie při její emisi), fondy ze zisku a nerozdělený zisk (nepoužitý na fondy nebo dividendy), který bývá obvykle převeden do dalšího období. Potřebné finanční zdroje (úvěry) akciové společnosti tvoří cizí jmění (kapitál). Vzhledem k tomu, že výplata dividend závisí na hospodaření společnosti a není tedy předem zaručena, řadíme akcie mezi dlouhodobé cenné papíry s nezaručeným výnosem. Emise akcií je jejich umístění na kapitálovém trhu, a to buď formou veřejné nabídky prodeje akcií nebo neveřejného prodeje (pro omezený počet investorů). Pokud jde o veřejnou nabídku prodeje, pak existují možnosti prodeje aukcí (dražbou) nebo tenderem (veřejná soutěž s nastavenou minimální cenou, která je investory zvyšována, ale k prodeji dojde jen tehdy, sejde-li se nabídka s poptávkou). Příklady akcií: • obyčejná (kmenová) akcie - klasická, s výše uvedenými právy • prioritní akcie - může být bez hlasovacího práva, ale se stanovenou výší dividendy (v případě, že společnost vykazuje zisk); výplata takové dividendy stojí hned za splácením úvěru a výplatou kupónových plateb z obligací emitovaných společností • zaměstnanecká akcie - musí znít na konkrétní jméno majitele a může být předávána pouze mezi zaměstnanci společnosti

10.1

Cena akcie

Cena akcie je tržní hodnota, za kterou je obchodována na kapitálovém trhu podle aktuálního stavu nabídky a poptávky. Někdy se též používá termínu kurz akcie, jeho hodnota je však stejná jako hodnota ceny. Cenu akcie ovlivňují různé faktory, především prosperita akciové společnosti, kvalita jejího řízení, perspektiva daného oboru do budoucna, politická situace atd. Kromě těchto faktorů hraje důležitou roli také psychologie investorů. 31

Stanovením ceny akcie se zabývají metody fundamentální analýzy, technické analýzy a psychologické analýzy. Fundamentální analýza vychází z předpokladu, že na kapitálovém trhu jsou dostupné všechny informace důležité pro odhad kursů a chování akcií. Výsledkem této analýzy je výpočet vnitřní hodnoty akcie, jakožto její správné ceny. Technická analýza zase vychází z výzkumu vývoje kurzů a objemu obchodů na kapitálovém trhu, technici (chartisté) se snaží v těchto záznamech identifikovat určité trendy a speciální formace a pomocí nich pak předpovídat vývoj cen akcií v krátkém období. Psychologická analýza je založena na analýze chování investorů. Níže uvedené modely pro stanovení ceny akcie budou z oblasti fundamentální analýzy.

10.2

Dividendový diskontní model

V tomto modelu je vnitřní hodnota akcie odhadována jako součet všech diskontovaných budoucích plateb, tj. dividend a výnosu z prodeje akcie. Obecně předpokládáme, že výše dividendy vyplacená na konci jednotlivých roků není stejná. Vnitřní hodnota (V H) akcie, u níž byly dividendy vypláceny po dobu n let a na konci n-tého roku byla akcie prodána, vypadá

VH =

D1 D2 Dn + Pn + + ··· + 2 1 + i (1 + i) (1 + i)n

VH =

n X

Dj Pn + . j (1 + i) (1 + i)n j=1

kde D1 , . . . , Dn jsou vyplacené dividendy za jednotlivé roky a i je úroková míra v rámci investic se srovnatelnými parametry. Budeme-li uvažovat nekonečné vyplácení dividend, dostaneme pro vnitřní hodnotu akcie vztah

VH =

∞ X D1 D2 Dj + + · · · = . j 1 + i (1 + i)2 (1 + i) j=1

Je-li výše dividendy neměnná, tj. D1 = D2 = · · · = D, platí VH =

10.2.1

D D D + + ··· = . 2 1 + i (1 + i) i

Modely růstu

U těchto modelů předpokládáme, že dividendy vykazují konstantní tempo růstu, tj. 32

Dj = Dj−1 (1 + g), kde g je míra růstu. Nechť D1 = D0 (1 + g). Vnitřní hodnota akcie pak bude mít tvar

VH =

D0 (1 + g) D0 (1 + g)2 D0 (1 + g) D1 + + ··· = = . 1+i (1 + i)2 i−g i−g

Ve výpočtu výše byl hledán součet nekonečné geometrické řady, pro jehož existenci je nutné udat podmínku, a to i > g. Při splnění této podmínky existuje též vnitřní hodnota akcie. Obecnějším růstovým modelem je dvoustupňový dividendový diskontní model. Zde předpokládáme, že tempo růstu dividend je g1 v prvních n letech, poté se změní na g2 . Odvození vnitřní hodnoty je provedeno přes vyjádření ceny akcie na konci n-tého roku Pn jakožto současné hodnoty vyplácených dividend na konci roku n + 1, n + 2,. . .

VH =

D0 (1 + g1 ) D0 (1 + g1 )2 D0 (1 + g1 )n Pn + + · · · + + 1+i (1 + i)2 (1 + i)n (1 + i)n D1 VH = 1− i − g1 



1 + g1 1+i

n 

+

Pn . (1 + i)n

(16)

Tady zatím skončíme. Nyní vyjádříme cenu akcie Pn jako součet diskontovaných dividend vyplácených v budoucích letech. Jejich tempo růstu bude g2 .

Pn = =

Dn (1 + g2 ) Dn (1 + g2 )2 + + ··· = 1+i (1 + i)2

D0 (1 + g1 )n (1 + g2 ) Dn (1 + g2 ) = i − g2 i − g2 Pn =

D1 (1 + g1 )n−1 (1 + g2 ) . i − g2

Získaný výsledek platí za podmínky i > g2 ze stejných důvodů jako v předchozím modelu. Tento výsledek dosadíme do vztahu (16) do Pn a dostaneme. 

V H = D1 

1−



 1+g1 n 1+i

i − g1



(1 + g1 )n−1 (1 + g2 )  + . (i − g2 )(1 + i)n

33

Vedle dvoustupňového modelu existuje ještě třístupňový model, který se používá v případě náhlého skoku v míře růstu. Do modelu se pak vloží mezifáze postupného poklesu z hodnoty g1 v čase T1 na hodnotu g2 v čase T2 .

10.3

Ziskový model

V tomto modelu hraje důležitou úlohu P/E poměr (price/earnings ratio), poměr ceny akcie k jednotkovému zisku. Je to jeden z ukazatelů souvisejících s akciovými kurzy, který můžeme interpretovat jako dobu, za kterou se akcie zaplatí. Základem pro tento model je tzv. normální poměr P/E, ozn. (P/E)norm , což je odhad průměrné hodnoty poměru. Pro odhad vnitřní hodnoty pak platí V H1 = (P/E)norm .E1 , kde E1 je odhad očekávaného zisku v příštím roce. Základní metodou odhadu normálního poměru je dividendový diskontní model s konstatním růstem. Pro hodnotu poměru platí

(P/E)norm =

d1 , i−g

kde d1 je tzv. výplatní poměr (poměr výše dividendy na jednu akcii a jednotkového zisku po zdanění), v tomto případě odhadnutý pro příští rok, tj. 1 d1 = D E1 . Normální poměr se také odhaduje pomocí metod matematické statistiky nebo srovnáním s tržním P/E poměrem.

10.4

Předkupní právo a jeho cena

V úvodu kapitoly o akciích bylo uvedeno, že s vlastnictvím akcií je spojeno, mimo jiné, předkupní (odběrní) právo na mladé akcie. Toto právo bývá uplatněno v době, kdy dochází ke zvyšování základního jmění (kapitálu) akciové společnosti. Navýšení základního jmění se nejčastěji řeší emisí nových (mladých) akcií, na jejichž nákup mají stávající akcionáři přednostní právo. S jednou drženou akcií je spojeno obvykle jedno právo. Na nákup jedné mladé akcie však jedno předkupní právo nestačí, počet práv je dán upisovacím poměrem, což je poměr základního jmění a navýšení základního jmění. S těmito právy pak akcionář obdrží mladé akcie za tzv. upisovací cenu, která bývá o něco nižší než tržní cena. Také s mladou akcií je spojeno jedno předkupní právo, ale jen určitou dobu, kterou uzavírá datum-ex předkupní právo, zkráceně ex-datum. Tímto dnem počínaje se akcie prodávají 34

již bez předkupního práva, to se obchoduje samostatně. Z toho však plyne, že i předkupní právo má svoji cenu v závislosti na tom, jestli už ex-datum nastalo či ne. Cena práva v době před ex-datem Odvození ceny vychází z následující úvahy: investor má dvě možnosti, buď koupit mladou akcii za tržní cenu P Vpřed nebo koupit patřičný počet práv a mladou akcii za upisovací cenu. V době před ex-datem se tyto mladé akcie prodávají ještě včetně jednoho budoucího předkupního práva. Tato úvaha se matematicky zapíše takto: P Vpred = N R + S + R,

(17)

kde N je upisovací poměr, S upisovací cena a R cena předkupního práva. Cenu práva získáme vyjádřením R z rovnice výše:

R=

P Vpred − S . N +1

Cena práva v době po ex-datu V této době se mladé akcie již neprodávají s nárokem na předkupní právo, proto se rovnice (17) zjednoduší na tvar P Vpo = N R + S.

(18)

Vyjádřením R z rovnice dostaneme opět cenu práva

R=

P Vpo − S . N

V rámci akciové společnosti je možné stanovit, že v roce, v němž došlo k navýšení základního jmění, již nebudou vyplaceny dividendy (D). Tento fakt může být zohledněn i v rovnicích (17), (18) způsobem P Vpred = N R + S + R + D P Vpo = N R + S + D, takže pro cenu práva v době před a po ex-datu budou P Vpred − S − D N +1 P Vpo − S − D . R= N

R=

35

Teď předpokládejme, že akcionář nebude chtít vkládat další kapitál do mladých akcií. Rozhodne se prodat určitý počet předkupních práv a za získané peníze pak koupí odpovídající počet mladých akcií. Označme počet prodaných práv x a počet všech práv k. Pak platí k−x S N Sk x= NR + S

Rx =

Hodnotu x je nutno zaokrouhlit tak, aby číslo k−x bylo dělitelné upisovacím poměrem.

10.5

Výnos z akcií

Rozlišujeme dvojí výnos z akcií: 1. dividendový výnos (běžný výnos) rB =

D , P0

kde D je výše dividendy a P0 tržní cena, za niž byla akcie koupena. 2. akciový výnos (celkový výnos) rC =

P1 − P0 + D P0

nebo v případě, že je uplatněno předkupní právo rC =

P1 − P0 + D + R , P0

kde P0 tržní cena, za niž byla akcie koupena a P1 tržní cena, za niž byla akcie prodána. Celkový výnos popisuje výnos za dobu držení akcie omezenou datem nákupu akcie a datem jejího prodeje. Pro lepší orientaci se však celkový výnos přepočítává na roční bázi, a to pomocí jednoduchého úročení a pomocí složeného úročení. První možnost vychází z přepokladu, že počáteční kapitál P0 můžeme po celý rok opakovaně investovat s tím, že získané výnosy již znovu neinvestujeme. Přepočet pomocí složeného úročení, naopak, předpokládá opakované investování nejen počátečního kapitálu, ale i výnosů. Oba vztahy pro celkový výnos na roční bázi jsou uvedeny níže: 36

j rCp.a. =

s rCp.a.



=

P1 − P0 + D P0 n P1 + D P0

1

n

−1

Výnos z dividend stejně jako kapitálový výnos (výnos z prodeje akcií) bývá zdaněný příslušnou daňovou sazbou. Je-li dD daňová sazba pro dividendy a dK sazba pro kapitálový výnos, dostaneme pro čistý akciový (celkový) výnos vztah

rC =

11

(P1 − P0 )(1 − dK ) + D(1 − dD ) . P0

Termínové obchody

Obchody, jejchž předmětem jsou především cenné papíry, úrokové míry, měnové kurzy nebo komodity, můžeme dělit podle časového hlediska na obchody promptní (spotové), tj. takové, jejichž vyřízení netrvá déle než tři dny, a forwardové (budoucí), tzv. forwardové kontrakty, které jsou uzavřeny okamžitě, ale k jejich vyřízení dochází až za určitou, předem dohodnutou dobu (obvykle ne delší než jeden rok). Forwardový kontrakt je definován jako smlouva mezi dvěma partnery o budoucím nákupu či prodeji určitého zboží s tím, že v okamžiku uzavření smlouvy jsou závazně sjednány všechny podmínky jednoznačně vymezující budoucí obchod, které nelze měnit bez vzájemného souhlasu obou stran. Pokud jde o obchodní podmínky, jedná se především o druh a množství zboží, termín budoucího obchodu a budoucí cenu zboží, tzv. termínovou cenu. Důvody, které vedou obchodní partnery k uzavírání forwardových kontraktů, spočívají jednak v zajištění se proti nepříznivému vývoji cen, jednak v možnosti realizovat bezrizikový zisk formou arbitráže. Zajišťovací důvody souvisí se spekulací na pohyb cen. Např. očekává-li se zdražení určité cizí měny, můžeme tuto měnu teď nakoupit a zároveň uzavřít forwardový kontrakt na prodej této měny za dohodnutou termínovou cenu. Bude-li v době prodeje kurz cizí měny nižší než termínová cena, znamená to pro nás zisk, v opačném případě ztrácíme. Arbitráž je taková situace na trhu, kdy v případě provedení určité transakce existuje možnost provést jinou transakci založenou na prodeji a následném nákupu (nebo opačně) za podmínek sjednaných ve forwardovém kontraktu, přičemž výnosnosti (ceny) obou transakcí mohou být různé. V případě, že se rozhodneme pro takovou transakci, u níž bude nakonec výnosnost větší, realizujeme zisk na základě rozdílu ve výnosnostech (cenách) obou transakcí. Tento zisk bývá označován jako bezrizikový. 37

Kdyby na trhu možnost arbitráže neexistovala, byly by výnosy z obou transakcí stejné. Při uzavírání forwardových kontraktů se obchodní partneři opírají pouze o předpovědi cenového vývoje, protože není v silách člověka přesně určit budoucí hodnoty cen, úrokových měr nebo kurzů. Z tohoto hlediska patří termínové obchody do skupiny investic s vysokým rizikem. V následujících podkapitolách budou odvozeny termínové ceny pro forwardové kontrakty týkající se měnových kurzů, úrokových měr a ceny akcie. Budeme přitom vždy předpokládat, že na trhu neexistuje arbitráž. Výsledné termínové ceny pak můžeme považovat za ”spravedlivé”.

11.1

Forwardové kontrakty na měnové kurzy

Předmětem těchto obchodů je nákup nebo prodej zahraniční měny ve stanoveném množství, realizovaný ve sjednaném termínu podle dohodnutého budoucího kurzu, tzv. termínového měnového kurzu. Termínový měnový kurz bývá odvozen z hodnot aktuálního měnového kurzu a z hodnot úrokových měr pro domácí a cizí měnu. Předtím, než začneme odvozovat, zastavím se u pojmu měnový kurz. Měnový kurz je poměr, v němž se směňují dvě různé měny, obvykle cizí a domácí, a který tedy vyjadřuje cenu jedné měny pomocí druhé měny. Měnový kurz bývá rozlišován pro devizy (bezhotovostní cizí měna v podobě zůstatku na účtu, v podobě směnky či šeku) a pro valuty (bankovky a mince v cizí měně), pak mluvíme o devizovém a valutovém kurzu. Stanovení (kotace) kurzů může být dvojí: • přímá kotace, kdy kurz udává, kolik stojí jednotka cizí měny v měně domácí, např. 31,030 CZK/EUR, • nepřímá kotace, kdy kurz udává, kolik stojí jednotka domácí měny v měně cizí, např. 1/31,030 EUR/CZK = 0,032 EUR/CZK. U kurzů bývá také uvedeno, zda se vztahují na nákup cizí měny bankou nebo na její prodej bankou, potom rozlišujeme kurz nákup (bid) nebo kurz prodej (ask, offer). Někdy se používá kurz střed, který je roven aritmetickému průměru kurtu pro nákup a prodej. Rozdíl mezi kurzem pro nákup a prodej bývá označován jako spread (rozpětí). Termínový měnový kurz (TK) pro nákup zahraniční měny se vypočte podle vztahu N N T KCZK/EU R = AKCZK/EU R

38

1 + iCZK T , 1 + iEU R T

N kde AKCZK/EU R je aktuální měnový kurz, iCZK je úroková míra pro korunový vklad, iEU R je úroková míra pro účet v eurech a T je doba mezi uzavřením a vypořádáním obchodu v letech. Odvození vztahu spočívá v následující úvaze: V čase t=0 máme tolik korun, kolik je jich potřeba na nákup jednoho eura N dle aktuálního kurzu AKCZK/EU R . Tuto částku ponecháme na účtu s úrokovou mírou iCZK po dobu T , na konci této doby pak bude hodnota částky N rovna AKCZK/EU R (1 + iCZK T ) Kč. Druhou možností je prodat koruny N v čase t=0 za eura podle kurzu AKCZK/EU R , tj. máme nyní jedno euro, které uložíme na účet s úrokovou mírou iEU R a držíme na tomto účtu po dobu T . Na konci této doby činí hodnota jednoho eura 1 + iEU R T , což je N (1 + iEU R T )T KCZK/EU R korun. Aby nemohlo dojít k arbitráži, musí se N N výrazy AKCZK/EU R (1 + iCZK T ) a (1 + iEU R T )T KCZK/EU R sobě rovnat, tj.

N N AKCZK/EU R (1 + iCZK T ) = (1 + iEU R T )T KCZK/EU R

a odtud N N T KCZK/EU R = AKCZK/EU R

1 + iCZK T . 1 + iEU R T

Termínový měnový kurz pro prodej se odvodí obdobným způsobem. Dostaneme vztah P P T KCZK/EU R = AKCZK/EU R

11.2

1 + iCZK T . 1 + iEU R T

Swapový kontrakt

Swapový kontrakt vzniká kombinací aktuálního a forwardového kontraktu. Jde o okamžitý prodej jedné měny za druhou s následným zpětným odkoupením ve sjednaném budoucím termínu při dohodnutém kurzu. Rozdíl mezi termínovým a aktuálním kurzem se nazývá swapová sazba a vyjadřuje, kolik můžeme jedné měny získat nebo ztratit na každou jednotku druhé měny. Pro swapovou sazbu Sw platí: Sw = T KA/B − AKA/B = AKA/B nebo

39

(iA − iB )t , 1 + iB t

Sw = T KA/B − AKA/B = AKA/B

(pA − pB )k , 360001 + pB k

kde k je počet dní, pA a pB jsou úrokové míry vyjádřené v procentech za rok. Je zřejmé, že hodnoty swapové sazby mohou být kladné nebo záporné. Je-li • Sw > 0, což nastane právě tehdy, když iA > iB , říkáme, že termínový kurz má prémii • Sw < 0, což nastane právě tehdy, když iA < iB , říkáme, že termínový kurz má diskont. Swapovou sazbu lze rovněž vyjádřit na roční bázi, tj. v procentech p.a. . Tato swapová sazba je pak definována jako rozdíl mezi výnosností výše uvedeného swapového kontraktu a úrokovou mírou v měně B. Označme KT 0 počáteční kapitál v měně A, který bude v čase T 0 směněn za měnu B, držen v této měně až do doby T 1 a v čase T 1 zpětně směněn do měny A. Kapitál KT 1 v čase T 1 bude mít hodnotu KT 0 pB k (1 + )T KA/B , AKA/B 100 360

KT 1 =

kde pB je úroková míra v měně B, k je počet dní. Teď uvažujme pouze částky KT 0 a KT 1 , obě v měně A. Obecně lze říci, že je-li částka KT 0 investovaným počátečním kapitálem a částka KT 1 získaným kapitálem z prodeje investice za dobu KT 0 dní, představuje příslušná úroková míra výnosnost této investice. Podle principu jednoduchého úročení platí:

KT 1 = KT 0 (1 +

p0 k ) 100 360

(19)

a z toho pro p0 dostaneme

p0 =

T1 (K KT 0 − 1)100.360

k

.

Dosadíme za KT 1 ze vztahu 9190:

p0 =

(

p0 KT 0 (1+ 100 KT 0

k ) 360

k

40

− 1)100.360

.

Pro swapovou sazbu na roční bázi pSw platí: pSw = p0 − pB , dosazením za p0 dostaneme vztah

pSw =

Sw(36000 + pB k) . kAKA/B

Přičteme-li zpět úrokovou míru pB ke swapové sazbě pSw , získáme míru výnosnosti p0 termínového swapového kontraktu. Porovnáním této míry výnosnosti a úrokové míry pro měnu A zjistíme, zda je výhodnější držet kapitál KT 0 v měně A nebo jej prodat za měnu B a v budoucím termínu opět koupit za měnu A.

11.3

Křížové kurzy

Křížovými kurzy budeme rozumět kurzy cizích měn vypočtené z kurzů domácí měny vůči těmto cizím měnám. Uvažujme aktuální kurzy AKCZK/EU R a AKCZK/U SD . Chceme odvodit křížový kurz AKU SD/EU R , tedy zajímá nás, kolik dolarů bude stát jedno euro. Z daného kurzu AKCZK/U SD je zřejmá cena jednoho dolaru v korunách. Potom jedna koruna stojí 1CZK =

1 AKCZK/U SD

dolarů. Dále známe cenu jednoho eura v korunách (viz kurz AKCZK/EU R ). Jedno euro pak bude stát 1 AKCZK/U SD

AKCZK/EU R

dolarů, neboli pro křížový kurz AKU SD/EU R bude platit AKU SD/EU R =

AKCZK/EU R . AKCZK/U SD

Křížové kurzy, stejně jako aktuální nebo termínové, mohou být specifikovány pro nákup nebo prodej. Chybí-li tato specifikace, pracujeme s kurzy střed. Pro kurz AKUNSD/EU R (nákup) platí

41

AKUNSD/EU R =

N AKCZK/EU R P AKCZK/U SD

.

Odvození tohoto křížového kurzu pro nákup eur za dolary vychází z násleN dující úvahy: prodám bance jedno euro dle aktuálního kurzu AKCZK/EU R, tj. banka nakupuje jedno euro, proto kurz pro nákup a dostanu za něj odpovídající částku v korunách. Tyto koruny prodám jiné bance za dolary podle P kurzu AKCZK/U SD , tj. tato banka prodává dolary, proto kurz prodej a dostanu odpovídající množství dolarů, které rovněž odpovídá jednomu euru. Při odvozování křížového kurzu AKUP SD/EU R je potřeba si uvědomit, že AKUP SD/EU R =

1 N AKEU R/U SD

.

N Odvození se tedy provede pro kurz AKEU R/U SD stejným způsobem jako v N předchozím případě s tím, že hodnota kurzu AKEU R/U SD se převrátí.

11.4

Termínová úroková míra

Termínová úroková míra se týká budoucích vkladů či půjček, které jsou sjednány v rámci forwardových kontraktů. Při jejím odvození vyjdeme ze dvou investičních možností: 1. uložíme (půjčíme si) kapitál K0 při úrokové míře i na celou dobu t 2. uložíme (půjčíme si) tentýž kapitál při úrokové míře i1 na období t1 , (t1 < t) a zároveň uzavřeme forwardový kontrakt na budoucí vklad (půjčku) na období t2 , (t2 < t) při termínové úrokové míře i2 , t1 + t2 = t Za předpokladu, že nelze provádět arbitráž, by měly být obě investiční varianty stejně výhodné, tj. na konci doby t by budoucí hodnota počátečního kapitálu K0 měla být stejná pro obě investiční možnosti. Budoucí hodnota Kt kapitálu K0 v prvním případě je rovna Kt = K0 (1 + it), zatímco budoucí hodnota téhož kapitálu v rámci druhé investiční varianty bude vypadat Kt = K0 (1 + i1 t1 )(1 + i2 t2 ). 42

Termínovou úrokovou sazbu potom vypočítáme tak, že porovnáme pravé strany výše uvedených vztahů, tj. K0 (1 + it) = K0 (1 + i1 t1 )(1 + i2 t2 ) a odtud vyjádříme proměnnou i2

i2 =

1+it 1+i1 t1

t2

−1

.

(20)

Uvedeme-li úrokové míry přímo v procentech (místo i, i1 , i2 bude p, p1 , p2 ) a k1 k2 k uvedeme-li jednotlivá časová období ve dnech, tj. t = 360 , t1 = 360 , t2 = 360 , bude mít vztah (20) tvar

p2 =

11.5

(pk − p1 k1 )36000 . (36000 + p1 k1 )k2

Termínová cena cenného papíru

Při odvozování této termínové cena vyjdeme opět ze dvou investičních variant: 1. v čase T1 uložíme kapitál P na účet s úrokovou mírou i a držíme jej až do doby T1 2. v čase T0 koupíme za tentýž kapitál cenný papír a zároveň uzavřeme forwardový kontrakt na prodej tohoto cenného papíru za termínovou cenu F P k termínu T1 . Během doby držby nám mohou plynout výnosy V z cenného papíru, např. dividendy, kupónové platby, úroky. Výpočet termínové ceny vychází opět z předpokladu nemožnosti arbitráže, takže výše kapitálu v čase T1 musí být v obou investičních případech stejná: T0 (1 + it) = F P + V, kde t je délka období od T0 do T1 v letech. Odečtením výnosů z pravé strany dostaneme pro termínovou cenu vztah F P = T0 (1 + it) − V.

(21)

Vyjádříme-li opět úrokovou míru v procentech a dobu t ve dnech, změní se vztah (21) na 43

F P = T0 (1 +

11.6

p k ) − V. 100 360

Futures

Futures neboli termínové kontrakty jsou forwardové kontrakty ve standardizované podobě, což znamená, že obchodník si pro svoje obchodní účely vybírá z předem stanovené nabídky termínových kontraktů a nemůže si tedy se svým partnerem dohodnout vlastní podmínky pro budoucí obchod. Tato standardizace pak vede k tomu, že termínové kontrakty jsou samy předmětem obchodu, který zpravidla vyřizuje centrální zprostředkovatel (clearing house). Důvody, proč se s futures obchoduje, jsou především spekulační a zajišťovací, tedy v podstatě stejné jako u forwardových kontraktů. Zde je však navíc možnost se např. v případě nepříznivého vývoje cen z kontraktu vyvázat následujícím způsobem: • vlastníme kontrakt na prodej určitého zboží v daném množství za stanovenou cenu • podaří se nám koupit kontrakt na nákup téhož druhu a množství zboží za nižší cenu, takže se nacházíme zároveň v prodejní i nákupní pozici, ze které nás může zprostředkovatel vyvázat a v tomto případě ještě vyplatí zisk z cenového rozdílu daného zboží. Počet takových nevyvázaných obchodů se v obchodní terminologii označuje jako open interest a bývá obvykle zveřejován v nabídkách termínových kontraktů.

11.7

Opce

Opce je odvozený cenný papír (finanční derivát), jehož majitel (kupce opce) má právo, nikoli však závazek koupit nebo prodat zboží, k němuž se opce váže, za předem stanovenou prováděcí cenu. Na druhé straně prodejce opce je vždy povinnen splnit příkaz ze strany kupce. Říkáme, že kupce opce je ve volné pozici (long-position), protože má právo volby, zatímco prodejce opce je v těsné pozici (short-position). Jestliže kupec opce smí opci uplatnit pouze v jediný den, tzv. den platnosti opce, mluvíme o evropské opci, můželi být opce uplatněna kdykoli do jejího data platnosti, je řeč o americké opci. V dalším textu budu pracovat výhradně s opcí evropskou, která bude definována pro nákup (call option) nebo pro prodej (put option) akcie. Majitel (kupce) kupní opce má právo se rozhodnout, zda opci uplatní a koupí akcii za prováděcí cenu (X) nebo nekoupí. Jeho rozhodnutí bude záviset na 44

vývoji kurzu dané akcie. Je-li možné spekulovat na růst kurzu tak, že tržní cena akcie (S) bude vyšší než prováděcí, rozhodne se nejspíše opci uplatnit. Jeho zisk (Z) pak můžeme vyjádřit jako kladný rozdíl mezi tržní a prováděcí cenou akcie snížený o cenu teto kupni opce (c), tj. Z = max(0, S − X) − c. Naopak, majitel (kupce) prodejní opce se rozhodne opci uplatnit v případě, že prováděcí cena akcie (X) bude vyšší než cena tržní (S). Zisk pak vyjádříme opět jako kladný rozdíl mezi oběma cenami snížený o cenu prodejní opce (p), tj. Z = max(0, X − S) − p. Oba vztahy pro zisk kupce opcí vyjadřují současně ztrátu prodejce opcí, zisk prodejce činí nejvýše tolik, kolik je cena opce a ta bývá obvykle několik procent z tržní ceny akcie. Cena opce se stanovuje podle Black-Scholesova vzorce, jehož odvození vychází z náhodného charakteru chování kurzů akcií. Black-Scholesův vzorec pro cenu kupní opce (call): cT −t = ST −t Φ(d1 ) − Xe−it Φ(d2 ),

d1 = d2 =

ln(ST −t /X) + (i + σ 2 /2)t √ σ t

√ ln(ST −t /X) + (i − σ 2 /2)t √ = d1 − σ t, σ t

kde cT −t je cena kupní opce v čase T − t, ST −t je tržní cena akcie v čase T − t, X je prováděcí cena akcie, i je úroková míra bezrizikové investice (např. vklad v bance), σ je směrodatná odchylka výnosnosti akcie a Φ(.) je distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení N (0, 1). Black-Scholesův vzorec pro cenu prodejní opce (put): pT −t = Xe−it Φ(−d2 ) − ST −t Φ(−d1 ), kde pT −t je cena prodejní opce v čase T − t. Investor může vytvářet též kombinace opcí nebo kombinace opcí a akcií většinou s cílem zajistit se proti ztrátě z investice. Vhodnou kombinací je např. 45

spread, který spočívá v nákupu a prodeji stejného počtu kupních (prodejních) opcí s různými prováděcími cenami. Příkladem je • bullish spread (býčí spread) - nákup kupní opce s prováděcí cenou X1 a současně prodej kupní opce s prováděcí cenou X2 , přičemž X1 < X2 . • bearish spread (medvědí spread) - nákup prodejní opce s prováděcí cenou X1 a současně prodej prodejní opce s prováděcí cenou X2 , přičemž X 1 > X2 • butterfly spread (motýlí spread) - nákup kupní opce s prováděcí cenou X1 , prodej dvou kupních opcí s prováděcí cenou X2 a nákup kupní opce s prováděcí cenou X3 , přičemž X1 < X2 < X3 .

12

Základy teorie portfolia

Portfolio ve finanční terminologii znamená soubor různých investic, např. cenné papíry, hotovost, vklady u banky, nemovitosti . . ., které investor vytváří za účelem rozložit riziko spojené s investováním a současně maximalizovat zisk z těchto investic. Moderní teorie portfolia má své základy v článku J.R. Hickse s názvem ”Application of Mathematical Methods to the Theory of Risk” z roku 1934, v němž autor poukazuje na využití teorie pravděpodobnosti při investičním rozhodování. Za počátek teorie portfolia však bývá považován článek H. Markowitze z roku 1952 s názvem ”Portfolio selection”. V něm autor předpokládá, že investor má k dispozici určitý kapitál, který investuje např. do cenných papírů na počátku předem zvoleného časového období, na jeho konci tyto cenné papíry prodá a výnos z nich použije pro vlastní spotřebu nebo je reinvestuje, tzn. že získané prostředky znovu investuje. Na investování Markowitz pohlíží jako na aktivitu, při níž si investor vybírá mezi investicemi s různými očekávanými výnosy a s různou mírou rizika, že těchto výnosů nedosáhne. Při rozhodování mu nezbývá nic jiného než zvolit kompromis mezi těmito dvěma kritérii, přičemž důležitou úlohu hraje také jeho postoj k finančnímu riziku. Důvod vytváření portfolia spočívá především ve zhodnocení kapitálu, v krajním případě aspoň v udržení jeho hodnoty a v rozložení rizika nedosažení očekávaného výnosu. Při vhodné skladbě portfolia je možné dosáhnout toho, že riziko celého portfolia bude nižší než rizika jednotlivých investic, čemuž se odborně říká diverzifikace portfolia. Kombinací různých typů investic (např. akcie a finanční deriváty) lze též dosáhnout zajištění jeho hodnoty proti klesajícím cenám či jiným nepříznivým podmínkám. Při spekulaci na pokles cen některých cenných papírů má investor možnost zahrnout do portfolia také cenné papíry, které si se souhlasem jejich majitele vypůjčí za účelem jejich prodeje a následného nákupu za výhodnější cenu. Investor tak v případě, že 46

ceny skutečně poklesnou, realizuje zisk. Celá operace spojená s půjčováním cenných papírů má název krátký prodej (sell short). Pro jednoduchost dále předpokládejme, že investor hodlá svůj kapitál investovat pouze do cenných papírů. V klasických modelech teorie portfolia bývá výnos z cenného papíru popsán náhodnou veličinou. Jeho střední hodnota udává očekávaný výnos, tj. takový, který můžeme v případě dobře fungujícího trhu v nejbližší době (ne delší než jeden rok) v podstatě očekávat a jeho rozptyl je druhou mocninou rizika, že očekávaného výnosu nedosáhneme. Riziko cenného papíru je tedy kvantifikováno pomocí směrodatné odchylky, která spolu s očekávaným výnosem tvoří základní charakteristiky nezbytné pro práci s investicemi. Existují dva způsoby, kterými lze odhadnout tyto základní charakteristiky odhadnout: 1. způsob ex post 2. způsob ex ante Při aplikaci prvního z obou způsobů vycházíme z historických dat, vypočítáme tedy průměrný výnos za určité minulé období a odpovídající směrodatnou odchylku pro každý cenný papír. Vycházíme přitom z předpokladu, že očekávaný výnos z portfolia za dobu jeho trvání vznikne jako součet krátkodobých výnosů, které jsou v průměru stejné, jako byly v době před sestavením portfolia. Pro očekávaný výnos R cenného papíru platí

R=

T 1X rt , T t=1

kde rt je jednodenní, příp. vícedenní kapitálový výnos určený podle vzorce rt =

Pt − Pt−1 , Pt−1

t = 1, . . . , T.

Hodnoty Pt−1 a Pt označují uzavírací ceny cenného papíru ve dnech t − 1 a t. Riziko vypočítáme jako směrodatnou odchylku od hodnoty R, tj. v u u σ=t

T 1 X (rt − R)2 . T − 1 t=1

Pokud jde o druhý přístup kvantifikace základních charakteristik - ex ante, vycházíme zde z budoucích odhadů pravděpodobností pro určité hodnoty očekávaného výnosu. Potom tedy platí

47

R=

m X

r i pi ,

i=1

kde m značí počet odhadovaných hodnot nebo počet expertů, z nichž každý uvede jeden odhad spolu s pravděpodobností. Pro riziko získané přístupem ex ante platí v u n uX σ = t (ri − R)2 pi . i=1

Pro portfolio složené z n cenných papírů se rovněž zjišťují základní charakteristiky. Očekávaný výnos portfolia je váženým průměrem očekávaných výnosů jednotlivých cenných papírů s tím, že váhy jsou relativními podíly těchto cenných papírů na portfoliu, součet vah je roven jedné. Riziko portfolia se měří pomocí kovarianční matice, protože obecně výnosy z cenných papírů nemusí být vzájemně nezávislé náhodné veličiny. Očekávaný výnos portfolia Rp :

Rp =

n X

Rj xj

j=1

Riziko portfolia σp : v uX n u n X σp = t σjk xj xk j=1 k=1

Kovarianční matici je možno přepočítat na korelační matici, kde hodnoty korelačních koeficientů ρjk mají v oblasti investování následující interpretace: • je-li korelační koeficient ρjk blízko jedné, znamená to, že roste-li výnosnost j-tého cenného papíru, poroste výnosnost i k-tého cenného papíru stejným tempem • je-li korelační koeficient ρjk blízko minus jedné, znamená to, že rosteli výnosnost j-tého cenného papíru, klesá výnosnost k-tého cenného papíru stejným tempem • pohybuje-li se korelační koeficient ρjk okolo nuly, jsou výnosnosti obou cenných papírů nekorelované, tj. nelze mezi nimi identifikovat určitou závislost 48

Z hlediska tvorby portfolia bývá žádoucí zařadit do něj cenné papíry s negativně korelovanými výnosy, neboť klesající výnos z jednoho cenného papíru může vykompenzovat růst výnosu jiného cenného papíru. Zařazení cenných papírů s negativně korelovanými výnosy do portfolia podporuje vznik jeho diverzifikace.

12.1

Markowitzův a Sharpeho model

Investor při sestavování portfolia tedy sleduje dva protichůdné cíle - maximalizovat očekávaný výnos a minimalizovat riziko, že tohoto očekávaného výnosu nedosáhne a snaží se najít takové portfolio, které je optimální z hlediska jeho preferencí. Zpravidla bude preferovat portfolio s vyšším očekávaným výnosem před portfoliem s nižším výnosem a pokud jde o riziko, tak dá určitě přednost nižšímu riziku před vyšším. To ale nutně neznamená, že investor riziko zcela odmítne (pokud se nerozhodne pro tzv. bezrizikovou investici, jakou je např. vklad v bance, ale ani ta není zcela bez rizika). Postoje investorů k finančnímu riziku jsou různé, k riziku mohou mít menší či větší averzi, v některých modelech je předpokládán neutrální postoj k riziku a našli bychom i takové odvážné investory, kteří riziko záměrně vyhledávají s cílem dosáhnout silně nadprůměrného zisku. Investorovy představy o vhodném portfoliu vzhledem k jeho postoji k riziku bývají znázorňovány pomocí tzv. křivek indiference. Jsou to množiny bodů v rovině představujících stejně preferovaná portfolia s různými kombinacemi hodnot očekávaného výnosu a rizika. Na vodorovné ose zobrazovací roviny jsou vyneseny hodnoty rizika, na svislé hodnoty očekávaného výnosu. Křivky mohou mít různý tvar, který závisí na postoji k riziku. Pro investora s averzí k riziku, jsou křivky rostoucí a konvexní. Čím je vyšší averze k riziku, tím strměji křivky rostou. Matematicky se výběr optimálního portfolia řeší jako úloha stochastického programování se dvěma účelovými funkcemi. Její formulace je následující:

Rp =

n X

−→

Rj xj

max

j=1

v uX n u n X t σp = σjk xj xk

−→

j=1 k=1

za podmínek n X

xj = 1

j=1

xj ≥ 0,

j = 1, 2, . . . , n. 49

min

(22)

Přípustná množina uvedené úlohy se zakresluje do téže zobrazovací roviny podobně jako indiferenční křivky a je tvořena všemi možnými kombinacemi jednotlivých akcií. Pro n cenných papírů má přípustná množina deštníkový tvar. Nás však budou zajímat jen taková portfolia, která poskytují maximální možný očekávaný výnos při různých úrovních rizika a minimální riziko při různých hodnotách výnosu. Taková množina se nazývá efektivní (eficientní) a leží na severozápadní hranici přípustné množiny. Matematická úloha (22) však obecně neposkytuje řešení, které by optimalizovalo zároveň obě účelové funkce. Důvodem je skutečnost, že roste-li výnosnost cenného papíru poroste také jeho riziko. Má-li investor velkou averzi k riziku, zvolí takové řešení, které poskytuje nižší riziko, ale současně i nižší výnos. Naopak, odvážnější investor ve snaze vydělat co nejvíce bude muset počítat s vyšším rizikem. Nelze tedy jednoznačně říci, které z efektivních portfolií je optimální, záleží pouze na investorových preferencích, které teoreticky znázorňují indiferenční křivky. V bodě, kde se jedna z křivek dotkne efektivní množiny, se nachází optimální portfolio. V praxi však investor žádné křivky nekreslí, ale přímo si zvolí dolní hranici očekávaného výnosu portfolia s cílem minimalizovat riziko. Matematicky pak řeší úlohu známou jako Markowitzův model: v uX n u n X σp = t σjk xj xk

−→

min

j=1 k=1

za podmínek n X

Rj xj ≥ τ

j=1 n X

xj = 1

j=1

xj ≥ 0,

j = 1, 2, . . . , n,

kde hodnota τ označuje požadovanou výši očekávaného výnosu portfolia, čemuž bude v zobrazovací rovině pro přípustnou množinu odpovídat polopřímka vycházející z bodu τ na ose pro očekávaný výnos rovnoběžná s osou pro riziko. Optimální řešení uvedeného problému pak bude představovat průsečík efektivní množiny a polopřímky. Druhou možností, jak řešit problém (22), je předem zvolit horní hranici rizika portfolia s cílem maximalizovat jeho očekávaný výnos. Takto dostaneme úlohu známou pod názvem Sharpeho model:

Rp =

n X

−→

Rj xj

j=1

50

max

za podmínek v uX n u n X t σjk xj xk ≤ τ j=1 k=1 n X

xj = 1

j=1

xj ≥ 0,

12.2

j = 1, 2, . . . , n.

Model CAPM

Druhým důležitým krokem ve vývoji teorie portfolia bylo zavedení modelu oceňování kapitálových aktiv, ve zkratce CAPM (Capital Asset Pricing Model), který rozšiřuje portfolio o bezrizikovou investici a zavádí přímku kapitálového trhu CML (Capital Market Line) pro analýzu celého portfolia ve srovnání s tržním portfoliem a přímku cenného papíru SML (Security Market Line), která slouží k oceňování jednotlivých cenných papírů. Za bezrizikovou investici považujeme bankovní vklad nebo půjčku (pro nákup dalších cenných papírů) s předem danou úrokovou mírou označenou rF , která představuje výnosnost, k níž se vztahuje nulové riziko. Zařazením bezrizikové investice se stejnou úrokovou mírou pro vklady i úvěry do portfolia dojde ke změně tvaru efektivní množiny z křivky na polopřímku začínající v bodě [0, rF ], která je tečnou k původní efektivní množině. Bod dotyku M reprezentuje optimální portfolio, kterým je zde tržní portfolio, tj. takové, které se skládá ze všech investic dostupných na kapitálovém trhu, jejichž podíly odpovídají tržním hodnotám, jakými se na kapitálovém trhu podílejí. Získaná polopřímka se nazývá přímka kapitálového trhu (Capital Market Line), stručně přímka CML a její matematické vyjádření je rp = rF +

rM − rF σp , σM

kde rM , σM jsou očekávaný výnos a riziko tržního portfolia a rp , σp jsou charakteristiky zkoumaného portfolia. Tržní portfolio lze matematicky nalézt maximalizováním sklonu (směrnice) přímky CML, proto se tržní portfolio také někdy nazývá tangenciální. Příslušná optimalizační úloha má tvar r M − rF σM

−→

za podmínek n X

xj = 1

j=1

51

max

xj ≥ 0,

j = 1, . . . , n,

kde xj jsou relativní podíly rizikových investic na portfoliu a není tedy mezi nimi zahrnuta bezriziková investice. Podel CAPM, v němž předpokládáme, že bezriziková úroková míra je shodná pro vklady i půjčky, náleží k obecnějšímu Tobinově modelu, kde obecně sazba pro vklady je různá od sazby pro půjčky. Přímka SML (Seciruty Market Line) se týká konkrétního cenného papíru a vyjadřuje vztah jeho dodatečného očekávaného výnosu (očekávaného výnosu sníženého o bezrizikovou úrokovou míru) k dodatečnému očekávanému výnosu tržního portfolia. Matematické vyjádření přímky SML je r = rF + (rM − rF )β,

(23)

kde β je charakteristika cenného papíru popisující, jak se změní dodatečný očekávaný výnos tohoto cenného papíru vzhledem k jednotkové změně dodatečného očekávaného výnosu tržního portfolia. Míru (faktor) beta vypočteme osamostatněním ze vztahu (23) a interpretujeme způsobem: . 1. je-li β = 0, pak rM = rF 2. je-li 0 < β < 1, pak tempo změny dodatečného očekávaného výnosu cenného papíru je pomalejší než v případě tržního portfolia 3. je-li β = 1, pak r − rF = r − rM , tj. dodatečný očekávaný výnos cenného papíru je přibližně roven dodatečnému očekávanému výnosu tržního portfolia 4. je-li β > 1, pak tempo změny dodatečného očekávaného výnosu cenného papíru je rychlejší než v případě tržního portfolia Další významnou charakteristikou cenného papíru je míra nerovnováhy alfa (faktor alfa), která poskytuje informaci o tom, je-li cenný papír na trhu podhodnocen či nadhodnocen. Předpokládáme, že body na přímce SML udávají hodnoty dodatečného očekávaného výnosu cenného papíru pro případ rovnováhy na trhu, tj. vyrovná-li se poptávka s nabídkou. Tuto hodnotu výnosu pak můžeme, aspoň teoreticky, považovat za spravedlivou a totéž pak bude platit pro cenu uvažovaného cenného papíru, předpokládáme-li, že cena se rovná součtu diskontovaných hodnot budoucích výnosů. Ve skutečnosti se však dodatečný očekávaný výnos cenného papíru spíše pohybuje v okolí přímky SML, resp. provádějí se jeho měření a z pozorovaných hodnot se pak metodou lineární regrese vypočítají míra alfa i míra beta. Takto určená míra alfa může nabývat kladných i záporných hodnot. V případě kladných 52

hodnot vykazuje cenný papír vyššího výnosu než je průměrná míra zisku na kapitálovém trhu a je tedy obchodován za nižší cenu neboli podhodnocen. V opačném případě cenný papír dosahuje podprůměrného výnosu, je tedy obchodován za vyšší cenu neboli nadhodnocen. Model, z něhož jsou odhadovány míry alfa i beta, má tvar r − rF = α + β(rM − rF ) + ,

(24)

kde r, rF , rM jsou pozorované hodnoty a  označuje chybu, které se dopustíme, jestliže míry alfa a beta odhadujeme právě pomocí tohoto modelu. Vypočítáme-li na obou stranách vztahu (24) směrodatné odchylky, dostaneme vztah σ=

q

2 + σ2, β 2 σM 

který ukazuje, jakým způsobem je rozloženo riziko cenného papíru. Jedna ze složek βσM odpovídá systematickému riziku, které souvisí s rizikem tržního portfolia, tedy riziko cenného papíru se bude vyvíjet podle situace na trhu. Druhá ze složek σ popisuje individuální riziko cenného papíru, které s trhem nesouvisí, ale spíše vyplývá z vnitřní situace v odvětví, odkud cenný papír pochází.

53

Doporučená literatura: Radová, J., Dvořák, P.: Finanční matematika pro každého. Grada, Praha, 1997. Tepper, T., Kápl, M.: Peníze a vy. Prospektrum, Praha, 1994 Cipra, T.: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. HZ, Praha, 1998. Cipra, T.: Matematika cenných papírů. HZ, Praha, 2000. Baxter, M., Rennie, A.: Financial Calculus. An Introduction to Derivative Pricing. Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

54

Obsah 1 Úvod

1

2 Jednoduché úročení

1

2.1

Jednoduché polhůtní úročení . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.2

Jednoduché předlhůtní úročení . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 Aplikace jednoduchého úročení

3

3.1

Aplikace jednoduchého úročení s diskontním principem . . . .

3

3.2

Aplikace polhůtního úročení . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4 Složené úročení

6

4.1

Složené úročení s častějším připisováním úroků . . . . . . . .

7

4.2

Smíšené úročení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4.3

Efektivní úroková míra, úroková intenzita . . . . . . . . . . .

9

4.4

Nominální a reálná úroková míra . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4.5

Hrubá a čistá výnosnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

5 Investiční rozhodování

10

5.1

Pravidlo současné hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

5.2

Pravidlo vnitřní míry výnosnosti . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5.3

Pravidlo doby návratnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5.4

Investiční kritéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

6 Spoření

13

6.1

Krátkodobé předlhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6.2

Krátkodobé polhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6.3

Dlouhodobé předlhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

6.4

Dlouhodobé polhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

6.5

Kombinace krátko- a dlouhodobého spoření . . . . . . . . . .

16

55

7 Důchody 7.1

17

Důchod dočasný . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

7.1.1

Důchod bezprostřední předlhůtní roční . . . . . . . . .

17

7.1.2

Důchod bezprostřední polhůtní roční . . . . . . . . . .

18

7.1.3

Důchod bezprostřední předlhůtní področní . . . . . .

19

7.1.4

Důchod bezprostřední polhůtní področní . . . . . . . .

20

7.2

Důchod věčný . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

7.3

Důchod odložený . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

8 Splácení úvěrů 8.1

22

Hypotéční úvěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Obligace 9.1

24 26

Cena obligace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

9.1.1

Výpočet ceny obligace před datem ex-kupon . . . . .

28

9.1.2

Výpočet ceny obligace po datu ex-kupon

. . . . . . .

28

9.2

Výnosy z obligace

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

9.3

Durace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

10 Akcie

30

10.1 Cena akcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

10.2 Dividendový diskontní model . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

10.2.1 Modely růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

10.3 Ziskový model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

10.4 Předkupní právo a jeho cena

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

10.5 Výnos z akcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

11 Termínové obchody

37

11.1 Forwardové kontrakty na měnové kurzy . . . . . . . . . . . .

38

11.2 Swapový kontrakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

11.3 Křížové kurzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

11.4 Termínová úroková míra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

11.5 Termínová cena cenného papíru . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

11.6 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

11.7 Opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

56

12 Základy teorie portfolia

46

12.1 Markowitzův a Sharpeho model . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

12.2 Model CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

57