Financial calculus Chapter 6 Bigger models

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Financial calculus Chapter 6 ”Bigger models” Tom´ aˇs Hanz´ ak Katedra pravdˇ epodobnosti a matematick´ e statistiky MFF UK Praha

Semin´aˇr Stochastick´e modelov´an´ı v ekonomii a financ´ıch 1.11. 2010

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

1 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Obsah 1

6.1 Obecn´y akciov´y model

2

6.2 Log-norm´aln´ı modely

3

6.3 V´ıcefaktorov´y model v´ıce akci´ı

4

6.4 Num´eraire

5

´ 6.5 Urokovˇ e-mˇenov´y model

6

6.6 Bezarbitr´aˇzn´ı u ´pln´e trˇzn´ı modely

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

2 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Black-Scholes˚ uv model Zobecnˇ en´ y model Ocenˇ en´ı kontraktu

Black-Scholes˚ uv model Pˇripomeˇ nme si z´akladn´ı Black-Scholes˚ uv model trhu jedn´e akcie a jednoho dluhopisu. Pouˇzijme z´apis pomoc´ı pˇr´ısluˇs´ych stochastick´ych diferenci´aln´ıch rovnic (SDE): dBt = rBt dt , dSt = St (σdWt + µdt) . Bt = exp(rt)h je cena dluhopisu v ˇcasei t,
Rt St = S0 exp σ 0 dWs + µ − 12 σ 2 t je cena akcie v ˇcase t a Wt je Brown˚ uv pohyb vzhledem k m´ıˇre P. D´ale r je bezrizikov´a u ´rokov´a m´ıra dluhopisu, σ volatilita ceny akcie a µ jej´ı drift. D˚ uleˇ zit´ e: r , σ a µ jsou pevn´ e konstanty.

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

3 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Black-Scholes˚ uv model Zobecnˇ en´ y model Ocenˇ en´ı kontraktu

Zobecnˇen´y model Zobecnˇeme model o promnˇenlivost a n´ahodnost u ´rokov´e m´ıry, volatility a driftu: dBt = rt Bt dt , dSt = St (σt dWt + µt dt) . Konstanty r , σ a µ jsou nyn´ı nahrazeny obecn´ymi (pouze potˇrebnˇe integrovateln´ymi) Ft -adaptovan´ymi procesy rt , σt a µt (Ft je ˇ sen´ım v´yˇse uveden´ych SDE je filtrace Wt ). Reˇ Z t  Bt = exp rs ds , 0 Z t   Z t 1 2 St = S0 exp σs dWs + µs − σs ds . 2 0 0 Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

4 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Black-Scholes˚ uv model Zobecnˇ en´ y model Ocenˇ en´ı kontraktu

Ocenˇen´ı kontraktu (1) Nyn´ı chceme ocenit kontrakt (finaˇcn´ı deriv´at) X s maturitou T a naj´ıt k nˇemu pˇr´ısluˇsnou replikaˇcn´ı strategii. Postupujeme ve stejn´ych kroc´ıch jako vˇzdy pˇredt´ım. Nejprve potˇrebujeme naj´ıt m´ıru Q ≈ P takovou, ˇze diskontovan´a cena akcie v ˇcase t, Zt = Bt−1 St , bude v˚ uˇci n´ı martingal. t Podle C-M-G vˇety existuje pro γt ≡ µtσ−r (trˇzn´ı cena rizika) m´ıra t Rt ˜ Q takov´a, ˇze Wt ≡ Wt + 0 γs ds je Q-Brown˚ uv pohyb.

˜ t a Zt je Q-martingal. Pak dZt = σt Zt d W

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

5 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Black-Scholes˚ uv model Zobecnˇ en´ y model Ocenˇ en´ı kontraktu

Ocenˇen´ı kontraktu (2)
Proces Et ≡ EQ BT−1 X |Ft je Q-martingal. Podle vˇ etyRo reprezentaci martingal˚ u pak lze ps´at t Et = E0 + 0 φs dZs , kde φt je Ft -adaptovan´y proces. Toto φt bude mnoˇzstv´ı akcie v ˇcase t v replikaˇ cn´ım portfoliu a ψt ≡ Et − φt Zt bude mnoˇzstv´ı drˇzen´eho dluhopisu v ˇcase t. Portfolio (φ, ψ) je samofinancuj´ıc´ı a jeho hodnota v ˇcase t je Vt ≡ φt St + ψt Bt = Bt Et . Plat´ı VT = X a Vt je arbitr´ aˇ zn´ı cena kontraktu X v ˇcase t. Pˇri obecn´em tvaru rt , σt a µt neum´ıme Vt vyj´adˇrit analyticky a t poˇc´ıt´ame ji numericky. D´ale lze pouˇz´ıt aproximace ψt ≈ ∆V ∆St . Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

6 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Pˇr´ıklad: Black-Scholes˚ uv model Pˇr´ıklad: mˇ enov´ a call opce Sdruˇzen´ e log-norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı cen

Log-norm´aln´ı modely

Je-li cena modelovan´eho volatiln´ıho aktiva log-norm´alnˇe rozdˇelen´a vzhledem k jeho ekvivalentn´ı martingalov´e m´ıˇre (EMM) Q, pak dok´aˇzeme odvodit analytick´y vzorec pro cenu call opce X na toto aktivum (viz pˇr´ıklady d´ale). Pˇr´ıjemn´e je, ˇze ”driftov´a” zmˇena m´ıry z P na Q zachov´av´a log-normalitu margin´aln´ıch rozdˇelen´ı cen aktiv.

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

7 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Pˇr´ıklad: Black-Scholes˚ uv model Pˇr´ıklad: mˇ enov´ a call opce Sdruˇzen´ e log-norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı cen

Black-Scholes˚ uv vzorec pro cenu call opce V z´akladn´ım Black-Scholesovˇe modelu Bt = exp(rt) , St = S0 exp (σWt + µt) . s konstantn´ımi r , σ a µ je St log-norm´alnˇe rozdˇelen´a n.v. Forwardov´a cena v ˇcase 0 na n´akup akcie v ˇcase T je F ≡ S0 e rT . Hodnota call opce v ˇcase 0 na n´akup akcie v ˇcase T za cenu k je ! !# " 1 2 F 1 2 F + σ T log − σ T log k √2 k √2 − kΦ . V0 = e −rT F Φ σ T σ T

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

8 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Pˇr´ıklad: Black-Scholes˚ uv model Pˇr´ıklad: mˇ enov´ a call opce Sdruˇzen´ e log-norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı cen

Cena mˇenov´e call opce Necht’ Bt = e rt je dolarov´y dluhopis, Dt = e ut librov´y dluhopis a smˇenn´y kurz USD/GBP je Ct = C0 exp (σWt + µt). Dolarovˇe diskontovan´a cena librov´eho dluhopisu Zt = C0 exp [σWt + (µ + u − r )t] je log-norm´alnˇe rozdˇelen´a n.v. vzhledem k p˚ uvodn´ı m´ıˇre P i k EMM Q. Hodnota call opce v ˇcase 0 na n´akup librov´eho dluhopisu v ˇcase T za cenu k dolar˚ u je " ! !# log Fk + 12 σ 2 T log Fk − 12 σ 2 T −rT √ √ V0 = e FΦ − kΦ , σ T σ T kde F = EQ (CT ) je opˇet pˇr´ısluˇsn´a forwardov´a cena. Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

9 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Pˇr´ıklad: Black-Scholes˚ uv model Pˇr´ıklad: mˇ enov´ a call opce Sdruˇzen´ e log-norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı cen

Sdruˇzen´e log-norm´aln´ı rozdˇelen´ı cen Cena akcie ST a cena dluhopisu BT v ˇcase T jsou sdruˇzenˇe log-norm´alnˇe rozdˇelen´e vzhledem k EMM Q, var log(ST ) = σ12 T , var log(BT−1 ) = σ22 T a ρ je jejich korelace. Tvrzen´ı Forwardov´a cena v ˇcase 0 za n´akup ST v ˇcase T je F =

EQ (BT−1 ST ) EQ (BT−1 )

= exp(ρσ1 σ2 T )EQ (ST )

a cena call opce v ˇcase 0 na n´akup ST za cenu k v ˇcase T je " ! !# log Fk + 12 σ12 T log Fk − 21 σ12 T −1 √ √ V0 = EQ (BT ) F Φ − kΦ . σ1 T σ1 T Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

10 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

V´ıcefaktorov´y model v´ıce akci´ı Black-Scholes˚ uv model obsahuje dluhopis a (jen) jednu akcii s volatiln´ı cenou. Zdrojem jej´ı volatility je (jen) jeden Brown˚ uv pohyb. Rozˇs´ıˇren´ı: v´ıce akci´ı s volatiln´ı cenou v r´amci jednoho modelu. Modelujeme nejen cenu kaˇzd´e akcie zvl´aˇst’, ale tak´e vz´ajemnou korelaci v´yvoje jejich cen. Aby tato korelace nebyla ”patologicky stoprocentn´ı”, potˇrebujeme zav´est tak´e v´ıce nez´avisl´ych zdroj˚ u volatility. Potˇrebujeme tedy model vystavˇet na n-rozmˇern´em Brownovˇe pohyb. Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

11 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

n-rozmˇern´y Brown˚ uv pohyb Uvaˇzujme na stejn´em pravdˇepodobnostn´ım prostoru n Brownov´ych pohyb˚ u Wti , i = 1, 2, . . . , n vzhledem ke spoleˇcn´e m´ıˇre P. Procesy Wti necht’ jsou vz´ ajemnˇ e zcela nez´ avisl´ e. Pak (Wt1 , . . . , Wtn ) bude n-rozmˇ ern´ y Brown˚ uv pohyb. Vz´ajemnou korelovanost v´yvoje cen akci´ı zajist´ıme mixem r˚ uzn´ych Wti v rovnici pro jednu akcii. Ft bude nyn´ı oznaˇcovat filtraci cel´eho n-rozmˇern´eho n´ahodn´eho procesu (Wt1 , . . . , Wtn ).

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

12 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

Proces adaptovan´y na n-rozmˇern´y Brown˚ uv pohyb (1) Definice Stochastick´ y proces X je spojit´y proces (Xt : t ≥ 0), kter´y lze napsat jako Z t n Z t X i Xt = X0 + σi (s)dWs + µ(s)ds , i=1

0

0

kde σ1 , . . . , σn a µ jsou  n´ahodn´e Ft -adaptovan´e procesy takov´e, ˇze R t P 2 (s) + |µ | ds < +∞ s.j. ∀t. σ s i i 0 Diferenci´aln´ı tvar rovnice pro Xt je n X dXt = σi (t)dWti + µ(t)dt . i=1

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

13 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

Proces adaptovan´y na n-rozmˇern´y Brown˚ uv pohyb (2) Drift µt procesu Xt z˚ ust´av´a ve stejn´e podobˇe. M´ısto skal´arn´ı volatility σ(t) vˇsak nyn´ı pracujeme s vektorovou volatilitou σ1 (t), . . . , σn (t), jedna sloˇzka pro kaˇzd´y z n faktor˚ u. q Celkov´ a volatilita Xt v ˇcase t je σ12 (t) + . . . + σn2 (t) (plyne z nez´avislosti Wti ).

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

14 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

V´ıcefaktorov´y Itˆo˚ uv vzorec V´ıcefaktorov´y Itˆo˚ uv vzorec Je-li X P stochastick´y proces splˇ nuj´ıc´ı n i dXt = i=1 σi (s)dWt + µ(t)dt a f je deterministick´a dvakr´at spojitˇe diferencovateln´a funkce, pak Yt ≡ f (Xt ) je tak´e stochastick´y proces s SDE tvaru # " n n X X 1 σi2 (t)f 00 (Xt ) dt . dYt = σi (t)f 0 (Xt )dWti + µ(t)f 0 (Xt ) + 2 i=1

i=1

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

15 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

Diferenci´al souˇcinu stochastick´ych proces˚ u (v´ıcefaktorov´y) Diferenci´al souˇcinu (v´ıcefaktorov´y) Je-li X P stochastick´y proces splˇ nuj´ıc´ı n i dXt = i=1 σi (s)dW P t + µ(t)dt a Y jin´y stochastick´y proces splˇ nuj´ıc´ı dYt = ni=1 ρi (s)dWti + ν(t)dt, pak Xt Yt je tak´e stochastick´y proces a plat´ı " n # X d(Xt Yt ) = Xt dYt + Yt dXt + σi (t)ρi (t) dt. i=1

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

16 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

Vˇeta (Cameron-Martin-Girsanov, v´ıcefaktorov´a) Vˇeta (Cameron-Martin-Girsanov, v´ıcefaktorov´a) Necht’ W = (W 1 , . . . , W n ) je n-rozmˇern´y Brown˚ uv pohyb podle 1 n m´ıry P a γt = (γ t , R. . . , γt ) jeFt -adaptovan´y n-rozmˇern´Ry proces T ˜ ti ≡ Wti + t γsi ds. splˇ nuj´ıc´ı EP exp 12 0 |γt |2 dt < ∞. Bud’ W 0 Pak existuje m´ıra Q ekvivalentn´ı m´ıˇre P takov´a, ˇze ˜ = (W ˜ 1, . . . , W ˜ n ) je n-rozmˇern´y Brown˚ W uv pohyb pro t ∈ [0, T ] vzhledem k m´ıˇre Q. Plat´ı i opaˇcn´e tvrzen´ı, pˇresnˇe jako v jednofaktorov´em pˇr´ıpadˇe.

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

17 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

Vˇeta o reprezentaci martingal˚ u (v´ıcefaktorov´a) Vˇeta o reprezentaci martingal˚ u (v´ıcefaktorov´a) ˜ je n-rozmˇern´y Brown˚ Necht’ W uv pohyb podle m´ıry Q a Mt = (M1P (t), . . . , Mn (t)) je Q-martingal splˇ nuj´ıc´ı ˜ i (t) a matice volatilit (σij (t)) je s.j. dMj (t) = i σij (t)d W regul´arn´ı ∀t. D´ale bud’ Nt jednorozmˇern´y Q-martingal. Pak existuje n-rozmˇern´y Ft -adaptovan´y proces i2 R T hP φt = (φ1 (t), . . . , φn (t)) takov´y, ˇze 0 σ (t)φ (t) dt < ∞ a j j ij Nt = N0 +

n Z X j=1

Tom´ aˇs Hanz´ ak

t

φj (s)dMj (s) .

0

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

18 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

Obecn´y n-faktorov´y model n akci´ı Nyn´ı uvaˇzujme n-faktorov´y model n volatiln´ıch cen aktiv a jednoho dluhopisu. Model zapsan´y pomoc´ı SDE vypad´a takto: dBt = rt Bt dt ,   n X dSti = Sti  σij (t)dWtj + µit dt  ,

i = 1, . . . , n .

j=1

Zde rt je process okaˇzit´e u ´rokov´e m´ıry, µit je drift ceny i-t´eho n aktiva a (σij )j=1 je jej´ı vektor volatilit. Tyto ˇr´adkov´e vektory volatilit pak vytv´aˇren´ı matici volatility (σij (t)). Stejn´ y poˇ cet n volatiln´ıch aktiv jako faktor˚ u v modelu zajiˇst’uje absenci arbitr´aˇze a moˇznost replikovat jak´ykoli kontrakt. Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

19 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

Ocenˇen´ı kontraktu (1) Hled´ame ekvivalentn´ı m´ıru Q takovou, ˇze vˇsechny diskontovan´e ceny aktiv budou vzhledem k n´ı martingaly. V´ıcefaktorov´ a C-M-G vˇ eta n´am zajiˇst’uje existenci Q. Zmˇenou m´ıry pˇrid´ame drift γt = (γt1 , . . . , γtn ) k Wt . Aby Zti ≡ Bt−1 Sti byly vzhledem k m´ıˇre Q bez driftu, mus´ım pro γt platit n X

σij (t)γtj = µit − rt ,

∀t, i = 1, . . . , n .

j=1

Je-li matice Σt ≡ (σij (t)) regul´ arn´ı, pak existuje !1 takov´e γt : γt = Σ−1 t (µt − rt 1) . Sloˇzky γt pˇredstavuj´ı ceny n druh˚ u rizika (n faktor˚ u). Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

20 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Definice a technick´ e n´ astroje Model Ocenˇ en´ı kontraktu

Ocenˇen´ı kontraktu (2) Nyn´ı chceme replikovat a ocenit kontrakt X s maturitou T .
Proces Et ≡ EQ BT−1 X |Ft je Q-martingal. Je-li matice Σ−1 arn´ı, pak podle v´ıcefaktorov´ e vˇ ety t regul´ o reprezentaci martingal˚ u lze ps´at n Z t X Et = E 0 + φjs dZsj , j=1

0

kde φt = (φ1t . . . φnt ) je Ft -adaptovan´y proces ud´avaj´ıc´ı mnoˇzstv´ı volatiln´ıch aktiv v ˇcase t v samofinancuj´ ıc´ım replikaˇ cn´ım Pn j j 1 n portfoliu (φt , . . . , φt , Et − j=1 φt Zt ) s hodnotou P Vt ≡ nj=1 φjt Stj + ψt Bt = Bt Et v ˇcase t. Plat´ı VT = X a Vt je arbitr´ aˇ zn´ı cena kontraktu X v ˇcase t. Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

21 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Num´ eraire s volatilitou - samofinancovatelnost Zmˇ ena num´ eraire

Num´eraire Num´ eraire (fran. mince ˇci hotovost) pˇredstavuje aktivum, k jehoˇz hodnotˇe vyjadˇrujeme hodnotu vˇsech ostatn´ıch aktiv v modelu. Doposud byl naˇs´ım num´eraire vˇzdy penˇeˇzn´ı dluhopis (bez volatility). V modelu dvou mˇen (kapitola 4.1) jsme mˇeli na v´ybˇer pouˇz´ıt jako num´eraire dluhopis denominovan´y v jedn´e z uvaˇzovan´ych mˇen. Vidˇeli jsme vˇsak, ˇze tato volba nemˇela vliv na arbitr´aˇzn´ı ceny stejn´eho kontraktu X . Toto plat´ı obecnˇe (uk´aˇzeme pro dvˇe r˚ uzn´e akcie jako num´eriare). Jako num´eraire je vˇsak moˇzn´e pouˇz´ıt jak´ekoli obchodovateln´e aktivum (i s volatiln´ı cenou). Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

22 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Num´ eraire s volatilitou - samofinancovatelnost Zmˇ ena num´ eraire

Num´eraire s volatilitou - samofinancovatelnost Uvaˇzujme model s jednou akci´ı St a dluhopisem-num´eraire s volatiln´ı cenou Bt (volatilita σt ). Necht’ Bt -diskontovan´a cena aktiva St , Zt = Bt−1 St , m´a volatilitu ρt . Portfolio (φt , ψt ) m´a hodnotu Vt = φt St + ψt Bt a Bt -diskontovanou hodnotu Et = Bt−1 Vt = φt Zt + ψt . Potˇrebujeme uk´azat, ˇze z dEt = φt dZt plyne samofinancovatelnost portfolia (φt , ψt ). Poˇc´ıtejme: dVt = d(Bt Et ) = Bt dEt + Et dBt + σt (φt ρt )dt = = φt (Bt dZt + Zt dBt + σt ρt dt) + ψt dBt . V´yraz v z´avork´ach je vˇsak roven d(Bt Zt ) = dSt . Tedy dVt = φt dSt + ψt dBt .  Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

23 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

´ Uvod Num´ eraire s volatilitou - samofinancovatelnost Zmˇ ena num´ eraire

Zmˇena num´eraire Uvaˇzujme model s n aktivy St1 , . . . , Stn a dalˇs´ımi dvˇema, Bt a Ct , kter´e mohou slouˇzit jako num´eraire. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe hled´ame m´ıru QB takovou, aby Bt -diskontovan´e ceny Bt−1 Sti a Bt−1 Ct byly QB -martingaly. Ve druh´em pˇr´ıpadˇe hled´ame m´ıru QC takovou, aby Ct -diskontovan´e ceny Ct−1 Sti a Ct−1 Bt byly QC -martingaly. Lze uk´azat, ˇze

dQC dQB

=

CT BT

a ˇze pro kontrakt X naˇstˇest´ı

VtB ≡ Bt EQB (BT−1 X |Ft ) = Ct EQC (CT−1 X |Ft ) ≡ VtC .

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

24 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Znaˇ cen´ı Model, obchodovateln´ a aktiva

´ Urokovˇ e-mˇenov´y model - znaˇcen´ı P(t, T ) f (t, T ) σ(t, T ) α(t, T ) rt Bt

: : : : : :

cena v dolarech dluhopisu v ˇcase t zaruˇcuj´ıc´ı v´yplatu 1 dolaru v ˇcase T dolarov´ a forwardov´ au ´rokov´ a m´ıra v ˇcase T volatilita f (t, T ) drift f (t, T ) dolarov´ a okamˇzit´ au ´rokov´ a sazba v ˇcase t (= R t f (t, t)) cena dolarov´eho dluhopisu v ˇcase t (= exp 0 rs ds)

Q(t, T ) g (t, T ) τ (t, T ) β(t, T ) ut Dt

: : : : : :

cena v libr´ ach dluhopisu v ˇcase t zaruˇcuj´ıc´ı v´yplatu 1 libry v ˇcase T librov´ a forwardov´ au ´rokov´ a m´ıra v ˇcase T volatilita g (t, T ) drift g (t, T ) librov´ a okamˇzit´ au ´rokov´ a sazba v ˇcase t (= R t g (t, t)) cena librov´eho dluhopisu v ˇcase t (= exp 0 us ds)

Ct : smˇenn´y kurz USD/GBP v ˇcase t ρt : volatilita Ct λt : drift Ct Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

25 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Znaˇ cen´ı Model, obchodovateln´ a aktiva

Model, obchodovateln´a aktiva Modely pro f (t, T ) a f (t, T ): v´ıcefaktorov´y HJM model. Model pro smˇenn´y kurz Ct : v´ıcefaktorov´y geometrick´y Brown˚ uv pohyb. Obchodovateln´ a aktiva pro dolarov´eho investora: Dolarov´y dluhopis (cash bond) Bt (num´eraire) Dolarov´y dluhopis (bond) P(t, T ) Cena librov´eho dluhopisu v dolarech (cash bond): Ct Dt Cena librov´eho dluhopisu v dolarech (bond): Ct Q(t, T )

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

26 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Pojmy Vˇ eta (Harrison, Pliska) ˇ asteˇ C´ cn´ y d˚ ukaz vˇ ety

Bezarbitr´aˇzn´ı u´pln´e trˇzn´ı modely - pojmy Model bez arbitr´ aˇ ze. Je takov´y model, ve kter´em neexistuj´ı arbitr´aˇzn´ı pˇr´ıleˇzitosti, tj. nen´ı moˇzn´e dos´ahnout z nuly bez rizika kladn´eho zisku. ´ y model. Je takov´y model, ve kter´em jak´ykoli kontrakt Upln´ je moˇzn´e replikovat samofinancuj´ıc´ım portfoliem aktiv obsaˇzen´ych v modelu. Ekvivaletn´ı martingalov´ a m´ıra (EMM). Je naˇse m´ıra Q evivalentn´ı ”skuteˇcn´e” m´ıˇre P, v˚ uˇci n´ıˇz jsou diskontovan´e ceny vˇsech aktiv martingaly.

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

27 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Pojmy Vˇ eta (Harrison, Pliska) ˇ asteˇ C´ cn´ y d˚ ukaz vˇ ety

Vˇeta (Harrison, Pliska) N´asleduj´ıc´ı vˇeta dost´av´a na pevn´y z´aklad jednotliv´a pozorov´an´ı ˇci tuˇsen´ı ohlednˇe prov´azanosti tˇechto pojm˚ u: Vˇeta (Harrison, Pliska) Mˇejme model trhu aktiv a dluhopisu-num´eraire. Pak 1

model je bez arbitr´ aˇ ze pr´avˇe tehdy, kdyˇz v nˇem existuje alespoˇ n jedna EMM Q, a

2

v tom pˇr´ıpadˇe plat´ı, ˇze model je u ´pln´ y pr´avˇe tehdy, kdyˇz v nˇem existuje pouze jedin´ a EMM Q.

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

28 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Pojmy Vˇ eta (Harrison, Pliska) ˇ asteˇ C´ cn´ y d˚ ukaz vˇ ety

Existence EMM ⇒ ˇz´adn´a arbitr´aˇz Mˇejme pro jednoduchost model jednoho aktiva St a dluhopisu Bt . Necht’ Q je EMM, tj. Bt−1 St je Q-martingal. Pˇredpokl´adejme existenci samofinancuj´ıc´ıho portfolia (φ, ψ), jehoˇz hodnota splˇ nuje V0 = 0 a VT ≥ 0 (kandid´at na arbitr´aˇz). Pak diskontovan´a hodnota portfolia, Et = Bt−1 Vt , je tak´e Q-martingal a tedy plat´ı EQ (ET ) = EQ (ET |F0 ) = E0 = V0 = 0 . Tedy mus´ı platit VT ≡ 0, tj. nejde o arbitr´aˇzn´ı pˇr´ıleˇzitot, ale o jist´y nulov´y ”zisk” z vkladu nula. 

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

29 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Pojmy Vˇ eta (Harrison, Pliska) ˇ asteˇ C´ cn´ y d˚ ukaz vˇ ety

Moˇznost replikace ⇒ jednoznaˇcnost EMM Necht’ m´ame dvˇe EMM, Q a Q0 . Uk´aˇzeme, ˇze se shoduj´ı. Uvaˇzjme kontrakt X = BT IA pro libovoln´y jev A ∈ FT . Tento deriv´at tedy mus´ı b´yt replikovateln´y. Jeho diskontovan´a hodnota Et je nyn´ı Q-martingal i Q0 -martingal. Mus´ı platit EQ (ET ) = EQ0 (ET ) = E0 . Ovˇsem ET = IA a tedy EQ (ET ) = Q(A) = Q0 (A) = EQ0 (ET ) . Tedy plat´ı Q(A) = Q0 (A) ∀A ∈ F0 a tedy Q0 = Q. 

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

30 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Literatura

M. Baxter, A. Rennie: Financial Calculus: An introduction to derivative pricing. Cambridge university press, 1996.

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

31 / 32

6.1 Obecn´ y akciov´ y model 6.2 Log-norm´ aln´ı modely 6.3 V´ıcefaktorov´ y model v´ıce akci´ı 6.4 Num´ eraire ´ 6.5 Urokovˇ e-mˇ enov´ y model 6.6 Bezarbitr´ aˇzn´ı u ´pln´ e trˇzn´ı modely

Dˇ ekuji za pozornost!

Tom´ aˇs Hanz´ ak

Financial calculus

Chapter 6

”Bigger models”

32 / 32