Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
File Mátyás Vektormező és alkalmazásai BSc Elemző Matematikus Szakdolgozat
Témavezető: Pfeil Tamás Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
Budapest, 2014
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés
3
2. Vektormező 2.1. Határérték és folytonosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Parciális derivált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Differenciálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 7 8
3. Vonalintegrál
10
4. Gradiens
13
5. Fluxus és cirkuláció
14
6. Útfüggetlenség, potenciáltér, konzervatív vektormező
15
7. Green-tétel
17
8. Példafeladatok 8.1. Munkavégzés . . . . . . . . 8.2. Vonalintegrál . . . . . . . . 8.3. Gradiens . . . . . . . . . . . 8.4. Fluxus . . . . . . . . . . . . 8.5. Divergencia . . . . . . . . . 8.6. Síkbeli vektormező rotációja 8.7. Green-tétel a síkban . . . .
20 20 21 22 24 26 27 28
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
9. Köszönetnyílvánítás
29
10.Függelék
30
11.Irodalomjegyzék
31
2
1.
Bevezetés
Fizikai tanulmányaink során rendre szembesülünk az erőtér fogalmával. A testek körül gravitációs erőtér található, egy töltéssel rendelkező részecske körül elektromos erőtér, a mágnes körül mágneses erőtér, ami erőt fejt ki, munkát végez a bennük lévő testekre. Hogyan tudjuk kezelni ezeknek a hatását? Hogyan tudjuk modellezni? Ezekre a kérdésekre ad választ a matematikában a vektormező fogalma. Szakdolgozatom első felében ismertetem a vektormező definícióját, továbbá milyen műveleteket tudunk végezni ezekkel, milyen problémákat tudunk megoldani segítségükkel. A gravitációs erőtérben mozgó testnek mekkora munkát kell végeznie az erőhatás ellenében? Egy csőben áramló folyadékból adott felületen mekkora mennyiség halad keresztül egységnyi idő alatt? Domborzati térkép egy adott pontjában hogyan állapítható meg a legnagyobb meredekség iránya és mértéke?
1. ábra. Magyarország széltérképe
2. ábra. Mágneses erőtér
Szakdolgozatom csak a témához kapcsolódó tételeket és definíciókat tartalmazza, mint a címe is utal rá, igyekeztem minél inkább gyakorlati oldalról megközelíteni a kérdést. Felépítését tekintve először a vektormező fogalmát és ennek tulajdonságait fogom definiálni, majd az ehhez kapcsolódó matematikai fogalmakat. Részletesen kitérek a vonalintegrál értelmezésére, ennek segítségével vizsgálom az erőtérben mozgó test munkavégzését. Bemutatom a gradiens fogalmát, illetve ennek gyakorlati alkalmazásait, az adott felületen egységnyi idő alatt átáramló anyag mennyiségének meghatározásához a fluxus fogalmát, továbbá mit értünk egy vektormező divergenciáján és rotációján, és milyen 3
tulajdonságai lehetnek egy vektormezőnek, mit jelent az útfüggetlenség, potenciáltér és konzervatív erőtér. A szakdolgozatban szereplő ábrákat a MATLAB programozási nyelv segítségével készítettem, a Függelék pontban ismertetem a segítségül vett programkódokat.
4
2.
Vektormező
Legyen H ⊂ Rp , valamint f : H → Rq . Az f leképezés minden x ∈ H ponthoz hozzárendel egy q-dimenziós vektort. Jelölje az f (x) vektor koordinátáit f1 (x), f2 (x), ..., fq (x) minden x ∈ H-ra. Ezzel minden i = 1, ..., q-ra definiáltunk egy fi : H → R függvényt, amit az i-edik koordinátafüggvénynek, vagy komponensnek nevezünk. Kétdimenziós esetben jelölhetjük a vektormezőt az alábbi módon: Ha f : R2 → R2 vektormező, akkor az első koordinátafüggvényét jelölje M , a másodikat N . Ebben az esetben az M függvény adja meg a vektor első koordinátáját, az N függvény pedig a második koordinátát. Így az f függvényünk az (x, y) ∈ R2 pontban f (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j ahol i, j a standard bázis egységvektorai (i = (1, 0) és j = (0, 1)). Egyszerű példa erre az f (x, y) := −yi + xj vektormező, aminek a ábrája lent látható.
A vektormezőket folytonosság, határértékük, illetve differenciálhatóságuk szempontjából vizsgálom.
2.1.
Határérték és folytonosság
1. Definíció. Az a ∈ Rp pont torlódási pontja a H ⊂ Rp halmaznak, ha minden ε > 0 számhoz a B(a, ε) ∩ H\{a} halmaznak van eleme.
5
2. Definíció. Legyen H ⊂ Rp , és legyen a H halmaz torlódási pontja a. Azt mondjuk, hogy az f : H → Rq függvény határértéke a pontban a b ∈ Rq pont, ha minden ε > 0 számhoz van olyan δ > 0 szám, hogy minden x ∈ H pontra, 0 < |x − a| < δ esetén |f (x) − b| < ε. Jelölés: limx→a f (x) = b.
1. Tétel. Legyen H ⊂ Rp , legyen a H halmaz torlódási pontja a, és legyen b = (b1 , ..., bn ) ∈ Rq . Az f : H → Rq függvényre akkor és csak akkor teljesül limx→a f (x) = b, ha limx→a fi (x) = bi minden i = 1, ..., q indexre.
3. Definíció. Legyen a ∈ H ⊂ Rp . Azt mondjuk, hogy az f : H → Rq függvény folytonos az a pontban, ha minden ε > 0-hoz van olyan δ > 0, hogy minden x ∈ H, |x − a| < δ esetén |f (x) − f (a)| < ε. ∗
∗
Ha H ⊂ H és f minden a ∈ H pontban folytonos, akkor azt mondjuk, ∗
hogy f folytonos a H halmazon.
2. Tétel. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos az a pontban, ha az f minden koordinátafüggvénye folytonos az a pontban. 3. Tétel. Jelölje a ∈ H 0 a H halmaz torlódási pontját. f akkor és csak akkor folytonos az a pontban, ha a következő két eset valamelyike fennáll: (i) Az a pont izolált pontja H-nak, vagy (ii) a ∈ H ∩ H 0 és limx→a f (x) = f (a).
4. Tétel. Tegyük fel, hogy (i) H ⊂ Rp , a ∈ H 0 , g : H → Rq és limx→a g(x) = c; (ii) g(H) ⊂ E ⊂ Rq , f : E → Rn és limx→c f (x) = b; (iii) g(x) 6= c az a egy pontozott környezetében, vagy pedig c ∈ E és f folytonos c-ben. Ekkor lim f (g(x)) = b.
x→a
6
1. Következmény. Ha g folytonos az a pontban, és f folytonos g(a)-ban, akkor f ◦ g is folytonos az a pontban.
5. Tétel. Legyen H ⊂ Rp korlátos és zárt, és legyen f : H → Rq folytonos. Ekkor az f (H) halmaz korlátos és zárt Rq -ban.
6. Tétel. Legyen H ⊂ Rp korlátos és zárt, és legyen f : H → Rq folytonos. Ha f injektív a H halmazon, akkor f −1 folytonos az f (H) halmazon.
4. Definíció. Legyen H ⊂ Rp . Azt mondjuk, hogy az f : H → Rq függvény egyenletesen folytonos, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan δ > 0, melyre teljesül, hogy ha x, y ∈ H és |x − y| < δ, akkor |f (x) − f (y)| < ε.
2.2.
Parciális derivált
5. Definíció. Legyen az f függvény értelmezve az x = (x1 , .., xn ) ∈ Rn pont egy környezetében. Rögzítsük az x pont koordinátáit az i-edik kivételével, és tekintsük a t → fi (t) = f (x1 , .., xi−1 , t, xi+1 , .., xn ) szekciófüggvényt, melynek értelmezési tartománya legyen {t ∈ R : (x1 , x2 , ..., xi−1 , t, xi+1 , ..., xn ) ∈ D(f )}. Az így kapott egyváltozós függvény xi pontban vett deriváltját, amennyiben létezik ez, az f függvény x pontban vett i-edik változó szerinti parciális deriváltjának nevezzük, és ∂f (x) ∂xi szimbólummal jelöljük. Más szóval ∂f f (x1 , .., xi−1 , t, xi+1 , .., xn ) − f (x) = lim ∂xi t→xi t − xi feltéve, hogy a határérték létezik.
7
2.3.
Differenciálhatóság
Az Rn értékű függvények differenciálhatóságának vizsgálatához értelmeznünk kell az Rp -ből Rq -ba képező lineáris leképezéseket, és ennek kapcsán át kell tekintenünk a lineáris algebra néhány alapfogalmát. A A : Rp → Rq függvényt lineáris leképezésnek nevezünk, ha A(x + y) = A(x) + A(y) és A(λx) = λA(x), ahol x, y ∈ Rp és λ ∈ R. Az A : Rp → Rq leképezés akkor és csak akkor lineáris, ha minden koordinátafüggvénye lineáris függvény. 6. Definíció. Legyen H ⊂ Rp és a ∈ intH. Azt mondjuk, hogy az f : H → Rq függvény differenciálható az a pontban, ha van olyan A : Rp → Rq lineáris leképezés, hogy f (x) = f (a) + A(x − a) + ε(x)|x − a| minden x ∈ H-ra, ahol ε(x) → 0 ∈ Rp , ha x → a. Az A : Rp → Rq lineáris leképezést az f függvény pontbeli deriváltjának nevezzük és f 0 (a)-val jelöljük.
7. Tétel. Legyen H ⊂ Rp . Az f : H → Rq függvény akkor és csak akkor differenciálható az a ∈ intH pontban, ha f mindegyik koordinátafüggvénye differenciálható a-ban.
8. Tétel. (i) Ha az f függvény differenciálható az a pontban, akkor f folytonos a-ban, továbbá f mindegyik koordinátafüggvényének mindegyik változó szerinti parciális deriváltja létezik és véges az a pontban. (ii) Ha f mindegyik koordinátafüggvényének mindegyik változó szerinti parciális deriváltja létezik és véges az a pont egy környezetében és ezek a parciális deriváltfüggvények folytonosak az a pontban, akkor f differenciálható az a pontban.
8
7. Definíció. Az f 0 (a) lineáris leképezés mátrixát, tehát a ∂fi (a)(j = 1, ..., n, i = 1, ..., n) parciális deriváltakból álló ∂xj ∂f1 ∂f1 ∂f1 · · · ∂x ∂x1 ∂x2 n ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂x ∂x · · · ∂x n 2 1 Jf = . . . .. .. . . . .. ∂fn ∂x1
∂fn ∂x2
···
∂fn ∂xn
mátrixot az f függvény a pontbeli Jacobi-mátrixának nevezzük.
9
3.
Vonalintegrál
8. Definíció. Görbének nevezzük a g : [a, b] → Rn függvény értékkészletét az n-dimenziós térben. A g függvényt az R(g) görbe egy paraméterezésének hívjuk. 9. Definíció. Legyen g : [a, b] → Rn , és legyen f : R(g) → Rn . Azt mondjuk, R hogy az g hf, dxi vonalintegrál létezik és az értéke az I szám, ha minden ε > 0-hoz van olyan δ > 0, hogy valahányszor a = t0 < .. < tn = b egy δ-nál finomabb felosztás és ci ∈ [ti−1 , ti ] (i = 1, .., n) tetszőleges pontok, akkor n X hf (g(ci )), g(ti ) − g(ti−1 )i < ε. I − i=1
Legyenek f , illetve g koordinátafüggvényei f1 , .., fn illetve g1 , .., gn . Ekkor n X
hf (g(ci )), g(ti ) − g(ti−1 )i =
i=1
n X n X
fj (g(ci ))(gj (ti ) − gj (ti−1 ) =
i=1 j=1 n n X X j=1
fj (g(ci ))(gj (ti ) − gj (ti−1 )) .
i=1
Pn
Ha mindegyik i=1 fj (g(ci ))(gj (ti ) − gj (ti−1 )) megközelít egy Ij számot minden elég finom felosztásra, akkor az összegük megközelíti az I = I1 + .. + In értéket. Ezért célszerű bevezetni a következő fogalmat. 10. Definíció. Legyen g = (g1 , .., gn ) : [a, b] → Rn egy görbe, és legyen a valós értékű h függvény értelmezve a R(g) halmazon. Legyen 1 ≤ j ≤ R n rögzített index. Azt mondjuk, hogy az g hdxj (xj szerinti) vonalintegrál létezik és az értéke az I szám, ha minden ε > 0-hoz létezik egy δ > 0, hogy valahányszor a = t0 < t1 < .. < tn = b egy δ-nál finomabb felosztás és ci ∈ [ti−1 , ti ] (i = 1, .., n) tetszőleges pontok, akkor |I −
n X
h(g(ci ))(gj (ti ) − gj (ti−1 )| < ε.
i=1
10
11. Definíció. Legyen g folytonos görbe, és g ívhosszát jelöljük s(g)-vel. Ekkor X n + s(g) = sup |g(ti ) − g(ti−1 )| : a = t0 < t1 < .. < tn = b, n ∈ N i=1
Azt mondjuk, hogy g görbe rektifikálható, ha s(g) < ∞.
9. Tétel. Legyen g = (g1 , .., gn ) : [a, b] → Rn egy folytonos és rektifikálható görbe, R és legyen a h : R(g) → R függvény folytonos az R(g) halmazon. Ekkor az g hdxj vonalintegrál létezik minden j = 1, .., n esetén. 10. Tétel. Legyen g = (g1 , .., gn ) : [a, b] → Rn egy differenciálható görbe, és tegyük fel, hogy gj0 integrálható [a, b]-n minden j =R 1, .., n-re. Ha a h : R(g) → R függvény folytonos az R(g) halmazon, akkor az g hdxj vonalintegrál létezik, Rb és az értéke a h(g(t))gj0 (t)dt minden j = 1, .., n esetén. 11. Tétel. Legyen g = (g1 , .., gn ) : [a, b] → Rn egy differenciálható görbe, és tegyük fel, hogy gj0 Riemann-integrálható [a, b]-n Rminden j = 1, .., n-re. Ha az f : R(g) → Rn függvény folytonos, akkor az g < f, dx > vonalintegrál Rb létezik, és az értéke a < f (g(t), g 0 (t) > dt. 12. Definíció. Legyen g ⊂ Rn nyílt halmaz. Az f : G → Rn függvény primitív függvényének nevezzük a G halmazon az F : G → R függvényt, ha F minden változója szerint parciálisan deriválható G-n és gradF = f G-n. A primitív függvényt potenciálnak hívjuk.
12. Tétel (Newton-Leibnitz formula vonalintegrálokra). Legyen G ⊂ Rn nyílt, és legyen az f : G → Rn folytonos függvény egy primitív függvénye R F : G → R. Ekkor minden g : [a, b] → G folytonos és rektifikálható görbére g < f, dx >= F (g(b)) − F (g(a)).
11
1. Lemma. Legyenek g1 : [a, b] → Rn és g2 : [b, c] → Rn folytonos és rektifikálható görbék, ahol a < b < c és g1 (b) = g2 (b). Legyen g(t) = g1 (t), ha t ∈ [a, b], és g(t) = g2 (t), ha t ∈ [b, c]. Ekkor a g : [a, c] → Rn görbe is folytonos és rektifikálható, továbbá minden f : R(g) → Rn folytonos függvényre fennáll Z Z Z hf, dxi = hf, dxi + hf, dxi. g
g1
g2
13. Tétel. Legyen G ⊂ Rn nyílt halmaz, és legyen f : G → Rn folytonos. Az f függvénynek akkor és csak akkor van primitív függvénye G-ben, ha bármely G-ben fekvő folytonos, rektifikálható és zárt g görbére Z < f, dx >= 0. g
12
4.
Gradiens
13. Definíció. Legyen Ω ⊂ Rn , akkor az f : Ω → R függvényt skalármezőnek nevezzük. Tehát a skalármező minden x ∈ Ω ponthoz hozzárendel egy valós számot. 14. Definíció. Adott Ω ⊂ Rn , f : Ω → R függvény, továbbá c ∈ R. Az Ωc := {x ∈ Ω : f (x) = c} halmazt az f függvény c-szintfelületének nevezzük. A skalármező értelmezési tartományának minden pontján egy és csak egy szintfelület halad át. 15. Definíció. Adott Ω ⊂ Rn és f : Ω → R. Ha x ∈ Ω és ebben a pontban f minden parciális deriváltja létezik, akkor f függvény gradiensvektora az x pontban ∂f ∂f ∂f (x), (x), . . . , (x) . ∇f (x) = gradf (x) = ∂x1 ∂x2 ∂xn Legyen D(∇f ) := {x ∈ Ω : létezik ∇f (x)}. Ekkora a ∇f : D(∇f ) → Rn , x → ∇f (x) függvényt gradiensfüggvénynek nevezzük.
1. Állítás. Tegyük fel, hogy egy nyílt halmazon értelmezett folytonos f skalármező minden változója szerint parciálisan differenciálható és e parciális deriváltfüggvények folytonosak a nyílt halmazon. Ekkor a következő állítások teljesülnek: (i) Az ∇ f (x) vektor iránya megadja az f függvény legnagyobb növekedés irányát, (ii) az ∇ f (x) vektor hossza megadja az f függvény legnagyobb növekedésének mértékét, (iii) az ∇ f (x) vektor az x ∈ Ω ponton átmenő f (x) = c szintfelület érintő-hipersíkjának normálisa.
13
5.
Fluxus és cirkuláció
16. Definíció. Legyen g : [a, b] → R2 folytonos és rektifikálható görbe, és f : R(g) → R2 folytonos vektormező. Jelölje n : R(g) → R2 azt a vektormezőt, amelyik minden x ∈ R(g) esetén a görbe x pontbeli kifelé mutató normálisa. Ekkora f fluxusa a g paraméterezésű görbe mentén Z hf · n, dxi. g
17. Definíció. Legyen A ⊂ R2 és legyen r : A → Rn folytonos függvény. Ekkor r értékkészletét paraméteresen definiált felületnek nevezzük. Ha r folytonosan differenciálható, akkor az A felületet folytonosan differenciálható felületnek mondjuk.
18. Definíció. Az S felületet irányított felületnek nevezzük, ha adott az S felületen értelmezett egységnyi hosszúságú normálvektorokból álló vektormező, ez a vektormező a felület irányítása. Téglalap alakú paramétertartományon paraméterezett sima felületeken szeretnénk definiálni a felületi integrál fogalmát. 19. Definíció. Legyen r : R2 → R3 folytonosan differenciálható függvény, melyre D(r) = [a, b] × [c, d], a koordinátafüggvényeit jelölje rendre f , g, h. Legyen S az r vektorfüggvény értékkészlete, amely folytonosan differenciálható felület a térben, valamint G : R3 → R3 , D(G) = S folytonos függvény. Ekkor G fluxusa, más néven felületi integrálja S felett: Z Z Z dZ b G(x, y, z)dσ = G f (u, v), g(u, v), h(u, v) |ru × rv |dudv. S
c
a
20. Definíció. Legyen g folytonosan differenciálható egyszerű zárt síkgörbe és f : R(g) → R2 folytonos vektormező. Ekkor az f vektormező cirkulációja a g görbe mentén Z hf · g 0 , dxi.
g
14
6.
Útfüggetlenség, potenciáltér, konzervatív vektormező
A gravitációs vagy elektromos térben az elvégzett munka mennyisége nem függ a megtett út hosszától, csak a kiindulási és végponttól. 21. Definíció. Legyen f egy vektormező a tér egy n-dimenziós nyílt D ⊂ Rn halmazán definiálva,R és tegyük fel, hogy bármilyen két A és B pontra Dben igaz, hogy az g hf, dxi vonalintegrál ugyanannyi, minden A-ból Bbe vezető folytonos és rektifikálható g görbe mentén, ami D-n belül halad. Ekkor az f vonalintegrálja útfüggetlen D-ben, és az f vektormező konzervatív vektormező D-n. A konzervatív kifejezés onnan ered, hogy fizikai alkalmazásokban ezekben a vektormezőkben érvényes az energia megmaradásának elve. 2. Állítás. Legyen f : Rn → Rn nyílt halmazon értelmezett folytonos vektormező. f akkor és csak akkor konzervatív, ha valamilyen F skalármező gradiensfüggvénye, azaz f = ∇F . 3. Állítás. Ha egy vektormezőnek megtaláljuk a potenciálfüggvényét, akkor bármilyen folytonos és rektifikálható görbe mentén haladva A és B pont között az alábbi összefüggés teljesül: Z Z hf, dxi = h∇f, dxi = F (B) − F (A) g
g
Eddig azokat az eseteket vizsgáltuk amikor A 6= B. Gyakorlatban sokszor előfordul hogy a kiindulási pont és a végpont ugyanaz, a test pedig egy zárt görbe mentén halad. Nem konzervatív vektormezőben a vonalintegrált az eddig ismertetett módszerrel számolhattuk ki, de konzervatív tereknél az előző tételek szerint a integrál értéke független a pontok közötti görbe alakjától. 14. Tétel (Integrál zárt görbe esetén, konzervatív vektormezőben). Legyen f : Rn → Rn nyílt halmazon értelmezett folytonos vektormező, melynek létezik primitív függvénye D(f )-en. A következő állítások ekvivalensek: R 1. g hf, dxi = 0 minden folytonos és rektifikálható g görbe mentén D(f )ben. 2. Az f vektormező konzervatív. 15
Egy f vektormezőről nem minden esetben lehet eldönteni, hogy konzervatív-e, továbbá megtalálni a potenciálfüggvényét. Erre a következő módszer ad megoldást. 22. Definíció. A D ⊂ Rn halmaz csillagszerűen összefüggő, ha van olyan p ∈ D pont, melyre minden x ∈ D esetén [p, x] szakasz minden pontja D-ben fekszik. 23. Definíció. Legyen f : Rn → Rn csillagszerűen összefüggő nyílt halmazon értelmezett folytonosan differenciálható vektormező. Az f vektormezőnek pontosan akkor van primitív függvénye, ha a Jacobi-mátrixa minden pontjában szimmetrikus. ∂f1 ∂f1 ∂f1 · · · ∂x ∂x1 ∂x2 n ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂x ∂x · · · ∂x n 2 1 Jf = . .. . . .. .. . . . ∂fn ∂fn ∂fn · · · ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂fi ∂fj = igaz, minden i = 1, ..., n és j = 1, ..., n. ∂xj ∂xi
16
7.
Green-tétel
A Green-tételhez két új fogalmat kell definiálnunk, az első a vektormező divergenciája vagy fluxussűrűsége. 24. Definíció. Legyen f : Rn → Rn képző differenciálható vektormező. Ekkor f divergenciája ( fluxussűrűsége) a n X ∂f1 ∂f2 ∂fn ∂fi = + + ... + . divf = ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂xn i=1
1. Megjegyzés. Az f vektormező Jacobi-mátrixa: ∂f1 ∂f1 ∂f1 · · · ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂x ∂x · · · ∂x n 2 1 Jf = . .. . . .. .. . . . ∂fn ∂x1
∂fn ∂x2
···
∂fn ∂xn
Ennek nyoma, vagyis a főátlóban lévő elemek összege a divergencia.
2. Megjegyzés. A divergencia egy skalármennyiség, a tér pontjaihoz egy számot rendel hozzá. A másik dolog, amire a Green-tételhez szükségünk van az az, hogy mérni tudjuk adott pontban a folyadék cirkulációját. Ehhez egy új mennyiséget vezetünk be, a cirkulációsűrűséget vagy rotációt. 25. Definíció. Legyen f : R3 → R3 képző differenciálható vektormező. Ekkor f vektormező rotációja a ∂ ∂f3 ∂f3 − f 1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂ ∂f3 ∂f1 rotf = ∇ × f = ∂x2 × f2 = − ∂x1 + ∂x2 ∂ ∂f2 ∂f1 f3 − ∂x2 ∂x3 ∂x1 függvény. 17
4. Állítás. Minden f = (f1 , f2 ) : R2 → R2 síkbeli vektormezőnek megfeleltethető az f˜ : R3 → R3 , f˜ := (f1 (x, y), f2 (x, y), 0), D(f˜) := D(f ) × R térbeli vektormező.
2. Következmény. Ha f differenciálható, akkor f˜ is differenciálható, és ∂f2 ∂0 − ∂x ∂0 ∂f2 1 ∂0 ˜ rotf = − ∂ + ∂x 1 ∂f1 ∂f2 − ∂x ∂x1 2 ∂f1 ∂f2 − ∂x függvénnyel. Ezt nevezzük ami azonosítható a D(f )-n értelmezett ∂x 1 2 az f síkbeli differenciálható vektormező rotációjának, ami tehát számértékű függvény, jele rotf .
A divergencia és a rotáció segítségével felírható a Green-tétel. Az egyik alakja azt mondja, hogy bizonyos feltételek mellett a sík egyszerű, zárt görbéjén számított fluxust (amit kifele mutató normálvektorral definiálunk) úgy is kiszámíthatjuk, hogy a zárt görbe által határolt tartományon integráljuk a vektormező divergenciáját. 15. Tétel. Legyen f : R2 → R2 folytonosan differenciálható függvény. Ekkor f függvény fluxusa egy folytonos, rektifikálható, egyszerű, zárt g görbén egyenlő divf integráljával azon a T tartományon, amit a g görbe határol. Képlettel: Z ZZ hf · n, dxi = divf. g
T
A Green-tétel másik alakja azt mondja, hogy egy egyszerű, zárt görbe mentén, az óramutató járásával ellentétes körüljárással számított cirkulációja egy vektormezőnek számítható úgy, hogy a rotációját integráljuk a zárt görbe által határolt tartományon.
18
16. Tétel. Legyen f : R2 → R2 folytonosan differenciálható függvény. Ekkor az f függvény óramutató járásával ellentétes körüljárással számított cirkulációja egy folytonos, rektifikálható, egyszerű, zárt g görbe mentén egyenlő rotf integráljával a zárt görbe által határolt T tartományon. Képlettel: Z ZZ 0 hf · g , dxi = rotf. g
T
26. Definíció. Az A halmaz lezártján azt a legszűkebb zárt halmazt értjük, mely tartalmazza A-t. Jelölése: A. 17. Tétel. Legyen g folytonos, rektifikálható, pozitív irányítású, egyszerű, zárt síkgörbe, jelölje g által határolt tartományt A, továbbá A ⊂ G nyílt és f : G → R. (i) Ha
∂f ∂y
létezik és folytonos A-n, akkor Z
Z f dx = −
g
(ii) Ha
∂f ∂x
A
∂f dxdy. ∂y
létezik és folytonos A-n, akkor Z Z ∂f dxdy. f dy = g A ∂x
19
8. 8.1.
Példafeladatok Munkavégzés
Egy erőteret az F : R3 → R3 vektormező ír le, és r : [a, b] → R3 görbe az F erőtér értelmezési tartományában. Ekkor az F folytonos vektormező (erőtér) által végzett munka az r folytonosan differenciálható paraméterezésű görbe (út) mentén Z hF, dyi.
W = r
Példa: Elektromos erőtér Ebben az esetben az erőt egy F = M i + N j + P k erőtér szolgáltatja. Egy Q pontszerű töltést szeretnénk r : [A, B] → R3 görbe mentén r(A)-tól r(B)-ig eljuttatni. Ekkor az erőtér által végzett munka egyenlő a Z
B
hF (r(t)), r(t)idt ˙
W =Q A
értékével.
20
8.2.
Vonalintegrál
A vonalintegrál kiszámolásához először foglaljuk össze azokat a módszereket, amiknek az elméletét a szakdolgozat elején ismertettem. A feladatot két módszerrel oldjuk meg, az első, az integrálközelítő összeg, aminek képlete a következő : n X hF (r(ci )), (r(ti ) − r(ti−1 ))i i=1
ahol F a vektormező, r pedig t paraméterezett sima görbe. Legyen adott az F = (x + 3y)i + (2x + y)j vektormező és r(t) = t2 i + tj, 0 ≤ t ≤ 2 görbe. Adjuk meg, hogy mekkora a vonalintegrál értéke a r görbe mentén a F mezőben. • Vegyük t intervallum egy tetszőleges n felosztását. A r azon szakaszát amit a [ti , ti−1 ] intervallum határoz meg, jól közelíthető a [r(ti ), r(ti−1 )] szakasszal, valamint legyen ci ∈ [r(ti ), r(ti−1 )]. 3. ábra. Ha a felosztás normája 0-hoz tart, akkor az integrál közelítő összeg tart a vonalintegrálhoz. Néhány egyenlő közű felosztás esetén az alábbi értékeket kapjuk P2 n=2 hF (r(ci )), (r(ti ) − r(ti−1 ))i 29 Pi=1 4 n=4 hF (r(ci )), (r(ti ) − r(ti−1 ))i 30.75 Pi=1 100 n=100 31.33 i=1 hF (r(ci )), (r(ti ) − r(ti−1 ))i A megoldást a Newton-Leibnitz formula felhasználásával kapjuk meg. Képlettel: 4 2 Z 2 t 8t3 t2 94 0 hF (r(t)), r (t)idt = + + = 2 3 2 0 3 0 21
8.3.
Gradiens
Legyen F egy a síkon értelmezett skalártér, amire igaz, hogy √ ( sin( x2 +y 2 ) √ ,ha (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 F (x, y) = 1 ,ha (x, y) = (0, 0) aminek két szemléltetése a következő:
4. ábra. 3D
5. ábra. Szintvonalak
Az ábráról is jól sejthető, hogy a (0, 0) pont környezetében van F értékkészletének maximuma, és az origótól távolodva bármely irányba egy origó középpontú koncentrikus felületet kapunk. Szeretnénk tudni, hogy az (x, y) pontból melyik irányba legnagyobb a függvény meredeksége és milyen mértékű. Ehhez vesszük F gradiensét: ∂F ∂F i+ j= ∂x ∂y p p p p x cos( x2 + y 2 ) x sin( x2 + y 2 ) y cos( x2 + y 2 ) y sin( x2 + y 2 ) = i+ j − − x2 + y 2 (x2 + y 2 )3/2 x2 + y 2 (x2 + y 2 )3/2 ∇F =
22
• A (2, 2) pontot behelyettesítve a gradiens függvénybe a következőt kapjuk: ∇F (2, 2) = (−0.2650, −0.2650) • A példából látható, hogy a vektor pontosan az origóba mutat,mivel F függvény maximuma az origó. 6. ábra. Gradiens-mező p függvény Bizonyítás Jelölje r az x2 + y 2 kifejezést, ekkor F = sin(r) r deriváltfüggvénye ∂F r · cos(r) − sin(r) = ∂r r2 Ennek keressük zérushelyét, ami csak az r2 = 0 esetben áll fenn, ekkor p x2 + y 2 = 0 csak akkor ha (x, y) = (0, 0).
23
8.4.
Fluxus
Adott a síkon értelmezett F = xi+yj erőtér. Egy origó középpontú R sugarú körön szeretnénk megtudni az erőtér fluxusát.
Először adjuk meg a kör egy sima paraméterezését: r(t) = R cos(t)i + R sin(t)j 0 ≤ t ≤ 2π x(t) = R cos(t) , y(t) = R sin(t) Jelölje a körív egy tetszőleges pontjában az érintő egységvektort Tˆ, továbbá r0 (t) = −R sin(t)i + R cos(t)j 24
|r0 (t)| =
p R2 (− sin(t))2 + (cos(t))2 = R
r0 (t) −R sin(t)i + R cos(t)j Tˆ = 0 = = − sin(t)i + cos(t)j | r (t) | R Ezek után kiszámítjuk az érintővektorból a síkra merőleges normálvektort : n = Tˆ × k = (− sin(t) + cos(t)) × k = sin(t)j + cos(t)i A fluxus általános képletét felhasználva kiszámítjuk a fluxust. Z 2π (x(t)i + y(t)j)(sin(t)j + cos(t)i) | r0 (t) | dt = 0
behelyettesítés után Z 2π (R cos(t) cos(t) + R sin(t) sin(t))Rdt = 0
Z
2π
(R(sin2 (t) + cos2 (t))) · Rdt = 2πR2
0
25
8.5.
Divergencia
Az alábbi F erőtérnek szeretnénk meghatározni a divergenciáját. Legyen F (x, y) = (cos(
πx 2πy ))i + (cos( ))j ahol D(F ) = R2 5 5
függvény, ennek képe:
8. ábra. divF függvény képe felületként ábrázolva
7. ábra. F vektormező képe
Adjuk meg F vektorfüggvény divergenciáját: divF (x, y) =
∂F πx π πy π ∂F + = − sin( ) − sin( ) ∂x ∂y 5 5 5 5
26
8.6.
Síkbeli vektormező rotációja
Legyen F (x, y) = (cos(y), sin(x)) függvény, a folyadék áramlásának erőtere.
10. ábra. A rotáció komponensének ábrázolása
9. ábra. F (x, y) = cos(y)i+sin(x)j A definíció alapján rotF = függvényét a következőt kapjuk: rotF =
∂N ∂x
−
∂M , ∂y
k-
amibe behelyettesítve az erőtér
∂(sin(x)) ∂(cos(y)) − = cos(x) + sin(y) ∂x ∂y
Ha a rotáció értéke pozitív akkor a forgás iránya megegyezik az óramutató járásával, ha negatív akkor ellentétes vele, hossza pedig megadja a forgás sebességét.
27
8.7.
Green-tétel a síkban
A Green-tétel segítségével gyorsabban tudjuk kiszámolni a fluxust és a rotációt. A következő példákban ezt szeretném szemléltetni. Fluxus Legyen F = xi + yj erőtér, és r(t) = R cos(t)i + R sin(t)j, (0 ≤ t ≤ 2π), ahol paraméteresen megadott görbén szeretnénk megkapni a fluxus értékét. A Green-tételben kapott képlet alapján, mi szerint ZZ
I F · nds = C
∂M ∂N + dxdy. ∂x ∂y
T
∂M ∂N = 1 és =1 ∂x ∂y mivel az integrálon belüli összeg ebben az esetben 2 és a kör területe R2 π, így ZZ 2· dxdy = 2πR2 T
Cirkuláció Adjuk meg az F = (x − y)i + xj vektormező cirkulációját az r(t) = R cos(t)i + R sin(t)j, ahol(0 < t < 2π) zárt, sima görbe mentén. A Green-tétel alapján I ZZ ∂M ∂N − F · T ds = ∂x ∂y C T
∂N ∂M = 1 és = −1 ∂x ∂y Az integrálon belüli különbség értéke 2, ezért Z 2 · dxdy = 2R2 π, T
mivel R = 1, ezért a megoldás 2π. 28
9.
Köszönetnyílvánítás
Hálásan köszönöm témavezetőmnek, Pfeil Tamásnak a rengeteg időt és energiát amit arra fordított hogy szakdolgozatom elkészülhessen, tanácsaival és észrevételeivel mindenben segítette munkámat. Szeretném megköszönni családomnak támogatásukért, továbbá azoknak a tanároknak, oktatóknak akik tudásukkal segítették tanulmányaimat.
29
10.
Függelék
A következő két MATLAB példakód segítségével készítettem el a szakdolgozatomban található ábrákat. Vektormező ábrázolása XY = linspace(-2,2,10) for i = 1:length(XY) for j = 1:length(XY) x = XY(i) y = XY(j) M = -y N=x quiver(x, y, M, N) end end Felület ábrázolása XY = linspace(-2,2,10) Z = ones(10) for i = 1:length(XY) for j = 1:length(XY) x = XY(i) y = XY(j) Z = M+N end end surf(XY,XY,Z)
30
11.
Irodalomjegyzék
Hivatkozások [1] George B. Thomas: Thomas-féle KALKULUS 3. TYPOTEX Budapest (2007) [2] Jánossy L., Gnädig P., Tasnádi P. : VEKTORSZÁMÍTÁS III. kötet Vektorok integrálása Tankönyvkiadó, Budapest (1983) [3] Ja. B. Zeldivocs , A. D. Miskisz : Az alkalmazott matematika elemei Gondolat, Budapest (1978) [4] Laczkovich Miklós, T. Sós Vera ANALÍZIS II. Nemzetei Tankönyvkiadó, Budapest (2007) [5] http : //www.idojaras.hu/sites/def ault/f iles/siteimg/cikkk epek/wind2 013− 09 − 011 34 5.jpg
31
