FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István
Budapest 2014 1
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés............................................................................................ 3 2. A vasúti járművek teherviselő részeiről ...................................... 3 2.1 Alvázas (nem önhordó) kocsik ........................................................... 3 2.1.1 Kéttengelyes kocsik......................................................................... 4 2.1.1 Négytengelyes kocsik...................................................................... 4 2.2 Önhordó szerkezetű kocsik ................................................................ 4 3. Az alvázas kocsik szilárdsági vizsgálata .................................... 5 3.1 A terhelőerők számbavétele............................................................... 5 3.1.1 A kéttengelyes kocsik vizsgálata..................................................... 5 3.1.2 A négytengelyes kocsik vizsgálata.................................................. 5 3.2 A terhelőerőkből származó igénybevételek........................................ 5 4. Az alváz erősítése feszítőművel .................................................... 7 4.1 Elvi szerep.......................................................................................... 7 4.2 A feszítőműszerkezetek erőjátéka ..................................................... 7 4.2.1 A terhelési séma meghatározása.................................................... 7 4.2.2 Számítási mód a csuklós rúdszerkezetek elmélete szerint ............. 8 4.2.3 A statikailag határozatlan tartó számítása a „süllyedő alátámasztás” elve alapján.................................................................... 13 4.2.4 A feszítőmű számítása merevítőgerendás ívtartóként .................. 21 4.2.5 Sarokmereven bekötött rudazatú feszítőművek ........................... 29 5. A feszítőmű szerkezetek kialakítása ........................................... 30 6. A szerkezeti elemek eredő feszültségei .................................... 30 6.1 Feszültségeloszlás a rudazatban ..................................................... 30 6.1 Feszültségeloszlás a főhossztartóban .................................... 31 7. Összefoglalás ................................................................................... 33 8. Irodalomjegyzék ............................................................................... 33
2
1. BEVEZETÉS A feszítőmű néven ismeretes tartószerkezeti megoldást a vasúti járművek alvázszerkezeteiben régóta alkalmazzák. Alkalmazásukat a kisebb önsúlyra törekvés tette célszerűvé, ugyanis a feszítőmű alkalmazásával a hossztartók esetében azonos teherbírást kisebb önsúly mellett lehet elérni, mint a nagyobb folyómétersúlyú prizmatikus gerendával. A kisebb önsúlyú jármű azonos hasznos teher tömeg továbbításakor kisebb vontatási energiaigényt támaszt. A feszítőmű-szerkezetek erőjátékát többféle módszerrel lehet vizsgálni. Ezek általában közelítő jellegű eredményt adnak, azonban jó áttekintést nyújtanak az igénybevételek eloszlásáról. A következőkben a feszítőművek vasúti kocsik alvázaival kapcsolatos alkalmazását tárgyaljuk részletesen. Meg kell azonban említeni, hogy a feszítőmű és függesztőmű szerkezetek más vasútüzemi berendezéseknél is gyakran előfordulnak. Így például magasépítményeknél, rakodó és szállítóberendezéseknél is célszerűen lehet ezeket alkalmazni a tartószerkezet utólagos erősítésére, a teherbírás növelésére. Ilyen utólagos teherbírás növelési probléma léphet fel például darupályák tartói, mosóberendezések, festőállványok, stb. esetében. Ezen jelzett szerkezetek méretezéséhez nyugvó terhelés esetén a vasúti kocsialvázak vizsgálatához alkalmazott módszerek alkalmazhatók, míg mozgó terhelés esetén a számítás valamivel összetettebb, ugyanis szükségessé válik a hatásábrák vizsgálata. Az elmondottak szerint a feszítőmű szerkezetek erőjátékának elemzése sok élő feladattal kapcsolatban szükséges lehet. 2. A VASÚTI JÁRMŰVEK TEHERVISELŐ RÉSZEIRŐL 2.1 Alvázas (nem önhordó) kocsik A vasút őskorában az alvázakat fagerendákból állították össze, csomólemezekkel, faeresztékekkel, csavarokkal és szegekkel. A fejlődés során a fagerendákat acélgerendák váltották fel az elérhető nagyobb teherbírásuk, és balesetben való teljes tönkremenetelük és a személyi sérülések sokkal kisebb valószínűsége miatt. Az acél alvázak hosszés kereszttartókból vannak sarokmerevnek tekinthető kötésekkel öszszeépítve, síkbeli tartórácsot alkotva. Az átlós ütközőerőket az ütkö3
zők mögött a mellgerendához kapcsolt, ferdén vezetett merevítőrudak veszik fel, illetve továbbítják a tartórács további elemeire. 2.1.1 Kéttengelyes kocsik Kéttengelyes kocsiknál általában két főhossztartó (hosszgerenda) halad végig egymástól olyan keresztirányú távolságban, hogy két oldalt az alájuk szerelt hordrugók éppen a csapágyházak közepével találkozzanak. A főhossztartókkal párhuzamosan segédhossztartók futnak végig, szelvényeik gyengébbek a főhossztartókénál. A kereszttartók bekötése régebben szegecseléssel, ma pedig hegesztéssel történik szögacélok és csomólemezek közbeiktatásával. A szekrényváz súlyát a főhossztartókon kívül keresztirányban elhelyezett konzolok, a szekrénytámok hordják. Az alváz két végét a melltartók (mellgerendák) zárják le. A feszítőmű szerkezetet mint a függőleges síkban fekvő rúdszerkezetet, a főhossztartók alsó övéhez kapcsolják. 2.1.2 Négytengelyes kocsik A négytengelyes kocsiknál a kocsialváz hossztartói azonos keresztmetszetűeknek választhatók, kereszttartóik hasonlóak a kéttengelyes kocsiknál használt kereszttartókhoz, azonban kiemelt szerepet és speciális kialakítást követel azon két kereszttartó, amely a forgóvázközepek felett kerül kialakításra (forgócsapok, csúszótámok, stb. elhelyezhetősége), mert ezeknek kell biztosítaniuk forgóváz és a járműalváz között kialakuló mind a háromirányú erőátadást. A feszítőművek alkalmazása a négytengelyes kocsiknál a legszélső, vagy kívülről a második alvázhossztartó alatt szokásos, de az alváz konstrukciótól függően esetleg az összes hossztartó alá feszítőmű helyezhető. Minden esetre ezeknél több függőleges oszloppal kialakított rendszer jön szóba a nagy kocsihossz következtében. Ezen utóbbi tény speciális – a másodrendű deformációkat is kezelő – elmélet alkalmazását igényli, és jelen tárgyalásunk erre nem terjed ki. 2.2 Önhordó szerkezetű kocsik A vasúti járművek többsége kialakítható oly módon, hogy a teherviselésbe a kocsiszekrényt is mint tartót bevonjuk. Ez a lehetőség főként olyan járműveknél áll fenn, melyek keresztmetszete közelíti a „csőalakot”, vagy pedig oldalfalait rácsos tartóként lehet kialakítani. A külső burkolatként felhelyezett lemezszerkezet is hatásos tartóelemet jelent, ha azt a vázszerkezethez hegesztik vagy ragasztják. 4
Mindenesetre kijelenthető, hogy önhordó járműszekrények alkalmazásával a jármű önsúlya csökkenthető, és ilyen járművek alkalmazása mellett a vasút szállítóképessége azonos vonóerő mellett növelhető. 3. AZ ALVÁZAS KOCSIK SZILÁRDSÁGI VIZSGÁLATA 3.1 A terhelőerők számbavétele 3.1.1 A kéttengelyes kocsik vizsgálata A kéttengelyes kocsiknál a domináló igénybevétel a függőleges erőkből keletkezik. A statikus súlyterhelést a méretezés első lépésében dinamikus faktorral megnövelt értékkel vehető figyelembe, melynek tapasztalati értéke 1,4 lehet. A kocsira ható terhelést első közelítésben – ha más nem szól ellene – egyenletesen megoszlónak lehet felvenni. A kocsi alvázát vízszintes erők is támadják, amelyek a sebességváltozáskor, elsősorban fékezéskor, fellépő tehetetlenségi erőkből erednek. Ezek az erők elsősorban a rugótámokon és az ágyvezetékeken át származnak át az alváz főhossztartóra, de a szekrénytámok és a mellgerendák is átvesznek a szekrénykapcsolatukon vízszintes síkbeli terhelőerőket. Az alváztartórácsbeli rúdrészek igénybevételének legnagyobb hányada hajlításból, kisebb része csavarásból ered. 3.1.2 A négytengelyes kocsik vizsgálata A négytengelyes kocsik alvázszerkezetét terhelő erők jellege megegyezik a kéttengelyes kocsiknál tárgyaltakkal. A hossztartók domináló igénybevétele a hajlítás. A hossztartókat összekötő kereszttartók közül különös figyelmet kell fordítani a főkereszttartókra. Ha az erőátadás forgócsapon történik, akkor a kereszttartó igénybevétele igen nagy. Kedvezőbb az oldalcsúszótámos függőleges erőátadás. A kereszttartóra gyorsításkor és lassításkor a főcsapszegen hosszirányú erők kerülnek átvitelre, éspedig külpontosan, ezért a főkereszttartóra csavaróigénybevétel is szuperponálódik. Az így bevitt csavarónyomaték azután továbbszármazódva a főhossztartókban hajlítóigénybevételt kelt. Mindkét tengelyelrendezés esetén a számításba be kell vonni az ívekben haladáskor fellépő centrifugális erő hatását és a normális üzemben valamint baleseti ütközéskor kialakuló hosszirányú erőhatásokat. 3.2 A terhelőerőkből származó igénybevételek A vasúti járműalvázak hossztartói döntően hajlításra vannak igénybevéve, amihez általában járulékos csavaróigénybevétel járul. A mére5
tezés alapját a tartószerkezet igénybevételi ábráinak ismerete képezi. Ezek az ábrák mind kéttengelyes, mind négytengelyes (forgóvázas) kocsiknál a mérnöki mechanika ismert módszereivel meghatározhatók. A hossztartó nyomatéki ábrájának jellegét a szokásos laprugós ingafelfüggesztéses un. egyszerű hordmű esetére, ill. a forgóvázas kocsiknál a főkereszttartón megvalósult erőbevezetés esetére az 1. ábra mutatja.
x +Mh
x +Mh
1. ábra A vasúti teherkocsi alváz nyomatéki ábrája egyszerű hordmű ill. főkereszttartóval megvalósított erőbevezetés esetén Feszítőművek alkalmazása esetén a főhossztartó nyomatéki ábráját részletesen elemezni kell, mert a külső terhelés (most egyenletesen megoszló terhelés) okozta nyomatékok ellen a felszerelt rudazat erőiből származó, és hatásában a külső terhelés okozta nyomatékkal ellentétes hajlítónyomaték is fellép, és a hossztartó középső részén az eredő hajlítónyomaték csökken. Az eredő hajlítónyomaték (nyíróerő és derékerő) ismeretében az elemi szilárdságtan szabályai szerint számítható a kialakuló redukált feszültség és értékelhető annak a megengedett feszültséghez való viszonya.
6
4. AZ ALVÁZ ERŐSÍTÉSE FESZÍTŐMŰVEL 4.1 Elvi szerep A korábban említett feszitőmű hatás – a főhossztartó középső részein az eredő hajlítónyomaték csökkenése – abból adódik, hogy a főhossztartó alatt az utóbbihoz kapcsolt rudazatban (2. ábra) normálerők ébrednek, és ezekből tehermentesítő nyomaték származódik vissza a hossztartóra.
2. ábra Az alvázerősítés rúdszerkezettekkel A főhossztartó és a vele együttdolgozó rudazat erőjátékának vizsgálatára több módszer áll rendelkezésre. Ezek a módszerek közelítő pontosságú megoldásokat adnak, de ennek ellenére az ezekkel kapott eredmény a tervezőmérnök számára igen fontos, mert jó tájékoztatást nyújtanak az igénybevételek jellegéről és nagyságrendi alakulásáról. 4.2 A feszítőműszerkezetek erőjátéka 4.2.1 A terhelési séma meghatározása A 2. ábrára tekintve azonnal kitűnik, hogy a feszítőműves szerkezet belsőleg statikailag határozatlan. Kívülről, mint kéttámaszú tartó kezelhető. Ennek figyelembe vételével történt az egyenletesen megoszló terhelés mellett az 1. ábrán szerepeltetett hajlítónyomatéki ábrák meghatározása. A főhossztartóra jutó erőhatás közelítőleg, valóban, mint egyenletesen megoszló terhelés tekinthető. Ennek meg-
7
határozása úgy történhet, hogy a teljes alváz felett elképzelt terhelési felületből kiindulva valósítható meg. A hossztengelyre szimmetrikus kialakítást tekintve az alvázat függőlegesen terhelő ∑ Q erőt a kocsi ∆ szélességi méretével elosztva ∑ Q / ∆ alakban adódik a q keresztirányú megoszló terhelés N/m-egységben. A 3. ábra szerint az alváz tartórács keresztmetszet figyelembevételével a metszetben látható a fő- és segédhossztartó szelvények mint a kereszttartók támasztási pontjai jelentkeznek.
∆ ↓q
ΣQ 3. ábra A kereszttartók hossztartóval alátámasztva: „tartórács” A kereszttartót mármost mint egy többtámaszú tartót tekintve behatárolhatók az egyes hossztartókon egyensúlyozandó függőleges Qj erők, mint a kereszttartó támaszerők. Ezen támaszerőknek a teljes l alvázhosszon való szétosztásával kép alkotható az egyes hossztartókra figyelembe vehető pj = Qj/l megoszló terhelésre nézve. A kérdés természetéből nyilvánvaló azonban, hogy a legtöbb alváztartórács esetében a két főhossztartóra hárul a teljes terhelési testből számítható hosszirányú ∑ Q /l megoszló terhelés, és ennek felét kell egy főhossztartónak felvennie, így p = 0,5 ∑ Q /l megoszló terhelés helyezendő egy főhossztartóra. 4.2.2 Számítási mód a csuklós rúdszerkezetek elmélete szerint Ez a módszer a feszítőművet rácsos tartónak tekinti, tehát a hosszgerenda szakaszokat – melyek az igy tekintetbe vett rácsos tartó felső övét képezik – egymáshoz és az oszloprudakhoz csuklósan kapcsoltnak tételezi fel. Ez a közelítő feltételezés akkor jogosult, ha a főhossztartó és a feszítőműrudazat keresztmetszetei nem nagyok eltérőek, és a rudak főhossztartóhoz való bekötése nem sarokmerev. Ez utóbbi feltevést a szegecskötések tulajdonságai megengedik. Ezen modell alkalmazása azt jelenti, hogy elfogadható azon feltételezés, miszerint a törés közelítőleg ugyanolyan terhelés ese-
8
tén következne be súrlódásmentes csuklók esetén is, ami a valóságot megközelíti,, mert törés előtt a kötőelemek plasztikus alakváltozása – folyása – áll be. Az említett feltételeken kívül a modell alkalmazhatóságának döntő feltétele, hogy a végső ferde rácsrudak a főhossztartónak hajlítónyomaték által nem támadott keresztmetszeteibe, a 4. ábrán vázolt módon a támaszoktól x távolságban lévő un. „nyomatékváltási” pontokba legyenek bekötve. p
x x
x +Mh
4. ábra A nyomatékváltási keresztmetszetbe bekötött ferde rudak A nyomatékváltási pontokban az Mh hajlítónyomatéki függvény előjelet vált és a helyettesítési értéke zérus: Mh(x) = 0, Zérussal egyenlővé téve az ábra bal támaszának jobb oldalán bejelölt egyelőre ismeretlen x távolságban lévő keresztmetszettől balra fekvő összes erő előjeles nyomatékát a k konzolhossz, a t fél-támaszköz (féltengelytáv) és a p megoszló terhelési intenzitás figyelembe vételével (lásd az 5. ábrát) az x jelű keresztmetszetre, adódik, hogy: M h ( x) =
2(k + t ) p (k + x) x − (k + x) p = 0, 2 2
kifejtve: M h ( x) = (2kx + 2tx − k 2 − 2kx − x 2 ) p = 0 ,
egyszerűsítve: M h ( x) = (− x 2 + 2tx − k 2 ) p = 0 .
Mivel p ≠ 0, kapjuk a meghatározó másodfokú algebrai egyenletet: x 2 − 2tx + k 2 = 0 .
Alkalmazva a gyökképletet: 2t ± 4t 2 − 4k 2 x1,2 = = t ± t2 − k2 . 2 9
A két gyök közül az 5. ábra szerint a továbbiakban a negatív gyököt választjuk, ez felel meg a bal támasz környezetében kijelölt x távolságnak. p
k
l = 2t
k
x x +Mh
5. ábra A nyomatékváltási pont alakulása A gyök kifejezését a most tett megjegyzés figyelembe vételével átalakítva, szerkesztési eljárás igazolására alkalmas kifejezést kapunk. Tekintsük tehát a negatív gyök értékkel a következő kifejezést: x − t = − t2 − k2 ,
mindkét oldalt mínusz eggyel szorozva: t − x = t2 − k2 ,
négyzetre emelve és rendezve a t 2 = (t − x) 2 + k 2
összefüggés adódik. Ezen egyenlet a 6. ábra szerint az EFG derékszögű ∆ -re felírt Pithagorász tételt jelenti. Az, hogy az EFG∆ derékszögű, a Thalész tételből szükségképpen adódik. Látható tehát, hogy a tartó méreteinek ismeretében az egyenletesen megoszló terhelés p intenzitásától függetlenül az E pont körüli k sugarú, és a az EG szakasz felezőpontja körüli t/2 sugarú kör F metszéspontja meghatározható, majd a G pont körül ezen F metszésponton átmenő t-x sugarú körív megrajzolásával a tartó hossztengelyén kiszerkeszthető a nyomatékváltási keresztmetszet helyét a bal támasztól jobbra meghatározó x távolság. Az x távolsággal meghatározott – zérus hajlítónyomatékkal terhelt –keresztmetszetbe bekötve a feszítőmű-rudazatot, a további vizsgálatokat a tartóból képzeletben „kiemelt” l’ = 2t – 2x támaszközű kéttámaszú tartóval lehet folytatni. 10
F t-x
k
G E
t /2
x k
t
6. ábra A nyomatékváltási pont meghatározásaszerkesztésse Ha az alvázhossztartó nyomatéki ábrája bonyolultabb (pl. kéttengelyes kocsi egyszerű hordművel), akkor először meg kell rajzolni a nyomatéki ábrát, és le kell mérni a kiadódó nyomatékváltási keresztmetszet x távolságát. A csuklósan kapcsolt rudakkal modellezett statikailag határozott rendszerben a rúderők meghatározása a rácsos tartók elmélete alapján történik. A számításokat a csomóponti-módszerrel, kétnyomatéki-eljárással vagy hármas átmetszés módszerével lehet elvégezni. Amennyiben a szemléletes szerkesztési módszereket kívánjuk alkalmazni, akkor a Culmann-féle megoldás vagy a Cremona-erőterv jön számításba. l’ = 2b
a.)
b.) Cremona erőterv
F=Fa+Fb Fa
Fb 3 F2-4
p↓
1
2
FA
FB 4 b
F1-2 FA F1-4 F4-3 F2-3 FB
Fa F Fb
b
7. ábra Az egyoszlopos feszítőmű csuklós rácsszerkezeti modellje A 7. ábra a.) részén egy egyoszlopos feszítőmű rúderőinek meghatározása a következő lépésekkel történhet. Először a tartó egyenletesen p N/m egyenletesen megoszló terhelését a csomópontokba kell koncentrálni. Így a két támasz felett F nagyságú, a középső 2jelű csuklónál pedig 2F nagyságú erőt vezetünk be. Az ily módon a csomópontjain koncentrált erőkkel terhelt rácsos tartóra meg kell rajzolni a 7. ábra b.) részén szereplő Cremona-erőtervet. Az így ki11
adódó rúderőkből meg kell határozni a rudakban ébredő normálfeszültségeket a σ = F/A formula sorozatos alkalmazásával. Ezután a megoszló terheléssel közvetlenül terhelt rudak hajlítóigénybevételét kell vizsgálni. A tartóból kiemelt b hosszúságú vízszintes rúdra a hajlítónyomatéki és a nyírerő függvényeket a 8. ábrán rajzoltuk fel. b
p↓
2 2
3 Mh23 ábra
Fb
I, A
Fb x
+
pb2 Mhmax = 8
Mh T
Fb
+
T23 ábra Fb x
8. ábra A csuklós szerkezet hajlításra igénybevett (2,3) rácsrúdjának nyomatéki és nyíróerő ábrája A rúd közepén fellépő σh = Mmax/K szélsőszálbeli hajlító feszültséget hozzá kell adni a korábbi lépésben meghatározott normál feszültséghez. A képletben K = //e, a rúd keresztmetszeti tényezője, I a keresztmetszeti felület másodrendű nyomatéka a hajlítás tengelyére, e pedig a szélső szál távolsága a keresztmetszeti felület súlypontjától. A hajlításból származó nyírófeszültség az ismert τ = (T⋅Ms)/(I⋅2z) képlettel számítható, ahol T a nyíróerő, Ms az un. „elcsúszni akaró” felület statikai nyomatéka a hajlítás tengelyére I a keresztmetszeti felület másodrendű nyomatéka a hajlítás tengelyére 2z pedig a rúd keresztirányú (a rajz síkjára merőleges) méretét jelenti. A nyírófeszültség mértékadó nagysága a támaszokhoz közeli keresztmetszetekben várható, mivel a rúd közepén a nyíróerő eltűnik. A σmeg és τmeg megengedett normális és nyírófeszültségek ismeretében megköveteljük, hogy teljesüljenek az alábbi egyenlőtlenségek: σ norm + σ hajl =
T ⋅Ms F M max + ≤ σ meg ; τ = ≤ τ meg . A K I ⋅ 2z
A 9. ábrán felrajzolt kétoszlopos feszítőmű rúdjaiban ébredő feszültségeket a most mondottakhoz hasonlóan lehet meghatározni, 12
megjegyezve azonban, hogy ez a szerkezet csak a rajz szerinti szimmetrikus terhelések alatt lehet egyensúlyban, mert a séma kinematikailag határozatlan, mondhatjuk, hogy valójában labilis. l’ = 2b+a
a.)
b.) Cremona erőterv
F1 Fa
F2 Fb F 2-6 F2-3 4 F3-5 F5-6 FB
p↓
1
3
2
FA 5
6 b
+
a
F1-2 FA Fa F1-6 F1 F4-5
F2
F3-4 FB Fb
b
Mh ábra x
Mh T + -
T ábra x
9. ábra A kétoszlopos feszítőmű csuklós rácsszerkezeti modellje A jelzett szimmetricitási feltételnek megfelelő szerkezet középső részét nem terheli nyíróerő, ha a terheket a csomópontokba koncentráljuk a 9. ábra a.) része szerint. A rudakban ébredő normálerőket a 9. ábra b.) részén megrajzolt Cremona-erőtervből olvassuk le A közvetlenül terhelt rudakban (a felső 3 rúd) fellépő maximális hajlítónyomatékot, és a mértékadó (csuklópont-közeli) nyíróerőket meghatározva ezen tartó esetében is megvizsgálandó, hogy a σ normál feszültségek és a τ nyírófeszültségek minden esetben alatta maradnak-e a megengedett σmeg és τmeg értékeknek. Nyilvánvaló, hogy a rácsos tartóként történő számítás csupán közelítő jellegű tájékoztatást szolgáltat a tartó teherbírásáról. A teherbírásának egzakt vizsgálatakor figyelembe kell venni a szerkezet statikailag határozatlan voltát, és ezért nem lehet eltekinteni az alakváltozási viszonyok vizsgálatunkba való bevonásától. 4.2.3 A statikailag határozatlan tartó számítása a „süllyedő alátámasztás” elve alapján Ez a módszer a főhossztartót a valósággal teljes összhangban folytonos rugalmas gerendának tekinti. Az egyoszlopos feszítőmű szá-
13
mítását arra építi, hogy a gerendának a feszítőmű középső oszlopa helyén rugalmas – süllyedő – alátámasztása van. A süllyedés a feszítőműrudazat terhelés alatti alakváltozásából adódik. l’ = 2b b
b
a.)
b.) A rúderők egyensúlya
p↓
α
σj j
A0
h
IE
Fj σj
F0 Fj*
∆h0
∆h h + ∆h0
∆h
e1
e2
10. ábra A feszítőmű-rudazat és a gerenda alakváltozási viszonyai A feszítőmű középső oszlopának felső keresztmetszete a 10. ábra a.) része szerint ∆h függőleges eltolódást szenved. Ez az eltolódás a ferde rudak megnyúlásából adódó ∆h0 függőleges eltolódásból és a középső függőleges oszlop ∆h’ összenyomódásából tevődik öszsze. Ezekkel: ∆h = ∆h0 + ∆h ' .
Az összegben szereplő első tag az alakváltozás-mentes (a terheletlen állapotban fennálló) méretekkel, és a rudazat alakváltozását figyelembe véve felírt Pithagorasz-tétel alapján adódik: a.) j 2 = b 2 + h 2 , b.) ( j + ∆j ) 2 = b 2 + (h + ∆h0 )2 , A b.) szerinti négyzetes kifejezéseket kifejtve: j 2 + 2 j ∆j + (∆j ) 2 = b 2 + h 2 + 2h∆h0 + (∆h0 ) 2 ,
figyelembe véve az a.) összefüggést: 14
b 2 + h 2 + 2 j ∆j + (∆j ) 2 = b 2 + h 2 + 2h∆h0 + (∆h0 ) 2 ,
Elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket és a másodrendűen kicsi „delta négyzetes” tagokat elhanyagolva: j ∆j = h∆h0 ,
amiből: ∆h0 ≈
j ∆j j = ∆j . h h
Ébredjen a ferde rúdban σj = σmeg normál feszültség. Ekkor a Hooke törvény értelmében a feszültség kifejezhető a fajlagos nyúlással, és ezen keresztül a rúd ∆j alakváltozásával: ∆j E. j Kifejezve ebből a ∆j alakváltozást adódik, hogy
σ j = ε jE =
∆j =
σjj E
.
Visszahelyettesítve ezt a ∆h0-ra kapott képletbe, és figyelembe véve az eredeti (deformálatlan) háromszög geometriát, kapjuk a számításra alkalmas végképletet: 2 2 2 j j σ j j j σ j ( h + b )σ j . ∆h0 = ∆j = = = h h E hE hE
A középső függőleges oszlop összenyomódásának meghatározása az elemi szilárdságtan szabálya szerint adódik: ∆h ' =
Fh , AE
ahol F az ismeretlen (keresett) rúderő, A pedig a rúd keresztmetszeti felülete. A kapott eredményekkel a középső függőleges rúdvég teljes ∆h eltolódása felírható: ∆h = ∆h0 + ∆h ' =
( h 2 + b 2 )σ j hE
+
Fh . AE
Figyeljük meg, hogy a vizsgálatnak ezen a pontján a függőleges rúdvég tejes elmozdulásának képlete függ a rúdban fellépő és jelenleg még ismeretlen F rúderőtől. Most meghatározzuk a gerenda oldaláról nézve a gerendaközép függőleges behajlásból származó elmozdulását. A feszítőmű nélküli 15
egyenletesen megoszló terheléssel terhelt gerenda e1 függőleges eltolódása a következő képlettel meghatározott: 5 pl '4 e1 = . 384 IE
Ez az eltolódás azonban nem jöhet létre, mert a feszítőmű rudazat csak ∆h eltolódást enged meg a gerendaközépen, éppen a támasztórúddal átvitt – egyelőre határozatlan (ismeretlen) –függőleges F erő következtében. Ha a kéttámaszú gerendára középen felfelé ez az F támasztóerő működik, akkor ennek hatására a hajlításból felfelé e2 eltolódás adódik, melynek nagyságát az 1 Fl '3 e2 = 48 IE
képlet szolgáltatja. A végső egyensúlyi helyzetben tehát a gerenda középső keresztmetszete e1-e2 függőleges eltolódás mellett jut egyensúlyba. Tekintettel arra, hogy az e2 az eddig határozatlan F oszloperő függvénye, azaz e2 = e2(F), és arra, hogy az e1-e2 függőleges gerenda eltolódásnak meg kell egyezni az ugyancsak F rúderő függő ∆h(F) függőleges oszlopvég eltolódással, felírható az e1 - e2(F) =∆h(F) egyenlet az ismeretlen F oszloperő meghatározására. Az eddigi levezetések alapján nyert összefüggéseket beírva az 2 2 5 pl '4 Fl '3 ( h + b )σ j Fh − = + 384 IE 48 IE hE AE F F összefüggés adódik. Tekintetbe véve a σ j = j = összefügAj Aj sin α
gést, kapjuk, hogy: 5 pl '4 Fl '3 (h 2 + b 2 ) F Fh = + + , 384 IE 48 IE hE Aj sin α AE
ahonnan rendezés után adódik a keresett statikailag határozatlan F oszloperő képlete: 5 pl '4 384 IE F= (h 2 + b 2 ) h l '3 + + hEAj sin α AE 48 IE
.
Az alvázgerenda eredő igénybevételét a most meghatározott F erő nagysága alapvetően befolyásolja. A feszítőmű alsó csomópontjában 16
működő erők vektorábráját a 10. ábra b.) részén mutatjuk be. A főhossztartó végleges nyomatéki ábráját a 11. ábra mutatja. A feszítőmű ferde rúdjainak méretezése az előre felvett σj = σmeg feszültségszint ismeretében a vektorábrából leolvasott Fr rúderő figyelembe vételével az Aj = Fr/σj keresztmetszeti felület meghatározásán keresztül történik. l’ p↓
F x
+ Mh
Mh eredő
11. ábra Az alváz főhossztartó végleges nyomatéki ábrája A fentiekben végigvitt gondolatmenet bizonyos módosításokkal a szimmetrikus kialakítású kétoszlopos feszítőművekre is alkalmazható. A függőleges oszlopok felső végeinek függőleges elmozdulását most is ∆h –val vehetjük fel, de a benne additíve szereplő ∆h0 érték különbözni fog az egyoszlopos esetben kapott értéktől. A különbség oka az, hogy a kétoszlopos esetben az oszlopok közötti vízszintes rúd ∆a megnyúlását is figyelembe kell venni. Az alakváltozást a 12. ábra a.) részén lehet vizsgálni. Ismét a Pithagorasz-tétel kétszeri felírásával jutunk a ∆h0 meghatározásához: a.) az eredeti geometria esetén: j 2 = b 2 + h 2 , b.) alakváltozás után: ( j + ∆j ) 2 = (b −
∆a 2 ) + (h + ∆h0 ) 2 , 2
a b.) kifejezésbeli műveleteket végrehajtva a következő egyenlőség adódik: 1 j 2 + 2 j ∆j + (∆j ) 2 = b 2 − b∆a + (∆a ) 2 + h 2 + 2h∆h0 + (∆h0 ) 2 , 4
Amiből a másodrendűen kicsi ∆2-es tagok elhanyagolásával és figyelembe véve az a.) kifejezésbeli összefüggést, kapjuk a rudazatmegnyúlás közelítő értékét: ∆h0 ≈
2 j ∆j + b∆a . 2h 17
a.)
b.) A rúderők egyensúlya
l’ = 2b+a
p↓
α A ,σ j j
2 F0
3 F0
α Fa
FB
5
6 a
b
∆h
∆h
b
∆h0
4
Aj,σj
∆h0
FA
IE Aa,σa
h
1
Fj
F0
j + ∆j a + ∆a
∆a/2
e2 ∆h
e1
∆a/2
egyensúlyi helyzet
12. ábra A kétoszlopos feszítőmű-rudazat és a gerenda alakváltozási viszonyai A statikailag határozatlan rúderők meghatározásához további lépésként tegyük fel, hogy a feszítőmű ferde rúdjában σj, vízszintes rúdjában pedig σa feszültség ébred. Ekkor a Hooke-törvény értelemében írható, hogy σj = εj E és σa = εa E. Ezek figyelembe vételével a rudak megnyúlása a következő két képlettel megadott: ∆j = j
σj E
és ∆a = a
σa E
.
A rúderők és a feszültségek között pedig fennáll a σj =
Fj Aj
és σ a =
Fa . Aa
összefüggés-pár. Tekintettel a geometriai viszonyokra a rúderők között fennáll az Fa = Fj cosα. Ezzel írható, hogy σ a =
Fj Aa
cos α . Vezes-
sük be a c paramétert a c = Aa/Aj hányadossal, ezzel: Aa = c Aj és így a σ j =
F összefüggés figyelembevételével: Aj sin α
18
σa =
Fj 1 1 F cos α = σ j cos α = cos α . cAj c c Aj sin α
Természetesen ha Aa = Aj ,akkor c = 1, és σ a = σ j cos α . A fentiekben kapott kifejezéseket ∆h0 képletébe helyettesítve kapjuk a ∆h0 ( F ) =
2 j2
σj E
+ ba
σ j cos α cE
2h
=
cos ) c 2hEAj sin α
F (2 j 2 + ba
kifejezést. Ezután a függőleges oszlop alakváltozását (összenyomódását) számítjuk, képezve a ∆h ' =
Fh kifejezést, ahol F a függőAE
leges oszlopban ébredő statikailag határozatlan erő. A pedig az oszlop keresztmetszete. Ezzel előállt a függőleges rúdvég teljes eltolódását megadó képlet az F oszloperő jelenlétének feltétele mellett: ∆h( F ) = ∆h0 ( F ) + ∆h '( F ) =
cos α ) Fh c + AE 2hEAj sin α
F (2 j 2 + ba
Ezt az alakváltozást meg kell közelíteni – hasonlóan az egyoszlopos esethez – az alvázhossztartó alakváltozási viszonyai oldaláról. Tegyük fel ehhez, hogy a feszítőmű nélküli alvázgerenda a bal oldali oszlop tengelyével meghatározott keresztmetszetben e1 nagyságú eltolódást szenvedne a külső (egyenletesen megoszló) terhelés hatására. Ez az e1 eltolódás nem jöhet létre, mert a feszítőmű oszlop jelenléte miatt csak ∆h(F) eltolódás lehetséges. Úgy foghatjuk fel ezt a helyzetet, hogy az oszlopban fellépő (egyelőre határozatlan) F erő jelenléte következtében a hajlított gerenda az oszlopkeresztmetszetben felfelé F -től függő e2(F) elmozdulást végez. A viszonyokat a 12. ábra mutatja. A feszítőműves gerenda egyensúlyi helyzetében érvényes az e1 - e2(F) = ∆h(F) összefüggés. Lineáris erőtörvény (a Hooke-törvény) érvényessége alatt maradva adódik az e2(F) = CF lineáris kifejezés, amelyben a C állandót a következő fejezetben részletezett integrálkifejezéssel lehet meghatározni. Ezen meggondolás után az ismeretlen (statikailag határozatlan F oszloperőt a következő egyenletből kapjuk: e1- CF = ∆h(F). 19
A jobb oldalon szereplő kifejezés helyébe beírva a rudazat alakváltozásból származtatott kifejezést, kapjuk az e1 - CF =
cos α ) Fh c + 2hEAj sin α AE
F (2 j 2 + ba
Egyenletet az ismeretlen (statikailag határozatlan) F oszloperőre. Ebben az egyenletben a szereplő e1 nem függ az oszloperőtől, és értéke szintén a következő fejezetbeli integrálkifejezéssel határozható meg. Végül is a struktúrafüggő e1 értéket és a C konstanst paraméterként tekintve a keresett F oszloperő a fenti egyenlet megoldásaként felírható: F=
e1 . cos α 2 (2 j + ba ) h c + C+ 2hEAj sin α AE
A kétoszlopos feszítőművel ellátott gerenda eredő nyomatéki ábráját a 13. ábra mutatja. A feszítőmű rudak méretezése a ferde rúdban tervezett, és megválasztott normálfeszültségből kiindulva történik. A 12. ábra b.) részéről leolvasva Fj és Fa értékét a szükséges keresztmetszeti felületek az Aj = Fj/σj és az Aa = Fa/σa = c Aj képletekkel adódnak. Az utolsó összefüggés c definíciójából adódik. Méretezni kell még a függőleges oszlopot, ennek keresztmetszeti felületét az A = F/σ összefüggésből adódik, ahol σ az oszlopban megengedett feszültség. Bár a feszítőmű oszlop viszonylag rövid és tömzsi, mégis ellenőrizni kell kihajlásra. p↓
F
F
FB
FA
+
x
Mh Mh eredő
20
13. ábra Az alváz főhossztartó végleges nyomatéki ábrája kétoszlopos feszítőmű esetén Az oszlop karcsúságát a λ =
l0 imin
formula definiálja, ahol l0 a kihajló
hossz, imin pedig a keresztmetszeti felület súlypontján átmenő tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatékok közül a legkisebbhez tartozó inerciasugár. Ha a karcsúság értéke nagyobb, mint száz, akkor az Euler képlet szerint lehet értékelni az F oszloperő és a kihajlásra nézve kritikus Fte(λ) törőerő viszonyszámát. Amennyiben a karcsúság kisebb mint száz, akkor az aktuálisan kiadódott F oszloperőt a Tetmájer szerinti kritikus Ftt(λ) erőértékkel kell összevetni és a biztonságot kiértékelni. 4.2.4 A feszítőmű számítása merevítőgerendás ívtartóként A feszítőműves alváz szerkezet tulajdonképpen egy merevítőgerendás ívtartó (Langer-tartó) csupán a keretek száma csekély, egyoszlopos esetben kettő, vagy kétoszlopos esetben három. A Langer-tartóként való számítás akkor indokolt, ha a rudazat hajlítási merevsége jóval kisebb a hossztartóénál, és a rudazat bekötések csuklószerűeknek tekinthetők. Kétségtelen, hogy ez a számítási modell összetettebb a csuklós szerkezetként kialakított modellnél, azonban jobban leképezi a valóságos tartók erőjátékát és a méretezés így megbízhatóbb alapokra építhet. A vizsgálatot kétoszlopos feszítőműre mutatjuk be. Ennek a megoldásformulái bizonyos redukcióval az egyoszlopos szerkezetre is alkalmazhatók. A számításokat a 14. ábrán alkalmazott jelölések alkalmazásával végezzük. A vizsgált tartó belsőleg egyszeresen statikailag határozatlan. Ismeretlen mennyiségként célszerűen a feszítőmű vízszintes rúdjában ébredő erőt tekintjük. Természetszerű, hogy a statikailag határozatlanság miatt ez az erő a tartószerkezet alakváltozásától függ. A vizsgálatot az erőmódszerre alapozva végezzük. A statikailag határozatlan tulajdonságot megszüntetve a feszítőmű vízszintes rúdjának felmetszésével adódó törzstartót tekintjük. A főhossztartó alakváltozásának számításakor a nyíróerőből és a normálerőből adódó alakváltozás összetevőket a nyomaték okozta alakváltozáshoz képesti kicsinységük miatt elhanyagoljuk. Alapesetben feltételezhető, hogy a feszítőmű ferde rúdjait a főhossztartó 4.2.2 pontban vizsgált nyomatékváltási keresztmetszeteibe (a inflexiós pontjaiba) kötjük be. Az erőmódszer alapelve a feszítőmű vízszintes rúdjában fellépő statikailag határozatlan X1 erő olyan nagy21
ságú lesz, hogy a törzstartó felmetszett keresztmetszetében a külső terhelés által keltett a10 eltolódást éppen megszüntesse. Ez az ellenhatás a feszítőműrudazat alakváltozásából és feszítőmű oszlopon bevitt függőleges erőnek a gerendát „visszahajlító” deformációt okozó hatásából adódik. a.) l = 2t
k
k
p↓
1
α
FA
6 b
x
h
σa,Aa
σj,Aj
4
3
2
1
1
A, IE
σj,Aj
FB
5 b
a
x
l’
M0 ábra +
Γ1
Γ2
x
Γ3
M0 M1 ábra
+
K1
K2
K3
x
M1 1 cos α
b.) tgα
α 1
14. ábra A feszítőműves gerenda törzstartó nyomatéki ábrái amikor a ferde rudak a nyomatékváltási pontokba vannak bekötve A törzstartó elmetszett csonkjain fellépő eltolódások a rugalmas alakváltozás következtében a szerkezetbe bevitt kialakult deformációs munka parciális deriváltjaira vonatkozó Castigliano-tétel alapján írhatók fel. Ezek szerint az elmozdulások állandó merevségű gerenda hajlítása esetén az a01 =
1 M 0 ( s )M 1 ( s )ds IE T∫
22
képlettel határozható meg, ahol IE a gerenda hajlítási merevsége, M0(s) a törzstartóbeli gerendára ható külső erők hajlítónyomatéki függvénye a tartó keresztmetszeti felületek súlypontjának sorozóvonala mentén, M1(s) pedig keresett elmozdulás helyén – az átmetszett rúdvégeknél – támadó és ezen elmozdulás irányában működő egységnyi erő hatására bekövetkező hajlítónyomatékok függvénye. A szereplő integrált a teljes tartóra ki kell terjeszteni. Az előző pontban meghatározatlanul maradt e1 és e2 hossztartódeformációk értékeit is a megadott képlettel lehet meghatározni. Ebben a két utóbbi esetben az egységnyi erőt az oszlopkeresztmetszetben kell működtetni az M1(s) hajlítónyomatéki függvény meghatározásához. A szereplő szorzatintegrál valamely I tartószakaszra vonatkozó értékének egyszerű kiértékelése lehetséges, ha az egyik tényező függvény lineáris. Ekkor az integrál értéke a nemlineáris nyomatéki függvény alatti Γ terület és ezen terület súlypontjának xirányú xT helyzete ismeretében a másik lineáris függvény KST metszékével szorzatalakban áll elő:
∫M I
0
( s )M 1 ( s )ds = Γ K ST .
A szorzatfüggvény integráljának ezen kiértékelési módja a feszítőművek esetén csaknem mindig alkalmazható. A 14. ábra a.) részén ábrázoltuk a feszítőműves hosszgerenda jellemző nyomatéki ábráit. A törzstartón fellépő hajlítónyomaték függvény elemi statikai úton számítható. Az M1(s) ábrát a törzstartó átvágott rúdcsonkjain X-gyel ellentétesen működtetett egységnyi erő hosszgerendára vonatkoztatott hajlítónyomaték értékei adják. Az egységnyi erőnek a 2 jelű pontban lefelé működő komponensét egy vele azonos nagyságú, de ellentétes értelmű erő egyensúlyozza az 1 jelű pontban. A jelzett erők abszolút értéke a 14. ábra b.) része szerint tgα, és az így adódó erőpár hajlítónyomatéka a hossztartó középső szakaszának pontjaira állandó, és nagysága: b tgα. Mivel azonban b tgα = h, kapjuk, hogy a középső gerendaszakaszon M1 = h. A két ferde rúd felett fekvő b hoszszúságú tartószakaszokon az M1(s) függvény nyilvánvalóan lineáris lefutású. Az M0(s) és M1(s) hajlítónyomatéki függvények és ábráik ismeretében a statikailag határozatlan feladat megoldásához szükséges alakváltozási tényezők meghatározhatók. A törzstartó felmetszett rúdcsonkokon a külső terhelés által okozott eltolódásokat az a10 terhelési tényező jelöli. A törzstartó felmetszett csonkjaira működtessünk az ott felvett ismeretlen X1 erő értelmével ellentétesen egységnyi erőket, 23
lés a csonkok távolodását ezen terhelés hatására jelölje az a11 egységtényező jelöli. A bevezetett jelölések alapján írható, hogy az ismeretlen X1 erő hatására a csonkok elmozdulása a lineáris alakváltozási törvény (a Hooke-törvény) érvényessége miatt –X1a11 lesz, és ez az elmozdulás ellentetten egyenlő a törzstartó átmetszett csonkjainak a külső terhelés által keltett a10 elmozdulásával. Irható ezért az a10 − X 1a11 = 0
egyenlet, amiből a statikailag határozatlan X1 erő azonnal adódik: X1 =
a10 . a11
A vizsgált kétoszlopos feszítőmű esetére az a10 terhelési tényező az előzőekben tárgyalt integrálkifejezéssel számítható az alábbiak szerint: 1 2 b 1 b+ a a01 = M 0 ( s )M 1 ( s )ds = M 0 ( s )M 1 ( s )ds + M 0 ( s )M 1 ( s )ds . IE T∫ IE ∫0 IE ∫b
A törzstartón hosszgerendáján a p intenzitással egyenletesen megoszlónak tekintett külső terhelés keltette M0(s), és az elvágott csonkon működtetett egységnyi erő keltette M1(s) nyomatéki függvényeket konkretizálva és az integrálokat kiértékelve a terhelési tényezőre a következő formula adódik: p tgα ⎛ b3 b 4 ⎞ ph ⎧ ⎡ (b + a ) 2 (b + a )3 ⎤ ⎡ b 2 b3 ⎤ ⎫ a10 = − − l' − ⎨ l' ⎬. ⎜l ' − ⎟ + IE ⎝ 3 4 ⎠ 2 IE ⎩ ⎣⎢ 2 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 3 ⎦⎥ ⎭
A kapott formula szerint a terhelési tényező egyenesen arányos a terhelés p intenzitásával, gerenda l’ hosszával valamint a függőleges oszlopok h magasságával, nemlineáris függés jelenik meg a feszítőmű geometriáját meghatározó α, a és b paraméterektől és fordítottan arányos a gerenda IE hajlítási merevségével. Ha a feszítőmű ferde rúdjait szerkezeti okok miatt (pl. rugótám, vagy kereszttartó bekötés helyigénye) nem lehet a 4.2.2 pontban tárgyalt nyomatékváltási keresztmetszetbe bekötni, akkor a terhelési tényező értéke a levezetetthez képest megváltozik. Az utóbbi helyzetet a 15. ábra mutatja. A terhelési tényező képletében szereplő integrált most a tartónak csak arra a részére kell kiterjeszteni, ahol az integrandusbeli szorzatfüggvény zérustól különböző. Célszerűen használható ebben az esetben is a szorzatintegrál kiszámítására vonatkozó korábban 24
megadott összefüggés, mert a törzstartó átmetszési keresztmetszetében ható egységnyi erő által a gerendán okozott M1(s) hajlítónyomatéki ábra szakaszonként lineáris. l = 2t
k
k
p↓
1
α
3
2
4
A, IE
h FB
FA
6 x
λ
b
1
1 a
5 b
λ
x
l’ ≠ 2b + a
M0 ábra +
Γ1
Γ2
Γ3
x
K3
x
M0
+
M1 ábra K1
K2
M1
15. ábra A feszítőműves gerenda törzstartója amikor a ferde rudak nem a nyomatékváltási keresztmetszetbe vannak bekötve A külső megoszló terhelés okozta hajlítónyomatéki ábra szakaszonként másodfokú parabola ívekből épül fel, így az egyes intervallumokhoz tartozó területe a numerikus analízisből ismert Simpsonszabállyal intervallumonként három nyomatéki ordináta értékére támaszkodva meghatározható, a súlypont helyére pedig trapézkiegyenlítés alapján nyerhetünk jó (elfogadható) közelítést. Az a11 egységtényező meghatározása több lépésből áll, ugyanis itt mind a hajlítónyomatékkal és derékerővel terhelt főhossztartó alakváltozását, mind pedig a feszítőmű rudazatának alakváltozását figyelembe kell venni. i.) Az átmetszett rúdcsonkok eltolódása a főhossztartóra ható hajlítónyomaték hatására. Értékének meghatározása az előzőekben bevezetett integrálkifejezés grafikus megoldásával történik. Esetünkben a külső erőrendszer okozta M0(s) nyomaték helyett is 25
elvágott rúdcsonkokra ható egységnyi tengelyirányú erők által a főhossztartón okozott M1(s) nyomatéki függvény lép be, így: 1 h2 2 2 a11.1 = M 1 ( s )ds = (a + b) . ∫ IE (T ) IE 3
Az egységtényező eredő értékében a most meghatározott a11.1 játszik domináló szerepet. ii.) Az átmetszett rúdcsonkok eltolódása a gerendában ható derékerő hatására: a11.2 =
a + 2b . Ag E
Itt Ag a főhossztartó keresztmetszeti felületét jelenti. α
A1, F1 A2, F2
tgα
1 cos α
h
j
α 1
Q=1 0,5(a11.3-a/(EA3))
16. ábra A rúdháromszög vízszintes eltolódása egységerő mellett iii.) Az átmetszett rúdcsonkok eltolódása a feszítőműbeli rudháromszögek alakváltozásából. A jelzett érték meghatározása a Castigliano-tétel alkalmazásával történik, a 16. ábra jelöléseivel: a11.3 =
1 F ∂F ds . E (T∫) A ∂Q
Mivel a feszítőmű rudazatában ébredő erők rudanként állandóak, a fenti integrál szummába megy át: a11.3 =
1 Fi ∂Fi Si . ∑ E (T ) Ai ∂Qi
Mivel az egyes rudakban ébredő rúderő a működtetett Q egységnyi erő lineáris függvénye, a derivált egyszerűen alakul: ∂ ∂ Fi = (ci Q) = ci . ∂Q ∂Q
26
A képlet szerint a tekintett derivált a rúdátmetszésben működő Q egységnyi erőnek az egyes rudak irányába eső komponenseként értelmezhető. Figyelembe véve az elmondottakat: 2 3 F 2⎛ b h 2 a/2⎞ α = ∑ i Si = ⎜ + + tg ⎟ E i =1 Ai E ⎝ A1 cos3 α A2 A3 ⎠ 2
a11.3
Az a11.3 kifejezés egyik összetevőjét, a feszítőmű rúdháromszög alsó pontjának egységerő hatására történő vízszintes eltolódását a Williot-féle szerkesztéssel is gyorsan meg lehet határozni, lásd a 17. ábrát α Q2
A1 A2
Q1 α 1
h
j
⋅ ∆j
0,5(a11.3-a/(EA3))
α
e
⋅ ∆j =
∆h
Q1 j A1 E
Q=1
, ∆h =
Q2 h A2 E
17. ábra A rúdháromszög alakváltozásából adódó vízszintes csomóponti eltolódás közelítő szerkesztése Williot szerint Az egységtényező értéke végül a következőképp alakul a részeredmények összegzésével: 3
a11 = ∑ a11.i i =1
h2 2 a + 2b 2 ⎛ b h a/2⎞ = + ⎜ + tg 2α + ( a + b) + ⎟ . 3 IE 3 Ag E E ⎝ A1 cos α A2 A3 ⎠
Az a11 értékét meghatározó mennyiségeket tekintve elmondható, hogy az egységtényező csupán a tartó méreteitől és anyagi jellemzőjétől függ, a terheléstől pedig nem függ. A tárgyalásunk ezen lépésében mind az a10 terhelési tényező, mindpedig az a11 egységtényező ismert, így a feszítőmű vízszintes rúdjában ébredő statikailag határozatlan ismeretlen X1 erő a kompatibilitási egyenletből kifejezhető:
27
p tgα ⎛ b3 b 4 ⎞ ph ⎧ ⎡ (b + a ) 2 (b + a )3 ⎤ ⎡ b 2 b3 ⎤ ⎫ l' − + − − l' − ⎨ l' ⎬ IE ⎜⎝ 3 4 ⎟⎠ 2 IE ⎩ ⎣⎢ 2 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 3 ⎦⎥ ⎭ a10 X1 = . = a11 h2 2 a + 2b 2 ⎛ b h 2 a/2⎞ ( a + b) + + ⎜ + tg α + ⎟ IE 3 Ag E E ⎝ A1 cos3 α A2 A3 ⎠
A nevezőben szereplő képletsor – a valóság helyes leképezésével – figyelembe veszi a rudazat megnyúlását. Ha a rudazat elemeit közelítésképp merevnek tekintjük, akkor az X1-re nagyobb érték jön ki, ebből következően a feszítőműoszlopokban ható F2 =X1 tgα nagyságú erők is meghaladják a valóságos értéket, ami azt jelenti, hogy az így számított oszloperők a gerendatartót a valóságosnál nagyobb mértékben tehermentesítenék. Reális adatokkal végzett számítások tapasztalata szerint azonban az egységtényezőt kialakító összegben a főhossztartó hajlításából adódó rúdcsonk elmozdulás összetevő két nagyságrenddel nagyobb a rudazatmegnyúlásból és a gerenda axiális alakváltozásából származó tagoknál. Az X1 erő ismeretében a főhossztartó eredő nyomatéki is nyíróerő ábrája meghatározható (18. ábra). ↓p
α
h X’1 h x
+Mh +T
|X’1| tgα
x
+N X’1
x
18. ábra A kétoszlopos feszítőművel felszerelt főhossztartó végleges igénybevételi ábrái
28
Az X 1 erő ismeretében a gerenda végleges igénybevételi ábrái meghatározhatók, lásd a 19. ábrát. A fentiekben az ismeretlen X1 erőre levezetett képlete bizonyos módosításokkal alkalmazható az egyoszlopos feszítőmű esetére is. Természetszerűen a számlálóbeli terhelési tényező is módosul, a nevezőbeli egységtényezőben pedig a = 0 és A2=A0/2 értékeket kell helyettesíteni. Az alábbi képet szerinti X 1' erő a ferde rúdban ébredő F1 erő cos α szorosa. '
4
5 pl ' 2tgα a 386 IE . X 1' = 10 = 2 a11 h 2 2b 2⎛ 2h 2 ⎞ b + ⎜ + tg α ⎟ ( b) + IE 3 Ag E E ⎝ A1 cos3 α A0 ⎠ ↓p
α
h X’1 h x
+Mh +T
|X’1| tgα
x
+N X’1
x
19. ábra Az egyoszlopos feszítőművel felszerelt főhossztartó végleges igénybevételi ábrái A végleges igénybevételi függvények rendre: Y ( x) = Y0 ( x) − X 1Y1 ( x)
Alakúak. A kifejezésben Y0 ( x) jelenti a törzstartó igénybevételi függvényét, Y1 ( x) pedig a törzstartó átmetszési keresztmetszetén működtetett egységnyi erő által okozott igénybevételi függvényt jelöli.
29
4.2.5 Sarokmereven bekötött rudazatú feszítőművek Ha a főhossztartó és a feszítőmű rudazat keresztmetszetei nem nagyon különböznek, és a rudak egymással és, a gerendával való öszszeépítése sarokmerevnek tekinthető (hegesztett szerkezeteknél) akkor a feszítőmű rudazatot hajlítónyomatékok is igénybeveszik. Az ilyen tulajdonságú tartószerkezet keretszerkezetet, Vierendeel-tartót reprezentál. Az ilyen Vierendeel-tartó belsőleg többszörösen statikailag határozatlan, és az egyes rúdjainak igénybevételi viszonyainak meghatározásai összetett feladat. Az n-számú zárt keretmezőt tartalmazó ilyen szerkezet 3n-szeresen statikailag határozatlan. Erőmódszerrel való megoldása nagyméretű lineáris egyenletrendszer megoldását teszi szükségessé. Szóba jöhetnek a mérnöki szemlélethez közelebb eső iterációs módszerek is, elsősorban a Cross-féle nyomatékosztási eljárásnak a kilengő csomópontú keretekre kidolgozott változata a Cross-Morris módszer ajánlható. 5. A FESZÍTŐMŰ SZERKEZETEK KIALAKÍTÁSA A feszítőmű rudazat és a főhossztartó szerkezeti kapcsolatának kialakítására a gyakorlatban számos megoldás található. A statikai modell szempontjából az lenne az ideális, ha a feszítőmű ferde rúdjai és az oszlopok a főhossztartó tengelyébe csuklósan lennének bekötve. Általában azonban a rudazatot a gerendához csomólemez alkalmazásával szegecseléssel vagy hegesztéssel kötik be, vagy ritkábban a gerenda alsó övére erősített csuklós csappal csatlakoztatják, oly módon, hogy a ferde rúd tengelyvonala a gerenda a súlytengelyén fekvő elméleti bekötési ponthoz mutasson. A feszítőmű rudakba nyakra palackanyát iktatnak be a rudazat gyártás utáni beszabályozására. Ezen beszabályozás több műszaki kérdést felvet, azonban jelen tárgyalásunkban erre nem térünk ki. Az acélszerkezetek elmélete tárgyalja mind a három említett rúdcsatlakoztatási módot, azonban arra nagy hangsúlyt helyez az elmélet, hogy ha egy kötésnél hegesztés és szegecselés egyaránt alkalmazásra kerül, akkor a kapcsolat teherbírását csak az egyik (gyengébb) kötési összetevő figyelembe vételével szabad megállapítani. Ennek oka abban rejlik, hogy a kétféle kötési móddal létrehozott kapcsolat merevségeik különböző volta miatt nem tud szabatosan együtt dolgozni. Nem könnyű feladat a rudazat és a gerenda kapcsolati helyein ténylegesen kialakuló feszültségviszonyok feltá-
30
rása. A kapcsolatban kialakuló feszültség kvantitatív vizsgálatához végeselemes analízis szükséges. 6. A SZERKEZETI ELEMEK EREDŐ FESZÜLTSÉGEI 6.1 Feszültségeloszlás a rudazatban A feszítőmű rudazatban ébredő derékerők húzó, illetve nyomófeszültségeket eredményeznek. Számításuk a σ = F/A formulával történik. A feszítőmű oszlopai nyomásra vannak igénybevéve. Ilyen módon az oszlopok stabilitását is meg kell vizsgálni. Tekintettel arra, hogy az oszlopok karcsúsága kicsi (általában λ = l0/imin sokkal kisebb mint 100), a számítást Tetmájer-eljárással kell elvégezni mert az esetleges kihajlás a plasztikus zónába esik. Ezen eljárás azt jelenti, hogy a rúdban énredő nyomófeszültség nem érheti el a σk kritikus értéket, mely kritikus értéket a σk = a - λ b alakú képlettel történik. A figyelembe veendő a és b értéket kézikönyvek táblázatai közlik. 6.2 Feszültségeloszlás a főhossztartóban A prizmatikus főhossztartóbeli feszültségeloszlást a mértékadó legnagyobb hajlítónyomaték helyén kell meghatározni. Ez a hely általában a kocsiközép, és ezen a helyen a feszítőműrudazat hatásaképp derékerő is fellép. Így az eredő feszültség a σe = σh +σn =
M F + K A
képlettel számítandó. A kiszámított σ e eredő normálfeszültségnek kisebbnek kell lennie az anyagra megengedett σ meg feszültségnél, azaz teljesülnie kell a σ e ≤ σ meg egyenlőtlenségnek. A hossztartó támaszai fölötti keresztmetszetekben jelentős nyíróerők is fellépnek, ezért meg kell vizsgálni, hogy ezeken a helyeken mekkora a semleges szálnál fellépő legnagyobb csúsztató feszültség. A számítás alapja az ismert τ max =
TS x I 2z
Formula, ahol T a keresztmetszetet terhelő nyíróerő, Sx a keresztmetszeti felület keresztirányú súlyponti tengely feletti felületrészének (az „elcsúszni akaró” felületnek) a keresztirányú súlyponti tengelyre vett statikai nyomatéka, I a keresztmetszeti felület keresztirá31
nyú súlyponti tengelyre vett másodrendű nyomatéka, z pedig a keresztmetszet keresztirányú súlyponti tengelyen mért félszélessége. Az így kiadódó csúsztatófeszültség értéket kell összehasonlítani a megengedett csúsztatófeszültség megengedett τ meg értékével. Az egyidejűleg hajlítónyomatékkal és nyíróerővel terhelt keresztmetszetekben meg kell még vizsgálni, hogy a szélső szál és a semleges tengely között hogyan változik az együttes igénybevételt jellemző redukált feszültség. Mint ismeretes, a keresztmetszet súlypontján átmenő keresztirányú tengelytől a keresztmetszet síkjában y távolságra lévő pontban a redukált feszültség a Mohr-Guest elmélet szerint a σ r ( y ) = σ 2 ( y ) + 4τ 2 ( y )
képlettel számítható. Biztosítani kell a méretezéskor, hogy a max {σ r ( y )} ≤ σ meg
y∈[ 0, ymax ]
feltétel teljesüljön. A fentiekben felírt feszültség értékek arra az esetre vonatkoznak, amikor a vizsgált tartó szelvénye a vertikális súlyponti tengelyre szimmetrikus. Sok esetben azonban a főhossztartóként alkalmazott U-szelvényű gerendák nem ilyenek, és mivel a függőleges terhelőerők síkja általában nem megy át a keresztmetszet nyírási középpontján – a „τ-középponton” - , járulékos csavarónyomaték lép fel, melynek ξ karja a „τ-középpont” és a terhelőerők függőleges síkjának merőleges távolsága. A fellépő Mt = F ξ nagyságú csavarónyomaték a szelvényben további csúsztatófeszültségeket ébreszt. Elfogadva a De-Saint Venant-féle feltételt, a szelvény csavarásakor fellépő maximális csúsztatófeszültség az állandó örvényességű folyadékáramlás sebességi mezejének analógiájára a 20. ábra jelöléseivel a következő formulával határozható meg: τ max =
Mt η 3 amax , I t ≈ ∑ ai3bi . 3 i =1 It
A képletben szereplő It a keresztmetszeti felület torziós másodrendű nyomatéka. Az It –re megadott közelítő képletben az η tényező a szelvénysarkok hatását veszi figyelembe, tapasztalati értékként a szokásos U-szelvényekre η = 1.12 vehető fel. Nem rejthető véka alá, hogy egyes gyakorlati esetekben a főhossztartó csavarásakor a De-Saint Venant feltétel nincs kielégítve. Ez azt jelenti, hogy ilyen32
kor a csavarásra igénybevett keresztmetszetek nem léphetnek ki a síkjukból, ami által a csavarásból a keresztmetszeten járulékos normál-feszültségek lépnek fel. a1
b1
τ aimax
A terhelés síkja S a3
b2
ξ
b3
20. ábra Az U szelvényű hossztartó keresztmetszet jellemzői A hosszgerenda feszültségi állapotának elemzése ilyenkor végeselemes eljárással végezhető el, amelynek részleteibe itt nem bocsátkozunk. 7. ÖSSZEFOGLALÁS A vasúti kocsik alvázainak főhossztartóit előnyösen lehet erősíteni feszítőművel. A húzásra igénybevett ferde és vízszintes feszítőmű rudazatrészek megnyúlnak és a feszítőmű oszlopok ily módon a hajlításra igénybevett főhossztartó középső részén süllyedő alátámasztás biztosítanak, miközben a bennük ébredő nyomóerő hatására maguk is rugalmas alakváltozást (megrövidülést) szenvednek. Tárgyalásunk első részében Az oszloperők ezen süllyedő alátámasztási modell alapján kerültek meghatározásra. Másik aspektusból közelítve a feszítőmű vizsgálatához, általánosabb szemlélettel a feszítőműves alvázat statikailag határozatlan tartóként lehet kezelni. A tárgyalásunkban az erőmódszert alkalmazva mutattuk be a statikailag határozatlan erő meghatározását, és olyan zárt alakú képleteket vezettünk le, amelyekre alapozva a méretezés elvégezhető. A tárgyalás végén kitértünk a figyelembe veendő nyíró- és csavaró feszültségekre is, bemutatva ezeknek a beépítését a méretezést megalapozó redukált feszültségekbe. Végül kitekintést adtunk a főhossztartóként sokszor alkalmazott U-gerendák összetett igénybevételi viszonyaira.
33
8. IRODALOMJEGYZÉK [1] Baránszky-Jób, I. – Fekete, K.: Közúti és gyorsforgalmú villamos járművek. Vasúti Szakkönyvtár. Műszaki Könyvkiadó.Budapest, 1963 [2] Fekete,T.: Tartószerkezetek. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965. [3] Halász, T.: Vasúti vontatott járművek. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó. Budapest, 1964. [4] Korányi, I.: Tartók sztatikája I. – IV. Egyetemi tankönyv. Tankönyvkiadó. Budapest, 1960. [5] Korányi, I.: Acélszerkezetek. Egyetemi tankönyv. Tankönyvkiadó. Budapest, 1962. [6] Kreissig, E.: Übersicht über den Waggonbau. Volger Verlag. Berlin, 1927. [7] Muttnyánszky, Á.: Szilárdságtan. Egyetemi tankönyv. Tankönyvkiadó. Budapest, 1964. [8] Szondy, Gy.: Vasúti kocsik. Egyetemi tankönyv. Tankönyvkiadó. Budapest, 1958. [9] Balogh, V.: Vasúti kocsik. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó. Budapest, 1984. [10] Sostarics, Gy. – Balogh, V.: Vasúti járművek Egyetemi tankönyv. Tankönyvkiadó. Budapest, 1991.
34
