felfedezteti a gyakorlati problémák és az elvont fogalmak közötti kapcsolatot, önálló gondolkodásra nevel, szórakoztat! Kinek ajánljuk?
Közép- vagy emelt szintű érettségi vizsgára készülőknek. Minden középiskolásnak, olyanoknak is, akik nem kiemelten érdeklődnek a matematika iránt. Szakközépiskolákban és gimnáziumokban tanító matematikatanároknak. Szintemelő vagy javító vizsgára készülő korábban érettségizetteknek.
Módszertani eszközök
A matematikatörténeti ismeretek tárgyalása jó lehetőség arra, hogy a humán érdeklődésűeket is a matematika közelébe csalogassuk.
2.2. ábra Halmazok elemszámá nak összehasonlítása
Ugyanilyen tevékenységet végeztek az ókori Mezopotámiában a juhok, kecskék és egyéb állatok őrzésével megbízott emberek és a megbízóik. Az őrzésre átadott állatok számát reprezentáló kavicsokat gömb alakú agyagtartályba rakták, melyet kiszárítottak, és hivatalosan lezártak. Az elszámolásnál az edénykét feltörték, majd a kavicsok és az állatok párba állításával megnézték, hogy ugyanannyi állatot hoztak-e vissza, mint amennyit őrzésre átadtak. A két halmaz között ily módon kialakított kapcsolat nagyon fontos szerepet tölt be a matematikában. Erről még lesz szó a Függvények című fejezetben, valamint későbbi tanulmányok során, mikor a halmazok számosságával foglalkozunk.
A gyakorlati alkalmazások bemutatása amellett, hogy érettségi követelmény, eszköze lehet a matematika iránt nem különösebben érdeklődők motiválásá nak is. 5. példa Félmillió forint spórolt pénzünket el szeretnénk he lyezni a bankban két évre. A bank két lehetőséget kínál számunkra: a) Az éves kamat 12%, és minden év letelte után hozzáírják a bent lévő összeghez a kamatot, így a kamattal megnövelt összeg kamato zik tovább. (Ez a kamatoskamat-számítás, évenkénti tőkésítéssel.) b) A féléves kamat 6%, és minden félév letelte után hozzáírják a bent lévő összeghez a kamatot, így a kamattal megnövelt összeg kamatozik tovább. (Ez a kamatoskamat-számítás, félévenkénti tő késítéssel.) Melyik lehetőséget válasszuk?
2
2.10. ábra Melyiket válasszam?
A szövegértés alap vető kompetencia, amelyet minden esz közzel, még matema tikaórán is fejleszteni kell.
1. példa Egy kisvállalkozás teljes költsége a kibocsátott áru mennyiségének 1000-szeresénél 48 000 forinttal több, teljes be vétele a kibocsátott áru mennyiségének 5000-szeresénél 48 000 fo rinttal kevesebb. Mekkora árumennyiségek mellett lesz a vállalkozás nyereséges? Szavakkal kifejezve:
Az algebra nyelvén:
a kibocsátott áru mennyisége a vállalkozás teljes költsége a kibocsátott áru mennyiségének 1000-szeresénél 48 000 forint tal több ezer forintban megadva teljes bevétele a kibocsátott áru mennyiségé nek 5000-szeresénél 48 000 forinttal kevesebb ezer forintban megadva
x
a vállalkozás nyereséges, ha
5 x − 48 > x + 48
1000 x + 48000 x + 48 5000 x − 48000 5 x − 48
Az induktív gondolkodás a hétköznapi életben is jól használható logikai eszköz. 2. példa Hány szimmetriatengelye van egy szabályos a) ötszögnek, b) hatszögnek, c) n-szögnek?
11.25. ábra Öt szimmetriatengely
11.26. ábra Hat szimmetriatengely
Megoldás: a) Minden oldal felezőmerőlegese szimmetriatengely. Ezek átmennek a szemközti csúcson. Tehát a szabályos ötszögnek 5 szimmetriatengelye van. (11.25. ábra) b) Két-két szemközti oldal felezőmerőlegese egybeesik, ezek szimmetria tengelyek, de így nyilván csak 3 ilyen van. Viszont a két-két szemközti csúcsot összekötő egyenesek is szimmetriatengelyek, és azokból is 3 van. Így a szabályos hatszögnek 6 szimmetriatengelye van. (11.26. ábra) c) Ugyanígy látható be, hogy az n oldalú szabályos sokszögnek n darab szimmetriatengelye van, akár páros az n értéke, akár páratlan.
A szabályos sokszögek közül csak a páros oldalszámúak a középpontosan szimmetrikusak.
A manipuláció a legtöbb ember számára segíti a megértést és a bevésést. 4. példa Ismerjük egy négyszög négy oldalának hos� szát. Meghatározzák-e egyértelműen a négyszöget ezek az adatok? (Legyenek ezek az oldalak 6, 6, 8 és 4 egységnyi hosszúságúak!) Megoldás: Először is: még azt sem tudjuk, milyen sorrendben követik egymást az oldalak, tehát a példa megoldása már emiatt sem egyértelmű. Másod szor: ha megállapodnánk is abban, hogy az oldalak sorrendje egyezzen meg a felsorolás sorrendjével, akkor is végtelen sokféle ilyen négyszö get tudnánk előállítani. Gondoljunk pl. a fémépítőre: négy meghatáro zott hosszúságú lapocskát lazán összecsavarozva még csak „csuklós” négyszöghöz jutunk. (Akár konkáv is lehet.) (4.9. ábra)
Tehát az oldalak ismeretében nem tudjuk egyértelműen előállítani a négyszöget.
4.9. ábra Ugyanolyan oldalhosszú ságú négyszögek fémépítőből
3
A más tudományágakhoz kötődő feladatok a matematikai ismereteket megszilárdíthatják. 9. Egy atom átmérője kb. 100 pm, a benne lévő atommagé kb. 10 fm. Ha az atomot egy 100 m átmé rőjű gömbbel modelleznénk, akkor mekkora lenne az atommag átmérője? (A feladat megoldásához használd a leckében található prefixum táblázatot!)
4.7. ábra Bohr–Sommerfeld-féle atommodell
A számolási képesség folytonosan fejlesztendő kompetencia. 3. Számítsuk ki számológép használata nélkül az alábbi kifejezések értékeit! 1
2
3
æ1ö æ1ö æ1ö a) 15 + çç ÷÷÷ + çç ÷÷÷ + çç ÷÷÷ çè 2 ø
çè 2 ø
çè 2 ø
2
3
3
5 æ1ö æ1ö æ1ö b) 1 × çç ÷÷÷× çç ÷÷÷ × çç ÷÷÷
çè 2 ø èç 2 ø èç 2 ø
2
ö æ ç 32 æ 5 ö4 81 ÷÷ ÷÷ × çç ÷÷÷ × 2 çç 25 çè 3 ø (22 ) ÷÷÷ ø è
ç d) çç
e)
324 × 6252 3432 × 27 4 × 813 × 492 254 × 5122
c)
(23 × 5)3 æç (5 × 3) 2 (73 ) 2 ö÷ 4 ÷ ×3 ×ç (32 × 53 ) 2 çè 51 × 32 × (7 2 )3 ÷÷ø 3
3 æ 64 ö æç 493 × 25 ö÷ ÷ × çç 2÷ è 243 × 343 ÷ø
÷÷ f) ççç è125 ÷ø
4
æ 81 ö × çç ÷÷÷ × 5 çè 32 ø
Formai eszközök
A színeknek fontos jelentősége van. 1. példa A tananyagban szereplő kidolgozott középszintű példákat zöld háttérszínű keretbe foglaltuk. Ha a középszintű példá nak az egyik része emelt szintű, azt kék háttérrel jelöltük.
1. példa A tananyagban szereplő kidolgozott emelt szintű példákat zöld háttérszínű keretbe foglaltuk, amelyben a példát jelölő ikont és a példa sorszámát is kék színnel jelöltük.
4
Definíció Az új középszintű fogalmakat Definíció címszó alatt sárga háttérszínű keretbe foglaltuk. Itt írtuk le a fogalmakkal kapcsolatban használt matematikai jelöléseket is. Ezeknek a pontos ismerete mindkét szintű érettségi esetén alapkövetelmény.
Definíció Az új emelt szintű fogalmakat Definíció címszó alatt sárga háttérszínű keretbe foglaltuk, amelyben a definíciót jelölő ikont és a Definíció szót kék színnel jelöltük.
Tétel A középszintű tételeket, azonosságokat, tulajdon ságokat narancssárga háttérszínű keretben fogalmaztuk meg. A téte lek ismerete mind közép-, mind emelt szintű érettségi esetén elen gedhetetlenül fontos.
Tétel Az emelt szintű tételeket narancssárga háttérszínű keretben fogalmaztuk meg, amelyben a tételt jelölő ikont és a Tétel szót kék színnel jelöltük. A tételek többsége után azok bizonyítása is megtalálható. Ezeknek az ismerete minden esetben emelt szintű követelmény. Minden emelt szintű anyagrészre, illetve az „Oldjuk meg!” emelt szintű feladataira is világoskék háttérrel hívjuk fel a figyelmet.
Az ábrák többsége is szakmai, módszertani cé lokat szolgál. • matematikatörténet • gyakorlati alkalmazások (pl. az alábbi ábra) • kapcsolat más tudományokkal • matematikai fogalmak szemléltetése • tanulási módszerek ajánlása • ösztönzés továbbgondolásra • humor, szórakoztatás
5.15. ábra Parabolaantennák
5
IGÉNYLÕLAP KIPRÓBÁLÁSHOZ
Kérjük, jelölje, hogy az Út a tudáshoz tankönyvcsalád alábbi kötetét megrendeli-e kipróbálásra: Matematika 9. Matematika 10. (Rendelhetô augusztus 10-tôl!)
Megrendelõ személy neve és e-mail címe: ........................................................................................................................ .......................................................................................................................................................................................... Iskola: ................................................................................................................................................................................ Postázási név és cím: ........................................................................................................................................................ Számlázási név és cím: ...................................................................................................................................................... Dátum és aláírás helye: .....................................................................................................................................................
A bemutatópéldány kézhezvételét követõen az alábbi lehetõségek közül választhat: Amennyiben csoportja részére legalább 20 db tankönyvet rendel, akkor a bemutatópéldányt ingyenes pedagóguspéldányként megtarthatja. (A megrendelés összesítésekor, kérjük, küldje el a mellékelt iskolai megrendelõlapot, amelyet honlapunkról is letölthet.) Ha nem kíván újabb példányokat rendelni, de meg szeretné tartani a bemutatópéldányt, 20% kedvezménnyel megvásárolhatja, amennyiben ezt három héten belül jelzi Kiadónknak. Ha a fenti két megoldás egyikét sem választja, kérjük, a postaköltség vállalásával a kézhezvételtõl számított három héten belül postázza vissza címünkre a bemutatópéldányt.
A sorozat egyéb kiegészítõi és a tanulói példányok a mellékelt megrendelõlapon rendelhetõk meg.
23
