Fejezetek a Matematika ´rto ¨ rte ´nete ´bo ˝l Kultu ´n Miklo ´s Dorma ´nyegyetem Szegedi Tudoma ´zet TTIK Bolyai Inte
2012. szeptember 14.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ rte ´nelem elo ˝ tti A to ˝k ido
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A Lebomb´ oi csont (kb. i.e. 35000, Afrika)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Az Ishang´ oi csont i.e. 9500–6500 (20000 ´evn´el is r´egebbi lehet, Afrika)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A sz´ amad´ ok figur´ ai i.e. 4000, (University of Texas, Austin)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A sz´ amad´ ok figur´ ai i.e. 3300, (Mus´ee du Louvre, P´arizs)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A sz´ amad´ ok agyagba burkolt figur´ ai i.e. 3200 (Royal Ontario Museum, Toront´o)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A sz´ amad´ ok agyagba burkolt figur´ ai i.e. 3100 (Royal Ontario Museum, Toront´o)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Babilon
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Matematikai sz¨ovegek k´et korszakb´ol sz´armaznak:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Matematikai sz¨ovegek k´et korszakb´ol sz´armaznak: I
´ Obabiloni korszak (kb. i.e. 1800-1600)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Matematikai sz¨ovegek k´et korszakb´ol sz´armaznak: I
´ Obabiloni korszak (kb. i.e. 1800-1600)
I
Szeleukida-kor (kb. i.e. 300-0)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Matematikai sz¨ovegek k´et korszakb´ol sz´armaznak: I
´ Obabiloni korszak (kb. i.e. 1800-1600)
I
Szeleukida-kor (kb. i.e. 300-0)
´Ir´asos eml´ekek
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Matematikai sz¨ovegek k´et korszakb´ol sz´armaznak: I
´ Obabiloni korszak (kb. i.e. 1800-1600)
I
Szeleukida-kor (kb. i.e. 300-0)
´Ir´asos eml´ekek I
Az els˝o sz´amottev˝o leletegy¨ uttes: Assur-Ban-Apli ninivei k¨ onyvt´ara (1853).
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Matematikai sz¨ovegek k´et korszakb´ol sz´armaznak: I
´ Obabiloni korszak (kb. i.e. 1800-1600)
I
Szeleukida-kor (kb. i.e. 300-0)
´Ir´asos eml´ekek I
Az els˝o sz´amottev˝o leletegy¨ uttes: Assur-Ban-Apli ninivei k¨ onyvt´ara (1853).
I
A behisztuni szikl´an l´ev˝o h´aromnyelv˝ u felirat (´operzsa, el´ami ´es babil´oni), amely lehet˝ov´e tette az ´ek´ır´as megfejt´es´et (1830-as ´evek).
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
´ Obabilon (XIX-XVI. sz´ azad)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
´ Obabilon (XIX-XVI. sz´ azad)
I
Amorit´ak betelep¨ ul´ese
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
´ Obabilon (XIX-XVI. sz´ azad)
I I
Amorit´ak betelep¨ ul´ese Hammur´api (1792-1750) Sumer ´es Akk´ad kir´alya
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
´ Obabilon (XIX-XVI. sz´ azad)
I I
Amorit´ak betelep¨ ul´ese Hammur´api (1792-1750) Sumer ´es Akk´ad kir´alya → Hammurapi t¨orv´enyk¨ onyve
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
´ Obabilon (XIX-XVI. sz´ azad)
I I
Amorit´ak betelep¨ ul´ese Hammur´api (1792-1750) Sumer ´es Akk´ad kir´alya → Hammurapi t¨orv´enyk¨ onyve → A k¨ozigazgat´as ´es a kult´ ura nyelve az akk´ad
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
´ Obabilon (XIX-XVI. sz´ azad)
I I
Amorit´ak betelep¨ ul´ese Hammur´api (1792-1750) Sumer ´es Akk´ad kir´alya → Hammurapi t¨orv´enyk¨ onyve → A k¨ozigazgat´as ´es a kult´ ura nyelve az akk´ad → Iratt´ar Mariban kb. 20 000 agyagt´abl´aval
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
´ Obabilon (XIX-XVI. sz´ azad)
I I
Amorit´ak betelep¨ ul´ese Hammur´api (1792-1750) Sumer ´es Akk´ad kir´alya → Hammurapi t¨orv´enyk¨ onyve → A k¨ozigazgat´as ´es a kult´ ura nyelve az akk´ad → Iratt´ar Mariban kb. 20 000 agyagt´abl´aval
I
´ ır´asos t´abl´ak matematikai sz¨oveggel Ek´
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Az ´ ek´ır´ asos sz´ am´ır´ as r¨ ovid t¨ ort´ enete
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Az ´ ek´ır´ asos sz´ am´ır´ as r¨ ovid t¨ ort´ enete
I
Csak szigor´ uan matematikai ´es csillag´aszati sz¨ovegekben alkalmazt´ak k¨ovetkezetesen a hatvanas (szexagezim´alis) sz´amrendszert.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Az ´ ek´ır´ asos sz´ am´ır´ as r¨ ovid t¨ ort´ enete
I
Csak szigor´ uan matematikai ´es csillag´aszati sz¨ovegekben alkalmazt´ak k¨ovetkezetesen a hatvanas (szexagezim´alis) sz´amrendszert.
I
M´as esetekben (pl.: d´atum, s´ uly- ´es ter¨ uletm´ert´ekek) vegyes rendszert alkalmaztak.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Az ´ ek´ır´ asos sz´ am´ır´ as r¨ ovid t¨ ort´ enete
I
Csak szigor´ uan matematikai ´es csillag´aszati sz¨ovegekben alkalmazt´ak k¨ovetkezetesen a hatvanas (szexagezim´alis) sz´amrendszert.
I
M´as esetekben (pl.: d´atum, s´ uly- ´es ter¨ uletm´ert´ekek) vegyes rendszert alkalmaztak.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Az ´ ek´ır´ asos sz´ am´ır´ as r¨ ovid t¨ ort´ enete
I
Csak szigor´ uan matematikai ´es csillag´aszati sz¨ovegekben alkalmazt´ak k¨ovetkezetesen a hatvanas (szexagezim´alis) sz´amrendszert.
I
M´as esetekben (pl.: d´atum, s´ uly- ´es ter¨ uletm´ert´ekek) vegyes rendszert alkalmaztak.
Az 1 jele az ´ek”. ” Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Az ´ ek´ır´ asos sz´ am´ır´ as r¨ ovid t¨ ort´ enete
I
Csak szigor´ uan matematikai ´es csillag´aszati sz¨ovegekben alkalmazt´ak k¨ovetkezetesen a hatvanas (szexagezim´alis) sz´amrendszert.
I
M´as esetekben (pl.: d´atum, s´ uly- ´es ter¨ uletm´ert´ekek) vegyes rendszert alkalmaztak.
Az 1 jele az ´ek”. ” Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
A 10 jele a sarokp´ant”. ” ´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
VAT 12770 kb. i.e. 2600–2500, (Fara Vorderasiatisches Museum, Berlin) Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
VAT 12770 kb. i.e. 2600–2500, (Fara Vorderasiatisches Museum, Berlin) Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
VAT 12770 kb. i.e. 2600–2500, (Fara Vorderasiatisches Museum, Berlin) Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Az ´ek” nemcsak az 1-et, hanem a 60 b´armely eg´esz kitev˝os ” hatv´any´at is jel¨olhette.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Az ´ek” nemcsak az 1-et, hanem a 60 b´armely eg´esz kitev˝os ” hatv´any´at is jel¨olhette.
I
Az sarokp´ant” nemcsak a 10-et, hanem a 60 b´armely eg´esz ” kitev˝os hatv´any´anak 10-szeres´et is jel¨olhette.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Az ´ek” nemcsak az 1-et, hanem a 60 b´armely eg´esz kitev˝os ” hatv´any´at is jel¨olhette.
I
Az sarokp´ant” nemcsak a 10-et, hanem a 60 b´armely eg´esz ” kitev˝os hatv´any´anak 10-szeres´et is jel¨olhette.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Az ´ek” nemcsak az 1-et, hanem a 60 b´armely eg´esz kitev˝os ” hatv´any´at is jel¨olhette.
I
Az sarokp´ant” nemcsak a 10-et, hanem a 60 b´armely eg´esz ” kitev˝os hatv´any´anak 10-szeres´et is jel¨olhette.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Az ´ek” nemcsak az 1-et, hanem a 60 b´armely eg´esz kitev˝os ” hatv´any´at is jel¨olhette.
I
Az sarokp´ant” nemcsak a 10-et, hanem a 60 b´armely eg´esz ” kitev˝os hatv´any´anak 10-szeres´et is jel¨olhette.
VAT 7858 Vorderasiatisches Museum, Berlin ( A t´ız szorz´ot´abl´aja.”) ” Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Helyi´ert´ekes sz´am´ır´ast alkalmaztak, de 60-ig tizes sz´amrendszerben ´ırt´ak a sz´amokat.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Helyi´ert´ekes sz´am´ır´ast alkalmaztak, de 60-ig tizes sz´amrendszerben ´ırt´ak a sz´amokat.
I
A nulla hi´anya miatt egy-egy sz´amot t¨obbf´elek´eppen is lehet olvasni.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Helyi´ert´ekes sz´am´ır´ast alkalmaztak, de 60-ig tizes sz´amrendszerben ´ırt´ak a sz´amokat.
I
A nulla hi´anya miatt egy-egy sz´amot t¨obbf´elek´eppen is lehet olvasni.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Helyi´ert´ekes sz´am´ır´ast alkalmaztak, de 60-ig tizes sz´amrendszerben ´ırt´ak a sz´amokat.
I
A nulla hi´anya miatt egy-egy sz´amot t¨obbf´elek´eppen is lehet olvasni.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Helyi´ert´ekes sz´am´ır´ast alkalmaztak, de 60-ig tizes sz´amrendszerben ´ırt´ak a sz´amokat.
I
A nulla hi´anya miatt egy-egy sz´amot t¨obbf´elek´eppen is lehet olvasni.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Helyi´ert´ekes sz´am´ır´ast alkalmaztak, de 60-ig tizes sz´amrendszerben ´ırt´ak a sz´amokat.
I
A nulla hi´anya miatt egy-egy sz´amot t¨obbf´elek´eppen is lehet olvasni.
Mi lehet ez a sz´am?
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Helyi´ert´ekes sz´am´ır´ast alkalmaztak, de 60-ig tizes sz´amrendszerben ´ırt´ak a sz´amokat.
I
A nulla hi´anya miatt egy-egy sz´amot t¨obbf´elek´eppen is lehet olvasni.
Mi lehet ez a sz´am? I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
1 × 603 + 20 × 602 + 9 = 217209
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Helyi´ert´ekes sz´am´ır´ast alkalmaztak, de 60-ig tizes sz´amrendszerben ´ırt´ak a sz´amokat.
I
A nulla hi´anya miatt egy-egy sz´amot t¨obbf´elek´eppen is lehet olvasni.
Mi lehet ez a sz´am?
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
I
1 × 603 + 20 × 602 + 9 = 217209
I
1×602 +20×601 +9 = 4809
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
I
Helyi´ert´ekes sz´am´ır´ast alkalmaztak, de 60-ig tizes sz´amrendszerben ´ırt´ak a sz´amokat.
I
A nulla hi´anya miatt egy-egy sz´amot t¨obbf´elek´eppen is lehet olvasni.
Mi lehet ez a sz´am?
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
I
1 × 603 + 20 × 602 + 9 = 217209
I
1×602 +20×601 +9 = 4809
I
1 × 601 + 20 + 9 × 60−1 = 9 3 80 + 60 = 80 20
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Otto Neugebauer (1899-1990) ¨otlete: A sz´amokat 60-as sz´amrendszerben, de decim´alis jegyekkel ´ırjuk: 1 × 602 + 20 × 601 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 3 601 + 20 + 9 × 60−1 = 80 = 1, 20; 9. 20
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Otto Neugebauer (1899-1990) ¨otlete: A sz´amokat 60-as sz´amrendszerben, de decim´alis jegyekkel ´ırjuk: 1 × 602 + 20 × 601 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 3 601 + 20 + 9 × 60−1 = 80 = 1, 20; 9. 20
K´es˝ oi sz¨ovegekben, csillag´aszati sz´am´ıt´asokban speci´alis jelet haszn´altak a null´ara:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Otto Neugebauer (1899-1990) ¨otlete: A sz´amokat 60-as sz´amrendszerben, de decim´alis jegyekkel ´ırjuk: 1 × 602 + 20 × 601 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 3 601 + 20 + 9 × 60−1 = 80 = 1, 20; 9. 20
K´es˝ oi sz¨ovegekben, csillag´aszati sz´am´ıt´asokban speci´alis jelet haszn´altak a null´ara:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Otto Neugebauer (1899-1990) ¨otlete: A sz´amokat 60-as sz´amrendszerben, de decim´alis jegyekkel ´ırjuk: 1 × 602 + 20 × 601 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 3 601 + 20 + 9 × 60−1 = 80 = 1, 20; 9. 20
K´es˝ oi sz¨ovegekben, csillag´aszati sz´am´ıt´asokban speci´alis jelet haszn´altak a null´ara:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Otto Neugebauer (1899-1990) ¨otlete: A sz´amokat 60-as sz´amrendszerben, de decim´alis jegyekkel ´ırjuk: 1 × 602 + 20 × 601 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 3 601 + 20 + 9 × 60−1 = 80 = 1, 20; 9. 20
K´es˝ oi sz¨ovegekben, csillag´aszati sz´am´ıt´asokban speci´alis jelet haszn´altak a null´ara:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Otto Neugebauer (1899-1990) ¨otlete: A sz´amokat 60-as sz´amrendszerben, de decim´alis jegyekkel ´ırjuk: 1 × 602 + 20 × 601 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 3 601 + 20 + 9 × 60−1 = 80 = 1, 20; 9. 20
K´es˝ oi sz¨ovegekben, csillag´aszati sz´am´ıt´asokban speci´alis jelet haszn´altak a null´ara:
1, 0, 4 = 3604
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
YBC 4652: az ´obabiloni id˝oszakb´ol (i.e. 1800–1600) sz´armaz´o t´abla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a t´abl´ar´ol: Tal´altam ” egy k¨ ovet, de nem m´ertem meg. Miut´an kim´ertem a s´ uly´anak a hatszoros´at, ´es hozz´aadtam 2 gint, ´es hozz´aadtam egy heted egy harmad´at huszonn´eggyel szorozva, megm´ertem. Az eredm´eny egy ma-na volt. Mi volt a k˝o eredeti s´ ulya?” (1 ma-na s´ ulya 60 gin.)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
YBC 4652: az ´obabiloni id˝oszakb´ol (i.e. 1800–1600) sz´armaz´o t´abla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a t´abl´ar´ol: Tal´altam ” egy k¨ ovet, de nem m´ertem meg. Miut´an kim´ertem a s´ uly´anak a hatszoros´at, ´es hozz´aadtam 2 gint, ´es hozz´aadtam egy heted egy harmad´at huszonn´eggyel szorozva, megm´ertem. Az eredm´eny egy ma-na volt. Mi volt a k˝o eredeti s´ ulya?” (1 ma-na s´ ulya 60 gin.)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
YBC 4652: az ´obabiloni id˝oszakb´ol (i.e. 1800–1600) sz´armaz´o t´abla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a t´abl´ar´ol: Tal´altam ” egy k¨ ovet, de nem m´ertem meg. Miut´an kim´ertem a s´ uly´anak a hatszoros´at, ´es hozz´aadtam 2 gint, ´es hozz´aadtam egy heted egy harmad´at huszonn´eggyel szorozva, megm´ertem. Az eredm´eny egy ma-na volt. Mi volt a k˝o eredeti s´ ulya?” (1 ma-na s´ ulya 60 gin.)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
YBC 4652: az ´obabiloni id˝oszakb´ol (i.e. 1800–1600) sz´armaz´o t´abla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a t´abl´ar´ol: Tal´altam ” egy k¨ ovet, de nem m´ertem meg. Miut´an kim´ertem a s´ uly´anak a hatszoros´at, ´es hozz´aadtam 2 gint, ´es hozz´aadtam egy heted egy harmad´at huszonn´eggyel szorozva, megm´ertem. Az eredm´eny egy ma-na volt. Mi volt a k˝o eredeti s´ ulya?” (1 ma-na s´ ulya 60 gin.)
(6x + 2) +
1 1 × × 24(6x + 2) = 60 3 7
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
BM 13901: az ´obabiloni id˝oszakb´ol sz´armaz´ o t´abla. Egy feladat a t´abl´ar´ol: H´etszer ¨ osszeadtam a n´egyzet oldal´at, ” ´es tizenegyszer a ter¨ ulet´et, [´ıgy lett] 6; 15.”
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
BM 13901: az ´obabiloni id˝oszakb´ol sz´armaz´ o t´abla. Egy feladat a t´abl´ar´ol: H´etszer ¨ osszeadtam a n´egyzet oldal´at, ” ´es tizenegyszer a ter¨ ulet´et, [´ıgy lett] 6; 15.”
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
BM 13901: az ´obabiloni id˝oszakb´ol sz´armaz´ o t´abla. Egy feladat a t´abl´ar´ol: H´etszer ¨ osszeadtam a n´egyzet oldal´at, ” ´es tizenegyszer a ter¨ ulet´et, [´ıgy lett] 6; 15.”
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
BM 13901: az ´obabiloni id˝oszakb´ol sz´armaz´ o t´abla. Egy feladat a t´abl´ar´ol: H´etszer ¨ osszeadtam a n´egyzet oldal´at, ” ´es tizenegyszer a ter¨ ulet´et, [´ıgy lett] 6; 15.”
A megoldand´o egyenlet modern fel´ır´asban: ax 2 + bx = c, ahol a = 11, b = 7 ´es c = 6; 15 = 6 14 . Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A feladat megold´asa az al´abbi:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A feladat megold´asa az al´abbi: Le´ırjuk, hogy 7 ´es 11. A 6; 15-¨ot megszorozzuk 11-gyel, [´ıgy lesz] 1, 8; 45.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A feladat megold´asa az al´abbi: Le´ırjuk, hogy 7 ´es 11. A 6; 15-¨ot megszorozzuk 11-gyel, [´ıgy lesz] 1, 8; 45. Vessz¨ uk a 7 fel´et, [ez lesz] 3; 30 ´es 3; 30.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A feladat megold´asa az al´abbi: Le´ırjuk, hogy 7 ´es 11. A 6; 15-¨ot megszorozzuk 11-gyel, [´ıgy lesz] 1, 8; 45. Vessz¨ uk a 7 fel´et, [ez lesz] 3; 30 ´es 3; 30. Ezt ¨osszeszorozzuk [´ıgy lesz] 12; 15.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A feladat megold´asa az al´abbi: Le´ırjuk, hogy 7 ´es 11. A 6; 15-¨ot megszorozzuk 11-gyel, [´ıgy lesz] 1, 8; 45. Vessz¨ uk a 7 fel´et, [ez lesz] 3; 30 ´es 3; 30. Ezt ¨osszeszorozzuk [´ıgy lesz] 12; 15. [Ezt] hozz´aadjuk az 1, 8; 45-h¨oz [´ıgy lesz] 1, 21. Ez a 9 n´egyzete.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A feladat megold´asa az al´abbi: Le´ırjuk, hogy 7 ´es 11. A 6; 15-¨ot megszorozzuk 11-gyel, [´ıgy lesz] 1, 8; 45. Vessz¨ uk a 7 fel´et, [ez lesz] 3; 30 ´es 3; 30. Ezt ¨osszeszorozzuk [´ıgy lesz] 12; 15. [Ezt] hozz´aadjuk az 1, 8; 45-h¨oz [´ıgy lesz] 1, 21. Ez a 9 n´egyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit ¨osszezoroztunk, a 9-b˝ol. Az eredm´eny 5; 30.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A feladat megold´asa az al´abbi: Le´ırjuk, hogy 7 ´es 11. A 6; 15-¨ot megszorozzuk 11-gyel, [´ıgy lesz] 1, 8; 45. Vessz¨ uk a 7 fel´et, [ez lesz] 3; 30 ´es 3; 30. Ezt ¨osszeszorozzuk [´ıgy lesz] 12; 15. [Ezt] hozz´aadjuk az 1, 8; 45-h¨oz [´ıgy lesz] 1, 21. Ez a 9 n´egyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit ¨osszezoroztunk, a 9-b˝ol. Az eredm´eny 5; 30. A 11 reciprok´at nem tal´aljuk.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A feladat megold´asa az al´abbi: Le´ırjuk, hogy 7 ´es 11. A 6; 15-¨ot megszorozzuk 11-gyel, [´ıgy lesz] 1, 8; 45. Vessz¨ uk a 7 fel´et, [ez lesz] 3; 30 ´es 3; 30. Ezt ¨osszeszorozzuk [´ıgy lesz] 12; 15. [Ezt] hozz´aadjuk az 1, 8; 45-h¨oz [´ıgy lesz] 1, 21. Ez a 9 n´egyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit ¨osszezoroztunk, a 9-b˝ol. Az eredm´eny 5; 30. A 11 reciprok´at nem tal´aljuk. Mivel kell megszoroznunk a 11-et, hogy 5; 30-at kapjunk?
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
A feladat megold´asa az al´abbi: Le´ırjuk, hogy 7 ´es 11. A 6; 15-¨ot megszorozzuk 11-gyel, [´ıgy lesz] 1, 8; 45. Vessz¨ uk a 7 fel´et, [ez lesz] 3; 30 ´es 3; 30. Ezt ¨osszeszorozzuk [´ıgy lesz] 12; 15. [Ezt] hozz´aadjuk az 1, 8; 45-h¨oz [´ıgy lesz] 1, 21. Ez a 9 n´egyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit ¨osszezoroztunk, a 9-b˝ol. Az eredm´eny 5; 30. A 11 reciprok´at nem tal´aljuk. Mivel kell megszoroznunk a 11-et, hogy 5; 30-at kapjunk? [A v´alasz] 0; 30, a n´egyzet oldala 0; 30.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
(1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredm´enye ac.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
(1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredm´enye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
(1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredm´enye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emelj¨ uk n´egyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
(1) (2) (3) (4)
Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredm´enye ac. Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. Emelj¨ uk n´egyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. Adjuk ezt hozz´a ac-hez, ennek eredm´enye ac + b 2 /4.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
(1) (2) (3) (4) (5)
Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredm´enye ac. Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. Emelj¨ uk n´egyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. 2 Adjuk ezt hozz´a ac-hez, ennek peredm´enye ac + b /4. Ennek vegy¨ uk a gy¨ok´et, ami ac + b 2 /4.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredm´enye ac. Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. Emelj¨ uk n´egyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. 2 Adjuk ezt hozz´a ac-hez, ennek peredm´enye ac + b /4. 2 /4. Ennek vegy¨ uk a gy¨ok´et, ami ac + bp Vonjuk ki ebb˝ol b/2-t, ekkor kapjuk ( ac + b 2 /4 − b/2)-t.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredm´enye ac. Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. Emelj¨ uk n´egyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. 2 Adjuk ezt hozz´a ac-hez, ennek peredm´enye ac + b /4. 2 /4. Ennek vegy¨ uk a gy¨ok´et, ami ac + bp 2 Vonjuk ki ebb˝ol b/2-t, ekkor kapjuk p ( ac + b /4 − b/2)-t. ac + b 2 /4 − b/2 (7) Osszuk el a-val, ´es a v´alasz x = . a
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
YBC 7289 Yale Egyetem, Babiloni Gy˝ ujtem´eny Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Hogyan sz´amolt´ak ki (pozit´ıv) sz´amok n´egyzetgy¨ok´et? A Yale Egyetem babiloni √ gy˝ ujtem´eny´enek YBC 7289-es agyagt´abl´aj´an szerepel a 2 al´abbi k¨ozel´ıt˝o ´ert´eke: 1; 24, 51, 10 Mivel
√
(=
30547 = 1.41421296). 21600
2 = 1.414213562373095049 . . . , ez´ert √ | 2 − 1; 24, 51, 10| < 0, 599 · 10−6 .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Hogyan ´ert´ek el ezt a megh¨okkent˝o pontoss´agot? A
√
a val´os sz´am ´ert´ek´enek kisz´am´ıt´asa iter´aci´oval:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Hogyan ´ert´ek el ezt a megh¨okkent˝o pontoss´agot? A
√
a val´os sz´am ´ert´ek´enek kisz´am´ıt´asa iter´aci´oval: √ 1. V´alasszunk egy a1 < a k¨ozel´ıt´est ´es legyen b1 = a/a1 . (a1 = 1, b1 = 2)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Hogyan ´ert´ek el ezt a megh¨okkent˝o pontoss´agot? A
√
a val´os sz´am ´ert´ek´enek kisz´am´ıt´asa iter´aci´oval: √ 1. V´alasszunk egy a1 < a k¨ozel´ıt´est ´es legyen b1 = a/a1 . (a1 = 1, b1 = 2) 2. Legyen a2 = (a1 + b1 )/2 ´es b2 = a/a2 . (a2 = 3/2, b2 = 4/3)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Hogyan ´ert´ek el ezt a megh¨okkent˝o pontoss´agot? A
√
a val´os sz´am ´ert´ek´enek kisz´am´ıt´asa iter´aci´oval: √ 1. V´alasszunk egy a1 < a k¨ozel´ıt´est ´es legyen b1 = a/a1 . (a1 = 1, b1 = 2) 2. Legyen a2 = (a1 + b1 )/2 ´es b2 = a/a2 . (a2 = 3/2, b2 = 4/3) .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Hogyan ´ert´ek el ezt a megh¨okkent˝o pontoss´agot? A
√
a val´os sz´am ´ert´ek´enek kisz´am´ıt´asa iter´aci´oval: √ 1. V´alasszunk egy a1 < a k¨ozel´ıt´est ´es legyen b1 = a/a1 . (a1 = 1, b1 = 2) 2. Legyen a2 = (a1 + b1 )/2 ´es b2 = a/a2 . (a2 = 3/2, b2 = 4/3) .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Hogyan ´ert´ek el ezt a megh¨okkent˝o pontoss´agot? A
√
a val´os sz´am ´ert´ek´enek kisz´am´ıt´asa iter´aci´oval: √ 1. V´alasszunk egy a1 < a k¨ozel´ıt´est ´es legyen b1 = a/a1 . (a1 = 1, b1 = 2) 2. Legyen a2 = (a1 + b1 )/2 ´es b2 = a/a2 . (a2 = 3/2, b2 = 4/3) .. .
Ekkor teljes¨ ulnek a k¨ovetkez˝ok tetsz˝oleges n term´eszetes sz´amra: √ I a az an ´es bn sz´amok k¨oz´e esik,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Hogyan ´ert´ek el ezt a megh¨okkent˝o pontoss´agot? A
√
a val´os sz´am ´ert´ek´enek kisz´am´ıt´asa iter´aci´oval: √ 1. V´alasszunk egy a1 < a k¨ozel´ıt´est ´es legyen b1 = a/a1 . (a1 = 1, b1 = 2) 2. Legyen a2 = (a1 + b1 )/2 ´es b2 = a/a2 . (a2 = 3/2, b2 = 4/3) .. .
Ekkor teljes¨ ulnek a k¨ovetkez˝ok tetsz˝oleges n term´eszetes sz´amra: √ I a az an ´es bn sz´amok k¨oz´e esik, I
|bn − an | < |bn+1 − an+1 |
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
√ Az elj´ar´ast elegend˝oen sokszor v´egrehajtva a ´ert´eke tetsz˝oleges pntoss´aggal kisz´am´ıthat´o. Az algoritmust k´es˝obbi korok sz´amos tud´os´anak tulajdon´ıtott´ak:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
√ Az elj´ar´ast elegend˝oen sokszor v´egrehajtva a ´ert´eke tetsz˝oleges pntoss´aggal kisz´am´ıthat´o. Az algoritmust k´es˝obbi korok sz´amos tud´os´anak tulajdon´ıtott´ak: I Arkhu ¨tasz (kb. 426-365, az utols´o nagy pitagoreus)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
√ Az elj´ar´ast elegend˝oen sokszor v´egrehajtva a ´ert´eke tetsz˝oleges pntoss´aggal kisz´am´ıthat´o. Az algoritmust k´es˝obbi korok sz´amos tud´os´anak tulajdon´ıtott´ak: I Arkhu ¨tasz (kb. 426-365, az utols´o nagy pitagoreus) I
(alexandriai) Heron (kb. 100)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
√ Az elj´ar´ast elegend˝oen sokszor v´egrehajtva a ´ert´eke tetsz˝oleges pntoss´aggal kisz´am´ıthat´o. Az algoritmust k´es˝obbi korok sz´amos tud´os´anak tulajdon´ıtott´ak: I Arkhu ¨tasz (kb. 426-365, az utols´o nagy pitagoreus) I
(alexandriai) Heron (kb. 100)
I
Isaac Newton (1643-1727)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as. Algebra ´es aritmetika I
Egyismeretlenes egyenletek:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as. Algebra ´es aritmetika I
Egyismeretlenes egyenletek: ax = b,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as. Algebra ´es aritmetika I
Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as. Algebra ´es aritmetika I
Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as. Algebra ´es aritmetika I
Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as. Algebra ´es aritmetika I
Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as. Algebra ´es aritmetika I
Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a.
I
K´etismeretlenes egyenletrendszerek:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as. Algebra ´es aritmetika I
Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a.
I
K´etismeretlenes egyenletrendszerek: x ± y = a,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
xy = b,
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as. Algebra ´es aritmetika I
Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a.
I
K´etismeretlenes egyenletrendszerek: x ± y = a, x ± y = a,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
xy = b, 2
x + y 2 = b.
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as.
Ismert´ek az al´abbi k´epleteket
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as.
Ismert´ek az al´abbi k´epleteket (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b 2 ,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as.
Ismert´ek az al´abbi k´epleteket (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b 2 , (a − b)(a + b) = a2 − b 2 ,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as.
Ismert´ek az al´abbi k´epleteket (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b 2 , (a − b)(a + b) = a2 − b 2 , 1 + 2 + · · · + 2n = 2n + 2n−1 ,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as.
Ismert´ek az al´abbi k´epleteket (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b 2 , (a − b)(a + b) = a2 − b 2 , 1 + 2 + · · · + 2n = 2n + 2n−1 , 1 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1), 2
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
¨ Osszefoglal´ as.
Ismert´ek az al´abbi k´epleteket (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b 2 , (a − b)(a + b) = a2 − b 2 , 1 + 2 + · · · + 2n = 2n + 2n−1 , 1 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1), 2 1 2 2 2 2 1 + 2 + ··· + n = + n (1 + 2 + · · · + n). 3 3
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Az x 2 + y 2 = z 2 (diofantoszi) egyenletnek eleget tev˝o (pitagoraszi) sz´amh´armasokat az x = p2 − q2, y = 2pq, z = p2 + q2 k´epletek seg´ıts´eg´evel tal´alt´ak meg.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Plimpton 322 Columbia Egyetem, New York (Plimpton-gy˝ ujtem´eny)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Geometria
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Geometria I
ar´anyoss´ag p´arhuzamos szel´esn´el,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Geometria I
ar´anyoss´ag p´arhuzamos szel´esn´el,
I
Pitagorasz-t´etel,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Geometria I
ar´anyoss´ag p´arhuzamos szel´esn´el,
I
Pitagorasz-t´etel,
I
h´aromsz¨og ´es trap´ez ter¨ ulete,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Geometria I
ar´anyoss´ag p´arhuzamos szel´esn´el,
I
Pitagorasz-t´etel,
I
h´aromsz¨og ´es trap´ez ter¨ ulete,
I
k¨ or ker¨ ulete: 6r , k¨or ter¨ ulete: 3r 2 ,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Geometria I
ar´anyoss´ag p´arhuzamos szel´esn´el,
I
Pitagorasz-t´etel,
I
h´aromsz¨og ´es trap´ez ter¨ ulete,
I
k¨ or ker¨ ulete: 6r , k¨or ter¨ ulete: 3r 2 ,
I
has´ab ´es henger t´erfogata,
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Geometria I
ar´anyoss´ag p´arhuzamos szel´esn´el,
I
Pitagorasz-t´etel,
I
h´aromsz¨og ´es trap´ez ter¨ ulete,
I
k¨ or ker¨ ulete: 6r , k¨or ter¨ ulete: 3r 2 ,
I
has´ab ´es henger t´erfogata,
I
csonkak´ up t´erfogata:
1 2 2 (3R
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
+ 3r 2 )h,
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Geometria I
ar´anyoss´ag p´arhuzamos szel´esn´el,
I
Pitagorasz-t´etel,
I
h´aromsz¨og ´es trap´ez ter¨ ulete,
I
k¨ or ker¨ ulete: 6r , k¨or ter¨ ulete: 3r 2 ,
I
has´ab ´es henger t´erfogata,
I
csonkak´ up t´erfogata:
I
n´egyzetes alap- ´es fed˝olap´ u csonkag´ ula t´erfogata:
1 2 2 (3R
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
+ 3r 2 )h, 1 2 2 2 (a + b )h.
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
´s a G¨ 1. Babilon, Egyiptom e or¨ og¨ ok
