Fejezetek a Matematika ´ rto ¨ rte ´nete ´bo ˝l Kultu ´ n Miklo ´s Dorma ´ nyegyetem Szegedi Tudoma ´zet TTIK Bolyai Inte
´ ber 25. 2013. okto
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
´ kori Go ¨ ro ¨ gorsza ´g Az o ´ ja matematika ´sz 2. re
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
´ Eliszi Hippi´ asz (kb. 420 k¨ or¨ ul): az egyik sz¨ ogharmadol´ o
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
´ Eliszi Hippi´ asz (kb. 420 k¨ or¨ ul): az egyik sz¨ ogharmadol´ o
I
az AD szakasz egyenletesen forog az A pont k¨ or¨ ul
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
´ Eliszi Hippi´ asz (kb. 420 k¨ or¨ ul): az egyik sz¨ ogharmadol´ o
I I
az AD szakasz egyenletesen forog az A pont k¨ or¨ ul a DC szakaszt egyenletesen mozog a DA szakasz ment´en
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
´ Eliszi Hippi´ asz (kb. 420 k¨ or¨ ul): az egyik sz¨ ogharmadol´ o
az AD szakasz egyenletesen forog az A pont k¨ or¨ ul a DC szakaszt egyenletesen mozog a DA szakasz ment´en I a szakaszok metsz´ espontjainak m´ertani helye a kvadratrix vagy Hippi´asz-f´ele g¨ orbe I I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Knidoszi Eudoxosz: az irracion´alisok megszel´ıd´ıt˝ oje
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Knidoszi Eudoxosz: az irracion´alisok megszel´ıd´ıt˝ oje
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Knidoszi Eudoxosz: az irracion´alisok megszel´ıd´ıt˝ oje
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Knidoszi Eudoxosz: az irracion´alisok megszel´ıd´ıt˝ oje
I
kb. 400-ban sz¨ uletett ´es 53 ´eves kor´aban halt meg
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Knidoszi Eudoxosz: az irracion´alisok megszel´ıd´ıt˝ oje
I
kb. 400-ban sz¨ uletett ´es 53 ´eves kor´aban halt meg
I
Taraszi Arkh¨ utasz tan´ıtv´anya volt
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Knidoszi Eudoxosz: az irracion´alisok megszel´ıd´ıt˝ oje
I
kb. 400-ban sz¨ uletett ´es 53 ´eves kor´aban halt meg
I
Taraszi Arkh¨ utasz tan´ıtv´anya volt
I
matematikus, orvos, csillag´asz, jeles sz´onok, filoz´ ofus ´es geogr´afus (v¨o.: Endoxosz)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Knidoszi Eudoxosz: az irracion´alisok megszel´ıd´ıt˝ oje
I
kb. 400-ban sz¨ uletett ´es 53 ´eves kor´aban halt meg
I
Taraszi Arkh¨ utasz tan´ıtv´anya volt
I
matematikus, orvos, csillag´asz, jeles sz´onok, filoz´ ofus ´es geogr´afus (v¨o.: Endoxosz)
I
‘g¨ orbe vonalak’ seg´ıts´eg´evel megoldotta a kockakett˝ oz´es probl´em´aj´at
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Knidoszi Eudoxosz: az irracion´alisok megszel´ıd´ıt˝ oje
I
kb. 400-ban sz¨ uletett ´es 53 ´eves kor´aban halt meg
I
Taraszi Arkh¨ utasz tan´ıtv´anya volt
I
matematikus, orvos, csillag´asz, jeles sz´onok, filoz´ ofus ´es geogr´afus (v¨o.: Endoxosz)
I
‘g¨ orbe vonalak’ seg´ıts´eg´evel megoldotta a kockakett˝ oz´es probl´em´aj´at
I
‘a kimer´ıt´es m´ odszere’ (Euklid´esz XII.), ‘ar´anyelm´elet’ (Euklid´esz V.)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: a geometria legismertebb g¨ or¨ og mestere
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: a geometria legismertebb g¨ or¨ og mestere
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: a geometria legismertebb g¨ or¨ og mestere
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: a geometria legismertebb g¨ or¨ og mestere
I
325–265
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: a geometria legismertebb g¨ or¨ og mestere
I
325–265
I
a plat´ oni iskola h´ıve, Alexandri´aban tan´ıtott (‘a legnagyobb iskolamester’)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: a geometria legismertebb g¨ or¨ og mestere
I
325–265
I
a plat´ oni iskola h´ıve, Alexandri´aban tan´ıtott (‘a legnagyobb iskolamester’)
I
a klasszikus kor matematik´aj´anak enciklopedikus ¨ osszefoglal´asa az ELEMEK c´ım˝ u m˝ uv´eben
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: a geometria legismertebb g¨ or¨ og mestere
I
325–265
I
a plat´ oni iskola h´ıve, Alexandri´aban tan´ıtott (‘a legnagyobb iskolamester’)
I
a klasszikus kor matematik´aj´anak enciklopedikus ¨ osszefoglal´asa az ELEMEK c´ım˝ u m˝ uv´eben
I
‘A geometri´ahoz nem vezet kir´alyi u ´t.’
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: a geometria legismertebb g¨ or¨ og mestere
I
325–265
I
a plat´ oni iskola h´ıve, Alexandri´aban tan´ıtott (‘a legnagyobb iskolamester’)
I
a klasszikus kor matematik´aj´anak enciklopedikus ¨ osszefoglal´asa az ELEMEK c´ım˝ u m˝ uv´eben
I
‘A geometri´ahoz nem vezet kir´alyi u ´t.’
I
‘K´ets´egtelen, hogy Euklid´esz nem nagy matematikus.’ (B.L. van der Waerden)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek I
a hasonl´ o jelleg˝ u munk´ak sor´aban az utols´ o (v¨ o.: Hippokrat´esz, Le´ on, Theudiosz)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek I
a hasonl´ o jelleg˝ u munk´ak sor´aban az utols´ o (v¨ o.: Hippokrat´esz, Le´ on, Theudiosz)
I
t¨ obb szerz˝ o m˝ uveib˝ ol ´all´ıtotta ¨ ossze: Theaitetosz (X. ´es XIII.), Eudoxosz (V. ´es XII.)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek I
a hasonl´ o jelleg˝ u munk´ak sor´aban az utols´ o (v¨ o.: Hippokrat´esz, Le´ on, Theudiosz)
I
t¨ obb szerz˝ o m˝ uveib˝ ol ´all´ıtotta ¨ ossze: Theaitetosz (X. ´es XIII.), Eudoxosz (V. ´es XII.)
I
eredeti k´ezirat nem maradt fenn
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek I
a hasonl´ o jelleg˝ u munk´ak sor´aban az utols´ o (v¨ o.: Hippokrat´esz, Le´ on, Theudiosz)
I
t¨ obb szerz˝ o m˝ uveib˝ ol ´all´ıtotta ¨ ossze: Theaitetosz (X. ´es XIII.), Eudoxosz (V. ´es XII.)
I
eredeti k´ezirat nem maradt fenn
I
jelent˝ osek a g¨ or¨ og nyelv˝ u komment´arok: alexandriai Heron, Papposz (III. sz.), Proklosz (IV. sz.); a t˝ ol¨ uk sz´armaz´o t¨ored´ekek ´es a k´es˝ obbi arab ford´ıt´asok hiteles forr´asok
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek I
a hasonl´ o jelleg˝ u munk´ak sor´aban az utols´ o (v¨ o.: Hippokrat´esz, Le´ on, Theudiosz)
I
t¨ obb szerz˝ o m˝ uveib˝ ol ´all´ıtotta ¨ ossze: Theaitetosz (X. ´es XIII.), Eudoxosz (V. ´es XII.)
I
eredeti k´ezirat nem maradt fenn
I
jelent˝ osek a g¨ or¨ og nyelv˝ u komment´arok: alexandriai Heron, Papposz (III. sz.), Proklosz (IV. sz.); a t˝ ol¨ uk sz´armaz´o t¨ored´ekek ´es a k´es˝ obbi arab ford´ıt´asok hiteles forr´asok
I
a legr´egibb teljes k´ezirat a X. sz´azadb´ ol val´ o ´es a Vatik´ani K¨ onyvt´arban ˝ orzik
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek I
a hasonl´ o jelleg˝ u munk´ak sor´aban az utols´ o (v¨ o.: Hippokrat´esz, Le´ on, Theudiosz)
I
t¨ obb szerz˝ o m˝ uveib˝ ol ´all´ıtotta ¨ ossze: Theaitetosz (X. ´es XIII.), Eudoxosz (V. ´es XII.)
I
eredeti k´ezirat nem maradt fenn
I
jelent˝ osek a g¨ or¨ og nyelv˝ u komment´arok: alexandriai Heron, Papposz (III. sz.), Proklosz (IV. sz.); a t˝ ol¨ uk sz´armaz´o t¨ored´ekek ´es a k´es˝ obbi arab ford´ıt´asok hiteles forr´asok
I
a legr´egibb teljes k´ezirat a X. sz´azadb´ ol val´ o ´es a Vatik´ani K¨ onyvt´arban ˝ orzik
I
az Elemek tizenh´arom k¨ onyvb˝ ol ´all
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek I
a hasonl´ o jelleg˝ u munk´ak sor´aban az utols´ o (v¨ o.: Hippokrat´esz, Le´ on, Theudiosz)
I
t¨ obb szerz˝ o m˝ uveib˝ ol ´all´ıtotta ¨ ossze: Theaitetosz (X. ´es XIII.), Eudoxosz (V. ´es XII.)
I
eredeti k´ezirat nem maradt fenn
I
jelent˝ osek a g¨ or¨ og nyelv˝ u komment´arok: alexandriai Heron, Papposz (III. sz.), Proklosz (IV. sz.); a t˝ ol¨ uk sz´armaz´o t¨ored´ekek ´es a k´es˝ obbi arab ford´ıt´asok hiteles forr´asok
I
a legr´egibb teljes k´ezirat a X. sz´azadb´ ol val´ o ´es a Vatik´ani K¨ onyvt´arban ˝ orzik
I
az Elemek tizenh´arom k¨ onyvb˝ ol ´all
I
el˝ odeit˝ ol elt´er˝ oen nem el´egszik meg azzal, hogy felt´etelezi t´eteleinek igaz volt´at, hanem bizony´ıtja is ˝ oket
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek
Az Oxyrhynchus papyrus (P.Oxy. I 29), benne Euklidesz Elemeinek r´eszleteivel
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek
Az Oxyrhynchus papyrus (P.Oxy. I 29), benne Euklidesz Elemeinek r´eszleteivel Az Elemek arab nyelv˝ u ford´ıt´asa
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek
R´eszlet Bath-i Adelard (1080–1152) latin nyelv˝ u ford´ıt´as´anak el˝ olapj´ab´ ol
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek
R´eszlet Bath-i Adelard (1080–1152) latin nyelv˝ u ford´ıt´as´anak el˝ olapj´ab´ ol
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
Az Elemek els˝o angol nyelv˝ u ford´ıt´as´anak el˝olapja (1570) 3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
Meg´allap´ıt´asok/defin´ıci´ ok:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
Meg´allap´ıt´asok/defin´ıci´ ok: I D : Pont az, aminek nincs r´ esze. 1
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
Meg´allap´ıt´asok/defin´ıci´ ok: I D : Pont az, aminek nincs r´ esze. 1 I D2 : A vonal sz´ eless´eg n´elk¨ uli hossz´ us´ag.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
Meg´allap´ıt´asok/defin´ıci´ ok: I D : Pont az, aminek nincs r´ esze. 1 I D2 : A vonal sz´ eless´eg n´elk¨ uli hossz´ us´ag. .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
Meg´allap´ıt´asok/defin´ıci´ ok: I D : Pont az, aminek nincs r´ esze. 1 I D2 : A vonal sz´ eless´eg n´elk¨ uli hossz´ us´ag. .. . I
D11 : Tompasz¨ og az, amelyik nagyobb a der´eksz¨ogn´el.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
Meg´allap´ıt´asok/defin´ıci´ ok: I D : Pont az, aminek nincs r´ esze. 1 I D2 : A vonal sz´ eless´eg n´elk¨ uli hossz´ us´ag. .. . I
D11 : Tompasz¨ og az, amelyik nagyobb a der´eksz¨ogn´el. .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
Meg´allap´ıt´asok/defin´ıci´ ok: I D : Pont az, aminek nincs r´ esze. 1 I D2 : A vonal sz´ eless´eg n´elk¨ uli hossz´ us´ag. .. . I
D11 : Tompasz¨ og az, amelyik nagyobb a der´eksz¨ogn´el. .. .
I
D23 : P´arhuzamosak azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a s´ıkban vannak ´es mindk´etoldalt v´egtelen¨ ul meghosszabb´ıtva egyiken sem tal´alkoznak.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv I
Posztul´atumok:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv I
Posztul´atumok: I P : K¨ oveteltess´ek meg, hogy minden pontb´ ol minden ponthoz 1 legyen egyenes h´ uzhat´ o.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv I
Posztul´atumok: I P : K¨ oveteltess´ek meg, hogy minden pontb´ ol minden ponthoz 1 legyen egyenes h´ uzhat´ o. .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv I
Posztul´atumok: I P : K¨ oveteltess´ek meg, hogy minden pontb´ ol minden ponthoz 1 legyen egyenes h´ uzhat´ o. .. . ´ hogy ha k´et egyenest u I P5 : Es ´gy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkez˝ o bels˝ o sz¨ ogek (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebbek, akkor a k´et egyenes v´egtelen¨ ul meghosszabb´ıtva tal´alkozz´ek azon az oldalon, amerre az (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebb sz¨ ogek vannak.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv I
Posztul´atumok: I P : K¨ oveteltess´ek meg, hogy minden pontb´ ol minden ponthoz 1 legyen egyenes h´ uzhat´ o. .. . ´ hogy ha k´et egyenest u I P5 : Es ´gy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkez˝ o bels˝ o sz¨ ogek (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebbek, akkor a k´et egyenes v´egtelen¨ ul meghosszabb´ıtva tal´alkozz´ek azon az oldalon, amerre az (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebb sz¨ ogek vannak.
I
Axi´ om´ak:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv I
Posztul´atumok: I P : K¨ oveteltess´ek meg, hogy minden pontb´ ol minden ponthoz 1 legyen egyenes h´ uzhat´ o. .. . ´ hogy ha k´et egyenest u I P5 : Es ´gy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkez˝ o bels˝ o sz¨ ogek (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebbek, akkor a k´et egyenes v´egtelen¨ ul meghosszabb´ıtva tal´alkozz´ek azon az oldalon, amerre az (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebb sz¨ ogek vannak.
I
Axi´ om´ak: I A : Amik ugyanazzal egyenl˝ ok, egym´assal is egyenl˝ok. 1
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv I
Posztul´atumok: I P : K¨ oveteltess´ek meg, hogy minden pontb´ ol minden ponthoz 1 legyen egyenes h´ uzhat´ o. .. . ´ hogy ha k´et egyenest u I P5 : Es ´gy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkez˝ o bels˝ o sz¨ ogek (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebbek, akkor a k´et egyenes v´egtelen¨ ul meghosszabb´ıtva tal´alkozz´ek azon az oldalon, amerre az (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebb sz¨ ogek vannak.
I
Axi´ om´ak: I A : Amik ugyanazzal egyenl˝ ok, egym´assal is egyenl˝ok. 1 .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv I
Posztul´atumok: I P : K¨ oveteltess´ek meg, hogy minden pontb´ ol minden ponthoz 1 legyen egyenes h´ uzhat´ o. .. . ´ hogy ha k´et egyenest u I P5 : Es ´gy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkez˝ o bels˝ o sz¨ ogek (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebbek, akkor a k´et egyenes v´egtelen¨ ul meghosszabb´ıtva tal´alkozz´ek azon az oldalon, amerre az (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebb sz¨ ogek vannak.
I
Axi´ om´ak: I A : Amik ugyanazzal egyenl˝ ok, egym´assal is egyenl˝ok. 1 .. . I
A8 : Az eg´esz nagyobb a r´eszn´el.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv I
Posztul´atumok: I P : K¨ oveteltess´ek meg, hogy minden pontb´ ol minden ponthoz 1 legyen egyenes h´ uzhat´ o. .. . ´ hogy ha k´et egyenest u I P5 : Es ´gy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkez˝ o bels˝ o sz¨ ogek (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebbek, akkor a k´et egyenes v´egtelen¨ ul meghosszabb´ıtva tal´alkozz´ek azon az oldalon, amerre az (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebb sz¨ ogek vannak.
I
Axi´ om´ak: I A : Amik ugyanazzal egyenl˝ ok, egym´assal is egyenl˝ok. 1 .. . I
A8 : Az eg´esz nagyobb a r´eszn´el. .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek: .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek: .. . I
T5 : Az egyenl˝ osz´ar´ u h´aromsz¨ ogeknek az alapon fekv˝o sz¨ogei egyenl˝ ok egym´assal, ´es ha meghosszabb´ıtjuk az egyenl˝o oldalakat, akkor az alap alatt egym´assal egyenl˝o sz¨ogek keletkeznek. (‘Pons Asinorum’)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek: .. . I
T5 : Az egyenl˝ osz´ar´ u h´aromsz¨ ogeknek az alapon fekv˝o sz¨ogei egyenl˝ ok egym´assal, ´es ha meghosszabb´ıtjuk az egyenl˝o oldalakat, akkor az alap alatt egym´assal egyenl˝o sz¨ogek keletkeznek. (‘Pons Asinorum’) .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek: .. . I
T5 : Az egyenl˝ osz´ar´ u h´aromsz¨ ogeknek az alapon fekv˝o sz¨ogei egyenl˝ ok egym´assal, ´es ha meghosszabb´ıtjuk az egyenl˝o oldalakat, akkor az alap alatt egym´assal egyenl˝o sz¨ogek keletkeznek. (‘Pons Asinorum’) .. .
I
T29 : Ha p´arhuzamos egyeneseket metsz egy egyenes, akkor egym´assal egyenl˝ o v´alt´ osz¨ ogek keletkeznek, ´es a szemk¨ozti bels˝ o sz¨ oggel egyenl˝ o k¨ uls˝ o sz¨ og keletkezik, ´es ugyanazon az oldalon (egy¨ utt) k´et der´eksz¨ oggel egyenl˝ o bels˝o sz¨ogek keletkeznek. (V. Posztul´atum)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek: .. . I
T5 : Az egyenl˝ osz´ar´ u h´aromsz¨ ogeknek az alapon fekv˝o sz¨ogei egyenl˝ ok egym´assal, ´es ha meghosszabb´ıtjuk az egyenl˝o oldalakat, akkor az alap alatt egym´assal egyenl˝o sz¨ogek keletkeznek. (‘Pons Asinorum’) .. .
I
T29 : Ha p´arhuzamos egyeneseket metsz egy egyenes, akkor egym´assal egyenl˝ o v´alt´ osz¨ ogek keletkeznek, ´es a szemk¨ozti bels˝ o sz¨ oggel egyenl˝ o k¨ uls˝ o sz¨ og keletkezik, ´es ugyanazon az oldalon (egy¨ utt) k´et der´eksz¨ oggel egyenl˝ o bels˝o sz¨ogek keletkeznek. (V. Posztul´atum) .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek: .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek: .. . I
T47 : A der´eksz¨ og˝ u h´aromsz¨ ogekben a der´eksz¨oggel szemk¨ozti oldalra emelt n´egyzet egyenl˝ o a der´eksz¨ oget k¨ozrefog´o oldalakra emelt n´egyzetek ¨ osszeg´evel. (Pitagorasz-t´etel)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek: .. . I
T47 : A der´eksz¨ og˝ u h´aromsz¨ ogekben a der´eksz¨oggel szemk¨ozti oldalra emelt n´egyzet egyenl˝ o a der´eksz¨ oget k¨ozrefog´o oldalakra emelt n´egyzetek ¨ osszeg´evel. (Pitagorasz-t´etel) .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek: .. . I
T47 : A der´eksz¨ og˝ u h´aromsz¨ ogekben a der´eksz¨oggel szemk¨ozti oldalra emelt n´egyzet egyenl˝ o a der´eksz¨ oget k¨ozrefog´o oldalakra emelt n´egyzetek ¨ osszeg´evel. (Pitagorasz-t´etel) .. .
I
T48 : Ha egy h´aromsz¨ ogben az egyik oldalra emelt n´egyzet egyenl˝ o a h´aromsz¨ og m´asik k´et oldal´ara emelt n´egyzetek osszeg´evel, akkor der´eksz¨ ¨ og a h´aromsz¨ og m´asik k´et oldala ´altal k¨ ozrefogott sz¨ og. (a Pitagorasz-t´etel megford´ıt´asa)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, I. k¨ onyv
I
T´etelek: .. . I
T47 : A der´eksz¨ og˝ u h´aromsz¨ ogekben a der´eksz¨oggel szemk¨ozti oldalra emelt n´egyzet egyenl˝ o a der´eksz¨ oget k¨ozrefog´o oldalakra emelt n´egyzetek ¨ osszeg´evel. (Pitagorasz-t´etel) .. .
I
T48 : Ha egy h´aromsz¨ ogben az egyik oldalra emelt n´egyzet egyenl˝ o a h´aromsz¨ og m´asik k´et oldal´ara emelt n´egyzetek osszeg´evel, akkor der´eksz¨ ¨ og a h´aromsz¨ og m´asik k´et oldala ´altal k¨ ozrefogott sz¨ og. (a Pitagorasz-t´etel megford´ıt´asa) .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, II. k¨ onyv (geometriai algebra)
I
T´etelek:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, II. k¨ onyv (geometriai algebra)
I
T´etelek: .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, II. k¨ onyv (geometriai algebra)
I
T´etelek: .. . I
T1 : Ha van k´et szakasz, ´es az egyik¨ uket valah´any r´eszre osztjuk, akkor a k´et szakasz ´altal k¨ ozrefogott t´eglalap egyenl˝o a f¨ olosztatlan szakasz ´es az egyes r´eszek ´altal k¨ozrefogott t´eglalapok ¨ osszeg´evel.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, II. k¨ onyv (geometriai algebra)
I
T´etelek: .. . I
T1 : Ha van k´et szakasz, ´es az egyik¨ uket valah´any r´eszre osztjuk, akkor a k´et szakasz ´altal k¨ ozrefogott t´eglalap egyenl˝o a f¨ olosztatlan szakasz ´es az egyes r´eszek ´altal k¨ozrefogott t´eglalapok ¨ osszeg´evel. .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, II. k¨ onyv (geometriai algebra)
I
T´etelek: .. . I
T1 : Ha van k´et szakasz, ´es az egyik¨ uket valah´any r´eszre osztjuk, akkor a k´et szakasz ´altal k¨ ozrefogott t´eglalap egyenl˝o a f¨ olosztatlan szakasz ´es az egyes r´eszek ´altal k¨ozrefogott t´eglalapok ¨ osszeg´evel. .. .
I
T4 : Ha egy egyenesszakaszt tetsz˝ olegesen kett´eosztunk, akkor a teljes szakaszra emelt n´egyzet egyenl˝ o az egyes r´eszekkel szerkesztett n´egyzeteknek meg a k´et r´esz ´altal k¨ozrefogott t´eglalap k´etszeres´enek ¨ osszeg´evel.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, II. k¨ onyv (geometriai algebra)
I
T´etelek: .. . I
T1 : Ha van k´et szakasz, ´es az egyik¨ uket valah´any r´eszre osztjuk, akkor a k´et szakasz ´altal k¨ ozrefogott t´eglalap egyenl˝o a f¨ olosztatlan szakasz ´es az egyes r´eszek ´altal k¨ozrefogott t´eglalapok ¨ osszeg´evel. .. .
I
T4 : Ha egy egyenesszakaszt tetsz˝ olegesen kett´eosztunk, akkor a teljes szakaszra emelt n´egyzet egyenl˝ o az egyes r´eszekkel szerkesztett n´egyzeteknek meg a k´et r´esz ´altal k¨ozrefogott t´eglalap k´etszeres´enek ¨ osszeg´evel. .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, III-IV. k¨ onyv (elemi geometriai)
I
T´etelek:
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, III-IV. k¨ onyv (elemi geometriai)
I
T´etelek: .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, III-IV. k¨ onyv (elemi geometriai)
I
T´etelek: .. . I
III. T2 : Ha egy k¨ or¨ on v´alasztunk k´et tetsz˝ oleges pontot, akkor a pontokra illeszked˝ o szakasz a k¨ or¨ on bel¨ ul halad.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, III-IV. k¨ onyv (elemi geometriai)
I
T´etelek: .. . I
III. T2 : Ha egy k¨ or¨ on v´alasztunk k´et tetsz˝ oleges pontot, akkor a pontokra illeszked˝ o szakasz a k¨ or¨ on bel¨ ul halad. .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, III-IV. k¨ onyv (elemi geometriai)
I
T´etelek: .. . I
III. T2 : Ha egy k¨ or¨ on v´alasztunk k´et tetsz˝ oleges pontot, akkor a pontokra illeszked˝ o szakasz a k¨ or¨ on bel¨ ul halad. .. .
I
III. T20 : Egy k¨ orben a k¨ oz´epponti sz¨ og k´etakkora, mint a ker¨ uleti, ha e sz¨ ogek ugyanazon ´ıven nyugszanak.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, III-IV. k¨ onyv (elemi geometriai)
I
T´etelek: .. . I
III. T2 : Ha egy k¨ or¨ on v´alasztunk k´et tetsz˝ oleges pontot, akkor a pontokra illeszked˝ o szakasz a k¨ or¨ on bel¨ ul halad. .. .
I
III. T20 : Egy k¨ orben a k¨ oz´epponti sz¨ og k´etakkora, mint a ker¨ uleti, ha e sz¨ ogek ugyanazon ´ıven nyugszanak. .. .
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, III-IV. k¨ onyv (elemi geometriai)
I
T´etelek: .. . I
III. T2 : Ha egy k¨ or¨ on v´alasztunk k´et tetsz˝ oleges pontot, akkor a pontokra illeszked˝ o szakasz a k¨ or¨ on bel¨ ul halad. .. .
I
III. T20 : Egy k¨ orben a k¨ oz´epponti sz¨ og k´etakkora, mint a ker¨ uleti, ha e sz¨ ogek ugyanazon ´ıven nyugszanak. .. . IV. T15 : ´Irjunk adott k¨ orbe egyenl˝ o oldal´ u ´es egyenl˝o sz¨og˝ u hatsz¨ oget.
I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek, III-IV. k¨ onyv (elemi geometriai)
I
T´etelek: .. . I
III. T2 : Ha egy k¨ or¨ on v´alasztunk k´et tetsz˝ oleges pontot, akkor a pontokra illeszked˝ o szakasz a k¨ or¨ on bel¨ ul halad. .. .
I
III. T20 : Egy k¨ orben a k¨ oz´epponti sz¨ og k´etakkora, mint a ker¨ uleti, ha e sz¨ ogek ugyanazon ´ıven nyugszanak. .. . IV. T15 : ´Irjunk adott k¨ orbe egyenl˝ o oldal´ u ´es egyenl˝o sz¨og˝ u hatsz¨ oget. .. .
I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek) I
V. k¨ onyv (Eudoxosz)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek) I
V. k¨ onyv (Eudoxosz) I V. D5 : Azt mondjuk, hogy mennyis´ egek ugyanazon ar´anyban ´allnak, az els˝ o a m´asodikkal ´es a harmadik a negyedikkel, ha az els˝ onek ´es a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a m´asodik ´es a negyedik ugyanannyiszorosain´al, b´arh´anyszoros is a t¨ obbsz¨ or¨ oz´es, p´aronk´ent vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenl˝ ok, vagy egyszerre kisebbek megfelel˝oen p´aros´ıtva ˝ oket.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek) I
V. k¨ onyv (Eudoxosz) I V. D5 : Azt mondjuk, hogy mennyis´ egek ugyanazon ar´anyban ´allnak, az els˝ o a m´asodikkal ´es a harmadik a negyedikkel, ha az els˝ onek ´es a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a m´asodik ´es a negyedik ugyanannyiszorosain´al, b´arh´anyszoros is a t¨ obbsz¨ or¨ oz´es, p´aronk´ent vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenl˝ ok, vagy egyszerre kisebbek megfelel˝oen p´aros´ıtva ˝ oket. Azaz, b´armely m ´es n term´eszetes sz´amokra
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek) I
V. k¨ onyv (Eudoxosz) I V. D5 : Azt mondjuk, hogy mennyis´ egek ugyanazon ar´anyban ´allnak, az els˝ o a m´asodikkal ´es a harmadik a negyedikkel, ha az els˝ onek ´es a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a m´asodik ´es a negyedik ugyanannyiszorosain´al, b´arh´anyszoros is a t¨ obbsz¨ or¨ oz´es, p´aronk´ent vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenl˝ ok, vagy egyszerre kisebbek megfelel˝oen p´aros´ıtva ˝ oket. Azaz, b´armely m ´es n term´eszetes sz´amokra
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek) I
V. k¨ onyv (Eudoxosz) I V. D5 : Azt mondjuk, hogy mennyis´ egek ugyanazon ar´anyban ´allnak, az els˝ o a m´asodikkal ´es a harmadik a negyedikkel, ha az els˝ onek ´es a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a m´asodik ´es a negyedik ugyanannyiszorosain´al, b´arh´anyszoros is a t¨ obbsz¨ or¨ oz´es, p´aronk´ent vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenl˝ ok, vagy egyszerre kisebbek megfelel˝oen p´aros´ıtva ˝ oket. Azaz, b´armely m ´es n term´eszetes sz´amokra ma < nb =⇒ mc < nd, a c = ⇐⇒ ma = nb =⇒ mc = nd, b d ma > nb =⇒ mc > nd.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek) I
V. k¨ onyv (Eudoxosz) I V. D5 : Azt mondjuk, hogy mennyis´ egek ugyanazon ar´anyban ´allnak, az els˝ o a m´asodikkal ´es a harmadik a negyedikkel, ha az els˝ onek ´es a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a m´asodik ´es a negyedik ugyanannyiszorosain´al, b´arh´anyszoros is a t¨ obbsz¨ or¨ oz´es, p´aronk´ent vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenl˝ ok, vagy egyszerre kisebbek megfelel˝oen p´aros´ıtva ˝ oket. Azaz, b´armely m ´es n term´eszetes sz´amokra ma < nb =⇒ mc < nd, a c = ⇐⇒ ma = nb =⇒ mc = nd, b d ma > nb =⇒ mc > nd. I
‘T´ız l´ab t´ız h¨ uvelyk az t´ızszer annyi, mint egy l´ab egy h¨ uvelyk.’ (Agustus De Morgan, 1806–1871)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek)
I
VI. k¨ onyv (alakzatok hasonl´ os´ aga)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek)
I
VI. k¨ onyv (alakzatok hasonl´ os´ aga)
I
VII. k¨ onyv (aritmetika)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek)
I
VI. k¨ onyv (alakzatok hasonl´ os´ aga)
I
VII. k¨ onyv (aritmetika)
I
VIII. k¨ onyv (aritmetika — sorozatok)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek)
I
VI. k¨ onyv (alakzatok hasonl´ os´ aga)
I
VII. k¨ onyv (aritmetika)
I
VIII. k¨ onyv (aritmetika — sorozatok)
I
IX. k¨ onyv (aritmetika — sz´ amelm´ elet)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek)
I
VI. k¨ onyv (alakzatok hasonl´ os´ aga)
I
VII. k¨ onyv (aritmetika)
I
VIII. k¨ onyv (aritmetika — sorozatok)
I
IX. k¨ onyv (aritmetika — sz´ amelm´ elet)
I
X. k¨ onyv (az irracion´ alisok ´ okori elm´ elete, Eudoxosz ´ es Theaitetosz)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek)
I
VI. k¨ onyv (alakzatok hasonl´ os´ aga)
I
VII. k¨ onyv (aritmetika)
I
VIII. k¨ onyv (aritmetika — sorozatok)
I
IX. k¨ onyv (aritmetika — sz´ amelm´ elet)
I
X. k¨ onyv (az irracion´ alisok ´ okori elm´ elete, Eudoxosz ´ es Theaitetosz) I ‘Euklidesz e k¨ onyvben ¨ osszegzi az ¨ osszes olyan szakaszra vonatkoz´ o ismeretet, amelyek (modern terminol´ogi´aval) megadhat´ ok, mint q √ √ a ± b, ahol a, b ¨ osszem´erhet˝ o szakaszok.’ (Agustus De Morgan)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek)
I
VI. k¨ onyv (alakzatok hasonl´ os´ aga)
I
VII. k¨ onyv (aritmetika)
I
VIII. k¨ onyv (aritmetika — sorozatok)
I
IX. k¨ onyv (aritmetika — sz´ amelm´ elet)
I
X. k¨ onyv (az irracion´ alisok ´ okori elm´ elete, Eudoxosz ´ es Theaitetosz) I ‘Euklidesz e k¨ onyvben ¨ osszegzi az ¨ osszes olyan szakaszra vonatkoz´ o ismeretet, amelyek (modern terminol´ogi´aval) megadhat´ ok, mint q √ √ a ± b, I
ahol a, b ¨ osszem´erhet˝ o szakaszok.’ (Agustus De Morgan) X.27. F¨ uggel´ek. Mutassuk meg, hogy a n´egyzetekben az ´atl´o line´arisan ¨ osszem´erhetetlen az oldallal.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek)
I
XI-XIII. k¨ onyvek (t´ ergeometria)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Alexandria Euklid´ esz: Elemek (V-XIII. k¨ onyvek)
I
XI-XIII. k¨ onyvek (t´ ergeometria) I a XIII. k¨ onyv v´elhet˝ oen Theaitetosz eredm´enyeit tartalmazza, k´et f˝ o t´em´aja: (1) A szab´alyos soksz¨ ogek tulajdons´agai, az aranymetsz´es; (2) Hogyan ´ırhatjuk be adott g¨ ombbe az 5 szab´alyos testet
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
287–212
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
287–212
I
az ´ okori matematikusok ‘legnagyobbika’
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
287–212
I
az ´ okori matematikusok ‘legnagyobbika’
I
kiv´al´ o m´ern¨ ok — a matematika alkalmaz´asa a term´eszetes vil´agra
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
287–212
I
az ´ okori matematikusok ‘legnagyobbika’
I
kiv´al´ o m´ern¨ ok — a matematika alkalmaz´asa a term´eszetes vil´agra
I
hozz´a k¨ otj¨ uk a π sz´am felfedez´es´et, 3 10 < π < 3 17 71
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
287–212
I
az ´ okori matematikusok ‘legnagyobbika’
I
kiv´al´ o m´ern¨ ok — a matematika alkalmaz´asa a term´eszetes vil´agra
I
hozz´a k¨ otj¨ uk a π sz´am felfedez´es´et, 3 10 < π < 3 17 71
I
g¨ omb¨ okre vonatkoz´o munk´ai ¨ mbro ˝l e ´s k¨ ul¨ on¨ osen ´erdekesek (A go ˝ l) a hengerro
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
ismert k¨ onyvei (amelyek csak k´es˝obbi p´eld´anyokban maradtak meg): I A s´ ıkok egyens´ uly´ar´ol,
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
ismert k¨ onyvei (amelyek csak k´es˝obbi p´eld´anyokban maradtak meg): I A s´ ıkok egyens´ uly´ar´ol, I A parabola ter¨ ulet´er˝ol,
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
ismert k¨ onyvei (amelyek csak k´es˝obbi p´eld´anyokban maradtak meg): I A s´ ıkok egyens´ uly´ar´ol, I A parabola ter¨ ulet´er˝ol, I A g¨ ombr˝ ol ´es a hengerr˝ol,
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
ismert k¨ onyvei (amelyek csak k´es˝obbi p´eld´anyokban maradtak meg): I A s´ ıkok egyens´ uly´ar´ol, I A parabola ter¨ ulet´er˝ol, I A g¨ ombr˝ ol ´es a hengerr˝ol, I A k¨ orm´er´es,
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
ismert k¨ onyvei (amelyek csak k´es˝obbi p´eld´anyokban maradtak meg): I A s´ ıkok egyens´ uly´ar´ol, I A parabola ter¨ ulet´er˝ol, I A g¨ ombr˝ ol ´es a hengerr˝ol, I A k¨ orm´er´es, I A csigavonalakr´ ol, a konoidokr´ol ´es szferoidokr´ol,
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
ismert k¨ onyvei (amelyek csak k´es˝obbi p´eld´anyokban maradtak meg): I A s´ ıkok egyens´ uly´ar´ol, I A parabola ter¨ ulet´er˝ol, I A g¨ ombr˝ ol ´es a hengerr˝ol, I A k¨ orm´er´es, I A csigavonalakr´ ol, a konoidokr´ol ´es szferoidokr´ol, I Az u ´sz´ o testekr˝ol,
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
ismert k¨ onyvei (amelyek csak k´es˝obbi p´eld´anyokban maradtak meg): I A s´ ıkok egyens´ uly´ar´ol, I A parabola ter¨ ulet´er˝ol, I A g¨ ombr˝ ol ´es a hengerr˝ol, I A k¨ orm´er´es, I A csigavonalakr´ ol, a konoidokr´ol ´es szferoidokr´ol, I Az u ´sz´ o testekr˝ol, I Homoksz´ am´ıt´as ´es a
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
I
Johan Ludvig Heiberg (1854–1928)
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
ismert k¨ onyvei (amelyek csak k´es˝obbi p´eld´anyokban maradtak meg): I A s´ ıkok egyens´ uly´ar´ol, I A parabola ter¨ ulet´er˝ol, I A g¨ ombr˝ ol ´es a hengerr˝ol, I A k¨ orm´er´es, I A csigavonalakr´ ol, a konoidokr´ol ´es szferoidokr´ol, I Az u ´sz´ o testekr˝ol, I Homoksz´ am´ıt´as ´es a I A m´ odszer.
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
Sz¨ urakuszai Arkhim´ ed´ esz
ΣP 2 + ΣO 2 = ΣA2 + ΣO 2 = AO 2 = AΣ · AΓ, (ΣP 2 + ΣO 2 ) : ΣN 2 = (AΣ · AΓ) : AΓ2 = AΣ : AΓ.
Fejezetek a matematika kult´ urt¨ ort´ enet´ eb˝ ol
3. A G¨ or¨ og¨ ok (II)
