VYSOKA´ SˇKOLA BA´NˇSKA´ – TECHNICKA´ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNI´
ZA´KLADY ˇ NY´CH PRVKU ˚ METODY KONEC Jirˇ´ı Brozˇovsky´ Kancela´ˇr: LP – H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail:
[email protected] WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
Na´plnˇ prˇedmeˇtu 1. opakova´nı´ potrˇebny´ch vztahu˚ (statika, pruzˇnost) 2. energeticke´ principy, variacˇnı´ metody 3. variacˇnı´ metody 4. za´kladnı´ principy metody konecˇny´ch prvku˚ (MKP) 5. aplikace MKP na prutove´, plosˇne´ a prostorove´ konstrukce 6. izoparametricke´ konecˇne´ prvky 7. okrajove´ podmı´nky, za´sady tvorby vy´pocˇetnı´ch modelu˚
2
Doporucˇena´ literatura • Teply´, B. – Sˇmirˇa´k, S.: Pruzˇnost a plasticita 2., VUT v Brneˇ, Brno, 1992 (skriptum)
• Kola´ˇr, V., Kratochvı´l, J., Leitner, F., Zˇenı´sˇek, A. Vy´pocˇet plosˇny´ch a prostorovy´ch konstrukcı´ metodou konecˇny´ch prvku˚, SNTL, Praha, 1979
• Kola´ˇr V., Neˇmec I., Kanicky´ V. FEM Principy a praxe metody konecˇny´ch prvku˚, Computer Press, Praha, 1997 3
• http://mi21.vsb.cz/modul/metoda-konecnych-prvku-ve-stavebnimechanice
• http://mi21.vsb.cz/modul/zaklady-matematicke-teorie-pruznosti
Doplnˇkova´ literatura • Sˇmirˇa´k, S.: Energeticke´ principy a variacˇnı´ metody v teorii pruzˇnosti, VUT v Brneˇ, Brno, 1998 (skriptum) • Dicky´, J., Mistrı´kova´, Z., Sumec, J.: Pruzˇnost a plasticita v stavebnı´ctve 2, STU, Bratislava, 2005 • Ravinger, J., Kolekova´, Y.: Pruzˇnost’ II., STU, Bratislava, 2002 • Servı´t a kol.: Teorie pruzˇnosti a plasticity II., SNTL, Praha, 1984 (celosta´tnı´ ucˇebnice) • Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., Witt, R. J.: Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley and Sons, 1995 4
Idealizace geometrie konstrukce
• teˇlesa • plosˇne´ konstrukce – steˇny (rovinny´ proble´m) – desky – skorˇepiny • pruty
5
Opakova´nı´: za´kladnı´ prˇedpoklady v linea´rnı´ mechanice • la´tka studovane´ho teˇlesa je spojita´ • la´tka je homogennı´ (ve vsˇech mı´stech stejne´ vlastnosti) • la´tka je isotropnı´ (ve vsˇech smeˇrech stejne´ vlastnosti) • la´tka se chova´ linea´rneˇ pruzˇneˇ (tzv. Hookeu˚v za´kon) • teˇleso je vystaveno jen maly´m deformacı´m
Pak lze pouzˇ´ıt: • princip superpozice • princip u´meˇrnosti 6
Isotropnı´ a anisotropnı´ materia´l • isotropnı´: ve vsˇech smeˇrech stejne´ vlastnosti
• anisotropnı´: v ru˚zny´ch smeˇrech ru˚zne´ vlastnosti
• ortotropnı´: ru˚zne´ vlastnosti ve vza´jemneˇ kolmy´ch smeˇrech
7
Opakova´nı´: vy´pocˇet deformacı´ staticky urcˇity´ch konstrukcı´ • linea´rnı´ mechanika (viz prˇedchozı´ prˇedpoklady): • male´ deformace (mnohem mensˇ´ı nezˇ rozmeˇry konstrukce) • platı´ principy superpozice a u´meˇrnosti • podmı´nky rovnova´hy stanovujeme na nedeformovane´ konstrukci (teorie 1. rˇa´du)
Kladny´ smeˇr deformacˇnı´ch velicˇin: ve smeˇru prˇ´ıslusˇne´ kladne´ sourˇadnicove´ poloosy, u pootocˇenı´ proti smeˇru hodinovy´ch rucˇicˇek (prˇi pohledu proti kladne´ poloose). 8
Princip virtua´lnı´ch pracı´ (1) Virtua´lnı´ velicˇina: mysˇlena´, avsˇak mozˇna´ (sı´la, deformace).
Pra´ce: soucˇin sı´ly a dra´hy, na ktere´ pu˚sobı´. Pra´ce vneˇjsˇ´ıch sil:
F
Le = F w, [N m] = [J ] (Joule) Rb
Le = a q (x)w(x) dx
w
Virtua´lnı´ pra´ce: pra´ce virtua´lnı´ch sil na skutecˇny´ch deformacı´ch (silova´ virtua´lnı´ pra´ce) nebo pra´ce skutecˇny´ch sil na virtua´lnı´ch deformacı´ch (deformacˇnı´ virtua´lnı´ pra´ce). 9
Princip virtua´lnı´ch pracı´ (2) Virtua´lnı´ pra´ce vnitrˇnı´ch sil:
Li = −
Z
l
N du +
Z
l
My dϕy +
Z
l
Mz dϕz +
Z
l
T dϕx +
Z
l
Vy dv +
Vnitrˇnı´ sı´ly bra´nı´ deformacı´m, jsou proto do vztahu zavedeny jako za´porne´ (zname´nko mı´nus prˇed slozˇenou za´vorkou).
10
Z
l
Vz dw
Princip virtua´lnı´ch pracı´ (3) Princip virtua´lnı´ch pracı´ (J. L. Lagrange): Celkova´ virtua´lnı´ pra´ce na vysˇetrˇovane´ konstrukcı´ je rovna nule.
Le + L i = 0
tedy: Le = −Li 11
Princip virtua´lnı´ch pracı´ (4) Deformace elementa´rnı´ch vrstvicˇek materia´lu: N My Vz du = dx, . . . , dϕy = dx, . . . , dv = dx ∗ EA EIy GAz
dϕ N M
dx
du
dx 12
Princip virtua´lnı´ch pracı´ (5) Deformace elementa´rnı´ch vrstvicˇek materia´lu: N My Vz dx, . . . , dϕy = dx, . . . , dv = dx du = ∗ EA EIy GAz Z Le = −Li a z: Li = − { l N du + l My dϕy + l Mz dϕz + l T dϕx + l Vy dv + l Vz dw} plyne: R
R
R
Z l N N
R
R
R
Vz Vz
My My Mz Mz T T Vy Vy + + + + + dx Le = ∗ ∗ 0 EA EIy EIz EIt GAy GAz Velicˇiny oznacˇene´ pruhem jsou virtua´lnı´. 13
Metoda jednotkovy´ch sil (1) Hleda´me nezna´mou deformaci (prˇetvorˇenı´) δ od skutecˇne´ho zatı´zˇenı´. Aplikujeme na δ=?
konstrukci virtua´lnı´ sı´lu F = 1. Virtua´lnı´ pra´ce sı´ly F na deformaci δ:
F=1
Le = 1 δ = δ Tedy zrˇejmeˇ: Z l N N
Vz Vz
My My Mz Mz T T Vy Vy + + + + + dx δ= ∗ ∗ 0 EA EIy EIz EIt GAy GAz 14
Metoda jednotkovy´ch sil (2) 1. stanovı´me pru˚beˇhy M , N , V od skutecˇne´ho zatı´zˇenı´ 2. zavedeme jednotkovou (a bezrozmeˇrnou) virtua´lnı´ sı´lu v mı´steˇ hledane´ho posunutı´ (v prˇ´ıpadeˇ pootocˇenı´ zavedeme moment) 3. urcˇı´me pru˚beˇhy M , N , V od virtua´lnı´ velicˇiny 4. vypocˇı´ta´me hledanou velicˇinu pomocı´ vzorce (v rovineˇ): Z l MM Z l VV NN dx + dx + dx δ= ∗ 0 EA 0 EI 0 GA Z l
U nosnı´kovy´ch u´loh obvykle zanedba´va´me cˇlen
Rl V V 0 GA∗ dx.
´ lohy kde nelze zanedbat pra´ci posouvajı´cı´ch sil – viz Pruzˇnost U a plasticita. 15
Prˇ´ıklad 1 (1) Stanovte pru˚hyb na volne´m konci konzoly, E = 20GP a. M = 9 kNm l=6m
w=?
0,4 m 0,2 m
Tedy: 1 × b × h3 = 1 × 0,2 × 0,43 = 0.00106667 m4 I = 12 12 EI = E × I = 20 × 109 × 0.00106667 = 21333333,333 N m2
16
Prˇ´ıklad 1 (2) F=1
M = 9 kNm
2
4 M =9 T
−6
TM 2
AM 4
9
1 M M dx = AM × M T = × 6 × (−6) × 9 = −162 0 2
Z l
1 Zl 162 × 103 = −0,007594 m (↑) w= M M dx = EI 0 21333333,333 17
Opakova´nı´: Silova´ metoda • ˇresˇenı´ staticky neurcˇity´ch konstrukcı´
• vyuzˇ´ıva´ principu virtua´lnı´ch pracı´
• vyuzˇ´ıva´ take´: podmı´nky rovnova´hy, princip superpozice, princip u´meˇrnosti
18
Silova´ metoda – princip F1 F2
c b a F1
F2
u0
u1 1*X
Vy´sledny´ deformacˇnı´ stav (cˇerveny´ + modry´) musı´ by´t ve shodeˇ s pu˚vodnı´ konstrukcı´, a proto musı´ platit (v mı´steˇ c): u0 + u 1 × X = 0 19
Silova´ metoda – postup 1. urcˇenı´ stupneˇ staticke´ neurcˇitosti s 2. odebra´nı´ s vazeb: vznikne za´kladnı´ staticky urcˇita´ soustava (pozor na vy´jimkove´ prˇ´ıpady!) 3. vlozˇenı´ sı´ly nezna´me´ sı´ly Xi v mı´steˇ kazˇde´ odebrane´ vazby 4. urcˇenı´ deformacı´ δi,j (mı´sto Xi zavedeme jednotkovou sı´lu – princip superpozice) 5. sestavenı´ s deformacˇnı´ch podmı´nek pro posunutı´ ve smeˇrech vsˇech s odebrany´ch vazeb: δ0,1 + δ1,1 × X1 + δ1,2 × X1 + . . . = 0 δ0,2 + δ2,1 × X2 + δ2,2 × X2 + . . . = 0 20
Prˇ´ıklad 2 (1)
10 kN 10 kN
M1
1
1 X
20 4m
M0 0 2m
2
21
Prˇ´ıklad 2 (2)
Mo M1 1 2 26,667 = − 20 × 2 × 2 = − EI 2 3 EI
δ1,0 =
Z
2,667 M1 M1 1 2 = 2×2× 2= EI 2 3 EI
δ1,1 =
Z
M0
20
...
δ1,0 + δ1,1 × X1 = 0
δ1,0 X1 = − δ 1, 1
M1 2
22
2m
Prˇ´ıklad 2 (3) δ1,0 −26,667 =− = 10 kN X1 = − δ 1, 1 2,667 10 kN
10 kN
V
N
−10 kN M
23
Opakova´nı´: Deformacˇnı´ metoda • ˇresˇenı´ staticky neurcˇity´ch konstrukcı´
• vyuzˇ´ıva´ staticky´ch podmı´nek rovnova´hy
• vyuzˇ´ıva´ take´: za´kladnı´ vztahy teorie pruzˇnosti, princip superpozice, princip u´meˇrnosti
24
Deformacˇnı´ metoda: princip (1) a
Xba
F
Xba
L1
Xbc
c
Xbc b
L2
Sestavenı´ podmı´nek rovnova´hy ve stycˇnı´ku (naprˇ.): X
Fix = −Xba − Xbc − F = 0
Urcˇenı´ sil v prutech z principu˚ pruzˇnosti: Xba × L1 ∆L = E1 × A 1 Dosazenı´m deformacˇnı´ch vztahu˚ do podmı´nek rovnova´hy zı´ska´me zna´mou soustavu rovnic K × u = F. 25
Deformacˇnı´ metoda: princip (2) a
Xba
F
Xba
L1
Xbc
c
Xbc b
X
L2
Fix = −Xba − Xbc − F = 0
Dosazenı´m deformacˇnı´ch vztahu˚ do podmı´nek rovnova´hy zı´ska´me zna´mou soustavu rovnic K × u = F.
E1 × A 1 E2 × A 2 − × ubx = F L1 L2
Pozn.: vztahy platı´ pro osovou u´lohu bez momentu˚ a posouvajı´cı´ch sil. 26
Deformacˇnı´ metoda: k zopakova´nı´
• Matice tuhosti, vektor zatı´zˇenı´, vektor posunutı´.
• Lokalizace matic tuhostı´ prutu˚ do globa´lnı´ matice tuhosti.
• Transformace mezi syste´my sourˇadnic.
ˇ esˇenı´ syste´mu˚ K × u = F. • R 27
Opakova´nı´: Za´kladnı´ u´loha teorie pruzˇnosti • za´kladnı´ velicˇiny
• geometricke´ vztahy
• diferencia´lnı´ podmı´nky rovnova´hy
• fyzika´lnı´ rovnice (konstitutivnı´ vztahy) 28
Za´kladnı´ velicˇiny (1) y
Vektor posunutı´
v
u w
x
u=
u v w
(1)
z
29
Za´kladnı´ velicˇiny (2) εy
y
γ yx γ yz γzy
εz z
γxy γxz
γ zx
Vektor deformacı´
εx x
ε=
εx εy ε
z γyz γzx γxy
(2)
30
Za´kladnı´ velicˇiny (3) σy
y
Vektor napeˇtı´
τ yx τ yz τzy
σz z
τxy τxz
τ zx
σx x
σ=
σx σy
σz τyz τzx τxy
(3)
31
Geometricke´ vztahy (1)
Vyjadrˇujı´ vztahy mezi posunutı´mi a deformacemi.
y, v
B’
x, u 0
B A
α
−u dx x v
−v dx x u dy
v − dy x
A’ C D
β
C’ u − dy y D’
dx
32
Geometricke´ vztahy (2) y, v
B’
x, u 0
B A
α A’
−u dx x v
v − dx x u dy
v − dy x
C D
β
C’ u − dy y D’
dx
dx) − (x + u) − dx ∂u A0B 0 − AB (x + dx + u + ∂u ∂x εx = = = AB dx ∂x 33
Geometricke´ vztahy (3) Norma´love´ deformace ∂u εx = ∂x
∂v εy = ∂y
∂w εz = , ∂z
(4)
smykove´ deformace ∂v ∂w γyz = γzy = + ∂z ∂y ∂w ∂u γzx = γxz = + ∂x ∂z ∂u ∂v γxy = γyx = + . ∂y ∂x
(5) (6) (7)
34
Diferencia´lnı´ podmı´nky rovnova´hy (1) σ’y τ’zy τyz
τyx σ x dy
τ’yz
τzx
τ’xz
τ’xy σz
σ’ x
τxz
σz’
’ τzx
τxy
τzy dx
’ τyx
σy
∂σx dx, σx ‘ = σ x + ∂x
dz
∂τxy τxy ‘ = τxy + dy, ... ∂x
(8) 35
Diferenc. podmı´nky rovnova´hy (2) ∂σx dx, σx ‘ = σ x + ∂x
X
∂τxy τxy ‘ = τxy + dy, ... ∂y
0 ) dx dz +(τ −τ ‘) dx dy = 0 Fi,y = (σx0 −σx) dy dz +(τxy −τxy xz xz
(σx−σx−
∂σx ∂τxy ∂τxz dx) dy dz +(τxy −τxy − dy ) dx dz +(τxz −τxz − dz ) dx dy = 0 ∂x ∂y ∂z
A po u´praveˇ: ∂σx ∂τxy ∂τxz + + =0 ∂x ∂y ∂z
(9) 36
Diferenc. podmı´nky rovnova´hy (3)
∂σx ∂τxy ∂τxz + + +X = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τxy ∂σy ∂τyz + + +Y = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τzx ∂τzy ∂σz + + +Z = 0 ∂x ∂y ∂z
(10)
kde X,Y , Z jsou objemove´ sı´ly. 37
Vza´jemnost smykovy´ch napeˇtı´ Uvedene´ vztahy obecneˇ neplatı´: τyz = τzy , τzx = τxz , τxy = τyx.
Prˇedpoklad o vza´jemnosti smykovy´ch napeˇtı´ se odvozuje z prˇiblizˇne´ho splneˇnı´ momentovy´ch podmı´nek rovnova´hy na elementu teˇlesa. Na smykove´ deformace se pohlı´zˇ´ı obdobneˇ. 38
Fyzika´lnı´ rovnice (1) Vyjadrˇujı´ vztahy mezi napeˇtı´mi a deformacemi.
Hookeu˚v za´kon v 1D (tah/tlak): σx εx = E Α
x
F
L
∆L
∆L ∂L εx = = L ∂x F = E εx σx = A 39
Fyzika´lnı´ rovnice (2) Hookeu˚v za´kon v prostoru:
1 τyz εx = [σx − ν (σy + σz )] , γyz = E G τxz 1 εy = [σy − ν (σx + σz )] , γxz = E G 1 τxy εz = [σz − ν (σx + σy )] , γxy = E G
(11)
40
Shrnutı´ 15 nezna´my´ch velicˇin: 3 slozˇky posunutı´ u 6 slozˇek deformacı´ ε 6 slozˇek napeˇtı´ σ
15 rovnic: 6 geometricky´ch rovnic 6 fyzika´lnı´ch rovnic 3 podmı´nky rovnova´hy 41
