VYSOKA´ SˇKOLA BA´NˇSKA´ – TECHNICKA´ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNI´
ZA´KLADY ˇ NY´CH PRVKU ˚ METODY KONEC Cvicˇenı´
Jirˇ´ı Brozˇovsky´ Kancela´ˇr: LP – H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail:
[email protected] WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
Na´plnˇ cvicˇenı´ 1. Opakova´nı´: deformacˇnı´ metoda 2. Variacˇnı´ metody, Ritzova metoda ˇ esˇenı´ prˇ´ıhradove´ konstrukce MKP 3. R ˇ esˇenı´ steˇn MKP 4. R • Homogennı´ a nehomogennı´ okrajove´ podmı´nky • Vy´pocˇet napeˇtı´ ma steˇneˇ • ... 5. Semestra´lnı´ pra´ce
2
Za´pocˇet • Aktivnı´ u´cˇast na cvicˇenı´ (mi 70%) ´ speˇsˇne´ absolvova´nı´ testu na Ritzovu metodu • U • Odevzda´nı´ vytvorˇeny´ch programu˚ (*.m) ke vsˇem te´matu˚m 1. Prˇ´ıhradovina deformacˇnı´ metodou 2. Prˇ´ıhradovina MKP 3. Steˇna MKP 4. Semestra´lnı´ pra´ce ´ speˇsˇna´ obhajova semestra´lnı´ho projektu (principy, obsah • U pra´ce, vy´sledky) 3
Doporucˇena´ literatura • Teply´, B. – Sˇmirˇa´k, S.: Pruzˇnost a plasticita 2., VUT v Brneˇ, Brno, 1992 (skriptum) • Kola´ˇr, V., Kratochvı´l, J., Leitner, F., Zˇenı´sˇek, A. Vy´pocˇet plosˇny´ch a prostorovy´ch konstrukcı´ metodou konecˇny´ch prvku˚, SNTL, Praha, 1979 • Kola´ˇr V., Neˇmec I., Kanicky´ V. FEM Principy a praxe metody konecˇny´ch prvku˚, Computer Press, Praha, 1997 • http://mi21.vsb.cz/modul/metoda-konecnych-prvku-vestavebni-mechanice • http://mi21.vsb.cz/modul/zaklady-matematicke-teoriepruznosti 4
Doplnˇkova´ literatura • Sˇmirˇa´k, S.: Energeticke´ principy a variacˇnı´ metody v teorii pruzˇnosti, VUT v Brneˇ, Brno, 1998 (skriptum) • Dicky´, J., Mistrı´kova´, Z., Sumec, J.: Pruzˇnost a plasticita v stavebnı´ctve 2, STU, Bratislava, 2005 • Ravinger, J., Kolekova´, Y.: Pruzˇnost’ II., STU, Bratislava, 2002 • Servı´t a kol.: Teorie pruzˇnosti a plasticity II., SNTL, Praha, 1984 (celosta´tnı´ ucˇebnice) • Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., Witt, R. J.: Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley and Sons, 1995 5
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (1) 3 kN a=1
2 kN 1
b=2
Deformacˇnı´ metodou stanovte vnitrˇnı´ sı´ly. 2
2m
• A1 = A2 = 0, 01 m2 • E1 = E2 = 20 GP a
y x
c=3 3m
6
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (2) Rucˇneˇ: 3 kN a=1
2 kN 1
b=2
• N1 = − 2 kN • N2 = − 3 kN Zmeˇna de´lky prutu 1: N 1 l1 ∆l1 = EA
2
2m
Zmeˇna de´lky prutu 2:
y x
c=3 3m
N 2 l2 ∆l2 = EA 7
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (3) 3 kN a=1
Na pocˇı´tacˇi:
2 kN 1
b=2
N1=-2e3 N2=-3e3
2
2m
E=20e9 A=0.01
y x
c=3 3m
zmeˇna de´lky:
∆=
r
∆l12 + ∆l22
Celkova´
l1=3 l2=2 dl1 = N1 * l1 / (E * A) dl2 = N2 * l2 / (E * A) 8
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (4) y a
x
b
Na pocˇı´tacˇi:
L
K1 = E*A/l1 * [ Matice tuhosti v loka´lnı´ch
1 0 -1 0 ;
sourˇadnicı´ch: EA K= L
0 0 0 0 ;
1 0 −1 0
0 −1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0
-1 0 1 0 ; 0 0 0 0]
9
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (5) Na pocˇı´tacˇi: K2l = E*A/l2 * [ α
y a
x
1 0 -1 0 ; 0 0 0 0 ; b
-1 0 1 0 ; 0 0 0 0]
L
a = pi/2 Transformacˇnı´ matice:
T =
cos α sin α 0 0 − sin α cos α 0 0 0 0 cos α sin α 0 0 − sin α cos α K2g = TTK2T
T = [ cos(a) sin(a) 0 0 ;
-sin(a) cos(a) 0 0 ; 0 0 cos(a) sin(a) ; 0 0 -sin(a) cos(a) ] K2 = T’ * K2l * T 10
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (6) 3 kN a=1
2 kN 1
Soustava rovnic:
b=2
Ku=F 2
2m
Nebo: y x
c=3 3m
k1,1 k1,2 k2,1 k2,2
u2 w2
=
F x2 Fy 2
11
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (7) 3 kN a=1
Prut 1:
2 kN b=2
1
K1 =
2
2m
y x
K2 =
k1,1 k1,2 k2,1 k2,2
u2 w2
. . . .
. . . . . . . x11,1 x11,2 . x12,1 x12,2
. . . . . . . x21,1 x21,2 . x22,1 x22,2
Prut 2:
c=3 3m
=
F x2 Fy 2
. . . .
12
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (8) Lokalizace matic tuhosti prutu˚ do matice konstrukce K: K =
[
K1(3,3)+K2(3,3)
K1(3,4)+K2(3,4) ;
K1(4,3)+K2(4,3)
K1(4,4)+K2(4,4) ]
Alternativneˇ: K=zeros(2); for i=1:2; for j=1:2; K(i,j) = K1(i+2,j+2) + K2(i+2,j+2); end; end; 13
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (9) 3 kN a=1
2 kN 1
Vektor zatı´zˇenı´:
b=2
F F = x2 Fy 2
2
2m
=F=
−2000 −3000
Na pocˇı´tacˇi:
F = [ -2000 ; -3000 ]
y x
c=3 3m
14
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (10) Soustava rovnic: 3 kN a=1
Ku=F
2 kN 1
b=2
ˇ esˇenı´ na pocˇı´tacˇi: R u = K\F
2
2m
nebo: u = inv(K)*F
y x
c=3 3m
Vy´sledek:
u u= 2 w2
15
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (11) 3 kN a=1
2 kN 1
b=2
u1 =
2
2m
Deformace prutu 1:
u1 w1 u2 w2
ˇ esˇenı´ na pocˇı´tacˇi: R
y x
c=3 3m
u1 = [0; 0; u(1); u(2)]
16
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (12) 3 kN a=1
2 kN 1
b=2
u1 =
2
2m
Deformace prutu 2:
u2 w2 u3 w3
ˇ esˇenı´ na pocˇı´tacˇi: R
y x
c=3 3m
u2g = [0; 0; u(1); u(2)]
17
Rovinna´ prˇ´ıhradova´ konstrukce (13) 3 kN a=1
2 kN 1
Samostatneˇ spocˇı´tete:
b=2
• u2 v loka´lnı´ch sourˇadnicı´ch • vektory koncovy´ch sil obou 2
2m
prutu˚ • norma´love´ sı´ly
y x
c=3
• reakce
3m
18
