Wiskunde
■■■■
Examen VBO-MAVO-D Voorbereidend Beroeps Onderwijs Middelbaar Algemeen Voortgezet Onderwijs
20
01
Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 13.30 – 15.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 26 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Voor de uitwerking van de vragen 1, 3, 4, 10, 11, 24, 25 en 26 is een bijlage toegevoegd.
100022
13
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
Begin
■■■■
Kerkraam In de kerk van Oosterblokker zit een raam. Het raam bestaat uit een ijzeren raamwerk waarin 12 stukken glas zitten. Hiernaast zie je een foto van de kerk. Op de bijlage bij vraag 1 vind je een model van het raamwerk.
2p
4p
1 ■
2 ■
foto 1
De tekening op de bijlage is op schaal. De diameter van het raamwerk is in werkelijkheid 1,80 meter. Op welke schaal is de tekening op de bijlage bij vraag 1 van het raamwerk gemaakt? Laat zien hoe je aan je antwoord komt. Het raam moet van nieuw glas worden voorzien. Voor het berekenen van de oppervlakte houdt men geen rekening met de dikte van het raamwerk. Bereken de oppervlakte in hele cm2 van het grijze stuk glas uit de tekening op de bijlage bij vraag 1. Laat zien hoe je aan je antwoord komt. Men wil drie verschillende kleuren glas gebruiken. Stukken glas die tegen elkaar aan liggen, mogen niet dezelfde kleur hebben. Zie figuur 1.
figuur 1
dit mag wel
4p
4p
3 ■
4 ■
100022
13
dit mag niet
Op de bijlage bij vraag 3 zie je een aantal keren een tekening van het raamwerk. Geef door kleuren (of arceren) aan hoe het hele raam van gekleurd glas voorzien kan worden. Om het glas te plaatsen moet er een steiger gebouwd worden. Om te weten hoeveel materiaal daarvoor nodig is, moet men de hoogte tot de bovenkant van het raam weten. Schat aan de hand van de foto op de bijlage bij vraag 4 de hoogte tot de bovenkant van het raam in hele meters. Laat zien hoe je aan je antwoord komt.
2
Lees verder
■■■■
Van gulden naar euro
figuur 2
Op 1 januari 2002 zal de gulden als betaalmiddel worden vervangen door de euro. Eén euro (P) komt overeen met 2,20371 gulden.
3p
3p
5 ■
6 ■
Veronderstel dat op 16 januari 2002 een nieuwe computer P 1038 kost. Wat zal de prijs in hele guldens zijn? Schrijf je berekening op. De euro wordt tegelijkertijd in verschillende Europese landen ingevoerd. Eén gulden komt overeen met 17,711 Belgische franken. Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoeveel Belgische franken je voor één euro moet betalen. Schrijf je berekening op. Naast de munten voor onder andere 1 euro en 2 euro, zijn er ook munten voor de verschillende eurocenten. Zie figuur 2, 3 en 4 voor een aantal van deze munten. Honderd eurocenten samen hebben de waarde van één euro.
figuur 3
Een verband tussen de waarde en het gewicht van de euromunten wordt bij benadering gegeven door: waarde = 0,00085 × (gewicht)3 Hierbij is de waarde in euro’s en het gewicht in grammen.
3p
7 ■
Van één van de euromunten is het gewicht 3,9 gram. Bereken welke waarde deze munt heeft. Schrijf je berekening op.
figuur 4
4p
8 ■
100022
13
Bereken in hele grammen nauwkeurig hoeveel een munt van 2 euro zou moeten wegen volgens deze formule. Schrijf je berekening op.
3
Lees verder
■■■■
Kaarsen maken Met speciale setjes kun je tegenwoordig zelf kaarsen in verschillende vormen gieten. Zie de foto hiernaast. Van vier kaarsen zie je in figuur 5 een model.
foto 2
figuur 5
hoogte hoogte
hoogte
5 cm 5 cm
Piramide met een vierkant als grondvlak
2p
9 ■
hoogte
5 cm 5 cm
Prisma met rechthoekige driehoek als grondvlak
Kegel diameter grondvlak is 5 cm
Cilinder diameter grondvlak is 5 cm
Tussen de hoogte van een kaars en de brandtijd bestaat een verband. Bij welke kaars(en) uit figuur 5 is dit verband bij benadering lineair? Voor een piramidekaars is het verband tussen de hoogte h in cm en de brandtijd b in uren bij benadering: h = 6 – 1,9 × b
3p
10 ■
Vul in de tabel op de bijlage bij vraag 10 de hoogte h in één decimaal nauwkeurig in.
3p
11 ■
Teken de grafiek bij dit verband in het assenstelsel op de bijlage bij vraag 11. Neem voor b de waarden 0 tot en met 7.
3p
12 ■
Na hoeveel uur is de kaars volgens de formule opgebrand? Laat zien hoe je aan je antwoord komt.
5p
13 ■
100022
13
Simone heeft een oude prismavormige kaars met afmetingen zoals in figuur 5 en hoogte 12 cm. Ze wil dit stuk omsmelten tot nieuwe piramidevormige kaarsen met afmetingen zoals in figuur 5 en met een hoogte van 6 cm. Hoeveel van deze kaarsen kan zij maken? Leg uit hoe je aan je antwoord komt.
4
Lees verder
Kaarsenmakerij ’Het Lichtpuntje’ moet een grote kaars in de vorm van een kegel maken. De diameter van het grondvlak moet 50 cm worden en de lengte van de schuine kant 1,3 meter. Daarvoor moet eerst een gietvorm gemaakt worden. Zie figuur 6. diameter grondvlak is 50 cm
figuur 6
1,3 meter
4p
14 ■
100022
13
Om de gietvorm te kunnen maken moet de hoek die in figuur 6 aangegeven is, berekend worden. Bereken de hoek van de gietvorm in graden nauwkeurig. Schrijf je berekening op.
5
Lees verder
■■■■
Codeslot Op de docentenfietsenstalling van het Bartjenscollege wordt een nieuw slot aangebracht. Het slot kan alleen maar geopend worden met een code. Deze code bestaat uit een combinatie van twee letters, gevolgd door drie cijfers. Voorbeelden van mogelijke codes: CT242, TP152, KK644. Op het slot staan zes letters en tien cijfers, waaruit gekozen kan worden. Zie figuur 7.
figuur 7
C
T
P
V
Z
K
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
2p
4p
2p
4p
15 ■
De conciërge stelt bij het installeren van het slot de code in. Als hij de code met de letters CZ laat beginnen, zijn er nog 1000 verschillende mogelijkheden om een cijfercombinatie te kiezen. Laat zien hoe de conciërge aan die 1000 mogelijkheden komt.
16 ■
Het onthouden van de code levert de eerste weken problemen op. Als mevrouw Brilsma de tweede dag haar fiets uit de stalling wil halen, weet ze alleen nog dat de code begint met de letters CZ, gevolgd door een combinatie van de cijfers 4, 5 en 7. Helaas weet ze de volgorde van deze drie cijfers niet meer. Schrijf alle mogelijke combinaties op van de cijfers 4, 5 en 7 op het codeslot.
17 ■
In de door de fabrikant bijgeleverde gebruiksaanwijzing staat dat vanwege de veiligheid geadviseerd wordt om een aantal ’gemakkelijke’ combinaties niet te gebruiken. Hiermee worden de combinaties met twee gelijke letters én drie gelijke cijfers bedoeld, bijvoorbeeld CC333. Bereken hoeveel van deze ’gemakkelijke’ combinaties er zijn. Schrijf je berekening op.
18 ■
Het nieuwe slot is geïnstalleerd in september 2000. Iedere maand (behalve in de vakantiemaanden juli en augustus) verandert de conciërge alleen de twee letters van het codeslot. Hij neemt nooit twee gelijke letters. Het moment waarop hij een code moet nemen die hij al eens gebruikt heeft, stelt hij zo lang mogelijk uit. Hij weet dat er natuurlijk een moment komt waarop hij er niet meer onderuit kan komen. Bereken wanneer het zover is, geef jaar én maand. Schrijf je berekening op.
100022
13
6
Lees verder
■■■■
Kapitaalbank In 1999 was de rente bij de bank voor een gewone spaarrekening 2,5%. Dit betekent dat één jaar later 2,5% rente over het bedrag dat op de spaarrekening staat, bijgeschreven wordt. Ga er steeds vanuit dat het bedrag plus rente op de spaarrekening blijft staan. Johan zet in 1999 in één keer een bedrag van ƒ 600,– op de bank. Ga er voor de vragen 19 en 20 vanuit dat de rente in de volgende jaren ongewijzigd blijft.
3p
19 ■
Bereken hoe groot het totale bedrag is na twee jaar. Schrijf je berekening op.
3p
20 ■
Bereken na hoeveel jaar het totale bedrag voor het eerst meer dan ƒ 800,– zal zijn. Schrijf je berekening op.
5p
3p
21 ■
22 ■
100022
13
Johan laat zich voorlichten door een medewerker van de bank. Hij krijgt te horen dat het eindbedrag al na twee jaar meer dan ƒ 800,– zou zijn als hij de ƒ 600,– niet op een spaarrekening zou zetten maar zou beleggen. Bereken in één decimaal nauwkeurig, hoeveel procent rente per jaar de bank op een gewone spaarrekening zou moeten geven om na twee jaar ƒ 800,– op deze spaarrekening te hebben staan. Schrijf je berekening op. Er moet bij beleggen rekening gehouden worden met andere kosten. Maar Johan verwacht wel een rentepercentage van 11,5% te krijgen. Johan maakt een formule waarmee hij jaarlijks het eindbedrag kan uitrekenen. Hij begint met een bedrag van f 600,– te beleggen. Geef deze formule. Neem hierin voor het eindbedrag in guldens de letter b en voor de tijd in jaren de letter t.
7
Lees verder
■■■■
De kubo-octaëder De Nederlandse kunstenaar M.C. Escher (1898 – 1972) heeft zich gedurende zijn leven veel met ruimtelijke figuren bezig gehouden. Hij bestudeerde onder andere halfregelmatige lichamen. Deze lichamen hebben twee (of meer) verschillende soorten grensvlakken. Eén van deze halfregelmatige lichamen is de kubo-octaëder. Zie figuur 8 en foto 3. De kubo-octaëder bestaat uit een aantal vierkanten die even groot zijn en een aantal driehoeken.
figuur 8
3p
foto 3
23 ■
Wat voor soort driehoeken zitten er in de kubo-octaëder? Verklaar je antwoord. Joeri wil de kubo-octaëder van figuur 8 zelf gaan maken. Hij heeft een boek waar de bouwplaat van deze kubo-octaëder in staat. Om zijn boek niet te beschadigen, tekent hij de bouwplaat uit zijn boek na. De tekening van Joeri vind je op de bijlage bij vraag 24. In het boek staat bij de bouwplaat de volgende beschrijving.
figuur 9
Als je de bouwplaat in elkaar wilt zetten vouw dan het model in elkaar en zet de plakranden 1 tot en met 4, zoals aangegeven met de pijltjes, aan de bijbehorende zijde vast. Herhaal dit met de resterende plakranden.
3p
3p
24 ■
25 ■
100022
13
Geef op de bijlage bij vraag 24 met een pijl aan, aan welke zijde de plakranden met de nummers 5 en 6 vast komen te zitten. Voordat Joeri zijn bouwplaat gaat uitknippen, controleert hij of alles goed is overgenomen. Hij ontdekt dat hij twee plakrandjes tekort komt. Teken op de bijlage bij vraag 25 de ontbrekende plakrandjes op de juiste plaats.
8
Lees verder
figuur 10
5p
26 ■
De kubo-octaëder van figuur 8 ontstaat door van een regelmatig achtvlak vanuit het midden van elke ribbe de hoeken weg te halen. Zie figuur 10. Je kunt deze kubo-octaëder ook maken door uit een kubus vanuit het midden van elke ribbe de hoeken weg te halen. Op de bijlage bij vraag 26 zie je twee keer een kubus getekend. Teken in de kubus op de bijlage bij vraag 26 de zichtbare ribben van de kubo-octaëder van figuur 8.
Einde
100022
13
9
