EVALUASI DISTRIBUSI GABUNGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA KONVOLUSI DAN REKURSI PANJER

Vol. 7, No. 1, Juni 2012

EVALUASI DISTRIBUSI GABUNGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA KONVOLUSI DAN REKURSI PANJER Rosita Kusumawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta (UNY) Karangmalang, Yogyakarta 55281, Indonesia [email protected] Abstrak Evaluasi distribusi gabungan merupakan bagian penting dalam matematika asuransi dan manajemen resiko. Perbandingan evaluasi distribusi gabungan menggunakan algoritma Konvolusi dan rekursi Panjer akan dikaji dalam tulisan ini. Keywords: distribusi gabungan, konvolusi, rekursi panjer Abstact Evaluation of the compound distribution is an important part in the field of mathematics insurance and risk manajement. Comparative evaluation of the compound using Convolution algorithms and Panjer recursion will be reviewed in this paper. Keyword: compound distribution, convolution, panjer recursion

PENDAHULUAN Salah satu pilar dalam teori

dimodelkan menggunakan collective risk model.

resiko klasik dan asuransi adalah analisa kumpulan resiko atau jumlahan klaim dari seluruh polis-polis dalam suatu portofolio asuransi. Ada dua cara untuk melakukan analisa akumulasi klaim (Kulgman, et al. 2004), yaitu dengan model resiko individu (individual risk model)

dan

model

resiko

kolektif

(collective risk model). Individual risk model melihat polis secara individual, sedangkan collective risk model melihat jumlahan

klaim

secara

menyeluruh

dalam portofolio bukan polis secara invidual.

Akumulasi

klaim

asuransi

kebakaran dan kerugian adalah salah satu

contoh

asuransi

yang

cocok

Collective risk model merupakan proses acak. Misalkan peubah acak N menyatakan jumlah klaim yang terjadi dari suatu portofolio polis dalam suatu rentang waktu tertentu, dan peubah acak Xi adalah besar klaim ke–i, untuk i = 1,2, …, N. Total klaim dari portofolio dalam

periode

tersebut

S  X 1  X 2  ...  X N .

Asumsi

adalah, yang

digunakan untuk mempermudah dalam mempelajari model resiko kumpulan S di atas yaitu, i.

X1, X2, … iid

ii.

peubah acak N, X1, X2, … saling independen

33

Evaluasi Distribusi Gabungan.........(Rosita Kusumawati)

Evaluasi

distribusi

gabungan

2

b. Var  S   E  N Var  X    E X   Var  N

sangatlah penting dalam collective risk model. Ada beberapa pendekatan yang dapat

dilakukan

yaitu

algoritma

. c. mS  t   mN  log m X  t   . bukti:

Konvolusi, algoritma Rekursi untuk kelas distribusi yang lebih besar dalam,



Fast Fourier Transform (FFT), sparse



 E X1 ... XN N  n P N  n

vector, dan lain – lain. Dalam tulisan ini penulis

akan

mengkaji



a. E  S   E E  S N  .

n0 

algoritma

 E X1 ... Xn N  n P N  n

Konvolusi dan Rekursi Panjer dalam

n0 

 E X1 ... Xn  P N  n

evaluasi distribusi gabungan.

n0 

 nE X  P N  n

FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN

n0

 E  X  E N 

Fungsi distribusi gabungan S dari .

total jumlah klaim dari seluruh polis dalam portofolio adalah fungsi yang dapat

digunakan

untuk

b. Dengan menggunakan dekomposisi variansi diperoleh,

melakukan







analisa kumpulan resiko yang imple-

Var  S   E Var  S N   Var E  S N 

mentasinya pada asuransi kebakaran

.



digunakan untuk menghitung premi

 E NVar  X   Var  N

reasuransi stop loss. Sifat-sifat dis-

 E NVar  X   E X   Var  N

2

tribusi gabungan akan dibahas dalam beberapa teorema di bawah ini.

. c.

.





Teorema 1. (Bowers, et. al., 1997)





 E et X1...XN  N  n P N  n

Diberikan variabel random total klaim

n0 





 E et X1...Xn  P N  n

S yaitu S  X 1  X 2  ...  X N , dengan

n0

variabel random N jumlah klaim dan Xi



n

  mX  t   P N  n

iid.

n0

 E  elogmX  t 



a. E  S   E  X  E  N  . .

34



mS  t   E E  etS N  .



N

  

Vol. 7, No. 1, Juni 2012

 mN  log mX  t   .

bukti : ▄

cukup jelas menggunakan Teorema 1. ▄

Pemilihan distribusi dari N akan berpengaruh pada distribusi dari S.

ALGORITMA KONVOLUSI Misalkan dua peubah acak X1, X2,

Terdapat beberapa bentuk khusus yang sering digunankan dalam analisa model

yang

saling

independen

dan

resiko, yaitu untuk N berdistribusi

S  X 1  X 2 dengan daerah diberikan

Poisson, maka S berdistribusi gabungan

pada gambar di bawah ini.

Poisson, dan untuk N berdistribusi binomial negatif, S berdistribusi gabungan binomial negatif.

Teorema 2. (Bowers, et. al., 1997) Untuk

N

POI    ,

S

disebut

distribusi gabungan Poisson dengan E S   E  X  ,

Var  S    E  X 2 

dan mS  t   exp   m X  t   1 . bukti :

Gambar 1. Daerah X 1  X 2  s

Fungsi distribusi dari S adalah

cukup jelas menggunakan Teorema 1.

FS  s   P  S  s   P  X1  X 2  s  . Jika adalah peubah acak diskrit maka

▄

dengan hukum peluang total dapat Teorema 3. Untuk N

BIN  r , p  , S

disebut distribusi gabungan Binomial Negatif

dengan E  S  

rq EX , p

diperoleh, FS  s  P X1  X2  s X2  r P X2 r rs



 PX

1

 s  r X2  rPX2  r

r  s

Var  S  

2 rq rq 2 2 E X  E  X   dan   2 2  p p r

  p mS  t     . 1  qm t   X  

Diketahui X1, X2 independen, sehingga diperoleh,

35

Evaluasi Distribusi Gabungan.........(Rosita Kusumawati)

FS  s  

 F s  r f r X1

dengan FX1 * FX 2 . Algoritma Konvolusi

X2

r  s

untuk distribusi gabungan secara umum

(1)

diberikan dalam teorema di bawah ini.

Hal yang sama juga diperoleh untuk peubah acak kontinu. Proses pada

Teorema 1. Konvolusi (Kass R., 2008)

persamaan (1) disebut konvolusi dari

Distribusi bersyarat S untuk N = n

sepasangan fungsi distribusi FX1  x1 

adalah

dan FX 2  x2  , yang dapat dinotasikan 

FS  s   P  S  s    P  X1  ...  X N  s N  n  P  N  n  , n 0

atau dapat dituliskan dalam bentuk lain

N

S   Xi ,

Diasumsikan



FS  s    P*n  s  P  N  n  ,

dan

1 P  X  1  , serta 2

n 0 

f S  s    p *n  s  P  N  n  .

P  X  2   P  X  3 

n 0

bukti : cukup

jelas

menggunakan

dan

i 1

1 . 4

Tentukan

distibusi dari S.

hukum

Untuk

peluang total.

jumlah

klaim

berdistribusi Poisson dengan   2 ,

▄

P  N  n   f N (n)  akan Contoh 2. Diketahui jumlah klaim N

e 2 2 n . Distribusi S n!

ditentukan

menggunakan

algoritma Konvolusi. Dari Teorema 4,

berdistribusi Poisson dengan   2 .

diperoleh

tabel

konvolusi

sebagai

berikut, N

0

1

2

3

…



f S ( x )   p *n  x  P  n  n 0

2

P  N  n

e

x

p *0  x 

0 1

1

2e

36

2

p *1  x 

1 2 1 4

2

N

2e

2

p *2  x 

1 1 1 .  2 2 4

4 2 e 3 p *3  x  e2 1 2 2 .2e  e 2 1 2 1 2 .2e  .2e  e2 4 4

Vol. 7, No. 1, Juni 2012

3 4 5 6 …

1 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 4 2 7 2 .  .  .  .2e  .2e  . e  e 2 4 4 2 4 2 4 8 4 4 8 3 6 … 1 1 1 1 1 1 5 .. .  .  .  2 4 4 4 4 2 16 … … 1 1 1 1 1 .  .  4 4 4 4 8 … … 1 1 1 .  4 4 16 … … … … … Tabel 1. Konvolusi Distribusi Gabungan Poisson   2

Terlihat

bahwa

gabungan

evaluasi

menggunakan

Konvolusi

sangat

distribusi

Teorema 5. (Kass R., 2008)

algoritma

Distribusi gabungan S dengan N adalah

rumit

dan

jumlah klaim yang terjadi

membutuhkan perhitungan yang sangat

dengan

banyak terutama ketika n semakin besar.

P ( N  n) b   a   P( N  n  1)  n

Algoritma rekursi adalah salah satu

ditulis

pendekatan

b  qn  qn 1  a   , untuk n = 1, 2,.., dan n 

lain

untuk

distribusi

gabungan.

dalam

atau notasi

dapat lain

Xi adalah besar klaim ke – i dengan ALGORITMA REKURSI PANJER

x  0, x  X i adalah

Algoritma berikutnya yang dapat digunakan untuk mengevaluasi distribusi gabungan

adalah

Algoritma

Pr  N  0 , jika p  0   0 f  0   . m log p 0 , jika p 0  0        N

rekursi

Panjer. Relasi yang mendasari rekursi Panjer diberikan dalam Teorem 5 di bawah ini. Pada beberapa literatur banyak dijumpai algoritma rekursi lain yang menggunakan relasi yang sama relasi berikut.

f  s  .

1 s  bh a  p h f  s h, s 1,2,... 1ap 0 h1  s  (3.1)

bukti: Untuk s = 0, dengan menggunakan 

f S  s   P  S  s    P  X 1  ...  X N  s N  n  P  N  n  (Teorema 4.), n 0

37

Evaluasi Distribusi Gabungan.........(Rosita Kusumawati)

diperoleh

bahwa

p  0  0

maka

dan

untuk

f (0)  Pr  N  0 ,

Harga harapan tersebut dapat pula

f (0)  mN  log p  0   .

s

=

iid dan simetris, jelas bX b s  b   E  a  1 Tk  s   a     a  (i) s sk  k  

jika p  0   0 maka

Untuk

dengan X1 dan k – 1 variabel yang lain

1,

2,…,

dibentuk

dinyatakan dalam bentuk,

Tk  X 1  X 2  ...  X k . Ada k iid variabel, s bh  bX  s  bh  P  X1  h P  Tk  X1  s  h E  a  1 Tk  s    a  P  X1  h Tk  s     a   s s s  P Tk  s    h 0 h 0 

(ii)

b  Dari (i), (ii) dan relasi qn  qn 1  a   , diperoleh Distribusi gabungan S yaitu n  

f s 

 q P T k

k

 s

k 1 



b



  a  k  q

k 1

P Tk  s 

k 1 



bX 1  Tk  s   q k 1 P  Tk  s  s  k 1   s P bh   X 1  h  P Tk  X 1  s  h     q k 1   a  P Tk  s  s  P  Tk  s  k 1 h0  



  E  a 



 q   a 



s k 1

k 1

h0



bh  P  X 1  h  P Tk  X 1  s  h  s 

 bh    a  P  X 1  h   q k 1 P  Tk  X 1  s  h   s  h0  k 1 s bh    a  p h  f s  h  s  h0  s

s bh    ap  0  f  s     a  p h  f s  h  s  h 1 

.

diperoleh,

f  s 

s 1 bh     a   p  h f  s  h  . 1  ap  0 h1  s 

Algoritma rekursi Panjer hanya

▄

distribusi–distribusi itu adalah distribusi

dapat digunakan untuk distibusi yang

Poisson,

memenuhi relasi Teorema 5., dan

Binomial. Berikut formula rekursi untuk

38

Binomial

Negatif,

dan

Vol. 7, No. 1, Juni 2012

distribusi gabungan Poisson, Binomial Negatif, dan Binomial, i.

Distribusi Poisson   meme-

f  s 

1 s  hp  h  f  s  h , s  1, 2,... s h1

. Contoh 2. Tentukan distibusi dari S

b  nuhi qn  qn 1  a   , dengan dengan n  a  0 dan b    0 . Persamaan 3.1

pada Contoh 1. dengan algoritma

untuk distribusi Poisson   adalah,

Diketahui distribusi gabungan Poisson

 e0  P r N  0  e , jikap 0 0    0! f  0  m  logp 0  exp p 0 1 e1p0  , jikap 0 0 N





Rekursi Panjer.

dengan

dengan

 2

1 1 1 P  X  1, 2,3  , , . 2 4 4

dan Dengan

Teorema 5. diperoleh,

1  2.1. p(1) f  s  1  2.2 p  2  f  s  2   2.3. p  3 f  s  3  s 1 1 1 1    2.1. . f  s  1  4. . f  s  2   6. . f  s  3  . s 2 4 4 

f s 

1 3    f  s  1  f  s  2   . f  s  3  s 2  untuk s = 1,2,…. Diperoleh, f S (0)  e  2 ,

1 f S (1)  f S (0)  e2 , 1 1 1 f S (2)   f S 1  f S  0     e 2  e 2   e 2 , 2 2 1 3 3  7  1 f S (3)   f S  2   f S 1  f S  0     e2  e 2  e 2   e2 . 3 2 2  6  3 Contoh implementasi rekursi Panjer dalam program R dengan menggunakan Panjer.Bin function yaitu, Panjer.Poi1||any(p<0)) stop("p parameter not a density") fs=NULL

d=length(p) fs[1]=exp(-theta*(1- p[1])) for (s in 1:maks){ ptemp=NULL if ((s+1)<=d) ptemp=p[2:(s+1)] if ((s+1)>d) { ptemp=p[2:d] ptemp[d:s]=0 } ptemp=ptemp*((1:s)*theta) ftemp=fs[s:1]

39

Evaluasi Distribusi Gabungan.........(Rosita Kusumawati)

fs[s+1]=((1/s)*p[1]))*(ptemp%* %ftemp) if (sum(fs)>0.99999999) break } return(fs) }

a  1 ,

dengan

b  a  r  1  1    r  1 .

Dengan

b a

sehingga

  1 a

Distrbusi

 r , 

Binomial

memenuhi

Negatif b  qn  qn 1  a   , n 

b  a  r  1  1    r  1 .

Persamaan

3.1

untuk

distribusi

Binomial Negatif  r ,  adalah,

  r  0  1 r 0 r  Pr  N  0     1      , 0    f 0   r      mN  log p  0     1  1    p  0   ,   

f  s 

r  1

dan

0  a  1 dan a  b  0 , atau a  1   , dan

i.

dan

jika p  0   0 jika p  0   0

s  1    r  1 h  1  1      p h f s  h  1  1    p  0  h 1  s 

s  1     r  1 h   1   p  h  f  s  h ,  1  1    p  0  h 1  s 

Contoh implementasi rekursi Panjer

.

s  1, 2,...

if ((s+1)>d) {

dalam program R dengan menggunakan

ptemp=p[2:d]

Panjer.Bin function yaitu,

ptemp[d:s]=0

Panjer.NegBin<-

function(r,theta,p,

maks=100) { if

(sum(p)>1||any(p<0))

stop("p

parameter not a density") fs=NULL

} ptemp=ptemp*((1:s)*(r-1)/s+1) ftemp=fs[s:1] fs[s+1]=((1-theta)/(1-(1theta)*p[1]))*(ptemp%*%ftemp) if (sum(fs)>0.99999999) break } return(fs) }

d=length(p) fs[1]=(theta/(1-(1-theta)*p[1]))^r

ii.

for (s in 1:maks){

memenuhi

ptemp=NULL if ((s+1)<=d) ptemp=p[2:(s+1)]

40

Distrbusi

Binomial

 k , 

b  qn  qn 1  a   , dengan n 

Vol. 7, No. 1, Juni 2012

Persamaan

    , dan b  1  k   .  1  1   a ba Dengan   dan k   , a 1 a atau a 

sehingga

a0

3.1

dan b  a  k  1 ,



s  

distribusi

Binomial  k ,  adalah,

 k 0 k 0 k  Pr  N  0      1     1    0 f 0   k k  log p  0 m log p 0  1     e  1     . p  0       N  f

untuk

s

1    1   p 0   1



h 1

, jika p  0   0

.



    1  k   h     1   p h f       s  1     

, jika p  0   0 s  h 

     s  1  k  h  p h f s  h 1     1       s     1  p  0  h 1    1      s  1  k  h  1    1   p h  f s  h    1    s h 1    p 0        1  1 s  1  k  h    1      1   p  0  h 1  s  s  1  k  h     1 s  1  p  0    1 h  1 



p h  f

s  h 

  p h  f 

Contoh implementasi rekursi Panjer

.

 s  h ,

s  1, 2 , ...

if ((s+1)>d) {

dalam program R dengan menggunakan

ptemp=p[2:d]

Panjer.Bin function yaitu,

ptemp[d:s]=0

Panjer.Bin<-

}

function(k,theta,p,

maks=100)

ptemp=ptemp*((1:s)*(1+k)/s-1)

{ if

(sum(p)>1||any(p<0))

stop("p

parameter not a density") fs=NULL d=length(p) fs[1]=(1-theta+theta*p[1])^k

ftemp=fs[s:1] fs[s+1]=(-theta)/(theta*(1-p[1])1)*(ptemp%*%ftemp) if (sum(fs)>0.99999999) break } return(fs) }

for (s in 1:maks){ ptemp=NULL if ((s+1)<=d) ptemp=p[2:(s+1)]

41

Evaluasi Distribusi Gabungan.........(Rosita Kusumawati)

SIMPULAN Algoritma rekursi Panjer mempermudah evaluasi

dari

dibandingkan

distribusi algoritma

gabungan konvolusi.

Akan tetapi algoritma rekursi hanya dapat

dijalankan

untuk

distribusi

gabungan tertentu saja yaitu distribusi gabungan Poisson, Negatif Binomial, dan Binomial.

DAFTAR PUSTAKA Bowers,

et.

al.

1997,

Actuarial

Mathematics, 2nd Edition, Society of Actuaries. Crawley, M. J., 2007, The R Book, John Wiley & Sons, Ltd. Kass, R. 2008, Modern Actuarial Risk Theory using R, Springer Verlag. Klugman, Stuart A., Panjer, Harry H. and Willmot, Gordon E. 2004. Loss Models from Data to Decisions, 2nd edition. New Jersey : John Wiley & Sons, Inc. Rice,

J.

A.

(1995),

Mathematical

Statistics and Data Analysis, 2nd Edition, Duxbury Press, Belmont, CA.

42