Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Faragó Judit
Matematika BSc, Matematikai elemz® szakirány
Széls®érték feladatok gazdasági számításokban Szakdolgozat
Témavezet®: Gémes Margit, M¶szaki gazdasági tanár Analízis Tanszék
Budapest, 2009
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés
4
2. Matematikai alapok
5
2.1. Fejezetek az analízisb®l . . . . . . . 2.2. A lineáris programozás . . . . . . . 2.2.1. A szimplex módszer . . . . . 2.2.2. Az Excel Solver használata .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. 5 . 9 . 10 . 13
3. Közgazdasági alapfogalmak
17
3.1. A termelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. A termelési függvény . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Átlagtermék és határtermék . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Rövid távú termelési- és határtermék függvény . . 3.1.4. A termelési rugalmasság . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. A termelési tényez®k hozadéka . . . . . . . . . . . 3.1.6. Az isoquant és a határtermék . . . . . . . . . . . 3.1.7. A technikai helyettesítési határráta . . . . . . . . 3.1.8. A költségvetési egyenlet és az isocost . . . . . . . 3.1.9. Az inputköltség minimalizálása, maximális output 3.2. Költségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. A rövid távú költségfüggvények . . . . . . . . . . 3.2.2. Bevétel és pro t . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. A matematika alkalmazása a közgazdaságtanban
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
18 18 19 20 22 22 26 28 30 30 32 32 37
39
4.1. Bevezet® példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. Összetettebb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2
4.3. Lineáris programozási feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4. Széls®érték feladatok az analízis módszereivel . . . . . . . . . . . . . 49
5. Összefoglalás
52
3
1. fejezet
Bevezetés
Manapság az ember mindenhonnan a gazdasági jelenségek fontosságát hallja, ám nem könny¶ ezek között laikusként eligazodni. Aki elhatározza, hogy mélyebben megismerkedik ezen tudománnyal, hamar rájön, hogy a rettegett matematika is képbe kerül. Pedig nem kell megijedni, a matematikának csak egy viszonylag sz¶k szegmensét használja fel a közgazdaságtan. Ha ezeket alaposan elsajátítjuk, nem érhet minket csalódás. Dolgozatom célja, hogy ezen összefüggéseket, valamint az ezekhez kapcsolódó ismereteket bemutassam, illetve konkrét példákon szemléltessem. A második fejezetben körvonalazom a szükséges matematikai ismereteket az analízisb®l de níciók, tételek formájában, illetve betekintést nyújtok a lineáris programozásba. A harmadik fejezetben mélyebben kifejtem a közgazdasági alapfogalmakat, melyekre szükségünk lesz a kés®bbiekben a feladatok megoldásánál, valamint bemutatom, hogyan alkalmazzuk a korábban ismertetett matematikai alapjainkat a közgazdaságtanban. A negyedik fejezet konkrét feladatok megoldásának menetét tartalmazza, az egyszer¶bb feladatoktól az összetettebbek felé haladva. Természetesen el®jönnek olyan feladatok, melyek megoldása nem feltétlenül az analízis és a lineáris programozás eszközeit igénylik, így ezen módszereket az adott feladat megoldásában fogom ismertetni.
4
2. fejezet
Matematikai alapok
2.1.
Fejezetek az analízisb®l
Ebben a fejezetben lényegre tör®en összegy¶jtöttem azokat a de níciókat, tételeket, melyekre szükségünk lesz a kés®bbiekben.
Egy- és többváltozós dierenciálás, lokális széls®értékek: Weierstrass-tétel: Ha
f ∈ C[a, b], akkor van olyan α, β ∈ [a, b], melyekre tel-
jesül, hogy f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) ∀x ∈ [a, b]-re, vagyis korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi az intervallumon a minimumát és a maximumát.
De níció: Legyen f értelmezve az a pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy az f függvény az a pontban dierenciálható, ha a f (x) − f (a) x→a x−a lim
véges határérték létezik. Ez a határérték az f függvény a pontbeli dierenciálhányadosa, vagy deriváltja.
De níció: Legyen
f dierenciálható az a pontban. A graph f gra kon (a, f (a))
pontbeli érint®jén az y = f 0 (a) · (x − a) + f (a) egyenlet¶ egyenest értjük, vagyis az érint® egyenes meredeksége f 0 (a) az a pontban. 5
Tétel: Tegyük fel f kétszer dierenciálható a-ban. Ha I. f 0 (a) = 0 és f 00 (a) > 0, akkor f -nek a-ban szigorú lokális minimum a van. II. f 0 (a) = 0 és f 00 (a) < 0, akkor f -nek a-ban szigorú lokális maximum a van.
De níció: Az
a pont az f függvény in exiós pont ja, ha f -nek létezik deriváltja
a-ban (véges vagy végtelen) és van olyan δ > 0, amelyre f konvex (a − δ, a]-ban,
konkáv [a, a + δ)-ban vagy van olyan δ > 0, amelyre f konkáv (a − δ, a]-ban, konvex [a, a + δ)-ban.
Tétel: Tegyük fel, hogy f kétszer dierenciálható a egy környezetében. Ekkor f -nek a-ban in exiós pontja van ⇐⇒ ⇔ ∃δ > 0, hogy (a − δ, a]-n f konvex, [a, a + δ)-n konkáv, vagy (a − δ, a]-n f
konkáv, [a, a + δ)-n konvex ⇔ f 00 (a) = 0 és f 00 lokálisan n® vagy csökken a-ban.
Következmény: Ha
f háromszor dierenciálható a-ban, f 00 (a) = 0, f 000 (a) 6= 0,
akkor f -nek a-ban in exiós pontja van.
De níció: Tegyük fel
H ⊂ Rn , f : H → R, a = (a1 , ..., an ) ∈ H , i ∈ {1, ..., n}.
Legyen fi (t) = f (a1 , ..., ai−1 , t, ai+1 , ..., an ), t ∈ R. Ha fi dierenciálható ai -ben, akkor f függvény i. változó szerinti parciális deriváltja a-ban fi0 (ai ).
De níció: Az
n változós f függvénynek lokális minimum a van a ∈ Rn -ben, ha
∃r > 0: f értelmezve van B(a, r)-n és ∀x ∈ B(a, r) f (x) ≥ f (a). Ekkor a lokális
minimumhely, f (a) lokális minimum. Ha ∀x ∈ B(a, r)\ {a}-ra f (x) > f (a), akkor szigorú lokális minimum.
De níció: Az
n változós f függvénynek lokális maximum a van a ∈ Rn -ben, ha
∃r > 0: f értelmezve van B(a, r)-n és ∀x ∈ B(a, r) f (x) ≤ f (a). Ekkor a lokális
maximumhely, f (a) lokális maximum. Ha ∀x ∈ B(a, r)\ {a}-ra f (x) < f (a), akkor szigorú lokális maximum. 6
Tétel: Ha az n változós f függvénynek lokális széls®értékhelye van a-ban, és létezik az összes parciális derivált a-ban, akkor Di f (a) = 0 (i = 1..n).
Széls®érték keresés korlátos, zárt halmazon, feltételes széls®érték: De níció: Egy a ∈ Rn bels® pontja H ⊂ Rn -nek, ha ∃r > 0 : B(a, r) ⊂ H . De níció: Egy a ∈ Rn küls® pontja H ⊂ Rn -nek, ha ∃r > 0 : B(a, r) ∩ H 6= ∅. De níció: Egy a ∈ Rn határpontja H ⊂ Rn -nek, ha ∃r > 0 : B(a, r) metszi H -t és Rn \ {H}-t, azaz se nem bels®, se nem küls® pont.
Állítás:
H ⊂ Rn , f : H −→ R, f -nek maximuma/minimuma van a-ban és a
bels® pontja H -nak, akkor a lokális maximumhely/minimumhely.
Tétel: Tegyük fel
H ⊂ Rn korlátos, zárt halmaz, f : H −→ R folytonos, f -nek
léteznek a parciális deriváltjai H bels® pontjaiban. Ekkor f H -n a maximumát/minimumát vagy H határán veszi fel, vagy H olyan bels® pontjában, ahol ∀Di f (a) = 0.
De níció: Ha az n-változós f függvény j. parciális deriváltjának létezik az i. parciális deriváltja a-ban, akkor ezt az f függvény a-beli ij. másodrend¶ parciális deriváltjának nevezzük.
De níció: Ha az n-változós
f függvény minden parciális deriváltja létezik a ∈
Rn környezetében, és mindegyik parciális derivált dierenciálható a-ban, akkor azt
mondjuk, hogy f kétszer dierenciálható.
Young-tétel: Ha az n-változós f (x1 , ...xn ) függvény Di f és Dj f parciális deriváltjai léteznek az a ∈ Rn környezetében és a-ban dierenciálhatók, akkor Dij f (a) = Dji f (a).
De níció: f második Taylor polinomja a körül t2 (x1 , ..., xn ) = f (a) +
n X
fx0 m (a)(xm − am ) +
m=1
n X n X i=1 j=1
7
fx00i xj (a)(xi − ai )(xj − aj ).
De níció: A kvadratikus alak nolyan n-változós polinom, melynek csak másodfokú n
tagja van, azaz q(x1 , ..., xn ) =
PP i=1 j=1
cij xi xj alakú, cij = cji feltehet®.
De níció: A q kvadratikus alak pozitív de nit, ha q(x) > 0 ∀x 6= 0-ra. De níció: A q kvadratikus alak negatív de nit, ha q(x) < 0 ∀x 6= 0-ra. De níció: A q kvadratikus alak pozitív szemi-de nit, ha q(x) ≥ 0 ∀x ∈ Rn -re. De níció: A q kvadratikus alak negatív szemi-de nit, ha q(x) ≤ 0 ∀x ∈ Rn -re. De níció: A q kvadratikus alak inde nit, ha felvesz pozitív és negatív értékeket is. Tétel: Tegyük fel f kétszer dierenciálható a ∈ Rn -ben. Ekkor I. ha f -nek a-ban lokális minimuma/maximuma van, akkor Di f (a) = 0 ∀i-re, és n P n P Dij f (a)hi hj kvadratikus alak pozitív/negatív szemi-de nit. (szükséges) i=1 j=1
II. ha Di f (a) = 0 ∀i-re és a
n P n P i=1 j=1
Dij f (a)hi hj kvadratikus alak pozitív/negatív
de nit, akkor f -nek a-ban szigorú lokális minimumhely/maximumhelye van. (elégséges)
Megjegyzés: 0 körül a Taylor polinomban xi szerepel, míg a körül xi − ai = hi .
De níció: Tegyük fel
a ∈ H ⊂ Rn , f, F1 , ..., Fk : H ⇒ R. f -nek feltételes ma-
ximuma van a-ban az F1 = · · · = Fk = 0 feltétel mellet, ha F1 (a) = · · · = Fk (a) = 0, és f (a) < f (b) ∀b ∈ H , melyre F1 (b) = · · · = Fk (b) = 0.
De níció: f -nek lokális maximuma van a-ban az F1 = · · · = Fk = 0 feltétel mellett, ha F1 (a) = · · · = Fk (a) = 0, a bels® pontja H -nak, és van olyan δ > 0, melyre f (a) ≥ f (b) ∀b ∈ B(a, δ), hogy F1 (b) = · · · = Fk (b) = 0. Megjegyzés: minimumra hasonlóan de niálható.
Lagrange-féle multiplikátor módszer: Tegyük fel H
⊂ Rn , a bels® pontja H -
nak, F1 , ..., Fk : H → R, parciális deriváltja folytonosak a-ban. Ha f : H → R dierenciálható a-ban, és f -nek feltételes lokális maximuma/minimuma van a-ban az F1 = · · · = Fk = 0 feltétel mellett, akkor vannak olyan µ, λ1 , ..., λk ∈ R számok, melyek nem nullák, de µf + λ1 F1 + · · · + λk Fk függvény minden parciális deriváltja 0 a-ban. 8
2.2.
A lineáris programozás
Ax
≤
b
x
≥
0
min
cT x
keresett vektor célfüggvény,
ahol A adott mátrix, b és c adott vektorok. De níció. x megengedett megoldás, ha Ax ≤ b és x ≥ 0.
2.1. ábra. Lineáris programozási feladat általános alakja.
De níció. x optimális megoldás, ha megengedett megoldás és ∀x0 megengedett megoldásra cT x ≥ cT x0 .
Példa: Az alábbiakban egy házibuli példáját nézzük. Szükségünk lesz szendvicsekre, melyekb®l kétfélét készítünk. Az alapanyagunk sonka, vaj, sajt és f®tt tojás lesz. Az els® szendvics húsimádóknak van, 3 dkg sonka kerül rá 2 dkg sajttal és negyed tojással, valamint 3 dkg vajat is kenünk rá, a második fajtára 1 dkg sonka jut 5 dkg sajttal, fél tojással és 2 dkg vajjal. Az egyes alapanyagokból a következ® mennyiségek állnak rendelkezésünkre: sonkából 100 dkg, sajtból 200 dkg, vajból 120 dkg, tojásból pedig 20 darab. Kenyeret korlátlan mennyiségben felhasználhatunk. Célunk, hogy minél több szendvicset készítsünk az alapanyagokból. Lássunk a konkrét értékeket táblázatba rendezve! Hasonlóan a 2.1 ábrához, az A mátrix jelöli, hogy az egyes alapanyagból mennyit szeretnénk az egyes szendvicsekhez felhasználni, a b vektor az alapanyagkészlet fels® korlátját jelöli, a c vektorban az egyes szendvicsek száma látható, vagyis ebben a feladatban a szendvicsek számának maximalizálására törekszünk. 9
I. II. III. IV.
0
0
x1
x2
3
1
≤
100
2
5
≤
200
3
2
≤
120
1 4
1 2
≤
20
1
1
2.1. táblázat. A szendvicsekre vonatkozó adatok. 2 változó esetén kézenfekv® a gra kus megoldás, hiszen még könny¶ koordinátarendszerben dolgozni, de sokan nem igazán szeretnek. Így ennek, és az ehhez hasonló feladatoknak a megoldása a szimplex módszerrel történik. A továbbiakban ezt az eljárást fogom ismertetni, majd megnézzük, hogyan lehet könnyedén és gyorsan megoldani ezeket a feladatokat a Microsoft Excel Solver ének segítségével.
2.2. ábra. Egy feladat gra kus megoldása.
2.2.1. A szimplex módszer Amennyiben csak két változóval dolgozunk, egy a 2.2-höz hasonló ábra segítségével meg tudjuk oldani a feladatot. A színes egyenesek az egyes feltételeket jelentik (jelen esetben mind ≤), a világoskék terület ezek metszete, a piros egyenesek a 10
célfüggvény eltoltjai, az optimális megoldás ott van, ahol a célfüggvény a világoskék terület határára - egy pontra - esik. Az ábrát jobban meg gyelve van olyan feltétel, melynek egyenesét a célfüggvény nem metszi az optimális megoldásnál. Ez azt jelenti, hogy abból az alapanyagból maradni fog. Több változó esetén nincs ilyen könny¶ dolgunk, ilyenkor hatékony megoldást jelent a szimplex módszer. A következ®kben egy konkrét példán fogom bemutatni a szimplex-algoritmus m¶ködését. Szimplex módszer esetén a lineáris programozási feladat az alábbiak szerint módosul, amit a lineáris programozás kanonikus alakjának is nevezünk:
Ax
=
b
x
≥
0
cT x ahol A ∈ Rm×n . max
keresett vektor célfüggvény,
Mint látjuk, a lineáris programozástól abban tér el, hogy az els® sorban = szerepel ≤ helyett, valamint a célfüggvényben maximalizálunk. Természetesen minimalizálni is tudunk, ha egy feladat éppen azt kívánja, ekkor a célfüggvény min −cT x-re módosul. Amennyiben valamelyik sorban nem egyenl®ség szerepelne, ott új ismeretleneket vezetünk be, ún. slack változókat, amikhez a célfüggvény 0, hiszen ezek csak segédváltozók, nem módosíthatják a végeredményt.
Feladat: Egy üzemben öt különböz® terméket lehet három, korlátozott mennyiségben rendelkezésre álló er®forrásból el®állítani. Az er®források mennyiségét, a ráfordításokat és az egyes termékek hozamát a következ® táblázat foglalja össze. Készítsük el az optimális termelési tervet, amely a maximális hozamot eredményezi!
A B C
x1
x2
x3
x4
x5
1 0 1 2
2 1 0 1
1 1 1 3
0 1 1 1
1 1 0 2
11
100 80 50
Mivel minden sorban ≤ szerepel a korlátozó feltételeknél, így kiegészítjük az ún. slack változókkal, hogy a lineáris programozás kanonikus alakját kapjuk:
A B C
x1
x2
x3
x4
x5
s1
s2
s3
1 0 1 2
2 1 0 1
1 1 1 3
0 1 1 1
1 1 0 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
100 80 50 0
1. lépés: A célfüggvényben kiválasztjuk a legnagyobb pozitív értéket (ha több
egyenl®, akkor tetsz®leges), ennek az oszlopában pedig azt az elemet, mely a hányados szabály alapján minimális, és a bázisba (els® oszlop si -jei) be tudjuk vinni. A hányados szabály annyit jelent, hogy ha a célfüggvény alapján kiválasztottam a j. oszlopot, akkor ∀i-re megnézem abiji értékét, és a legkisebb aij -t 1-re transzformálom (az egész sorral együtt), ha szükséges; az oszlop többi elemét kinullázom, ezzel módosítva a mátrix többi sorát is. Félkövérrel kiemeltem a kiválasztott oszlopot, és aláhúztam a hányados szabály alapján kiválasztott sor elemét. Az 1. lépésben leírtakat addig ismételjük, míg van a célfüggvényben pozitív érték.
s1 s2 s3
s1 s2 x3
x1
x2
x3
x4
x5
s1
s2
s3
1 0 1 2
2 1 0 1
1 1 1 3
0 1 1 1
1 1 0 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x1
x2
x3
x4
x5
s1
s2
s3
0 -1 1 -2
2 1 0 1
0 0 1 0
-1 0 1 -2
1 1 0 2
1 0 0 0
0 1 0 0
-1 50 -1 30 1 50 -3 -150
12
100 80 50 0
s1 x5 x3
x1 x5 x3
x1
x2
x3
x4
x5
s1
s2
s3
1 -1 1 1
1 1 0 -1
0 0 1 0
-1 0 1 -2
0 1 0 0
1 0 0 0
-1 0 20 1 -1 30 0 1 50 -2 -1 -210
x1
x2
x3
x4
x5
s1
s2
1 0 0 0
1 2 -1 -2
0 0 1 0
-1 -1 2 -1
0 1 0 0
1 -1 0 20 1 0 -1 50 -1 1 1 30 -1 -1 -1 -230
s3
Mivel már minden célváltozó ≤ 0, és nem tudunk mit bevinni a bázisba, így készen vagyunk. A hozam = −c, vagyis 230, amit úgy érünk el, hogy az els® termékb®l 20 egységet, a másodikból 50 egységet, a harmadikból pedig 30 egységet termelünk. Amennyiben a célfüggvényben van még pozitív érték, de nem tudjuk bevinni azt az oszlopot a bázisba, vagyis si -nél xij = 0, akkor a célfüggvény korlátlan, tehát nem jutunk optimális megoldáshoz.
2.2.2. Az Excel Solver használata Ebben a részben röviden ismertetném a Solver használatát olyan mélységben, amennyire a feladatok megoldásához szükségünk lesz, de a feladatok megoldása folyamán megemlítem a további funkcióit is. A Solver használatához a 2.1 táblázatban ismertetett szendvicsösszeálló feladatot használtam fel, ami lineáris, ilyenkor a módosuló cellák kezd®értéke 0. Amennyiben nem lineáris feladatot oldunk meg a Solver segítségével, a módosuló cellákba tetsz®leges, nem nulla kezdeti értéket kell írni a megoldás el®tt.
13
1. lépés Felírjuk a matematikai modellt Excelben az alábbiak szerint:
2.3. ábra. A Solver használatának els® lépése.
2. lépés Ha nincs még beállítva a Solver, akkor az Eszközök menüpont alatt a B®vítménykezel® ben ki kell pipálni a Solver b®vítmény t.
2.4. ábra. A Solver használatának második lépése.
14
2.5. ábra. A Solver használatának második lépése.
3. lépés Miután ezzel is megvagyunk, megnyitjuk a Solvert az Eszközök menüpontból, majd a követez®képp kell a Solvert kitölteni (2.6 ábra mutatja):
2.6. ábra. A Solver beállításai. 1. Kijelöljük a célcellát, ami mindig a célfüggvény és a módosuló cellák szorzatösszege. 15
2. Kiválasztjuk, hogy a célfüggvényünknek minimálisnak vagy maximálisnak kell lennie. 3. Kijelöljük a módosuló cellákat. 4. A korlátozó feltételeket a Hozzáadás gomb megnyomása után bevisszük. A relációkon kívül megadhatjuk azt is, hogy egésznek vagy binárisnak kell-e lenniük az adatoknak. Utóbbi két feltételt els®sorban a módosuló cellákra szokták alkalmazni olyan feladatokban, melyekben termékeket állítunk el®, aminek a darabszáma csak egész lehet, vagy mint a feladatok között is megtalálható, hogy alkalmazzunk-e valakit vagy sem. Ezek az opciók a 2.7 ábrán láthatók. 5. Ha a fenti lépéseket elvégeztük, a Megoldás gombra kattintva az Excel megoldja a feladatot. 6. A célcellában megkapjuk a keresett értékünket, hogy mekkora kiadással, bevétellel, stb. számolhatunk.
2.7. ábra. A korlátozó feltételek bevitele. Az itt bemutatott feladatra a Solver a következ® eredményt adja:
2.8. ábra. A Solver megoldást talál.
16
3. fejezet
Közgazdasági alapfogalmak
Ebben a fejezetben szeretném bemutatni, hogy az egyes piaci döntések et mely termelési (humán és technikai) tényez®k befolyásolhatják, és befolyásolják. Bármilyen tevékenység termelésnek tekinthet® tágabb értelemben, ha az olyan anyagi vagy nem anyagi eredménnyel jár, mellyel szemben a társadalom igényt támaszt, amire kereslet van. A szakdolgozatban a továbbiakban az anyagi javakkal fogok foglalkozni, mert azokat könnyebb "mérni", számosítani, mint a szellemi javakat. A termeléselmélet valamilyen gazdasági tevékenységet folytató egységet, mint zárt rendszert vizsgál, amir®l csak annyit feltételez, hogy er®forrást használ fel termelés céljából. Többnyire két változóra szokták a közgazdászok egyszer¶síteni a példákat (az egyik változó rögzítésével) - nem szeretnek több dimenzióban számolni -, de megismerkedünk többváltozós függvényekkel, majd a 4. fejezetben konkrét példákon is szemléltetem.
3.1. ábra. Többváltozós termelési függvény. 17
3.1.
A termelés
3.1.1. A termelési függvény A vállalat olyan gazdasági szervezet, amely er®forrásokat alakít át kibocsátássá. Az input és output között függvényszer¶ kapcsolatot tételezhetünk fel, melyet táblázattal, gra konnal, képlettel, rajzzal, stb. ábrázolhatunk. Tehát a termelési függvény a termelési tényez®k lehetséges inputkombinációi és a velük el®állított maximális kibocsátási lehet®ségek halmaza (output) közötti technikai-gazdasági összefüggés. A termelési függvény az adott állapotot ábrázolja függetlenül attól, hogy a tényez®k hány évre befolyásolják a termelési függvényt (pl. egy ház 40-50 évig, egy gép 5-10 évig, egy dolgozó 1-30 évig befolyásolja, mindezek együtt képezik a termelési függvény gazdasági-technikai tartalmát). Természetesen a termeléshez t®ke (ingatlan, gépek, nyersanyag, energia, pénz, stb.) szükséges, valamint különféle munkaer®t is igényelhet (szellemi, zikai munka, különböz® szakma, különböz® végzettségi szint). Ezek összetettségéb®l kapott termelési függvényt nehéz lenne elemezni, így ezeket nagy csoportokba soroljuk, innent®l 2 inputtényez®vel, a munkával (L) és a t®kejavakkal (K) számolunk ezeket nem részletezve. Ekkor a termelés outputja egy Q = f (K, L) alakú függvénnyel írható fel. A függvény triviális módon a pozitív síknegyed pontjaiban ábrázoljuk , hiszen a t®kének és a munkaer®nek is pozitív értéket kell képviselnie.
3.2. ábra. A t®ke és a munkaer® lehetséges kombinációinak függvénye.
18
3.1.2. Átlagtermék és határtermék Ennél a résznél jogos kérdés, hogy mi történik a termelés mennyiségével, ha a tényez®k összetétele id®közben változik (rövidtávot véve alapul)? Ezt a problémát azzal küszöbölik ki, hogy a termelési tényez®k összetételét xálják, és a munkaer® függvényében változik csak a termelési függvény. Ha nézzük a következ® példát egy tetsz®leges vállalatra, hogy hogyan változik a termelés az alkalmazott munkaer® függvényében, a következ® táblázatot láthatjuk:
Munkaer® Össztermelés Átlagtermék Határtermék (L) ) (Q) (APL = QL ) (M PL = ∆Q ∆L 60 70 80 90 100
450 650 790 870 920
7,5 9,3 9,9 9,7 9,2
20 14 8 5
3.1. táblázat. Össztermelés, átlagtermék, határtermék Mint láthatjuk, hiába van megadva a munkaer®höz tartozó termelési szint, ezeket össze kell hasonlítani valami módon, hogy meg tudjuk mondani, ezek közül mennyi az optimális munkaer®. Emiatt bevezették a Q/L hányadost, ami megmutatja, hogy 1 munkaer®re mennyi termelés esik. Tehát egy tényez® átlagterméke (AP - average product) a termelési eredmény és a tényez® felhasznált mennyiségének hányadosa (jelen esetben munkatermelékenység). A negyedik oszlopban is láthatunk egy mutatót, a határterméket, amely azt mutatja meg, hogy a munkaer® növekedése mennyi extra termelést eredményezett. Vagyis ha 60 f® 450 egységet termel, 70 f® pedig 650-et, akkor a 10 f®nyi növekedés 200 egységnyi gyarapodást eredményezett, sarkalatosan kijelentve olyan, mintha az új munkaer®k 20-20 egységgel növelnék a termelést, míg a régiek 'csak' 450 = 7, 5 egységet termelnek adott id® alatt. Ezt a 60 határtermék értéket legjobban koordinátarendszerben lehet érzékelni (3.3 ábra). Tehát egy inputtényez® határterméke (MP - marginal product) az a szám, amely megmutatja, hogy mennyivel változik az össztermelés, ha az adott tényez® felhasználását egységnyivel növeljük. Lényegében a határtermék azt mutatja meg, hogy miként változik az össztermék valamely inputtényez® változásával, 19
3.3. ábra. A termelés változása a munkaer® függvényében. az input és output adott nagyságáról elmozdulva. Ha megváltoztatjuk az inputot, nem csak az össztermék változik, hanem az összráfordítás is, azaz ezek "együttese", az átlagtermék is változhat. Közgazdasági értelemben az össztermelés ∆Q növekménye a termelés addig elért szintjét, ún. határát meghaladó eredmény. Ez alapján hozzuk összefüggésbe a ∆Q outputot a ∆L növekménnyel, és összességében a "határon lév®", vagyis az utolsóként alkalmazott munkás termelékenységét tekintjük. Ezt az értéket kifejezhetjük pénzben vagy más természetes mértékegységben.
3.1.3. Rövid távú termelési- és határtermék függvény Ha a termelési függvény nél lév® példában a t®ketényez® x, és csak a felhasznált munkaer®t tudjuk változtatni, akkor az olyan, mintha valamennyi Ki ráfordításnál a függvényt a Ki mentén elmetszenénk az LQ síkkal párhuzamosan, vagyis a termelés mennyisége (Q) a munkaráfordítástól (L) függ, amit rövid távú termelési függvénynek neveznek a mikroökonómiában. Ez matematikailag egy parciális függvény. Az el®z® táblázat is egy rövid távú termelés függvény, mivel a változónk a munkaer® volt. A parciális termelési függvény azt mutatja meg, hogyan alakul a termelés egyetlen tényez® változásának következtében, feltételezve, hogy minden más tényez® változatlan. A termelési függvény valamelyik tényez® sze20
rinti parciális derivált ja a határtermék, amelynek jele M Pi (i az i. tényez®re utal). A határtermék megmutatja, hogy az i. tényez® mennyiségének egységnyi növelése minden más input változatlansága mellett mennyivel változtatja meg a kibocsátást. Tehát a határtermék termelés- vagy inputváltozás, képletben: M PL = ∆Q . Matematikai értelemben az el®z® példa nem a pontos kifejezést mutatta be, ∆L hiszen az egységet elég nagynak (10 f®) határoztuk meg, de a való életben nem egyszer találkozunk diszkrét léptékekkel. A 3.1 táblázat példájában tehát nem tudjuk meghatározni, hogy a 10 f®s létszámnövekedésben melyik munkás mennyit dolgozott, csupán annyit, hogy ∆L = 80 − 70 = 10 f® és ∆Q = 790 − 650 = 140, tehát ∆Q ∆L alapján a 70-79. munkás határterméke 14 egység (lásd 3.4 ábra).
3.4. ábra. Az új munkaer®kre es® fejenkénti termelés. Matematikai viszonylatban a határtermék számítása akkor pontos, ha ∆L → 0, vagyis M PL = lim
∆L→0
∆Q ∆L
= QL =
∂Q . ∂L
Természetesen ebben az esetben a 3.4 ábrával ellentétben nem oszlopdiagrammal ábrázoljuk a határterméket, hanem egy folytonos függvénnyel. Ilyen folytonos eset a valóságban például a k®olaj nomításnál észlelhet®, de a gyakorlatban zömével diszkrét esetek fordulnak el®. A tényez® határtermékét gyakran nevezik határtermelékenységnek (marginal productivity), az átlagterméket pedig átlagterme21
lékenységnek (average productivity). Beszélhetünk a pénz, a föld, a munkaer®, a t®ke határtermelékenységér®l (utóbbi hármat nevezik tényez®nek a klasszikus közgazdaságtan képvisel®i, Adam Smith és David Ricardo), vagyis hogy hogyan változik, mennyivel n® a termelés egységnyi tényez®növekedéssel, ha azt az egységet pótlólagosan adom hozzá az eddigiekhez.
3.1.4. A termelési rugalmasság Ezzel a mutatóval azt szeretnénk kifejezni, hogy miként változik a termelés, ha a tényez® 1%-kal változik. Ez annyiban fontos, hogy ha egy újságcikkben megírják, hogy valamely cég 3 tonnával növelte a termelését, azt nem mondja meg, hogy teljes viszonylatban ez mekkora mennyiséget jelent (el®fordulhat, hogy a cég addigi termelése ugyanennyi volt). Tehát ha nem termelési egységben, hanem a termelés százalékában adják meg a változást, sokkal több információt tudunk meg vele. Tehát a tényez®k parciális termelési rugalmassága azt mutatja meg, hogy hány százalékkal változik a termelés az adott inputtényez® 1%-os változásának következtében, mialatt a többi tényez® konstans. A termelési rugalmasság (elaszticitás) a következ® hányadossal határozható meg: εL = dQ/Q , ahol a dQ a termelés változása százalékdL/L Q dL ban kifejezve, a L pedig a munkaer® változása szintén százalékban kifejezve. Ezt átrendezve εL =
dQ/Q dQ Q M PL = : = dL/L dL L APL
Tehát a termelési rugalmasság egy tényez® adott ponton vett határtermékének és átlagtermékének a hányadosa.
3.1.5. A termelési tényez®k hozadéka Ebben az alfejezetben a korábban megismert alapfogalmakat és összefüggéseket használva vizsgáljuk meg a rövid távú termelés törvényszer¶ségeit, majd a fejezet végén alkalmazzuk egy konkrét példára. Továbbra is feltesszük, hogy a vállalat technológiai feltételrendszere állandó rövid távon, vagyis a parciális termelési függvénye változatlan. A K t®ketényez® x, 22
az L munkaráfordítás pedig növekedhet. A tényez®k és a termék ára küls® befolyás alatt áll, a termelés korlátlanul növelhet® (a piac nem korlátozza). A parciális termelési függvény hozadéki függvény elnevezése arra utal, hogy azt vizsgáljuk, hogyan változik a termelés nagysága a tényez® pótlólagos módosításával, növelésével. Ekkor a változást a tényez® hozadékának tekintjük. A következ® példán szeretném szemléltetni a törvényeket:
T®ke K0
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Munka Termelés Munka átlagterméke Munka határterméke L(f®/év) Q(kg/év) APL = Q M PL = ∆Q L ∆L 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1000 2700 5000 7000 8300 9000 9300 9300 9000
0 1000 1350 1667 1750 1660 1500 1329 1163 1000
1000 1700 2300 2000 1300 700 300 0 -300
3.2. táblázat. Egy üzem adatai. Hogy eljussunk a törvényekig, össze kell hasonlítanunk az összterméket az átlagtermékkel, a határtermékkel, valamint az átlagterméket a határtermékkel. Ehhez segítségül hívjuk ezek gra konjait (lásd 3.5 és 3.6 ábra). A határtermék függvény a termelési függvény növekedési ütemét mutatja, hiszen ez a függvény a termelési függvény deriváltja. Meg gyelhet® az ábrákon, hogy a termelés szintje egészen addig a pontig n®, míg a határtermék pozitív. A termelés L = 8-ban éri el a maximumát, ahol a határtermék értéke 0 (D). Itt a termelési függvényhez húzott érint® meredeksége is 0, vagyis vízszintes lenne az érint®, a D pont el®tt pozitív volt a meredekség, utána pedig negatívvá válik. Meg gyelhet® továbbá az is, hogy a határtermék függvény L = 3-ig n®, eddig a termelési függvénynek nagy a meredeksége, majd ett®l a ponttól kezdve lelassul a növekedési ütem, bár még n® a termelés. Vagyis az össztermék csökken® ütemben n®, amikor a határtermék pozitív 23
3.5. ábra. A termelés függvénye.
3.6. ábra. Az átlagtermék és a határtermék függvény és csökken®. Ezen jellemzésb®l kapjuk meg a csökken® hozadék törvényét, mely azt mondja ki, hogy a fokozatosan növelt változó inputtényez® határterméke csökken, amennyiben minden más inputtényez® változatlan. Ezek alapján a termelésünket tartományokra tudjuk bontani. A Q függvénynek B -ben in exiós pontja van, ami el®tt növekv® a függvény, utána pedig csökken®, ez összefügg a határtermék függvénnyel, ami az F pontig n®, F -ben eléri a maximumát, majd elkezd csökkenni. Tehát L < 3 esetén a munka hozadéka növekv®, míg 3 < L < 8 esetén pozitív, de már csökken® hozadékú, L > 8 esetén a munka már csökken® és negatív hozadékú. Ezek voltak a tényez® hozadéki szférái. Az össztermék és a munkaráfordítás hányadosa a munka átlagterméke. A 3.5 ábra alapján ki tudjuk számolni, hogy az egyes pontokhoz húzott érint® (bármely 24
pontra igaz) meredeksége megegyezik e pontokban az átlagtermékkel. Érdekes eset az OD szakasz, amely nem csak D-n, hanem A-n is átmegy, vagyis nem csak a D pontban 1000 az átlagtermék nagysága, hanem A-ban is. Ez a jelenség addig gyelhet® meg, míg el nem érjük a legnagyobb meredekséget, az OC egyenest. Tehát az átlagtermék maximumát a hozadéki függvény origón átmen® érint®je adja. Ez alapján látható, hogy addig a pontig n® az átlagtermék (G), amíg el nem érjük a hozadéki függvényen a legnagyobb meredekséget (OC ). E pont után az átlagtermék csökkenni kezd. Ezt a G pontot nevezzük a tényez® hozadéki optimumának, mert adott t®keráfordításnál az egységnyi munkaráfordítás ekkor eredményezi a legtöbb terméket. Az átlagok természetéb®l következik, hogy az átlagtermék szoros kapcsolatban áll a határtermékkel. Ugyanis a termelés folyamatát úgy is felfoghatjuk, hogy az inputnövekedés tulajdonképpen nem más, mint a korábbi össztermeléshez hozzáadódó határtermék. Ennek következtében változik az átlagtermék is. Tehát ha az átlagterméknél nagyobb a határtermék, akkor az átlagtermék n®, ha pedig kisebb, az csökkenti az átlagterméket. Ez jól meg gyelhet® a 3.6 ábrán, ahol a határtermékgörbe a G pontig az átlagtermékgörbe felett van, eddig a pontig az átlagtermék n®, innent®l pedig elkezd csökkenni. (Az eltérés abból fakad, hogy Maple-ben az adott pontokra illesztett görbe nem teljesen pontos ábrát ad.) Tehát az átlagtermék ott éri el a maximumát, ahol az átlagtermékgörbe metszi a határtermékgörbét. Példa: Legyen Q = 100L2 − 20L3 = f (L) a termelési függvény. Ekkor a határtermék: M PL = dQ = 200L − 60L2 , az átlagtermék pedig AP = Q = 100L − dL L 20L2 . A termelés akkor lesz maximális, ha a határtermék 0, valamint D00 < 0. QM AX ⇒ dQ = 0, vagyis 200L − 60L2 = 0 =⇒ L1,2 = 0, 10 . dL 3 Behelyettesítve az eredeti egyenletbe Q(0) = 0, Q( 103 ) = 10000 ≈ 370, 37. 27 10 00 00 10 Q = 200 − 120L, ebbe behelyettesítve 3 -ot D ( 3 ) = −200 < 0, mindkét feltétel teljesül, vagyis L = 103 -ban maximális a termelés. Az átlagtermék maximumának kiszámításához ugyanígy teljesülnie kell a fenti két feltételnek, vagyis ( QL )0 = 0 és ( QL )00 < 0. Ennek megfelel®en QL = 100L−20L2 , vagyis az els® deriváltja ( QL )0 = 100 − 40L, ami L = 2, 5-ben teljesül. Ezt behelyettesítjük a második deriváltba, ami a következ®: ( QL )00 = −40, vagyis konstans, tehát ugyanazt kapjuk; ez is teljesíti a feltételünket, tehát megkaptuk az átlagtermék maximumhelyét is, az ehhez tartozó függvényérték pedig 25
Q(2, 5) = 100 · 2, 52 − 20 · 2, 53 = 625 − 312, 5 = 312, 5.
A határtermék (M PL = 200L − 60L2 ) maximuma annyiban módosítja az els® számításunkat, hogy eggyel "eltoljuk" a deriváltakat, vagyis M PL0 = 0 = Q00 és M PL00 = Q000 < 0 teljesüljön. Q00 = 200 − 120L = 0 =⇒ L = 35 . Q000 = −120 < 0 szintén teljesül, ekkor a termelés szintje Q( 53 ) ≈ 277, 7 − 92, 6 ≈ 185, 1. = 125, Ezek alapján ellen®rizhet®, hogy ha L = 2, 5, akkor AP = QL = 312,5 2,5 a határtermék L = 2, 5-ben pedig M P = 200 · 2, 5 − 60 · 2, 52 = 125, tehát valóban az átlagtermék maximumában egyenl® az átlagtermék a határtermékkel.
3.1.6. Az isoquant és a határtermék A termelési függvényeket úgy is képzelhetjük, mint egy hegyet. A turistatérképen találunk szintvonalakat, melyek az azonos tengerszint feletti magasságú pontokat kötik össze. Ilyenekkel találkozhatunk a gra konon is, csak ezeknek a szintvonalaknak a jelentése annyiban módosul, hogy az azonos termelési szinteket jelölik különböz® inputkombinációkhoz. Vagyis az isoquant (egyenl®termék-görbe) azon pontok mértani helye a termelési függvény felületén, amelyek az inputok adott termelési szinthez tartozó összes lehetséges inputkombinációt jelölik. Természetesen ezeket az isoquant görbéket nézhetnénk egyre nomodó felosztással, és ez végtelen sok görbét eredményezne, ezért csak néhányat szoktak ábrázolni. Egy ilyen szintvonal sorozatot isoquant térképnek nevezünk, ami reprezentálja a termelési függvényt. A 3.7 ábrán két isoquant görbe látható különböz® inputkombinációkkal.
3.7. ábra. Egy termelési függvény két isoquantja. 26
Mint látható, az A termelési összetétel (K1 és L2 tényez®kkel) az I1 egyenesen helyezkedik el, míg B is K2 és L1 összetételb®l. Ha például K1 -hez növeljük L értékét L2 -r®l L3 -ra, akkor már az I2 egyenes mutatja a termelés volumenét D-ben. Hasonló a helyzet, ha az L2 munkamennyiséghez növeljük a t®kemennyiséget K1 -r®l K2 -re, ahol a C pont másik isoquant ra esik (csak a véletlen m¶ve, hogy a K2 és L2 metszete pont I2 -re esik). A C és D termelési programok között látható az az összefüggés, hogy ha csökkentem a D termelési szinthez felhasznált munkaer®t, viszont növelem a befektetett t®ke mennyiségét, a C termelési programot kapom, viszont ezek egy isoquant on helyezkednek el, vagyis közömbös tényez®kombinációk. Hogyan függ össze mindez a határtermékkel? Nézzük a következ® ábrát!
3.8. ábra. Kapcsolat az isoquant és a határtermék között A 3.8 ábrán három fontos pontot emeltem ki. Az A pontot nézve észrevehet®, hogy itt mindkét tényez® határterméke pozitív (M PK > 0 és M PL > 0), hiszen bármely tényez®t növelve egy új, nagyobb termelési szint¶ isoquantra térünk át (I2 -ra). A B pont esetében hiába növelem a munkaráfordítást (közben a t®kefelhasználás változatlan), a termelési szint csökken I1 -re, míg ha a munkamennyiség változatlan, a t®kemennyiséget növelve n® a termelés I3 -ra. A C pont ennek ellenkez®je, ugyanis ha L munkamennyiség n®, akkor a termelés volumene is n®ni fog I3 -ra, míg ha a K t®ketényez®t növelem, a termelés visszaesik I1 szintre, ugyanis itt csökken® a határterméke L-nek. Tehát addig racionális egy tényez® felhasználásának növelése, míg a határtermék pozitív, bár nem ez a f® szempont az inputösszetétel szempontjából. A B pontban M PK > 0, C -ben pedig M PL > 0, viszont B -ben M PL < 0, C -ben M PK < 0, amit túlzottan megnövelt tényez®nek nevezünk, mert az adott 27
határtermékek negatívak. Ahol a határtermék pozitív, ott az I görbék érint®inek meredeksége negatív, míg negatív határtermék esetén az érint®k meredeksége pozitív, vagyis az isoquant görbe "visszahajlik". Ez alapján a következ® szférákra oszthatjuk az isoquant térképet: - túlzott t®kefelhasználás: M PK < 0 és M PL > 0 - túlzott munkafelhasználás: M PK > 0 és M PL < 0 - helyettesíthet®ség: M PK > 0 és M PL > 0 Rövid távon változnak az inputok, a vállalatoknak érdemes a túlzott tényez®ráfordítást elkerülni. Ám az input rövid távú változása miatt id®nként érdemes a negatív határterméket elfogadnia. Például bár csúcsid®n kívül lényegesen kevesebb az utas, egy tömegközlekedési cégnek érdemes a napközbeni "pangást" is vállalni, hiszen ez hosszabb távon (csúcsid®vel együtt nézve) pozitív határterméket eredményez. Az OF és OG görbéket gerincvonalnak nevezzük (3.8 ábra), melyek behatárolják az isoquant egyes szféráit. A két gerincvonal közötti területet helyettesítési felületnek vagy releváns tartománynak nevezzük, amelyen belül a tényez®k határterméke pozitív, vagyis ezen belül egymás rovására is növelhet®k, helyettesíthet®k azonos output mellett. Ebb®l következ®en a gerincvonalak és az egyes I görbék metszéspontjaiban a határtermék 0.
3.1.7. A technikai helyettesítési határráta A helyettesítési tartományban mindkét határtermék pozitív, de joggal merül fel a kérdés, hogy mennyivel növeljük az egyik tényez®t, ha a másik egységnyivel csökken, és nem akarjuk, hogy a termelés szintje változzon. Diszkrét esetben a technikai helyettesítési ráta (rate of technical substitution): RT SLK = −
∆K ∆L
Folytonos esetben a következ®re változik a képlet: ∆K dK =− = M RT SLK ∆L→0 ∆L dL
− lim
A technikai helyettesítési határráta (MRTS - marginal rate of technical substitution) az az arányszám, mely megmutatja, hogy az egyik inputtényez® "icipici", végtelen 28
kicsi csökkentésével a másik inputtényez®t a csökkentés hányszorosával kell növelni, hogy a termelés szintje változatlan maradjon. Belátható az is, hogy − dK > 0, mert dL ha csökkentem az egyik inputtényez®t, akkor annak deriváltja negatív lesz, míg a növelt tényez®é pozitív, ezek hányadosa szintén negatív, melyet (-1)-es szorzó tesz pozitívvá. Tehát a technikai helyettesítés határrátája az isoquant görbe adott pontjában egyenl® az ezen pontban a görbéhez húzott érint® meredekségének (-1)szeresével. Tehát ha egyik pontból a másikba szeretnénk lépni, hogy a t®keráfordítás dK mértékben csökken, a munkaráfordítás pedig dL mértékben n®, az egyes határtermékek pedig M PK és M PL , akkor dL · M PL + dK · M PK = 0 dL · M PL = −dK · M PK M PL dK =− = M RT SLK M PK dL
Ebb®l látható, hogy a technikai helyettesítési határráta egyenl® az isoquant görbe adott pontjában a két tényez® ezen pontban vett határtermékeinek arányával, valamint a tényez®k változásarányának (-1)-szeresével. Tökéletes helyettesíthet®ség esetén az isoquant görbék egyenesek, s®t párhuzamosak, ebb®l következ®en az M RT S pedig konstans. Ez látható a következ® ábrán.
3.9. ábra. Tökéletes helyettesíthet®ség isoquant görbéi.
29
3.1.8. A költségvetési egyenlet és az isocost Miután áttekintettük az inputkombinációkra vonatkozó törvényeket, jelenségeket, még mindig nem tudjuk, hogy egy cégnek mi alapján érdemes termelési összetételt választania. Feltételezzük, hogy a cég termelési célja (Q) adott, így az maradt hátra, hogy meghatározzuk, mely inputkombinációt érdemes választani Q termelési mennyiség el®állításához. Költségvetési egyenletnek nevezzük azt a kifejezést, amely a vállalat összköltségét a különböz® költségek és ráfordítások függvényeként fejezi ki. Ha a két tényez® ára és termelés költségvetése (budget ) adott, akkor a költségvetési egyenes negatív meredekség¶, amely a TPKC és TPCL pontokban metszi a tengelyeket (TC - total cost = összköltség), és a meredeksége − PPKL . Ezt a költségvetési egyenletb®l kaphatjuk meg, amely a következ®: T C = K · PK + L · PL .
Átrendezve: K = −L ·
PL TC + . PK PK
Ezzel az átalakítással egy egyenes explicit képletét kaptuk, amely azt határozza meg, hogy két input mely kombinációit engedi meg a büdzsé adott árak mellett. Ezt az egyenest isocostnak, vagy egyenl®költség-görbének nevezik, amely a teljes költségre (TC-re) utal. Vagyis az isocost egyenes azon pontok mértani helye, amelyek összköltsége megegyezik. Ha módosítjuk a költségvetésünket, az egyenes párhuzamosan eltolódik. Amennyiben a PPKL árarány változik, úgy az egyenes meredeksége is változik.
3.1.9. Az inputköltség minimalizálása, maximális output A továbbiakban a már ismertetett isoquant és isocost görbék közti összefüggésekre világítanék rá. Ha egy koordinátarendszeren belül ábrázolom e két görbét, meg gyeléseket tehetek. Ezeket a következ® ábrán szemléltetném. Mint láthatjuk, a 3.10 ábrán két isoquant és két isocost görbe van. A C1 és C2 isocost egyenesek érintik az egyes isoquant görbéket, ám C2 metszi I1 -t B és C pontokban. Ez azt jelenti, hogy az A, B, C pontoknak megegyezik az el®állítási költsége, ám az inputösszetételük különböz® termékmennyiséget eredményeznek. B, C 30
3.10. ábra. Minimális költség¶ tényez®kombinációk. pontok ugyanazon az I1 görbén helyezkednek el, vagyis ezekb®l az inputösszetételekb®l azonos termelési szintet érünk el, míg az A pont egy nagyobb termelési szintet jelent® I2 görbén helyezkedik el, vagyis ugyanazon C2 költséggel több Q termék állítható el®. Tehát ahol az isocost egyenes érinti az isoquant görbét, ott a termelés optimális. Összefoglalva az eddig leírtakat, az optimális tényez®kombináció az
3.11. ábra. Az optimális tényez®kombináció. a termelési program, amely a lehet® legkisebb költséggel biztosítja egy cég számára adott output elérését. Ebb®l következtethetünk az alábbiakra: A maximális outputot az adott isocost egyeneshez húzható legnagyobb, az isocost 31
egyenest érint® isoquant görbe adja. Minimális az összköltség, ha a tényez®k áraránya egyenl® a tényez®k technikai helyetM PL tesítési határrátájával, vagyis PPKL = M . PK Optimális tényez®-összetétel mellett az inputtényez®k egységnyi költségnövekményére jutó határtermék azonos, vagyis a rájuk költött pénz határterméke egyenl®. Ez utóbbit abból kapjuk, hogy MPPKK = MPPLL , ahol PK , PL a tényez®k egységára. 3.2.
Költségek
A termel®k, valamint a fogyasztók költségkimutatásai (melyek többnyire diszkrét pontokra vonatkoznak) tulajdonképpen költségfüggvények. Ezen függvények elemzése segít a döntésekben, valamint a múltbeli értékek áttekintésével az elveszett kiadásokat feltételekként vehetik gyelembe a jöv®ben.
3.2.1. A rövid távú költségfüggvények Mint a leírásokból észrevesszük, ez a téma szoros kapcsolatban áll a termeléssel, az ott ismertetett fogalmakat könnyen transzformálhatjuk a költségekre (C) és a termelés (q) mint független változó viszonyára. Rövid távon a K0 t®ketényez®t adottságnak tekintjük, vagyis változatlan, az ehhez tartozó parciális termelésfüggvény q = f (L, K0 ) volt, ami a költségekre vonatkozóan a változóköltségnek felel meg: V C = g[f (L, K0 )], amit rövidebben írva V C = g(q, K0 ). Hosszú távon pedig az össztermelés és az inputok függvényében vizsgáljuk a költségeket, vagyis T C = h[q(K, L)], melyben minden tényez® változó. Ez abból adódik, hogy feltesszük azt, hogy rövid távon egy vállalat nem tud jelent®sen változtatni a t®keösszetételén (felszerelés, technológia). A termelés összköltsége (TC - total cost) rövid távon két költségfajtából tev®dik össze: az állandó- (FC - xed cost) és változóköltségekb®l (VC - variable cost), képlettel kifejezve T C = F C + V C . A x- és változóköltségek elhatárolása id®függ®, hiszen minél rövidebb id®tartamot veszünk gyelembe, annál több költséget tekinthetünk xnek. A 30 napos felmondási id® 30 napnál rövidebb intervallumban tekintve xköltségnek tekinthet®, viszont hosszabb távon minden költség változó. Ez abból ered, hogy például a nem 32
m¶köd® gépek is igényelnek karbantartást, vagyis költségek merülhetnek fel a termelés nagyságától függetlenül. A vállalat rövid távon x inputtényez®inek folyó költségét állandó költségnek (FC) nevezzük. Ám a termelés változása természetes velejárója az inputtényez®k megváltoztatásának, viszont a tényez®k felhasználási arányában változni fog a termelés költsége is; a tényez®k költsége termelés híján nulla. A költség változása nem áll egyenes arányban a termelés változásával, hanem eltér® arányú. A változó költség (VC) tehát a rövid távú termelés függvényében változó inputok költségeinek összege. Az alábbi ábrán egy hozadéki függvény és a hozzá tartozó változó költség függvény kapcsolata látható:
3.12. ábra. Az a) ábrán a hozadéki függvény látható, a b) ábrán a változó költség függvény. A változó költség függvény nem más, mint a változó inputtényez®höz tartozó termelési függvény pénzügyi kifejezése. Tegyük fel a példánkban, hogy egységnyi munkaer® X egység költségnek felel meg. Az a) ábra azt mutatja, hogy mekkora munkaer®mennyiség felhasználásához (L) milyen termelési szint tartozik, míg a b) ábra azt hivatott megmutatni, hogy a termelés növekedése mekkora változó költséget jelent. Leolvashatjuk az ábráról, hogy Qi termelési szint mekkora változó költéseget jelent (Qi −→ Li · X = Ki ). Vagyis ha a termelésünk Q1 -r®l Q2 -re n®, akkor a változó költség (L2 − L1 ) · X -szel n®ni fog. Tehát a vállalat rövid távú költségfüggvénye a rövid távú parciális termelési függvényt fejezi ki költségek formájában. 33
A következ® ábra a x-, a változó- és az összköltség függvény kapcsolatát ábrázolja egy x K0 szint¶ t®keköltség esetén.
3.13. ábra. Az összköltség összetétele. Ekkor a termelés szintje [0, Q3 ] intervallumban mozog. Q3 a vállalat zikai kapacitásának maximuma; ahhoz, hogy ez az érték nagyobb legyen, a rögzített K0 szint¶ t®keinputot növelni kell, ami már egy újabb parciális függvényt eredményez. Tehát az üzemméret adott. Látható, hogy az összköltség a x- és a változó költség összege, mint azt már a de nícióból is tudjuk. A xköltség a termelést®l független, így az a termelés tengelyével párhuzamos. Ebb®l és a T C = F C + V C egyenletb®l következik, hogy az összköltség változását a változó költség alakulása határozza meg. Ha meg gyeljük az ábrát, látható, hogy a T C és V C függvények párhuzamosak, a különbségük pontosan F C . Az állandó tényez®k nem elhanyagolhatók, hiszen ezek határozzák meg az üzemméretet, vagyis mekkora a maximális Q termelési szint, tehát nélkülük nem lehetne termelni. Ha módosítom az állandó tényez®ket, akkor változik a x- és a változó költség is (, valamint az összegük is), emellett a változó költség függvényének alakja is módosulhat a korábbihoz képest. Az I és I 0 pontokban a T C és V C függvényeknek in exiós pontjuk van, ami a függvényt két szakaszra bontja. A Q2 pont el®tt a növekedési ütem csökken® (például a Q1 pontban is), ami azt jelenti, hogy eddig a pontig, azaz a [0, Q2 ] intervallumon a termelés egységnyi növekedésével a költségek egységnél kevesebbel n®nek; a [Q2 , Q3 ] intervallumon a növekedési ütem növekv®, vagyis a termelés egységnyi növekedéséhez 34
a költségek több mint egy egységgel való növekedése tartozik. Sok esetben azonban nem az összköltség érdekes, hanem az egy termékre jutó költség. Egy termék akkor jó, ha az eladási ára több, mint a termelésének a költsége. Ebb®l adódnak a következ® fogalmak: Az átlagköltség (AC - average cost) az összköltség egy termékre es® része adott termelési szint esetén. Képletben: AC = TQC . Vagyis egy termék el®állításának költsége függ az el®állított mennyiségt®l. Az átlagos x költség (AFC - average xed cost) az egy termékre es® állandó költség. Képletben: AF C = FQC . Ennek a meghatározása egyszer¶, hiszen rövid távon állandó FC értékr®l van szó, így a termelt darabszám növelésével az egy termékre es® érték folyamatosan csökken, koordinátarendszerben ábrázolva egy negatív meredekség¶ egyenes. Az átlagos változó költség (AVC - average variable cost) az egy termékre jutó változó költség. Képletben: AV C = VQC . Ha egy vállalat rövid távú termelési függvényének változó inputja L munkaráfordítás, melynek ára konstans PL , akkor a következ®t kapjuk: AV C =
VC L · PL 1 1 = = P L · Q = PL · Q Q APL L
Vagyis a munka átlagköltsége nem más, mint az átlagtermék reciprokának és a munka egységárának szorzata. A termelés és a költségek kapcsolatát a határköltség (MC - marginal cost) fejezi ki, ami az az arányszám, ami megmutatja, hogy a termelés egységnyi növekedésével az összköltség hány egységgel változik. Képletben: M C = dTdQC . Hasonlóan az átlagos változó költséghez, itt is észre vehetünk összefüggéseket: MC =
dT C dV C dL 1 = = · PL = · PL , dQ dQ dQ M PL
vagyis a határköltség fordítottan arányos a határtermékkel, ha PL konstans. Tehát a határköltség akkor csökken, ha a határtermék n®, illetve ha a határtermék csökken, akkor a határköltség n®ni fog. A 3.1.2 fejezetben láttuk, hogy AP = M P helyen a munkának optimális hozadéka van. Amennyiben egy tényez® ára állandó (jelen esetben PL ), akkor a határtermék és a határköltség fordítottan arányos; hasonlóan igaz ez az átlagtermékre és az átlagos 35
L = PL · Q1 = PL · AP1 L ) Tehát ha az átlagtermék változó költségre. (AV C = VQC = L·P Q L n®, akkor az átlagos változó költség csökken, valamint ha az átlagtermék csökken, akkor az átlagos változó költség növekedni fog. Ez látható a következ® ábrán:
3.14. ábra. a) Átlagtermék és határtermék. b) Határköltség és átlagos változó költség. A termék átlagköltsége (AC) az átlagos x költség (AFC) és az átlagos változó költség (AVC) összege: AC = AF C + AV C . Az átlagköltség függvénye U alakú, mert az átlagos változó költség függvénye U alakú, az átlagos x költség függvénye szigorúan monoton csökken® L alakú függvény, így az összegük U alakú lesz.
3.15. ábra. Rövid távú átlagköltségek és kapcsolatuk. A 3.15 ábrán további két fontos összefüggés látható. A határköltség görbe (MC) az átlagköltség- (AC) és átlagos változó költség (AVC) függvényeket a minimumpontjaikban metszi. Az AC = M C pontot az üzem technikai optimumának szokták 36
nevezni, mert ennél kisebb költséggel nem lehet egyetlen terméket sem el®állítani adott K0 mellett. Amennyiben a vállalat célja a munkaráfordítást minimalizálni, akkor az AV C és M C görbék metszéspontjánál lesz az ideális termelési szint. Ezt a munka tényez® optimumának szokták nevezni.
3.2.2. Bevétel és pro t Minden vállalatnak célja az el®állított termékek értékesítése, amelyb®l bevételhez jut, ám nem szabad megfeledkezni, hogy a termék el®állításánál költségek is felmerülnek az egyes inputtényez®kre. A továbbiakban feltételezzük, hogy minden megtermelt árut eladunk, és azonnal ki zetik, nem marad követelésünk egy vev®vel szemben sem. Így tehát bevételhez (TR - total revenue) jutunk, ami az eladott áruk és szolgáltatások ellenértéke. Mint már a határterméknél meg gyelhettük, hogy ha "túl sok" munkaer®t alkalmaztunk, egy id® után az új munkaer®re es® termelés csökkenni kezdett. Ez hasonlóképpen történik a bevételnél is, ha egy vállalatnak növekv® kínálata van, azt a piac csökken® áron fogadja, vagyis egy parabolával írható le, melynek függvénye T R = q · P (q), ahol q a termelt mennyiség, P(q) pedig a termelés függvényében meghatározott ár. A határbevétel (MR - marginal revenue) megmutatja, hogy ha egységnyivel növeljük a terméket, mennyivel n® az összbevétel. Képletben: R M R = dT . dQ Tiszta verseny esetén ez egy lineáris függvény, és a határbevétel megegyezik a piaci árral (MR=P). (Tiszta versenynek nevezzük azt a helyzetet, mikor egy termék el®állításában egyetlen termel® sincs monopol helyzetben, termékeiket nem lehet megkülönböztetni.) Amennyiben a határbevétel függ a termelt mennyiségt®l, az alábbiak szerint módosul: M R(q) =
dT R(q) d[q · P (q)] dP = =P +q· . dq dq dq
Természetesen felvet®dik az a kérdés, hogy miért nem volt szó eddig az átlagbevételr®l (AR- average revenue)? Átlagbevételr®l jelen esetben nincs értelme beszélni, hiszen azonos termékünk van azonos áron, így az átlagbevétel meg fog egyezni magával a termék árával (AR=P). 37
Pro tnak (T π) nevezzük a bevétel és a költségek különbségét, vagyis T π(q) = T R(q)−T C(q) = q ·P (q)−T C(q). A maximális pro t eléréséhez a széls®értékkeresés
feltételeinek megfelel®en fontos, hogy T π els® deriváltja, vagyis a határpro t 0 legyen: dT R(q) dT C(q) dT π = T π 0 (q) = − =0 dq dq dq
vagyis: dTdqR = dTdqC , mib®l azt kapjuk, hogy M R(q) = M C(q). Következ® lépésben az vizsgáljuk, hogy a maximumpontban a határpro t negatív-e, azaz d2 T π dT π 0 (q) < 0, = dq 2 dq
amib®l ezért
dM R(q) dM C(q) − < 0, dq dq dM C(q) dM R(q) < . dq dq
Tehát egy vállalat pro tja akkor maximális, ha a határbevétele és határköltsége egyenl®, és a határbevétel változása kisebb mérték¶, mint a határköltségé. Ezt úgy lehet szemléltetni (3.16. ábra), hogy a határbevétel függvényt "alulról metszi" a határköltség függvénye.
3.16. ábra. A maximális pro t elérése
38
4. fejezet
A matematika alkalmazása a közgazdaságtanban
Ebben a fejezetben az el®z® fejezetekben megismert fogalmakat szeretném bemutatni alkalmazás szinten. El®fordulhat, hogy némely feladatnál új elméleti résszel találkozunk, ezeket a feladat megoldásánál fogom ismertetni. A feladatok után a zárójelben lév® szám a feladat forrására hivatkozik. 4.1.
Bevezet® példák
1. feladat T®két és munkát felhasználó vállalat L = 50 és K = 5 inputkombinációval termel. Mekkora összköltséget termel a vállalat ha az egyes tényez®k ára PL = 400 és PK = 1000? [3]
Megoldás: A vállalat teljes költsége az egyes inputok és azok árának szorzatösszege, vagyis T C = KPK + LPL . Ebbe behelyettesítve a megadott értékeket, T C = 1000 · 5 + 400 · 50 = 5000 + 2000 = 7000.
2. feladat Egy vállalat teljes költség függvénye T C = 1000 + 30q2 − 2q3 . a) Számítsa ki, hogy milyen kibocsátás mellett lesz a vállalat határköltsége minimális! b)Határozza meg azt a kibocsátási szintet, amely mellett a változó inputtényez® átlagterméke maximális! [3] 39
Megoldás: a) Az összköltséget q szerint deriválva megkapjuk a határköltséget, tehát M C = 60q − 6q 2 . Minimuma ott lehet, ahol az els® derivált 0, vagyis M C 0 = 60 − 12q = 0, amib®l q = 5. A minimumhoz teljesülnie kell annak is, hogy a határköltség függvény q = 5-ben pozitív értéket vegyen fel. M C(5) = 60 · 5 − 6 · 52 = 300 − 150 = 150, tehát teljesül mindkét feltétel, ebb®l következik, hogy q = 5 termelési szint mellett lesz minimális a határköltség. b) A munka átlagterméke ott maximális, ahol minimális az átlagos változó költség. V C = 30q 2 − 2q 3 ), amib®l AV C = V C/q = 30q − 2q 2 . Az átlagos változóköltség ott minimális, ahol egyenl® a határköltséggel. Ebb®l következik, hogy 60q − 6q 2 = 30q − 2q 2 , ebb®l q = 7, 5.
4.2.
Összetettebb feladatok
3. feladat Egy vállalat termelési függvénye Q = 2L3 K 2 . A rövid távon felhasznált t®ke mennyisége 5 egység. A felhasznált t®ke egységének az ára 2000 pénzegység, a munka egységéé pedig 100 pénzegység. a) Töltse ki a táblázatot a megadott információk alapján!
Q
AVC VC AFC FC AC TC MC
0 400 1350 b) Határozza meg a változó termelési tényez® parciális termelési rugalmasságát és a technikai helyettesítési határrátákat! [3]
Megoldás: a) A feladat adatai a következ®k:
K = 5, PK = 2000, L és
PL = 100, amib®l felírható a vállalat teljes költsége, vagyis T C = 100L + 5 · 2000.
Mint azt már tudjuk, T C = V C + F C , amit alkalmazva erre a példára azt eredményezi, hogy V C = 100L és F C = 10000, amit a táblázat F C oszlopába már 40
be is írhatunk. Mivel az összköltség qegyenletében L ismeretlen, így azt kifejezzük a termelési függvényb®l, tehát L = 3 2KQ 2 , amib®l K = 5 ismert. Ezt behelyettesítve L=
q 3
Q 50
(segítségként beleírom a K és L értékeket a táblázatba új oszlopban), amit q
Q behelyettesítünk az összköltség egyenletébe =⇒ T C = 100 3 50 + 10000. Így az L értékeket ki tudjuk számolni, majd beírni a táblázatba K -val együtt. Q = 0 esetén L = 0, Q = 400-nál L = 2, Q = 1350-nél pedig L = 3. Ez alapján már a T C oszlop is kitölthet®, rendre 10000, 10200 és 10300. Átlagértékeket Q = 0 esetén nem tudunk számolni, hiszen a 0-val való osztás értelmetlen (ezeket a helyeket kihúztam a táblázatban), ám AC = T C/Q, Q 6= 0 esetén már az átlagköltség értékeit is megkapjuhatjuk. Ezek rendre 25,5 és ≈7,63. A T C = V C + F C egyenletb®l V C csak L-t®l függ, V C = 100L, vagyis az egyes változóköltség-értékek rendre 0, 200 és 300. Már csak az átlagos változó- és xköltséget, valamint a határköltséget kell kiszámítanunk. Az "átlagokkal" könny¶ dolgunk van, hiszen AV C = V C/Q és AF C = F C/Q, amit könnyen ki tudunk számolni. Ebb®l adódik, hogy az átlagos változókölt200 300 ség Q = 400-nál 400 = 0, 5, Q = 1350-nél pedig 1350 ≈ 0, 22; az átlagos xköltség 10000 10000 Q = 400-ban 400 = 25, Q = 1350-ben 1350 ≈ 7, 4. A határköltség pedig nem más, mint az összköltség vagy a változóköltség deriválja Q Q − 23 szerint (ugyanis a konstans tag deriválja 0). Tehát a határköltség 100 · 13 · ( 50 ) . De egyszer¶bben is megkaphatjuk, hasonlóan a határtermékhez, ami Q és L változásáC nak hányadosa volt. Ezalapján M C = ∆T , vagyis Q = 0 esetén nincs határköltség, ∆Q 200 de Q = 400-nál 400 = 0, 5, Q = 1350-nél pedig 100 ≈ 0, 1. Tehát a kitöltött táblázat 950 a következ®:
Q 0 400 1350
AVC VC AFC 0.5 0,22
0 200 300
25 7,4
FC
AC
TC
10000 - 10000 10000 25,5 10200 10000 7,63 10300
MC
L
K
0,5 0,1
0 2 3
5 5 5
b) Mint azt már láttuk, a termelési rugalmassághoz szükség van az átlag- és határtermékre. M PL = APL =
dQ = 6L2 K 2 = dL Q = 2L2 K 2 = 2 L
6 · 25L2 = 150L2 · 25L2
41
M PK =
dQ dK
= 4L3 K
A munka átlag- és határtermékénél behelyettesíthetjük K = 5-öt, mert K ebben az esetben rögzített változó. De a t®ke határtermékénél nem tehetjük meg, mivel a t®két vesszük változónak, viszont nem ismert a munka rögzített értéke. A munka parciális termelési rugalmassága:
M PL APL
=
150L2 50L2
=3
A technikai helyettesítési határráta nem más, mint a változók változásának hányadosa. Képletben kifejezve: M PL 6L2 K 2 3K dL = = = 3 dK M PK 4L K 2L dK M PK 1 2L = = =− = . dL M PL M RT SKL 3K
M RT SKL = − M RT SLK
4. feladat Egy egytermékes vállalat átlagköltség-függvénye:
AC = Q2 −
10Q + 30 + 1000/Q, ahol Q a termelés mennyisége.
a) Írja fel a többi rövid távú költségfüggvényt, és számítsa ki azok értékeit, ha Q = 10. b)Mennyit termel a vállalat a pro tmaximumot jelent® 830 dollár termékárnál, s mekkora ez a pro t? [3]
Megoldás: a) Mivel a függvény a költség átlagára vonatkozik,
Q pedig a
termelés mennyisége, így a teljes költség T C = AC · Q, vagyis T C = Q3 − 10Q2 + 30Q + 1000. Ebb®l a x költség az a rész, melyet nem befolyásol a változó, vagyis F C = 1000. Ebb®l következik, hogy a változó költség az a része TC(Q)-nak, mely Q-tól függ. Tehát V C = Q3 − 10Q2 + 30Q. Az átlagos x költség a x költség a termeléssel átlagolva, vagyis AF C = FQC = 1000 . Hasonlóan számolható az átlagos Q változó költség, AV C = VQC = Q2 − 10Q + 30. A határköltség a teljes költség deriváltja, vagyis M C = dT C = 3Q2 − 20Q + 30. Ezek után már nincs nehéz dolgunk, minden képletbe be kell helyettesíteni Q = 10-et, tehát a következ® eredményeket kapjuk: T C = Q3 − 10Q2 + 30Q + 1000 = 103 − 10 · 102 + 30 · 10 + 1000 = 1300 F C = 1000 V C = Q3 − 10Q2 + 30Q = 103 − 10 · 102 + 30 · 10 = 300
42
AF C =
1000 Q 2
=
1000 10
= 100
AV C = Q − 10Q + 30 = 102 − 10 · 10 + 30 = 30 M C = 3Q2 − 20Q + 30 = 3 · 102 − 20 · 10 + 30 = 130.
b) Ennek a feladatrésznek a megoldása a 3.2.2 alfejezeten alapul. Feltesszük, hogy tiszta verseny van, ekkor Px = M R. Hogy maximális pro tot érjünk el M R = M C , vagyis M C = Px . M C -t meghatároztuk az a) részben, így behelyettesíthetünk: 830 = 3Q2 − 20Q + 30, amib®l 3Q2 − 20Q − 800 = 0. Alkalmazva a másodfokú megoldóképletet Q = 20 és Q2 = − 403 . Mivel a termelés negatív nem lehet, így Q = 20 az el®állított termékek száma. T π = T R − T C −→ 830Q − (Q3 − 10Q2 + 30Q + 1000), ami Q = 20 esetén T π = 830 · 20 − (203 − 10 · 202 + 30 · 20 + 1000) = 16600 − 5600 = 11000. Tehát a teljes haszon 11000 dollár. 4.3.
Lineáris programozási feladatok
A széls®érték keresés jellemz® megoldási módszere a lineáris programozás. Ismerjük az inputokat, a feltételeket, és vagy a pro tmaximalizálás, vagy a költségminimalizálás a cél, melyre felírhatunk egy célfüggvényt. A feladatok megoldását kézzel is végezhetjük a szimplex módszer segítségével, de ez általában hosszú eljárás nagy hibázási valószín¶séggel, így segítségül szokták hívni a Microsoft Excel program Solver b®vítményét, mely gyorsan kiszámítja a kívánt eredményt a szükséges opciók beállítása után. Lássuk néhányat ebb®l a feladatfajtából is!
5. feladat Megtakarított pénzünket x1 arányban OTP részvénybe, x2 arányban MOL részvénybe és x3 arányban Richter részvénybe szeretnénk fektetni. A részvények várható éves hozama rendre 8%, 12% és 10%. A portfólió szórása a következ® képlettel adható meg: q D = 0, 01x21 + 0, 04x22 + 0, 03x23 + 0, 01x1 x2 + 0, 02x1 x3 + 0, 03x2 x3 .
(Ez a képlet a részvények hozamának szórásából - a feladat összeállításakor 10, 20 és 17% volt - és kovarianciájából számítható ki.) Hogyan állítsuk össze a portfóliót, 43
ha legalább 11%-os várható hozamot szeretnénk, de minimális kockázat mellett? [5]
Megoldás: Felírjuk a modellt Excelben. Ennél a feladatnál a célfüggvény nem írható fel szorzatösszegként, így a célcellában van megadva a célfüggvény képlete.
4.1. ábra. A portfóliónk felírása. Megadjuk az egyes feltételeket a Solvernek, nem megfeledkezve arról, hogy a módosuló cellák mind nemnegatívok. Ekkor a Solver a következ® eredményt adja:
4.2. ábra. A feltételeinknek megfelel® portfólióösszetétel. Tehát a megvásárolt részvények 12,5%-a legyen OTP, 62,5%-a MOL, a fennmaradó 25%-a pedig Richter részvény, így pontosan 11%-os hozamot érünk el úgy, hogy a szórás minimális, ami 15,4%-ot jelent.
6. feladat Egy sportiskola edz®ket keres. A jelentkez®k megadták, hogy milyen edz®i képesítéseik vannak, illetve mekkora a havi zetésigényük. Kit vegyen fel az iskola, ha azt szeretnék, hogy minden sportot legalább egy ember képviseljen, s®t fociedz®b®l legalább 2, mindezt minimális költség mellett? [5] 44
jelentkez® zetés (ezer ft) képesítés András 150 kosárlabda, futball Béla 175 kosárlabda, rögbi Csaba 200 atlétika, kosárlabda, futball Dávid 225 atlétika, rögbi Endre 200 futball, rögbi
Megoldás: Els® lépésként fel kell írnunk a megfelel® matematikai modellt, hogy meg tudjuk oldani a feladatot. Mivel valamennyi embert vagy felveszik, vagy nem, így bináris változókra lesz szükségünk, vagyis xA , xB , xC , xD , xE ∈ {0, 1} .
Ezután az egyes sportágakra kell felírni a feltételeket: kosárlabda: xA + xb + xc ≥ 1 atlétika: xC + xD ≥ 1 rögbi: xB + xD + xE ≥ 1 futball: xA + xA + xE ≥ 2 Ez utóbbi azért ≥ 2, mert a feladatban az szerepelt, hogy legalább 2 futball edz®re van szükség. Mivel minimális költséggel szeretnénk kielégíteni az edz®igényt, így a célfüggvényünket kell minimalizálni, ami az egyes emberek és a hozzá tartozó zetésük szorzatának összege. Ezzel megkapjuk, hogy összesen mennyi bért kell majd ki zetni: 150xA + 175xB + 200xC + 225xD + 200xE → min
Ez a következ®képp néz ki Excel ben felírva:
45
4.3. ábra. A feladathoz elkészített Excel tábla Erre a Solver t lefuttatva a következ® eredményt kapjuk:
4.4. ábra. Az Excel Solver által kapott megoldás Láthatjuk, hogy a H oszlopbeli értékek mind ≥-k az I oszlophoz, vagyis teljesítik a feltételt, a 2. sorból kiolvasható, hogy kiket kell alkalmazni, a H9-es cella pedig az össz zetést mutatja meg. Tehát Csabát és Endrét kell felvenni, akiknek összesen 400 ezer forint bért kell ki zetni.
7. feladat Cégünk f¶szerpaprika-keveréket készít három alapanyagból: gépi szedés¶, kézi szedés¶ és brazil import paprika ®rleményb®l. (Az áron kívül a többi adat egység/kg mértékegységgel van megadva.) Mennyit használjunk fel a különböz® alapanyagokból 1 kg elkészítéséhez, ha az 46
egészségügyi el®írások szerint az a atoxin megengedhet® mennyisége legfeljebb 0,8 egység/kg lehet? Emellett cégünk olyan keveréket szeretne, amelyben a kapszaicin tartalom legalább 3 egység/kg, valamint a kapszorubin tartalom legalább 2,5 egység/kg. A keverékbe csak a fenti három alapanyag kerülhet. Az el®állítás költsége természetesen minimális legyen. [5] géppel szedett kézzel szedett brazil import a atoxin(gombaöl®) 0 0 8 kapszaicin(er®sség) 3 4 2 kapszorubin(piros szín) 2 3 5 ár(ft/kg) 800 1100 600
Megoldás: Els® lépésként felírjuk a keverési feladat modelljét Excel ben, ami a következ®:
4.5. ábra. A feladat modellje Excelben A megoldáshoz a Solverben a következ®ket kell beállítani:
47
4.6. ábra. A feladat feltételei a Solverben Ezt lefuttatva a Solver a következ®t adja:
4.7. ábra. A Solver megoldása Tehát a géppel szedett paprikából 0, 7, a kézzel szedett paprikából 0, 2, a brazil importból pedig 0, 1 kg kell 1 kg f¶szerpaprika keverékhez, aminek kilogrammja 840 forint lesz.
48
4.4.
Széls®érték feladatok az analízis módszereivel
8. feladat Cégünk olyan rekeszeket gyárt, melyek felül nyitottak, és elválasztó lap is van benne, ami két különálló tetsz®leges nagyságú részre osztja. Célunk a legnagyobb térfogatú rekesz megtervezése úgy, hogy darabonként 1, 8432 m2 alapanyag áll rendelkezésre, mivel ennél több faanyagot már nem éri meg felhasználni.
Megoldás: A rekesz térfogata V (x, y, z) = xyz , a felszíne az elválasztólappal A(x, y, z) = xy + 2xz + 3yz = 18432[cm2 ].
Felírjuk a gradiensvektorokat: ∇V (x, y, z) = (yz, xz, xy), valamint ∇A(x, y, z) = (y + 2z, x + 3z, 2x + 3y). A Lagrange multiplikátor módszer alapján ∇V (x, y, z) = λ · ∇A(x, y, z). Tehát a következ® egyenletrendszert kapjuk: 1. yz = λ(y + 2z) −→ yz = λy + 2λz 2. xz = λ(x + 3z) −→ xz = λx + 3λz 3. xy = λ(2x + 3y) −→ xy = 2λx + 3λy 4. xy + 2xz + 3yz = 18432 Átalakítva az 1. és 2. egyenletet y(z − λ) = 2λz és x(z − λ) = 3λz egyenl®ségeket kapjuk, majd az 1.-t elosztva a 2.-kal xy = 23 , vagyis y = 23 x. Ezt behelyettesítve a 3. egyenletbe 32 x2 = 2λx + 3λ 23 x = 4λx, amib®l x2 = 6λx, x = 6λ. Ezt behelyettesítjük y -ba, így y = 32 6λ = 4λ. A 2. egyenletbe x = 6λ-t helyettesítve 6λz = 6λ2 + 3λz −→ 3z = 6λ, vagyis z = 2λ. Behelyettesítve x, y, z -t a feltételbe: 6λ · 4λ + 2 · 6λ · 2λ + 3 · 4λ · 2λ = 18432, vagyis λ2 = 256, λ = 16. Már csak vissza kell helyettesíteni: x = 6λ ⇒ 6 · 16 = 96, y = 4 · 16 = 64 és z = 2 · 16 = 32. Tehát a rekesz mérete 96 × 64 × 32[cm].
9. feladat Egy vállalat napi x órában szakképzetlen, napi y órában szakképzett munkaer®t alkalmaz, hogy a Q(x, y) = 60x 3 y 3 outputot el®állítsák. Jelenleg 2
49
1
64 órában alkalmazza a szakképzetlen munkaer®t, 27 órában pedig a szakképzett munkaer®t. a) Milyen irányban kell az (x,y)-nak változnia, ha a cég minél gyorsabban növelni szeretné a termelését? b) A cég tervei közt szerepel, hogy a szakképzett munkaer® alkalmazásának óráit másfél órával növeli. Határozza meg a szakképzetlen munkaer® megfelel® módosítását, hogy a kibocsátás jelenlegi szintjén maradjon.
Megoldás: a) Egy függvény legnagyobb meredekségét a gradiens vektor segítségével tudjuk meghatározni. A gradiens vektor mutatja meg, hogy mely irányban n® legnagyobb mértékben a függvényünk. Felírjuk a függvény gradiensét, ami 1 1 2 2 1 2 ∇Q(x, y) = (60 23 x− 3 y 3 , 60 31 x 3 y − 3 ) = (40( xy ) 3 , 20( xy ) 3 ). Behelyettesítünk (x, y) helyére, tehát ∇Q(64, 27) = (40 · 34 , 20 · 169 ) = (30, 320 ). 9 Tehát a (64, 27) pontból a (30, 320 ) vektorral párhuzamosan kell x, y értékét növelni, 9 hogy a leggyorsabban növekedjen a termelés. b) A jelenlegi termelési szint Q = 60 · 64 3 27 3 = 60 · 16 · 3 = 2880. Ha y értéke 1, 5-del n®, akkor a következ® egyenletet kell megoldanunk, hogy megkapjuk x új értékét: 2
2
1
1
60x 3 28, 5 3 = 2880 x 3 28, 5 3 = 48, amit 3. hatványra emelünk: 2
1
x2 28, 5 = 483 s
vagyis x =
483 ≈ 62, 3 ≈ 62h 18m . 28, 5
Tehát 1 óra 42 perccel kell csökkenteni a szakképzetlen munkaer® óraszámát, hogy a termelés változatlan maradjon.
10. feladat Egy vállalat két input felhasználásával állítja el® a f (x, y) = xa yb függvénnyel leírható outputját, ahol a = b = 0.5. Az inputok jelenlegi szintje: x = 25, y = 100. A cég új technológiát szeretne bevezetni, ami b értékét 0,504-re növeli, az a értékét változatlanul hagyja. Határozza meg azt az új inputkombinációt, amely a 50
termelés szintjét és az inputok összegét nem változtatja meg.
Megoldás: A vállalat pillanatnyi termelési szintje f (25, 100) = 250,5 1000,5 = 5·10 = 50. Adjuk meg úgy az új x, y inputkombinációt, hogy f (x, y) = x0,5 y 0,504 = 50
és F (x, y) = x + y = 125. Írjuk fel az egyenletrendszert: 1. x0,5 y 0,504 = 50 2. x + y = 125 −→ x = 125 − y Behelyettesítve x-et az 1. egyenletbe (125 − y)0,5 y 0,504 = 50, amit négyzetre emelve a (125 − y)y 1,008 = 2500 egyenletet adja. Ennek a két megoldása y1 ≈ 101, 1898 és y2 ≈ 24, 1705, az ezekhez tartozó x értékek pedig x1 ≈ 23, 8102 és x2 ≈ 100, 8295, melyet a Maple program solve parancsával kaptam meg.
51
5. fejezet
Összefoglalás
A második fejezetben megismerkedtünk a matematikai fogalmakkal az analízis témaköréb®l, valamint a lineáris programozással, annak egy mindannyiunk számára könnyen elérhet® megoldóprogramjával, az Excel Solverrel. A harmadik fejezetben a közgazdaságtan alapfogalmaival ismerkedtünk meg, melyek újdonságként hatnak azok számára, akik nem találkoztak még a mikroökonómiával. Megtanultuk hogyan lehet minimalizálni az inputot, maximalizálni az outputot, ezekhez mely feltételeknek kell teljesülniük, valamint pénzhajhász világunkhoz köt®d®en mikor lesz maximális pro tunk. A negyedik fejezetben az azt megel®z® két fejezeten alapuló feladatok megoldását láttuk, melyeket a megoldás témája szerint csoportosítottam. Ahol szükséges volt, ábrával segítettem a feladat megoldásának leírását. Mint láthattuk, a közgazdaságtan a matematika viszonylag sz¶k területét használja. A bemutatott példákat igyekeztem oly módon összeválogatni, hogy kiemel®djön, milyen színes palettája van a széls®érték feladatoknak. Igyekeztem olyan megközelítésben bemutatni, megoldani a példákat, a színes ábrákkal is segítve a megértést, hogy ha egy kevés el®ismeretekkel rendelkez® személy kezébe kerül, akkor számára se okozzon nagy fejtörést, hogy mit hogyan végzünk el.
52
Ábrák jegyzéke
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.
Lineáris programozási feladat általános alakja. Egy feladat gra kus megoldása. . . . . . . . . A Solver használatának els® lépése. . . . . . . A Solver használatának második lépése. . . . . A Solver használatának második lépése. . . . . A Solver beállításai. . . . . . . . . . . . . . . . A korlátozó feltételek bevitele. . . . . . . . . . A Solver megoldást talál. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
9 10 14 14 15 15 16 16
3.1. Többváltozós termelési függvény. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. A t®ke és a munkaer® lehetséges kombinációinak függvénye. . . . . . 3.3. A termelés változása a munkaer® függvényében. . . . . . . . . . . . 3.4. Az új munkaer®kre es® fejenkénti termelés. . . . . . . . . . . . . . . 3.5. A termelés függvénye. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Az átlagtermék és a határtermék függvény . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Egy termelési függvény két isoquantja. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Kapcsolat az isoquant és a határtermék között . . . . . . . . . . . . 3.9. Tökéletes helyettesíthet®ség isoquant görbéi. . . . . . . . . . . . . . 3.10. Minimális költség¶ tényez®kombinációk. . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Az optimális tényez®kombináció. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Az a) ábrán a hozadéki függvény látható, a b) ábrán a változó költség függvény. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Az összköltség összetétele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. a) Átlagtermék és határtermék. b) Határköltség és átlagos változó költség. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15. Rövid távú átlagköltségek és kapcsolatuk. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
17 18 20 21 24 24 26 27 29 31 31
53
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. 33 . 34 . 36 . 36
3.16. A maximális pro t elérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.
A portfóliónk felírása. . . . . . . . . . . . . . . A feltételeinknek megfelel® portfólióösszetétel. A feladathoz elkészített Excel tábla . . . . . . Az Excel Solver által kapott megoldás . . . . . A feladat modellje Excelben . . . . . . . . . . A feladat feltételei a Solverben . . . . . . . . . A Solver megoldása . . . . . . . . . . . . . . .
54
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
44 44 46 46 47 48 48
Táblázatok jegyzéke
2.1. A szendvicsekre vonatkozó adatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1. Össztermelés, átlagtermék, határtermék . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Egy üzem adatai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55
Irodalomjegyzék
[1]
Sydseater-Hammond:
[2]
Kopányi Mihály:
Matematika közgazdászoknak. Aula Kiadó, 2006
Mikroökonómia. KJK-KERSZÖV Jogi és Üzleti Kiadó Kft.,
2004 [3]
Daruka
Magdolna-Simanovszky
Zoltán:
Mikroökonómia feladat-
gy¶jtemény. Tri-Mester Kiadó, 2003 [4]
Berde Éva-Petró Katalin:
Mikroökonómia feladatok. M¶szaki Könyvki-
adó, 1994 [5]
Kovács Ferenc-Kovács Gergely:
Modellek és megoldások. Alfadat-Press
Nyomdaipari Kft., 2007 [6] http : //hu.wikipedia.org/wiki/T ermel%C3%A9selm%C3%A9let [7] http : //wiki.sch.bme.hu/pub/V illanyalap/M ikroM akro/6elads.ppt
56
