ESTIMASI EKSPONEN SPEKTRAL DAN KEMUNCULAN DERAU KEDIP (FLICKER NOISE) PADA SINYAL ULF GEOMAGNET

PROSIDING 

 

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

T‐4  ESTIMASI EKSPONEN SPEKTRAL DAN KEMUNCULAN DERAU  KEDIP (FLICKER NOISE) PADA SINYAL ULF GEOMAGNET    John Maspupu  Pusfatsainsa LAPAN, Jl. Dr. Djundjunan  No. 133 Bandung 40173,  Tlp. 0226012602 Pes. 106. Fax. 0226014998  E‐mail: [email protected]       Abstrak Makalah ini membahas rancangan estimasi nilai eksponen spektral dari suatu  sinyal ULF geomagnet, yang nantinya terkait dengan kemunculan derau kedip (flicker  noise).  Oleh  karena  itu  tujuan  pembahasan  dalam  makalah  ini  adalah  menentukan  formulasi estimasi dari eksponen spektral tersebut. Untuk mencapai tujuan di atas ini  diperlukan beberapa konsep matematik dan statistik  antara lain , kuat spektral (power  spectrum)  yang  terkait  dengan  eksponen  spektral  dalam  wilayah  frekuensi,  dan   kuadrat  terkecil  (least  square  )  serta  estimasi  selang  (interval  estimation)  secara  statistik. Hasil pembahasan ini merupakan suatu alat komputasi yang dapat diterapkan  pada  data  sinyal  ULF  untuk  mendeteksi  terjadinya  badai  geomagnet  ataupun  gempa  bumi (earthquake).  Kata kunci : Eksponen spektral , Derau kedip(flicker noise), Sinyal ULF, Geomagnet.    1. Pendahuluan  Salah  satu  jenis  karakteristik  fraktal  sinyal  ULF  yang  dikenal  sebagai  konyugasi  dari  dimensi  fraktal  adalah  eksponen  spektral.  Pengertian    tentang    eksponen  spektral  sinyal  ULF  ini  umumnya  merupakan  faktor  pangkat  dari  ukuran  presisi

1 dalam  skala  f

frekuensi  (lihat  [8]).  Atau  secara  matematis  didefinisikan  sebagai  minus  kemiringan  (slope) regresi linier dari hasil plot logaritma frekuensi versus  logaritma  kuat  spektral   dalam    wilayah    frekuensi  (log  f    versus  log  P(f)).  Sedangkan  menurut  [3]  dan  [9]  ciri  kemunculan  derau  kedip  (flicker  noise)  akan  terlihat  pada  saat  penurunan  nilai  eksponen  spektral  (β)  secara  gradual  mendekati    satu  (  β  =1,  flicker  noise  signature).  Oleh  karena  itu  perlu  dirancang  suatu  formulasi  untuk  mengestimasi  nilai  eksponen  spektral  yang  dapat  memprediksi  kemunculan  derau  kedip  pada  data  sinyal  ULF.  Dengan demikian tujuan pembahasan makalah ini adalah untuk menentukan formulasi  estimasi eksponen spektral dan selang kepercayaan yang berkaitan dengan parameter  Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 

993 

PROSIDING 

 

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

tersebut. Namun yang menjadi masalah adalah bagaimana merancang proses estimasi  eksponen  spektral  tersebut?,  bagaimana  menentukan  prosedur  numerik  untuk  taksiran eksponen spektral dan kemunculan derau kedip tersebut? Sebenarnya banyak  metode  statistik  yang  dapat  diterapkan  pada  proses  estimasi  ini  ,  namun  untuk  keperluan pembahasannya dipilih suatu metode yang cukup sederhana yaitu metode  kuadrat  terkecil  (Least  Square  Method)  dengan  mengacu  pada  [4]  dan  [7].  Manfaat  dari  hasil  pembahasan  kajian  ini  dapat  digunakan  untuk  mendeteksi  dan  juga  memprediksi prekursor terjadinya badai geomagnet ataupun gempa bumi.       2. Analisis metode estimasi model linier   Umumnya model linier sederhana mempunyai bentuk seperti Y = A + B X , dengan  A  dan B adalah parameter‐parameter yang nilainya harus diperkirakan. Apabila populasi  dari  seluruh  pasangan  nilai  (  xi  ,  yi  )  diketahui  ,  maka  kita  dapat  menghitung  nilai  sebenarnya  dari  parameter  A  dan  B.  Didalam  prakteknya  kita  tidak  tahu  nilai  parameter  tersebut,  akan  tetapi  dapat  diperkirakan  dengan  menggunakan  data  empiris,  hasil  observasi  berdasarkan  sampel  yang  diambil  dari  suatu  populasi  yang  tidak  terbatas  (infinite  population).  Data  empiris  tersebut  sering  berupa  data  berkala  (time  series  data)  yaitu:    x1  ,  x2  ,  x3  ,  .....,  xn    dan  y1  ,  y2  ,  y3  ,........,  yn  .  Untuk  memperkirakan  A dan B kita gunakan  metode  kuadrat  terkecil .  Model  sebenarnya   adalah Y = A + B X + U, sedangkan Model perkiraan adalah Y = a + b X + e .   Dengan  a ,  b  dan  e  adalah  taksiran  untuk  A  ,  B  dan  U.    Metode  kuadrat  terkecil  adalah  suatu  metode  untuk  menghitung    a  dan  b  sebagai  perkiraan  dari  A  dan  B  sedemikian  rupa  sehingga  jumlah  galat  kuadrat  (sum  of  square  error)  terkecil.    Dengan  bahasa  matematik dapat dinyatakan sebagai berikut:  Yi  =  a  +  b  Xi  +  ei    ,    i  =  1,2,....,n.  Atau    ei  =  Yi  –  a  –  b  Xi  adalah  galat  (error)  ke    i.   n

n

i =1

i =1

Sedangkan    ∑ ei2   =  ∑ (Y i − a − b X i )2   adalah  jumlah  galat  kuadrat.  Prosedur  metode  n

kuadrat terkecil di [2] dan [7] ini adalah membuat turunan parsiil dari  ∑ ei2 ,  mula‐mula  i =1

terhadap a , kemudian terhadap b dan menyamakannya dengan nol sebagai berikut :   Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 

994 

PROSIDING 

 

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

n

∂ ∑ ei2

 

i =1

∂a

n

n

n

i =1

i =1

i =1

= 2 ∑ (Y i − a − b X i )(−1) = 0   atau  ∑ Y i − a.n − b ∑ X i = 0                 .......(1) 

n

∂ ∑ ei2 i =1

∂b

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

= 2 ∑ (Y i − a − b X i )(− X i ) = 0 atau ∑ X i Y i − a ∑ X i − b ∑ X i2 = 0                   .......(2) 

  Persamaan‐persamaan  (1)  dan  (2)  ini  dikenal  sebagai  persamaan‐persamaan  normal  n

dari regresi Y = a + b X + e  di atas. Jika persamaan (1) dikalikan dengan faktor  ∑ X i   i =1

dan  persamaan  (2)  dikalikan  dengan  faktor  n  maka  akan  diperoleh  persamaan‐ n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

persamaan (3) dan (4) sebagai berikut,  ∑ X i .∑ Y i − a.n ∑ X i − b ( ∑ X i . )2 = 0         ....(3)    n

n

n

i =1

i =1

i =1

Dan                                              n.∑ X i Y i. − a.n ∑ X i − b.n ∑ X i2 = 0                        .....(4)  Selisih  dari  persamaan  (3)  dan  (4)  akan  menghasilkan  parameter‐parameter  a  ,  b   n

sebagai berikut:  b =

n

n

i =1 n

i =1

n.∑ X i Y i − ∑ X i ∑ Y i i =1 n

n.∑

i =1

2 Xi

2

− ( ∑ Xi ) .

n

n

∑ Y i − b∑ X i

 dan   a = i =1

i =1

n

 =   Y ‐  b. X         ....(5) 

i =1

Didalam  analisa  regresi  ,  ataupun  suatu  hasil  penelitian  biasanya  kesalahan  baku  dipakai sebagai ukuran tingkat ketelitian. Umumnya jika  Y = a  +  b X  maka  S a  dan  S b   masing‐masing  adalah  nilai  taksiran  untuk  a  dan  b.  Akan  tetapi  sering  juga    nilai  taksiran ini merupakan nilai observasi untuk pengujian hipotesa (lihat [2]). Apabila  S e2   adalah taksiran σ2 ( variansi Y ) dan agar S e2  juga  merupakan “unbiased estimator”dari  σ2  maka  haruslah  E( S e2 )  =  σ2.  Untuk  itu  formulasi S e2 = S e2 =

1 n−k

n

1 n 2 ∑ ei atau  n − k i =1

juga 

dapat 

S e2  

harus  dihitung  dengan 

dihitung 

dengan 

formula 

2

∑ (Y i − a − b X i )  di [7] , dimana n adalah banyak sampel data dan k adalah 

i =1

2

banyak  variabel.  Sedangkan 

S 2a

2 1 ⎞⎟ dan  S 2   = S e   .  Dalam  praktek    = S ⎛⎜ + nX b n ⎠ ⎝ n ∑ X i2 ∑ X i2 2 e

i =1

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 

i =1

995 

PROSIDING 

 

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

juga sering diperlukan taksiran selang untuk parameter A dan B.  Untuk sampel yang  besar  berlaku  selang  kepercayaan  untuk  masing‐masing  parameter  A  dan  B  sebagai  berikut , a − Z α . S a ≤ A ≤ a + Z α . S a  dan  b − Z α . S b ≤ B ≤ b + Z α . S b . Jika pada sampel‐sampel  2

2

2

2

yang  besar  digunakan  distribusi  Z  (distribusi  normal  baku)  untuk  penentuan  selang  kepercayaannya,  maka  pada  sampel‐sampel  yang  kecil,  distribusi  Z  diganti  dengan  distribusi t (distribusi studen), sehingga selang kepercayaan dari parameter‐parameter  A  dan  B  menjadi  , a − t α . S a ≤ A ≤ a + t α . S a dan  b − t α . S b ≤ B ≤ b + t α . S b   .  Dalam  hal  ini  “α”  2

2

2

2

adalah tingkat keberartian (level of significant) dan biasanya ditentukan 5%.    3. Hasil dan Pembahasan  Menurut relasi hukum pangkat di [1], enersi fungsi densitas spektral atau kuat spektral  semua derau selalu sebanding dengan  Secara matematis ditulis  P(f) =

k f

β

1 β

f

.  Atau ditulis  P(f)  ~ 

1 f

β

                  .....(6) 

 = k f − β                                                           ....(7) 

Jika  diambil  logaritma  dari  kedua  ruas  persamaan  (7)  di  atas,  maka  diperoleh  model  persamaan linier dalam logaritma sebagai berikut, log P(f) = ‐ β log f + log k  dengan  k   adalah suatu konstanta.  Selanjutnya tinjaulah model perkiraan persamaan linier dalam   ∧

∧

bentuk  logaritma  sebagai  berikut,   log P( f i ) = − β log f i + log k + ε i .   Akibatnya diperoleh  ε i2 = n

n

i =1

i =1

(

∧

∧

log P( f i ) + β log f i − log k )   ∧

2

∧

Jadi   ∑ ε i2 = ∑ ( log P( f i ) + β log f i − log k )2                                                    .......(8)  n

∂ ∑ ε i2 Dengan menerapkan kriteria kuadrat terkecil yaitu  n

∧

i =1 ∧

∂β

n

= 0  dan 

n

∂ ∑ ε i2 i =1

∧

∂ log k

= 0  pada persa‐ 

n

∑ log f i ∑ log P( f i ) − n ∑ log f i log P( f i )

maan (8) akan diperoleh,  β = −tg γ  =  i =1

i =1 n

2

i =1 n

n ∑ (log f i ) − ( ∑ log f i ) i =1

2

.....(9) 

i =1

Dalam hal ini  γ  adalah adalah sudut miring dengan arah berlawanan jarum jam terhadap   Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 

996 

PROSIDING 

 

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

sumbu koordinat log f positif , seperti terlihat pada gambar 4 di [6].  n

n

n

∑ log f i ∑ log P( f i ) − n ∑ log f i log P( f i )

Dengan demikian  γ  = arc tg  i =1

i =1 n

i =1 n

2

n ∑ (log f i ) − ( ∑ log f i ) i =1

∧

          .......(10)  

i =1

∧ n

n

Sedangkan   log k =

2

∑ log P( f i ) − β ∑ log f i

i =1

i =1

n

∧

= log P( f i ) − β log( f i )                .......(11) 

Selanjutnya dengan menggunakan formulasi yang serupa seperti di bawah ini yaitu, 

Sε = 2

2 ∧ ∧ 1 n Se 2 .    ∑ ( log P( f i ) + β log f i − log k )   dapat dihitung  S b2  =  n 2 n − j i =1 ∑ (log f i ) i =1

Dalam  hal  ini  n  adalah  banyaknya  data  yang  digunakan    dan  j=2  adalah  banyaknya  variabel  dari  kedua  komponen  kuat  spektral  P(f)  dan  frekuensi  f.    Dalam  pembahasan  data  sinyal  ULF  ini,  juga  diperlukan  taksiran  selang  untuk  parameter  eksponen  spektral β .  Jika  sampel  data  yang  digunakan  cukup  banyak  maka  selang  kepercayaan  ∧

∧

untuk  parameter  β   ditentukan  sebagai  berikut, β − Z α . S b ≤ β ≤ β + Z α . S b .  Dalam  hal  2

2

ini  “α”  adalah  tingkat  keberartian  (level  of  significant)  yang  biasanya  ditentukan  5%  ,  sedangkan  Z adalah suatu variabel acak yang berdistribusi normal baku.  ∧

Untuk mengimplementasi formulasi taksiran eksponen spektral  β  di persamaan (9) ke  dalam  situasi  nyata  diperlukan  langkah‐langkah  perhitungan  numeriknya  yang  dapat  dinyatakan sebagai berikut :     i). Lakukan prosedur standar pengolahan data sinyal ULF (lihat [5]).    ii). Tentukan nilai‐nilai frekuensi  fi  dan kuat spektral P(fi) tiap detik untuk setiap          selang waktu 10 menit.   iii). Hitung log fi  , (log fi )2 , log P(fi)  dan  log fi  log P(fi)  tiap detik untuksetiap selang          waktu 10 menit.  n

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

i =1

 iv). Hitung ∑ log f i , ( ∑ log f i )2 , n ∑ ( log f i )2 ,  ∑ log P( f i )  dan ‐n ∑ ( log f i )( log P( f i ))           tiap detik untuk setiap selang waktu 10 menit.  Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 

997 

PROSIDING 

 

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

  v).  Hitung  β i  dan  γ i  dengan menggunakan formulasi pada persamaan‐persamaan          (9) dan (10) setiap 10 menit.  Selanjutnya kemunculan derau kedip, menurut [8] dan [9] akan terlihat pada saat nilai  eksponen  spektral  β   konvergen  ke  1  ( β → 1  )  dan  secara  bersamaan  juga,  sudut  miring  γ  dengan arah berlawanan jarum jam terhadap sumbu koordinat log f positif  mendekati 1350 ( γ → 1350 ).    4. Simpulan  Formulasi  taksiran  eksponen  spektral  β   dan  parameter  γ   yang  diperoleh  dari  persamaan‐persamaan (9) dan (10), ini dapat digunakan untuk menghitung nilai kedua  parameter tersebut ( yaitu  β  dan  γ  ), dengan memanfaatkan data mentah sinyal ULF  yang diamati secara langsung tanpa ada jedah waktu (real time data).  Selain itu prosedur perhitungan eksponen spektral  β  maupun parameter  γ  yang telah  dibahas  secara  numerik,  ini  perlu  diterjemahkan  ke  dalam  program  komputernya  sehingga  dapat  diimplementasikan  pada  data  sinyal  ULF  yang  siap  dipakai  (real  time  data  or  near  real  time  data).  Hal  ini  dimaksudkan  untuk  mempermudah  dan  mempercepat hasil‐hasil perhitungan nilai parameter  β  dan γ , sehingga dapat melihat  kecenderungan ataupun  kekonvergenan dari parameter‐parameter tersebut ke suatu  nilai tertentu ( β → 1 dan  γ → 1350 ).  Kemudian  yang  harus  dipikirkan  (open  problem)  untuk  penelitian  berikutnya  adalah  bagaimana memodelkan nilai‐nilai eksponen spektral tersebut terhadap waktu dengan  memanfaatkan  data  sinyal  ULF,  sehingga  dapat  memprediksi  terjadinya  gempa  bumi  ataupun badai geomagnet.     5. Ucapan Terimakasih  Secara  khusus  saya  ucapkan  terima  kasih  kepada  rekan‐rekan  sekerja  di  bidang  Apgeomagsa – LAPAN  yaitu saudara La Ode Musafar, drs. MSc dan saudara Bachtiar  Anwar,  MSc.  DSc.  yang  telah  memberikan  banyak  sumbangan  pemikiran  didalam  diskusi‐diskusi serta bantuan informasinya  tentang  pengertian data sinyal ULF.  Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 

998 

PROSIDING 

 

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

Daftar Pustaka  [1]. Addison P.S, (1997) Fractals and Chaos: An illustrated course, IOP Publishing                               Ltd., Philadelphia USA.  [2]. Draper N R & Smith H (1996) Applied Regression Analysis, John Wiley & sons,                             Inc., New‐York.     [3]. Gotoh K. et. al., (2002) Fractal analysis of the ULF geomagnetic data obtained at                              Izu Peninsula, Japan in relation to the nearby earthquake swarm of                              June – August 2000, Journal NHESS, pp. 229 – 236.  [4]. Maspupu J, (2007) Rancangan Estimasi Fungsi Transfer Data Variasi Geomagnet ,                            Prosiding Seminar Nasional Matematika FMIPA ‐UNPAR, Bandung,                              hal.133 – 137.    [5]. Maspupu J. (2007) Disain Pengolahan data Variasi Geomagnet berdasarkan Filter                              tertentu, Prosiding Seminar Nasional Matematika FMIPA ‐ UNPAR,                              Bandung, Vol.2, hal.166 – 172.  [6]. Maspupu J, (2009) Penentuan  Hubungan  Eksponen  Spektral  dan  Dimensi                              Fraktal Sinyal ULF Geomagnet, Prosiding Seminar Nasional                             Matematika  dan Pendidikan Matematika FMIPA ‐ UNY, Yogyakarta ,                              hal.  – .  [7]. Mendenhall W.and ScheafferR.L.(1998)., Mathematical  Statistics  with                             Applications,  John Wiley & Sons , Inc., New‐York.  [8]. Smirnova N. et.al., (1999) Structure of the ULF geomagnetic noise in a seismo                             active zone and its relation to the earthquake, in : Noise Physical                             System and  1f  Fluctuations, Proc. 15th Int. Conf. ICNF’99, 23‐26                             August,Hong Kong , (Ed) Surya.Ch. World Scientific, pp.471‐474.   [9]. Smirnova N. et.al., (2001) Scaling  characteristic of  ULF geomagnetic fields at                               the Guam seismoactive area  and  their  dynamics in  relation  to the                              earthquake, Journal Natural Hazards and Earth System Sciences                              (J. NHESS), pp.119 – 126.                              Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 

999