Erwien Tjipta Wijaya, ST.,M.Kom
PENDAHULUAN Logika Fuzzy pertama kali dikenalkan oleh Prof. Lotfi
A. Zadeh tahun 1965 Dasar Logika Fuzzy adalah teori himpunan fuzzy. Teori himpunan fuzzy adalah peranan derajat keanggotaan sebagai penentu keberadaan elemen dalam suatu himpunan. Nilai keanggotaan / Derajat keanggotaan / Membership function menjadi ciri utama dari penalaran pada Logika Fuzzy tersebut. Logika Fuzzy digunakan untuk memetakan permasalahan dari input menuju ke output
ALASAN PERLUNYA LOGIKA FUZZY 1. 2. 3.
4. 5. 6. 7.
Mudah dimengerti, karena logika fuzzy menggunakan dasar teori himpunan. Sangat fleksibel, artinya mampu beradaptasi terhadap perubahanperubahan dan ketidakpastian pada permasalahan. Memiliki toleransi terhadap data yang tidak tepat. Jika diberikan sekelompok data yang cukup homogen dan kemudian terdapat beberapa data yang “eksklusif”, maka logika fuzzy memiliki kemampuan untuk menangani data eksklusif tersebut. Mampu memodelkan fungsi – fungsi nonlinear yang komplek. Membangun dan mengimplikasikan pengalaman – pengalaman para pakar secara langsung tanpa melalui proses pelatihan. (atau biasa dikenal dengan Fuzzy Expert System) Dapat digunakan pada teknik – teknik kendali secara konvensional. (Teknik Industri, Teknik Mesin dan Teknik Elektro) Didasarkan pada bahasa alami. Logika Fuzzy menggunakan bahasa sehari – hari sehingga mudah dimengerti
HIMPUNAN FUZZY Himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan item x dalam
suatu himpunan A, ditulis 𝜇𝐴 (𝑋) dengan kemungkinan, yaitu :
memiliki 2
Satu (1), berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan. 2. Dua (2), berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan. 1.
Jika diketahui : (Contoh Himpunan Dasar) S = {1,2,3,4,5,6,7} //semesta pembicaraan A = {1,2,3} B = {3,4,5}
LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Dikatakan bahwa : Nilai keanggotaan 2 pada himpunan A, 𝜇𝐴 karena 2 ∈ A Nilai keanggotaan 3 pada himpunan A, 𝜇𝐴 karena 3 ∈ A Nilai keanggotaan 4 pada himpunan A, 𝜇𝐴 karena 4 ∉ A Nilai keanggotaan 2 pada himpunan B, 𝜇𝐵 karena 2 ∉ B Nilai keanggotaan 3 pada himpunan B, 𝜇𝐵 karena 3 ∈ B
2 = 1,
3 = 1, 4 = 0,
2 = 0, 3 = 1,
LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Misalkan variabel umum dibagi menjadi 3 kategori,
yaitu : (Contoh Himpunan Umur) 1. Muda
umur < 35 tahun 35 ≤ umur ≥ 55 tahun umur > 55 tahun
2. Parobaya 3. Tua
Visualisasi dalam bentuk grafis 1
1
1
µ(x)
µ(x)
µ(x)
0
0 0
35 Umur (th)
0
0
35 Umur (th)
55
0
55 Umur (th)
LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Penjelasan : 1. Apabila seorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan MUDA (µ𝑴𝑼𝑫𝑨 (34) = 1). 2. Apabila seorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan TIDAK MUDA (µ𝑴𝑼𝑫𝑨 (35) = 0). 3. Apabila seorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK MUDA (µ𝑴𝑼𝑫𝑨 (35th – 1hr) = 0). 4. Apabila seorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan PAROBAYA (µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨 (35) = 1). 5. Apabila seorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA (µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨 (34) = 0). 6. Apabila seorang berusia 55 tahun, maka ia dikatakan PAROBAYA (µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨 (55) = 1). 7. Apabila seorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA (µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨 (35th – 1hr) = 0).
LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Himpunan crisp umur masih belum adil, adanya
perubahan kecil akan mempengaruhi perbedaan kategori yang cukup signifikan. Himpunan Fuzzy digunakan untuk mengantisipasi hal tersebut. Seseorang dapat masuk dalam 2 himpunan yang berbeda, MUDA dan PAROBAYA, PAROBAYA dan TUA dan sebagainya.
LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) MUDA
PAROBAYA
TUA
1 µ (x)
0,5
0,25 0 25
30
40 45 50 55 Umur (th)
65
LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Penjelasan : 1. Seseorang yang berumur 40 tahun, termasuk dalam himpunan MUDA dengan µ𝑴𝑼𝑫𝑨 (40) = 0.25, namun dia juga termasuk dalam himpunan PAROBAYA dengan µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨 (40) = 0.5 2. Seorang yang berumur 50 tahun, termasuk dalam himpunan TUA dengan µ𝑻𝑼𝑨 (50) = 0.25 namun dia juga termasuk dalam himpunan PAROBAYA dengan µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨 (50) = 0.5.
LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Himpunan Fuzzy memiliki 2 atribut : 1. Linguistik, Penamaan grup yang mewakili suatu keadaan / kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami. Misal : MUDA, PAROBAYA dan TUA 2. Numeris / Domain, Suatu nilai (angka) yang menunjukan ukuran dari suatu variabel seperti : 40, 35, 60 dan seterusnya
SISTEM FUZZY START VARIBEL FUZZY
KOMPOSISI ATURAN (IF-THEN RULES) OPERASI LOGIKA
HIMPUNAN FUZZY SEMESTA PEMBICARAAN
DEFUZZIFIKASI / FUZZY INFERENCE ENGINE
DOMAIN
END
MEMBERSHIP FUNCTION
MEMBERSHIP FUNCTION Fungsi keanggotaan / Membership Function adalah
sebuah kurva yang menunjukan pemetaan titik – titik input data ke dalam nilai keanggotaannya atau disebut derajat keanggotaan yang memiliki nilai 0 sampai dengan 1. Fungsi – fungsi keanggotaan fuzzy adalah : 1. Representasi Linier, memiliki 2 macam himpunan
fuzzy. Diantaranya adalah :
REPRESENTASI LINIER NAIK Representasi Linier Naik
Fungsi keanggotaan :
𝜇 𝑥 =
1; 𝑥 > 𝑏 𝑥 −𝑎 ; 𝑎<𝑥 ≤𝑏 𝑏 −𝑎 0; 𝑥 ≤ 𝑎
CONTOH REPRESENTASI LINIER NAIK Fungsi keanggotaan untuk himpunan PANAS pada
variabel TEMPERATUR
Misal : 𝜇𝑝𝑎𝑛𝑎𝑠 32 =
(32 −25) (35 −25)
Berapakah jika temperatur :
=
7 10
𝜇𝑝𝑎𝑛𝑎𝑠 27 = ? 𝑑𝑎𝑛 𝜇𝑝𝑎𝑛𝑎𝑠 34 = ?
= 0,7
REPRESENTASI LINIER TURUN Representasi Linier Turun
Fungsi Keanggotaan
𝜇 𝑥 =
1; 𝑥 < 𝑎 (𝑏 − 𝑥) ; 𝑎 ≤𝑥 <𝑏 (𝑏 − 𝑎) 0; 𝑥 ≥ 𝑏
CONTOH REPRESENTASI LINIER TURUN Fungsi keanggotaan untuk himpunan DINGIN pada
variabel TEMPERATUR
Misal : 𝜇𝑑𝑖𝑛𝑔𝑖𝑛 20 =
(30 −20) (30 −15)
Berapakah jika temperatur :
=
10 15
= 0,667
𝜇𝑑𝑖𝑛𝑔𝑖𝑛 25 = ? 𝑑𝑎𝑛 𝜇𝑑𝑖𝑛𝑔𝑖𝑛 17 = ?
REPRESENTASI SEGITIGA 2.
Representasi Segitiga
Fungsi Keanggotaan
𝜇 𝑥 =
(𝑥 (𝑏 (𝑐 (𝑐
0; 𝑥 ≤ 𝑎 − 𝑎) ; 𝑎 ≤𝑥 ≤𝑏 − 𝑎) − 𝑥) ; 𝑏 ≤𝑥 ≤𝑐 − 𝑏) 0; 𝑥 ≥ 𝑐
CONTOH REPRESENTASI SEGITIGA Fungsi keanggotaan untuk himpunan NORMAL pada
variabel TEMPERATUR
Misal : 𝜇𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 23 =
(23 −15) (25 −15)
=
8 10
= 0,8
REPRESENTASI TRAPESIUM 3. Representasi Kurva Trapesium / Trapezoid
Fungsi Keanggotaan
CONTOH REPRESENTASI TRAPESIUM Fungsi keanggotaan untuk himpunan NORMAL pada
variabel TEMPERATUR
Misal : 𝜇𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 32 =
(35 −32) (35 −27)
=
3 8
= 0,375
REPRESENTASI SIGMOID (PERTUMBUHAN) 4. Representasi Kurva S atau Sigmoid Sigmoid (Pertumbuhan)
Fungsi Keanggotaan
REPRESENTASI SIGMOID (PENYUSUTAN) Sigmoid (Penyusutan)
Fungsi keanggotaan
REPRESENTASI KURVA S ATAU SIGMOID Kurva S didefinisikan dengan 3 parameter, yaitu : Nilai keanggotaan nol (α) Nilai keanggotaan lengkap (γ)
Titik infeksi / crossover (β), titik memiliki domain 50%
benar
CONTOH REPRESENTASI KURVA S (PERTUMBUHAN) Fungsi keanggotaan untuk himpunan TUA pada variabel
UMUR
Misal : 𝜇𝑡𝑢𝑎 50 = 1 − 2
60 − 50 2 (60 − 35)
=1−2
Berapakah jika UMUR : 𝜇𝑡𝑢𝑎 42 = ?
10 2 25
= 0,68
CONTOH REPRESENTASI KURVA S (PENYUSUTAN) Fungsi keanggotaan untuk himpunan MUDA pada
variabel UMUR
Misal : 𝜇𝑚𝑢𝑑𝑎 37 = 2
50 −37 2 (50 − 20)
=2
13 2 30
= 0,376
REPRESENTASI BAHU 5. Representasi Bahu
Daerah yang terletak di tengah-tengah suatu variabel yang direpresentasikan dalam bentuk segitiga, pada sisi kanan dan kirinya akan naik dan turun (misalkan: DINGIN bergerak ke SEJUK bergerak ke HANGAT dan bergerak ke PANAS). Tetapi terkadang salah satu sisi dari variabel tersebut tidak mengalami perubahan. Sebagai contoh, apabila telah mencapai kondisi PANAS, kenaikan temperatur akan tetap berada pada kondisi PANAS. Himpunan fuzzy „bahu‟, bukan segitiga, digunakan untuk mengakhiri variabel suatu daerah fuzzy. Bahu kiri bergerak dari benar ke salah, demikian juga bahu kanan bergerak dari salah ke benar.
REPRESENTASI LONCENG (BELL CURVE) 6. Representasi Lonceng di bagi menjadi 3 bagian : Pi Beta Gauss
REPRESENTASI LONCENG (PI) Kurva
PI berbentuk lonceng dengan derajat keanggotaan 1 terletak pada pusat dengan domain (γ) dan lebar kurva (β)
REPRESENTASI LONCENG (BETA) Kurva BETA berbentuk lonceng namun lebih rapat,
kurva ini terdapat 2 parameter, dimana nilai domain yang menunjukkan pusat kurva (γ) dan setengah lebar kurva (β).
Salah satu perbedaan mencolok kurva BETA dari kurva PI adalah, fungsi keanggotaannya akan mendekati nol hanya jika nilai (β) sangat besar.
CONTOH KURVA LONCENG (BETA) Fungsi
keanggotaan variabel umur
untuk
PAROBAYA
pada
REPRESENTASI KURVA LONCENG (GAUSS) Jika kurva PI dan BETA menggunakan 2 parameter
yaitu (γ) dan (β). Kurva Gauss juga menggunakan (γ) untuk menunjukan nilai domain pada pusat kurva, dan (κ) yang menunjukan lebar kurva.
OPERASI LOGIKA Operasi logika adalah operasi yang menggabungkan dan
memodifikasi 2 atau lebih himpunan fuzzy. Nilai keanggotaan baru hasil dari operasi 2 himpunan disebut firing strenght atau predikat (α). Ada 3 operasi dasar yan diciptakan oleh zadeh : 1.
Operator AND, berhubungan dengan operasi intersection pada himpunan, α predikat diperoleh dengan mengambil nilai minimum antar ke dua atau lebih himpunan. AB = min(A[x], B[y]) Contoh : MUDAGAJITINGGI = min( MUDA[27], GAJITINGGI[2juta]) = min (0,6 ; 0,8) = 0,6
LANJUTAN (OPERATOR LOGIKA) berhubungan dengan operasi union pada himpunan, predikat diperoleh dengan mengambil nilai maximum antar kedua himpunan. AB = max(A[x], B[y])
2. Operator OR,
Contoh : MUDA GAJITINGGI = max(MUDA[27], GAJITINGGI[2juta]) = max (0,6 ; 0,8) = 0,8
LANJUTAN (OPERATOR LOGIKA) 3. Operasi
NOT, berhubungan dengan operasi komplemen pada himpunan, predikat diperoleh dengan mengurangkan nilai keanggotaan elemen pada himpunan dari 1.
Contoh : MUDA[27]
= 1 - MUDA[27] = 1 - 0,6 = 0,4
PENALARAN MONOTON Metode Penalaran Monoton digunakan sebagai dasar
untuk teknik implikasi fuzzy. Metode ini sudah jarang digunakan tapi masih digunakan untuk pengskalaan fuzzy. Contoh jika 2 daerah fuzzy direlasikan dengan implikasi sederhana (Cox, 1994) IF x is A THEN y is B Transfer fungsi : 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝐴 , 𝐵 Sistem dapat berjalan tanpa komposisi dan dekomposisi fuzzy.
CONTOH PENALARAN MONOTON µ 𝑇𝐼𝑁𝐺𝐺𝐼 165 =
165 −150 170 −150
=
15 20
= 0,75
µ𝐵𝐸𝑅𝐴𝑇 𝑦 = 𝑆 𝑦; 40,55,70 = 0,75 Karena 0,75 > 0,5 maka letak y adalah Antara 55 sampai dengan 70 sehingga 1 − 2((70 − 𝑦)/(70 − 40))2 = 0,75 1 − 2(70 − 𝑦)2 / 900 = 0,75 2(70 − 𝑦)2 / 900 = 0,25 (70 − 𝑦)2 = 112,5 (70-y) = +√(112,5) y = 70 + 10,6 ambil (-) karena nilainya Harus < 70 y = 59,4
FUNGSI IMPLIKASI Secara umum ada 2 fungsi implikasi yang dapat
digunakan (Yan,1994): 1. Min (minimum), fungsi ini akan memotong output
himpunan fuzzy.
LANJUTAN FUNGSI IMPLIKASI 2. Dot (product), fungsi ini akan mengskala output
himpunan fuzzy.
DEFUZZIFIKASI DENGAN FUZZY INFERENCE SYSTEM Fuzzy Inference System, berfungsi sebagai sistem
penalaran fuzzy yang bertugas untuk mengolah data himpunan fuzzy yang telah ditentukan kemudian menghitung nilai rata – rata terbobot. Macam – macam FIS (Fuzzy Inference System) : Metode Tsukamoto
Metode Sugeno Metode Mamdani
METODE TSUKAMOTO METODE TSUKAMOTO, Perluasan dari penalaran
monoton, setiap konsekuen pada aturan IF-THEN harus direpresentasikan degan himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan yang monoton. Sebagai hasil inferensi dari tiap – tiap aturan diberikan secara tegas (crisp) berdasarkan α-predikat (fire strength). Hasil akhir dengan rata – rata terbobot.
INFERENSI TSUKAMOTO (Jang, 1997)
STUDI KASUS Suatu perusahaan makanan kaleng akan memproduksi
makanan jenis sarden. Diketahui : (Data 1 bulan terakhir) 1.
2. 3.
1000 ≤ Permintaan ≥ 5000 (Kemasan / Perhari) 100 ≤ Persediaan Gudang ≥ 600 (Kemasan / Perhari) 2000 ≤ Produksi ≥ 7000 (Kemasan / Perhari)
Pertanyaan: Berapa kemasan yang diproduksi jika jumlah permintaan 4000 kemasan dan persediaan digudang masih 300 kemasan
ATURAN FUZZY [R1] IF Permintaan TURUN
AND Persediaan BANYAK THEN Produksi BERKURANG [R2] IF Permintaan TURUN AND Persediaan SEDIKIT THEN Produksi BERKURANG [R3] IF Permintaan NAIK AND Persediaan BANYAK THEN Produksi BERTAMBAH [R4] IF Permintaan NAIK AND Persediaan SEDIKIT THEN Produksi BERTAMBAH
JAWABAN Ada 3 variabel fuzzy yang akan di modelkan terdiri –
dari : 1. Input
: Permintaan dan Persediaan 2. Output : Produksi
INPUTAN PERMINTAAN Representasi Linier Naik dan Turun :
Persamaan Linier Turun :
𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁 𝑥 =
1; 𝑥 ≤ 1000 5000 − 𝑥 ; 1000 ≤ 𝑥 ≤ 5000 5000 − 1000 0; 𝑥 ≥ 5000
LANJUTAN INPUTAN PERMINTAAN Persamaan Linier Naik:
1; 𝑥 ≥ 5000 𝑥 − 1000 𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾 𝑥 = ; 1000 ≤ 𝑥 ≤ 5000 5000 − 1000 0; 𝑥 ≤ 1000 Hitung nilai keanggotaannya : 𝜇 5000 −4000 𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁=
=0,25 4000 𝜇 4000 −1000 𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾= =0,75 4000
INPUTAN PERSEDIAAN Representasi Linier Naik dan Turun :
Persamaan Linier Turun 𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇 𝑦 =
1; 𝑦 ≤ 100 600 − 𝑦 ; 100 ≤ 𝑦 ≤ 600 600 − 100 0; 𝑦 ≥ 600
LANJUTAN INPUTAN PERSEDIAAN Persamaan Linier Naik
1; 𝑦 ≥ 600 𝑦 − 100 𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾 𝑦 = ; 100 ≤ 𝑦 ≤ 600 600 − 100 0; 𝑦 ≤ 100 Hitung nilai keanggotaannya: 𝜇 600 −300 𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇=
500 =0,6 𝜇 300 −100 𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾= 500 =0,4
OUTPUTAN PRODUKSI Representasi Linier Naik dan Turun :
Persamaan Linier Turun 𝜇𝑃𝑟𝑑𝐾𝑈𝑅𝐴𝑁𝐺 𝑧 =
1; 𝑧 ≤ 2000 7000 − 𝑧 ; 2000 ≤ 𝑧 ≤ 7000 7000 − 2000 0; 𝑧 ≥ 7000
LANJUTAN OUTPUTAN PRODUKSI Persamaan Linier Naik
𝜇𝑃𝑟𝑑𝑇𝐴𝑀𝐵𝐴𝐻 𝑧 =
1; 𝑧 ≥ 7000 𝑧 − 2000 ; 2000 ≤ 𝑧 ≤ 7000 7000 − 2000 0; 𝑧 ≤ 2000
HITUNG NILAI α-Predikat 𝛼 − 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑘𝑎𝑡1 = 𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁 ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾
= min(𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁 (4000) ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾 (300)) = min(0,25; 0,4) = 0,25 Himpunan produksi KURANG : (7000 – z)/5000 = 0,25 𝑧1 = 5750 𝛼 − 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑘𝑎𝑡2 = 𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁 ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇
= min(𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁 (4000) ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇 (300)) = min(0,25; 0,6) = 0,25 Himpunan produksi KURANG : (7000 – z)/5000 = 0,25 𝑧2 = 5750
LANJUTAN NILAI α-Predikat 𝛼 − 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑘𝑎𝑡3 = 𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾 ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾
= min(𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾 (4000) ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾 (300)) = min(0,75; 0,4) = 0,4 Himpunan produksi TAMBAH :
(Z – 2000)/5000 = 0,4 𝑧3 = 4000
𝛼 − 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑘𝑎𝑡4 = 𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾 ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇
= min(𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾 (4000) ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇 (300)) = min(0,75; 0,6) = 0,6 Himpunan produksi TAMBAH :
(Z – 2000)/5000 = 0,6 𝑧4 = 5000
HITUNG NILAI Z 𝑧= 𝑧=
𝑧=
𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑1 ∗𝑧1 +𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑2 ∗𝑧2 +𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑3 ∗𝑧3 +𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑4 ∗𝑧4 𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑1 +𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑2 +𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑3 +𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑4 0,25∗5750+0,25∗5750+0,4∗4000+0,6∗5000 0,25+0,25+0,4+0,6 7475 = 4983 1,5
KESIMPULAN Jadi jumlah sarden yang harus diproduksi sebanyak
4983 kemasan ditambah.
dan
termasuk
produksi
harus
