Erfan Yudianto Profil Pengajuan Soal Mahasiswa Calon Guru Berkemampuan Rendah

AdMathEdu

ISSN 2088 - 687X

JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA, ILMU MATEMATIKA DAN MATEMATIKA TERAPAN

Erfan Yudianto Profil Pengajuan Soal Mahasiswa Calon Guru Berkemampuan Rendah

1-10

Luluk Faridah Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD Materi Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Persamaan Linier Satu Variabel

11-26

Putu Harry Mahardika Kajian Deret Fibonacci dan Golden Ratio dalam Penciptaan Luh Putu Ida Harini Lagu I Putu Eka Nila Kencana

27-40

Suparman Implementasi Metode Bootstrap untuk Pengujian Hipotesis Mengenai Dua Mean Populasi

41-50

Suripah Penerapan Pendekatan Stuktural Think-Pair-Share (TPS) untuk Meningkatkan Minat dan Hasil Belajar Matematika Siswa Kelas 7 PA SMPIT Masjid Syuhada Kotabaru Yogyakarta

51-62

Tika Septia Peng gunaan Metode D ekomposisi-ARIMA dalam Meramalkan Tingkat Pengembalian Saham pada Emiten Terpilih di Bursa Efek Indonesia Periode 2003-2007

63-76

Uus Kusdinar Efektivitas Model Estimasi Kesalahan Pengukuran pada Perangkat Soal Matematika Menggunakan Teori Tes Klasik

77-92

Villia Anggraini Pengaruh Penggunaan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD Terhadap Pemahaman Konsep Matematik Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar

93-104

Zulfitri Aima Pengaruh Strategi Pembelajaran Generatif Terhadap Kemampuan Komunikasi Siswa Kelas VII SMP Negeri 2 Tanjung Emas Kabupaten Tanah Datar

105-114

AdMathEdu

Vol. 2 No. 1

Juni 2012

Hal. 1 - 114

41

IMPLEMENTASI METODE BOOTSTRAP UNTUK PENGUJIAN HIPOTESIS MENGENAI DUA MEAN POPULASI Suparman Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UAD Jl. Prof. Dr. Soepomo, SH. Janturan Yogyakarta [email protected]

ABSTRAK Tulisan ini mengkaji masalah pengujian hipotesis mengenai dua mean populasi. Kebanyakan pengujian hipotesis mengenai dua mean populasi, didasarkan pada anggapan bahwa masing-masing sampel random diambil dari populasi normal. Dalam tulisan ini akan dikaji masalah pengujian hipotesis mengenai dua mean populasi yang tidak menggunakan anggapan normalitas dan homogenitas. Metode yang digunakan untuk menguji hipotesis mengenai dua mean populasi adalah metode bootstrap. Ide dasar dari metode bootstrap yaitu pengambilan sampel ulang dari data sampel dengan pengembalian. Sampel ulang digunakan untuk menentukan estimator titik dari Achieved Significance Level (ASL). Kinerja metode bootstrap diuji dengan menggunakan data simulasi. Hasil pengujian menunjukkan bahwa metode bootstrap dapat menguji hipotesis mengenai dua mean populasi dengan baik. Selanjutnya metode bootstrap diimplementasikan pada data riil. Kata Kunci : Bootstrap, Pengujian Hipotesis, ASL.

ABSTRACT This paper examines the problem of testing hypotheses about two population means. Most testing hypotheses about two population means, based on the assumption that each random sample drawn from a normal population. In this paper studied the problem of testing hypotheses about two population means are not using the assumption of normality and homogeneity. The method used to test hypotheses about two population means are the bootstrap method. The basic idea of the bootstrap method of repeated sampling with replacement from the sample data. Replication of samples used to determine the point estimator of Achieved Significance Level (ASL). Performance of the bootstrap method was tested using simulated data. The test results show that the bootstrap method to test the hypothesis of two population means well. Furthermore bootstrap method implemented on real data. Keywords : Bootstrap, Hypothesis Testing, ASL.

AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012

Implementasi… (Suparman)

42

ISSN: 2088-687X populasi. Dengan kata lain, penerimaan

Pendahuluan Dalam kegiatan penelitian ilmiah, banyak

perhatian

dicurahkan

atau penolakan hipotesis nol didasarkan

untuk

pada data sampel. Statistik penguji yang

menjawab pertanyaan tentang kebenaran

sesuai dengan hipotesis akan membagi

atau kesalahan hipotesis mengenai suatu

daerah

parameter populasi. Apakah suatu metode

samplingnya menjadi dua daerah, yaitu

pembelajaran baru akan lebih efektif

daerah kritis dan daerah penerimaan. Jika

dibandingkan dengan metode pembelajaran

nilai statistik penguji dari data sampel

konvensional ? Apakah lama belajar

berada di daerah kritis, maka H0 akan

berpengaruh terhadap hasil belajar ?

ditolak. Sebaliknya, jika nilai statistik

Apakah motivasi belajar berhubungan

penguji dari data sampel tidak berada di

dengan prestasi belajar ?

daerah kritis, maka H0 akan diterima.

Jika parameter populasi dinotasikan



di

bawah

kurva

distribusi

Sebagian besar prosedur pengujian

hipotesis

hipotesis statistik yang telah dikembangkan

dirumuskan

sejauh ini dibangun dengan asumsi bahwa

menggunakan istilah hipotesis nol H0 dan

populasi didistribusikan menurut distribusi

hipotesis alternatif H1. Jika  merupakan

normal. Padahal kenyataannya seringkali

ruang parameter, maka hipotesis nol

asumsi nornalitas tidak dipenuhi. Tujuan

dengan mengenai

maka



pengujian akan

berkaitan dengan

0

yaitu himpunan

artikel ini adalah untuk mengembangkan

alternatif

pengujian hipotesis mengenai dua mean

berkaitan dengan komplemennya,   0 .

populasi yang tidak dipenuhinya asumsi

bagian

dari

.

Hipotesis

Dalam kasus hipotesis sederhana dengan

  { 0 , 1} , himpunan  0 dan himpunan komplemennya mempunyai satu anggota

normalitas dan homogenitas.

Metode Penelitian Penelitian dimulai dengan mengkaji

saja,  0   0  dan   0  1 , di mana

berbagai

 0  1 (Bain and Engelhardt, 1992).

hipotesis secara parametrik mengenai dua

pustaka

terkait

pengujian

Pengujian hipotesis akan mengacu

mean populasi, metode bootstrap dan

pada proses untuk memutuskan kebenaran

pengujian hipotesis mengenai dua mean

atau

populasi

kesalahan

hipotesis

tersebut

berdasarkan data sampel yang diambil dari


dengan

metode

bootstrap.

Berdasarkan teori yang dihasilkan dari


43 berbagai

kajian

pustaka

tersebut,

Pada taraf signifikansi  , hipotesis H0

t 0  t  / 2 (n  m  2)

selanjutnya dibuat program komputasinya

ditolak

dengan menggunakan MATLAB. Program

t 0  t  / 2 (n  m  2)

komputer

digunakan

untuk

menguji

hipotesis mengenai dua mean populasi.

jika

tidak

asumsi

bahwa

uji hipoitesis didasarkan pada

zy

t(x) 

bebas diambil dari dua populasi normal

s12 s 22  n m

yang berbeda. Misalkan z  z1 , z 2 ., z n  sampel

ada

variansi kedua populasi adalah sama, maka

Misalkan dua sampel yang saling

suatu

dan

Myers, 1995); Suparman, 2012). Jika

Pengujian Hipotesis Secara Parametrik

merupakan

(Walpole

atau

random

Namun karena distribusi sampling t(x)

berukuran n yang dimbil dari populasi 1

tidak lagi berdistribusi t, maka beberapa

dengan mean  1 dan variansi  . Juga

pendekatan diusulkan. Dalam literatur, ini

y  y1 , y 2 ., y m  merupakan

dikenal sebagai masalah Behrens-Fisher

2 1

misalkan

suatu sampel random berukuran m yang

(Efron and Tibshirani, 1993).

diambil dari populasi 2 dengan mean  2 dan variansi  22 . Jika dipenuhi dua asumsi, yaitu kedua populasi berdistribusi normal dan kedua variansi sama      2 1

2 2

2

Bootstrap Metode bootstrap adalah metode berbasis komputer untuk mengestimasi suatu

distribusi

dengan

menggunakan

tidak diketahui, maka untuk menguji

sampel bootstrap (Munandar et al., 2008).

hipotesis

Misalnya x = (x1, ..., xn) merupakan sampel

H 0 : 1   2

random

H1 : 1   2

berdistribusi F. Pertimbangkan statistik

digunakan statistik penguji:

t0  s

diambil

dari

populasi

t(x). Salah satu tujuan dalam inferensi

zy

statistik

1 1  n m

distribusi sampling dari statistik t(x). Jika

di mana s

yang

adalah

untuk

menentukan

Fn adalah distribusi empiris dari x yang dimbil dengan probabilitas 1/n pada setiap

s12 (n  1)  s 22 (m  1) nm2


x1, ..., xn, maka versi bootstrap dari t(x) diberikan oleh t(x*b) di mana x*b = (x1*b, Implementasi… (Suparman)

44

ISSN: 2088-687X

x2*b, ... , xn*b) adalah sampel bootstrap ke

t(x) 

b (b =1, 2, …, B) yang diambil dengan pengembalian dari x = (x1, ..., xn) (Efron

zy s12 s 22  n m

Kemudian dihitung nilai statistik penguji

and Tibshirani, 1993; Gentle, 2002).

untuk tiap sampel bootstrap ( b = 1,2, …, B)

Uji Hipotesis Bootstrap Dua

sampel

random

z *b  y *b

t ( x *b ) 

z  z1 , z 2 ., z n  dan y  y1 , y 2 ., y m 

s12*b s 22*b  n m

yang saling independen diambil dari dua populasi, yang mungkin berbeda. Misalkan populasi 1 mempunyai mean  1 dan variansi

12 .

Dan nilai dari Achieved Significance Level (ASL) bootstrap diperoleh dengan rumus berikut :

Sedangkan

populasi

mempunyai mean  2 dan variansi 

2 2 2

ASˆ L boot 

.



# t ( x *b )  t ( x )

Pada

hipotesis bahwa tidak ada perbedaan mean

ASˆ L boot   maka H0 ditolak.

jika

sebagai berikut :

H1 : 1   2 Asumsi variansi sama merupakan asumsi yang sangat penting untuk uji t karena menyederhanakan bentuk distribusi yang

,

signifikansi

Prosedur pengujian ini disajikan

H 0 : 1   2

sampling

taraf



B

berdasarkan sampel z dan y, akan diuji

antara populasi 1 dan populasi 2. Sehingga

.

dihasilkan.

Dalam

mempertimbangkan pengujian hipotesis

1. Misalkan Fˆ menempatkan probabilitas zi  z i  z  x yang sama pada titik ~ untuk

i

=

1,2,

…,

n

dan

Gˆ

menempatkan probabilitas yang sama y  y  y  x untuk i=1,2, pada titik ~ i

i

dengan menggunakan metode bootstrap

…m, di mana z dan y adalah mean

tidak ada alasan kuat untuk menganggap

masing-masing sampel dan

bahwa variansi kedua populasi sama. Oleh

mean dari sampel gabungan.

x adalah

karena itu di sini tidak diasumsikan bahwa

2. Bentuk B himpunan data bootstrap

variansi kedua populasi adalah sama.

(z *b , y *b ) di mana z *b adalah sampel

Sehingga uji hipotesis didasarkan pada

z1 , ~ z2 ,, ~zn dengan penggantian dari ~

statistik penguji



45 dan

y *b

adalah

sampel

dengan

penggantian dari ~ y1 , ~ y 2 ,, ~ ym . 3. Mengevaluasi pada setiap set data

t ( x *b ) 

4. Menaksir

z *b  y *b s12*b s 22*b  n m

nilai

ASLboot

dengan

menggunakan persamaan

ASˆ L boot 



# t ( x *b )  t ( x )



B

for i=1:B, b1=randi(n,n,1); b2=randi(m,m,1); zboot(:,i)=ztilda(b1); yboot(:,i)=ytilda(b2); tboot(i)=(mean(zboot(:,i)) -mean(yboot(:,i))) /sqrt(var(zboot(:,i)) /n+var(yboot(:,i))/m); if abs(tboot(i))>=abs(tobs) nt=nt+1; else nt=nt; end; end; aslboot=nt/B

Berikut merupakan listing program yang ditulis

dalam

instruksi

bahasa

pemrograman MATLAB untuk pengujian hipotesis mengenai mean dua populasi : clear all clc alpha = 0.05 z=normrnd(2,2,n,1); y=normrnd(4,3,m,1); B=1000 n=length(z); zbar=mean(z); m=length(y); ybar=mean(y); xbar=((n*zbar)+(m*ybar))/(n+m); ztilda=z-zbar+xbar; ytilda=y-ybar+xbar;

if aslboot<=alpha disp('Tolak hipotesis nol') else disp('Terima hipotesis nol') end;

Hasil dan Pembahasan Sebagai ilustrasi, di sini metode bootstrap akan diimplementasikan untuk menguji hipotesis mengenai dua mean populasi pada data sintesis (studi simulasi) dan data riil (studi kasus). Studi simulasi (Law and Kelton, 2000) ditempuh untuk mengkonfirmasi kinerja dari pendekatan yang diusulkan apakah dapat bekerja

tobs=(mean(z)-mean(y)) /(sqrt(var(z)/n+var(y)/m));

dengan

zboot=zeros(n,B); yboot=zeros(m,B); tboot=zeros(1,B); nt=0;

penerapan penelitian dalam memecahkan


baik.

diberikan

Sedangkan

untuk

studi

memberikan

kasus contoh

permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Komputasi

ditulis

dalam

bahasa


46

ISSN: 2088-687X

pemrograman MATLAB (Hanselman and

8.6611

Littlefield, 1997).

1.1849 3.8737 0.651

Data Sintesis Tabel 1 menunjukkan data simulasi sampel

6.0478

1 diambil dari populasi berdistribusi

4.6373

normal dengan mean 0 dan variansi 16.

-4.4509

Sedangkan sampel 2 diambil dari populasi berdistribusi normal dengan mean 5 dan variansi 25.

Kedua sampel digunakan untuk menguji hipotesis H 0 : 1   2

Tabel 1 : Data sintesis z

y

-1.6665

1.5244

-0.9786 12.7383 -2.3251

7.2338

4.7958

-0.3053

-7.6532

4.5957

-0.8577

6.2931

H1 : 1   2 Tabel 2 menyajikan hasil pengujian hipotesis untuk nilai  = 0.05 dan berbagai nilai B.

Tabel 2 : Hasil pengujian hipotesis mengenai dua mean populasi sintesis

1.1777 18.9566 -2.3565

3.7741

-1.3786

6.3701

2.9073

-0.1921

7.855

B

ASˆ L boot

Kesimpulan

5.2916

1000

0.0440

Tolak H0

2.9077

5.3109

5000

0.0436

Tolak H0

-3.8819

1.8309

10000

0.0417

Tolak H0

2.351

-1.7485

20000

0.0428

Tolak H0

5.983

1.4346

-4.4519 3.3374 4.3556



47

H1 : 1   2

300

250

Tabel 4 menyajikan hasil pengujian

200

hipotesis untuk nilai  = 0.05 dan

150

berbagai nilai B.

100

Tabel 4 : Hasil pengujian hipotesis

50

0 -3

mengenai dua mean populasi riil -2

-1

0

1

2

3

4

5

Gambar 1 : Nilai statistik penguji untuk B

ASˆ L boot

Kesimpulan

1000

0.0040

Tolak H0

populasi 1 dengan mean populasi 2. Dari

5000

0.0048

Tolak H0

data simulasi terlihat bahwa uji hipotesis

10000

0.0059

Tolak H0

bootstrap memberikan keputusan yang

20000

0.0060

Tolak H0

1000 sampel bootstrap.

Jadi terdapat perbedaan antara mean

benar.

Data Riil

Tabel 3 : Nilai tes hasil belajar matematika

Tabel 3 menunjukkan data riil (Rokhmah,

dengan strategi ICM dan TQ

2012). Sampel 1 menyatakan nilai tes hasil belajar

matematika

kelas

yang

menggunakan strategi pembelajaran aktif Index Card Match (ICM). Sedangkan sampel 2 menyatakan nilai tes hasil belajar matematika

kelas

yang

menggunakan

strategi pembelajaran aktif Team Quiz (TQ). Kedua sampel digunakan untuk menguji hipotesis H 0 : 1   2


ICM 62 44 50 56 81 62 31 50 56 75 69 88 75 75

TQ 50 62 25 62 69 44 44 31 62 81 69 75 75 50


48

ISSN: 2088-687X 81 50 81 75 69 75 69 75 81 50 62 75 69 56

matematika

50 56 44 31 25 50 56 50 62 75 62 75 38 31 69

kelas

yang

menggunakan

strategi pembelajaran aktif TQ.

Kesimpulan Dalam artikel ini dikembangkan uji hipotesis mengenai dua mean populasi yang tidak memerlukan prasarat normalitas dan homogenitas. Metode bootstrap dapat menguji kesamaan dua mean populasi baik jika kedua variansinya diketahui sama, maupun jika mungkin kedua variansinya tidak sama. Dalam kasus prasarat normalitas dan

Sedangkan hasil nilai statistik penguji

homogenitas

untuk 1000 sampel bootstrap disajikan

memungkinkan digunakan uji t, maka

dalam Gambar 2.

metode bootstrap ini akan memberikan

dipenuhi

sehingga

300

suatu alternatif untuk pengujian hipotesis

250

mengenai dua mean populasi.

200

150

Pustaka

100

50

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Gambar 2 : Nilai statistik penguji untuk 1000 sampel bootstrap.

Jadi terdapat perbedaan antara mean nilai tes hasil belajar matematika kelas yang menggunakan strategi pembelajaran aktif ICM

dengan

nilai

tes


hasil

Bain, L.J. and Engelhardt, M., 1992, Introduction to Probability and mathematical statistics, California : Duxbury Press. Efron, B. and Tibshirani, R.J., 1993, An Introduction to the Bootstrap, New York : Chapman & Hall. Gentle,

J.E., 2002, Elements of Computational Statistics, New York : Springer-Verlag.

belajar


49 Hanselman, D and Littlefield, B., 1997 Matlab : Bahasa Komputasi Teknis, Yogyakarta : Andi. Law, A.M. and Kelton, W.D., 2000, “Simulation Modeling and Analysis”, Singapore : McGrawHill. Munandar, A., Fajriyah, R dan Suparman, 2008, Bootstrap dengan S-plus dalam Uji Hipotesis Mean Satu Sampel. Jurnal Eksakta, 10(1) : 3646. Rokhmah, N. 2012, Efektivitas Penggunaan Strategi Pembelajaran Aktif Index Card Match dan Team


Quiz Terhadap Hasil Belajar Matematika Siswa Kelas VII Semester Genap SMP Muhammadiyah 13 Wonosegoro Kabupaten Boyolali Tahun Pelajaran 2011/2012, Yogyakarta : Skripsi Pendidikan Matematika UAD. Suparman, 2012, Statistika Matematika, Yogyakarta : FMIPA UAD Press. Walpole, R.E dan Myers, R.H., 1995, Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Bandung : ITB Press.


50


ISSN: 2088-687X


Alamat Redaksi Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UAD Jl. Prof. Dr. Soepomo, SH Warungboto Yogyakarta 55164 Telp. (0274) 8250518 E-mail : [email protected] Website : http://admathedu.uad.ac.id

Erfan Yudianto Profil Pengajuan Soal Mahasiswa Calon Guru Berkemampuan Rendah

Recommend Documents