AdMathEdu
ISSN 2088 - 687X
JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA, ILMU MATEMATIKA DAN MATEMATIKA TERAPAN
Erfan Yudianto Profil Pengajuan Soal Mahasiswa Calon Guru Berkemampuan Rendah
1-10
Luluk Faridah Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD Materi Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Persamaan Linier Satu Variabel
11-26
Putu Harry Mahardika Kajian Deret Fibonacci dan Golden Ratio dalam Penciptaan Luh Putu Ida Harini Lagu I Putu Eka Nila Kencana
27-40
Suparman Implementasi Metode Bootstrap untuk Pengujian Hipotesis Mengenai Dua Mean Populasi
41-50
Suripah Penerapan Pendekatan Stuktural Think-Pair-Share (TPS) untuk Meningkatkan Minat dan Hasil Belajar Matematika Siswa Kelas 7 PA SMPIT Masjid Syuhada Kotabaru Yogyakarta
51-62
Tika Septia Peng gunaan Metode D ekomposisi-ARIMA dalam Meramalkan Tingkat Pengembalian Saham pada Emiten Terpilih di Bursa Efek Indonesia Periode 2003-2007
63-76
Uus Kusdinar Efektivitas Model Estimasi Kesalahan Pengukuran pada Perangkat Soal Matematika Menggunakan Teori Tes Klasik
77-92
Villia Anggraini Pengaruh Penggunaan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD Terhadap Pemahaman Konsep Matematik Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar
93-104
Zulfitri Aima Pengaruh Strategi Pembelajaran Generatif Terhadap Kemampuan Komunikasi Siswa Kelas VII SMP Negeri 2 Tanjung Emas Kabupaten Tanah Datar
105-114
AdMathEdu
Vol. 2 No. 1
Juni 2012
Hal. 1 - 114
41
IMPLEMENTASI METODE BOOTSTRAP UNTUK PENGUJIAN HIPOTESIS MENGENAI DUA MEAN POPULASI Suparman Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UAD Jl. Prof. Dr. Soepomo, SH. Janturan Yogyakarta
[email protected]
ABSTRAK Tulisan ini mengkaji masalah pengujian hipotesis mengenai dua mean populasi. Kebanyakan pengujian hipotesis mengenai dua mean populasi, didasarkan pada anggapan bahwa masing-masing sampel random diambil dari populasi normal. Dalam tulisan ini akan dikaji masalah pengujian hipotesis mengenai dua mean populasi yang tidak menggunakan anggapan normalitas dan homogenitas. Metode yang digunakan untuk menguji hipotesis mengenai dua mean populasi adalah metode bootstrap. Ide dasar dari metode bootstrap yaitu pengambilan sampel ulang dari data sampel dengan pengembalian. Sampel ulang digunakan untuk menentukan estimator titik dari Achieved Significance Level (ASL). Kinerja metode bootstrap diuji dengan menggunakan data simulasi. Hasil pengujian menunjukkan bahwa metode bootstrap dapat menguji hipotesis mengenai dua mean populasi dengan baik. Selanjutnya metode bootstrap diimplementasikan pada data riil. Kata Kunci : Bootstrap, Pengujian Hipotesis, ASL.
ABSTRACT This paper examines the problem of testing hypotheses about two population means. Most testing hypotheses about two population means, based on the assumption that each random sample drawn from a normal population. In this paper studied the problem of testing hypotheses about two population means are not using the assumption of normality and homogeneity. The method used to test hypotheses about two population means are the bootstrap method. The basic idea of the bootstrap method of repeated sampling with replacement from the sample data. Replication of samples used to determine the point estimator of Achieved Significance Level (ASL). Performance of the bootstrap method was tested using simulated data. The test results show that the bootstrap method to test the hypothesis of two population means well. Furthermore bootstrap method implemented on real data. Keywords : Bootstrap, Hypothesis Testing, ASL.
AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012
Implementasi… (Suparman)
42
ISSN: 2088-687X populasi. Dengan kata lain, penerimaan
Pendahuluan Dalam kegiatan penelitian ilmiah, banyak
perhatian
dicurahkan
atau penolakan hipotesis nol didasarkan
untuk
pada data sampel. Statistik penguji yang
menjawab pertanyaan tentang kebenaran
sesuai dengan hipotesis akan membagi
atau kesalahan hipotesis mengenai suatu
daerah
parameter populasi. Apakah suatu metode
samplingnya menjadi dua daerah, yaitu
pembelajaran baru akan lebih efektif
daerah kritis dan daerah penerimaan. Jika
dibandingkan dengan metode pembelajaran
nilai statistik penguji dari data sampel
konvensional ? Apakah lama belajar
berada di daerah kritis, maka H0 akan
berpengaruh terhadap hasil belajar ?
ditolak. Sebaliknya, jika nilai statistik
Apakah motivasi belajar berhubungan
penguji dari data sampel tidak berada di
dengan prestasi belajar ?
daerah kritis, maka H0 akan diterima.
Jika parameter populasi dinotasikan
di
bawah
kurva
distribusi
Sebagian besar prosedur pengujian
hipotesis
hipotesis statistik yang telah dikembangkan
dirumuskan
sejauh ini dibangun dengan asumsi bahwa
menggunakan istilah hipotesis nol H0 dan
populasi didistribusikan menurut distribusi
hipotesis alternatif H1. Jika merupakan
normal. Padahal kenyataannya seringkali
ruang parameter, maka hipotesis nol
asumsi nornalitas tidak dipenuhi. Tujuan
dengan mengenai
maka
pengujian akan
berkaitan dengan
0
yaitu himpunan
artikel ini adalah untuk mengembangkan
alternatif
pengujian hipotesis mengenai dua mean
berkaitan dengan komplemennya, 0 .
populasi yang tidak dipenuhinya asumsi
bagian
dari
.
Hipotesis
Dalam kasus hipotesis sederhana dengan
{ 0 , 1} , himpunan 0 dan himpunan komplemennya mempunyai satu anggota
normalitas dan homogenitas.
Metode Penelitian Penelitian dimulai dengan mengkaji
saja, 0 0 dan 0 1 , di mana
berbagai
0 1 (Bain and Engelhardt, 1992).
hipotesis secara parametrik mengenai dua
pustaka
terkait
pengujian
Pengujian hipotesis akan mengacu
mean populasi, metode bootstrap dan
pada proses untuk memutuskan kebenaran
pengujian hipotesis mengenai dua mean
atau
populasi
kesalahan
hipotesis
tersebut
berdasarkan data sampel yang diambil dari
Implementasi… (Suparman)
dengan
metode
bootstrap.
Berdasarkan teori yang dihasilkan dari
AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012
43 berbagai
kajian
pustaka
tersebut,
Pada taraf signifikansi , hipotesis H0
t 0 t / 2 (n m 2)
selanjutnya dibuat program komputasinya
ditolak
dengan menggunakan MATLAB. Program
t 0 t / 2 (n m 2)
komputer
digunakan
untuk
menguji
hipotesis mengenai dua mean populasi.
jika
tidak
asumsi
bahwa
uji hipoitesis didasarkan pada
zy
t(x)
bebas diambil dari dua populasi normal
s12 s 22 n m
yang berbeda. Misalkan z z1 , z 2 ., z n sampel
ada
variansi kedua populasi adalah sama, maka
Misalkan dua sampel yang saling
suatu
dan
Myers, 1995); Suparman, 2012). Jika
Pengujian Hipotesis Secara Parametrik
merupakan
(Walpole
atau
random
Namun karena distribusi sampling t(x)
berukuran n yang dimbil dari populasi 1
tidak lagi berdistribusi t, maka beberapa
dengan mean 1 dan variansi . Juga
pendekatan diusulkan. Dalam literatur, ini
y y1 , y 2 ., y m merupakan
dikenal sebagai masalah Behrens-Fisher
2 1
misalkan
suatu sampel random berukuran m yang
(Efron and Tibshirani, 1993).
diambil dari populasi 2 dengan mean 2 dan variansi 22 . Jika dipenuhi dua asumsi, yaitu kedua populasi berdistribusi normal dan kedua variansi sama 2 1
2 2
2
Bootstrap Metode bootstrap adalah metode berbasis komputer untuk mengestimasi suatu
distribusi
dengan
menggunakan
tidak diketahui, maka untuk menguji
sampel bootstrap (Munandar et al., 2008).
hipotesis
Misalnya x = (x1, ..., xn) merupakan sampel
H 0 : 1 2
random
H1 : 1 2
berdistribusi F. Pertimbangkan statistik
digunakan statistik penguji:
t0 s
diambil
dari
populasi
t(x). Salah satu tujuan dalam inferensi
zy
statistik
1 1 n m
distribusi sampling dari statistik t(x). Jika
di mana s
yang
adalah
untuk
menentukan
Fn adalah distribusi empiris dari x yang dimbil dengan probabilitas 1/n pada setiap
s12 (n 1) s 22 (m 1) nm2
AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012
x1, ..., xn, maka versi bootstrap dari t(x) diberikan oleh t(x*b) di mana x*b = (x1*b, Implementasi… (Suparman)
44
ISSN: 2088-687X
x2*b, ... , xn*b) adalah sampel bootstrap ke
t(x)
b (b =1, 2, …, B) yang diambil dengan pengembalian dari x = (x1, ..., xn) (Efron
zy s12 s 22 n m
Kemudian dihitung nilai statistik penguji
and Tibshirani, 1993; Gentle, 2002).
untuk tiap sampel bootstrap ( b = 1,2, …, B)
Uji Hipotesis Bootstrap Dua
sampel
random
z *b y *b
t ( x *b )
z z1 , z 2 ., z n dan y y1 , y 2 ., y m
s12*b s 22*b n m
yang saling independen diambil dari dua populasi, yang mungkin berbeda. Misalkan populasi 1 mempunyai mean 1 dan variansi
12 .
Dan nilai dari Achieved Significance Level (ASL) bootstrap diperoleh dengan rumus berikut :
Sedangkan
populasi
mempunyai mean 2 dan variansi
2 2 2
ASˆ L boot
.
# t ( x *b ) t ( x )
Pada
hipotesis bahwa tidak ada perbedaan mean
ASˆ L boot maka H0 ditolak.
jika
sebagai berikut :
H1 : 1 2 Asumsi variansi sama merupakan asumsi yang sangat penting untuk uji t karena menyederhanakan bentuk distribusi yang
,
signifikansi
Prosedur pengujian ini disajikan
H 0 : 1 2
sampling
taraf
B
berdasarkan sampel z dan y, akan diuji
antara populasi 1 dan populasi 2. Sehingga
.
dihasilkan.
Dalam
mempertimbangkan pengujian hipotesis
1. Misalkan Fˆ menempatkan probabilitas zi z i z x yang sama pada titik ~ untuk
i
=
1,2,
…,
n
dan
Gˆ
menempatkan probabilitas yang sama y y y x untuk i=1,2, pada titik ~ i
i
dengan menggunakan metode bootstrap
…m, di mana z dan y adalah mean
tidak ada alasan kuat untuk menganggap
masing-masing sampel dan
bahwa variansi kedua populasi sama. Oleh
mean dari sampel gabungan.
x adalah
karena itu di sini tidak diasumsikan bahwa
2. Bentuk B himpunan data bootstrap
variansi kedua populasi adalah sama.
(z *b , y *b ) di mana z *b adalah sampel
Sehingga uji hipotesis didasarkan pada
z1 , ~ z2 ,, ~zn dengan penggantian dari ~
statistik penguji
Implementasi… (Suparman)
AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012
45 dan
y *b
adalah
sampel
dengan
penggantian dari ~ y1 , ~ y 2 ,, ~ ym . 3. Mengevaluasi pada setiap set data
t ( x *b )
4. Menaksir
z *b y *b s12*b s 22*b n m
nilai
ASLboot
dengan
menggunakan persamaan
ASˆ L boot
# t ( x *b ) t ( x )
B
for i=1:B, b1=randi(n,n,1); b2=randi(m,m,1); zboot(:,i)=ztilda(b1); yboot(:,i)=ytilda(b2); tboot(i)=(mean(zboot(:,i)) -mean(yboot(:,i))) /sqrt(var(zboot(:,i)) /n+var(yboot(:,i))/m); if abs(tboot(i))>=abs(tobs) nt=nt+1; else nt=nt; end; end; aslboot=nt/B
Berikut merupakan listing program yang ditulis
dalam
instruksi
bahasa
pemrograman MATLAB untuk pengujian hipotesis mengenai mean dua populasi : clear all clc alpha = 0.05 z=normrnd(2,2,n,1); y=normrnd(4,3,m,1); B=1000 n=length(z); zbar=mean(z); m=length(y); ybar=mean(y); xbar=((n*zbar)+(m*ybar))/(n+m); ztilda=z-zbar+xbar; ytilda=y-ybar+xbar;
if aslboot<=alpha disp('Tolak hipotesis nol') else disp('Terima hipotesis nol') end;
Hasil dan Pembahasan Sebagai ilustrasi, di sini metode bootstrap akan diimplementasikan untuk menguji hipotesis mengenai dua mean populasi pada data sintesis (studi simulasi) dan data riil (studi kasus). Studi simulasi (Law and Kelton, 2000) ditempuh untuk mengkonfirmasi kinerja dari pendekatan yang diusulkan apakah dapat bekerja
tobs=(mean(z)-mean(y)) /(sqrt(var(z)/n+var(y)/m));
dengan
zboot=zeros(n,B); yboot=zeros(m,B); tboot=zeros(1,B); nt=0;
penerapan penelitian dalam memecahkan
AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012
baik.
diberikan
Sedangkan
untuk
studi
memberikan
kasus contoh
permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Komputasi
ditulis
dalam
bahasa
Implementasi… (Suparman)
46
ISSN: 2088-687X
pemrograman MATLAB (Hanselman and
8.6611
Littlefield, 1997).
1.1849 3.8737 0.651
Data Sintesis Tabel 1 menunjukkan data simulasi sampel
6.0478
1 diambil dari populasi berdistribusi
4.6373
normal dengan mean 0 dan variansi 16.
-4.4509
Sedangkan sampel 2 diambil dari populasi berdistribusi normal dengan mean 5 dan variansi 25.
Kedua sampel digunakan untuk menguji hipotesis H 0 : 1 2
Tabel 1 : Data sintesis z
y
-1.6665
1.5244
-0.9786 12.7383 -2.3251
7.2338
4.7958
-0.3053
-7.6532
4.5957
-0.8577
6.2931
H1 : 1 2 Tabel 2 menyajikan hasil pengujian hipotesis untuk nilai = 0.05 dan berbagai nilai B.
Tabel 2 : Hasil pengujian hipotesis mengenai dua mean populasi sintesis
1.1777 18.9566 -2.3565
3.7741
-1.3786
6.3701
2.9073
-0.1921
7.855
B
ASˆ L boot
Kesimpulan
5.2916
1000
0.0440
Tolak H0
2.9077
5.3109
5000
0.0436
Tolak H0
-3.8819
1.8309
10000
0.0417
Tolak H0
2.351
-1.7485
20000
0.0428
Tolak H0
5.983
1.4346
-4.4519 3.3374 4.3556
Implementasi… (Suparman)
AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012
47
H1 : 1 2
300
250
Tabel 4 menyajikan hasil pengujian
200
hipotesis untuk nilai = 0.05 dan
150
berbagai nilai B.
100
Tabel 4 : Hasil pengujian hipotesis
50
0 -3
mengenai dua mean populasi riil -2
-1
0
1
2
3
4
5
Gambar 1 : Nilai statistik penguji untuk B
ASˆ L boot
Kesimpulan
1000
0.0040
Tolak H0
populasi 1 dengan mean populasi 2. Dari
5000
0.0048
Tolak H0
data simulasi terlihat bahwa uji hipotesis
10000
0.0059
Tolak H0
bootstrap memberikan keputusan yang
20000
0.0060
Tolak H0
1000 sampel bootstrap.
Jadi terdapat perbedaan antara mean
benar.
Data Riil
Tabel 3 : Nilai tes hasil belajar matematika
Tabel 3 menunjukkan data riil (Rokhmah,
dengan strategi ICM dan TQ
2012). Sampel 1 menyatakan nilai tes hasil belajar
matematika
kelas
yang
menggunakan strategi pembelajaran aktif Index Card Match (ICM). Sedangkan sampel 2 menyatakan nilai tes hasil belajar matematika
kelas
yang
menggunakan
strategi pembelajaran aktif Team Quiz (TQ). Kedua sampel digunakan untuk menguji hipotesis H 0 : 1 2
AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012
ICM 62 44 50 56 81 62 31 50 56 75 69 88 75 75
TQ 50 62 25 62 69 44 44 31 62 81 69 75 75 50
Implementasi… (Suparman)
48
ISSN: 2088-687X 81 50 81 75 69 75 69 75 81 50 62 75 69 56
matematika
50 56 44 31 25 50 56 50 62 75 62 75 38 31 69
kelas
yang
menggunakan
strategi pembelajaran aktif TQ.
Kesimpulan Dalam artikel ini dikembangkan uji hipotesis mengenai dua mean populasi yang tidak memerlukan prasarat normalitas dan homogenitas. Metode bootstrap dapat menguji kesamaan dua mean populasi baik jika kedua variansinya diketahui sama, maupun jika mungkin kedua variansinya tidak sama. Dalam kasus prasarat normalitas dan
Sedangkan hasil nilai statistik penguji
homogenitas
untuk 1000 sampel bootstrap disajikan
memungkinkan digunakan uji t, maka
dalam Gambar 2.
metode bootstrap ini akan memberikan
dipenuhi
sehingga
300
suatu alternatif untuk pengujian hipotesis
250
mengenai dua mean populasi.
200
150
Pustaka
100
50
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Gambar 2 : Nilai statistik penguji untuk 1000 sampel bootstrap.
Jadi terdapat perbedaan antara mean nilai tes hasil belajar matematika kelas yang menggunakan strategi pembelajaran aktif ICM
dengan
nilai
tes
Implementasi… (Suparman)
hasil
Bain, L.J. and Engelhardt, M., 1992, Introduction to Probability and mathematical statistics, California : Duxbury Press. Efron, B. and Tibshirani, R.J., 1993, An Introduction to the Bootstrap, New York : Chapman & Hall. Gentle,
J.E., 2002, Elements of Computational Statistics, New York : Springer-Verlag.
belajar
AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012
49 Hanselman, D and Littlefield, B., 1997 Matlab : Bahasa Komputasi Teknis, Yogyakarta : Andi. Law, A.M. and Kelton, W.D., 2000, “Simulation Modeling and Analysis”, Singapore : McGrawHill. Munandar, A., Fajriyah, R dan Suparman, 2008, Bootstrap dengan S-plus dalam Uji Hipotesis Mean Satu Sampel. Jurnal Eksakta, 10(1) : 3646. Rokhmah, N. 2012, Efektivitas Penggunaan Strategi Pembelajaran Aktif Index Card Match dan Team
AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012
Quiz Terhadap Hasil Belajar Matematika Siswa Kelas VII Semester Genap SMP Muhammadiyah 13 Wonosegoro Kabupaten Boyolali Tahun Pelajaran 2011/2012, Yogyakarta : Skripsi Pendidikan Matematika UAD. Suparman, 2012, Statistika Matematika, Yogyakarta : FMIPA UAD Press. Walpole, R.E dan Myers, R.H., 1995, Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Bandung : ITB Press.
Implementasi… (Suparman)
50
Implementasi… (Suparman)
ISSN: 2088-687X
AdMathEdu | Vol.2 No.1 | Juni 2012
Alamat Redaksi Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UAD Jl. Prof. Dr. Soepomo, SH Warungboto Yogyakarta 55164 Telp. (0274) 8250518 E-mail :
[email protected] Website : http://admathedu.uad.ac.id