EQ - Regulace teploty elektronickým regulátorem LOGITRON - model THP 482 Cíl laboratorní úlohy Posluchači provedou analýzu jednoduchého regulačního obvodu a ověří statické a dynamické vlastnosti regulované soustavy. Seznámí se s moderně koncipovaným mikroprocesorem řízeným elektronickým regulátorem a s jeho aplikačními možnostmi. Na praktické aplikaci regulace teploty laboratorního modelu si ověří funkci regulátorů různých typů (P, PI, PID) při působení poruchové veličiny a změnách veličiny řídicí. Mohou sledovat vliv nastavení konstant regulátoru na průběh regulačního pochodu.
Teoretické základy Základní pojmy Obecné schéma regulačního obvodu a označení veličin je uvedeno na obr. 1. poruchové veličiny
z1 regulovaná soustava
z2
V
y regulovaná veličina
akční veličina
regulátor
e=w-y
w
regulační odchylka
řídicí veličina
Obr. 1 Schéma regulačního obvodu
Regulační obvod se skládá z regulované soustavy a z regulátoru. Regulovaná soustava představuje technologické zařízení (nebo určitou jeho část), ve které probíhá technologický proces za určitých, předem stanovených podmínek. Veličinu, jejíž hodnota je regulací udržována podle stanovených podmínek, nazýváme veličinou regulovanou. Regulovaná veličina je výstupní veličinou soustavy. Veličina řídicí udává žádanou hodnotu veličiny regulované a jejím porovnáním s okamžitou hodnotou veličiny regulované získáme regulační odchylku. Regulační odchylka je vstupní veličinou regulátoru. Úkolem regulátoru je odstranit (případně minimalizovat) regulační odchylku v době co možná nejkratší tak, aby přechodné odchylky regulované veličiny od žádané hodnoty byly co nejmenší. Regulace se uskutečňuje působením akční veličiny na regulovanou soustavu. Veličinu, která způsobí změnu regulované veličiny od požadované hodnoty nazýváme poruchovou veličinou. Základním požadavkem tedy je, aby regulátor působil prostřednictvím akční veličiny proti vlivům poruchových veličin. Obtížnost řešení regulačního úkolu spočívá v tom, že vliv poruchy, která na soustavu
1
působí, se neprojeví na výstupu ihned, ale až v určité časové závislosti, což je způsobeno konkrétními dynamickými vlastnostmi soustavy. Veličiny v regulačním obvodu na obr. 1 jsou uvedeny v tzv. odchylkovém poměrném (tj. bezrozměrném) vyjádření. Tento způsob je obecnějším popisem, který současně zjednodušuje řešení regulační úlohy. Výstupní veličina naší regulované soustavy je vlastně teplota θ. Pro zavedení nulových počátečních podmínek budeme uvažovat její odchylku od nějaké ustálené hodnoty např. θ0, tedy ∆θ = θ - θ0 a bezrozměrného vyjádření veličiny y (bezrozměrná teplota) dosáhneme podělením této diference ustálenou hodnotou, tedy y = ∆θ /θ0 = (θ - θ0)/θ0. Podobně se vyjadřují i ostatní veličiny regulačního obvodu. U nelineárních soustav používáme jako referenci hodnot veličin v ustáleném stavu, u lineárních soustav mohou být použity i jiné referenční hodnoty než ustálené.
Regulovaná soustava Statické vlastnosti soustavy jsou nejčastěji popsány statickou charakteristikou, která udává závislost výstupní veličiny na veličině vstupní v ustáleném stavu. U regulovaných soustav se poměrně často setkáváme s nelineárním průběhem statické charakteristiky. Pokud by tato skutečnost komplikovala matematický popis, můžeme v některých případech přistoupit k linearizaci statické charakteristiky. Uvažujeme-li regulaci na konstantní hodnotu, pak můžeme předpokládat i malé odchylky od pracovního bodu. Můžeme tedy provést linearizaci charakteristiky, a to buď graficky tečnou v pracovním bodě, nebo početně užitím Tailorova rozvoje funkce v pracovním bodě. Obr. 2 znázorňuje způsob stanovení statické charakteristiky a její linearizaci. Na obrázku je vlevo přechodová charakteristika, uprostřed lineární statická charakteristika a vpravo nelineární statická charakteristika se znázorněním její linearizace v pracovním bodě u0, y0. Veličinou u je zde bezrozměrně vyjádřené elektrické napětí jako vstupní veličina do soustavy a veličina y je bezrozměrně vyjádřená teplota jako výstupní veličina ze soustavy. u(t)
y(t) y
∆y
t y0 y(t)
∆u
u(t)
u0
t
u
df y = f (u ) = f (u0 ) + ⋅ ∆u + ..... du u0 Obr. 2 Statická charakteristika a její linearizace
Dynamické vlastnosti soustavy jsou popisovány diferenciální rovnicí. Pro zjednodušení matematického vyjádření se snažíme o popis obyčejnou diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty s jedinou nezávisle proměnnou, kterou je čas. Takovýto systém nazýváme systémem se soustředěnými parametry. Jestliže závisle proměnné i jejich derivace se vyskytují pouze v první mocnině, jedná se o diferenciální rovnici lineární. Tento předpoklad bývá však v praxi splněn pouze výjimečně. V případě nelineárního systému můžeme uvažo-
2
vat o linearizaci např. v okolí určitého pracovního bodu. Při najíždění (nebo odstavování) technologického zařízení se projevují nelinearity významnou měrou, kterou mnohdy nelze zanedbat. U jednoduchých zařízení můžeme dynamické vlastnosti stanovit proměřením přechodové charakteristiky. Přechodová charakteristika udává závislost výstupní veličiny na čase jako odezvu na změnu vstupní veličiny jednotkovým skokem. Z průběhu přechodové charakteristiky můžeme odhadnout řád diferenciální rovnice, odečíst velikost některých konstant a celkově posoudit dynamické chování zařízení. Odpovídají-li dynamické vlastnosti prověřovaného zařízení vlastnostem systému 1. řádu, pak vyhodnocením přechodové charakteristiky určíme časovou konstantu T a zesílení k. Vztahy mezi diferenciální rovnicí, přechodovou funkcí a přechodovou charakteristikou pro soustavu 1. řádu jsou patrné z obr. 3. u 1 1 t
diferenciální rovnice: T · y’ + y = k · u přechodová funkce: pro u(t) = 1 y(0) = 0 pro nulové počáteční podmínky y = k · 1 · [1 - exp(-t/T)]
y 100 % 63,2 %
k·1
t T
Obr. 3 Přechodová charakteristika soustavy 1. řádu
u
u
1
1 1
1 t y
y
100 % 63,2 %
k·1
k·1
Tu
τd
Tn
T
Obr. 4 Vyhodnocení přechodových charakteristik soustav vyššího řádu
3
t
V případě, že se jedná o soustavu vyššího řádu, lze vyhodnotit z přechodové charakteristiky dobu průtahu Tu a dobu náběhu Tn. Soustavu vyššího řádu můžeme také v některých případech alternativně aproximovat soustavou 1. řádu s časovou konstantou T a s dopravním zpožděním τ d (obr. 4). V případě, že se jedná o soustavu vyššího řádu, lze vyhodnotit z přechodové charakteristiky dobu průtahu Tu a dobu náběhu Tn. Soustavu vyššího řádu můžeme také v některých případech alternativně aproximovat soustavou 1. řádu s časovou konstantou T a s dopravním zpožděním τ d (obr. 4). Dynamické vlastnosti soustavy můžeme tedy vyjádřit diferenciální rovnicí, jejím řešením pro skokovou změnu vstupu a určité počáteční podmínky získáme přechodovou funkci a jejím grafickým zobrazením pak přechodovou charakteristiku. Při experimentálním vyšetřování soustavy pak postupujeme obráceně, od přechodové charakteristiky k diferenciální rovnici.
Regulátor Analyzujeme-li podrobněji skladbu regulátoru, můžeme rozlišit tyto čtyři funkční části: měřicí člen, porovnávací člen, ústřední člen a akční člen. Měřicí člen (snímač) slouží ke spojitému snímání hodnot regulované veličiny, jejíž okamžitá hodnota se porovnává v porovnávacím členu se žádanou hodnotou veličiny řídicí. Vzniklá regulační odchylka vstupuje do ústředního členu regulátoru, kde dochází k jejímu zpracování na veličinu akční. Zásah akčního členu musí působit ve smyslu zmenšování resp. úplného odstranění regulační odchylky. Ústřední člen regulátoru s ideálním chováním a funkcí proporcionální, integrační a derivační, t.zv. PID-regulátor popisuje diferenciální rovnice: t
v (t ) = r0 ⋅ e(t ) + r−1 ⋅ ∫ e(t ) ⋅ d t + r1 ⋅ 0
d e(t ) , dt
kde je v (t) akční veličina, e (t) regulační odchylka, r0, r-1, r1 konstanty proporcionálního, integračního a derivačního členu. První člen na pravé straně rovnice vyjadřuje chování proporcionální složky regulátoru a zkráceně se označuje jako P-člen, druhý je I-člen, vyjadřující chování integrační složky a konečně D-člen vyjadřuje chování derivační složky regulátoru. Konstanty regulátoru r0, r-1, r1 se často vyjadřují i jiným způsobem: Konstanta proporcionální složky regulátoru r0, jinak též zesílení regulátoru se vyjadřuje pomocí pásma proporcionality, uváděného v %: 1 pp = ⋅ 100 (%) r0 Konstanta integrační složky regulátoru r-1 se vyjadřuje jako:
r−1 =
r0 , Ti
kde je Ti časová konstanta integračního členu (s). Konstanta derivační složky regulátoru r1 se vyjadřuje jako:
r1 = r0 ⋅ Td ,
kde je Td časová konstanta derivačního členu (s). Hodnoty konstant regulátoru jsou nastavitelné v určitém rozmezí a na jejich seřízení záleží kvalita průběhu regulačního pochodu. Vhodným nastavením konstant je rovněž možno potlačit určitou funkci regulátoru. Při nastavení Ti na max. hodnotu se potlačí funkce integračního členu, při Td = 0 se potlačí funkce derivační složky regulátoru.
4
Nejjednodušším regulátorem je regulátor proporcionální. Jeho výstup je úměrný velikosti regulační odchylky. Jeho nevýhodou však je ta skutečnost, že není schopen regulační odchylku zcela odstranit - pracuje s tak zvanou trvalou regulační odchylkou. Tuto nevýhodu odstraňuje integrační člen, který pracuje tak, že mění akční veličinu tak dlouho, až je regulační odchylka rovna nule. Derivační složka zrychluje proces regulace a přispívá ke stabilitě regulačního pochodu.
Regulační obvod Diferenciální rovnici popisující dynamické chování celého regulačního obvodu získáme z rovnice soustavy, rovnice regulátoru a z rovnic spojení obvodu. Uvažujeme-li regulovanou soustavu 1. řádu a regulátor s funkcí PID spojené podle schématu na obr. 1, pak budeme vycházet z následujících rovnic: rovnice soustavy:
T· y’ (t) + y (t) = k · u (t) t
rovnice regulátoru:
v (t ) = r0 ⋅ e (t ) + r−1 ⋅ ∫ (t ) ⋅ dt + r1 ⋅ 0
(1) de ( t ) dt
(2)
pro spojení obvodu platí: na vstupu regulátoru:
e(t) = w(t) - y(t)
(3)
na vstupu do soustavy (uvažujeme-li jen jednu poruchovou veličinu z):
u(t) = v(t) + z(t)
(4)
Vyjdeme z rovnice (1) a dosadíme do ní za u(t) z rovnice (4), pak za v(t) z rovnice (2) a za e(t) z rovnice (3). Rovnici upravíme tak, aby na levé straně byly všechny členy obsahující regulovanou veličinu y(t) a na pravé straně aby byly členy obsahující vstupní veličiny obvodu, tj. veličinu řídicí w(t) a veličinu poruchovou z(t). Výsledná diferenciální rovnice popisující dynamické chování uzavřeného regulačního obvodu bude mít tvar: t
t
0
0
(T + k ⋅ r1) ⋅ y ′(t ) + (1+ k ⋅ r0 ) ⋅ y (t ) + k ⋅ r−1 ∫ y (t ) ⋅ dt = k ⋅ z(t ) + k ⋅ r0 ⋅ w(t ) + k ⋅ r−1⋅ ⋅ ∫ w(t ) ⋅ dt + k ⋅ r1 ⋅ w ′(t ) Řešení regulačního obvodu znamená výpočet průběhu regulované veličiny z rovnice regulačního obvodu pro dané počáteční podmínky a zadané změny poruchové (příp. i řídící) veličiny. Jedná se tedy o řešení výše uvedené integro-diferenciální rovnice, která se řeší jako diferenciální rovnice, vzniklá derivací rovnice předchozí. O vlastnostech řešení rozhoduje levá strana rovnice. Obvod reaguje na nějaký vzruch, který se pak dále neprojevuje. Protože vstupní veličiny obvodu, umístěné na pravé straně rovnice jsou v odchylkovém vyjádření, jejich hodnoty jsou proto nulové. Pro posouzení vlastností regulačního obvodu řešíme tedy jen odpovídající homogenní diferenciální rovnici. Řešením obyčejných diferenciálních rovnic jsou exponenciální funkce, případně i s komplexním exponentem, které se dají převést na kombinace exponenciálních funkcí a harmonických (kmitavých) funkcí. Průběhy regulované veličiny v regulačním obvodu mohou být tedy aperiodické i periodické, podle kořenů charakteristické rovnice. U regulačního pochodu rozeznáváme stabilitu a kvalitu. Stabilní regulační pochod je takový který se v odezvě na vzruch ustálí, nestabilní pochod pak kmitá s konstantní nebo zvětšující se amplitudou, případně i ujíždí do jedné z krajních hodnot. Kmitavý pochod se zmenšující se amplitudou může být stabilní (tj. ustálí se) nebo také nestabilní (bude posléze kmitat s určitou konstantní amplitudou). Konstanty regulátoru se nastavují tak, aby byl regulační pochod stabilní. Při aplikaci rovnice (4) je třeba si uvědomit, že uvedená rovnice vyjadřuje jednoduchým způsobem skládání (interakci) dvou nebo více signálů. Nelze automaticky sečítat různé fyzikální veličiny! Interakce těchto signálů se pak vyjadřuje složitějšími matematickými vztahy.
5
V návaznosti na tvar diferenciální rovnice regulačního obvodu bude v laboratoři při provádění laboratorní úlohy diskutován s asistentem průběh regulačního pochodu. Budou diskutovány otázky stability regulačního pochodu, kvality jeho průběhu a velikosti regulační odchylky.
Nastavení konstant regulátoru Kvalita regulačního pochodu se posuzuje podle tzv. regulační plochy, která by měla být minimální. Tento požadavek v sobě zahrnuje malou regulační odchylku i její krátké trvání. Existují i jiná kriteria pro posuzování kvality regulačního pochodu, podle nich pak vychází jiné nastavení konstant regulátoru, proto optimální nastavení konstant regulátoru nemusí být jednoznačné. Nastavením konstant regulátoru je možno ovlivnit průběh regulačního pochodu i velikost trvalé regulační odchylky. Pro optimální nastavení konstant regulátoru je zde uvedena empirická metoda podle Zieglera a Nicholse. Není založená na řešení diferenciální rovnice uzavřeného regulačního obvodu, ale regulační obvod musí být fyzicky realizován. Provádí se následujícím postupem:
1. Nejprve nastavíme regulátor jen jako proporcionální. 2. Vyhledáme experimentálně mez stability regulačního pochodu změnou zesílení r0. Na mezi stability kmitá regulovaná veličina netlumenými kmity s konstantní a malou amplitudou. Nalezená hodnota zesílení se označuje jako r0k (kritické zesílení) a doba kmitů Tk . 3. Optimální nastavení pro jednotlivé typy regulátorů pak vypočteme podle vztahů: pro P-regulátor: r0 = 0,5· r0k pro PI-regulátor:
r0 = 0,45· r0k, Ti = 0,85·Tk
pro PID-regulátor:
r0 = 0,6· r0k, Ti = 0,5·Tk,
Td = 0,12·Tk
Laboratorní zařízení Laboratorní zařízení znázorněné na obr. 5 se skládá z panelu, na kterém je umístěn model elektricky vyhřívané pece – keramické tělísko, regulátor LOGITRON, spínače pro ruční ovládání akční a poruchové veličiny a propojovací svorky. Na stole pak jsou umístěny potřebné napájecí zdroje BK 127 a liniový zapisovač TZ 4620. Model elektricky vyhřívané pece je realizován keramickým tělískem opatřeným odporovým vinutím, které se vyhřívá procházejícím elektrickým proudem. Elektrické napájení pro ohřev se odebírá ze zdroje, který pracuje v režimu stabilizátoru napětí; velikost procházejícího proudu měří ampérmetr, napěťový spád na odporu topného vinutí je možno měřit voltmetrem. Teplota tělíska se měří termočlánkem, jehož měřicí spoj je umístěn uvnitř keramické trubky. Srovnávací spoj termočlánku je umístěn na svorkovnici regulátoru a vliv kolísání teploty okolí srovnávacího spoje je automaticky kompenzován. Velikost termoelektrického napětí je možno zaznamenávat na zapisovači. Poruchová veličina je simulována různou intenzitou vnějšího ochlazování topného tělíska prostřednictvím elektrického ventilátorku, který je napájen ze zdroje; intenzitu ochlazování je možno měnit změnou napájecího napětí ventilátoru v rozmezí 7 V až 12 V. Regulátor LOGITRON zapínáme spínačem umístěným pod regulátorem. Napětí přiváděné do ventilátoru ze zdroje BK 127 spínáme spínačem umístěným napravo od ventilátoru. Akční veličinu, napětí do vyhřívaného keramického tělíska přivádíme přes vypínače umístěné nad regulátorem, a to buď přímo ze zdroje nebo spínané regulátorem. Elektronický regulátor LOGITRON, model THP 482 - TR1RH je moderní kompaktní přístroj v miniaturním provedení určený pro provozní a laboratorní aplikace. Regulátor má dva regulační výstupy, C1 a C2 umožňující použít dvě akční veličiny, např. funkci ohřívání
6
keramické tělísko
ampérmetr
voltmetr
BK 127
A V A
Z
V
TRC
ručně
termočlánek
BK 127
A
V Z auto
V
∞
V
Z
V
V
V
ventilátor THP 482 C1 C2
PV
AL1 HB
SP
P
Z
TZ 4620
V
regulátor LOGITRON
zapisovač
Obr. 5 Schéma laboratorní aparatury
a chlazení při regulaci teploty. Přístroj je určen pro montáž do svislého panelu. Čelní panel přístroje je znázorněn na obr.6. Přístroj je opatřen dvojitým čtyřmístným displejem pro současné zobrazení okamžité hodnoty regulované veličiny PV(červeně) a její žádané hodnoty SP(žlutozeleně). Na panelu jsou dále umístěny čtyři signalizační světelné diody. Dioda s označením „C1“ slouží k indikaci funkce akčního členu ohřívání, druhá dioda s označením „C2“ signalizuje funkci druhého akčního členu, třetí dioda s označením „AL1“ signalizuje poplach ve dvou režimech (svícení a blikání) a poslední dioda s označením „HB“ signalizuje přerušení zátěže, akční člen nefugnuje. Na panelu přístroje jsou dále umístěna tři tlačítka (
,
, P), která slouží k nastavení požadovaných parametrů přístroje. Z technického hlediska se jedná o elektronický regulátor řízený mikroprocesorem, který je možno konfigurovat podle požadavku uživatele buď jako jednoduchý dvoupolohový regulátor typu ON/OFF (zapnuto/vypnuto), nebo jako regulátor s funkcí PID (P, PI, PD). Přístroj je určen zejména pro regulaci teploty a podle nastavené konfigurace může být jako snímač teploty použit buď termočlánek různého typu (typ J, K, R, S, T), nebo odporový teploměr (Pt100), výstupní signál je diskrétní - poloha přepínacího kontaktu relé. Pseudoanalogové funkce PID regulátoru se dosahuje šířkovou modulací impulsního výstupu. Obsluha přístroje, nastavení požadované konfigurace a požadovaných hodnot jednotlivých veličin jsou popsány v příloze 3 a v odstavci popisujícím pracovní postup.
7
THP 482 C1 C2
PV
AL1 HB
SP
P Obr. 6 Zobrazovací a ovládací prvky regulátoru LOGITRON
Zadání laboratorní práce 1. Změřte několik přechodových charakteristik regulované soustavy (počet měřených charakteristik zadá asistent). 2. Z naměřených charakteristik vyhodnoťte konstanty v diferenciální rovnici soustavy a stanovte statickou charakteristiku soustavy. Proveďte linearizaci dif. rovnice soustavy. 3. Zjistěte vliv poruchové veličiny. 4. Seznamte se s ovládáním regulátoru LOGITRON a podle zadání asistenta nastavte hodnoty nastavitelných veličin. Kvalitativně ověřte funkci přístroje. (Tento bod zadání je možno plnit současně s bodem 1). 5. Regulátor nastavte jako proporcionální a zaznamenejte průběh regulačního pochodu, ověřte vliv působení poruchové veličiny a veličiny řídicí při různých hodnotách zesílení regulátoru. 6. Zaznamenejte průběh regulačního pochodu s PI-regulátorem a ověřte vliv poruchové a řídicí veličiny. 7. Nastavte optimální hodnoty konstant PID-regulátoru podle Ziegler-Nicholsova kritéria a zaznamenejte průběh regulačního pochodu. 8. Nakonfigurujte regulátor pro automatické nastavení optimálních hodnot PID-regulátoru a zaznamenejte průběh regulačního pochodu s působením stejných veličin. Porovnejte chování regulačního pochodu s chováním získaným experimentálně podle ZieglerNicholsova kritéria. Porovnejte velikosti regulačních ploch a kvalitu obou nastavení. Uveďte konstanty regulátoru pro oba případy. 9. Protokol obsahuje: • stručný popis práce • záznam zapisovače s naměřenými přechodovými charakteristikami, doplněný vysvětlivkami a komentářem • graf statické charakteristiky soustavy • diferenciální rovnici soustavy (nelineární) s číselnými hodnotami konstant • linearizovanou diferenciální rovnici soustavy s číselnými hodnotami konstant
• záznamy zapisovače pro jednotlivé průběhy regulačního pochodu s regulátorem P, PI a PID spolu s komentářem k naměřeným průběhům regulačního pochodu
8
Pracovní postup 1) Proměření vlastností soustavy Stanovení vlastností soustavy pomocí měření přechodových charakteristik
Pro měření přechodových charakteristik (i údajů pro statickou charakteristiku) je třeba si uvědomit, že vstupní veličinou regulované soustavy je elektrické napětí U (V), odečítané na voltmetru příslušného zdroje BK 127 a výstupní veličinou soustavy je teplota θ (°C), odečítaná na displeji regulátoru. Základní poloha všech spínačů na panelu podle obr.5 je směr dolů – vypnuto (V). Napětí pro vyhřívání rezistoru jako modelu pece se bude odebírat ze zdroje napětí BK 127 a bude se přivádět do svorek na panelu se stejným označením BK 127. Napětí pro napájení ventilátoru se odebírá z jiného zdroje BK 127 a přivádí se na svorky panelu s označením 12 V =. Je třeba dodržet polaritu připojení. Napětí termoelektrického článku se přivádí přes regulátor z panelu ze svorek ZAPISOVAČ a přivádí se na zapisovač TZ4620, na svorky kanálu A s příslušnou polaritou. Zapisovač TZ4620 (viz příloha 2) se nastaví na napěťový rozsah 5 mV a na rychlost posunu papíru 0,3 cm/min. Po zapnutí zapisovače se zapne kanál A a seřídí se nulová poloha zapisovacího pera. Dále je třeba spustit ventilátor ofukující vytápěný rezistor. Na příslušném zdroji BK 127 (viz příloha 1), se po jeho zapnutí nastaví napětí 12 V a spínačem na panelu se zapne ventilátor za současné vizuální kontroly, zda se ventilátor roztočil. Pak se sníží jeho otáčky snížením napětí jeho napájecího zdroje na 7 V. Pak se zapne regulátor spínačem pod přístrojem, pozorujte indikaci proběhnutých testů. Regulátor bude ukazovat teplotu v rezistoru (červený údaj) a její žádanou hodnotu (zelený údaj). Nyní je třeba zkontrolovat vypnutí obou spínačů na dvou paralelních cestách mezi zdrojem napětí BK 127 a vyhřívaným rezistorem. Na tomto zdroji je pak třeba nastavit napětí 5 V. Na zapisovači je třeba naposledy seřídit nulovou polohu, od tohoto okamžiku už do nastavení nulové polohy nezasahujte! Na zapisovači se spustí pero a spustí zápis. Veškeré přechodové děje je třeba provádět z ustáleného stavu a končit opět v ustáleném stavu. Ustálený stav dokumentujte průběhem zapisovače, který kreslí čáru konstantního údaje po dobu odpovídající vzdálenosti asi 10 mm. Těsně před skokovou změnou napětí z 0 V na 5 V odečtěte teplotu z displeje regulátoru pro první bod statické charakteristiky (např. 0 V; 22 °C). Skokovou změnu napětí proveďte v tomto případě zapnutím spínače v cestě RUČNĚ. Na zapisovači se zakreslí přechodová charakteristika soustavy 1. řádu. Nyní je třeba vyčkat ustálení a před další skokovou změnou je třeba odečíst teplotu, odpovídající napětí 5 V, což bude další bod statické charakteristiky. Skokovou změnu je výhodné provádět v okamžiku, kdy zapisovací pero dosáhne některé z příčných čar (vzhledem ke směru posuvu papíru), ušetříte si pak práci při vyhodnocení zápisu. Další skokové změny pak provádějte jen změnou napětí na příslušném zdroji podle údaje jeho voltmetru. Takto budete dále postupovat pro napětí 9 V, 12 V, 15 V a 18 V. Pro každý údaj napětí U(V) jako vstupní veličiny (příčiny děje) je třeba znát příslušnou výstupní veličinu θ (°C) (jako následek děje) v ustáleném stavu. Z přechodových charakteristik vyhodnoťte časové konstanty soustavy T a určete jejich průměrnou hodnotu. Vyhodnocení provádějte podle obr. 3 s využitím změny o 100 % a 63,2 %. Nepoužívejte konstrukce s pomocí tečny, je to způsob méně přesný.
9
2) Vyhodnocení měření a) Stanovení statické charakteristiky
Po vynesení naměřených bodů do grafu bude zřejmé, že závislost θ = f(U) není lineární. Z teorie plyne, že teplota je úměrná elektrickému příkonu a tedy druhé mocnině napětí. Experimentální body proložte polynomem 2. stupně a uveďte aproximační rovnici. V Excelu můžete použít nástroj "Spojnice trendů". b) Sestavení diferenciální rovnice
Z matematického popisu statické charakteristiky (statická funkce) vytvořte konkrétní diferenciální rovnici regulované soustavy (nelineární), která platí v celé oblasti měření. Nelineární diferenciální rovnice značně komplikuje řešení regulačního obvodu klasickými prostředky. Proto se snažíme tuto nelineární diferenciální rovnici v určitém pracovním bodě nahradit lineární diferenciální rovnicí. c) Linearizovaná diferenciální rovnice
Linearizaci proveďte v pracovním bodě pro teplotu 60 °C. Z rovnice nelineární statické funkce vypočtěte napětí odpovídající této teplotě. To je bod na statické charakteristice, kterým bude procházet linearizovaná statická charakteristika, tečna k nelineární statické charakteristice. Směrnice přímky se vypočítá ze statické funkce jako její derivace v pracovním bodě, tedy dθ/dU. Matematický popis lineární statické charakteristiky je rovnice přímky. Z rovnice přímky je třeba explicitně vyjádřit teplotu. Dosazením této závislosti do původní diferenciální rovnice na místo nelineárního vztahu a úpravou pravé strany rovnice se získá konkrétní linearizovaná diferenciální rovnice regulované soustavy, která může nahradit původní diferenciální rovnici jen v okolí zvoleného pracovního bodu. Na základě výpočtu dokreslete tuto lineární statickou charakteristiku do grafu s nelineární statickou charakteristikou.
3) Zjištění vlivu poruchové veličiny u soustavy bez regulátoru Na základě vyhodnocení předchozích měření nastavte takovou velikost napětí U(V), aby ustálená teplota byla asi 60 °C. Nemáte-li provedené výpočty statické funkce, můžete použít metodu lineární interpolace mezi sousedními body teploty. Ventilátor je napájen ze zdroje napětím 7 V. Zaznamenejte přechodový děj na zapisovači, kdy z ustáleného stavu napětí 7 V odečtěte teplotu (regulovanou veličinu), změňte napětí na 12 V, vyčkejte ustálení a opět odečtěte teplotu. Pak proveďte zpětnou změnu napětí na ventilátoru na 7 V a vyčkejte ustálení. Vyhodnoťte velikost změny teploty způsobené v soustavě poruchovou veličinou bez použití regulátoru. Protože údaj teploty na regulátoru má rozlišení jen na celé stupně, metodou lineární interpolace vypočítejte změnu teploty ze zápisu zapisovače, zde získáte údaj s jemnějším rozlišením (např. na desetinu stupně).
4) Ovládání regulátoru LOGITRON Po připojení přístroje k síti spínačem následuje automatické testování přístroje. Na displeji se objeví blikající nápis „test“ a dole se objeví nápis „r2.00“, indikující verzi použitého softwaru. Po několika sekundách se na horním dispeji objeví hodnota regulované (tj. i měřené) veličiny PV, na spodním se zobrazí žádaná hodnota řídicí veličiny SP. Způsob ovládání regulátoru je popsán v příloze 3. Postupujte podle této přílohy i při programování parametrů druhé úrovně. Parametry, které budete měnit jsou zvýrazněny tučně. Základní nastavení regulátoru je uvedeno v tabulce přílohy 3 u programování parametrů druhé úrovně. Parametry můžete prohlížet i měnit neboť výstup z tohoto regulátoru je vypnutý spínačem na panelu v cestě topného napětí s označením "AUTO".
10
5) Regulace s P-regulátorem Nastavení ovládacích prvků:
spínač topného napětí v cestě AUTO Z spínač topného napětí v cestě RUČNĚ V napětí na zdroji vyhřívání rezistoru 18 V spínač ventilátoru Z napětí na zdroji pro ventilátor 7V žádaná hodnoty teploty 60 °C pásmo proporcionality 10 % integrační a derivační funkce regulátoru musí být potlačeny Ti = ∞, Td = 0, tedy: Int nastavte na 9999 a dEr nastavte na 0. Poznámka: Údaje žádané hodnoty, pp a napětí zdrojů mohou být modifikovány při zadání práce. Zapisovačem zaznamenávejte průběh regulačního pochodu při posunu registračního papíru 0,3 cm/min, tj. 0,05 mm/s). Po ustálení hodnoty regulované veličiny realizujte změnu poruchové veličiny zvětšením otáček ventilátoru tak, že změníte napětí u zdroje na hodnotu 12 V. Sledujte průběh regulačního pochodu při působení poruchové veličiny. Analogicky sledujte průběh regulace po změně žádané hodnoty (na 70 °C). Podle zadání asistenta změňte velikost zesílení regulátoru (nastavením pp) na pp = 5 % a zjistěte chování obvodu. Vyhodnoťte přesnost regulace a velikost trvalé regulační odchylky. Použijte metodu lineární interpolace pro vyhodnocení ze zápisu.
6) Regulace s PI-regulátorem Konstanty PI-regulátoru nastavte podle zadání (např. pp = 10 % a Ti = 30 s). Podobně jako při regulaci s P-regulátorem zaznamenejte průběh regulačního pochodu při změnách poruchové a řídicí veličiny. Vyhodnoťte průběh regulačního pochodu a přesnost regulace.
7) Optimální nastavení konstant regulátoru PID S využitím Ziegler-Nicholsova kriteria stanovte optimální nastavení konstant PID regulátoru. Výchozí nastavení proveďte podle zadání asistenta nebo takto: žádaná hodnota 60 °C pp: 5% Ti maximální Td 0 Po ustálení hodnoty regulované veličiny zvyšujte zesílení regulátoru snižováním jeho pásma proporcionality postupně na 4 %, 3 %, 2 % a 1 %. Kmitání obvodu signalizuje, že jste dosáhli oboru nestability a nemusíte dále zmenšovat pp. Jen z důvodů omezení signálu se amplituda nemůže jakkoliv zvyšovat. Určete mez stability. Z nastaveného a odhadnutého pp vypočtěte kritické zesílení. Ze zaznamu je také třeba odečíst periodu kmitů Tk. To můžete provést dvěma způsoby. Necháte-li zápis běžet po určitou dobu, odpovídající vzdálenosti 10 mm, pak můžete spočítat, kolik připadá na tento časový úsek kmitů. Kmit je časový úsek mezi dvěma vrcholy kmitavého průběhu. Jiný způsob spočívá ve zrychlení posunu zapisova-
11
če na 3 cm/min. Pak necháme proběhnout celý kmit a odečtem ze zápisu zjistíme jeho dobu. Pak je třeba vrátit posun papíru na původní hodnotu 0,3 cm/min. Podle vztahů uvedených na str. 6 vypočtěte z hodnot r0k a Tk optimální nastavení konstant r0, Ti a Td a tyto hodnoty nastavte na regulátoru LOGITRON. S takto nastaveným regulátorem proměřte průběh regulačního pochodu pro známou změnu poruchové a řídicí veličiny.
8) Automatické nastavení optimálních parametrů PID-regulátoru Přístroj LOGITRON je vybaven elektronickým obvodem, který umožňuje samočinné vyhledání a nastavení optimálních hodnot konstant regulátoru. Vstupte do menu regulátoru LOGITRON a přes heslo vstupte do programování parametrů 2. úrovně. Listujte nabídkou až k parametru Auto. Místo nastavení no volte tlačítkem výběru jinou možnost yEs, ihned se vám nabídne SP nebo LoSP, volte SP. To znamená, že regulátor se bude nastavovat pro teplotu žádané hodnoty (možný vliv nelineární statické charakteristiky!). Na regulátoru blikají po dobu jeho nastavování dvě drobné LED diody. Regulátor pouští do regulované soustavy určité vzruchy a podle odezvy soustavy počítá podle vlastního algoritmu nastavení konstant regulátoru. Tento proces sledujte a nezapisujte. Jakmile přestanou na regulátoru blikat diody, nastavení je skončeno. S takto nastaveným regulátorem opět proměřte průběh regulačního pochodu pro známou změnu poruchové a řídicí veličiny. Vstupem do druhé úrovně programování zjistěte a zaznamenejte konstanty regulátoru, které si regulátor sám nastavil. Porovnejte je s vámi stanovenými konstantami dle kriteria Ziegler-Nichols a uveďte do protokolu. Na základě lineární regulační plochy určete, které nastavení regulátoru je lepší. Lineární regulační plocha je plocha, kterou opíše změna regulované veličiny soustavy s PID regulátorem od začátku působení poruchy po návrat regulované veličiny na stejnou hodnotu. Zde je to jen malá ploška.
Příloha 1: Zdroj napětí BK 127 Zdroj napětí BK 127 slouží jako kombinovaný zdroj stabilizovaného stejnosměrného napětí nebo proudu. Napětí se odebírá ze svorek napětí vlevo s označením polarity. Měřicí přístroj ukazuje napětí nebo proud podle polohy tlačítkového spínače vpravo (stlačené tlačítko – napětí; uvolněné tlačítko – proud). Zdroj se zapíná tlačítkem vpravo dole s označením , po sepnutí svítí zelená signální dioda s označením ~. Potenciometrem vpravo dole se nastavuje výstupní napětí v rozsahu do 20 V. Horním potenciometrem se nastavuje proudové omezení v rozsahu do 1 A. Nastane-li proudové omezení, rozsvítí se červená dioda s označením Imax. V tomto případě by zdroj pracoval jako stabilizátor proudu. V našem případě se nebude využívat proudové omezení, horní potenciometr otočíme doprava (po směru hodinových ručiček). Příloha 2: Dvoukřivkový liniový zapisovač TZ4620 Zapisovač slouží ke spojitému zápisu časového průběhu dvou napětí, v našem případě se bude využívat jen jeden kanál s označením A. Měřené napětí se přivede na svorky A-HI (kladná polarita) a A-LO (záporná polarita). Pro tento kanál A se vybere otočným přepínačem RANGE měřicí rozsah a později se seřídí nulová poloha potenciometrem ZERO A. Do objímky se nasadí zapisovací pero tak, aby byl jeho hrot asi 2 mm nad povrchem papíru. Zapisovač se zapne tlačítkem POWER, rozsvítí se zelené signalizační světlo. Pak se zapne zesilovač kanálu A (LINE A), pero popojede do nové polohy, kterou upravíme potenciometrem ZERO A tak, aby byla v blízkosti čáry 0 na zapisovacím papíru. Sepnutím tlačítka PEN A se přitlačí pero na papír. Nedojde-li ke kontaktu mezi perem a papírem, musí se po-
12
loha pera upravit. Otočným přepínačem CHART SPEED se nastaví rychlost posunu papíru. Posun papíru se spouští tlačítkem CHART. Posun papíru se zapíná jen při záznamu děje, před jeho počátkem. V mezidobí při přípravě experimentu se posun papíru zastavuje! Obrácený směr posunu papíru se zajistí tlačítka CHART a REVERSE. Zrychlený posun papíru se zajistí tlačítkem CHART a krátkým stlačením tlačítka FAST. V případě potřeby výměny papíru nebo jeho nepravidelného posunu volejte asistenta.
Příloha 3: Programování regulátoru LOGITRON THP 482 Funkce tlačítek:
mění kód funkce nebo zvyšuje hodnotu blikající číslice, P
vybírá číslici, která má být modifikována (bliká), při stisku tohoto tlačítka po dobu 3 s během normální funkce se umožní přístup k programování operačních parametrů
Funkce displejů:
• dva displeje; 4 číslice, 7 segmentů LED (light emitting diode - dioda emitující světlo), • může zobrazovat případné poruchy, • může zobrazovat kódy operačních parametrů. Indikace LED:
• • • • •
červená LED C1 svítí: červená LED C2 svítí: červená LED AL1 svítí: červená LED AL1 bliká: červená LED HB svítí:
regulační výstup C1 je zapnut, regulační výstup C2 je zapnut, poplach je zapnut, podmínka alarmu bez aktivace relé, polach HB zapnut - zátěž je přerušena.
Programování operačních parametrů:
Z bezpečnostních důvodů jsou programovací parametry rozděleny do dvou úrovní. V první úrovni jsou parametry programovatelné konečným uživatelem, v druhé úrovni jsou parametry, které může programovat jen oprávněný pracovník, jsou přístupné jen po zadání vstupního hesla. Programování parametrů první úrovně:
K programování parametrů první úrovně stiskněte tlačítko P nejméně na 3 s. Každým dalším stisknutím tohoto tlačítka postoupí programování o jeden krok a nastavená data se uloží do paměti. Tento postup se opakuje do zobrazení parametru PASS. Pokud bude do tohoto parametru zapsáno správné heslo, otevře se pro uživatele přístup do druhé programovací úrovně. V případě zadání špatného hesla se regulátor vrátí do regulačního režimu. Za 50 s po poslední změně se vrátí regulátor do regulačního režimu automaticky. Budou se objevovat následující parametry: HORNÍ DISPLEJ
DOLNÍ DISPLEJ
SEtP
P.V.
HSEt
P.V.
POPIS nastavení žádané hodnoty nastavení hystereze (jen v módu dvoustavové či třístavové regulace)
P.V. zde značí hodnotu parametru před novým nastavením.
13
Pokud byl konfigurační parametr ALPr (v druhé úrovni programování) dříve nastaven na „no“, budou se objevovat následující parametry. Je-li „ALPr“= yEs, zobrazí se tyto parametry až v druhé úrovni po zadání přístupového hesla. AL1 HAL1 PASS
P.V. P.V. P.V.
žádaná hodnota alarmu 1 hystereze alarmu 1 heslo pro vstup do druhé programovací úrovně
Heslo pro přístup do 2. úrovně programování:
Výše uvedeným způsobem nastavte na displeji parametr PASS. Hodnotu tohoto parametru nastavte na „0381“ a stiskněte tlačítko P. Věnujte pozornost parametrům zvýrazněným tučně, ty budete měnit. Programování parametrů druhé úrovně:
Budou se objevovat následující parametry: HORNÍ DISPLEJ rL1
POPIS režim pro alarm 1
možné nastavení 0001
FAIL
nouzový alarm
no
dAL1
alarm 1 blokovaný
no
ALPr
programování alarmu chráněno heslem
no
SPLL
dolní mez regulačního rozsahu
-999
SPHL
horní mez regulačního rozsahu
9999
Cont
typ regulacePId, OnOf
Func
činnost výstupu 1 HEAt, Cool
Auto
Pb
automatické doladění konstant PID LoSP při 70% žádané hodnoty SP při žádané hodnotě pásmo proporcionality %
nutno volit
Int
integrační časová konstanta (s)
nutno volit
dEr
derivační časová konstanta (s)
nutno volit
tcr1
doba cyklu 1. výstupu (s)
1
ruční přednastavení
50
jednotka teploty C ≡ °C
C
SEnS
typ sondy( t znamená termočlánek T)
t
OFFt
kalibrace sondy
0
konstanta digitálního filtru, 0 až 20 nízká hodnota zaručuje vyšší citlivost ale menší odolnost proti rušení.
1
rS Unit
Filt
14
PId HEAt no, yEs
Příloha 4: Vyhodnocení měření na regulované soustavě. Tato příloha je určena především studentům, jejichž matematické znalosti dosud neodpovídají požadavkům, kladeným na inženýra. Ostatním studentům tato pomůcka umožní kontrolu jejich samostatné práce. Pomůcka podrobně popisuje, jak z experimentů na regulované soustavě získat její matematický popis, tedy diferenciální rovnici a v případě nelineární diferenciální rovnice odvodit její jednodušší verzi, tedy linearizovanou diferenciální rovnici. Lineární diferenciální rovnice regulované soustavy pak umožňuje teoretický návrh regulačního obvodu, tzn. nastavení konstant regulátoru. Předpokládáme, že vstupní veličinou regulované soustavy je napětí U(V), výstupní veličinou soustavy je teplota θ(°C). Diferenciální rovnice (obyčejná) regulované soustavy má obecný tvar:
f 1 (θ ,θ ′,θ ′′,...) = f 2 (U ) ,
(P4-1)
kde f1 vyjadřuje dynamické vlastnosti regulované soustavy a f2 vyjadřuje její statické vlastnosti. Derivace teploty θ ′ a θ ′′ jsou pak podle času. Podle tvaru přechodové charakteristiky je třeba určit řád soustavy, tj. řád diferenciální rovnice. Prohlédneme-li si pozorně grafy přechodových charakteristik, naměřené v bodě 1 úkolů práce EQ a porovnáme-li tyto průběhy s obrázkem 3 a obrázkem 4 textu základního návodu (nebo s informacemi z přednášek) dojdeme, k závěru, že regulovaná soustava je soustavou 1.řádu, popisovaná obyčejnou diferenciální rovnicí 1.řádu. tedy funkce f1 bude mít tvar:
f 1 (θ ,θ ′,θ ′′,...) ≡ T ⋅ θ ′ + θ
(P4-2)
kde T(s) je časová konstanta dané regulované soustavy. Časová konstanta je určená s určitou jednotkou času, tato jednotka pak bude jednotkou času v diferenciální rovnice i v jejím řešení. Určení hodnoty časové konstanty nebo její průměrné hodnoty je pak úkolem č.1 a 2 zadání, vyhodnocení časových konstant se provádí podle obrázku č.3 základního návodu. Nyní je odvozovaná diferenciální rovnice ve tvaru:
T ⋅ θ ′ + θ = f 2 (U )
(P4-3)
Numericky při hodnotě časové konstanty např. 12,5 s bude mít odvozovaná diferenciální rovnice tvar
12,5 ⋅ θ ′ + θ = f 2 (U ) , čas t (s)
(P4-4)
Levá strana diferenciální rovnice vyjadřuje dynamické vlastnosti soustavy, pravá strana, tedy funkce f2 vyjadřuje statické vlastnosti regulované soustavy. Statické vlastnosti se projevují vždy v ustáleném stavu, tedy když derivace teploty podle času jsou nulové, tedy když θ ′ = 0 . Pak má rovnice statické charakteristiky (nikoliv již diferenciální rovnice) tvar:
θ = f 2 (U )
(P4-5)
Funkci f2 zjistíme z experimentů v bodě 1 úkolů práce. V této části práce jste získali řadu experimentálních bodů, tabulku vstupních napětí a jim odpovídajících teplot. Tuto tabulku vyneseme do grafu (výhodné pomocí EXCELu). Z grafu je pak možno pomocí regrese (metoda nejmenších čtverců) nalézt vhodný matematický aproximační vztah a číselné hodnoty konstant v tomto vztahu. Tabulka P4-1: U(V) θ(°C)
0 22
4 33
7 54
15
11 102
14 150
18 230
Závislost teploty na napájecím napětí Experimentální body pro regulovanou soustavu
teplota θ (°C)
250 200 150 100 50 0 0
5
10
15
20
napětí U (V) Obr. P4-1: Graf experimentálních hodnot:
Znázorněný graf ještě neudává závislost, znázorňuje pouze experimentální body, z nichž je třeba matematickou závislost a odpovídající graf odvodit. Další postup je dvojí, buď použít nástroj v EXCELu "Přidat spojnici trendu" nebo použít důmyslný nástroj a sice funkci LINREGRESE (důležitá pro inženýrskou práci!). Nástroj spojnice trendů se používá jen na základě již existujícího grafu, funkce LINREGRESE sice nevyžaduje graf, ale graf zkušenému i nezkušenému napoví, jakou funkcí (příp. jakým polynomem) provést aproximaci. Z průběhu bodů v grafu lze usoudit, že vhodná aproximace experimentálních bodů bude polynom 2. stupně, graficky zobrazený parabolou.
Použití nástroje Přidat spojnici trendu (EXCEL) Tento nástroj je obsažen v položce hlavního menu Graf. Vyjdeme z existujícího grafu, jak je vidět na předchozím obrázku, myší klikneme na některý z bodů grafu, body se nám zbarvením označí a pravým tlačítkem myši na některém z těchto bodů nebo výběrem z hlavního menu přes položku Graf zvolíme "Přidat spojnici trendu". V otevřeném okně tohoto nástroje je třeba volit na kartě Typ volit typ trendu a regrese: polynomický a 2.stupeň, na kartě Možnosti pak volit položku Zobrazit rovnici regrese a OK. Zobrazenou rovnici regrese přesuneme do vhodného místa grafu a upravíme symboly vstupní a výstupní proměnné, místo obecného označení x,y zavedeme naše konkrétní označení použitými symboly, případně i s použitými jednotkami podle os grafu. Zde se nejedná v fyzikální vztah mezi veličinami, ale o číselný vztah mezi hodnotami veličin a tento vztah je pochopitelně závislý na volbě jednotek. V grafu tento požadavek na jednotky není nezbytný, protože použité jednotky vidíme na označení os. Přenesením této rovnice mimo graf je však nutné vždy s použitými jednotkami, bez těchto jednotek nemá rovnice smysl! Na následujícím grafu je již vidět výsledek, tedy rovnici statické charakteristiky vloženou pod nápis grafu, nalezené konstanty jsou již zaokrouhlené.
16
Závislost teploty na napájecím napětí pro regulovanou soustavu
teplota θ (°C)
250
θ = 0,6219 U
2
+ 0,4109 U + 21,629
200 150 100 50 0 0
5
10
15
20
napětí U (V) Obr. P4-2: Statická charakteristika regulované soustavy:
Použití funkce LINREGRESE (EXCEL) Funkci LINREGRESE zde použijeme pro nelineární aproximaci. Z názvu může plynout určitý paradox, který se pokusíme vysvětlit. Funkci LINREGRESE použijeme ne na hodnoty vstupní a výstupní veličiny, ale na jejich určité funkce tedy na x1 a na x2, v našem případě na U a na U2. Pak hledáme lineární vztah mezi výstupní veličinou θ a dvěma funkcemi vstupní proměnné U a U2 (lineární funkce dvou proměnných U a U2). Tímto způsobem získáme aproximaci nelineárním vztahem. Za tímto účelem si připravíme v EXCELu tabulku se sloupci U a U2(druhou mocninu musíme vypočítat z experimentálních hodnot U), taky sloupec θ, který obsahuje experimentální data a přidáme nový sloupec θv, který bude obsahovat (až na základě provedené aproximace) vypočtené hodnoty teploty, kterou označíme θv a které použijeme pro konstrukci křivky. Tabulka P4-2: U(V) 0 4 7 11 14 18
U2 0 16 49 121 196 324
θ(°C) 22 33 54 102 150 230
θv(°C)
Na takto sestavenou tabulku použijeme funkci LINREGRESE. Nejprve je třeba připravit pole výsledků, abychom mohli použít tuto funkci. Protože se jedná o obecný polynom 2. stupně, který má 3 konstanty, musíme použít pole výsledků, které má tři sloupce. Protože chceme kromě konstant obvykle získat také některé statistické parametry použité aproximace (zde je nebudeme používat ani interpretovat - odkazujeme na návod k této funkci), musíme vždy zvolit pět řádků. Po vyznačení této oblasti v EXCELu použijeme funkci LINREGRESE. Zvolením funkce LINREGRESE se nám ukáže pomocné okno, ve kterém musíme volit. Jako pole závisle proměnné - "Pole_y" volíme oblast dat θ bez hlavičky. Jako pole nezávisle pro-
17
měnné - "Pole_x" volíme dva sloupce tedy sloupec U a U2, opět bez hlaviček. Dále volíme do pole "B" číselnou hodnotu 1, to znamená, že chceme počítat hodnotu absolutního členu v polynomu, a do pole "Stat" také volíme hodnotu 1, to znamená, že chceme počítat také statistické parametry. Tyto volby v okně nepotvrzujeme tlačítkem OK, ani tlačítkem Enter, ale potvrzujeme je volbou tří kláves Ctrl+Shift+Enter. Tímto způsobem získáme následující tabulku výsledků: Tabulka P4-3: 0,62187 0,410878 21,62868 0,011009 0,206783 0,805612 0,999928 0,876397 #N/A 20881,62 3 32077,2 2,304217
#N/A #N/A
V prvním řádku jsme získali hodnoty konstant aproximačního polynomu, ve druhém řádku pak směrodatné odchylky těchto konstant. Další řádky přenecháváme na vlastní studium návodu (učí se to ve výpočetní technice v 1.ročníku!), v naší práci je nebudeme potřebovat. V posledním, třetím sloupci nahoře je hodnota absolutního členu. Nahoře v prvním a druhém sloupci jsou pak další numerické hodnoty konstant, ale v opačném pořadí, než byly uvedeny v tabulce dat, tedy v zadání "Pole_x". Výsledná aproximační funkce z předchozí tabulky je vlastně statická funkce, tedy funkce statické charakteristiky. U této rovnice ovšem musíme uvést jednotky veličin, pro které tato rovnice platí! Srovnej s rovnicí získanou nástrojem "Použít spojnici trendu".
θ = 0,62187 · U2 + 0,410878 · U + 21,62868,
θ(°C), U(V)
(P4-6)
Použijeme-li uvedený matematický vztah pro vypočtenou teplotu θv pro konstrukci křivky, získáme úplnou tabulku. Z této tabulky pak sestrojíme graf, tedy statickou charakteristiku. Ovšem EXCEL sestrojuje grafy způsobem, že mezi jednotlivé experimentální body vkládá přímkové úseky. Pokud máme 10 nebo více experimentálních bodů, většinou to nepoznáme. Při menším počtu experimentálních bodů však lomená čára působí rušivě, navíc mezi experimentálními body nezobrazuje pravdivě aproximační průběh. Proto do intervalů mezi experimentálními body budeme vkládat další body, které slouží jen pro výpočet více hodnot θv, učiní zobrazovanou křivku hladkou a výsledek aproximace, tedy funkci neovlivní. Tabulka P4-4: U(V) 0 4 7 11 14 18
U2 0 16 49 121 196 324
θ(°C) 22 33 54 102 150 230
θv(°C) 21,6286785 33,2221181 54,9764761 101,394658 149,267573 230,510497
V dané tabulce vložíme vždy po jednom bodu (zvoleno) do intervalu mezi dvěma sousedními body a sice určitou hodnotu napětí, vypočteme jeho druhou mocninu a také vypočteme příslušnou hodnotu θv . Upravená tabulka následuje. Pro tuto tabulku již můžeme sestrojit graf v EXCELu běžným způsobem.
18
Tabulka P4-5: U(V) 0 2 4 5,5 7 9 11 12,5 14 16 18
U2 0 4 16 30,25 49 81 121 156,25 196 256 324
θ(°C) 22 33 54 102 150 230
θv(°C) 21,6286785 24,9379167 33,2221181 42,7000887 54,9764761 75,6980854 101,394658 123,931907 149,267573 187,401553 230,510497
Zde je graf statické charakteristiky, který ovšem pro získání rovnice ani nepotřebujeme, avšak graf nám potvrdí nebo vyvrátí správnost použité aproximace, je to vlastně kontrola výpočtu.
Závislost teploty na napájecím napětí pro regulovanou soustavu
teplota θ (°C)
250 200 150
θ(°C) θv(°C)
100 50 0 0
5
10
15
20
napětí U (V) Obr. P4-3: Statická charakteristika regulované soustavy:
Další pokračování: Dále budeme postupovat při sestavení diferenciální rovnice jednotnou cestou bez ohledu na použitou cestu při získání statické funkce, tedy funkce f2. Od statické funkce se vrátíme zpět k diferenciální rovnici P4-4, kde provedeme substituci funkce f2. Pro odvozenou diferenciální rovnici:
T ⋅ θ ′ + θ = f 2 (U )
(P4-7)
provedeme substituci pravé strany, tedy f2 získáme z rovnice statické charakteristiky (P4-5) (ze statické funkce), která platí pro případ, že θ ′ = 0 :
19
θ = 0,62187 · U2 + 0,410878 · U + 21,62868,
θ(°C), U(V)
(P4-8)
Výsledný vztah bude, což je současně i řešení úkolu 2b, práce EQ:
T ⋅ θ ′ + θ = 0,62187 · U 2 + 0,410878 · U + 21,62868 ,
kde θ(°C), U(V), t(s),
(P4-9)
Nalezený vztah je nelineární diferenciální rovnice, popisující chování regulované soustavy v celé oblasti proměřovaných teplot a napětí. Pro snadné řešení regulačních úloh potřebujeme ovšem lineární diferenciální rovnici regulované soustavy a postačuje nám, že platí jen v okolí pracovního bodu. Jako příklad budeme volit pracovní bod 150 °C, tzn. že budeme provádět regulaci na konstantní teplotu 150 °C. Proto budeme nelineární diferenciální rovnici (P4-9) linearizovat v pracovním bodě 150 °C. Nejprve musíme určit souřadnice tohoto bodu, tedy napětí odpovídající této teplotě v ustáleném stavu. Vyjdeme-li z rovnice (P4-9), pak v ustáleném stavu θ ′ = 0 a proto bude platit:
θ = 0,62187 · U 2 + 0,410878 · U + 21,62868 , kde θ(°C), U(V)
(P4-10)
Pro pracovní bod θ 0 = 150 °C dostaneme kvadratickou rovnici:
0,62187 · U 2 + 0,410878 · U + 21,62868 = 150 , jejímž řešením je kořen: U0 = 14,04104 V
(P4-11) (P4-12)
Nyní již známe souřadnice bodu na statické charakteristice, kterým bude procházet tečna ke křivce, tato tečna bude novou lineární statickou charakteristikou liearizované diferenciální rovnice. Směrnici této tečny můžeme vypočítat derivací rovnice nelineární statické charakteristiky P4-8 v bodě U0, θ 0 .
dθ = 2 ⋅ 0,62187 ⋅ U 0 + 0,410878 = 2 ⋅ 0,62187 ⋅ 14,04104 + 0,41087 = 17,874273 °C/V dU (P4-13) Rovnice linearizované statické charakteristiky je přímka procházející bodem U0, θ 0 se známou směrnicí, tedy:
θ − θ 0 = 17,874273 · (U - U 0 )
(P4-14)
a konkrétně:
θ − 150 = 17,874273 · (U - 14,04104 )
(P4-15)
a úpravou:
θ = 17,874273 · U - 100,97338
(P4-16)
Touto lineární statickou funkcí můžeme v okolí pracovního bodu nahradit nelineární statickou funkci v nelineární diferenciální rovnici (P4-10) a získáme lineární (tj linearizovanou) diferenciální rovnici, popisující vlastnosti regulované soustavy jen v okolí pracovního bodu (se zaokrouhlením konstant). T ⋅ θ ′ + θ = 17,87 · U - 101,0 , kde θ(°C), U(V), t(s), (P4-17) Lineární statickou charakteristiku podle rovnice (P4-16) můžeme vložit do grafu statické charakteristiky. V EXCELu vložíme do tabulky (P4-5) nový sloupec, ve kterém budeme počítat průběh teploty podle linearizované statické funkce (P4-16), příslušnou teplotu na linearní statické funkci označíme θ L . Nízké hodnoty teplot statické charakteristiky jsou pro nás nezajímavé a proto je nebudeme počítat ani zobrazovat. Viz následující tabulka (P4-6).
20
Tabulka P4-6: 2
U(V)
U
0
0
2
4
4
16
5,5
30,25
7
49
9
81
11
121
12,5
156,25
14
196
16
256
18
324
θ(°C)
θv(°C)
θL(°C)
22
21,6286785 24,9379167
33
33,2221181 42,7000887
54 102
54,9764761
24,146531
75,6980854
59,895077
101,394658
95,643623
123,931907 122,455033 150
149,267573 149,266442 187,401553 185,014988
230
230,510497 220,763534
Odpovídající grafická interpretace tabulky (P4-6) je na následujícím obrázku (P4-4), který slouží také jako kontrola správnosti celého výpočtu. Statická charakteristika a linearizovaná statická charakteristika regulované soustavy 250
teplota θ (°C)
200
150
100 θ(°C)
50
θv(°C) θL(°C)
0 0
5
10
15
20
napětí U (V)
Obr. P4-4: Statická charakteristika a linearizovaná statická charakteristika regulované soustavy v pracovním bodě 150 °C:
Řešením úkolu 2c práce EQ tedy bude lineární diferenciální rovnice (P4-17) a graf statické charakteristiky s příslušnou linearizovanou statickou charakteristikou je na obr. P4-4.
21
