Emelt szintű feladatok

Emelt szintű feladatok 1. Bizonyítsa be, hogy p(qr) = (pq)  (pr)! 2. Van 5 ház, s mindegyiknek a színe különböző. Mindegyik házban különböző nemzetiségű személy lakik. Mindegyik lakó egy bizonyos italt részesít előnyben, egy bizonyos cigarettamárkát szív, és egy bizonyos háziállatot tart. Az 5 személy egyike sem iszik azonos italt, nem szív azonos cigarettamárkát, és nem tart azonos háziállatot, mint a szomszédai. A kérdés:

Kié a hal?

A kijelentések: 1. az angol a piros házban él 2. a svéd kutyát tart 3. a dán szívesen iszik teát 4. a zöld ház közvetlenül balra áll a fehértől 5. a zöld ház tulajdonosa a kávét szereti 6. az a személy, aki pall mall-t szív, madarat tart 7. a személy a középső házban, tejet iszik 8. a sárga ház tulajdonosa dunhill-t szív 9. a norvég lakik az első házban 10. a marlboro-dohányos amellett lakik, aki macskát tart 11. az a személy, aki lovat tart, amellett lakik, aki dunhill-t szív 12. a winfield-dohányos a sört szereti 13. a kék ház mellett lakik a norvég 14. a német rothmanns-t szív 15. annak, aki marlboro-t szív, van egy szomszédja, aki vizet iszik Einstein ezt a feladványt a múlt században alkotta, és azt állította, hogy az emberiség 98%-a nincs abban a helyzetben, hogy megoldja...

3. Feri, Gyula, Jancsi és Karcsi meglátogatták egy beteg barátjukat. A négy fiú családi neve -valamilyen sorrendben: Kiss, Nagy, Szabó és Molnár. Elsőnek Molnár érkezet, másodiknak Jancsi, ezután Kiss és végül Gyula. Mindenki hozott egy ajándékot: Molnár bűvös kockát, Feri golyóstollat, Gyula virágot, Szabó pedig könyvet. Mi a négy fiú teljes neve? Megoldás: Foglaljuk táblázatba a leírtakat. Jelölés: nem lehet-, biztos +.

Feri Gyula Jancsi Karcsi

Kiss

Nagy

-

+

Szabó -

Molnár +

Marad: Kiss Feri Jancsi Tehát a teljes nevek:

Szabó -

-

Kiss Feri, Nagy Gyula, Szabó Jancsi, Molnár Karcsi.

4. A kengurukról a következőket tudjuk: „Ha nem esik az eső, akkor a kenguruk vidámak.” Melyiket állíthatjuk akkor biztosan az alábbiak közül? A) Ha esik az eső, akkor a kenguruk szomorúak. B) Ha kenguruk vidámak, akkor nem esik az eső. C) Ha a kenguruk vidámak, akkor esik az eső. D) Ha a kenguruk szomorúak, akkor esik az eső. E) Ha kenguruk szomorúak, akkor nem esik az eső. Megoldás: Legyen p= „esik az eső” és q= „a kenguruk vidámak (nem szomorúak)” Az eredeti kijelentés a következő szerkezetű: p  q . Az állítások szerkezete pedig: A) p  q B) q  p C) q  p D) q  p E) q  p Készítsük értéktáblázatot! p í í h h

q í h i h

p

q

h h i i

h i h i

p  q p  q q  p q  p q  p q  p i h h i i i i i i i i h i i i h i i h i i i h i

A táblázat alapján látható, a váltózók mindem lehetséges értékére a D állítás egyezik meg az eredeti kijelentéssel. 5. Igazoljuk táblázattal és azonossággal a következő azonosságokat! a.) p   p  q   p  q b.) p   p  q   p  q Megoldás: Azonosságokkal: a.) p   p  q   (p  p)  (p  q)  i  (p  q)  (p  q) b.) p   p  q   p  q állítás az a. feladat duálisa. Táblázattal: a.) p i i h h

q i h i h

p

p  q

h h i i

i h i i

p  (p  q) i h h h

pq

i h h h

b.) Hasonlóan oldható meg. 6. Tagadd a következő mondatokat! Minden mechatronikás meg tud oldani minden feladatot. Van olyan, hogy tavasszal minden madár társat választ.

Univerzális és egzisztenciális ítélet.

Ha megoldom ezt a feladatot, akkor cigánykereket vetek.

Implikáció

Az univerzális és egzisztenciális ítéletek tagadásánál a következő szempontokat kell figyelembe venni: – A van olyan tagadása a minden. – A minden tagadása a van olyan. – Az ítéletet is tagadni kell. Az első mondat tagadása: Bontsuk részekre a mondatot! Minden mechatronikás  van olyan mechatronikás Minden feladatot  van olyan feladat Meg tud oldani

 nem tud megoldani

Van olyan mechatronikás, aki számára van olyan feladat, amit nem tud megoldani. A második mondat tagadása: Van olyan ( olykor)  mindig Minden madár

 van olyan madár

Társat választ

 nem választ társat

Tavasszal mindig van olyan madár, amely nem választ társat. A harmadik mondat tagadása: Az implikációt a ha …, akkor… szerkezet jelöli, ezért a tagadása ezt nem tartalmazhatja. Alkalmazzuk a de Morgan-azonosságot az implikációra!  (p  q)  p  q ┐(Ha megoldom ezt a feladatot, akkor cigánykereket vetek.) = Megoldom ezt a feladatot, és nem vetek cigánykereket.

7. Egy távoli országban egyes emberek mindig igazat mondanak, a többiek mindig hazudnak. a) Két ember találkozik, és egyikük azt mondja: „Legalább egyikünk hazudik." Mifélék lehetnek ők? b) Két ember találkozik, és egyikük azt mondja a másiknak: „Vagy hazudok, vagy te igazat mondasz." Mifélék lehetnek ők? c) Két ember találkozik, és egyikük azt mondja a másiknak: „Én hazudok, de te igazat mondasz." Mifélék lehetnek ők?

8. Bizonyítsuk be a következő összefüggést: A  B   A  B    A  B  Megoldás: A jobb oldalon végzünk átalakításokat:

 A  B    A  B     A  B    A     A  B    B     A  A    B  A    A  B    B  B    i   B  A    A  B   i   B  A    A  B     A  B     B  A     A  B  B  A   A  B Eredményül a bal oldali kifejezést kaptuk.

9. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi formulák azonosan igazak! a.

 A   A  B  B

b. A   A  B c.  A  B  A

d.

 A  B  B  A

Megoldás: a.  A   A  B  B   A   A  B  B   A  A  B  B 

   A  A   A  B  B   h   A  B  B 

 A  B  B    A  B  B   A  h  h  i b. A   A  B   A   A  B   A  A  B  h  B 

 h  i c.  A  B  A   A  B  A   A  A  B 

 h  B  h  i d.   A  B  B  A    A  B  B  A 

   A  B  B  A    A  B   B  B  A 

   A  B  h  A   A  B  A   A  B  A    A  B  A  A  A  B  i  B  i