ELOSZ6 es bibliografiai megjegyzesek
A kisse kodos szimmetria = aranyok harmoniaja fogalomtol elindulva e negy eloadas eloszor fokozatosan kibontja kiilonfele alakjaiban a szimmetria geometriai fogalmat: ketoldali, eltolasi, forgasi, ornamentalis, valamint kristalytani szimmetriakent, majd a mindezekben az egyedi alakokban benne rejlo altalanos eszmehez emelkedik, nevezetesen valamely elemkonfiguracionak egy automorf transzformaciok alkotta csoportra vonatkozo invarianciajaig. Celom kettos: szeretnem egyreszt megmutatni a szimmetriaelv alkalmazasanak oriasi valtozatossagat a miiveszetekben, az elo es elettelen termeszetben, masreszt lepesrol lepesre megvilagitani a szimmetria eszmejenek filozofiai-matematikai jelentoseget. E masodik szandek a szimmetriaelmelet es a relativitaselmelet fogalmainak osszevetesere kesztet, az elso valora valtasaban pedig szamos illusztracio segit. Konyvem olvasoiul a tudos hozzaertokenel szelesebb korre gondoltam. A konyv nem kertili a matematikat (ez meghiusitana celjait), a problemak tobbsegenek reszletes targyalasa, igy a teljes matematikai taglalas azonban mar meghaladna koret. Az eloadasok, melyek kisse mo-
dositva a szerzonek a Princeton Egyetemen 1951 februarjaban tartott Louis Clark Vanuxem-eloadasait elevenitik fel, bovtiltek meg ket, matematikai bizonyitasokkal foglalkozo fiiggelekkel. A targykorrel foglalkozo mas konyvek, peldaul F. M. Jaeger klasszikus miive, a Lectures on the principle of symmetry and its applications in natural science (Amsterdam and London, 1917) vagy Jacques Nicolle ujabb keletii, joval kisebb terjedelmu konyvecskeje: La symetrie et ses applications (Paris, Albin Michel, 1950) az anyagnak csak egy reszet olelik fel, bar a maguk teriileten reszletesebbek. A szimmetria csak szereny oldalhajtas D'Arcy Thompson hatalmas munkajaban, az On growth and form cimu miiben (lij kiadas: Cambridge, Engl., and New York, 1948). Andreas Speiser: Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung (3. Aufl., Berlin, 1937) cimii konyve es egyeb munkai fontosak a targy esztetikai es matematikai aspektusanak attekinteseben. A Jay Hambidge-fele Dynamic Symmetry (Yale University Press, 1920) a cimen kiviil nemigen mutat rokonsagot a jelen konyvvel. Talan a Studium Generale nemet folyoirat szimmetriaval foglalkozo, 1949. jiiliusi szama all hozza legkozelebb (Vol. 2., 203-278. old.; csak mint Studium Generalet fogjuk idezni). Az illusztraciok forrashelyenek felsorolasa a konyv vegen talalhato. Halas koszonetet mondok a Princeton Egyetemi Nyomdanak mindazert a kiilso es belso gondossagert, mellyel e kis kotetet elhalmoztak; nem kevesbe oszinten koszo-
nom a Princeton Egyetemnek, hogy modot adott e hattyiidallal biicsiit vennem az Institute of Advanced Studytol valo visszavonulas kiiszoben. Hermann Weyl Zurich, 1951 decembere
KETOLDALI SZIMMETRIA
KETOLDALI SZIMMETRIA
Ha nem tevedek, a szimmetria szot a mindennapi nyelvben ketfele ertelemben hasznaljuk. Az egyik szerint a szimmetrikus valami aranyos, kiegyensiilyozott, a szimmetria pedig az a fajta osszhang, mely egyes reszeket egessze egyesit. A szepseg kapcsolatban all a szimmetriaval. !gy hasznalja a szot Poliikleitosz, kit az okoriak szobrainak tokeletes harmoniai aranyaiert magasztaltak, s aki konyvet irt az aranyokrol. Diirer az 6 nyomdokaiban halad az emberi testaranyok kanonba foglalasaval.1 Ebben az ertelmeben a fogalom nemcsak a ter1
Diirer: Vier Biicher von menschlicher Proportion, 1528. Maga Diirer valqjaban sohasem hasznalta a szimmetria szot, de a baratjatol, Joachim Camerariustol valo ,J6vahagyott" latin forditas a De symmetric partium cimet viseli. Poliikleitosznak tulajdonitjak a kijelent^st (jiegi /JeAoTrotfxdJt) IV,2), hogy ,,igen sok szam alkalmazasa szinte hibatlanna teheti a szobrot". Lasd meg Herbert Senktol: Au sujet de 1'expression avfifierglx dans Diodore, I, 98, 5-9, a Chronique d'Egypte 26 (1951) 63-66. oldalan. Vitruvius megallapitja: ,,Szimmetria aranyossagbol fakad... Aranyossag az egyes reszek osszemerhet6sege az egesszel." Kidolgozottabb modern megkb'zelitfet talalni ez iranyban George David BirkhoflF: Aesthetic measure (Cambridge, Mass., Harvard 13
beli alakzatokra vonatkozik, a szinonim ,,harmonia" inkabb hangtani es zenei alkalmazasokra mutat, mintsem geometriaiakra. Az Ebenmass a nemetben jo egyenertekese a gorog szimmetria szonak, minthogy emehhez hasonloan jelenti a ,,mertek"-et is, a kozeputat, melyre Arisztotelesz Nikomakhoszi Etikaja szerint az erenyeseknek torekedniok kell cselekedeteikben, s melyet Galenosz De temporamentiseben a ket szelsosegtol egyarant tavol eso lelkiallapotnak ir le : avfifj.sT^ov oneq ExareQov ia>v A merleg kepzete termeszetes fogodzot ad a szo ujabb idokben meghonosodott masodik jelentesehez : a ketoldali szimtnetridhoz, jobb es bal szimmetriajahoz, mely olyannyira jellemzo a magasabb rendii allatok, de legkivalt az ember testi felepitesere. Marmost e ketoldali szimmetria szigonian geometriai fogalom, es az elobbi, homalyos szimmetriafelfogassal szemben teljesseggel szabatos. Valamely test, terbeli alakzat szimmetrikus egy adott E sikra nezve, ha az £"-re tiikrozve visszajut 6nmagaba. Az E-re merolegesen vegyunk fel egy tetszes szerinti / egyenest, az egyenesen pedig egy tetszes szerinti p pontot; az / egyenes masik felen egy es csak egy olyan p' pont lesz, mely az E siktol ugyanekkora tavolsagra van. A p' pont csak akkor egyezik meg a p-vel, ha az rajta van az E-n. Az E-ie valo tiikrozes a ternek onmagara valo S:p -••/>' lekepezese, amely barmely/? pontot az E-vel University Press, 1933) c. konyv^ben es ,,A mathematical theory of aesthetics and its applications to poetry and music" cimmel tartott eloadasaban : Rice Institute Pamphlet Vol. 19 (July, 1932), 189-342. old.
14
P'
P —•—
1. abra. Tiikrozes az E egyenesre
vett tiikorkepebe visz at. Egy lekepezes meghatarozott, ha egy adott szabaly minden/? ponthoz hozzakapcsol egy/?' keppontot. Mas pelda: egy fiiggoleges tengely koriili, mondjuk30°-os elforgatas minden^pontot atvisz egy/?' pontba, s ezaltal lekepezest hataroz meg. Egy alakzat forgasszimmetrikus egy /tengelyre vonatkozolag, ha minden/koriili forgatassal onmagaba jut vissza. igy a ketoldali szimmetria azelso peldaatukrozesre,forgatasravagy hozzajuk hason16 muveletre tamaszkodo szimmetriafelfogasra. Teljes forgdsszimmetriajuk miatt tekintettek a pitagoreusok a legtokeletesebb alakzatnak a sikban a kort, a terben a gombot. Arisztotelesz gomb alakot tulajdonitott az egitesteknek, minthogy barmi mas csorbat ejtett volna egi tokelyiikon. E hagyomanybol adodoan szolitja egy modern kolto2 nagy szimmetrianak az Isteni Lenyt: 1
Anna Wickham, ,,Envoi", a The contemplative quarry c. kotetb61, Harcourt, Brace and Co., 1921.
15
Isten, te Nagy Szimmetria, Ki vagyaim csak tiizeled, 6, add: a meddo buzgalomnak Szakadjanak meg napjai, S nevedben vegre valami Tokeletest is letrehozzak. A szimmetria — barmily sziiken vagy tagan fogjuk is fel jelenteset — olyan fogalom, mellyel az ember hosszii korokon at igyekezett a rendet, szepseget es tokeletesseget megerteni es megalkotni. Az eloadasok menete a kovetkezo lesz. Eloszor reszletesebben targyalom a ketoldali szimmetriat, es a muveszetekben, az elo s elettelen termeszetben jatszott szerepet. Ezutan ezt a fogalmat fokozatosan altalanositjuk, a peldaban mar elofordult forgasi szimmetria megjelolte iranyban, elobb csak a geometria koren beliil; kesobb mar e hatarokat a matematikai absztrakcio reven athagva olyan litra lepiink, mely egy teljesen altalanos matematikai fogalomhoz vezet el, a szimmetria valamennyi egyedi megnyilvanulasa es alkalmazasa melyen mintegy ott rejlo platoni ideahoz. E keplet bizonyos fokig minden elmeleti ismeretet jellemez: valamilyen altalanos, de korvonalazatlan elven kezdjiik (szimmetria a szo elso ertelmeben), azutan talalunk egy fontos esetet, ahol pontos, konkret ertelmet adhatunk e fogalomnak (ketoldali szimmetria), majd ettol ujra az altalanossagig emelkediink, most mar sokkal inkabb matematikai konstrukciotol es elvonatkoztatastol, mintsem filozofiai abrandoktol vezetve; ha szerencsenk van, legalabb olyan egyetemes fogalommal
16
vegezziik, mint amilyennel kezdtiik. A fogalom sokat veszthet erzekletessegenek vonzerejebol, de a gondolatok birodalmaban valtozatlan vagy eppen nagyobb osszefogo erovel bir, es a homalyos helyett szabatos. A ketoldali szimmetriat ezzel a nagyszerii, az i. e. IV. szazadbol valo szoborral, egy imadkozo fiii szobraval kezdem fejtegetni (2. abra), hogy szinte mar mint szimbolumban erzekeltessem vele e szimmetriafajta fontossagat az eletben, a miiveszetekben. Kerdezheti valaki: a szimmetria esztetikai erteke az eletben jatszott szerepere tamaszkodik-e, avagy az esztetikai ertek fiiggetlen szarmazasii? Hajlamos vagyok Platonnal azt gondolni, hogy mindkettonek a matematikai idea a forrasa: a termeszeti szimmetria a termeszetet kormanyzo matematikai torvenyekbol ered, a miiveszeti pedig az alkoto miivesznek az ideara valo intuitiv raerzesebol; mindazonaltal hajlando vagyok elfogadni, hogy a muveszetben emellett meg az emberi test kulso megjelenesenek ketoldali szimmetriaja is hatott. Az okori nepek kozott a sumerok lathatolag kiilonosen kedveltek a szigoni ketoldali vagy heraldikai szimmetriat. Egy jellegzetes minta az i. e. 2700 koriil Lagas varosaban uralkodo Entemena kiraly hires eziistedenyen szembetekinto, oroszlanfejii sast abrazol, a sas labai egy-egy oldalnezetben latszo szarvas hatan nyugszanak; a szarvasokra elolrol oroszlanok rontanak (a felso sor szarvasait az also sorban kecskek valtjak fel) (3. abra). A sas pontos szimmetriajat nyilvanvaloan csak kettozessel lehet a tobbi allatra is kiterjeszteni. Nem sokkal kesobb a sas mar ket, clienteles oldalra fordulo fejj'el jelenik meg, a formai 17
3. dbra
szimmetriaelv igy teljesen folebe kerekedik a termeszethu utanzas elvenek. Ez a heraldikai kompozicio azutan tovabbkovetheto Perzsiaban, Sziriaban, majd Bizancban, es aki mar a vilagon volt az elso vilaghaboru elott, emlekezni fog a ketfeju sasra a cari Oroszorszag es az Osztrak— Magyar Monarchia cimereben. 19
5. 20
Nezziik most ezt a sumer kepet (4. abra). A ket sasfejCi ember majdnem szimmetriaban all, de megsem egeszen; miert nem? Egy / egyenesre valo sikgeometriai tiikrozes elvegezheto a siknak az / egyenes koriili 180°-os elforgatasaval. Ha a karokra tekintenek, azt fogjak mondani, hogy e ket szornyalak ilyen elforgatassal adodik egymasbol; a terbelisegUket felidezo takarasok kovetkezteben e sikbeli kepnek nem is lehet ketoldali szimmetriaja. A miivesz megis erre torekedett, felig elforditva a szemlelotol a ket alakot, s eszerint elrendezve meg a szarnyakat es a labakat is: a bal oldali alaknak a jobb szarnya hajlik le, a jobb oldalinak a bal. Gyakori a szimmetria a babiloni hengeres pecsetnyomok mintain. Hajdani kollegam, nehai Ernst Herzfeld gyiijtemenyebol emlekszem olyan rajziiakra, melyeken valamely oldalrol megmintazott istensegnek a szimmetria kedveert nemcsak a feje volt megkettozve, hanem bikateste is, ketto helyett negy hatulso labbal. A kereszteny idokben az lirvacsora egyes abrazolasain talalni hasonlot, mint ezen a bizanci ostyatanyeron is (5. abra), ahol ket szimmetrikus Krisztus fordul a tanitvanyok fele. De itt a szimmetria nem teljes, es ez tulmutat a forman: Krisztus az egyik oldalon ugyanis kenyeret tor, a masikon bort ont. Sumer es Bizanc kozott vegyuk Perzsiat: ezek a mazas szfinxek (6. abra) Dareiosz Marathon idejen epiilt sziizai palotajabol valok. Az Egei-tengeren atkelve a tiriinszi Megaronban talalunk ezekre a keso hellasz-kori, az idoszamitas elotti 1200-as evekbol maradt padlomintakra (7. abra). Aki erosen hisz a tortenelmi folytonossagban 21
6. Abra
S.
es kolcsonhatasokban, az a tengeri elet kecses abrazolasat, a delfint es a nyolckarii polipot a korabbi idokbol Kreta minoszi kultiirajaig meg fogja talalni, a heraldikai szimmetriaban pedig vegso soron sumer hatast fedezhet fel. Ezredeveket atugorva is latjuk miikodni e hatasokat, ezen az i. sz. XI. szazadi tablan (8. abra), mely az italiai Torcello domjanak szentelyracsabol valo. A szololevelek kozt fenyokutbol ivo pavak okereszteny szimbolumai a halhatatlansagnak; a heraldikus szerkezeti szimmetria keleti szarmazek. 23
foglalkozunk majd.) A szimmetria elve kevesbe szigoriian ervenyesiil egy, Krisztust angyaloktol 6'vezve abrazolo, korabbi mozaikon, a ravennai San Apollinareban (11. abra). A monrealei mozaikon Maria peldaul szimmetrikusan, aldast oszton tartja a ket kezet, itt csak csupa jobb kez emelkedik fel. Meg nagyobb teret nyert az aszimmetria a kovetkezo kepen (12. abra), a velencei San Marco dombormuvu bizanci ikonjan. Ez egy deeszisz,
A keletinek ellentetekeppen a nyugati miiveszet — ahogyan maga az elet is — hajlamos enyhiteni, feloldani, modositani a szigorii szimmetriat, sot akar megtorni is. Megis ritka, hogy az aszimmetria pusztan csak a szimmetria hianya volna. Meg az aszimmetrikus kompoziciokban is talalni szimmetriat, mint zsinormerteket, melytol elterni nem formai termeszetii erok kesztetnek. Ugy velem, jol peldazzak ezt a cornetoi Triclinium hires etruszk siremlekenek lovasai (9. abra). Mar emlitettem az lirvacsora-abrazolas kenyeret es bort oszto kettos Krisztusat. Ezen a mozaikon, mely az Ur mennybemenetelet abrazolja, es a sziciliai Monreale katedralisaban lathato, a kozepponti csoportozat, Maria s oldalan a ket angyal, majdnem tokeletesen szimmetrikus (10. abra). (A mozaik folott es alatt futo szalagdisszel a masodik eloadasban 24
10. dbra
25
ffi,hT6!fflS'ffift^^
/. dbra
es termeszetes, hogy a ket alak, aki irgalomert konyorog a vegiteletet hirdeto Orokkevalo oldalan, nem lehet egymasnak tukorkepe, leven a jobboldalt allo a Sziizanya, a bal oldali Keresztele Szent Janos. A megbontott szimmetria peldajakepp gondolhatnak a keresztfa ket oldalan allo Mariara es Janos evangelistara is. Itt, ahol a ketoldali szimmetria szabatos matematikai fogalma az Ausgewogenheit* homalyba veszo fogalmava, kiindulasi pontunk kiegyensulyozott kompoziciqjava oldodik, mar nyilvanvaloan fonnakadunk. ,,A szimmetria — mondja Dagobert Frey A miiveszeti szimmetria problemdjdrol cimii cikkben3 — nyugalmat es kotelmet fejez ki, az aszimmetria mozgast es oldodast, rendet es torvenyt az egyik, a masik 6'nkenyesseget es veletlenseget, formai szigort es kenyszert amaz, ez eletet, jatekot es szabadsagot." Isten vagy Krisztus mint az orokkevalo igazsag vagy jog szimbolumai mindig szimmetrikusan, szembol vannak abrazolva, sohasem oldalrol. Valosziniileg hasonlo okok miatt tukorszimmetrikusak a kozepiiletek es a templomok, legyenek akar gorog templomok, akar kereszteny bazilikak vagy katedralisok. Bar az is igaz, hogy a gotikus templomoknak nemritkan nem egyforma a ket tornyuk, ahogyan peldaul Chartres-ban is. Ennek oka azonban szinte mindenkor a katedralis torteneteben keresendo, abban, hogy a tornyok kiilonbozo korszakokban epiiltek. Ertheto, hogy egy kesobbi kor mar nem eri be az elodok elgondolasaval, ennelfogva itt torteneti aszimmet* Ausgewogenheit = kiegyensiilyozottsag. (A ford.)
12. dbra 26
8
Studium Generale, 276. old.
27
felepitesiik belso aszimmetriajat a polaros leny polarizacios sikjanak balra vagy jobbra forgatasaval aruljak el; ugy ertve ezt, hogy a siknak a feny adott beesesi iranyahoz tartozo forgasiranya es a fenyterjedesi irany egyiitt balcsavart alkot (vagy az esettol fiiggoen eppen jobbcsavart). Midon az elobb azt mondtuk — itt most a leibnizi szohasznalattal elve —, hogy jobb es bal megkulonboztethetetlen, azt akartuk kifejezni, hogy a ter belso szerkezete — az onkenyes valasztas adta lehetoseget nem szamitva — nem ad modot kiilonbsegtetelre balra es jobbra csavarodas kozott. Szeretnem e sarkalatos fogalmat meg tovabb pontositani, minthogy rajta nyugszik az egesz relativitaselmelet, maga is ujabb megnyilvanulasa a szimmetrianak. Eukleidesz szerint a ter strukturaja leirhato nehany, pontok kozotti vonatkozassal, olyanokkal, mint: az ABC harmas egy egyenesen fekszik; az ABCD negyes egy sikban; az AB kongruens CD-vel (13. abra). A terszerkezet leirasara talan a Helmholtz altal hasznalt modszer a legjobb; ez egyediil az alakzatok egybevdgosdganak fogalmara epit. A ter egy S lekepezese minden p ponthoz hozza-
riarol beszelhetiink. Tiikorkepek ott keletkeznek, ahol van tiikor, akar a taj kepet visszavero totiikor, akar az asszonyok arcmasat visszaado iivegtukor. A termeszet eppiigy el e motivummal, mint a festok. Gondolom, azonnal esziikbe jutnak ilyesfajta peldak. Minthogy dolgozoszobamban mindennap latom, nekem Hodler Silvaplanatava a legismerosebb. Jollehet a miiveszetrol lassan mar atteriink a termeszetre, alljunk meg meg nehany percre, es beszeljiink a jobb es bal matematikai ertelmetol. A tudomany szamara jobb es bal kozt nines benso kiilonbseg, ellentet, mint van peldaul him es nosteny, vagy egy allat eliilso es hatulso fele kozott. Mi a jobb es mi a bal: ezt csak onkenyes valasztassal lehet eldonteni. De ha ez megtortent egyetlen testre vonatkozolag, akkor mar meg van hatarozva minden mas testre nezve is. Ehhez nemi magyarazatot kell fiiznom. A terben a jobb es bal kozotti kiilonbsegtetel egy csavar iranyitasahoz kotodik. Ha balra fordulasrol szolunk, azt ertjiik rajta, hogy elfordulasunk iranya a labunktol fejiinkig mutato irannyal egyiittesen balcsavart kepez. A Fold napi forgasa a Deli-sarktol az Eszaki fele mutato tengelyiranyitassal: balcsavar, a tengelyt ellentetesen iranyitva viszont jobbcsavar.* Leteznek olyan, optikailag aktivnak nevezett kristalyos anyagok, amelyek
B
* A szerzo szohasznalataval szemben a szokasos megallapodas az, hogy a csavarmozgas jobb menetu, vagy jobbra csavarodo, ha a haladas iranyaba nezve a koriilforgas iranyat az oramutato koriiljarasi iranyaval megegyezonek latjuk. Eszerint balra fordulaskor forgasunk iranya labunktol fejiink fele mutato irannyal kombinalva jobbcsavart kepez. S. Gy.
13. abra 29
28
I
rendel egy p' pontot. Egy S es S':p -*• p' es p' -* p lekepezespart, melyben a lekepezesek egymasnak inverzei, vagyis ha S a p-t //-be viszi, akkor S' e p'-t visszaviszi p-be, es viszont, kolcsonosen egyertelmii lekepezesparnak vagy transzformdcidpdrnak mondanak. Az olyan transzformaciokat, melyek megorzik a terszerkezetet — s ha e szerkezetet Helmholtz modszerevel irjuk le, ez annyit tesz, hogy az ilyen transzformacio barmely ket, egymassal egybevago alakzatot ismet egymassal egybevago alakzatokba visz at —, tehat az ilyen transzformaciokat a matematikusok automorfizmusoknak nevezik. Leibniz fedezte fel, hogy e gondolat rejtozik a hasonlosag geometriai fogalmanak melyen. Egy automorfizmus minden alakzatot olyanba visz at, mely Leibniz szavaival elve ,,tole megkiilonboztethetetlen, ha az alakzatokat onmagukban tekintjiik". Jobb es bal egylenyegunek nyilvanitasan azt a tenyt ertjiik, hogy a sikbeli tukrozes automorfizmus. A teret mint magaban levot a geometria vizsgalja. De a ter az osszes fizikai esemenynek is kozege. A fizikai vilag szerkezetet az altalanos termeszeti torvenyek tarjak fel. Ezek bizonyos alapmennyisegek reven fogalmazodnak meg, melyek a ternek s idonek fiiggvenyei. Ha e torvenyek nem lennenek mindenestiil invariansak a tiikrozesre, akkor arra kovetkeztethetnenk, hogy — kepiesen szolva — a ter fizikai szerkezete ,,csavart rejt". Ernst Mach emliti, micsoda szellemi megrazkodtatast elt at gyermekkoraban, azt tanulvan, hogy a magnestli bizonyos iranyban aramot vivo vezetek fole fuggesztve balra vagy jobbra kiter (14. abra). Mivel az egesz geometriai es fizikai elrendezes, az elekt30
14. dbra
romos aramot es a magnestli eszaki es deli sarkat is beleertve, minden latszat szerint szimmetrikus a vezeteken es a tun atmeno^sikra, a magnestiinek ligy kellene reagalnia, mint Buridan szamaranak a ket egyforma szenacsomo kozott, megtagadva a valasztast jobb es bal kozott, ahogyan az egyen16 sulyokkal terhelt egyenlo karu merleg sem billen se jobbra, se balra, hanem vizszintes marad. De a latszat neha megteveszto. A gyermek Mach dilemmaja abbol fakadt, hogy nagyon is hamar itelte meg, milyen hatast tesz a tukrozes az elektromos aramra, valamint az eszaki es deli magnessarokra. Mig azt a priori tudjuk, mi tortenik tiikrozeskor a geometriai objektumokkal, a fizikai mennyisegek viselkedeset a termeszettol kell megtanulnunk. Es mit tala31
lunk: az E sikra valo tiikrozeskor az aramirany megmarad, ellenben az eszaki es deli sarok felcserelodik. Persze ez a jobb es bal egyenrangiisagat helyreallito kiut egyediil a pozitiv es negativ magnesseg lenyegi egyenlosege folytan jarhato. A ketsegek mind eloszlottak, amikor kideriilt, hogy a tii magnessege molekularis termeszetii, a tiiiranyt koriilfolyo elektromos aramoktol ered; nyilvanvalo, hogy az E sikra tiikrozve az ilyen aramok folyasiranya az ellenkezqjere valtozik. A vegeredmeny tehat az, hogy az egesz fizikaban semmi sem latszik belso kiilonbsegre utalni jobb es bal kozott. Mikent egyenertekii a ter 6'sszes pontja es iranya, egyenertekii a jobb es bal is. Helyzet, irany, jobb es bal viszonylagos fogalmak. Teologiaval athatott stilusban e relativitasi kerdes hosszasan taglaltatott Leibniz es a Newton szoszolqjakent fellepo Clarke lelkesz kozott hires vitajukban.4 Az abszolut terben es idoben hivo Newton a mozgasban bizonyitekot latott a vilag Isten szabad akaratabol valo teremtetesere, hisz kiilonben megfoghatatlan volna, miert mozog az anyag epp ebben, s nem valamilyen mas iranyban. Leibniz ovakodik Istent affele dontesekkel terhelni, mint az ,,elegseges ok" hianya. Ezt mondja: ,,A teret magaban is valonak feltetelezve keptelenseg okat adni, miert helyezte Isten a testeket (kolcsonos tavolsaguk es viszonylagos helyzetiik bolygatasa nelkiil) eppen erre a kiilonleges helyre, s nem valahova mashova; 4
Lasd G. W.Leibniz, Philosophische Schriften (Gerhardt kiadasaban, Berlin 1875 es utana) VII, 352-440. oldaldt, kulonosen Leibniz harmadik leveled, §5.
32
pdldanak okaert nem forditott rendben, felcserelve Keletet es Nyugatot. Ha viszont a ter nem egyeb, mint a dolgok terbeli rendje es viszonya, akkor az imenti ket allapot, a valosagos es a forditottja, semmiben sem kiilonbozik... es kovetkezeskeppen teljes ertelmetlenseg azt kerdezni, miert volt elobbrevalo az egyik allapot a masikkal szemben." A jobb es bal problemajan elmelkedve Kant jutott eloszor a ter es ido szemleleti formakent valo felfogasara.5 Igy latszik velekedni: Ha a teremtesben Isten elso cselekedete egy bal kez megalkotasa volt, akkor e kez, meg mielott barmi egyebbel b'sszehasonlithato lett volna, mar birt a bal megkiilonbozteto jegyevel, mely jegy csak intuitive foghato fel, fogalmilag soha. Leibniz tagadja ezt: szerinte mit sem szamitott volna, ha Isten eloszor ,,jobb" kezet teremt, s nem ,,balt". A teremtest egy lepessel tovabb kell kovetni, ahol mar lehetseges elteres. Ha Isten ahelyett, hogy eloszor egy bal kezet, majd egy jobbot teremt, jobbot es megint egy jobbot csinal, nem elso tettevel masitotta volna meg a vilag arculatat, hanem a masodikkal, midon olyan kezet alkotott, mely egyforma iranyitasii az elsovel, nem pedig ellentetes. A tudomanyos gondolkodas Leibniz partjan all. A mitikus gondolkodas mindig is az ellenkezo velemenyen volt, amint ez kitunik a jobbnak es balnak oly szoges ellentet szimbolumakent valo hasznalatabol, mint a jo es rossz. Eleg, ha csak a jobb szo kettos jelentesere gondolunk. A Sixtus-kapolna nevezetes Michelangelo-mii5
,,Kritik der reinen Vernunft"-ja mellett lasd meg kivalt a Prolegomena zu einer jeden kunftigen Metaphysik... 13. §-at. 33
15. dbra
venek, az Adam teremtesenek (15. abra) e reszleten az Ur jobb felol, jobb kezevel bocsat eletet Adam baljaba. Az emberek jobbjukkal fognak kezet. A latinban a sinister szo jeloli a bait, es a heraldikaban ma is ezt mondjak a pajzs bal oldalara. De a sinistrum egyben a rossz is, es a koznapi angolsagban a latin szonak csak ez a kepes ertelme maradt fenn.6 A Krisztussal megfeszitett ket lator kozul a jobb keze feloli jut majd vele a paradicsomba. Szent Mate igy irja le az utolso iteletet (25. Resz): ,,Es allattya a Juhokat jobb keze felol, a ketskeket pedig bal keze felol. Akkor azt mondgya a' kiraly azoknak az kik 6
Tudomasom van arrol a furcsa tenyrol, hogy a romai augurok nyelveben a sinistrum mint terminus technicus 6pp ellenkezo 6rtelemben, kedvezo jelent&ben volt hasznalatos.
34
az 6 jobb keze felol lesznek: Jertek el en Atyamnak aldottai, birjatok az orszagot, mely megkeszitetett nektek ez vilagnak fundamentomanak fel vetese elott. . . . Akkor szol azoknak is kik az 6 bal keze felol lesznek, ollyan modon: Atkoztak, mennyetek el en tolem, az orok tiizre, mely keszitetett az Ordognek es az 6 Angyalinak."* Eszembe jut Heinrich Wolfflin egy hajdan Ziirichben tartott eloadasa, a ,,Jobb es bal a festeszetben"; roviditett alakban ,,Az inverzio (Umkehrung) Raffaello karpitterveiben" cimii cikkel egyiitt megtalaljak a Gedanken zur Kunstgeschichte, 1941 c. muveben. Szamos peldaval, igy Raffaello SixtusiMadonnd]ava\s Rembrandt A hdrom fa cimii rezkarcaval igyekezett kimutatni, hogy a jobbnak mas a Stimmungswertje,** mint a bale. Ugyszolvan minden sokszorosito modszer folcsereli a jobbot es a bait, s mintha a korabbi idok kevesbe lettek volna erzekenyek az effele megforditasra. (Meg Rembrandt sem atallotta a Levetel a keresztroli oldalforditott rezkarcban arulni a piacon.) Tekintve, hogy mi sokkal tobbet olvasunk, mint mondjuk a XVI. szazadiak, kezenfekvo a folteves, hogy a Wolfflin altal kimutatott kiilonbseg osszefiigg a balrol jobbra olvasas szokasaval. Ahogy emlekszem, maga elutasitotta ezt a felfogast, akarcsak az eloadas utani eszmecsereben felhozott szamos egyeb lelektani magyarazatot. A nyomtatott szoveg azzal a megjegyzessel zarul, hogy a problemanak ,,nyilvanvaloan melyek a gyokerei, es erzekelesiinknek legmelyebb alapjaiig * Karoli Gaspar Vizsolyi. ** Stimmungswert: hangulati ertek. (A ford.) 35
nyiilnak". Ami engem illet, ennyire talan nem veszem komolyan a dolgot.' A jobb es bal egyenrangusaganak bizonyossagat meg egyes, mindjart emlitendo tenyek sem renditettek meg a tudomanyban, meg ha olyba tiint is, hogy inkabb cafoljak az ekvivalenciat, mint az ifju Machot annyira megrazo magnestiikiteres. Ugyanilyen egyenertekiisegi kerdes meriil fel az idoirany megforditasakor felcserelodo multat es jovot, valamint a pozitiv es negativ elektromossdgot illetoen. Ez esetekben, kivalt a masodikban, talan meg vilagosabb, mint a jobb—bal pareban, hogy az a priori nyilvanvalosag nem elegendo a kerdes tisztazasahoz, tapasztalati tenyeket kell iranyadoul venni. Bizonyos, hogy a multnak es jovonek tudatunkban jatszott szerepe jelzi is mar belso kiilonbsegiiket — a mult ismerheto es valtoztathatatlan, a jovo ismeretlen es mostani dontessel meg befolyasolhato —, s arra szamithatna valaki, hogy e kiilonbseg a fizikai termeszettorvenyekben gyokerezik. De mindazok a torvenyek, melyeknek meglehetosen biztos ismeretevel dicsekedhetiink, az idoirany megforditasara invariansak, akarcsak a jobb es bal felcserelesere. Leibniz tisztazta, hogy az ido rmilt es jovo modusa a vilag oksdgi szerkezetere utal. S bar igaz, hogy a kvantumfizika megfogalmazta pontos ,,hullamtorvenyek" nem
7
V6. meg a kovetkez6kkel: A. Faistauer, ,,Links und rechts im Bilde", Amicis, Jahrbuch der ijsterreichischen Galerie, 1926,77. old.; Julius v. Schlosser, ,,Intorno alia lettura dei quadri", Critica 28, 1930, 72. old.; Paul Oppe, ,,Right and left in Raphael's cartoons", Journal of the Warburg and Courtauld Institutes 7, 1944. 82. old.
36
valtoznak meg az idoirany megforditasaval, e torvenyek statisztikai interpretacioja reven a valoszinviseg es a reszecskek altal az oksag metafizikai eszmeje az ido egyiranyusagaval egyiitt megiscsak bekeriilhet a fizikaba. Meg nagyobb bizonytalansagot hagy mai fizikai tudasunk a pozitiv es negativ elektromossag egyenertekusege felol. Neheznek tiinik olyan fizikai torvenyeket kigondolni, melyekben ne volnanak lenyegileg egyformak; mindamellett a pozitiv toltesii protonnak meg felfedezetlen a negativ megfeleloje.* E felig filozofiai kitero alapvetesiil volt sziikseges a termeszeti jobb— bal szimmetria targyalasahoz; meg kellett erteniink, hogy a termeszct altaldnos szervezettsege rendelkezik e szimmetriaval. Megsem fogjuk azt varni, hogy minden egyes termeszeti targy maga is ilyen legyen. Meglepo, hogyajobb—balszimmetriamegismennyireszeles korii. Ennek oka kell legyen, s nem is kell sokaig keresni: az egyensiilyi allapot valosziniien szimmetrikus. Pontosabban, olyan ko'rulmenyek kozott, melyek egyetlen egyensulyi allapotot jelolnek ki, a koriilmenyek szimmetriajanak meg kell jelennie az egyensulyi helyzetben. Ezert gomb alakiiak a teniszlabdak es a csillagok, es az volna a Fold is, ha nem forogna a tengelye koriil. A sarkoknal belapitja a forgas, de azert a tengelye koriil forgas- vagy hengerszimmetrikus. Nem aforgasszimmetria szorultehat magyarazatra, hanem a tole valo, a szarazfoldek es vizek szabalytalan eloszlasaban es a foldfeliilet apro hegykitiiremkedeseiben meg* Ma mar a legtobb elemi r&znek, igy a protonnak is ismeretes a toltestiikrozessel eloallo antireszecskeje. (A ford.) 37
nyilvanulo elteresek. Wilhelm Ludwig zoologiai jobb — bal-kerdesrol irott monografiajaban ezert ejt csak keves szot az allatvilagban a tiiskesboriiektol kezdve jelenlevo ketoldali szimmetria eredeterol, annal tobbet viszont a szimmetrikus alapokon kialakulo masodlagos aszimmetriak minden fajtajarol.8 Idezem: ,,Az emberi test, ahogyan a tobbi gerinceseke is, alapjaban szimmetrikusan epiil fel. Minden elofordulo aszimmetria masodlagos termeszetii, es a leglenyegesebbek, a belso szerveket erinto aszimmetriak fokent abbol a sziiksegbol adodnak, hogy a test novekedtevel a belvezetek feliilete e novekedest meghalado aranyban nagyobbodjek, s e hosszabbodas csavarodashoz es osszegongyolodeshez vezet. A torzsfejlodes soran pedig ezek a belrendszerrel kapcsolatos aszimmetriak e rendszer jarulekos szervei reven mas szervrendszerekre is kiterjednek." Tudvalevo, hogy az emlosok szive aszimmetrikus csavarodasii, ahogyan a 16. abra vazlatosan mutatja. Ha a termeszet mero torvenyszeruseg volna 16. dbra csak, akkor minden jelenseg osztoznek a relativitaselmelet megfogalmazasaban adott altalanos termeszettorvenyek teljes szimmetriajaban. Mar a puszta teny, hogy nem igy van, bizonyitja, hogy a veletlenseglenyeges vonasa a vilagnak. Clarke Leibnizcel valo vitajaban elfogadta az elegseges ok leibnizi elvet, de hozzatette, hogy gyakran elegseges
8
W. Ludwig: Rechts-links-Problem im Tierreich und bei Menschen, Berlin 1932.
38
indok a puszta isteni akarat. Ugy velem, itt Leibniz, a racionalista, hatarozottan teved, es Clarke van jo nyomon. Csakhogy oszintebb dolog lenne mindenestiil elvetni az elegseges ok elvet, s nem Istent tenni felelosse a vilag minden kovetkezetlensegeert. Masfelol Leibniznek volt igaza Newtonnal es Clarke-kal szemben a relativitasi elv megsejteseben. Az igazsag, ahogyan ma latjuk: A termeszet torvenyei nem egyertelmiien hatarozzak meg a tenylegesen letezo, egyetlen vilagot, meg ha feltennok is, hogy ket, automorf — vagyis az altalanos termeszettorvenyek ervenyet megorzo — transzformacioval osszekapcsolt vilag egyugyanazon vilagnak tekintendo. Ha egy anyaghalmazra nezve a termeszettorvenyekben rejlo atfogo szimmetriat csak e halmaz P helyzetenek esetlegessege korlatozza, akkor a halmaz egy P koriili gomb alakjat veszi fel. Az alsobbrendii allatok, a vizben lebego apro elolenyek ezzel osszhangban tobbe-kevesbe gombolyuek is. Az ocean feneken elo fajok alakformalodasaban nagy szerepe van a gravitacionak, minthogy a szimmetriamiiveletek halmazat a P koriili osszes elforgatasbol valamely tengely koriili elforgatasokra szukiti le. A viz, a levego es a foldfelszin sajat erobol mozgo allatainal a test hatsomellso mozgasi iranya es a gravitacios irany mar egyforman fontos szerepet jatszik. A mellso-hatso, a hathasoldali s ezzel a jobb-bal tengely kijelolese utan egyediil a jobb es bal kozotti kiilonbsegteves marad tetszoleges, igy e fokon nem varhato a ketoldalinal magasabb rendii szimmetria. Azok a hatasok, amelyek a torzsfejlodesben torekednek orokletessetenni a jobb es bal kozotti kiilonbsegeket, valoszinuleg hatterbe szorulnak az allat mozgasszer39
veinek — a csilloszorok vagy az izmok es a vegtagok — szimmetrikussagabol fakado elonyok mellett: ha aszimmetrikusan fejlodnek, az egyenes iranyii mozgas helyett a csavarszerii lett volna termeszetes kovetkezmeny. Ez mar segithet megerteni, miert engedelmeskednek vegtagjaink hivebben a szimmetria torvenyenek, mint belso szerveink. Arisztophanesz Platon Lakomdjaban mas tortenettel mondja el, hogyan lett a gombszimmetriabol ketoldali szimmetria. Eredetileg — igy 6 — minden ember kerek volt, hata s oldala kort alkotott. Zeusz, hogy gogjiiket es erejiiket megtorje, kettobe vagta oket, s Apollonnal megfordittatta arcukat es nemi szerveiket; Zeusz meg fenyegetozott: ,,Ha ezutan sem hagynak fel a pimaszsaggal, megint szetvagom oket, aztan majd ugralhatnak fellabon." A szervetlen vilagban a kristalyok a szimmetria legfeltun6bb peldai. Az anyag ket jol meghatarozott allapota a gaznemii es a kristalyos, melyeket a fizika viszonylag konnyen magyarazhatonak talalt; az e ket szelsoseg kozotti allapotok, mint a folyekony vagy a keplekeny halmazallapot, mar kisse nehezebben foghato meg elmeletileg. Gaznemu allapotban a molekulak szabadon mozognak a terben, egymastol fiiggetlen helyeken es sebesseggel. Kristalyallapotban az atomok egyensulyi pontok korul oszcillalnak, mintha rugalmas szalakkal volnanak kotve. Ezen egyensulyi helyzetek allando, szabalyos terbeli konfiguraciot alkotnak. Mit ertunk itt szabalyoson, es hogyan szarmaznak a kristaly lathato szimmetriai e szabalyos atomelrendezodesbol, ezt a kovetkezo eloadasban fogjuk tisztazni. Jollehet, a geometriailag lehetseges 40
harmincket kristalyszimmetria-rendszer legtobbjevel vele jar a tukorszimmetria, de megsem mindegyikkel. Es ahol nem, ott elofordulhatnak ugynevezett enantiomorf kristalyok, melyek jobb es bal ,,alak"-ban leteznek, egymasnak tiikorkepekent, mint a jobb es a bal kez. Az optikailag aktiv — vagyis a polaros feny sikjat jobbra vagy balra forgato — anyagokrol felteheto, hogy ilyen aszimmetrikus alakban kristalyosodnak. Ha a termeszetben letezik balra forgato, akkor varhatoan megtalalhato a jobbra forgato is, megpedig atlagban ugyanolyan gyakorisaggal. 1848ban Pasteur felfedezte, hogy ha az optikailag semleges racem sav (a szolosav) natrium-ammonium sojat vizes oldatabol alacsony homersekleten ujra kristalyositja, akkor ketfajta apro kristalykat kap, melyek egymasnak tiikorkepei. Gondos szetvalogatas utan a ketfajta kristalybol felszabaditott sav a racem sawal azonos kemiai osszeteteliinek bizonyult, csak az egyik optikailag balra forgato volt, a masik jobbra forgato. Emerrol kideriilt, hogy megegyezik az erjedo szololeben megjeleno borkosawal, amazt addig sohasem talaltak a termeszetben. ,,Tudomanyos felfedezesnek ritkan vannak olyan messzehato kovetkezmenyei — mondja F. M. Jaeger A szimmetriaelvrol es termeszettudomanyi alkalmazdsairol tartott eloadasaiban —, mint ennek voltak." Teljesen nyilvanvalo, hogy az oldat valamely pontjaban aligha ellenorizheto veletlenek hatasara keletkezik jobbra forgato vagy balra forgato kristaly; es igy az oldat egeszenek szimmetrikus es optikailag semleges voltaval, valamint a veletlen torvenyevel osszhangban a kivalo balra forgato es a jobbra forgato anyagmennyiseg minden pil41
lanatban egyenlS, vagy csak kevessel kiilonbozik a kristalyosodas egesz meneteben. Masreszt a termeszet, megajandekozvan benniinket a Noenak oly nagy gyonyoriisegere levo szolovel, csupan az egyik fajtat allitotta elo, s Pasteurnek maradt a masikat letrehozni! Ez mar csakugyan kiilonos. Teny, hogy a szamtalan szenvegyiiletbol a legtobb csak egy alakban letezik a termeszetben, vagy a jobb, vagy a bal valtozat. A csigahaz csavarodasi iranya genetikai alkatban gyokerezo orokletes sajatsag, akar a ,,bal sziv" es a belvezetek tekeredese a Homo sapiensnel. Emellett azert inverziok is lehetsegesek, peldaul az emberi belrendszer situs inversuss, 0,02 szazalekos gyakorisaggal; erre kesobb meg visszateriink! Testiink melyebb kemiai felepitese is azt mutatja, hogy ,,csavar" van benniink, mindiinkben ugyanolyan iranyultsagu. Igy szervezetiink gliikozbol a jobbra forgato alakot tartalmazza, fruktozbol a balra forgatot. E genotipusos aszimmetrianak kellemetlen megnyilvanulasa a fenilketonuria* neven ismert, elmebajt okozo anyagcsere-betegseg, mely akkor tamadja meg az embert, ha etelebe nemi bal modosulatii fenil-alanin** keriil; a jobb modosulatnak nines ilyen veszes hatasa. Az elo szervezetek aszimmetrikus kemiai felepitesenek tulajdonitando, hogy e Pasteur-fele mod* A tudomany mai allasa szerint e betegseg oka: genetikai alapon kifejlodfi enzimdefektus. A fenil-alanin - tirozin atalakulas elmarad, igy a fenil-piroszolosav es szdrmazekai felszaporodnak, amelyek a kijzponti idegrendszert karositjak. (A Kiado) ** A taplalekbol felszivodott fenil-alanin, mivel feherje eredetQ, mindig balra forgato valtozat. A jobbra forgato m6dosulat a szervezet enzimrendszereivel nem lep kolcsonhatasba. (A Kiado)
42
szerrel — bakteriumok, gombak, elesztogombak enzimhatasaval — szetvalaszthatokajobbesabalmodosulatok. Igy Pasteur azt talalta, hogy bizonyos racematok kezdetben semleges oldata fokozatosan balra forgatova valik, ha Penicillium glaucum tenyeszik benne. Az organizmus nyilvan a sajat kemiai felepitesehez inkabb illo borkosav-molekulat valasztotta taplalekul. Szokas a zar es a kulcs kepevel szemleltetni a szervezetek e miikodesbeli sajatsagat.
Tekintve az emlitett tenyeket, 6s azt, hogy az optikailag kozombos anyagokat tisztan kemiai eszkozokkel ,,aktivalni" igyekvo probalkozasok mind sikertelenek maradtak, 9 ertheto, ha Pasteur kitartott allaspontja mellett, miszerint optikailag aktiv vegyiileteket eloallitani csak az eletnek kivaltsaga. 1860-ban irja: ,,Ez talan az egyetlen hatarozott valaszvonal, mely ma a holt es az elo anyag kemiaja kozott huzhato." Elso kiserletet — melyben a racem sav ujrakristalyositassal balra es jobbra forgato borkosav elegyeve valtozott — igyekezett a levegoben levo bakteriumoknak a semleges oldatra tett hatasaval magyarazni. Ma mar biztosan tudjuk, hogy nem volt igaza; jozan fizikai magyarazat szerint alacsonyabb homersekleten a ket, ellentetesen aktiv borkosav alak 9
Jelenleg egyetlen bizonyos eset ismeretes: a nitro-fahejsav brommal valo reakciqja, ahol is cirkularisan polarizalt feny hatdsara optikailag aktiv anyag keletkezik. [A szerzo dltal idezett 6s vitathato eredmennyel jaro, regi kiserletek mellett ma mar szamos olyan teny ismeretes, amcly azt bizonyitja, hogy cirkularisan po!4ros fenyben optikailag inaktiv anyagbol optikailag aktivat lehet eloallitani. - A Kiado}. 43
elegye stabilabb a semleges racem sav formanal. Ha letezik elvben kulonbseg elet es halal kozott, akkor nem az anyagi szubsztancia kemiajaban van. Ez mar bizonyossag, amiota Wohler 1828-ban tisztan asvanyi anyagokbol karbamidot szintetizalt. De F. R. Japp meg 1898-ban is fenntartotta a Pasteur-fele allaspontot a British Association elott tartott egyik hires, ,,Sztereokemia es vita 11/mus" c. eloadasaban, a kovetkezo modositasban: ,,Kizarolag az elo szervezet vagy szimmetriafogalommal biro elo ertelem produkalhatja ezt az eredmenyt (vagyis az aszimmetrikus vegyuletet)." Csakugyan azt gondolja, hogy Pasteur ertelme hozza letre — a kiserlet elgondolasaval — tulajdon maganak is amulatara a ketfele borkosavkristalyt? Japp folytatja: ,,Csak aszimmetria szulhet aszimmetriat." A kijelentes igazsagat kesz vagyok elismerni, csakhogy erteke csekely, mivel a jovot szulo jelen vilag veletlen multbeli es mai felepiteseben nincsen szimmetria. Van viszont egy valosagos nehezseg: Miert kellett a termeszetnek az enantiomorf parokbol igen sokszor csak azt a modosulatot eloallitania, amely szinte bizonyosan elo szervezetbol szarmazik? Pascual Jordan e tenyben abbeli velemenyet latja tamogatva, hogy az elet kezdetei nem valamilyen veletlen, a fejlodes meghatarozott fokan mar itt is, ott is feltiinedezo esemenyeknek tulajdonithatok, hanem egy nagyon is rendkiviili, valoszinutlen esetnek, mely egyszer, veletlenszeruen eloallvan, lavinaszeriien sokszorozodni kezd, onmagat hajtva. Ha ugyanis, szamos novenyben es allatban, fiiggetlen eredetu aszimmetrikus proteinmolekulak volnanak tobb helyen es tobb 44
idopontban is, akkor a bal es a jobb valtozatoknak egyforma bosegben kellene mutatkozniok. Igy hat mintha volna valami igazsag Adam es Eva historiajaban, ha nem is az emberi nem eredeteben, de az elet osformait tekintve. Voltakeppen ezekrol a biologiai tenyekrol mondottam korabban, hogy latszatra lenyegi kiilonbsegre utalnak a jobb es bal kozott, legalabbis ami a szerves vilag felepiteset illeti. Bizonyosak lehetiink azonban afelol, hogy e talany megoldasa nem valamifele altalanos biologiai torvenyekben rejlik, hanem a szerves vilag keletkezesenek veletlenjeiben. Pascual Jordan mutatott egy kiutat; akadhat, aki kevesbe radikalisat akarna talalni, peldaul a foldi lenyek aszimmetriajat maganak a Foldnek, vagy a Foldet ero napsugarzasnak valamilyen belso, mindamellett veletlen aszimmetriajara vezetve vissza. De e vonatkozasban nem ad kozvetlen segitseget sem a Fold forgasa, sem a Fold es a Nap egyiittes magneses tere. Megint mas lehetoseg volna azt feltenni: a fejlodes valqjaban az enantiomorf alakoknak egyenlo eloszlasaban kezdodott, de ez olyan instabil egyensiilyi allapot, hogy mar egy csekely veletlen zavar is felboritja. A torzsfejlodes jobb es bal problemaitol most forduljunk az ontogenezis (egyedfejlodes) fele. Ket kerdes keriil itt eloterbe: Egy allat megtermekenyiilt petejenek ket sejtre valo elso osztodasa kijeloli-e a kozepsikot, vagyis tartalmazza-e az egyik sejt a bal fel, a masik a jobb fel lehetosegeit?Masodszor: Mi jeloliki az elsoosztodas kozepsikjat?Kezdema masodikkal. A protozoaknal magasabb rendu allatok petejenek kezdettol fogva van egy polaris tengelye, amely osszekoti azt a ket pontot, amely 45
a holyagcsira animalis, ill. vegetativ polusava lesz. E tengely es az a pont, ahol a megtermekenyito ondoszal a petebe hatol, sikot hataroz meg, es igazan termeszetes gondolat lenne, hogy ez lesz az elso osztodas sikja. Es valoban, van ra bizonyitek, hogy ez sok esetben all is. A jelenlegi velemeny hajlani latszik a feltevesre, hogy az elsodleges polaritas, amint az azt koveto ketoldali szimmetria is, a genetikai felepites rejtett lehetosegeit valora valto kiilso tenyezok reven jon letre. A polaris tengely iranyat szamos esetben nyilvanvaloan meghatarozza az eretlen petesejtnek a petefeszek falahoz valo odatapadasa es a megtermekenyito ondoszal belepesi helye, mint mar mondottuk, legalabbis egyik, gyakran a leglenyegesebb meghatarozoja a kozepsiknak. De mas tenyezok is okolhatok a tengel y es a sik rogziileseert. A Fucus nevii tengeri moszatban feny, elektromos ter vagy kemiai gradiens jeloli ki a polaris tengelyt, egyes rovaroknal es fejlabuaknal pedig ugy tiinik, hogy a kozepsik — petefeszki hatasok reven — mintha mar a megtermekenyules elott meg volna hatarozva.10 Nemely biologusok egy belso, preformalt struktiiraban keresik azt az alapallomanyt, amelyre a hatoerok iranyulnak; errol mind10
Julian S. Huxley es G. R. de Beer: Elements of embryology c. klasszikus muvukben (Cambridge University Press, 1934) ezt a megfogalmazast adjak (Chapter XIV, Summary, 438. old.): ,,A legkorabbi szakaszokban a pete gradienster-tipusii egyseges szerkezettel bir, melyben egy vagy tobb mennyisegi jellemzo egy vagy tobb iranyban terjed ki a pete anyagaban. A felepites eleve megszabja, kepes-e a pete valamilyen adott tipusii gradiensteret elSallitani; a gradiensek elhelyezkedese azonban nincsen elore meghatarozva, az peten kiviili hatoeroktol fiigg."
46
eddig nines vilagos kepiink. Igy Conklin szivacsplazmaszerkezetrol beszel, masok sejtvazrol, s minthogy mostanaban a biokemikusok kozott er6sodo torekves rostokra visszavezetni a szerkezeti tulajdonsagokat, olyannyira, hogy — Joseph Needham Rendeseletcimu Terry Eloadasain (1936) azt az aforizmat kockaztatta meg, hogy a biologia joreszt rosttan - varhatoan azt deritik majd ki, hogy a pete e belso strukturaja hosszii proteinmolekulak vagy folyadekkristalyok alkotta vazbol all. Valamivel tobbet tudunk az elso kerdesrol, marmint hogy az elso osztodas felosztja-e a sejtet mindjart jobbra es balra is? A ketoldali szimmetria alapveto jellegebol itelve eleg kezenfekvonek latszik feltenni, hogy csakugyan igy van. A valasz megsem lehet feltetleniil igenlo. Meg ha a normalis fejlodesre igaz is lenne a hipotezis, az eloszor Hans Driesch altal elvegzett tengerisiin-kiserletekbol tudni khet, hogy ketsejt-allapotban a tarsarol levalasztott maganyos, barazdalodott sejt teljes, a normalistol csak kisebb meretevel eliito belcsirava fejlodik. Ime Driesch nevezetes abrai (17. abra). Felteendo, hogy ez nines igy minden fajnal. A Driesch-fele felfedezes a petereszek lehetseges es tenyleges rendeltetese kozotti kiilonbsegteveshez vezetett. Driesch maga jovobeli jelentosegrol beszel (prospektive Bedeutung), a jovobeli kepesseggel (prospektive Potenz) vetve ossze azt; ez bovebb jelentesii, mint amaz, de a fejlodessel a tagabb jelentes osszesziikiil. Hadd szemleltessem e sarkalatos pontot egy masik, a keteltiiek vegtagkezdemeny-meghatarozasabol vett peldaval. R. G. Harrison olyan kiserleteket vegzett, melyek soran atiiltetett a test kiilso falahoz tartozo korongokat, melyek 47
meg sziiksegkeppen egyszer s mindenkorra a jobbot es a bait. De az elso osztodas sikja meg zavartalan fejlodes mellett sem lesz feltetleniil kozepsik. A sejtosztodas elso stadiumat gondosan megfigyeltek az Ascaris megalocephala feregnel, melynek aszimmetrikusak az idegrendszeri reszei. A megtermekenyiilt pete egy / sejtre es egy kisebb, nyilvanvaloan mas termeszetii P sejtre oszlik (18. abra). Ezek a kovetkezo lepesben egymasra meroleges ket sik menten 7' + /"-re esPi+T-Vreosztodnak tovabb. Ezutan a Pi+P2 nyelelfordul,ugyhogyP2erintkezesbekeriil vagy /'-vel, vagy /"-vel; nevezziik ezt az erintettet 5-nek, a
17. dbra. AT. Echinus (tengeri siin) tobbespotencidljdra (pluripotencidljdra) vonatkozd kiserletek Q! is b^ Normdlis belcsira is normdlis echinopluteusz (pdlcds larva). 02 es b2. Fel-bilcsira is fel-echinopluteusz, Driesch vdrakozdsa szerint. 03 is b3. A lenylegesen taldlt kisebb, de teljes belcsira es echinopluteusz.
leendo vegtagoknak feleltek meg. Eszerint atiiltetessel meg akkor is megfordithato a hat—hasoldali es a kozeprol oldalra iranyulo tengely, amikor az elolrol hatrafele mutato tengely bizonyos idopontban mar rogziilt; ilyenforman e szakaszban a jobb—bal ellentet a korongoknak meg jovobeli Iehetos6gei, es a kornyezo szovetek befolyasatol fiigg, hogy e lehetoseg melyik irany kivalasztodasaval valosul meg. Drieschnek a normalis fejlodesbe valo eroszakos beavatkozasa igazolja: az elso sejtosztodas nem hatarozza 48
HATI
CO CO
O
18. dbra
49
masikat A-nak. Ezaltal egy romboidszerii alakot kaptunk, es AP2 nagyjabol az elolrol hatra mutato, BP\ a hat — hasoldali tengely. Csak a kovetkezo, az A-t es B-t elvalaszto sikra meroleges sik menten torteno osztodas vagja szimmetrikusan felbe A-t es B-t: A = a + a, B = = b + j3; ez a jobb es bal meghatarozqja. A keplet egy csekely tovabbi eltolodasa megtori e ketoldali szimmetriat. Felmeriil a kerdes, hogy a ket egymas utani eltolodas iranya vajon veletlen esemeny-e, mely eloszor az eliilso es hatulso, majd a jobb es bal kozott valaszt, vagy a pete felepitese tartalmaz olyan specifikus hatoanyagokat az egysejt-szakaszban, amelyek meghatarozzak ezen eltolodasok iranyat. Az Ascaris fajra vonatkozoan a masodik feltevest tamogato mozaikpete-hipotezis latszik megfelelobbnek. A genotipusos inverzionak szamos olyan esete ismeretes, ahol ket faj genetikai felepitese ugyanugy viszonylik egymashoz, mint ket enantiomorf kristaly atomi felepitese. Gyakoribb azonban a fenotipusos inverzio. Az ember balkezessege peldaja ennek. Mondok egy erdekesebbet. Nehany rakfelenek (pi. a homarnak) ket, morfologiailag es funkcionalisan is eltero olloja van, egy nagyobb, A, es egy kisebb, a. Tegyiik fel, hogy e faj szabalyosan fejlodo egyedein A lesz a jobb olio. Ha egy natal allatnak levagjak a jobb ollqjat, forditott regeneracio megy vegbe: a bal olio a nagyobb A alakka novekszik, mig a jobb helyen ujrano egy kisebb, a tipusii. Az ilyen es hasonlo tapasztalatokbol a sejtplazma kettos lehetosegere (bipotencialjara) kell kovetkeztetni, jelesiil arra, hogy minden olyan fejlesztoszovetnek, mely aszimmetrikus lehetoseget hordoz, modja van mind50
ketformat eloallitani, de ugy, hogy zavartalan kifejlodesnel mindig csak az egyik forma jon letre. Genetikailag meg van hatarozva, hogy melyik; rendhagyo kiilso koriilmenyek azonban inverziot eredmenyezhetnek. A forditott regeneracio e furcsa jelensegere alapozva Wilhelm Ludwig azzal allt elo, hogy az aszimmetriaban lenyeges tenyezok nem lehetnek olyasfajta specifikus lehetosegek, mint mondjuk az ,,A tipusii jobb lab" letrehozasa, hanem olyanok, hogy ket hatoanyag, ResL (nght = jobb es /eft = bal) valtja ki oket, melyek valamilyen gradienssel oszlanak el a szervezetben, az egyiknck jobbrol bal fele haladva csokken a koncentracioja, a masike az ellenkezo irany menten. A lenyeg az, hogy nem egyetlen gradiensmezo letezik, hanem ketto, az egymassal ellentetes R es L. Melyik keletkezik nagyobb bosegben: ezt a genetikai felepites szabja meg. Ha azonban a tobbsegben levo (dominans) hatoanyag valamilyen vesztesege folytan a korabban alarendelt masik jut tiilsulyra, akkor inverzio all elo. Matematikus, nem biologus leven, a legnagyobb ovatossaggal szamolok be minderrol, mi elottem folottebb hipotetikusnak tunik. Az azonban nyilvanvalo, hogy a jobb es a bal szembenallasa a szervezetek filo- es ontogeneziset erinto legmelyebb problemakkal all kapcsolatban.
ELTOLASI, FORGASI ES VELtJK ROKON SZIMMETRIAK
ELTOLASI, FORGASI ES VELl)K ROKON SZIMMETRlAK
A ketoldali szimmetriarol most masfajta geometriai szimmetriakra teriink at. Mar a ketoldali szimmetriat fejtegetve sem hagyhattam emlites nelkiil az egyeb szimmetriafajtakat, peldaul a henger- es gombszimmetriat. tJgy tiinik, a legjobb bizonyos szabatossaggal elore rogziteni az altalanos alapfogalmakat; evegbol sziikseg lesz egy kis matematikara, mihez tiirelmiiket kerem. Szolottam mar a transzformaciokrol. A ter egy S lekepezese minden terbeli p ponthoz hozzarendel egy p' pontot. Sajatos lekepezes a.minden p pontot onmagaba visszavivo / lekepezes is. Ha adva van ket lekepezes, S es T, ezek hathatnak egymas utan: ha S a p-t p'-be viszi at, a T a p'-i pedig //'-be, akkor az eredo lekepezes — melyet ST-vel jeloliink — a p-t p"-be viszi at. Lekepezesnek letezhet inverze, mellyel SS' = / es S'S — I, mas szoval ha S a //-be viszi at a tetszes szerinti p pontot, akkor 5" e p'-i visszaviszi a p-be, es ugyanez all, ha eloszor S' hat, es azutan S. Az ilyen kolcsonosen egyertelmii lekepezesekre a transzformacio kifejezest hasznaltuk az elso eloadasban; az inverzet jelolje S~\n az / azonos lekepezes transzformacio, es / onmaganak inverze. A sikbeli tiikrozes, a 55
ketoldali szimmetria alapmiivelete olyan, hogy ismetelt vegrehajtasa, SS az azonos lekepezest eredmenyezi, mas kifejezessel: S inverze 6nmaganak. A lekepezesek osszetevese altalaban nem kommutativ: ST-nek nem kell egyenlonek lennie rS-sel. Vegyiik peldakeppen a sik egy o pontjat, S1 legyen az o-i oi-be atvivo vizszintes eltolas, T pedig egy o koriili 90°-os elforgatas. Akkor STaz o-t az o2 pontba v viszi at (19. abra), TS i • viszont az 0i-be. Ha az °i S egy transzformacio, 19. abra es S~* ennek inverze, akkor S'1 is transzformacio, melynek inverze S. Ket transzformacio ST osszetetele ismet transzformacio, es (ST)'1 egyenlo r~1S~1-gyel (ebben a sorrendben!). E szabalyt, ha nem is matematikai alakjaban, mindannyian jol ismerik. Ruhavaltaskor nem mindegy, milyen sorrendben hajtjak vegre a muveleteket; s mig felo'ltozeskor az inggel kezdik es a kabattal vegzik, levetkozeskor forditott sorrendet figyelhetnek meg, eloszor a kabat kerul le, es az ing jon utoljara. Beszeltem azutan a ter transzformacioinakegyspecialis fajtajarol, amelyet a geometerek hasonlosagnak neveznek. Magam azonban inkabb az automorfizmus elnevezest hasznaltam, Leibniz nyonian olyan transzformaciokkent definialva ezeket, melyek nem valtoztatnak a ter szerkezeten. Pillanatnyilag nem fontos, minemii is ez a szerkezet. Vilagos mar a puszta definiciobol, hogy az 7 azonos leke56
pezesautomornzmus.es ha S is az, akkor inverze, S"1 is az. Azonfeliil az S es a T automorfizmus ST osszetevese ismet automorfizmus. Mindez csak maskenti kifejezese annak, hogy (1) minden alakzat hasonlo sajat magahoz, (2) ha az F' alakzat hasonlo F-hez, akkor F is hasonlo F'-hoz, (3) ha F hasonlo F'-hoz es F' az F"-hoz, akkor F hasonlo F"-hoz. A matematikusok a csoport szot valasztottak e teny megjelolesere, igy azt mondjak, hogy az automorfizmusok csoportot alkotnak. Transzformacioknak barmely r osszessege, halmaza csoportot alkot, ha teljesiilnek a kovetkezo feltetelek: (1) az / azonos lekepezes F-hoz tartozik, (2) ha S a f-hoz tartozik, akkor S~l is, (3) ha S es T hozzatartozik r*-hoz, akkor ST 6'sszeteteluk is. A terszerkezet egyik — Newton es Helmholtz altal eloszeretettel hasznalt — leirasi modja az egybevagosag fogalmara epiil. Egybevago terreszek azok, melyeket elfoglalhat egyazon merev test, ket kiilonbozo helyzeteben. Ahogyan az egyik helyzetbol a masikig mozgatjuk a testet, az egyik terresznek, a F-nek valamely p pontjat fedo reszecskeje ezutan a masik terresz, a V egy p' pontjat fogja fedni, igy a mozgas eredmenye a F-nek F'-re valo p -*• p' lekepezese. A merev testet akar valosagosan, akar kepzeletben kibovithetjuk a ter egy tetszoleges p pontjanak elereseig, ennelfogva a p — p' egybevagosagi lekepezes kiterjesztheto az egesz terre. Barmely ilyen egybevagosagi transzformacio — e newel illetem, mert nyilvanvaloan letezik p' — p inverze — hasonlosagi automorfizmus; konnyen meggyozodhetiink rola, hogy ez kovetkezik mar a definiciobol. Nyilvanvalo tovabba, hogy az egybevagosagi transzformaciok csoportot alkotnak, reszcsoportjat 57
az automorfizmuscsoportnak. Reszletezve a kovetkezo a helyzet. A hasonlosagok kozott leteznek olyanok, melyek nem valtoztatjak meg a testmereteket; ezeket mostant61 egybevagosagoknak fogjuk nevezni. Egy egybevagosag vagy valodi: bal csavart balba, jobb csavart jobba visz, vagy nemvalodi, tiikrozo: bal csavart jobbra valt es viszont. A valodi egybevag6sagokat neveztuk elobb — valamely merev test pontjainak mozgas elotti es utani helyzetet osszekapcsolo — egybevagosagi transzformacioknak. Ezeket egyszeriien elmozgatasoknak fogjuk nevezni (nem kinematikai, hanem geometriai ertelemben), a nemvalodi egybevagosagokat pedig tiikrozeseknek, a legfontosabb peldarol, a testek sikra valo tukrozeserol, mellyel a testek tiikorkepukbe mennek at. f gy a kovetkezo lepcsozetes osztalyozashoz jutunk: hasonlosagok -* egybevagosagok = merettarto hasonlosagok -» elmozgatasok = valodi egybevigosagok. Az egybevagosagok reszcsoportjat kepezik a hasonlosagokenak, a mozgasok 2 indexii reszcsoportot alkotnak az egybevagosagok csoportjaban. Az indexre vonatkozo kitetel azt jelenti, hogy ha B egy tetszolegesen megadott nemvalodi egybevagosag, akkor az osszes nemvalodi egybevagosag eloall BS alakban, e B es az osszes leheto valodi S egybevagosag osszetevesevel. Tehat a valodi egybevagosagok teszik ki az osszes egybevagosag egyik felet, a masikat a nemvalodiak. De csak az elso fel resz csoport, mivel ket nemvalodi A es B egybevagosag osszetetele mar valodi egybevagosag. A valamely O pontot helyben hagyo egybevagosagok nevezhetok O koruli elforgatdsoknak; igy vannak valodi 58
es nemvalodi elforgatasok. A rogzitett kozeppont koruli elforgatasok csoportot alkotnak. Az egybevagosagok legegyszeriibb fajtaja az eltolds. Egy eltolas jellemezheto egy AA' vektorral; ha ugyanis az eltolas egy A pontot ^4'-be visz at, egy B pontot pedig .B'-be, akkor a BB' ugyanolyan iranyii es hossziisagu, mint az AA', mas szoval a BB' vektor egyenlo az AA' vektorral.1 Az eltolasok csoportot alkotnak; az AB es BC eltolas egymasutanja ugyanis az AC eltolast adja eredmenyiil. ,Ar
20. dbra
Mi koze mindennek a szimmetriahoz? A meghatarozasahoz nyujt alkalmas matematikai nyelvet. Ha adva van egy terbeli % alakzat, akkor a ternek az g-et onmagaba visszavivo automorfizmusai F csoportot alkotnak, es 1
A szakasznak csak hossziisaga van, a vektornak viszont hosszusaga 6s iranyitasa is. A vektor tulajdonk6ppen ugyanaz, mint az eltolas, csak 6ppen a vektoroknal es az eltolasoknal mds a sz6hasznalat. Az A pontot A'-be atvivo a eltolas helyett o = AA' vektorrol beszelnek, ahelyett pedig, hogy ,,az a eltolas az A-t A'-be viszi it", azt mondjak, hogy az A' a vdgpontja az A pontbol kiinduld a vektornak. Ugyanez a vektor, ha a B pontb61 indul ki, a B' pontban ei v6get, felteVe, hogy az A-t A'-be vivo eltolds a B-t B'-be viszi at.
59
e csoport pontosan megadja az $ szimmetridit. Maga a ter teljes szimmetriaval bir az osszes automorfizmus, az osszes hasonlosag csoportjara vonatkozoan. Barmely terbeli alakzat szimmetriajat e csoportnak valamely reszcsoportja irja le. Vegyiik peldakeppen a nevezetes pentagrammat, mely Faust doktor kiiszoben megakasztja Mephistot, az ordogot (21. abra). Ez onmagaba megy at az O kozeppont koriili 6t valodi elforgatassal, melyeknek szoge 360°/5nek tobbszorose (kozejiik ertjiik az azonos 21. abra transzformaciot is), es ugyanigy hat az O-t es a csiicspontokat osszekoto egyenesekre vegzett tiikrozes is. E tiz muvelet csoportot alkot, es e csoport megmondja, milyen szimmetriaja van a pentagrammanak. A ketoldali szimmetriatol e szelesebb geometriai szimmetriafelfogasig vezeto termeszetes altalanositas tehat: a sikra valo tiikrozes felcserelese tetszoleges automorfizmuscsoporttal. Egy sik O kozeppontii kore vagy a ter O kozeppontii gombje a valamennyi sikbeli vagy terbeli elforgatas csoportja altal leirt szimmetriat mutatja. Ha egy g alakzat nem nyiilik a vegtelenbe, akkor az alakzatot valtozatlanul hagyo automorfizmusoknak merettartoknak, kovetkezeskepp egybevagosagoknak kell lenniok, hacsak az alakzat nem egyetlen pontbol all. Ime 60
az egyszerii bizonyitas. Ha egy automorfizmus valtozatlanul hagyja az g alakzatot, de a meretet megvaltoztatna, akkor vagy az automorfizmus, vagy az inverze a : 1 aranyban novelne (s nem csokkentene) a linearis mereteket; itt az a valamilyen 1-nel nagyobb szam. Nevezziik ezt az automorfizmust .S-nek, a es /3 pedig legyen az alakzatnak ket kiilonbozo pontja. Ezek pozitiv d tavolsagra fekszenek egymastol. Ismeteljiik azS transzformaciot:
51 = S1,
SS = S2,
SSS = S3, ...
Az n-szeres ismetles, az S" transzformacio a-t es /3-t alakzatunk ket pontjaba, an-be es /5n-be viszi at, melyek tavolsaga d-a". Az n kitevo novekedtevel ez a tavolsag a vegtelenbe tart. De ha alakzatunk korlatos, akkor letezik olyan c szam, hogy semelyik ket pontja sines c-nel nagyobb tavolsagra. Ellentmondas tamad, mihelyt n olyan nagy lesz, hogy mar d • cf >• c. Az erveles mast is mutat: Barmely veges automorfizmuscsoport csak egybevagosagokbol all. Ha ugyanis tartalmazna olyan 5-et, mely a : 1 aranyban novelne a linearis mereteket — a > 1 —, akkor a csoporthoz hozza tartozo vegtelen sok egymas utani S\2, S3, . . . ismetles mind kiilonbozo lenne, mert kiilonbozo, a\2, a3, ... meretekben nagyitananak. Ilyenfele okokbol szinte kizarolag egybevagosagi csoportokat tekintiink — meg ha szalagornamensszerii vagy hasonlo, tenylegesen vagy potencialisan vegtelen alakzatokkal akad is majd dolgunk. Mindezen altalanos matematikai megfontolasok utan foglalkozzunk nehany szimmetriacsoporttal, amely jelentos a muveszetben es termeszetben. A ketoldali szimmetria 61
meghatarozo miivelete, a tukrozes lenyeget tekintve egydimenzios muvelet. Egy egyenest tukrozhetiink barmely O pontjara, ezaltal egy adott P pont az O-tol ugyanolyan tavoli, csak az egyenes masik felen levo P' pontba megy at. E tiikrozesek az egydimenzios egyenes egyediili nemvalodi egybevagosagai, a szinten egyediili valodiak pedig az eltolasok. Az O pontra valo tukrozest az OA eltolassal kombinalva az OA szakasz AI felezopontjara vonatkozo tiikrozesre jutunk. Egy t eltolasra invarians alakzat megmutatja, mit is neveznek a diszitomuveszetben „ vegtelen ismetlodes"-nek, azaz szabalyos terbeli ritmusban valo ismetlodesnek. A t eltolasra invarians mintazatok valtozatlanok maradnak a t1, t2, t3, . . . ismetlodesekre is, ezenkiviil a t° = I azonos transzformaciora, a t eltolas ismetlodeseire is. t'1 inverzere, es ennek t l, t 2, t 3, Ha a t az egyenest a tavolsaggal tolja el, akkor t" az
pontok az eltolasi tavolsag felevel, — a-val kovetik egymast. Az egydimenzios mintazatok koreben csak ez a 22. abran szemleltetett ket szimmetriafajta lehetseges. [A keresztek ( X ) a tiikrozesi kozeppontokat jelolik.] A valosagos szalagdiszek persze nem egydimenziosak, szimmetriajuknak azonban — leirasunk szerint — csak a hosszanti kiterjedeshez van koze. Ime nehany egyszerii pelda a gorog muveszetbol. Az igen gyakori palmamotivumot abrazolo elso pelda (23. abra) az I. tipushoz
na (n = 0, ±1, ±2, ...) tavolsaggal. Ha tehat a t eltolasokat a letrejovo a eltolodassal jellemezziik, akkor f"-nek az na tobbszoros felel meg. Egy adott egyenes menti vegtelen ismetlodesu mintazatot onmagaba vivo eltolasok ebben az ertelemben mind egyetlen a alapeltolasnak na tobbszorosei. E ritmikussag tiikSrszimmetriaval jarhat egyiitt. Ekkor a tiikor-
22. dbra
62
23. dbra
tartozik (eltolas+tukrozes). A kovetkezo (24. abra) mar nem tiikrozheto (II. tipus). A perzsa ijaszokat mutato friz Dareiosz szuzai palotajabol (25. abra) tisztan eltolasi szimmetriat mutat; vegyek azonban eszre, hogy az alapeltolas tavja ketszer nagyobb az alakok kozotti tavolsagnal, valtakozo leven az ijaszok ruhaja. Meg egyszer megmutatom a monrealei Az Ur mennybemenetele mozaikot (10. abra), eziittal a keretezo szalagdiszre 63
24. dbra
25. dbra 64
hivom fel figyelmuket. A sajatos, kesobb a Cosmatiaktol naggya tett technikaval kesziilt szclesebbik minta csak a faszerii kiilso korvonalak ismetlodeseben mutat eltolasi szimmetriat, beliil mar mind mas, gazdag szimmetriaju, ketdimenzios mozaikkal van kitoltve. A velencei dozsek palotaja (26. abra) jelkepezheti az epiteszeti transzlacios szimmetriat. Szamtalan peldaval lehetne folytatni. Amint mar mondottam, a szalagdiszek: kozepvonal menten hiizodo ketdimenzios savok, igy hat van meg egy keresztiranyli kiterjedesiik is, melynek tovabbi szimmetriai lehetnek. A mintazat az / kozepvonalra tiikrozve esetleg onmagaba ter vissza; nevezziik ezt hosszanti tiikrozesnek, megkiilonboztetesul az /-re meroleges egyenesre valo haranttiikrozestol. Vagy a mintazat onmagaba 65
vihetS az — a nagysagii eltolas es egy rakovetkezo hoszszanti tukrozes egyiittesevel (hosszanti iranyii csusztatva tukrozes). A szalagdiszekben gyakori motivumok a zsindrok, szalagok, fonatok egyes fajtai; ezek keresztezodven mintha terben helyezkednenek el (igy reszben el is takarjak egymast). E szemleletmodot elfogadva tovabbi miiveletek valnak lehetse"gesse, peldaul a diszitmenyek sikjara valo tiikrozessel egy nemileg e sik felett levo szalag sik alattiva valtozna at. Mindez a csoportelmelet eszkozeivel kimeritoen elemezheto, mint Andreas Speiser teszi az E16szoban mar emlitett Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung cimii konyvenek egyik fejezeteben. Az elo termeszetben az eltolasi szimmetria, melyet a zoologusok metame"rianak neveznek, eppoly ritka, mint amennyire gyakori szimmetria a ke"toldali. Peldakepp szolgalhat a juharfa aga es az Angraecum distichum hajtasa (27. abra).2 E masodik esetben az eltolas hosszanti csuszotukrozessel pa* Ez & a kovetkezS k6p a Stadium Generate 249. & 241. oldalar61 va!6. (W. Troll cikkdb61: ,,Symmetriebetrachtung in der Biolo27. dbra gie".)
66
rosul. Persze a minta nem nyulhat a vegtelenbe(nem nyiilik a szalagdisz sem), de mondhatni, hogy potencialisan vegtelen, legalabbis egy iranyban, minthogy az ido multaval a kipattano rugyek reven egyre ujabb szelvenyek valasztodnak el. Goethe mondotta a gerincesek farkarol, hogy szinte a szerves let potencialis vegtelensegere utalnak. A kepen lathato allat, a szazlabu testenek (28. abra) kozepso resze egeszen szabalyos, tiikrosseggel parosult eltolasi szimmetriaval bir, amelynek alapmiivelete az egy izzel valo eltolas es a hosszanti tukrozes. Az egyenlo idokozonkenti egydimenzios idobeliismetlodes a ritmus zenei alapja. A hajtas novekedesevel — azt lehetne mondani — a lassu idobeli ritmus terbelive fordul. Az idotiikrozes, az idoirany-meg- 23. dbra forditas a ritmusenal joval csekelyebb szerepet jatszik a zeneben. Egy dallamjellegejocskan megvaltozik, ha visszafelejatsszak, s magam, ki rossz muzsikus vagyok, neheznek talalom felismerni a tiikrozest a fuga szerkezeteben; valosziniileg nem tesz olyan termeszetes hatast, mint a ritmus. Minden muzsikus vallja, hogy a zene erzelmi alaptenyezoje egy erosen formalis elem. Meglehet, megkozelitheto valami olyasfajta matematikai targyalasmoddal, mint amilyena diszitomiiveszetben sikeresnek bizonyult. Ha igy van, valoszinu, hogy meg nincsenek felfedezve a megfelelS matematikai eszkozok. Eznemvolna meglepo. Vegiil is az egyiptomiak mar negyezer ewel azelott is jeleskedtek a diszitomiiveszetben, hogy a matematikusok felismertek volna az ornamensek vizsgalatanak 6s lehetseges szimmetriaosztalyaik levezetesenek al67
kalmas matematikai apparatusat. Andreas Speiser, aki kiilonleges figyelemmel fordult az ornamensek csoportelmeleti vizsgalata fele, megprobalt a zcne formal kerdeseire is kombinatorikai elveket alkalmazni. Ilyen cimmel talalunk egy fejezetet Die mathematische Denkweise (Zurich, 1932) cimii konyveben. Peldakeppen Beethoven op. 28-as Pastorale zongoraszonatajat elemzi, es emlitest tesz a Richard Wagner fomiiveinek formalis szerkezetet kutato Alfred Lorenz vegezte vizsgalatokrol. A kolteszeti metrika kozeli rokon, s itt — allitja Speiser — joval elobbre tart a tudomany. Zeneben es verstanban kozos elvnek latszik az a a b — gyakran taktusnak mondott — alak: egy a tema, mely megismetlodik, es a ra kovetkezo b ,,ajanlas"; strofa, -antistrofa es epodosz a gorog korusban. De az effajta kepletek aligha tartoznak a szimmetria ci'mszo ala.3 Visszateriink a terbeli szimmetriahoz. Vegyenek egy szalagdiszt, melyen az ismetlodo mintak a hosszusaguak, es ovezzenek korul vele egy korhengert, amelynek keriilete az a-nak egesz szamii tobbszorose, peldaul 25a. Ekkor olyan mintazatot kapnak, amelyet a henger tengelye koriili x = 360°/25 nagysagu szoggel es tobbszoroseivel elforgatva a latvany nem valtozik. Az elforgatas huszonotszori vegrehajtasa, a 360°-os elforgatas, lesz az azonos transzformacio. Egy 25-6d rendu, azaz 25 muveletbol
3
Vesse ossze ezt az olvaso azzal, amit G. D. Birkhoff mondhat a kolteszet es a zene matematikajarol az elso eloadas elso labjegyzeteben iddzett ket publikaciojaban.
68
allo veges forgascsoporthoz jutunk tehat. A hengert barmilyen hengerszimmetrikus feltilet helyettesitheti, vagyis olyan, mely egy bizonyos tengely korul minden leheto modon elforgatva onmagaba megy at, peldaul egy vaza. A 29. abra egy attikai vazat mutat a geometrikus korszakbol; jo nehany ilyen tipusii egyszervi ornamens
29. dbra
69
lathato rajta. A szimmetriai elv ugyanaz, de a stilus mar nem ,,geometriai" ezen a rhodoszi korson (30. abra); jon iskola, az i. e. VII. szazadbol. Mas idevago peldak az oszlopfok, mint ezek itt 6egyiptombol (31. abra). Barmely, adott O pont koriili sikbeli vagy adott tengely koriili terbeli elforgatasokbol allo veges forgascsoport
31. dbra
30. dbra 70
tartalmaz egy primitiv t elforgatast, melynek elforgatasi szoge a teljes, 360°-os elforgatasnak egesz szammal vett tortresze: 360°/w, s a csoport ennek t\2, ..., t"~\ (= azonos transzformacio) ismetlodeseibol all. Az n rend teljesen jellemzi a csoportot. Az eredmeny abbol az analog tenybol kovetkezik, hogy az egyenes menti eltolasok barmely csoportja — felteve, hogy az azonos transzformacio tetszes szerinti kozelsegeben magan az azonos transzformacion kiviil nincsen mas csoportbeli miivelet — egyetlen a transzformacio va ismetlodeseibol all (v = 0, ±1, ±2, ...). A hajdani tuniszi bejek bardoi palotajanak faboltozata a belsoepiteszetbol adhat peldat (32 abra). A kovetkezo kep (33. abra) Pisaba visz el: a Baptisterium, csiicsan az aprocskanak latszo Keresztelo Szent Janossal, kozep71
ralisaban (34. abra). Itt is jelen van a frizek korive, a nyolcadrendu kozeppontos szimmetria a kis rozsadiszben es a harom tornyon (n = 8, a pisai Baptisterium egyes szintjeiben testet olto szimmetriakhoz merve csekely
32. dbra
pontos epiilet, melyen hat, kulonbozo forgasi szimmetriaju reteget kiilonboztethetnek meg. Ennel is hatasosabba teheto a kep, ha meg hozzavesszuk a Ferde tornyot hat, egyforman magasrendii szimmetriaval biro oszlopgaleriajaval, es magat a domot, melyben a kozephajo kiilseje az oszlopokkal es frizekkel az egyenes menti eltolas szimmetriatipusait rejti, az oszlopsorral ovezett kupola pedig magas fokii forgasi szimmetriat mutat. Egeszen mas szellemet araszt e hatulso konistraktusbol elenk tarulo latvany a nemetorszagi Mainz roman kated72
33. dbra 73
nak nagyszerii peldai a gotikus katedralisok ragyogo szinekben pompazo iivegablakai. A legdiszesebb, ahogy emlekszem, a troyes-i St. Pierre rozsaablaka Franciaorszagban; ez minden izeben a 3-as szamra epiil. A viragok, a termeszet e legszelidebb gyermekei is kitiinnek szineikkel es korszimmetriajukkal. Ez itt (35. abra) egy noszirom kepe, harmas polusaval. A viragok kozott leggyakoribb az otos szimmetria. Haeckel Kunstformen der Naturjanak ilyesfele oldalai (36. abra) mintha
34. dbra
ertek), viszont egeszeben es reszleteiben is tiikorszimmetria uralja a szerkezetet. A ciklikus szimmetria legegyszerubb alakjaban mutatkozik, ha a teljes hengerszimmetriaju feliilet a tengelyre meroleges sik. Ekkor egy C kozeppontu ketdimenzios sikra szoritkozhatunk. E sikbeli kozeppontos szimmetria74
35. dbra
75
arra utalnanak, hogy ez az alsobbrendu allatok koreben sem ritka. De a biologusok figyelmeztetnek, hogy ezeknek az Ophiodea osztalyba tartozo tiiskesboriieknek bizonyos fokig megteveszto a kiilsejuk, es larvaik a ketoldali szimmetria elvet kovetve alakulnak ki. Nem hozhato fel ilyen ellenvetes az ugyanezen forrasmunkabol szarmazo keppel szemben (37. abra), amely egy nyolcszoros szimmetriajii Discomedusdt abrazol. Az (irbel ugyanis olyan helyen all a filogenetikai fejlodesben, ahol a korszimmetria meg uralkodo a ketoldali szimmetriaval szemben. Haeckel rendkiviili munkaja — melyben az elo szervezetek iranti erdeklodese szamtalan, a leheto legaprobb reszletekig kidolgozott rajzban olt testet — a szimmetrianak valosagos termeszeti kodexe. Legalabb ennyire jellemzo Haeckelre, a biologusra a Challenger Monographjanak ezer meg ezer abraja; 1887-ben itt irja le eloszor a Challenger-expedicio osszegyujtott anyagat, melyben 3508 uj sugarallatfajt fedezett fel. A gyakran tul spekulativ filogenetikai konstrukciokon kiviil — melyeknek gyakran engedett szabad folyast a darwinizmus lelkes apostola — e teljesitmenyekrol sem szabad megfeledkezni; meg eleggS sekelyes materialista monizmusa mellett sem, mely a szazadfordulon meglehet5s szenzacibt keltett Nemetorszagban. A Medusdkiol sz61va nem allhatom meg, hogy ne idezzek nehany sort D'Arcy Thompson klasszikus miivebol, a Growth and Formbol, az angol irodalom e remekebol, mely melyrehato geometriai, fizikai 6s biologiai tudast otvoz humanista miiveltseggel, 6s nem mindennapian eredeti tudomdnyos 61eslatassal. Thompson hul!6 78
cseppekkel vegzett fizikai kisdrletekrol szamol be, e kis6rletek a meduzak kialakulasanak analogids szemlelteteset celoztak. ,,Az elo meduzat — mondja — annyira szembeszoko es szabalyos szimmetria jellemzi, hogy az mar fizikai vagy mechanikai t^nyezoket sejtet az apro elolenyek novekedeseben 6s felepiileseben. Itt van eloszor is orvenyszeru harangja vagy ernyqje, szimmetrikus szajcsovevel vagy manubrwmaval. A harangot sugaras csatornak szelik dt, negy vagy negynek tobbszorose; a harangszelt sima vagy nemritkan gyongyozott tapogatok ovezik, szabalyos kozonkent vagy nagysag szerinti rendben, es bizonyos erzekeloszervek, koztiik szilard, megkemenyedett allomanyok vagy »otolitok«; egyensulyi 6s hallasszervek, szinten szimmetrikus elrendezodesben. Mihelyt letrejon, liiktetni kezd; »megkondul« a harang. A sarjadekok, a szuloszervezetnek apro masai, leginkabb a tapogatokon, a szajcsovon tfinnek fel, neha a harangperemen; mintha a szemiink elott kelten6 egyik orveny a masikat. A meduzaf61ek fejlSdese e szemponttol fiiggetleniil is tanulmanyozasra melto. K6tsegtelen, hogy az aprocska Obelia mediizafelek annyira gyorsan es tokeletesen sarjadzanak, hogy az automatikus es szinte pillanatszerii kialakulasi aktust sejtet, nem fokozatos fejlodesi folyamatot." Az otszoges szimmetriat, bar a szerves vilagban gyakori, a szervetlen termeszet legtokeletesebb szimmetriaju miiveiben, a kristalyok kor6ben nem talalni meg. Ott a 2-od-, 3-ad-, 4-ed- 6s 6-odrend(in kiviil nincsen mas lehetseges forgasi szimmetria. A hokristalyok a legismertebb mintai a hatszoges szimmetrianak. E kis fagycsodakbol mutat 79
38. dbra
egynehanyat a 38. abra. Ifjukoromban, mikor karacsony tajan alahullottak az egbol, betakarvan a videket, gyonyuriisegere voltak idosnek, fiatalnak. Manapsag mar 80
csak a sizok szeretik, az autovezetokben eppenseggel utalatot keltenek. Az angol irodalomban otthonosak emlekezni fognak Sir Thomas Browne Garden of Cyrusanak kulonos leirasara a hatszoges es ,,6tfogasu" szimmetriarol, mely ,,talalva mutatja, mint geometrizal es teremt rendet a termeszet minden dolgok kozott". A nemet irodalom ismeroi elott felelevenedik, hogyan irta le Thomas Mann Vardzshegyeben4 a hovihar ,,hexagonale Unwesen"-jeit, mely viharban hose, Hans Castorp kis hijan odavesz, midon a kimeriiltsegtol alomba zuhan, s egy pajtanak dolve mely almot lat a halalrol es a szerelemrol. Egy oraval elobb, hogy Hans litnak indult oktalan sikirandulasara, hopihekkel jatszadozott, ,,es a miriadnyi varazscsillag — bolcselkedett — nem embed szemnek szant, titkos es mikroszkopikus pompajaban egyik peldany sem volt azonos a masikkal, korlatlan feltalalokcdv nyilvanult itt meg a mindig egyforma alapszkema, az egyenlo oldalii es egyenlo szogii hatszog valtozataiban es finom cifrazataiban; de magaban veve minden egyes hideg kepzodmeny hibatlanul aranyos volt es jegesen szabalyos, igen, eppen ez volt benne a ki'serteties, eletellenes es a szerves elettel szemben allo: tiilsagosan szabalyosak voltak a hopihek, az eletre szervezett anyag sohasem volt ennyire szabalyos, az elet irtozott a tokeletes pontossagtol, halalt sejtett benne, a halal titkat — es Hans Castorp erteni velte, hogy regi korok pogany templomepitoi miert epitettek oszloprendjeiket titkon es 4
Szollosy Klara forditasaban idezziik; Europa Konyvkiado, Budapest, 1969. 81
szantszandekkal ugy, bogy kisse elterjenek a teljes szimmetriatol".5 Mindeddig csak a valodi elforgatasokra figyeltiink. A nemvalodi elforgatasokat isfigyeiembeveve a valamely O pont koriili elforgatasokbol allo veges csoportokra a kovetkezok a lehetosegek — parhuzamban az egyenes mentiornamentalisszimmetriaketlehetsegesfajtajaval — : (1) a 360° valameiy egesz n-ed reszevel, a — 360°//i-nel valo valodi elforgatasbol es egymasutanjaibol allo veges csoport; (2) ezen elforgatasok es n szamu, — a szdgenkenti tengelyes tukrozesek egyiittesenek csoportja. Az elso neve: C^, ciklikus csoport, a masodike: /)„, diedercsoport. Ket dimenzioban tehat mindossze ezek a kozeppontos szimmetriak : (1)
i, C2, Cs, . . . ;
b
D3.
C\t jelenti, hogy egyaltalan nines szimmetria, a DI puszta ketoldali szimmetriat fejez ki. Az epiteszetben uralkodo a 4-es szimmetria. Tornyoknak gyakran van hatszoges szimmetriajuk. Joval ritkabbak a 6-os szimmetriaju es kozeppontos epiiletek. Az okor utani idok elso tisztan kozeppontos epiilete nyolcszoges alaku: a S. Maria degli Angeli Fizenzeben (1434-ben kezdtek epi-
* Durer ugy tekintette az emberi testrol irott kanonat, mint szabvanyt, melytol elterni kel) inkabb, mintsem ragaszkodni hozza. A Vitruvius-fele temperaturae ugyanilyen ertelmunek latszik, s talan a ,,szinte" szdcska is efele mutat a Poltikleitoszaak tulajdonitott kijelentesben; ideztiik az elso eloadas elso megjegyzeseben.
82
teni). Az otszog nagyon ritka alak. Amikor meg 1937-ben Becsben eloadast tartottam a szimmetriarol, azt mondottam, csak egyetlen peldat ismerek, az is alig vehetS eszre: az atjarot a velencei San Michele di Muranobol a hatszogletu Capella Emilianahoz. Ma mar persze ott van a Pentagon-epiilet Washingtonban. Mereteivel es jellegzetes alakjaval vonzo tereppont bombazok szamara. Leonardo da Vinci is foglalkozott a kozeppontos epiiletek lehetseges szimmetriainak rendszerezesevel, es azzal, hogyan lehet kapolnakat es fiilkeket hozzajuk kapcsolni a mag szimmetriajanak felboritasa nelkiil. Eredmenye a mai elvont szohasznalatban a ketdimenziobeli (valodi es nemvalodi) elforgatasok veges csoportjainak elobbi listaja. Eddiga sikbeliforgasi szimmetrianak mindig velejaroja volt a tlikrozesi szimmetria; mutattam mar tobb peldat is a Dn diedercsoportra, egyet sem viszont az egyszeriibb Cn ciklikus csoportra. De ez tobbe-kevesbe veletlen. Ime ket virag (39. abra), egy Geranium* (I), szimmetriacsoportja a Z)5,miga Vinca herbacede** (II) — a szirmok aszimmetriajabol kovetkezoleg — a sziikebb C5 csoport. A 40. abra mutatja a *G61yaorr **Pusztai meteng
39. abra
83
talan legegyszeriibb forgasszimmetrikus alakot, a haromlabat (n = 3). Ha meg akarunk szabadulni a tukorszimmetriatol, eleg zaszlocskakat illeszteni a labakhoz, s eloall a triquetrum, osi magikus jelkep. A gorogok peldaul a haromszogletii Sziciliaszimbolumakent hasznaltak, MediiI za-fovela kozepen. Matematikusoknak isI meros a Rendiconti deldrcolo Matematico 1 di Palermo fedolapjarol, az emblemabol. ^X^^X,^ A negykarii valtozat a szvasztika, itt nem szuksegesbemutatni:azemberisegegyikleg40, dbra osibb jelkepe, kozos birtoka jo nehany, bizonnyal fiiggetlen, muveltsegkornek. Szimmetria targyii 1937-es oszi becsi eloadasomon, kevessel azelott, hogy a hitleri hordak elfoglaltak Ausztriat, a horogkeresztrol szolvameg hozzatettem:,,Napjainkbana kigyohajli Meduzafonel is borzalmasabb terrornak valtjelkepeve", a teremben a taps es a hurrogas ziirzavara tort ki. Ugy tiinik, az e mintaknak tulajdonitott varazsero furcsa, csonka szimmetriajukkal magyarazhato: elforgathatok, de nem tiikrozhetok. Ez itt (41. abra) a becsi Szent Istvan-dom szoszekenek kecses szerkesztesii csigalepcsoje; triquetrumok valtakoznak rajta szvasztika kullejii kerekekkel. Ennyit a ketdimenzios forgasi szimmetriarol. A szalagdiszhez hasonlo, potencialisan vegtelen mintazatokat vagy a vegtelen csoportokat veve, a mintat invariansan hagyo miiveletnek mar nem kell sziiksegkepp egybevagosagnak lennie, lehet hasonlosag is. Egy dimenzioban a hasonlosagok, hacsak nem eltolasok, helyben hagynak egy 84
O pontot: czek O kozeppontu, a : 1 aranyii s nyujtasok, ahol a ^ 1. Nem lenyeges megszoritas, ha feltessziik, hogy a > 0. E miivelet vegtelen szamii egymasutanjai egy ^ csoportot alkotnak, az (2)
s"
(n = 0, ±1, ±2, ...)
miiveletek csoportjat. Ennek a szimmetriatipusnak jo
41. dbra
85
peldaja a Turritella duplicata* heja (42. abra). Igazan igen figyelemremelto, hogy az egymas utani fordulatok menynyire pontosan kovetik a mertani haladvany torvenyet. Nemely oramutato folyamatosan es egyenletesen jar korbe; masok percrol percre ugranak. Az egesz percekkel valo elfordulasok diszkret reszcsoportjat kepezik az 6'sszes elforgatas folytonos csoportjanak, es kezenfekvo egy s elforgatast es (2>beli egymasutanjait e folytonos csoportbol valonak 42. dbra tekinteni. E felfogasnak hasznat vehetjiik 1, 2 vagy 3 dimenzioban, voltakeppen barmely 5transzformaci6val kapcsolatban. Egy teret kitolto anyag, ,,ftuidum" mozgasat matematikailag az U (?,/') transzformacio megadasaval irhatjuk le, mely transzformacio a folyadek barmely pontjanak t idopontbeli P, helyzetet t' idobeli Pf, helyzetebe viszi at. E transzformaciok egyparameteres csoportot alkotnak, ha U(t, f) *Tornyoscsiga 86
egyediil a t'-t kulonbsegtol fugg: U(t, t') = S(t'— i), azaz ha egyenlo idokozonkent ugyanaz a mozgas ismetlodik. Ekkor a fluidum ,,egyenletes mozgasu". Az egyszerii
csoporttorveny azt fejezi ki, hogy az egymas utani t± es tz idotartamok alatt vegbemeno mozgasok egyiitt a /i+/2 idotartam alatti mozgast eredmenyezik. Az 1 perc alatt vegzett mozgas megad egy meghatarozott s = S(l) transzformaciot, es az S(n) mozgas minden n egeszre az s" ismetlodes lesz: az s ismetlodeseibol allo ^ diszkret csoport bele van agyazva a t parameterii, S(i) transzformaciok alkotta folytonos csoportba. Mondhatni, hogy a folytonos mozgas veg nelkiili ismetlodese ugyanannak az — egyenlo, egymas utani, vegtelen kicsi idoszakaszok alatt vegbemeno — infinitezimalis mozgasnak. Alkalmazhatjuk e felfogasmodot egy siklemez elforgatasaira es a nyiijtasokra is. Itt most tetszoleges valodi s hasonlosaggal szamolunk, olyannal tehat, mely nem csereli fel a jobbot es a bait. Ha ez — mikent fel is teszsziik — nem puszta eltolas, akkor van egy O fixpontja, s egy O koriili elforgatasbol es egy ugyancsak O kozeppontu nyujtasbol tevodik ossze. Feltehetjiik, hogy 1 percmultan azS(l) allapot egyenletes forgast kisero egyenletes nyiijtassal all elo. E mozgasfolyamat az O-tol kiilonbozo pontokat logaritmikus vagy egyenlo szogii csigavonalnak (logaritmikus spiralnak) nevezett vonalak menten viszi vegig. Egorbek igy azegyenesekkelesa korokkel egyetemben reszesei annak a fontos sajatossagnak, hogy a hasonlosagok e 87
jat teszik ki. A Nautilus hirneves heja (43. abra) bamulatos tokellyel adja vissza a szimmetria e fajtajat. Nemcsak a folytonos logaritmikus spiralt latjak itt, hanem a hejrekeszeknek potencialisan vegtelen sorozatat, a ]JT diszkret csoport leirta szimmetriaval. E nagy napraforgo, a Helianthus maximus kepere pillantva (44. abra) mindenki latja,
43. dbra
folytonos csoportja altal onmagukba mennek at. Johann Bernoulli a baseli Munsterben levo sirkovereisravesetett, spira mirabilisTol szolo szavai: ,,Eadem mutata resurgo"*, e tulajdonsagnak fellengzos kifejezese. Az egyenes vonal es a kor hataresete a logaritmikus spiralnak; akkor allnak elo, ha az elforgatas es nyujtas egyiitteseben az egyik osszetevo eppen az azonos transzformacio. A folyamat (3)
/ = « = ....-2,-1,0,1,2, ...
idopontokban elert allomasai a (2) ismetlodesek csoport* Megvaltozva, megis onmagamban emelkedem fel. (A Kiado) 88
44. dbra
89
hogy a szemek logaritmikus spiralok menten helyezkednek el, ket, ellentetesen csavarodo spiralosztalyban. A haromdimenzios terben a legaltalanosabb merev mozgas a csavarmozgas: egy tengely koriili elfordulas es ugyanezen tengely menti eltolas s egymasutanja. Az ennek megfelelo folytonos, egyenletes mozgas a tengelyen kiviil eso pontokat csavarvonalon viszi vegig, melyrol az eadem resurgo eppoly joggal mondhato el, mint a logaritmikus spiralrol. Az egyenlo idokozu (3) idopontokban elert Pn helyzetek egyenletesen oszlanak el acsavarvonal menten, mint a fokok a csigalepcson. Ha az s miiveletben az elforgatas szoge a teljes 360°-os szognek kis ft es v egeszekkel kifejezheto p/v hanyada, akkor a Pn sorozatban minden v-edik pont ugyanarra a fuggolegesre esik, £s a Pn pontbol [i teljes fordulattal erheto el a folotte levo Pn+, pont. A hajtast koriilolelo levelek gyakran ilyen spiralis rendet mutatnak. Goethe a termeszet spiralis torekveserol beszelt, es ez a botanikusok koreben fillotaxis neven ismert jelenseg Charles Bonnet-tol (1754) kezdve szamos kutatasnak s meg tobb spekulacionak volt targya.6 Azt talaltak, hogy a levelek csavarvonalszerii elhelyezkedeset jellemzo fi/v tortek igen gyakran tagjai az (4) 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, ...
6
E jelenseg J. Hambidge konstrukcioj&ban is szerephez jut. A Dynamic Symmetry 146—157. oldalan reszletes jegyzeteket ad R. C. Archibald matematikustol a logaritmikus spiralrol, az aranymetszesrol es a Fibonacci-sorozatrol.
90
,,Fibonacci-sorozat"-nak, mely az
— 1) irracionalis
szam lanctortkifejtesebol all elo. E szam nem mas, mint az aranymetszeskent ismert arany; nagy szerepet jatszott azokban a kiserletekben, melyek matematikai keplette kivanjak egyszerusiteni az aranybeli szepseget. A csavarvonallal koriilkigyozott henger kicserelheto egy kiipra, ennek reven az s csavarmozgas helyebe valamilyen valodi hasonlosag — elforgatassal parosult nyujtas — lep. A fenyotoboz pikkelyeinek rendje e kisse altalanosabb fillotaktikus szimmetriat koveti. A hengernek kiipon keresztiil korlapra valo atmenete kezenfekvo ; ezt szemlelteti a hengeres novenyhajtas levelzete, a fenyotoboz a pikkelyeivel es a napraforgo tanyer alakii viragzata szemecskeivel. AhoJ a (4) szamok leginkabb ellenorizhetok, egy fenyotoboz pikkelyeinek elrendezodesen, az ertekegyezes nem tiilsagosan jo, bar nagyobb elteres is csak ritkan akad. P. G. Tait a Proceedings of the Royal Society of Edinburghben (1872) megprobalta egyszeru magyarazatat adni, A. H. Church Relations of phyllotaxis to mechanical laws (Oxford, 1901 — 1903) cimu terjedelmes traktatusaban meg eppenseggel szerves rejtelyt lat a fillotaxis aritmetikajaban. Az a gyaniim, hogy a modern botanikusok kevesbe veszik komolyan ezt az egesz fillotaxistant, mint elodeik.* Az eddig vizsgalt szimmetriakat, a tiikrozes kivetelevel, mindig egyetlenegy s muvelet ismetlodeseibol allo csoport irta le. E csoport egy esetben lesz veges, s vitathatatlanul * Lasd: Kiegeszitesek a magyar kiadashoz. (206. old.)
91
ez a legfontosabb eset: akkor, ha j-nek egy <x = 360°/n szogii elforgatast valasztunk, ahol n egesz szam. A ketdimenzios sikban nines is mas veges csoportja a valodi elforgatasoknak; bizonyitek ra az (1) Leonardo-tablazat elso sora: Ci, C2, Cs, .. . Az ilyen szimmetriaju alakzatok koziil a szabalyos sokszogek a legegyszerubbek: a szabalyos haromszog, a negyzet, a szabalyos otszog s a tobbi. Az akarhany oldalii sokszogek letezese szoros osszefuggesben all azzal, hogy a sikgeometriaban barmely n-re letezik n-edrendii forgascsoport. Nyilvanvalonak nem mondhato sem ez, sem az. Harom dimenzioban csakugyan egeszen mas a helyzet: a haromdimenzios terben a szabalyos poliederek szama nem vegtelen, hanem csak 6t. E gyakran platoni testeknek nevezett 6t polieder — lenyeges szerepet jatszott ugyanis Platon termeszetfilozofiajaban — a szabalyos tetraeder, a kocka, az oktaeder, azutan a dodekaeder tizenket szabalyos otszogu oldallapjaval, vegiil a hiisz szabalyos haromszog hatarolta ikozaeder. Azt lehetne mondani, hogy az elso harom letezese egeszen kezenfekvo geometriai teny. Az utobbi ketto felfedezese viszont mar alighanem a legszebbek es leginkabb egyediilallok koziil valo a matematika egesz torteneteben. Miiltjuk meglehetos bizonyossaggal kovetheto, Del-Italia gyarmattarto gorogjeiig. Egy felteves szerint a Sziciliaban bosegben fellelheto pirit kristalyalakjabol vonatkoztattak volna el. De — mint mar volt rola szo — a szabalyos dodekaederre jellemzo otos szimmetria ellentetben all a krisztallografia torvenyeivel, es valoban ki is deriilt, hogy a piritkristaly dodekaederen a hatarolo otszogek oldalai kozul csak negy egyforma 92
hosszii, az otodik eltero. A szabalyos otszoges dodekaeder elso szabatos szerkesztese valosziniileg Theaitetosztol szarmazik. Szolnak mellette ervek, hogy dodekaederek jatekkockakent mar e korai idokben hasznalatosak voltak Italiaban, esaz etruszk kulturaban valamifele vallasi jelentosegiik volt. Platon egy dialogusaban, a Timaioszban a szabalyos giilat, az oktaedert, a kockat es az ikozaedert a negy elemhez, a tiizhoz, a leghez, a foldhoz es a vizhez kapcsolja, a dodekaederben pedig bizonyos ertelemben az egyetemes egeszet latja. A. Speiser azon a nezeten volt, hogy az 6t szabalyos test eloallitasa a legfobb eredmeny a deduktiv geometrianak a gorogok altal felallitott es Eukleidesz Elemekjeben kanonizalodott rendszereben. Itt azert megjegyezhetem, hogy a gorogok sohasem hasznaltak a ,,szimmetrikus" szot a ma szokasos ertelemben. Koznapi hasznalataban a avfji^erQoa ardnyosi jelent, Eukleidesznel azonban a mi osszemerhetonkkel egyenertekii: a negyzet oldala es atlqja ket osszemerhetetlen mennyiseg, aav^neTQa. fj.eye'&rj. Ime Haeckel Challenger Monographjanak egy oldala (45. abra); nehany sugarallatka vazat mutatja. A 2-es, 3-as es 5-6s meglepoen szabalyos oktaeder, ikozaeder es dodekaeder, a 4-es alacsonyabb szimmetriajunak latszik. Kepler nevezetes torvenyeinek felfedezesenel joval korabban kozreadott Mysterium Cosmographicumaban azzal probalkozott, hogy a bolygorendszerbeli tavolsagokat valtakozva gombbe es gomb kore irt szabalyos testekre vezesse vissza. Ez itt a konstrukcio (46. abra), mely reven, ugy hitte, a Teremto titkainak melyere latott. A hat gombfeliilet a hat bolygonak felel meg, a Szaturnusznak, 93
45. dbra
Jupiternek, Marsnak, Foldnek, Venusznak, Merkurnak; kozottiik — szinten befele haladva — kocka, tetraeder, dodekaeder, oktaeder es ikozaeder. (Termeszetesen nem volt tudomasa a harom kiilso bolygorol, az Uranuszrol, a Neptunuszrol es a Plutorol, ezeket 1781-ben, 1846-ban 94
46. dbra
es 1930-ban fedeztek fel.) Igyekezett kideriteni, hogy a Teremto miert valasztotta a platoni testeknek eppen ezt a sorrendjet, s parhuzamot vont a bolygok (inkabb asztrologiai, mintsem asztrofizikai) tulajdonsagai es a megfelelo szabalyos testek sajatossagai kozott. ,,Credo 95
spatioso numen in orbe*: e hitvallast kinyilatkoztato hatalmas himnusszal vegzodik be a konyve. A mindenseg matematikai harmoniajaba vetett hitet osztjuk ma is; allja az allandoan boviilo tapasztalat probajat. De e harmoniat mar nem a szabalyos testekhez foghato statikus formakban keressiik, hanem dinamikai torvenyekben. Mivel a szabalyos sokszogek osszefiiggesben allnak a sikbeli elforgatasok veges csoportjaival, a szabalyos poliedereknek is koziik kell legyen a ter valamely O pontja koriili valodi elforgatasoknak szinten veges csoportjaihoz. A sikbeli elforgatasokat tanulmanyozva rogton ra is leliink ket csoporttipusra. Egy vizszintes sik Cn csoportjanak elemeit, e sik valamely O pontja koriili elforgatasait a terben ugyanis az O-n atmeno fiiggoleges tengely koriili elforgatasokkent interpretalhatjuk. A vizszintes sik valamely / egyenesre valo tiikrozeset elvegezhetjiik a sik / tengelyii 180°-os terbeli atforditasaval (Umklappung). Emlekezhetnek ra, egy sumer kep (4. abra) kapcsan errol mar esett szo. Ezaltal a vizszintes sik Dn csoportja a valodi terbeli elforgatasok D'n csoportjava valtozik; tartalmaz egy fiiggoleges tengelyii, O-t helyben hagyo, 360°/n szogii elforgatast, es ennek ismetlodeseit, tovabba vizszintes tengelyii, O-t ujra csak helyben hagyo atforditasokat, itt a tengelyek 360°/2n szogenkent jonnek egymas utan. Vegyiik eszre azonban, hogy a D[ csoport az azonos transzformaciobol all es egyetlen atforditasbol, akar a C2 csoport. E ket csoport kovetkezeskepp azonos, s ha C2-t vesszuk be a haromdimenzios valodi elforgatasok egy" Hiszek a mindenseget dtfogo isteni akaratban. (A ford.) 96
mdstol kulonbozo csoportjainak teljes felsorolasaba, el kell hagynunk. A felsorolast igy kezdjiik tehat : i, €2,
Z>2 az ligynevezett negyes csoport, all az azonos transzformaciobol es harom, paronkent meroleges tengely koriili atforditasbol. Az 6t szabalyos test mindegyikehez megszerkeszthetjiik az e testet onmagaba atvivo valodi elforgatasok csoportjat. Ot uj csoport keletkezik igy? Nem, csupan harom, espedig a kovetkezo okbol. Irjunk gombot egy kockaba, a gombbe pedig egy oktaedert ugy, hogy a kocka oldallapjainak es a gombnek erintkezesi pontjait vesszuk csucsokul : nevezetesen a hat negyzetlap kozeppontjat (a 47. abra a ketdimenzios megfelelot mutatja). Ebben az elhelyezkedesben a kocka es az oktaeder projektiv geometriai ertelemben polaris alakzatok. Vilagos, hogy minden elforgatas,amely onmagaba viszi at a kockat, ezt teszi az oktaederrel is es viszont. Az oktaeder csoportja tehat ugyanaz, mint a kockae. Eppilyen polaris viszonyban all az otszoges dodekaeder es az ikozaeder is. A szabalyos tetraederrel polaris alakzat egy szabalyos tetraeder, melynek csiicsai atellenesek az elsoeivel. igy hat a valodi elforgatasoknak ha- 47. dbra 97
rom lij csoportjat kapjuk: a T, a W es a P csoportot, a szabalyos tetraedert, a kockat (avagy az oktaedert), es az otszoges dodekaedert (vagy az ikozaedert) onmagaba vivo elforgatasok csoportjat. Rendjiik, azaz a benniik levo muveletek szama 12, 24 es 60. Viszonylag egyszerii vizsgalattal kimutathato (A. fiiggelek), hogy e harom csoporttal kiegesziilvc a tablazat teljes is: Cn (n= 1 , 2 , 3 , . . . ) (5)
D'n (« = 2,3, . . . ) T, W, P.
Ez a modern megfelelqje a gorogok szabalyostestlajstromanak. E csoportok, kivalt az utolso harom, a geometriai vizsgalodasok roppant vonzo teriilete. Milyen tovabbi lehetosegek nyilnak, ha csoportjaink koze felvessziik a nemvalodi elforgatasokat is? A kerdesre legjobban egy sajatos nemvalodi elforgatas alkalmazasaval lehet valaszolni, kozelebbrol egy O pontra valo tiikrozessel: ez tetszoleges P pontot atvisz az O-ra vonatkozolag atellenes P' pontba, melyet a P-bol az O-ig huzott egyenesdarab onmagaval valo meghosszabbitasaval eriink el: PO = OP'. Ez a Z muvelet minden S forgatassal felcserelheto: ZS = SZ. Legyen most F egyike a valodi elforgatasokbol allo veges csoportjainknak. Nemvalodi elforgatasok beiktatasara az egyik lit a Z-nek egyszerii adjunkcioja, pontosabban aT-beli osszes 5 valodi elforgatasnak megfelelo ZS alakii nemvalodi elforgatasok felve~tele. Az igy kapott F = F+ZF csoport rendje ketszerese a 98
r'-enak. Mas lit adodik a kovetkezo tenyallasbol: Tegyiik fel: F mint 2 indexii reszcsoport benne van a valodi elforgatasoknak egy masik, F' csoportjaban; a F' elemeinek fele igy F-bol valo, nevezziik ezeket S'-nek, a masik fele, az S'-k viszont nem. Helyettesitsek most emezeket a ZS' nemvalodi elforgatasokkal, ezzel egy F'F csoporthoz jutnak, mely tartalmazza a F-t, de miiveleteink masik fele nemvalodi elforgatas. Peldaul a F = Cn csoport 2 indexu reszcsoportja a F' — D'n csoportnak; a D'n csoport Cn-en kiviil eso S' elemei: az n szamii vizszintes tengelyii atforditas. A vonatkozo ZS' muveletek fuggoleges, ezekre a tengelyekre meroleges sikii tiikrozesek. A D'nCn igy a fuggoleges tengely koriili 36Q°/n szogii elforgatasbol es egymasutanjaibol all, tovabba az e tengelyen atmeno, 360°/2« szogenkent egymasra kovetkezo fuggoleges sikokra valo tukrozesekbol. Elmondhatjak, hogy ez a korabban Dn-nd jelolt csoport. Mas, a leheto legegyszeriibb pelda: a F — d benne van a F' = C2 csoportban. A C2 egyetlen Ci-en kiviil levo S' miivelete a fiiggoleges tengelyu 180°-os elforgatas; ZS' O kozeppontii tiikrozes a vizszintes sikban. C2Ci kovetkezeskepp az azonos transzformaciobol es egy adott sikii tiikrozesbol allo csoport, mas szoval a ketoldali szimmetria csoportja. Csoportjainkbacsakeketuton lehet nemvalodi elforgatasokat felvenni. (A bizonyitas a B. fijggelekben.) Ez tehat a (valodi es nemvalodi) elforgatasok veges csoportjainak teljes jegyzeke:
99
€„,€„, C2nCn
( n = l , 2 , 3 , ...);
D'n, D'n, D'nCn, D'ZnD'n (« = 2,3, ...); T, W, P; P, W, T; WT. Az utolso, WT csoport azaltal jon letre, hogy a T tetraedercsoport 2 indexii reszcsoportja a W oktaedercsoportnak. E felsorolas fontos lesz, ha majd a kristalyok szimmetriajat tekintjiik az utolso eloadasban.
ORNAMENTALIS SZIMMETRIA
ORNAMENTALIS SZIMMETRIA
Hz az eloadas rendszeresebb lesz az elobbinel, leven a geometriai szimmetria egyetlen sajatos valfajanak szentelve, a legbonyolultabbnak, de minden tekintetben a legerdekesebbnek is. Ket dimenzioban a feluletdiszito miiveszet kotodik hozza, harom dimenzioban a kristalybeli atomelrendezodest jellemzi. Ornamentalis vagy krisztallografiai szimmetrianak fogjuk hat nevezni. Kezdjiik egy ketdimenzios diszitomintaval, mely joval gyakoribbnak tiinik a tobbinel, miiveszetben, termeszetben egyarant: a fiirdoszobak csempepadlqjan gyakran kirakott hatszogmintaval. Itt (48. abra) hazimehek epitette lepkent lathatjak testet 6'lteni. A mehsejtek hasab alakuak; a fenykep a hasabok iranyabol kesziilt. A lep voltakepp ket ilyen hasabretegbol all, az egyik hasabjai felfele nyilnak, a masikei lefele. Hogyan illeszkednek ossze a retegek belso vegei: ez terbeli problema; hamarosan foglalkozni is fogunk vele. Vizsgaljuk most az egyszerubb sikbeli kerdest. Ha soretet vagy gyongyb't halomba raknak, a szemek e hatszogmintaval analog haromdimenzios alakzatba rendezodnek el. Ket dimenzioban a teendo: egyforma koroket a leheto legszorosabban elhelyezni a 103
49. dbra
sikon. Kezdjiik erintkezo korok egy vizszintes soraval. Ha feliilrol ujabb kort ejtiink ra, akkor az a sor ket szomszed kore kozott fog megallapodni, es harmqjuk kozeppontja egyenlo oldalu haromszoget kepez. E felso korrel ujabb sor indul az elozo korei koze iilt korokbol, majd ugyanigy tovabb (49. abra). A korok kozott nemi res marad. Meghlizva az erintoket a hat ponton at, ahol egy kor a szomszedos hattal erintkezik, a kor kore irt szabalyos hatszog all elo; s ha a koroket mind e hatszoggel helyettesitik, eljutnak a teljes sikot kitolto szabalyos hatszogalakzathoz. 48. dbra
105
A hajszalcsovesseg torvenyei szerint egy vekony drotvazra rafesziilo szappanhartya minimalis felszinu alakot vesz fel, azaz felszine kisebb, mint barmely mas, e vaztol hatarolt feliilete. A szappanoldat buborekka fiijva gomb alakot olt, mert a gombfeliilet zarja be legkisebb felszinnel az adott levegoterfogatot. Nem meglepo tehat, ha egyenlo teriiletli ketdimenzios buborekok habba szaporodva hatszoges mintazatba rendezodnek, minthogy a sik egyenlo reszekre valo felosztasai koziil ennek legrovidebb a korvonalhalozata. Feltettiik itt, hogy a feladat ketdimenziossa egyszeriisitheto egy vizszintes — mondjuk ket parhuzamos iiveglap kozrezarta — buborekreteget veve alapul. Ha a buborekhabnak hatara van (felhamretegc, mint a biologus mondana), azt talaljuk, hogy e hatar korivekbol all; mindegyik 120°-os szoget alkot a szomszedos cellafallal es a kovetkezo iwel, mikent a hosszusagminimum torvenye megkivanja. E magyarazat utan nem csodalkozunk, hogy hatszoges mintat talalni oly eltero szerkeze51. dbra
tekben is, mint a kukorica parenchimaja (50. abra), szemiink recehartya pigmentje, a kovamoszatok kovapancelja — itt lathato egy szep peldanya (51. abra) —, s vegiil a lep. Ahogyan a kozel egyforma novesti mehek epitik lepjiik sejtjeit, forgolodva bennuk, e sejtek szoros illeszkedesii hengerek alakjat oltik, keresztmetszetiikben epp olyat, mint a mi hatszoges korelrendezesiink. Mig dolgoznak, a viasz felig folyekony allapotban van, igy a mehtestektol kifejtett nyomasnal valoszintileg nagyobb kapillariserok a koroket korejiik irt hatszogekke valtoz107
52. dbra
53. dbra54. dbra-
tatjak at (a sarkokon mindazonaltal latszik meg az eredeti kor alak nyoma). Hasonlitsuk ossze a kukorica parenchimajat ezzel a cellamintazatu (52. abra) mesterseges kepzodmennyel, mely zselatinba csoppentett sargaverlugsooldat diffuziqjaval keletkezett. A szabalyossag bizony hibazik, meg olyan hely is akad, ahol otszog lopozott a hatszog helyebe. ime (53. es 54. abra) meg ket masik, talalomra vett mesterseges hatszogli mintazat, a Vogue 108
55. dbra
legutobbi szamabol (1951. februar). Az egyik Haeckel-fele — Aulonia hexagondnak nevezett — sugarallatka kovavaza (55. abra) elso pillantasra teljesen szabalyos hatszogalakzatnak latszik, csak epp nem sikban, hanem gombfeliileten. A topologia egyik alaposszefiiggese szerint azonban a gomb feliiletet nem borithatja hatszoges halozat. Ez az osszefiigges a gombfeliilet orszagokra valo, tetszes szerinti felosztasara vonatkozik, ahol az orszagok 110
meghatarozott elek menten hatarosak. Azt allitja, hogy az orszagok A szama, az elek E szama es C, a csiicsoke (mely pontokban legalabb harom orszag talalkozik) eleget tesz az A+C—E = 2 egyenlosegnek. A hatszoges halozatban E = 3A, C = 2A lenne, azt kapnank tehat, hogy A + C—E = 0! S nyilvan latjak is, hogy az Aulonia halozatanak nemelyik szeme nem hat-, hanem csak otszog. A sikbeli legszorosabb korelhelyezesrol terjiink most at a ter gombb'kkel vagy golyokkal valo legszorosabb kitoltesere. Egy gombbel kezdjiik es egy sikkal, a gomb kozeppontjan atmeno vizszintes sikkal. A gombok legszorosabb elrendezodeseben e gomb tizenket masikkal fog erintkezni (,,mikent a granatalmaban a magok", ahogyan Kepler mondja), hattal a vizszintes sikban, harommal feliil, s harommal alul.1 Ez elrendezodesben a gombok — ha lehetetlen egymasba hatolniok — mozditatlan kozeppontjuk koriil egyenletesen kitagulva, rombdodekaederekke alakulnak at, es ezzel kitoltik az egesz teret. Megjegyzendo, hogy e sajatsagos rombdodekaeder nem szabalyos test, noha a megfelelo ketdimenzios feladat megoldasaban szabalyos hatszog adodott. A mehsejt e rombdodekaeder 1
Az elrendezodes csak azt kirova lesz teljesen meghatarozott, hogy a gombkozeppontok racsot alkossanak. A racs def3niciojat lasd a 122. oldalon. A kerdes teljesebb vizsgalatat lasd a kovetkezo miivekben: D. Hilbert—S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometric, Berlin, 1932, 40—41. old. (magyar forditasban Szemleletes geometria, Gondolat, Budapest, 1982, 65-67. old.), tovabba H. Minkowski: Diophantische Approximationen, Leipzig, 1907, 105 — 111. old. Ill
also reszet tartalmazza, a hat fuggoleges lap nyilt vegii hatszoges hasabot formalva halad tovabb. Igen sokat irtak a mehsejt geometriajanak kerdeserol. A mehek kiilonos kozossegi eletmodja es geometriai adottsaga a szemlelokben persze figyelmet es csodalatot keltett. ,,Hazam — mondja a men az Ezeregyejszaka meseiben — a legszigorubb epiteszeti szabalyok szerint kesziilt; cellaim geometriajanak vizsgalatabol tanulhatna meg maga Eukleidesz is." Alighanem Maraldi vegzett eloszor pontos mereseket 1712-ben, s azt allapitotta meg, hogy a cellafenek harom rombuszaban nagyjabol 110°-os az a tompaszog, es a cellafalakkal bezart /3 szogiik ugyanekkora nagysagu. Feltette a kovetkezo geometriai kerdest: mekkoranak kell lennie a rombusz a szogenek, hogy pontosan egyezzek ezzel a /3 szoggel. Az a = ft — 109° 28' eredmenyt kapja, s ennek okan felteszi, hogy a mehek megoldottak a geometriai feladatot. Midon a minimumelvek meghonosodtak a gorbek vizsgalataban es a mechanikaban, kozelive valt a gondolat, hogy a erteket a legtakarekosabb viaszfelhasznalas szabja meg; mas szognagysagnal tobb viaszra volna sziikseg ugyanekkora cellaterfogathoz. Ezt a Reaumur-fele feltevest Samuel Koenig svajci matematikus megerositette. Koenig — hogy, hogy nem — Maraldi elmeleti eredmenyet valosagos, megmert ertekiil vette, es csak 2'-nyi elterest talalt sajat, minimumelvu elmeleti szamitasatol (a 1/2 kiszamitasara hasznalt tablazatainak hibaja folytan); arra jutott, hogy a mehek 2'-nel kisebb hibaval oldottak meg e minimumfeladatot — mely, mint mondja, kivul esik a klasszikus geometria koren, s Newton es Leibniz mod112
szeret sziiksegli. A Francia Akademian folyt vitat Fontenelle,mint orokos titkar, nevezetes dontessel summazta; nem tulajdonitott a meheknek Newtonehoz vagy Leibnizehez hasonlo geometriai intelligenciat, hanem azert ugy kovetkeztetett, hogy a felsobb matematikat alkalmazva isteni utmutatast es parancsot kovetnek. Igazabol a cellak nem olyan szabalyosak, mint Koenig feltette; a szogek nagysagat meg foknyi pontossaggal is nehez megmerni. De szaz evvel kesobb Darwin tovabbra is ugy szol a mehek epiteszeterol, hogy ,,a legcsodalatosabb az ismert osztonok kozott", s megtoldja: ,,Az epiteszeti tokely e fokan mar nem vihet tiil a termeszetes kivalasztodas (mely itt helyebe lep az isteni utmutatasnak!); a mezelo meh lepje, amennyire megitelhetjuk, munka- es viasztakarekossag tekinteteben egyarant tokeletes." Ha alkalmas szimmetriaban vagjuk le egy oktaeder hat csiicsat, egy 6 negyzettel es 8 hatszoggel hatarolt polieder keletkezik. Ez a tetrakaidekaeder; Arkhimedesz mar ismerte, s Fjodorov orosz krisztallografus ujbol felfedezte.* E test megfeleloen eltolt peldanyai atfedes es hezag nelkiil tolthetik ki a teret, akar a rombdodekaederek (56. abra). Baltimore-i eloadasaiban Lord Kelvin megmutatta, hogyan hajlitandok meg e polieder oldalai, s gorbitendok elei, hogy eleg tetessek a felszinminimum feltetelenek. Elvegezve ezt, a ter egyforma es parhuzamos tetrakaidekaederekre bontasa a feliilet esterfogat aranyat tekintve a siklapii rombdodekaederes felbontasanal is gazdasagosabb. Hitem szerint Lord Kelvin alakzata az abszo* Ldsd: Kiegeszitesek a magyar kiadashoz. (209. old.)
113
56. dbra
hit minimumot adja, de amennyire tudom, ez egyaltalan nincsen bizonyitva. A haromdimenzios tertol terjiink vissza most a ketdimenzios sikhoz, es vegyiik rendszeresebb vizsgalat ala a kettosen vegtelen ismetlodesii szimmetriat. Eloszor szabatossa kell tenniink a fogalmat. Amint korabban mar megjegyeztiik, a sik parhuzamos eltolasai csoportot alkotnak. Egy a eltolas teljesen jellemezheto azon A' pont megadasaval, ahova a tetszolegesen megadott A pontot atviszi. A BB' eltolas vagy vektor megegyezik az AA' eltolassal, ha BE' parhuzamos AA'-vel es ugyanolyan hosszii. Az eltolasok osszetetelet rendszerint a 4- jel jeloli. a+b tehat eloszor az a, majd ra a b vegrehajtasaval eloallo eltolas. Ha a az. A pontot a B pontba viszi at, b pedig a B-t C-be, akkor a+b az A pontot C-be 114
viszi at, megadhato ilyenforman az ABCD paralelogramma AC atlovektoraval. Minthogy itt AD = BC — b es DC — AB = a (57. abra), az a+b — b + a kommutativitasi torvenyt kapjuk az eltolasok osszetetelere, vagy ahogy ugyancsak mondjak, a vektorok 6'sszeadasara. Ez a vektorosszeadas eppen a szabaly, mely szerint — az un. eroparalelogramma altal — az a es b ero a+b = c credo erove egyesiil. Az eltolasok koziil az azonos lekepezes vagy o nullvektor minden pontot onmagaba visz at; minden a transzlacionak van inverze, — o, mellyel o+(—a) = o. A 2a, 3a, 4a, . . . kezenfekvoen az a+a, a+a+a, a+o+a + astb. vektort jeloli. Az egesz — pozitiv, nulla vagy negativ — n szammal vett no. tobbszoros kepzesi szabalyat az (n+l)a = («a)+a es Oa = o kepletek fejezik ki. A b = -- o vektor a 3b = a egyenlet egyetlen megoldasa. Vilagos tehat, mi a Act ertelme, ha
57. dbra
115
A valamilyen m/n tortszam, peldaul 2/3 vagy —6/13, s a folytonossag reven az is, mit jelent, ha A tetszoleges valos szam, akar racionalis, akar irracionalis. Ket vektor, 61 es e 2 linearisan fiiggetlen, ha nines nullvektorral egyenlo Xi6i + x2e2 linearis kombinaciojuk, hacsak az xi es az x 2 valos szam nem nulla. A sik ketdimenziqju, mivel barmely j vektor eloallithato, megpedig egyfelekeppen, ket rogzitett, linearisan fiiggetlen 61 es e 2 vektor xi£i+ + x 2 e 2 linearis kombinaciojakent. Azxiesx 2 egyiitthatot az £ vektor (e1? e 2 ) bazisra vonatkozo koordinatainak nevezzuk. Valamilyen O pontot kezdopontul rogzitve (segy 61,62 part baziskent megadva) az OX = x^\ Xz^2 osszefiiggessel minden X ponthoz hozzarendelhetiink ket, Xi es x-z koordinatat, es forditva: e koordinatak meghatarozzak az X pont (O; Ci, e 2 ) ,,koordinata-rendszer"beli helyzetet. Sajnalom, hogy ezekkel az analitikus geometriai alapismeretekkel kenyszeriiltem onoket gyotorni. Descartes e talalmanyanak rendeltetese eppen nevet adni a sik X pontjainak, mely altal megkulonboztethetjiik oket, s rajuk ismerhetiink. Ez bizonyos modszeresseggel vegzendo, mivel a pontokbol vegtelen sok van, s mert — elteroleg az emberektol — tokeletesen egyformak is, tehat csak cimkeket mellekelve tehetiink kozottuk kiilonbseget, a modszeresseg meg inkabb sziikseges. Az altalunk hasznalt cimkek tortenetesen (x\, x2) szamparok. A kommutativitasi torveny mellett a vektorosszeadas — tulajdonkeppen barmilyen transzformaciok osszetevese — az
(a+b) + c = a 116
asszociativitasi torvenynek is eleget tesz. Az o, b, . . . vektorok A, p, . . . valos szammal valo szorzasara all a A(iua) = torveny es a ket disztributivitasi torveny is:
A(o+b) = Kerdezheti valaki, hogyan valtoznak a tetszes szerinti E vektor (xi, x2) koordinatai az (d, e 2 ) vektorbazisrol egy masik, (e(, e2) bazisra terve at. Az e[ es t'2 vektor kifejezheto az Ci es e2 vektorral es viszont: (1)
Irjuk fel a tetszoleges £ vektort az egyik es masik bazis kifejezesekent : £ ^ -^-1^1 ' -^-2^2 ^ -^1^1 ' X^2-
Az £j es e2 vektorra vonatkozo (1) vagy az et es e2 vektorra vonatkozo (!') osszefuggest beirva azt kapjuk, hogy az elso bazisbeli x\s x2 koordinatat ket kolcsonosen inverz ,,homogen linearis transzformacio" kapcsolja a masik rendszer x[, x2 koordinataihoz : (2)
x^
(T)
x =
x2 =
117
A koordinatak valtoznak az £ vektorral, az
nata-rendszerek mind egyforman hasznalhatok. Egyikbol a masikba ortogondlis transzformdcio visz at, vagyis egy /a'n, a'12\k azonban allandok. Konnyen belathato, (2),mikor (2') linearis transzformacio, mely valtozatlanul hagyja az x\+xl alakot: x\+xl = x[2+x'22. De csekely atalakitassal e transzformacio interpretalhato egy elforgatas algebrai kifejezesekent is. Ha egy O van inverziik a (2)-beliekhez hasonlo linearis transzforpont koriili elforgatassal az Ci, 62 Descartes-fele bazis macioknak: pontosan akkor, ha a determinansuknak az 6j, 62 descartes-i bazisra valtozik, akkor az £ = mondott #11022—^12^21 szam nullatol kiilonbozik. = jciei+x 2 e 2 vektor az j' = xie^ + x^ vektorba Amig csak az eddigi fogalmakat hasznaljuk, nevezetemegy at, s ha — az eredeti (ei, e2) bazist hasznalva vonatsen: (1) a vektorok a+b osszeget, (2) egy a vektor es koztatasi rendszeriil — e vektort x'^ + x'^z alakban egy A szam szorzatat, (3) a miiveletet, mellyel ket, A es irjak fel, azt fogjak latni, hogy az xi, x2 koordinatajii B pont kijeloli az AB vektort, s a mindezekbol logikai vektor x[, x'2 koordinatajuva valik, ahol is lit on kaphato fogalmakat, mindaddig affin geometriat muveliink. E geometriaban barmely Ci, e 2 vektorbazis eppolyan jo, mint akarmely masik. Az £ vektor | £ | hoszjzdnak fogalma mar meghaladja az affin geometria koret, kovetkezeskepp s kulcsfontossagii a metrikus geometriaban. Egy tetszo(4) leges £ vektor hosszanak negyzete kvadratikus alakja a — %l^l T ^12-^2' ^2 — ^2 vektor xi, x2 koordinatainak: [ezek az (jcl5 x2) es (x^, x2) parok felcserelesevel a (2) kepletek]. Ha pontok lepnek a vektorok helyebe, a homogen a gu, gi2 es gzz egyutthatok allandok. Ez a Pitagoraszlinearis transzformaciokat inhomogen linearisak valtjak tetel leglenyege. A (3) metrikus alapforma pozitiv definit, fel. Legyen (xx, x2) es (x[, x2) egyazon tetszes szerinti X vagyis pozitiv ertekii az xi es x2 valtozok barmely ertepont koordinataparja az (0; d, €2), valamint az (Or; k6re, hacsak nem xi = x2 = 0. Leteznek specialis koorCj, 63) koordinata-rendszerben. Igy dinata-rendszerek, a Descartes-felek, melyekben e forma az egyszeru xj+xj kifejezest veszi fel; e rendszerek ket, OX = egymasra meroleges, egysegnyi hosszii vektorbol allanak. A metrikus geometriaban a Descartes-fele koordis mivel OX = OO' + O'X, azert 118
119
(5)
Xf = a^ + a^ + b,
(i = 1, 2);
feltettiik itt, hogy OO' - btfi + b&z. Az inhomogenek a &,- kiegeszito tagokban ternek el a homogen transzformacioktol. Az (x1? x2) pontot az (x[, x'2) pontba atvivo (6)
x', = a^ + anXz + bi
(/' = 1, 2)
egybevagosagot ir le, ha ortogonalis a transzformacionak a vektorok lekepezeset megado (4)
x', = aaxi+ai2x2
(i = 1, 2)
homogen resze. (A koordinatak itt termeszetesen ugyanarra a rogzitett koordinata-rendszerre vonatkoznak.) A (bi, b2) vektorral valo eltoldst nevezetesen az xi = xi+i,
x2 =
transzformacio fejezi ki. Ezek utan visszateriink a sikbeli veges forgascsoportok Leonardo-fele i, C2, €3, i, D2, D3,
... ; ...
tablazatahoz. A Cn csoportokban a miiveletek algebrai kifejezese fuggetlen a descartes-i vektorbazis valasztasatol. Nem igy a £>„ csoportokban; itt a kifejezest az egyik ttikortengely iranyaban felvett egysegvektorral hozzuk normalalakra. A forgascsoportok Descartes-fele koordinata-rendszerekben ortogonalis transzformaciok csoportjakent nyilvanulnak meg. Kifejezesiik ket ilyen, orto120
gonalis transzformacio osszekototte koordinata-rendszerben — igy mondjuk majd — ortogonalisan ekvivalens. Amit Leonardo vegzett, algebrai nyelven marmost igy fogalmazhato meg: ortogonalis transzformaciocsoportoknak olyan listajat allitotta ossze, hogy (1) a csoportok koziil barmely ketto ortogonalisan nem ekvivalens, es (2) barmely veges ortogonalis transzformaciocsoport ortogonalisan ekvivalens a tablazatbeliek valamelyikevel. Roviden kimondva: Teljes jegyzeket adta az ortogondlisan nem ekvivalens veges ortogonalis transzformaciocsoportoknak. Sziiksegteleniil bonyolitott modnak latszik ez egy egyszeru dolog kifejezesere, de hamarosan elotiinnek majd az elonyei is. A diszitmenyek szimmetridja a sik egybevagosagi lekepezeseinek csoportjaival all kapcsolatban. Ha egy ilyen A csoport eltolasokat is magaba foglal, akkor keptelenseg volna rola vegesseget feltenni, hiszen az o azonos lekepezestol kiilonbozo a eltolas ismetlodeseivel vegtelen sok na eltolas all elo (n — 0, +1, ±2, ...). A vegesseget ezert a diszkretseg feltetelevel helyettesitjiik: ez azt kivanja meg, hogy a csoportnak ne legyen eleme az azonos transzformacio barmilyen kozelsegeben magan az azonos transzformacion kiviil. Mas szoval: van olyan pozitiv e szam, hogy ha csoportunk valamelyik (6) transzformaciojanak
\)
^22—1)
ertekei mind — e es +e kozott fekszenek, akkor az az azonos transzformacio (ahol is e szamok valamennyien 121
nullaval egyenlok). Csoportunk eltolasai egy diszkret A eltolascsoportot alkotnak. Erne csoportokra harom lehetoseg all. A csoport vagy semmit nem tartalmaz, csak a nullvektort, vagy minden eltolasa egyetlen e ^ o alapeltolas xe(x = 0, +1, ±2, ...) ismetlodese, vagy pedig ezek az eltolasok (vektorok) ketdimenzios rdcsot alkotnak, azaz ket, linearisan fiiggetlen Ci es e 2 vektornak egesz egyiitthatoju Xiei + x2e2 linearis kombinacioi. E harmadik eset a benniinket erdeklo kettosen vegtelen ismetlodes. Az 61 es e 2 vektor a rdcs bdzisa. Kiindulopontul jeloljiink ki egy O pontot; a pontok, ahova O a racs eltolasaival elkeriil, paralelogrammas pontracsot alkotnak (58. abra).
/—/-+ /
/
Mennyire onkenyes — kerdezzuk menten — a bazis megvalasztasa egy adott racsban? Ha e[, e.'z egy masik bazis, akkor azt kell kapnunk, hogy
ahol az au szamok valamennyien egeszek. Csakhogy az (1') inverz transzformacionak is egesz egyiitthatqjunak kell 122
lennie, kiilonben e[, e'2 nem alkotna bazist. A koordinatakra igy ket kolcsonosen inverz, egesz egyiitthatoju (2")
21,
a21,
linearis (2) es (2') transzformacio adodik. A homogen linearis, egesz egyiitthatoju, s hozza meg ugyanilyen inverzzel biro transzformaciokat unimoduldrisnak nevezik a matematikusok; egyszerii belatni, hogy az ilyen, egesz egyiitthatoju transzformacio akkor es csak akkor unimodularis, ha 011022— ^12^21 determinansa +1 vagy — 1. A kettosen vegtelen ismetlodesii lehetseges mozgascsoportokat meghatarozando, a kovetkezokeppen jarunk el. Valasztunk egy O pontot kezdopontul, es csoportunk eltolasait az O eltoltjainak racsaval jellemezziik. Csoportunk barmely miiveletet tekinthetjiik egy, ezen O pont koriili elforgatas es egy eltolas egymasutanjanak. Koziiliik az elforgatas ekkor onmagaban viszi vissza a racsot. Mi tobb, ezek a forgasi osszetevok diszkret, kovetkezeskepp veges F = {A} forgascsoportot alkotnak. A krisztallografusok szohasznalata szerint ez a csoport hatarozza meg az ornamentika szimmetriaojz/a/yat. F a (7) Leonardo-tablazat bol valo csoport kell legyen : (8)
(n= 1,2,3, ...),
megpedig olyan, hogy transzformaci6i az L racsot 6nmagara helyezzek vissza. Ez a F forgascsoport es L racs kozotti kapcsolat bizonyos megszoritasokat ro mind a csoportra, mind a racsra. 123
Ami F-t illeti, itt kizar minden 1-tol, 2-t6I, 3-tol, 4-tol es 6-tol kiilonbozo n erteket. Jegyezziik meg, hogy az 5 is kizart ertek! Mivel a racs allja a 180°-os forgatast, a legkisebb elforgatasnak, mely onmagaba meg visszaviszi, 180° es egy egesz szam hanyadosanak kell lennie, vagyis 360° osztva 2-vel vagy 4-gyel, vagy 6-tal, vagy 8-cal, vagy... szogertekiinek. Meg kell mutatnunk, hogy a 8 es a nalanal nagyobb szamok mar lehetetlenek. Vegyiik az n = 8 esetet, es A legyen a racsnak egy 0-hoz leheto legkozelebb eso, de tole kiilonbozo pontja (59. abra). Akkor pedigazegesz^4 = Ai,A2,A3, ... nyolcszog — mely az A pont egymas utani helyzeteibol rajzolodik ki, ha az O koriil ismetelten elforgatjuk a teljes szog 1 /8-ad reszevel 59. dbra — egyediil csak racspontokbol all. Mivel OAi es OA2 racs vektor, kiilonbsegiik, az AiA2 vektor is az kell hogy legyen, es igy az OB = AiA2 megadta B pont is rajta lesz a racson. Ez azonban ellentmondasba visz, hiszen B kozelebb van O-hoz, mint az A = A\\ szabalyos nyolcszog A\Az oldala ugyanis rovidebb, mint az OAi sugar. A J1 csoportra tehat csak a kovetkezo tiz bhetoseg marad: (9) 124
d, C2, C3, C4, C6; Di, D2, Da, Dt, D6.
Konnyen belathato, hogy leteznek olyan racsok is, melyeket valtozatlanul hagynak az egyes csoportok muveletei. A Ci es C2 csoportnal persze barmilyen racs megteszi, mert az azonos transzformacio es a 180°-os elforgatas minden racsot onmagaba visz at. De vegyiik csak a DI csoportot, az azonos transzformacio es egy O-n atmeno / tengelyre valo tiikrozes 60. dbra csoportjat. Ez ketfajta racsot visz vissza onmagaba: a teglalapracsot es a gyemantracsot (60. abra). Teglalapracsot kapunk, ha a tengellyel, /-lei parhuzamos es ra meroleges egyenesekkel egybevago teglalapokra osztjuk a sikot. A teglalapok csucspontjai a racspontok. Termeszetes bazis az alapnegyszog bal also O csucsabol indulo Ci es e 2 oldalvektor. A gyemantracs egybevago rombuszokbol all, melyekre a teglalapracs atloegyenesei osztjak fel a sikot. A bal sarkaval O-t erinto alaprombusz ket oldala szolgalhat racsbazisul. A racspontok: a teglalapok csucsai (O) es kozeppontjai(0).(Afaknak eppen ezt a rombos racsii rendjet nevezte Thomas Browne otos kotesiinek, a '.' otost gondolvan elemi alakzatanak, jollehet a racsnak igazabol semmi koze az 5-6s szamhoz.) 125
Az alapteglalap es -rombusz tetszoleges alakii es meretii. Megtalalvan az elforgatasok 10 lehetseges F csoportjat es mindegyikhez a magukba visszatero racsokat, egy F csoportot es egy hozzaillo L racsot kell osszeragasztani, hogy eloalljon a teljes egybevagosagi transzformaciocsoport. Kozelebbi vizsgalatra kideriil, hogy bar a lehetseges F csoportok szama 10, lenyegesen eltero teljes A egybevagosagi csoport 17 letezik. Tizenhet lenyegesen kiilonbozo fajtaju szimmetriaja lehet tehat a ketdimenzios, kettosen vegtelen ismetlodesu disziteseknek. Mind a 17 szimmetriacsoportra talaltak peldat az okori, jelesiil az egyiptomi diszitomotivumok kozt. A geometriai kepzeloero es lelemenyesseg melysege bennuk aligha tiilbecsiilheto. Szerkezetuk tavol all a matematikailag nyilvanvalotol. A diszitomiiveszet rejti a magasabb matematika altalunk ismert legregibb reszet. Ketsegtelen, hogy a XIX. szazad elott nem jelenik meg az alapproblema teljes megfogalmazasalioz a fogalmi eszkoz — nevezetesen a transzformaciocsoport matematikai fogalma, s csak erre alapozva bizonyithato, hogy a rejtve mar az egyiptomi mesterektol is ismert 17 szimmetria kimeriti az osszes lehetoseget. A bizonyitas, barmily furcsa is, csak 1924-ben sziiletett meg, a ma Stanfordban tanito Polya Gyorgy jovoltabol.2 Az arabok sokat kutakodtak az 5-6s szam koriil, de persze igazan sohasem sikeriilt kettosen vegtelen ismet-
:L.
,,Ueber die Analogic derKristallsymmetrie in der Ebene" c. cikk&, Zeitschr. f. Kristallographie, 60, 278-282. old.
126
lodesii szerkezetbe otszoros kozeppontos szimmetriat illeszteniok. Kiilonbozo almegoldasokkal azert megis probalkoztak. Mondhatni, kiserletileg bizonyitottak, hogy ornamensben nem lehet otszog. Vilagos volt, mire gondolunk azt mondvan, hogy a (9)-beli tizen kiviil nines mas, invarians racshoz kotheto forgascsoport, hanem a nem tobb mint 17 kiilonbozo ornamentalis csoportrol szolo kijelentes mar kivan nemi magyarazatot. Ha peldaul 71 = Ci, akkor A egyediil eltolasokbol allo csoport, a racs azonban barmilyen lehet, a ket bazisvektor kifeszitette paralelogramma alakja es merete tetszoleges ; a lehetosegek vegtelen folytonos sokasagabol valogathatunk. A 17 szamhoz juttunkban mindjiiket egyetlen lehetosegnek vettiik; vajon mi jogon? Itt van szuksegem analitikus geometriara. Affln geometriai megvilagitasban tekintve sikunk ket struktiirat hordoz: (i) a metrikus struktiirat : ezaltal minden 5 vektor hoszsziisagot kap, melynek negyzetet a koordinataknak pozitiv definit (3) kvadratikus alakja, a metrikus alapforma fejezi ki ; es (ii) egy racsstruktiirat, abbol adodoan, hogy a diszites vektorraccsal ruhazza fel. A szokasos mod szerint eloszor a metrikus strukturat veszik tekintetbe; igy Descartes-fele koordinata-rendszereket vezetnek be, ahol is a metrikus alapforma kanonikus Xi+Xg alakot olt, az invarians racsok folytonos sokasaganak algebrai reprezentaziqjaban pedig fonnmarad egy valtozo elem. De ahelyett, hogy a koordinatakat a Descartes-rendszerek felvetelevel a metrikahoz idomitanank, vehetjiik a racsstruktiirat elsodlegesnek, s — egy bazisat kivalasztva 61 es e 2 vektorul — illeszthetjiik hozza a koordinatakat,
127
minek kovetkezteben most a racs kifejezes lesz jellemzo es normalt az x\s x 2 koordinatak kifejezesekent. A racsvektorok ugyanis eppen az eg&yz.vzam-koordinataju vektorok lesznek. Mindkettot rendszerint nem lehet megtenni: altalaban nines olyan koordinata-rendszer, melyben a metrikus alapforma a kanonikus xl + xl alakot oltene. Most a masodik modszert kovetjiik, matematikailag ez elonyosebbnek igerkezik. E vizsgalatot alapfontossagiinak gondolom az egesz morfologiaban. Peldakeppen vegyiik ismet a DI csoportot. Ha az invarians racs teglalapracs, es a bazist az elobbi termeszetes modon valasztjuk meg, ugy D\z azonos transzformaciobol es az xi
— X^
X% ~
X%
miiveletbol all. A metrikus alapforma lehet barmelyik a^l + a.^ specialis tipusii pozitiv alak. Ha az invarians racs gyemantracs, es az alaprombusz oldalait valasztjuk bazisul, akkor a Di csoport az azonos transzformaciobol es a tovabbi
miiveletbol tevodik ossze. A metrikus alapforma lehet barmelyikfl(xi+X2)+2fo^ 1 x 2 specialis tipusii pozitiv alak. Csakhogy most a Di csoport helyebe ket csoportot kapunk, az egesz egyutthatqju linearis transzformaciokbol allo Df[ es 1% csoportokat, melyek ha ortogonalisan ekvivalensek is, unimodularisan mar nem, leven az egyik
128
/I
0\I
0\
i/'
\o -i)
egyutthatomatrixu miiveletekbol, a masodik /I
0\O
1\
i/'
\
o)
matrixuakbol osszeteve. Ket homogen linearis transzformaciok alkotta csoportot termeszetesen akkor mondunk unimodularisan ekvivalensnek, ha mindketto ugyanazt a muveletcsoportot kepviseli, az egyik ilyen, a masik amolyan racsbazisban, azaz akkor, ha unimodularis koordinata-transzformacioval egymasba alakulnak at. A racshoz illesztett koordinata-rendszerben F miiveletei egesz a^. egyiitthatojii (4) homogen linearis transzformaciokkent jelennek meg; mivel ugyanis mindegyik 6'nmagaba viszi vissza a racsot, x[ es x'2 egesz ertekii lesz, ahanyszor csak x^ es x 2 egesz erteket vesz fel. A racsbazis szabad valaszthatosaga abban a megallapodasban jut kifejezesre, miszerint linearis transzformaciok unimodularisan ekvivalens csoportjait azonosaknak tekintjiik. Egesz egyutthatqju mivoltukon tiil a transzformacioi meg valtozatlanul is hagynak egy bizonyos (3) pozitiv definit kvadratikus alakot. Am ez igazabol nem lesz ujabb megszoritas, megmutathato ugyanis, hogy valos egyutthatqju linearis transzformaciok barmely veges csoportjahoz konstrualhatunk olyan pozitiv kvadratikus alakot, amelyet e transzformaciok valamennyien valtozatlanul hagy-
129
nak.3 Hany kulonbozS — azaz unimodularisan nemekvivalens — veges csoport letezik hat egesz egyiitthatoju, ketvaltozos linearis transzformaci6kb61? Tiz, marmint regi (9) barataink? Nem, tobb van, hiszen lattuk, hogy peldaul a D\t ket nemekvivalens csoportra, DJ-ra es Dj-re bomlik szet. Ugyanez tortenik a D2 es Da csoporttal, s az eredmeny az, hogy az egesz egyutthatoju linearis miiveleteknek pontosan 13 unimodularisan nemekvivalens veges csoportjuk letezik. Matematikailag sokkal erdekesebb eredmeny ez, mint a 10 invarians racsii forgascsoport (9) tablazata. Utolso lepeskent be kell vezetni a miiveletek eltolasi reszet; igy inhomogen linearis transzformaciok 17 unimodularisan nemekvivalens diszkret csoportjat kapjuk, melyek tartalmazzak az osszes egesz b\s fc2 erte"ku
eltolast, es az eltolasok koziil mast nem is. Ez az utolso lepes nehezseget nemigen rejt; a meg megteendo megjegyzesekben jobb az eltolasi 6'sszetevok elhagyasaval kapott homogen transzformaciok 13 veges F csoportjara tamaszkodni. Eddig csak a sik racsstrukturaja volt szamos. A metrikat nem lehet persze mindorokre elhagyni. S itt kezdodik 3
Ez az alapveto tetel H. Maschkdtol szarmazik. A bizonyitas megIehet6sen egyszeru: vegyiink egy tetszdleges pozitiv definit kvadratikus alakot, pdldaul az A^+A^ alakot, sorra vessiik aid a csoport valamennyi S transzformaciojanak, s az igy kapott alakokat adjuk ossze; az eredmeny egy invarians pozitiv definit alak.
130
a problema folytonos vonatkozasa. Mind a 13 F csoporthoz van invarians pozitiv G(x) =
kvadratikus alak. Az ilyen format egyutthatoi jellemzik: (gn, gi2, gzz)- A G(x) alakot a F csoport nem hatarozza meg egyertelmiien : G(x) helyettesitheto peldaul barmely c • G(x) pozitiv szamszorosaval. A F miiveleteitol valtozatlanul hagyott G(x) pozitiv kvadratikus alakok egyszeru termeszetii egy-, ket- vagy haromdimenzios ,,kupot" alkotnak. Peldaul a D" es a D* esetben az osszes a^+a^ alakii, es az osszes a(x* + X2)+2bxlx2 alakii pozitiv formanak kaptuk ketdimenzios sokasagat. A metrikus alapforma az invarians alakok sokasagabol valo. A A ornamentalis csoportok teljes leirasaban most vilagosan szetvalasztottuk a diszkret jellegii vonasokat a folytonos sokasagban valtozhatoktol. A diszkret arculat tiinik elo, ha a csoportot racshoz alkalmazkodo koordinatakkal jelenitjiik meg, es az a 17 meghatarozott, egymastol eltero csoport valamelyikenek bizonyul. A G(x) lehetseges metrikus alapformaknak folytonos sokasaga tartozik mindegyikhez; e sokasagbol keresendo ki a tenyleges alapforma. A racshoz, nem metrikahoz idomitott koordinata-rendszer folenye azzal lesz szemmel lathato, hogy most a G(x) valtozo elem egyetlen egyszeru folytonos sokasagot fut be, metrikahoz alkalmazkodo koordinatakat valasztva viszont az L racs — itt a valtozo elem — esetleg tobb reszbol allo kontinuumban mozog, amint a D\a mutatta. A fo'leny akkor mutatkozik 131
meg mindenestiil, ha a csonka F = {A} homogen csoportrol atteriink a teljes A ornamentalis csoportra. A valamifele diszkretre es valamifele folytonossagra valo felosztas alapkerdesnek latszik elottem az egesz morfologiaban, az ornamentikak es kristalyok morfologiaja peldajat adja e felosztas vilagos vegigvitelenek. Mindeme kisse elvont matematikai altalanossagok utan mutatok most nehany kepet onoknek kettosen vegtelen ismetlodesii feluleti ornamentikakrol. Lathatjuk oket tapetan, szonyegen, kirakott kopadlon, parkettan, mindenfele — foleg nyomott — ruhaanyagon, s igy tovabb. Nyitott szemmel jarva meglepo, hogy a mindennapi eletben mily nagy sokasagban vesznek koriil benniinket szimmetrikus mintak. A geometrikus diszitomiiveszet legnagyobb mesterei az arabok voltak. Rank maradt epiileteik, peldaul a granadai Alhambra falan egyszeriien nyomaszto a stukkodiszites gazdagsaga. A leiras vegett jo lesz tudnunk, milyenek is a ketdimenzios terben az egybevagosagi transzformaciok. A valodi elmozgatas lehet vagy eltolas, vagy elforgatas valamilyen O pont koriil. Ha szimmetriacsoportunkban van ilyen elforgatas, es az O koriili elforgatasok mindannyian tobbszorosei a 360°/« szogiinek, akkor az O pontot n-szeres multiplicitasii vagy egyszeruen n-szeres polusnak fogjuk nevezni. Tudjuk, hogy csak az n = 2, 3, 4 es 6 ertekek lehetsegesek. Egy nemvalodi egybevagosag vagy egy / egyenesre valo tiikrozes, vagy egy ilyen tiikrozes es az / menti o eltolas egymasutanja. Ha csoportunkban akad ilyen, akkor a megfelelo / egyenest tengelynek, illetve csiiszotengelynek nevezziik. Ez utobbi esetben az egybe132
vagosag megismetlese 2o vektorii eltolast ad, az a csuszovektor sziiksegkepp fele tehat csoportunk valamelyik racsvektoranak. Az elso kep (61. abra) egy hatszoges racs rajza; ennek targyalasaval kezdodott a mai eloadas. Igen gazdag szimmetriat mutat. Ketszeres, haromszoros es hatszoros polusai vannak, ezeket rendre pontok, kis haromszogek es hatszogek mutatjak a rajzon. A 6-szoros polusok kozotti vektorok a racsvektorok, az abra vonalai a tengelyek. Vannak csuszotengelyek is, ezek itt nincsenek abrazolva;
61. dbra
133
a tengelyekkel parhuzamosan futnak, feluton kozotttik. A lehetseges hatszoges szimmetriacsoportok szama 6t; megkapjuk oket, ha az egyszerii 6, 6', 3', 3a es 3b alakzatokat illesztjiik a hatszoros polusokba. A 6 es a 6' minta e polusokat meghagyja hatszorosnak, am a 6' eltiinteti a tengelyeket. A 3', 3a es 3b mintak haromra csokkentik e multiplicitast, koziiliik a 3' nem hagy tengelyeket, a 3a mintaju szerkezetben a haromszoros polusok mindegyik6n megy at tengely, a 3b mintajuban csak a korabban hatszoros multiplicitasuakon (ez az osszes polusnak egyharmad resze). A megfelelo homogen csoportok rendre: Z>6, C6, C3, DS es D%; a D% es Dbz itt a Z>3-nak racshoz illo koordinata-rendszerben felvett unimodularisan nemekvivalens ket alakja. Most nehany valodi mor, egyiptomi es kinai eredetii diszites kovetkezik. Ez egy XIV. szazadi kairoi mecsetbol valo ablak (62. abra), a hatszoges D6 osztalyhoz tartozik. Az elemi alakzat egy haromkarejos hurok; csodalatos miiveszettel kapcsolodik a tobbihez. Majdnem megszakitatlan vonalparok szelik at a szerkezetet harom iranyban, a vizszintessel 0°-os, 60°-os es 120°-os szoget zarva be; e vonalparok kozepvonalai valamennyien csuszotengelyek. Konnyen felfedezhetik a kozonseges tengelyek vonalait is. Nem talalni tengelyeket a Sala de Camas halofulkejenek hatso falat diszito azulejos ornamentikan (63. abra) a granadai Alhambraban. Csoportja 3' vagy 6' aszerint, hogy figyelembe vessziik-e a szineket vagy nem. A diszitomuveszetnek ez egyik legfinomabb fogasa: a geometriai minta valamilyen A csoport kifejezte szimmetriajat szinezessel a A egy reszcsoportjanak megfelelo 134
62. dbra
135
64. dbra
63. dbra
szimmetriava mersekelni. Negyzetes, P4 osztalyii szimmetriat mutat ez az ismeros rajzii teglaburkolat (64. abra); az a mulatsagos benne, hogy nincsenek kozonseges ten-
136
65. dbra
gelyei, csak csusztatok: ezek a negyedrendii polusokon mennek at (az egyik polust megjeloltiik). Ugyanilyen szimmetriaju a kovetkezo, egyiptomi diszitmeny (65. abra), akarcsak a ket mor ornamentika (66. abra). Targyunkba vago hatalmas munka Owen Jones Grammar of ornamentse, az illusztraciokbol egyik-masik innen szarmazik. Specialisabb jellegii Daniel Sheets Dye miive, a Grammar of Chinese lattice, a kinaiak papir ablaktarto racsainak szerkezetevel foglalkozik. Ket jellegzetes szerkezetet idezek fel a kotetbol (67. es 68. abra), egy hatszogeset es egy D4 tipusiit. Bar reszletesen elemezhettem volna e diszitesek nemelyiket! Hanem ennek elofeltetele lett volna a 17 ornamentalis csoport tenyleges algebrai leirasa. Jelen eloadasnak azonban inkabb volt celja a diszitesek (es a kristalyok) morfologiajanak melyen rejlo altalanos matematikai elvek megvilagitasa, mintsem egyes diszitmenyek csoportelme-
137
66. dbra
O3?WO3?
^^o^OQ^-^OO
138
68. dbra
leti vizsgalata. Az ido rovidsege gatol, hogy mindket oldalnak eleget tegyek, a konkretnak es az absztraktnak is. Igyekeztem megmagyarazni a sarkalatos matematikai gondolatokat, s mutattam onoknek nehany kepet; megmutattam koztuk a hidat, de lepesrol lepesre nem vezethettem at rajta onoket.
KRISTALYOK A SZIMMETRIA ALTALANOS MATEMATIKAI ESZMEJE
KRISTALYOK A SZIMMETRIA ALTALANOS MATEMATIKAI ESZMEJE
A mult eloadasban a ketdimenziobeli (i) homogen ortogonalis transzformaciok osszes ortogonalisan nemekvivalens csoportja, (ii) a koziiliik invarians raccsal biro csoportok, (iii) az egesz egyutthatojli homogen transzformaciok osszes unimodularisan nemekvivalens veges csoportja felsorolasanak problemajaval foglalkoztunk, ezenfeliil (iv) az inhomogen linearis transzformaciok mindazon unimodularisan nemekvivalens diszkret csoportjaieval, melyek az eltolasokbol pontosan az egeszszam-koordinatajuakat tartalmazzak. Az (i) kerdesre a Leonardo-tablazat volt a valasz: Ca, Dn
(n = l,2, 3, ...);
a (ii) problemara az n index korlatozasa az 1, 2, 3, 4 es 6 ertekekre. E negy felsorolasban a csoportok hlt hn, hm es /ijv szamara sorra a oo, 10, 13 es 17 ertekek adodtak. A legfontosabb problema ketsegteleniil a (iii). Felvetheto e negy kerdes a ketdimenzios sik helyett az egydimenzios egyenesre vonatkozolag is. Igen egyszerii 143
I.
volna valaszolni, es az adodnek, hogy a hlt /in, hm es /JIV szamok valamennyien 2-vel egyenlok. A csoport ugyanis az (i), (ii) es (iii) esetekben vagy egyediil az x' = x azonos transzformaciobol all, vagy rajta kiviil meg az x' = — x tiikrozesbol. Amde most a 2-t nem csokkenteni szandekszunk 1-re, hanem novelni 3-ra. A haromdimenzios veges forgascsoportokat felsoroltuk mar a masodik eloadas vegen; elismetlem oket: A tablazat : Cn,
Cn,
C2nCn
£>; D'n, D:inD'n, D'nCn
T, W, P\ W, F;
(n = 1, 2, 3, ...); (n=
2, 3,
...);
WT.
Ha ki van kotve, hogy a csoport transzformacioinak valtozatlanul kell hagyniok valamilyen racsot, akkor csak 2-, 3-, 4- es 6-szoros forgastengelyek lehetsegesek. Ezzel a megszoritassal tablazatunk a kovetkezore fogyatkozik : B tablazat :
D'2, D's, /?;, D't;
D'2, D'3, D't, D'6;
C15 CjCz, C6C3;
DiD2, DeD3',
D2C2, D3C3, D^CI,
£>6C6;
T, W, T, W, WT.
144
Ez osszesen 32 csoport. Konnyii meggyozodni rola, hogy a 32 mindegyikenek van invarians racsa. Harom dimenzioban a hu, hm es /ilv szamok erteke: 32, 73, 230.
Algebrai alakjaban e problema az imenti 2 es 3 helyett akarhany xi, x2, . . .,xm valtozora is megfogalmazhato ; igazolva vannak a megfelelo vegessegi tetelek is. A modszer matematikailag nagy fontossagii. A ,,metrika + racs" kombinacio alapja a kvadratikus alakok elmeletenek, mely — Gausstol bevezetve — a XIX. szazadban vegig kozponti szerepet jatszott a szamelmeletben. Dirichlet, Hermite, majd Minkowski es Siegel vitte tovabb ezt az iranyt. Az w-dimenzios ornamentalis szimmetria vizsgalata az 6 eredmenyeikre epiil, s meg az ugynevezett algebrak vagy hiperkomplex rendszerek algebrai es finomabb aritmetikai elmeletere, melyen az Egyesiilt Allamokban a legifjabb algebristageneracio, mindenekelott L. Dickson faradozott sokat. A feliileteket sikbeli ornamensekkel diszitjiik; a miiveszet sohasem foglalkozott terbeli, szilard ornamensekkel. De megtalalhatjuk oket a termeszetben : a kristalyban eppen ilyen mintak szerint rendezodnek el az atomok. A kristalyok siklapoktol hatarolt geometriai alakja erdekfeszito jelensege a termeszetnek. Egy kristaly valosagos fizikai szimmetriaja azonban nem is annyira kiilso megjeleneseben mutatkozik meg, inkabb a kristalyos anyag belso fizikai szerkezeteben. Tegyiik fel, hogy ez az anyag kitolti az egesz teret. Makroszkopikus szimmetriaja valamilyen F forgascsoportban jut kifejezesre. A kris145
talyban fizikailag csak azok a teriranyok megkiilonboztethetetlenek, amelyeket e csoportnak valamelyik forgasa cgymasba visz at. Peldaul a kristalyos anyagban a kiilonbozo iranyokban eltero sebesseggel halado feny a F csoport elforgatasaival egymasba viheto iranyokban ugyanolyan sebesseggel fog terjedni. Ez minden mas fizikai tulajdonsagra is all. Izotrop kozegnel a F csoport tartalmaz minden elforgatast, de egy kristalyt veve az elforgatasokbol csak veges sok lehet, neha csak az azonos transzformacio. A racionalis indexek torvenye a kristaly sikfeliileteinek elhelyezkedesebol szarmazott a krisztallografia tortenetenek kezdeten. Ez vezetett a kristaly racsszerii atomi szerkezetenek hipotezisehez. E hipotezis — mely magyarazatot ad a racionalis indexek torvenyere — hatarozottan megszilardult a Laue-fele interferenciamintak, lenyegiik szerint rontgensugarral keszitett kristalyfelvetelek reven. Pontosabban, e hipotezis azt allitja, hogy a kristaly atomelrendezodeset onmagaba visszavivo egybevagosagok A diszkret csoportja a maximalis szamii 3 eltolast tartalmazza. Ez a hipotezis egyebkent joval egyszerubb kovetelmenyekre mersekelheto. A A muveleteitol egymasba vitt atomok ekvivalensnek is mondhatok. Az ekvivalens atomok szabalyos ponthalmazt alkotnak abban az ertelemben, hogy a halmaz minden /d-beli miivelet hatasara onmagaba ter vissza, es egy tetszes szerinti pontjat a A egy alkalmas muvelete atviszi egy szinten tetszes szerintibe. Az atomok elrendezodeserol szolva egyensulyi helyzetiiket vettem alapul; valqjaban az atomok rezegnek e helyek koriil. Talan a kvantummecha146
nika fele kellene iranyt venniink, es atlagos siiriisegeloszlasukkal helyettesiteni az atomok teljesen meghatarozott helyzetet: e surusegfiiggveny invarians a terben a A miiveleteivel szemben. A F = {A} csoport — a zl-beli egybevagosagok elforgatasreszeinek csoportja — onmagaba teriti vissza az O origobol a A eltolasaival eloallo racsot. A B tablazatban felsorolt 32 lehetseges F osszhangban all a kristalyok letezo 32 szimmetriaosztalyaval. Magara a A csoportra, mint mar esett rola szo, 230 kiilonbozo lehetosegiink van.1 A/ 1 = {A} a kozvetlenill erzekelheto, makroszkopikus fizikai es geometriai szimmetriat irja le, A viszont az emogotti mikroszkopikus, atomi szimmetriat. Alighanem mindannyian tudjak, mi az, amin a kristalyok Laue-felvetelenek eredmenyessege megfordul. Egy targynak valamilyen adott hullamhosszu fennyel kapott kepe csak a hullamhossznal joval terjedelmesebb reszleteket abrazolja hiven, a kisebbek feloldodnak. Marmost a kozonseges feny hullamhossza kozel ezerszer nagyobb az atomkozi tavolsagoknal. A rontgensugarake azonban pontosan a kivanatos 10~8 centimeter nagysagrendii. Ezzel a modszerrel Laue ket legyet iitott egy csapasra: igazolta, hogy a kristaly racsszerkezetu, s bebizonyitotta azt az — akkoriban (1912-ben) inkabb csak tapogatozo — feltevest, hogy a rontgensugarzas: rovid hullamhosszu feny. Mindazonaltal az atomi elrendezodes es az e diagramok adta portre nem hasonlatos a szo kozonseges ertelmeben. Egy mindossze nehany hullamhossznyi 1
Lasd peldaul P. Niggli: Geometrische Kristallographie des Diskontinuums, Berlin, 1920.
147
*, »
',"* _
**',,'
,»•
f
••,.%*
*
* " »-*.','^p..-;-: »,;•
69. dbra
70. dbra 148
szclcs rest mcgfigyclvc a resnek kisse torz, interfcrenciasavoktol rontott kepet fogjak kapni. E Laue-diagramok ugyanilyen ertelemben interferenciamintai az atomi racsnak. E fenykepekbol megis kiszamithato az atomok valosagos elrendezodese; a megvilagito rontgensugarzas hullamhosszaval adva leven a leptek. Ime ket Laue-diagram (69. es 70. abra), mindketto Laue eredeti cikkebol (1912): szfaleritrol keszultek olyan iranybol, hogy lathato legyen egy negy-, illetve haromszoros tengely koriil a szimmetria. Az eloadason bemutathattam nehany haromdimenzios (nagyitott) modellt az atomok elhelyezkedeserol, nyomtatott szovegben be kell erniink csak fenykeppel (71. abra): e modell a TiO2 osszetetelii anatazkristalyt abrazolja; a feher golyok a titan-, a feketek az oxigenatomok. A rontgenkepmast ronto minden torzulas ellenere a kristaly szimmetriai hiven kirajzolodnak. Specialis esete ez a kovetkezo altalanos elvnek: Ha hatasukat egyertelmiien meghatarozo feltetelek bizonyos szimmetriakkal birnak, akkor a hatast ugyanilyen szimmetriak fogjak jellemezni. Igy kovetkeztetett a priori arra Arkhimedesz, hogy egyenlo siilyok egyenlo karii merlegen egyensiilyban vannak. Az egesz alakzat szimmetrikus ugyanis a merleg kozepsikjara, lehetetlen tehat, hogy az egyik kar felemelkedjek, a masik leszalljon. Ugyanezert bizonyosak lehetiink benne, hogy tokeletes kockakat vetve mindegyik oldalnak ugyanakkora az eselye: 1/6-nyi. Olykor, igy szimmetriaraalapozva, modunk nyilik kijelenteseket tenni specialis esetekre, bar az altalanos eset, mint peldaul az egyenlotlen karii merleg egyensulyanak torvenye, csak tapasztalatilag kozelitheto meg, vagy vegiil is szinten 149
J>
71. dbra
tapasztalaton alapulo jSzikai elvek reven. Ahogy en latorn, a fizikaban az a priori megallapitasok mind szimmetriabol fakadnak. E szimmetriara vonatkozo ismeretelmeleti megjegyzeshez egy masikat is fiizok. A kristalyok morfologiai tor150
venyeit ma az atomi dinamika fogalmaival ragadjuk meg: ha azonos atomok ugy hatnak egymasra, hogy az atomi sokasagban ezaltal meghatarozott egyensulyi allapot allhat elo, akkor az atomok egyensulyban sziiksegszeriien szabalyos pontrendszerbe rendezodnek. Adott kiilso koriilmenyek kozott a kristalyt alkoto atomok termeszete hatarozza meg a meretviszonyokat, amire nezve a tisztan morfologiai szempontii vizsgalat a megallapitott 230-fele szimmetriacsoport kozott meg tovabbi lehetosegek folytonos sokasagat hagyja nyitva. A kristalyracs dinamikaja felel a kristaly fizikai viselkedescert is, kivalt novekedesenek sajatsagaiert, az pedig meghatarozza a kornyezeti tenyezok kozremiikodesevel felveendo jellegzetes alakot. igy nem csoda, hogy a termeszetben tenylegesen elofordulo kristalyok a szimmetria lehetseges tipusait a kiilonfele formaknak olyan bosegeben fitogtatjak, hogy Hans Castorp elalmelkodott Varazshegyen. A fizikai objektumok lathato jegyei altalaban az osszetetelben es a kornyezetben gyokereznek. Hogy a viz, melynek molekulai meghatarozott osszeteteluek, szilard, folyekony vagy legnemii: a homerseklettol fiigg. Legkivaltahomerseklet a kornyezeti tenyezo. A krisztallografiai, kemiai es genetikai peldak azt sejtetik, hogy ez a kettosseg — a biologus genotipusnak es fenotipusnak vagy termeszet es neveles kettossegenek mondja — valamikeppen osszefiigg a diszkret es folytonos kozti kiilonbseggel; es lattuk mar, mint valaszthato kette — igen meggyozoen — diszkret es folytonos a kristaly jellegzetessegeiben. De nem tagadom, hogy az altalanos problema tovabbi ismeretelmeleti tisztazasra szorul. 151
Legfobb ideje, hogy bevegezzem az ornamensekben es kristalyokban rejlo geometriai szimmetria targyalasat. Ennek az utolso eloadasnak legelso celja, hogy mukodeseben mutassa be a szimmetriaelvet a fizika es matematika joval melyebben fekvo kerdeseiben, s ezektol, valamint az elozo alkalmazasoktol maganak az elvnek vegso, altalanos kimondasaig emelkedjek. Az elso eloadas roviden mar tisztazta, mi koze a relativitdselmelefnek a szimmetriahoz: a terbeli geometriai alakzatok szimmetriavizsgalata elott magat a teret kell e szempontbol szemiigyre venni. Az iires ter igen magas foku szimmetriat mutat: barmelyik pontja hasonlo barmely masikhoz, s az egyazon pontbol kiindulo kiilonbozo iranyok kozott nincsen belso kiilonbseg. Emlitettem, hogy Leibniz a kovetkezo filozofus fordulattal hatarozta meg a hasonlosag geometriai fogalmat: Hasonlo ket dolog — mondotta — , ha egyiket s masikat 6'nmagaban tekintve megkiilonboztethetetlenek. Ugyanabban a sikban ket negyzet kozott igy sok kiilonbseg lehet, ha egymashoz viszonyitva vizsgaljuk oket; peldaul az egyik oldalai 34°-os szoget zarhatnak be a masikeival. Hanem 6'nmagukban veve: az egyikre kimondott objektiv megallapitasok allnak a masikra is; ebben az ertelemben nem teheto kozottiik kiilonbseg, tehat hasonloak. Hogy milyen felteteleknek kell eleget tennie egy objektiv kijelentesnek, a ,,fiigg6leges" szo peldajan mutatom be. Ellentetben Epikurosszal, mi mai emberek egy egyenesre nezve nem tekintjiik objektiv iteletnek, hogy egy fiiggoleges volna, mert a teljesebb ,,az egyenes a gravitacio iranyaba mutat egy P pontban" allitas rovidebb alakjat latjuk benne. A gravitacios ter
152
igy esetleges tenyezo a kitetelben, sot egy altalunk mutatott P pont is szerepel benne, melyre ujjunkat az en, itt, most, e szavak kiserte szemlelteto aktussal tcssziik ra. Az epikuroszi elkepzeles osszeomlik igy, mihelyt vilagossa lesz, hogy a gravitacio iranya mas itt, ahol en lakom, s mas ott, ahol Sztalin el, es hogy ez valtozhat az anyag atrendezodesevel is. Az objektivitas melyebb elemzese helyett legyen itt eleg e nehany rovid megjegyzes. Tenylegesen, amig geometriarol van szo, Helmholtz nyoman jarunk, egyediili objektiv terbeli relacionak az egybevagosagot fogadva el. A masodik eloadas elejen szolottunk az egybevagosagi transzformaciokrol, melyek mint reszcsoport benne vannak a hasonlosagi transzformaciok csoportjaban. A tovabblepes elott meg szeretnem egy kicsit vilagosabba tenni a ket csoport viszonyat. Felbukkan ugyanis a hosszusdg relativitdsdnak nyugtalanito kerdese. A kozonseges geometriaban a hosszusag viszonylagos: egy epiilet hasonlo kicsinyitett modelljehez; a nagyitasok is az automorfizmusok koze tartoznak. A fizika azonban kimutatta, hogy az atom, vagyis inkabb az elemi reszecskek szerkezetebe — egyebek kozt a meghatarozott toltesii es tomegii elektroneba — abszolut hossziisagetalon van beleepitve. Ez az atomi hosszusagszabvany gyakorlati meresek celjaira az atomok kibocsatotta szinkepvonalak hullamhosszaban erheto el. Ez a termeszet adta abszolut szabvany sokkal jobb, mint a Parizsban a Nemzetkozi Siily- es Mertekiigyi Hivatal pincejeben orzott hagyomanyos etalonriid. A valosagos helyzet, ligy velem, a kovetkezokepp irando le. Teljes vonatkoztatasi rendszer153
ben ncmcsak a terpontok adhatok meg szamokkal, de barmilyen fizikaimennyiseg is. Ket vonatkoztatasi rendszer egyforman alkalmazhato, ha az altalanos ervenyu geo-, metriai es fizikai torvenyek egyforma algebrai alakot oltenek kettejiikben. Az ilyen egyforman alkalmas vonatkoztatasi rendszerek kozotti transzformaciok teszik ki a. fizikai automorfizmusok csoportjat; a termeszettorvenyek invariansak e csoport transzformacioival szemben. Teny, hogy e csoport transzformacioit teljesen meghatarozza a terbeli pontok koordinataira vonatkozo resziik. A ter fizikai automorfizmusairol beszelhetiink tehat. Csoportjuk a nagyitasokat nem tartalmazza, mivel az atomi torvenyek abszolut hosszat rogzitenek, tartalmazza viszont a tiikrozeseket, mivel egyetlen termeszettorveny sem utal belso kulonbsegre jobb es bal kozott. A fizikai automorfizmusok csoportja ilyenforman az osszes valodi es nemvalodi egybevagosagi lekepezes. Ha a ter ket alakzatat akkor mondjuk egybevagonak, midon egymasba vihetok e csoport egy transzformaciqjaval, ligy az egymasnak tiikorkepet alkoto testek egybevagoak. Ugy hiszem, hogy ez az egybevagosagdefinicio allitando a merev testek mozgasara alapozott meghatarozas helyebe, hasonlo okokbol, mint amiert a fizikus a termodinamikai homerseklet-meghatarozasra csereli a szokasos homerot. Megallapitvan, hogy a fizikai automorfizmusok csoportja egybeesik az egybevagosagi lekepezesekevel, a geometriat ugy hatarozhatjuk meg, mint a terbeli alakzatok egybevagosagi relacioival foglalkozo tudomanyt, s ezzel a geometriat automorfizmusok a ter azon transzformacioi lesznek, melyek egybevago alakzatokat egybevagokba visznek at — ne legyiink tehat 154
meglepve, mint volt Kant, hogy e geometriai automorfizmuscsoport bovebb a fizikainal, s magaba foglalja a nagyitasokat is. E meggondolasok bizonyos vonatkozasban fogyatekosak: nem veszik tekintetbe, hogy a fizikai jelensegek nem csupan a terben, hanem terben es idoben zajlanak: a vilag nem harom-, hanem mint negydimenzios kontinuum terjed ki. E negydimenzios kozeg szimmetriajat, relativitasat vagy homogenitasat eloszor Einstein irta le helyesen. Van-e objektiv tartalma — kerdezziik — annak a kijelentesnek, hogy ket esemeny ugyanazon a helyen tortenik? Hajlamosak vagyunk igennel felelni; de vilagos, hogy ha igy valaszolunk, helyen a Foldhoz, eletiink szinterehez viszonyitott helyet ertiink. Csakhogy bizonyos-e, hogy a Fold nyugalomban van? Ma mar gyermekeink is halljak az iskolaban, hogy forog es kering a terben. Newton e kerdesre valaszolando irta Philosophiae naturalis principia mathematica cimii traktatusat, hogy levezesse a testek abszolut mozgasat — mint mondotta — a kozottiik levo kulonbsegekbol, megfigyelheto viszonylagos mozgasukbol es a testekre hato erokbol. S bar szilardan hitt az abszolut terben, azaz a ,,ket esemeny ugyanazon a helyen tortent" kijelentes objektivitasaban, nem sikeriilt objektive kiilonbseget tennie egy tomegpont nyugalmi allapota es a tobbi lehetseges mozgas kozott; csak az egyenes menti, allando sebessegu mozgasok, a maskent egyenes vonalunak es egyenletesnek nevezett mozgasok es a fennmarado tobbi kozott. S vajon annak a kijelentesnek van-e objektiv tartalma, hogy ket esemeny ugyanabban az idopontban (de kulonbozo helyeken, mondjuk 155
itt es a Sziriuszon) tortent? Einsteinig az emberek azt mondtak, igen. E meggyozodesnek nyilvanvaloan az a szokassa lett felteves az alapja, miszerint az esemenyek egy idoben tortennek a megfigyelessel. Am e hit alapjat reg megrenditette mar az Olaf Romer-fele felfedezes: a feny nem pillanatszeriien, hanem veges sebesseggel terjed. Kezdett hat megvilagosodni, hogy a negydimenzios terido-kontinuumban ket vilagpont — ,,itt es most" — egybeesesenek vagy kozeli szomszedsaganak van csak kozvetleniil ellenorizheto jelentese. Hanem hogy a negydimenzios kontinuum haromdimenzios egyidejiisegi retegekre es egydimenzios harantszalakra — a terben mozdulatlan pontok vilagvonalaira — bontasa a vilagszerkezetnek objektiv vonasait irna le, az ketsegesse valt. Amit Einstein itt tett: elfogulatlanul egybegyiijtotte a negydimenzios terido valosagos szerkezeterol tudvalevo fizikai bizonyitekokat, s igy allitotta elo e kontinuum automorfizmusainak tenyleges csoportjat. E csoportot Lorentz-csoportnak nevezik, H. A. Lorentz holland fizikusrol, aki, mint Einstein Keresztelo Szent Janosa, elokeszitette az utat a relativitas evangeliumahoz. Kideriilt, hogy e csoportra vonatkozoan nem invariansak sem az egyidejiisegi retegek, sem a nyugalmi szalak. A fenykiip — geometriai helye mindazon vilagpontoknak, ahol egy rogzitett O vilagpontbol (,,innen es most") indulo fenyjel eszlelheto — jovore es miiltra osztja fel a vilagot, a vilagnak arra a reszere, melyre meg hat, amit 0-ban cselekszem, s arra, amelyre mar nem. Ez azt jelenti, hogy a fenynel semmilyen hatas nem terjed gyorsabban, es a vilagnak e minden egyes O pontbol kiindulo fenykiip 156
leirta objektiv oksagi szerkezete van. Nines mod itt a Lorentz-transzformaciokat felirni s vazolni, hogy a mozdulatlan oksagi es tehetetlensegi szerkezetii specialis relativitaselmelet hogyan adott utat az altalanos relativitaselmeletnek, ahol az anyaggal valo kolcsonhatasuk folytan e szerkezetek hajlekonnya valnak. 2 Eppen csak arra akarok ramutatni, hogy a negydimenzios terido belso szimmetriaja az, amivel a relativitaselmeletnek dolga van. Azt talaltuk, hogy az objektivitas invarianciat jelent az automorfizmusok csoportjaval szemben. A valosag nem ad mindig vilagos valaszt arra a kerdesre, hogy mi az automorfizmusok tenyleges csoportja, s bizonyos vizsgalatok celjaira igen hasznos lehet egy bovebb csoportot felvenni. Peldaul a sikgeometriaban foglalkozhatunk csupan azokkal a relaciokkal, amelyek a parhuzamos vagy a kozeppontos vetitesekkel szemben invariansak; e/ az affm es a projektiv geometria forrasa. A matematikus az osszes ilyesfajta eshetosegre kesziil fel az altalanos kerdes feltevesevel: hogyan keresendok meg valamely adott transzformaciocsoport invariansai (invarians relaciok, invarians mennyisegek stb.), s ennek a fontosabb specialis csoportokra valo megoldasaval, legyenek azok bizonyos teriileteken a termeszettol sugallt automorfizmuscsoportkent ismeretesek, vagy eppen nem ilyenek. Ez az, amit Felix Klein absztrakt ertelemben ,,geometria"-nak nevezett. Egy geometria — mondotta — transzformacio2
V6. a Gesellschaft deutscher Naturforscher miincheni gyulesen tartott minapi eloadasommal: ,,50 Jahre Relativitatstheorie", Die Naturwissenschaften 38 (1951), 73-83. old. 157
csoport reven hatarozodik meg, es tanulmanyoz mindent, ami invarians ezen adott csoport transzformacioival szemben. Szimmetriarol a teljes csoport egy adott y reszcsoportjaval kapcsolatban beszelnek. Egy alakzat, azaz valamilyen ponthalmaz bir a y reszcsoport meghatarozta kiilonos szimmetriaval, ha a y transzformacioi altal onmagaba ter vissza. A XX. szazad fizikajaban a ket legnagyobb esemeny a relativitaselmelet es a kvantwnmechanika feltiinese. Van-e valami kapcsolat akkor kvantummechanika es szimmetria kozott? Hogyne volna. A szimmetria jelentos szcrepet jatszik az atomi es molekulaspektrumok elrendezeseben, mcly spektrumok megertesehez a kvantummechanika elvei adtak a kulcsot. A spektrumvonalakrol, hullamhosszukrol, elhelyezkedesiik szabalyszerusegeirol mar azelott is igen sok kiserleti adat osszegyult, hogy a kvantummechanika elso sikere megsziiletett volna; e siker a hidrogenatom spektrumaban megfigyelheto lin. Balmer-sorozat torvenyenelc levezetese, s a benne szereplo allando, valamint az elektrontomeg, -toltes es a nevezetes Planckfele hataskvantum kozotti kapcsolat kideritese volt. Attol fogva a spektrumok ertelmezese parhuzamos a kvantumfizika fejlodesevel, s a lenyeges, uj jellegzetessegek — az elektronspin es a Pauli-fele kiilonos kizarasi elv — ez uton tarultak fel. Mihelyt megvettettek ezek az alapok, bebizonyosodott, hogy a szimmetria nagy segitseget adhat a spektrumok altalanos vonasainak megvilagitasaban. Az atom nagyjabol egy Obeli mozdulatlan mag koriil mozgo elektronfelho, mondjuk n elektrone. Azt mondtam, nagyjabol, mivel a felteves, hogy a mag mozdulatlan, 158
nem egeszen igaz, sot meg annyira sem indokolt, mint a Napot a Naprendszer nyugvo kozeppontjanak venni. A Nap tomege ugyanis 300 000-szer nagyobb, mint egy Fold-szeru bolygoe, a proton, a hidrogenatom magja pedig csak alig 2000-szer nehezebb az elektronnal. De ez meg igy is jo kozelites! Az n elektront az 1, 2, . . . , n indexekkel fogjuk megkiilonboztetni; a mozgasukat kormanyzo torvenyben PI, P2, ..., Pn helyzetiik valamilyen O kezdopontu koordinata-rendszerben vett koordinatai szerepelnek. Az uralkodo szimmetria kettos. Eloszor invarianciat kell kapnunk az egyik descartes-i koordinata-rendszerbol a masikba atterve; e szimmetria a ter forgasi szimmetriajanak kovetkezmenye, es az O koriili geometriai elforgatasok csoportjaval fejezodik ki. Masodszor: a/ elektronok mind egyformak; az 1, 2, . . . , n indexekkel valo kiilonbsegtetel nem lenyegbevago, csak nevadas: ket elektronkonstellacio kozott, ha az elektronok tetszes szerinti permutaciqjaval allnak elo egymasbol, lehetetlen kiilonbseget tenni. A permutacio az indexek atrendezese, voltakepp az indexek (1, 2, ..., n) halmazanak, vagy ha ligy tetszik, a megfelelo (Pi, ..., Pn) pontok halmazanak onmagara valo kolcsonosen egyertelmu lekepezese. Ilyenforman peldaul az n = 5 esetben a torvenyeknek valtozatlanul kell maradniok, ha a PI, P2, P3, Pi es P5 pontot a P3, P5, P2, PI es P4 pontra csereljuk fel fez az 1 -- 3, 2 -* 5, 3 -* 2, 4 -* 1, 5 -* 4 permutacio]. A permutaciok nl — 1-2-...-n-edrendii csoportot alkotnak, es e masodik fajta szimmetria ezzel a csoporttal fejezodik ki. A kvantummechanika a fizikai rendszer allapotat egy sok-, tulajdonkeppen vegtelen sok dimenzios 159
ter valamely vektoraval abrazolja. Az egymasbol vagy az elektronrendszer tenyleges elforgatasaval, vagy az elektronok permutalasaval szarmazo allapotokat az elforgatassal vagy permutacioval asszocialt linearis transzformacio kapcsolja ossze. Innen a csoportelmelet legmelyebb es legrendszeresebb resze, a csoportok reprezentacioelmelete lep mukodesbe. Le kell mondanom arrol, hogy itt pontosabban szamot adjak e bonyolult targyrol. De a szimmetria itt megint vezerfonalnak bizonyult egy igen valtozatos es fontos terulethez. A miiveszetrol, biologiarol, krisztallografiarol es a fizikarol vegiil raterek a matematikdra, s ezt annal is inkabb tennem kell, mert a lenyeges fogalmak, kivalt a csoporte, eloszor matematikai, kozelebbrol egyenletelmeleti alkalmazasokbol fejlodtek ki. Az algebrista szamokkal foglalkozo ember, de az altala elvegezheto egyediili miiveletek a negy alapmiivelet : a + , — , X , :. A O e s l szamokbol a negy alapmiivelettel megkaphato szamok: a racionalis szamok. E szamok F teste zart e negy miiveletre vonatkozoan, azaz ket racionalis szam osszege, kulonbsege s szorzata ismet racionalis, es a hanyadosuk is, ha az oszto kiilonbozik nullatol. Az algebristanak semmi oka nem volna tehat tullepni ezen a F tartomanyon, ha a geometria es a fizika igenyei nem kesztetnek a matematikusokat megis arra, hogy a folytonossdg vizsgalatanak szornyii nehez munkajaval foglalkozzanak, s a racionalis szamokat a valos szamok alkotta kontinuumba agyazzak bele. Ez a sziikseg akkor bukkant fel eloszor, amikor a gorogok felfedeztek, hogy a negyzet oldala es atlqja osszemerhetetlen. Nem sokkal kesobb Eudoxosz meg160
fogalmazta az altalanos elvet, melyre a minden meresre alkalmas valos szamok rendszere alapozhato. Azutan a reneszansz koraban az algebrai egyenletek megoldasanak problemaja az a+bi alakii — valos (a, b) komponensu — komplex szamok bevezetesere vezetett. Az oket es / — = ]/ — 1 imaginarius egysegiiket elobb meg koriillengo titokzatossag teljesen szertefoszlott az utan a felismeres utan, hogy e szamok egyszeruen kozonseges valos (a, b) szamparok, melyek kozt az osszeadas es a szorzas ligy van definialva, hogy az 6'sszes megszokott aritmetikai torveny sertetlen maradjon. Ez el is vegezheto ugy, hogy barmely a valos szam azonosithato legyen az (a, 0) komplex szammal, saz/ = (0, l)negyzete :i-i = i*a — 1gyel legyen egyenlo, pontosabban (— 1, 0)-val. Igy az egyetlen valos szammal sem kielegitheto x 2 +l=0 egyenlet megoldhatova valik. A XIX. szazad elejen bebizonyitottak, hogy a komplex szamok bevezetese nemcsak ezt tette megoldhatova, hanem az osszes algebrai egyenletet : az x ismeretlen
(1)
f(x) = x" + a1
=0
egyenletenek, legyen ezbarmilyen «fokszamu es av egyiitthatojii, van n szamu «?i, t?2, . . . , &„ megoldasa, vagy ahogyan mondani szokas, ,,gyoke", tehat magaaz/(x) polinom n tenyezore bomlik : /(*) = (*-*!> ( x - t f a ) - . . (*-*,,).
Ftt x ismeretlen vagy hatarozatlan, az egyenloseg pedig ligy ertendo, hogy a polinomok egyutthatorol egyiitthatora megegyeznek. 161
Az olyan relaciok, melyeket az algebrista osszeadasi es szorzasi miivelettel szerkeszthet ket hatarozatlan x es y szam kozott, mindig R(x, y) = 0 alakra hozhatok, ahol az x es y valtozo R(x, y) fuggvenye egy polinom, azaz racionalis egyiitthatqju
a^fy*
'OM^ 0,1,2, ...)
tipusii egytagliak veges osszege. Ezek az osszefiiggesek az algebrista altal megragadhato ,,objektiv relaciok". Adva levo ket komplex a, /? szammal kapcsolatban azt kerdezi tehat, hogy milyen racionalis egyiitthatqju R(x, y) polinomok leteznek, melyeknek erteke nullava valik az x ismeretlen helyebe az a szamot, az y helyebe a /?-t helyettesitve. Kettorol at lehet terni akarhany megadott komplex szamra. Az algebristat e szamok 2 halmazinak automorfizrmisaifogjakerdekelni,nevezetesena$i, ...,&„ szamok olyan permutacioi, amelyek nem rontanak el egyetlen teljesiilo ^(^i, ...,&„) algebrai relaciot sem. Itt R(XI, ...,*„) az xi, .... xn hatarozatlanoknak valamilyen polinomja, olyan, amely nulla erteket vesz fel, ha xi, .... xn helyebe a $1, .,, •&„ ertekeket helyettesitjiik. Az automorfizmusok csoportot alkotnak, melyet Galois-csoportnak nevezunk, Evariste Galois (1811 -1832) francia matematikus utan. Amint e leiras mutatja, a Galois-elmelet semmi egyeb, mint relativitaselmelete a 2-' halmaznak, mely — diszkret es veges jellege folytan — fogalmilag sokkal egyszerubb, mint a szokasos relativitaselmeletben taglalt ter vagy terido vegtelen ponthalmaza. Teljesen az algebra hatarain beliil maradunk, ha meg feltessziik, hogy a E halmaz ^i, ...,&„ elemei az (1) algebrai egyen162
let gyokeikent vannak meghatarozva, ahol az «-ed fokii f(x) polinom a, egyiitthatoi racionalisak. Ilyenkor az /(*) = 0 egyenlet Galois-csoportjarol beszelnek. E csoport megadasa lehet meglehetosen nehez is, megkivanvan a bizonyos felteteleknek eleget tevo R(XI, ..., xn) polinomok attekinteset. De ha mar megvan, sok mindent megtudhatunk e csoport szerkezetebol az egyenlet megoldasanak termeszetes miiveleteirol. Galois gondolatai — melyek evtizedekig het pecset alatt voltak, kesobb viszont egyre melyebben befolyasoltak a matematika fejlodeset — egy bucsiilevelben maradtak fenn; egy baratjahoz irta a halalat hozo ostoba parbaj elotti esten, huszonegy eves koraban. E level, gondolatainak lijdonsagaval es melysegevel talan a legertekesebb irasmii az emberiseg egesz irodalmaban. A Galois-elmeletbol ket peldat mutatok. Az elso az okorbol valo. Egy negyzet atlojanak es oldalanak aranyat, a /2 szamot egy racionalis egyiitthatoju egyenlet hatarozza meg: (2) Ket gyoke: ^i =
2 -2
es
2
= 0.
=
Mint mar megjegyeztem, e szamok irracionalisak. Platon dialogusaibol tobb helyiitt is kivilaglik, mennyire m61y benyomast tett ez a Piithagorasz iskolajanak tulajdonitott felfedezes az okor gondolkodoira. Ez az ok kesztette a gorogoket arra, hogy a mennyisegek altalanos elmeletet geometriai kifejezesmodban fogalmazzak meg, s nem 163
algebraiban. Legyen R(XI, x%) az xi es x% racionalis egyiitthatqju polinomja, olyan, mely eltiinik (azaz nulla erteket vesz fel), ha ;ci = $1 es x2 = $2- Kerdes, nulla-e vajon az /?($2, 0i) is? Ha megmutathatjuk, hogy a valasz minden polinomra igenlo, akkor a (3)
*2,
#2 -
transzpozicio automorfizmus, eppiigy, mint a $1 -* 0i, $2 -* $2 azonos transzformacio. A bizonyitas a kovetkezokeppen megy. Az egyhatarozatlanii /?(x, — x) polinom az x = 0i erteknel eltiinik. Az (x2— 2)-vel valo osztas,
maradeka egy racionalis egyutthatoju elsofoku ax+b polinom. Helyettesitsiik x helyebe a 0i-et : a kapott a&i+b — 0 egyenlet ellentmond a ^i = )/2 szam irracionalitasanak, hacsak nem a = 0, b — 0. Tehat
dontott. Egy sfkon barmely z = x + iy komplex szamot jellemezhetiink (x, y) descartes-i koordinatajii ponttal. A
zp-\ 0 algebrai egyenletnek p gyoke van, ezek egy szabalyos p-szog csiicsait alkotjak. A z — 1 gyok az egyik csucs, s mivel (ZP- 1) = (Z- 1) (
. . . +Z+ 1),
a tobbiek a zp-l+zp-z+...+z+l = 0
(4)
egyenlet gyokei. Ha p primszam — amint most felteszsziik — , akkor ezek algebrailag megkiilonboztethetetlenek, s e p— I gyok automorfizmuscsoportja egy (p— l)-ed rendii ciklikus csoport. Itt a p = 17 esetnek megfelelo helyzetet irom le. A bal oldali, 17 osztaspontu kor (72.
R(x, -x) = (x2-2)-2(x), eskovetkezesiil /?(02,0i) = /?(02, -02> = 0. A teny tehat, hogy az automorfizmuscsoport az azonos permutacion kiviil a (3) transzpoziciot is tartalmazza, ekvivalens a j/2 irracionalis voltaval. Masik peldam a szabalyos tizenhetszog Gauss-fele megszerkesztese korzovel es vonalzoval; ezt meg mint tizenkilenc eves ifjii fedezte fel. Az ideig ingadozott a klasszika-filologia es a matematika kozott; e sikernek nagy resze volt abban, hogy vegiil is a matematika javara 164
)2
72. dbra
165
abra) a csucsok szamozasat mutatja, a jobb oldalon levo rejtelyes ciklikus rendben a (4) egyenlet 16 gyoket: a diagramot elforditgatva, azaz a teljes keriilet egytizenhatodnyi elforgatasat ismetelve a 16 gyok permutaciqjakeppen megkapjuk a tizenhat automorfizmust. E Ci6 csoportnak nyilvanvaloan letezik 2 indexu C& reszcsoportja; kiadodrk, ha a diagramot a teljes szog 1/8, 2/8, 3/8, ... reszevel forgatjuk el. A minden masodik pont kihagyasanak modszeret ismetelve egymas utan kovetkezo reszcsoportok lancolatat kapjuk (a z> azt jelenti: tartalmazza): C*ie 13 C"a 13 C*4 13 C
5 = 2 2 +l,
17 = 2 4 +I.
Mulatsagos, hogy a tizenhetszog (szembetuno) geometriai szimmetriajat egy tizenheted rendii ciklikus csoport irja le, (rejtett) algebrai szimmetriajat viszont — mely szerkeszthetoseget eldonti — tizenhatod rendu ciklikus csoport. Szabalyos hetszog bizonyosan nem szerkesztheto, sem a l l , sem a 13 oldalu szabalyos sokszog. A szabalyos /7-szog Gauss elemzese szerint csak akkor szerkesztheto meg korzovel es vonalzoval, ha p olyan primszam, hogy p — l hatvanya 2-nek. Azonban a p = = 2"+l szam nem lehet prim, ha az n kitevo nem hatvanya a 2-nek. Tegyiik fel ugyanis, hogy 2" az n kitevot oszto legmagasabb 2-hatvany, mas szoval n = 2"m, es m paratlan szam. Legyen 22" = a; igy 2"+l = am+l. De ha m paratlan, akkor az cT + l szam oszthato (a+1)gyel:
cf+l =(a+l)(ar'-1-am-2+ ... -a+1), tehat valodi tobbszorose (a-l-l)-nek, hacsak m ^ 1. A 3, 5 es 17 utan tehat 2 8 +l = 257 az elso olyan 2"-t-l alaku szam, mely lehet primszam. S mivel valoban az, a szabalyos 257-szog megszerkesztheto korzovel es vonalzoval. A Galois-elmelet megfogalmazhato kisse mas alakbanis, amint ezt a (2) egyenlettel bemutatom. Tekintsiik a racionalis a, b egyiitthatoju <x = a+bfa alaku szam osszcsseget; a {^2} test szamainak nevezzuk 6ket. A /2 irracionalis mivolta kovetkezteben az ilyen szam csak akkor nulla, ha a = 0 es b — 0. Ezert az <x szam egyertelmuen meghatarozza az a es b racionalis Qsszetevoket, mivel az ai+&!/2 osszefuggesbol adodoan 167
&i)^2 = 0;
a—a\ 0,
b — hi = 0,
vagyis a = a±, b — bi, ha az a, b es az ai, b\. A test ket szamanak 6'sszege, kiilonbsege es szorzata, nyilvanvaloan e testbol valo szamot ad. Az osztas miivelete sem vezet ki belole. Legyen a racionalis a, b 6'sszetevqjii a = a+frj/2 szam a test nullatol kiilonbozo eleme, s a' = a — by2 legyen a ,,konjugaltja". Mivel a 2 racionalis szamnak nem negyzete, az oca' = a 2 —2i 2 racionalis szam — az a ,,normaja" — is kiilonbozik nullatol, kovetkezeskepp az a szam I/a reciproka is a testbol valo:
A {j/2} test igy hat zart az osszadas, kivonas, szorzas es osztas miiveletere nezve, kizarva termeszetesen a nullaval valo osztast. Erdeklodhetiink e test automorfizmusai irant. Automorfizmus a test szamainak olyan, kolcsonosen egyertelmii a — a* lekepezese lenne, mely az a+/3 szamot (a*+/3*)-ba, az a/?-t a*/3*-ba viszi at, barmilyen is a es ^3. Ebbol mindjart kovetkezik, hogy egy automorfizmus barmely racionalis szamot 6'nmagaba visz at, a j/2-t pedig olyan # szamba, mely eleget tesz a $ 2 —2 = 0 egyenletnek, vagy /2-be, vagy —/2-be tehat. Ennelfogva ket lekepezes lehet csak automorfizmus: az egyik az, amelyik a test minden szamat onmagaba viszi at, a masik a barmely a = a+b^2 szamhoz a konjugaltjat, a' = (a—fej/2)-t csatolo. Nyilvanvalo, hogy e masodik 168
miivelet csakugyan automorfizmus, s ezzel meg van hatarozva a {j/2} test automorfizmusainak csoportja. A test talan a legegyszeriibb algebrai struktiira, amit kigondolhatunk. Elemei szamok, strukturajara jellemzo az 6'sszeadas es a szorzas miivelete. E muveletek eleget tesznek bizonyos axiomaknak, ko'ztuk olyanoknak, melyek szavatoljak az osszeadasi miivelet kivonasnak nevezett egyertelmii megforditasat, s a szorzasi miiveletet — felteve, hogy a szorzat nem nulla — : az osztast. A ter lijabb pelda a struktiiraval felruhazott sokasagra. Itt pontok az elemek, s a struktiira bizonyos, pontok kozti alaposszefuggesekkel fejezheto ki, peldaul: A, B es C egy egyenesen fekszik. AB egybevago C£)-vel, s hasonlokkal. Amit a gondolatmenet egeszebol tanulunk, s ami a modern matematikanak tenylegesen vezerelveve valt: Ha egy strukturdlt S sokasdggal tdmad dolgod, igyekezz automorfizmuscsoportjdt meghatdrozni: a minden strukturdlis osszefuggest megtarto elemtranszformdciok csoportjdt. Ettol melyebb betekintest remelhetnek a S felepitesebe. Ezutan kezdhetnek szimmetrikus alakzatokat keresni, azaz az automorfizmusok teljes csoportjanak valamely reszcsoportjaval szemben invarians alakzatokat; az ilyen alakzatok felkutatasa elott tanacsos lehet magukat a reszcsoportokat vizsgalni, peldakeppen egy bizonyos elemet, vagy eppen kettot helyben hagyo automorfizmusok reszcsoportjat, es tanulmanyozni, milyen diszkret vagy vdges reszcsoportok leteznek, s igy tovabb. A transzformaciocsoportok vizsgalataban celszeru kidomboritani a tiszta csoportstruktiirat. Ez az elemek tetszoleges indexelesevel viheto ki, majd a csoport barmely 169
ket s, t elemet oss/eteve kapott w = st elem indexes kifejezesevel. Ha a csoport veges, akkor az elemek osszetetele tablazatba irhato fei. A csoportszerkezet vagy absztrakt csoport igy maga is strukturalt sokasag lesz; strukturajat az elernek st = u kompozicios torvenye vagy tablazata fejezi ki. E ponton a kigyo sajat farkaba harap, s talan ez meglehetosen vilagos figyelmeztetes, hogy: ne tovabb. S valoban: egy adott absztrakt csoporttal kapcsolatban felteheto a kerdes: Mi lesz autoniorfizmusainak csoportja: melyek e csoport onmagara valo kolcsonosen egyertelmu s -» s' lekepezesei, melyek az st elemet az s't'-be viszik at, ha s-et j'-be, /-t /'-be vittek? A szimmetria roppant nagy kerdeskor, miiveszetben es termeszetben egyarant Jenyeges. Benne gyokerezik a matematikaban, s nehez volna olyasvalarnit talaini, ami jobban demonstralna a matematikai szellem miikodeset. Remelem, nem volt teljesen sikertelen igyekezet sokfele agat bemutatnom, s felvezetnem Onoket a szemleletes kepzetektol az elvont elvekig vivo fokofcon.
FtJGGELEKEK
A. FUGGELEK A haromdimenzios ter valodi forgatasaibol allo osszes veges csoport meghatarozasa (Vo. a 98. oldallal)
A masodik eloadasban emlitett (5) felsorolas teljessegenek egyszerii bizonyitasa adhato arra az — eloszor Leonhard Euler altal, a XVIII. szazadban megallapitott — tenyre alapozva, hogy t> haromdimenzios terben az / azonos transzformaciotol kiilonbozo elforgatasok mind tengely koriili elforgatasok, azaz nemcsak az O origot hagyjak valtozatlanul, hanem egy egesz egyenest, az O-n atmeno / tengely pontjait is. Eleg csak az O kozeppontii, egysegnyi sugarii £ gombfelulettel foglalkozni a haromdimenzios ter helyett; e gombfeliiletet minden elforgatas onmagaba viszi vissza, igy mindegyik a 27 onmagara valo kolcsonosen egyertelmii lekepezese. Az 7-tol kiilonbozo elforgatasoknak ket fixpontjuk van 27-n, ket atellenes pont, nevezetesen az / tengely es a gombfeliilet talalkozasi pontjai. Legyen adva valodi elforgatasoknak valamilyen veges, A^-edrendu F csoportja; vegyiik e csoport 7-tol kiilonbozo N— I szamu miiveletenek fixpontjait. Polusoknak fogjuk nevezni oket. Meghatarozott v multiplicitasa van (2 vagy 3, vagy 4, vagy . . . ) minden p polusnak: A csoportnak a p pontot helyben hagyo S muveletei a vonatkozo tengely koriili 360°/i> szogii elforgatas ismetlodesei, igy 173
pontosan v szamii ilyen muvelet letczik. E transzformaciok v-edrendii Fp ciklikus reszcsoportot alkotnak. Koziiliik egyik az azonos transzformacio, tehat az /-tol kiilonbozo, p-t valtozatlanul hagyo muveletek (»— l)-en vannak. A gombfeliilet tetszoleges p pontjat veve, kepezhetjiik azon q pontoknak veges C halmazat, amelyekbe a csoport miiveletei a p pontot elviszik; ezeket p-vel ekvivalens pontoknak mondjuk. Mivel F csoport, ez az ekvivalencia egyenloseg termeszetu, azaz a p pont ekvivalens sajat magaval; ha q ekvivalens p-vel, akkor p ekvivalens q-val; vegiil, ha q\s qz ekvivalens p-vel, akkor ekvivalensek egymassal is. Halmazunkrol mint ekvivalens pontok osztdlyarol beszeliink; az osztalyt barmely p eleme reprezentalhatja, minthogy az p-vel egyiitt a p-vel ekvivalens pontokat is tartalmazza, s masokat nem. Egy gombfeliilet pontjai az osszes elforgatas csoportjara nezve mind megkiilonboztethetetlenek egymastol; az egy osztalybol valo elemek kozott azonban akkor sem lehet kiilonbseget tenni, ha e csoportot lesziikitjiik a veges F reszcsoportra. Hany pont alkotja a p ponttal ekvivalens pontok Cp osztalyat? A magatol kinalkozo valasz: N pont, akkor helyes, ha a csoportban p-t egyediil az / miivelet hagyja valtozatlanul. Ekkor ugyanis F barmely ket kiilonbozo Si, 52 miivelete kiilonbozo, qt = Sip, q2 = S2p pontokba viszi at a p-t, mivel az egybeesesbol az kovetkeznek, hogy az SiS^1 miivelet p-hez sajat magat rendeli, tehat Si$2l = I, vagyis Si = S2 volna. De most tegyiik fel, hogy p egy v multiplicitasii polus, ligyhogy a csoportbol v szamii muvelet hagyja valtozatlanul. Allitom, hogy ekkor a Cp osztalyt alkoto q pontoknak N/v a szama. 174
Bizonyitas: Mivel az osztaly pontjai meg az adott F csoportra vonatkozolag is megkulonboztethetetlenek, mindnek ugyanolyan multiplicitasunak kell lennie. Eloszor lassuk ezt be explicite. Ha a F-beli L muvelet a p-t q-ba viszi at, akkor — felteve, hogy S a p-t helyben hagyja — L~1SL a q pontot hagyja valtozatlanul. Forditva, ha T a .T-bol olyan muvelet, mely q-t onmagaba viszi at, akkor az S = LTL*1 a p-vel teszi ugyanezt, kovetkezeskepp a T muvelet L~^SL alakii, ahol S eleme a Fp csoportnak. Ha tehat Si - I, S2, ..., S, a p-t mozditatlanul hagyo v szamu elem, akkor 7*1 =
T2 = L-*
a q-t valtozatlanul hagyo v szamu kiilonbozo muvelet. Azonfeliil a v szamii egymastol kiilonbozo SiL, S2L, ..., S,L muvelet q-ba viszi at a p-t. Forditva, ha U a F-nak p-t q-ba atvivo muvelete, akkor UL^1 a p-t onmagaba viszi at, s igy a p-t valtozatlanul hagyo muvelet koze tartozik; tehat U = SL, ahol S valamelyike a v szamu Si, ..., Sr miiveletnek. Legyen most q\, ..., qn a C = Cp osztaly n kiilonbozo pontja, Lt pedig a F csoport P-t q-ba atvivo egyik muvelete (/ - 1, ..., n). Akkor az
S^ ...,S,Ln tablazat n-v muvelete mind kiilonbozo. Minden egyes sor kiilonbozo miiveletekbol all ugyanis, azutan mondjuk 175
a masodik sor miiveletei valamennyien kiilonboznek az oto'dik soreitol, hiszen amazok a p pontot a q2-be viszik at, emezek a q*, ji qz pontba. Ezenkiviil a tablazat tartalmazza az 6'sszes .T-beli miiveletet, mivel a p pontot mindegyikiik a q, . . ., qn pontok valamelyikebe viszi at; egy kivalasztott miivelet mondjuk a <7,-be, ennek szerepelnie kell tehat a tablazat i-edik soraban. Ez igazolja az N = n-v osszefiiggest, s vele azt, hogy a v multiplicitas osztqja JV-nek. A p polus multiplicitasat jyvel jeloljiik; tudjuk, hogy egy adott C osztalyban minden p polus ugyanakkora multiplicitasu, e szamot tehat felreertes veszelye nelkiil jelolhetjiik vc-\d is. A C osztaly elemeinek vc multiplicitasat es nc szamat az ncvc = N osszefugges kapcsolja 6'ssze. Ezen elokesziiletek utan tekintsiik most a F csoport 5 ^ 7 miiveleteibol es a valamely S mellett a tole valtozatlanul hagyott p pontokbol osszeteheto (S, p) parokat — vagy ami ugyanaz: a p polusokbol, s a valamely p mellett az 6t helyben hagyo S ^ I muveletekbol Qsszeallithato parokat. E kettos leiras a paroknak ketfele 6'sszeszamlalasat sejteti. Egyfelol a csoportban van N— 1 szamii /-tol kiilonbozo S miivelet, s mindegyiknek ket — ellentett — fixpontja, ezert a parok szama 2(N— 1). Masfelol mindegyik p polust vp—l szamu kiilonbozo (csoportbeli) miivelet hagyja valtozatlanul, tehat a parok szama egyenlo a
gyiijtjuk, s ezaltal a kovetkezo alapegyenletet kapjuk:
a jobb oldalon az osszegzes a polusok osszes C osztalyara vonatkozik. Szamitasba veve az ncvc = N egyenletet, N-nel valo osztas utan a
2-2 N ~ adodik. Ami ezutan jon: az egyenlet vizsgalata. A legegyszeriibb eset: a F csoport csak azonos transzformaciobol all, ekkor N — 1, es egyaltalan nines polus. Elhagyva ezt a nyilvanvalo esetet, mondhatjuk, hogy N legalabb 2; egyenletiink bal oldali resze tehat legalabb 1, kisebb viszont 2-nel. Az elso teny kizarja, hogy a jobb oldalon az osszeg egyetlen tagbol alljon. Igy legalabb ket C osztaly letezik. De az is biztos, hogy nem tobb, mint 3: mindegyik vc legalabb 2 leven ugyanis a jobb oldali osszeg — ha 4 vagy tobb tagbol allana — legalabb 2 volna. Kovetkezeskeppen vagy ket, vagy harom polusosztalyt kapunk (II. es III. eset). II. Ez esetben az egyenlet:
A - _L
1
N
1>2
Vi
vagy
Az «! = N/VI es az n2 = Njvz pozitiv egeszek 6'sszege azonban csak ugy lehet 2, ha mindkettejiik 1-gyel egyenlo: 6'sszeggel. A polusokat ekvivalens polusok C osztalyaiba
176
"i = v-i = N; 177
Az ekvivalcns polusok mindket osztalya egyetlen N-szeres polust tartalmaz tehat. Ezzel megkaptuk az N-szeres (fuggoleges) tengely koriili elforgatasok ciklikus csoportjat. III. Ebben azesetben 1
vs = 3,
1
1
— V3
1 v-2
1 v3
N=12;
»-3 = 4,
N = 24;
v3 •= 5,
N= 60;
Vegyiik a multiplicitasokat novekvo sorrendbe: i>i ^ S v2 ^ v3. A 2-nel nem lehet mind nagyobb, hiszen akkor a bal oldalon egy 1/3+1/3+1/3 = 1-nel nagyobb szam allna, elterven a jobb oldalitol. Ezert i>i — 2, ------ 1 ----- —
nyen belathato, hogy a D'n diedercsoport eleget tesz e felteteleknek, s egyedtil 6. A III 2 lehetosegre — tekintve, hogy v3 ^ v2 = 3 — a kovetkezo harom eshetoseget kapjuk:
1 2 -Tf N
~ +
2
A vz es a v3 nem lehet mindketto nagyobb 4-nel vagy egyenlo vele, mert akkor a bal oldali osszeg nem volna nagyobb, mint 1/2; vz erteke tehat 2 vagy 3. Az elso lehetoseg (IIIi): -v^ = v2 = 2,
N = 2v3. A masodik lehetoseg (II^): "i = 2, v2 = 3;
ezeket rendre T-vel, f^-vel es P-vcl jeloljiik. T: Ket osztaly letezik, mindketto 4 haromszoros polusbol. Nyilvanvalo, hogy az egy osztalyhoz tartozo polusoknak szabalyos tetraedert kell alkotniok, s hogy a ketto polusai atellenes pontokban vannak. A tetraedercsoportot kaptuk meg tehat. A 6 ekvivalens ketszeres polus a 6 el felezopontjanak O-bol a gombfeliiletre vetitett kepe. W: Egy osztaly szabalyos oktaedert kifeszito 6 negyszeres polusbol; ez tehat az oktaedercsoport. Egy osztaly 8 haromszoros polusbol (az oldallapok kozeppontjainak felelnek meg); egy osztaly 12 ketszeres polusbol (az oldalelek felezopontjaibol). A P eset: egyetlen osztaly 12 otszoros polusbol, melyeknek egy szabalyos ikozaeder csiicspontjait kell kiadniok. A 20 haromszoros polus a 20 lapkozeppontnak felel meg, a 30 ketszeres polus a polieder 30 elfelezo pontjanak.
Legyen a IIIi esetben v3 = n. Ket, 2-szeres polusokbol allo osztalyt kapunk, mindkettot n szamii polus alkotja, s meg egy osztalyt mindossze ket n-szeres polusbol. Kony-
178
179
B. FtJGGELEK A nemvalodi elforgatasok tekintetbevetele (V6. a 98. oldallal)
Ha a haromdimenzios ter elforgatasainak veges F* csoportja tartalmaz nemvalodi elforgatast is, akkor koziiliik legyen az egyik A, az Si, . . . , Sn pedig a csoport valodi elforgatasai. E valodiak F reszcsoportot alkotnak, s F* tartalmaz egy sorozat valodi elforgatast, es egy sorozat nemvalodit: (1)
Si, ..., SB,
(2)
Si, ..., ASn,
mas operaciot nem. Ha T a F* egyik nemvalodi miivelete, akkor A~1T valodi lesz, ezert megegyczik az elso sor egyik muveletevel, mondjuk S;-vel, igy T — ASt. Ebbol kovetkezoen P*-nak In a rendje, miiveleteinek felet a JT csoportot alkoto valodi forgatasok teszik ki, nemvalodiak a masik felet. Ket esetet kiilonboztetiink meg aszerint, hogy F* tartalmazza-e a Z nemvalodi miiveletet vagy nem. Az elso esetben Z-t valasztjuk A gyanant, s igy az adodik, hogy
r* =r. 180
A masodik esetben a (2) sort felirhatjuk igy is: (2')
ZTi,
...,
ZTn,
ahol a TJ muveletek valodi elforgatasok. Ebben az esetben azonban a 7>k mind kulonboznek az S,-knek barmelyiketol. Ha ugyanis Tt — Sk volna, akkor F* a ZTt = es az Sk miivelettel egyiitt tartalmazna a kl = Z elemet is, a feltevesnek ellentmondva. E korulmenyek kozepette a
(3)
?i'""r'
muveletek valodi elforgatasoknak 2«-ed rendii csoportjat alkotjak, melyben F mint 2 indexii reszcsoport van benne. Az az allitas ugyanis, hogy (3) ket sora egyiitt csoportot alkot, mint konnyen belathato, ekvivalens azzal, hogy az (1) es a (2') sor csoportot tesz ki (jelesiil a F* csoportot). A F* tehat az eloadas F'F-v&l jelolt csoportja, s ezzel igazoltuk, hogy nemvalodi elforgatasokat tartalmazo veges csoportok csak a mondott ket modszerrel szerkeszthetok.
KOSZONETNYILVANfTAS
Szeretnem mely lekotelezetts£gemet kifejezni Helen Harris kisasszonynak (Princeton Egyetem Marquand Konyvtara), aki a konyvben bemutatott mutargyak koziil szamoshoz segitett megfelelo fe"nykepet keresni. Halas vagyok a kiad6knak is, akik nagylelkuen hozzajarultak kiadvdnyaik illusztricioinak Iem£sol6sdhoz. Aldbb e kiadvdnyok kovetkeznek. 10., 11. 6s 26. dbra. Alinari-felvetelek 15. dbra. Anderson-felvetel 67. es 68. &bra. Dye, Daniel Sheets: A grammar of Chinese lattice, C9b, S12a abra. Harvard -Yenching Institute Monograph V. Cambridge, 1937 69., 70. 6s 71. abra. Ewald, P. P.: Kristalle und Rontgenstrahlen. 44., 45. es 125. abra. Springer, Berlin, 1923 36. 6s 37. £bra. Haeckel, Ernst: Kunstformen der Natur, 10. es 28. tabla. Leipzig und Wien, 1899 45. dbra. Haeckel, Ernst: Challenger Monograph. Report on the scientific results of the voyage of H. M. S. Challenger, Vol. XVIII, 117. tabla. H. M. S. O., 1887 182
54. abra. Hudnut Sales Co., Inc., reklam a Vogue-ban, February 1951 23., 24. es 31. abra. Jones, Owen: The grammar of ornament, XVI., XVII. es VI. tabla. Bernard Quaritch, London,1868 46. abra. Kepler, Johannes: Mysterium Cosmographicum. Tubingen, 1596 48. abra. 1. Kitrosser felvetele. Realites, ler no., Paris, 1950 38. abra. Kiihnel, Ernst: Maurische Kunst, 104. tabla. Bruno Cassirer Verlag, Berlin, 1924 16. es 18. abra. Ludwig, W.: Rechts-links-Problem in Tierreich und beim Menschen, 81. es 120a abra. Springer, Berlin, 1932 17. abra. Needham, Joseph: Order and Life, 5. abra. Yale University Press, New Haven, 1936 35. abra. New York Botanical Garden, az Iris rosiflora fenykepe 29. abra. Pfuhl, Ernst: Malerei und Zeichnung der Griechen, III. Band, Verzeichnisse und Abbildungen, I. tabla (10. abra). V. F. Bruckmann, Munich, 1923 62. es 65. abra. Speiser, A.: Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 3. Aufl., 40. es 39. abra. Springer, Berlin, 1924 3., 4., 6., 7., 9., 25. es 30. abra. Swindler, Mary H.: Ancient Painting, 91. abra (45. oldal), 127., 192., 408., 125. es 253. abra. Yale University Press, New Haven, 1929
183
42., 43., 44., 50., 51., 52., 55. es 56. abra. Thompson, D'Arcy W.: On growth and form, 368., 418., 448., 156., 189., 181., 322. es 213. abra. New edition, Cambridge University Press, Cambridge and New York, 1948 53. abra. A Vogue Pattern Bookbol valtozatlanul atveve, Conde Nast Publication, 1951 27., 28. es 39. abra. Troll, Wilhelm: Symmetriebetrachtung in der Biologic, Studium Generate, 1. Jahrgang, Heft 4/5, (19 & 20)., 1. es 15. abra. Berlin-GottingenHeidelberg, Juli, 1949 38. abra. Az U. S. Weather Bureau-nak W. A. Bentleytol keszitett felvetele 22., 58., 59., 60., 61. es 66. abra. Weyl, Hermann: Symmetry, Journal of the Washington Academy of Sciences, Vol. 28, No. 6, June 15, 1938. 2., 5., 6., 7., 8. es 9. abra 8. es 12. abra. Wulff, O.: Altchristliche und byzantinische Kunst; II, Die byzantinische Kunst, 523. es 514. abra. Akademische Verlagsgesellschaft Athenaion, Berlin, 1914
KIEGESZITESEK A MAGYAR KIADASHOZ
SZIMMETRlAK A MODERN FIZIKABAN
Hermann Weyl Szimmetrtcqa iskolapeldaja annak, hogy mikent lehet az oly sokszor ,,szaraznak" titulalt tudomany egyik fontos teriiletet, a vilag sokszinii jelensegeibe valo behatolasat mindenki erdeklodesere szamot tarto modon es ugyanakkor az ismeretterjesztesben nem ritka kegyes hamisitasok nelkiil bemutatni. A szerzo cgyike az ujabb kori tudomany nagy klasszikusainak, csoportelmeleti munkassaga ma is az egyik fo forrasa az e targykorben dolgozo kutatoknak. Konyveben erto kezzel valogatja ossze azokat a tenyeket es jelensegeket, melyek reven az olvaso kepet alkothat maganak a szimmetria szereperol a miiveszetben s az elo es az elettelen termeszetben, es mindehhez a nagy muvesz konnyedsegevel rajzolja fel a matematikai hatteret. Nyilvan tiszteletlensegszamba menne, ha csak ugy, a ,,mennyi mindenrol lehetne meg beszelni" jelszoval megprobalnank tovabbmenni ott, ahol a szerzo jonak latta megallni. Sziiksegesnek latszik azonban, hogy egy-ket szot szoljunk olyan kerdesekrol, anielyekkel Weyl konyveben nem is foglalkozhatott: a fizika szimmetriaelveivel kapcsolatos legujabb fejlemenyekrol. E fejlemenyek nagy resze szeles koroknek jutott tudoma187
sara, ugyanakkor a konyv megirasakor ismert tapasztalatokhoz kepest sokszor meglepo fordulatot vett, konynyen megeshet tehat, hogy az olvaso nemi zavarba keriil a tenyek valosagos allasat illetoen. Ilyen termeszetu problema meriilhet fel a tertiikrozesi szimmetriaval kapcsolatban. Mint Weyl munkajabol is kitiinik, a tapasztalat hosszii ideig azt mutatta, hogy a termeszettorvenyek tiikrozesszimetrikusak. Csak 1956ban fedezte fel Lee es Yang, hogy vannak jelensegek, melyek e szimmetria seriileset jelzik. A behato vizsgalat kideritette, hogy a termeszetben mukodo erok egy resze, az ugynevezett gyenge kolcsonhatasok tesznek kulonbseget bal es jobb kozott, s ezek hatasara tiikrozesszimmetrikus kezdoallapotbol aszimmetrikus vegallapot johet letre. Elnevezesiik arra utal, hogy a magerokhoz es az elektromagneses erokhoz kepest rendkivul gyengek. Mivel emiatt a jelensegek lefolyasat elsosorban az utobbi, az egymashoz kepest tiikrozott rendszerek kozott semmi kulonbseget nem tevo kolcsonhatasok szabjak meg, ertheto, hogy hacsak nem vegziink igen finom vizsgalatokat, a vilagot tiikrozesszimmetrikusnak latjuk, mint ahogy messzirol a Fold is szigoriian go'mb alakunak tunik. Amint Weyl igen szepen kifejti, a szimmetria azzal jar, hogy az egymasba szimmetriatranszformacioval atviheto alakzatok kozott nem lehet abszolut kulonbseget tenni: hogy egy csavar jobb- vagy balcsavar, az csak onkenyes definicioval d6ntheto el, es az elnevezest nem lehet abszolut megkul6nboztet6 jegyekhez kapcsolni. Peldaul, a szokasos megallapodds szerint a fiiro jobbra csavarodik, 188
ha a furas iranyaba nezve az ora jarasaval megegyezoen fordul el. Az ora jarasat azonban nem termeszettorveny, hanem konvencio szabalyozza, eppenseggcl jarhatna az ellenkezo iranyba is; ezert igencsak zavarba jonnenk, ha valamilyen idegen bolygorol kellcne jobbmenetli csavarokat rendelniink. Nemigen tehetnenk mast, mint hogy mintat kuldjtink: ilyenre gondoltunk. Illetve — ez a helyzet, ha a termeszettorvenyek tukrozeszimmetrikusak. A tiikrozes-szimmetrikus vilagban mar letezik abszolut megkulonboztetes. A reszecskek sajat-impulzusmomentuma vagy spinje a reszecske porgesevel szemleltetheto; ha a spin vektora a sebesseg iranyaba mutat, a porges a mozgassal jobbcsavart alkot, ellenkezo esetben balcsavart. Marmost, ha egy iitkozesben a gyenge kolcsonhatasok reven reszecskek keletkeznek, azok termeszetuktol fiiggoen az egyik csavarodast reszesitik elonyben, espedig annal inkabb, mennel nagyobb a sebessegiik. A neutrino peldaul, ez a kiilonleges reszecske, balkezes alakban, tehat hatrafele allo spinnel szeret megjelenni; tomege rendkiviil kicsiny vagy eppen zerus, ennek megfeleloen altalaban kozel fenysebesseggel vagy pontosan fenysebesseggel mozog, es igy a fentebb mondottak szerint majdnem teljesen vagy teljesen polarizalt; mivel pedig csak gyenge kolcsonhatasai vannak, a vilag tobbi reszevel tulnyomoreszt, illetve nulla tomeg eseten kizarolag balkezes alakban lep kapcsolatba. Annak valoszinusege tehat, hogy jobbkezes neutrinot eszleljiink, igen kicsiny, ha nem zerus; mindenesetre eddig meg senki nem latott ilyent; lenyeges, hogy ez a jelenseg nem esetleges, hanem termeszettorvenyek aszimmetriajanak ko189
vetkezmenye. Ezek szerint, ha nem akarunk mintat kiildeni a hipotetikus idegen bolygora, rendelesiinket a kovetkezo kiegeszitessel tehetjiik pontossa: ,,A neutrino (preferalt) porgese a mozgasiranyaval balcsavart alkot." Abszoliit-e vajon ez az utobbi kijelentes? Latszolag igen; mfg egy ora a termeszettorvenyek felol jobbra is, balra is jarhat, a neutrino spinallasat nem tudjuk tetszolegesen szabalyozni. De mi az a neutrino? Erre a kerdesre a neutrino adataival valaszolunk: egy elektromosan semleges, ilyen meg ilyen spinii es tomegii reszecske. De vajon csak egy ilyen tulajdonsagu reszecske van? Nem egeszen; amennyire tudjuk, a megfelelo adatok az antineutrinora is raillenek; a legegyszeriibben azzal kulonboztetjiik meg oket, hogy a neutron bomlasaban proton, elektron es antineutrino, mig az antineutron bomlasaban antiproton, antielektron es neutrino keletkezik. Az antineutrino a tapasztalat szerint jobbkezes, ha tehat biztosak akarunk lenni a dolgunk felol, gondoskodnunk kell rola, hogy partnereink csakugyan neutrinot es ne antineutrinot hasznaljanak etalonkent, amikor a fenti informacionkat fel akarjak hasznalni. Ehhez abszolut modon meg kell tudnunk mondani, mit hivunk reszecskenek es mit antireszecskenek. Ugy tiinhet, hogy ha azt mondjuk, hogy az atommagok protonbol es neutronbol allnak, megoldottuk a problemat, de ez csak akkor lenne igy, ha valamilyen termeszettorveny kizarna az antiprotonokbol es antineutronokbol allo antiatommagok letezeset. A magerok es az elektromagneses erok azonban — ahogy Weyl is utal ra — nem tesznek abszollit kiilonbseget reszek es antireszek, negativ es pozitiv toltes kozott, szimmetriku190
sak a toltestukrozessel szemben. Az elektromossagtanban a pozitiv es a negativ toltes megkiilonboztetese ugyamigy onkenyes, mint a bal-jobb megkiilonboztetes. Persze, a gyenge kolcsonhatasokrol nem .szabad megfeledkezniink — annal kevesbe, mivel ezek nyilvan sertik a toltestiikrozesi szimmetriat: a balkezes neutrino toltestiikrozottje a balkezes antineutrino, s ez ugyamigy nem keletkezik a reakciokban, mint a jobbkezes neutrino. A gyenge kolcsonhatasok tehat a toltestiikrozott alakzatok abszollit megkiilonbozteteset is lehetove teszik. Igen am — mondhatja itt a figyelmes olvaso —, de fiiggetlen-e a ket dolog? Hiszen ha egy balkezes neutrinon toltes- es tertiikrozest is vegrehajtunk, az egyeb adatokban vele egybevago jobbkezes antineutrinot kapjuk, es ekkor tovabbra is fennall a kerdcs, hogy megkiilonboztetheto-e abszolut modon a neutron es az antineutron fent leirt bomlasa. Ez bizony fontos kerdes, annal is inkabb, mert egy ideig ugy tiint, hogy a termeszet vegtil is tagado valaszt ad: a gyenge kolcsonhatasoknak a Lee es Yang felfedezese utan felallitott torvenyei szimmetrikusaknak bizonyultak a ter- es toltestiikrozes kombinalt alkalmazasaval, tehat a jobb es bal, valamint a resz es antiresz egyideju felcserelesevel szemben. Ez azt jelentette, hogy meg a gyenge erok figyelembevetelevel sem teheto abszolut kiilonbseg a balkezes neutrino es a jobbkezes antineutrino kozott: vagy azt mondjuk meg onkenyesen, mi a neutrino (vagy a neutron, vagy a pozitiv toltes), es ekkor abszolut balcsavarunk van, vagy a balcsavart valasztjuk meg tetszolegesen, es ekkor a resz-antiresz megkiilonboztetes valik abszoliitta. 191
A dolog azonban nem maradt ennyiben. 1964-ben Cronin, Fitch es munkatarsaik specialis elemiresz-reakciokban kimutattak, hogy a kombinalt ter- es idotiikrozes sem pontos szimmetriaja a termeszetnek, a szimmetriat serto erok meg az addig ismert gyenge kolcsonhatasoknal is mintegy ezerszer gyengebbek. Termeszetiiket mindmaig nem sikeriilt kielegitoen tisztazni, de ettol fiiggetleniil letezesiik azt jelenti, hogy vegso soron kiilon-kiilon is abszolut jelentest adhatunk a bal-jobb, illetve resz-antiresz fogalmanak. A tiikrozesi szimmetriaval kapcsolatban meg egy kerdest erdemes talan erinteni. Weyl reszletesen targyalja az elovilagban elofordulo aszimmetriakat. Ha a termeszettorvenyek tukrozesszimmetrikusak, ezeket ugyanolyan esetlegessegeknck kcll tckinteniink, mint az ora jarasat vagy a Fold forgasiranyat. A gyenge kolcsonhatasok aszimmetriajanak ismereteben azonban felmeriil a gondolat, hogy talan nem igy all a dolog, es az elovilag e jelensegeit a termeszet alapveto bal-jobb aszimmetriajara vezethetjiik vissza. Kiilonbseg lehet a tiikrozott alakzatok energiaja, sugarzasokkal szemben tanusitott ellenallokepessege kozott, mas lehet a tiikrozott folyamatok reakciosebessege es igy tovabb. Az ilyen magyarazat lehetoseget meglehetosen ketsegesse teszi a szimmetriaserto erok rendkiviil kicsiny volta; valoban, az eddig reszletes vizsgalatok azt mutatjak, hogy a gyenge kolcsonhatasokkal kapcsolatos effektusok tiilsagosan jelentektelenek ahhoz, hogy segitsegiikkel szisztematikusan meg tudjuk indokolni, miert csavarodik jobbra a DNS spiralja vagy a csiga haza. Ugy latszik, egyelore meg kell 192
maradnunk annal a nezetnel, hogy a szoban forgo jelensegek oka veletlenszerii feltetelekben keresendo. A Weyl konyveben is vizsgalt ter-ido szimmetriakon till a legujabb kutatasok soran szamos uj tipusii szimmetria valt ismertte. Tortenetuk meggyozoen bizonyitja, hogy Dirac hires kovetelmenye, a szepsegre valo torekves a termeszetleirasban nem tires jatek, hanem hatekony tenyezo a tudomany elorehaladasaban. A szepseg kategoriaja sok tekintetben szubjektiv lehet, de objektiv elemkent mindig tartalmaz egyszeriibb vagy bonyolultabb szimmetriat. Wigner konkretabban foglal allast a szimmetriak szerepet illetoen, a szimmetriaelveket szuperelveknek tekinti, amelyek ugyamigy szabalyozzak a lehetseges termeszettorvenyeket, mint ezek a tetszoleges kezdofeltetelekhez kapcsolodo lehetseges folyamatokat. Es tenyleg, a szimmetriaelvek kovetkezetes keresese es alkalmazasa az utobbi evtizedek kutatasaiban a termeszetleiras olyan szintezisehez vezetett, amely jelenlegi befejezetlensegeben is a fizikatortenet nagy attoreseivel allithato egy sorba. Az lijfajta szimmetriak sajatsaga, hogy az anyag kiilonbozo szubsztancialis formai kozott allapitanak meg ,,egybevagosagot" vagy — a legtobb esetben — kozeli egybevagosagot. Peldaul a magerok szempontjabol a pro1 ton es a neutron teljesen ,,egybevago", ezt az egybevagosagot az elektromagneses es gyenge tulajdonsagok kisse elrontjak, de csak oly mertekben, mint a hegyek, a volgyek a Fold gomb alakjat. Mas szoval, ha az elektromagneses es gyenge kolcsonhatasoktol eltekintiink, a magalkoto reszecskekrol csak onkenyesen lehet megmondani, me193
lyik a proton, melyik a neutron. Az elemi reszek koreben szamos ilyen, ugynevezett belso szimmetriat talaltak; az, hogy a kiilonbozo elemi reszek valoban kiilonbozo anyagi szubsztanciakat kepviselnek-e, vagy tulajdonsagaik valamilyen teridobeli szerkezetre vezethetok vissza, ma meg teljesen eldontetlen kerdes. A kozelito szimmetriak vizsgalata soran kideriilt, hogy a vegtelen szabadsagi fokii rendszerek, mint amilyen az elektromagneses ter, kepesek — latszolag a Leibniz-fele ,,elegendo ok" elvenek megsertesevel — allapotaikban olyan aszimmetriakat mutatni, melyek kolcsonhatasaikban nincsenek jelen. E tenyre alapozva lehetove valik a fizikai jelensegek olyan leirasa, melyben a kolcsonhatasok maximalis szimmetriat mutatnak, s a megfigyelt aszimmetriak spontan allnak elo a rendszerek allapotaiban. Lenyeges, hogy espontan sertesei a szimmetriaknak nem teljesen tetszolegesek, tehat a szimmetrikus elmelet az aszimmetrikus vilag sajatsagait is nagymertekben megszabja. A lehetosegek megtestesitesekent mar megsziiletett az elektromagneses es gyenge kolcsonhatasok egyseges elmelete, amelyben ez a ket, annyira kiilonbozonek latszo ero a leiras egy adott fokan minden reszleteben egybevagoan kezelheto. Az uj szimmetriaelvek alapjan vizsgaljak a magerokre vezeto eros kolcsonhatasokat is — ezeknek eddig egyaltalan nem volt konzisztens elmelete. A nagy abrand, a maximalis szimmetriabol kiindulo, es adott fokon minden kolcsonhatast egyenranguan leiro termeszettorvenyek felallitasa meg nem valosult meg. Egy ilyen elmeletben a tiikroz^si szimmetriak seriilese is a fent vazolt mechaniz-
194
mus reven allna elo, s egy magasabb szinten a bal- es jobbkezes neutrino megkiilonboztetese ismet relativva valna. Hogy valoban farkaba harap-e ily modon a kigyo, az egyelore a jovo titka. Nagy Tibor
h }
S Z I M M E T R I A K A MODERN BIOL6GIABAN
Nagyon nehez Weyl ,,Szimmetria" c. konyvehez kiegeszito megjegyzeseket fiizni. A kis konyv onmagaban kerek egesz, es ezt tovabbi peldakkal megbontani — kiilonosen, ha ezek a peldak joval a kitiino konyv megirasa utan valtak ismeretesse — nem meltanyos. A kovetkezo megjegyzesek nem is azt celozzak, hogy megmutassak, mi mindent nem irt le a szerzo, hanem eppen annak illusztralasra hivatottak, hogy az altala leirtak a joval kesobb felfedezett dolgokra is igaznak bizonyultak. Nem celja e kis kiegeszitesnek ezert az ujabban megismert biologiai szimmetriakrol atfogo kepet adni — erre nem is erzem kepesnek magam. A szerzo altal is emlitett molekuldris szimmetridk koziil az egyik erdekes tiikrozesi szimmetria az elo szervezetekben elofordulo molekulak optikailag aktiv modosulatainak szimmetridja. Az aminosavak, a szenhidratok, a nukleinsavak nukleotidjai stb. a polaros feny rezgesi sikjat jobbra vagy balra forgatjak. Az elokben levo aminosavak mind balra, a benniik fellelheto nukleotidok mind jobbra forgatok. Vajon szimmetriasertessel allunk-e szemben? Valoszinii, hogy nem. Az elet keletkezese soran 196
egyszer valamikor veletlenul eldolt, hogy a nukleotidokbol a szervezetekben jobbra forgato modosulatok alkotjak a nukleinsavak epitokoveit, mig a feherjeepito aminosavakbol pedig a balra forgatok fogjak e makromolekulakat letrehozni. Belathato ugyanis, hogy ha egy molekula mindket optikailag aktiv modosulatot veletlenszeriien tartalmazna, akkor a lancok szintezisekor es az anyagcserefolyamatokban rendkiviil bonyolult apparatusra lenne sziikseg ahhoz, hogy a molekulak reakcioiban hoi a jobb, hoi a bal modosulat epiiljon be a lancba, illetve reagaljon az ugyancsak veletlenszeriien bal vagy jobb optikai aktivitasii partnerrel. Ez akkora komplexitast tenne sziiksegesse es ezzel annyira esetleges miikodest lehetsegesse, hogy az ilyen rendszerek az elovilag evolucioja soran elpusztultak. Az elo szervezetekben letrejott optikai aktivitasi szimmetria latszolagos szimmetriasertese valosziniileg utolagos szelekcio eredmenye es nem valamifele fizikai torveny okozza. Egy kiilonleges — kiegeszito vagy komplementer — szimmetria jellemzo az orokito anyag, a dezoxi-ribonukleinsav (DNS) szerkezetere. A DNS nukleotidokbol polimerizalodott lancmolekula, de rogton ket polinukleotid lancbol all: a ket lancot az egymassal szemben allo nukleotidbazisok tartjak ossze hidrogenkotesekkel, A ket lancra azert van sziikseg, mert a molekula szaporodasakor a ket lane egymastol elvalva ket uj lane szinteziset iranyitja a sajat feluleten ugy, hogy az utod ket kettos lancu DNS lenyegileg pontosan megegyezik az eredetivel. Ez azt jelenti, hogy a lancok szetvalasakor mindegyik regi lane mintakent szolgal az uj ket lane szintezisehez: a regi 197
lancok nukleotidsorrendje hatarozza meg az uj DNSlancok nukleotidsorrendjet. A nukleotidbazisok beepiilesi es egymashoz kapcsolodasi sorrendjenek ezt az iranyitasat az teszi lehetove, hogy a DNS kettos nukleotidlancaban az egymassal szemben allo bazisok — terkitoltesi es kemiai kotesbeli okokbol — nem lehetnek akarmilyenek: ha a DNS egyik lancaban egy ponton adenin (A) bazis van, vele szemben a masik lancon csak timin (T) bazis lehet; a guanin (G) bazissal szemben viszont mindig citozin (C) talalhato. Tehat az A kiegeszitoje (komplementere) a T, a G-e a C (es termeszetesen — szimmetrikusan - forditva is). Amikor tehat a regi DNS ket szala a molekula osztodasakor kettevalik, az egyik szalon levo T maga melle A-t ,,valaszt" az uj lancba (az A pedig T-t), a C viszont G epiileset iranyitja az uj lancba a sajat magaval szembeni ponton. Ez a molekularis kiegeszites az alapja tehat annak, hogy — a veletlen hibahatarokon beliil — a/ utod DNS-ek nukleotidbazisainak sorrendje megegyezik a regi DNS-evel (azaz a DNS ,,azonosan szaporittatja onmagat"). Ez azt jelenti, hogy az utodsejtek genetikai allomanya lenyegeben azonos az anyasejtekevel, azaz az elolenyek utodai annyira hasonlitanak az elodeikre. A DNS-molekulakba meg egyeb szimmetriak is be vannak epitve. A DNS egyes reszei a genek, amelyek a tulajdonsagok meghatarozasaban alapvetoen fontosak. Az elovilagban elegge elenk — ambator korlatozott iranyii es mertekii — gencsere folyik az elo szervezetek DNS-darabjai kozott. Ez ugy tortenik, hogy bizonyos extra DNS-darabok idonkent integralodhatnak a sejt198
mag DNS-allomanyaba, idonkent pedig kivalnak abbol; azonban nem mindig pontosan ugyanazok. Ez a genkicserelodes azonos fajok egyedeinek azonos genjei eseten a genetikai valtozatossagot fokozzak az azonos faj egyedei kozott; de eltero fajok genjei kozott legtobbszor karosak. Ezert az ilyen fajok kozti gencserek legnagyobb resze tiltott. Ahhoz, hogy e genkicserelodeseket meg lehessen akadalyozni, a megfelelo gendarabok beilleszkedesi vagy kiszakadasi pontjait fel kell ismerni. A genkicserelodeseket feherje termeszetii enzimek vegzik: a felismert beillesztesi ponton a DNS-t felszakitjak, oda beillesztik az uj kiilso DNS-darabot, majd egy masik enzim osszekapcsolja a ket DNS-fragmentumot ismet egyseges kettos lancca. Kideriilt, hogy a beepiilesi hely felismerese szinten egy szimmetrikus szerkezeten mulik. A felismero enzim egy specifikus DNS-szakaszt ismer fel, amelyben a ket nukleotidlanc bazissorrendjei — amennyiben a DNS-lancot kiegyenesitve kepzeljiik el - egy kepzeletbeli pontra vonatkczoan, centralszirrimetrikusak. Peldaul a kozonseges belbakterium egyik ilyen felismero enzime a kovetkezo DNS-szakaszt ismeri fel: i -G-A-A-T-T-C-C-T-T-A-A-Gt
es a nyillal jelolt helyen elszakitja a lancokat. Az egyik lancon a bazissorrend balrol jobbra haladva megegyezik a masik lane bazissorrendjevel jobbrol balra haladva (mint a GEZA KEK AZ EG eseteri egyetlen 199
sorban; az olvasas iranya azert erdekes, mert a ket szalon a szintetizalo enzimek clienteles iranyban haladnak). Ugy tunik tehat, hogy az ilyen szimmetriaju szerkezetek nagyon fontosak a nukleinsavak egyes regioinak felismereseben. (Egyebkent ilyen felismero enzimet mar sokat talaltak; mindegyik mas-mas, de hasonloan centralis (vagy forgas) szimmetriajii bazissorrendet ismer fel. Ezek hasznalhatok fel a DNS darabolasara, mesterseges gensorrendu DNS-ek ,,6'sszeeszkabalasara", azaz genmanipulaciora vagy gensebeszetre is.) Az elovilagban fontos molekularis szimmetriak masik erdekes esete szdmos enzim teljesen szimmetrikus szerkezete. Az egyes polipeptid lancok magukban rendszerint nem tiilsagosan szimmetrikusak. Azonban sok enzim szerkezete megis igen tokeletes szimmetriat mutat: ugyanis tobb polipeptid lancbol all, es ezek kozott paros szamii egyforma van, amelyek kulonfeletukorkepikomplexumokat alkotnak. Vajon miert hoznak letre a magukban legtobbszor nem szimmetrikus polipeptid lancok ilyen szimmetrikus egysegeket? Onmagaban ez lehetne veletlen, es sokkal gyakoribb volna, hogy aszimmetrikus molekulak inkabb aszimmetrikus komplexumokka alljanak ossze. Azonban ez esetben az elovilag evoliicioja soran a kivalogatodas kedvezett a szimmetrikus szerkezeteknek. Ugyanis az elovilag fejlodese alatt mindig azok a letrejott valtozatok maradnak fenn es valogatodnak ki, amelyek gyorsabban tudnak szaporodni, vagyis valamilyen funkcionalis elonnyel rendelkeznek. Biztos, hogy aszimmetrikus egysegekbol gyakrabban kepzodhetnek olyan komplexum-valtozatok, amelyek szerkezete maga is 200
szimmetria nelkiili. Csakhogy a szabalyos szimmetrikus szerkezeteknek altalaban azert nagyobb a reprodukcios kepessegiik, mert elonyos sajatossagaik tobb molekularis alegysegukben egyidejuleg vannak meg. Ezzel szemben az aszimmetrikus molekularis szerkezetekben barmilyen elonyos valtozas csak egy — az eppen megvaltozott — alegysegben van kepviselve. A molekularis aszimmetriak es szimmetriak mellett egy sokkal magasabb szintii szimmetriaviszonyrol, az idegrendszer szimmetridjdrol szolnek meg. Az elo soksejtiiek torzsei koziil 5 kivetelevel a to'bbi torzsben ketoldali szimmetriaju allatokat talalunk, amelyeknek idegrendszere is ketoldali szimmetriaju. A bilateralis szimmetriarol altalaban azt tartjak, hogy adaptiv elonyt jelent a mozgekony fenekjaro eletmod, foleg a tenger alatti ketdimenzios ingervilag eseteben. A test eliilso resze lesz a vezeto veg: az erzekszervek es az asszocialt idegi struktiirak ide koncentralodnak. A ketoldali szimmetriaju testnek bilateralis idegrendszer felel meg, hiszen az idegrendszernek kepesnek kell lennie a test ket oldalan az eltero ingereket megkiilonboztetni es a test egyik oldalan az izmokat a masiktol fuggetlenul mozgatni. Ezert a test mindegyik oldala rendelkezik a sajat mozgato es erzo idegsejthalmazaval; lenyegileg az idegrendszer bemeneti es kimeneti resze megkettozodott. A ketoldali szimmetria megjeleneset egyre fokozodo elterjedese kovette: ma mar csak 11 elo allat-osztaly sugaras szimmetriaju, mig 69 bilateralis. Az alacsonyabb rendii allatcsoportok szamara az idegrendszer ket felenek szerkezeti es funkcionalis szim201
metriaja fontos, mert a vilaguk jobb-bal szimmetriaju, testiiknek mindket fele egyforma szabalyozast igenyel. A fennmaradasuk azon a kepessegiikon mulik, hogy detektalni tudnak kozvetlenul jelen levo ingereket es ezeket elemezni tudjak, valamint hogy megfelelo viselkedesi aktusokat kepesek kidolgozni ezen ingerekre adott valaszkent. A fizikai kemikus Mach vetette fel eloszor (1869) azt a gondolatot, hogy a ketoldali szimmetriaju elolenyek bizonyos koriilmenyek kozott komoly nehezsegekbe iitkoznek, ha meg akarnak kiilonboztetni ingereket, es esetleg rosszul emlekeznek jobb-bal terbeli informaciokra. Corballis es Beale (1970) felelevenitette ezt a gondolatot. Szerintiik addig nem keriil bajba a ketoldali szimmetriaju allat, amig jobb-bal valaszt kell adnia jobb-bal szimmetriaju ingerekre (pi. ,,kezdd el a valaszt azzal az idegrendszer-fellel, amely a bemeno ingert kapta"). Olyan koriilmenyek kozott tamadnak a nehezsegek, amikor a) jobbbal szimmetriaju valaszt kell adni olyan ingerre, amely nem ilyen tiikorkepi szimmetriaju (pi. vilagosodas-sotetedes), vagy b) csak jobb-bal orientacioban kiilonbozo ingerekre nem tiikorkepi szimmetriaju valasz sziikseges (pi. elore vagy hatra mozgas vagy vegtag-leeresztes, szembecsukas a jobb vagy a bal testfel erintesere). Ilyen koriilmenyek kozott a tokeletes bilateralis szimmetriaju allat nem tudja megalkotni maganak a sikeres teljesiteshez sziikseges szabalyokat, hacsak az idegrendszere nem valik aszimmetrikussa. Az idegrendszer aszimmetrikussa valasa a funkciok es esetleg a szerkezetek egyik oldalra hiizodasat (laterali202
zaciojat) jelenti. Tobben is gondoltak arra, hogy az agyi aszimmetria biologiai jelentosege valahogyan kapcsolatban van a terbeli informaciok analizisevel es a terbeli memoriaval, es igy esetleg a territorialis viselkedessel. Az agyi aszimmetria kifejlodese az evolucio soran talan azaltal valogatodott ki, hogy a terbeli lokalizacio emleknyomainak josaga es elemzesenek konnyedsege jelentosen megkonnyitette az egyedek reprodukciqjat (kozvetleniil segitve az ivari partner megtalalasat, kozvetve pedig a szaporodasi es az ivadekgondozasi territorium kijelolesevel, orzesevel es vedelmevel kapcsolatosan). Az agyi funkciok lateralizaciqjara egyik szep pelda az enekesmadarak eneklese. Nemelyik enekesmadarban a bal agyfelteke fontosabbnak tunik az enek szabalyozasaban, mint a jobb. A felnott madarban az enek bizonyos sajatossagai megszuntethetok a bal oldali nyelv alatti ideg atvagasaval (ez idegzi be a hangado szervezet), mig a jobb oldali ideg atvagasa szinte hatastalan. Az aszimmetria az egyik magasabb agyi struktura meghatarozott helyen talalhato. Marmost a madarak enekenek legalabb ket funkciot tulajdonithatunk: 1) az ivari partnert az enek vonzza; 2) enekkel jeloli ki a him a territoriumokat es az enekhang jelzi az esetleges betolakodonak a territorium foglaltsagat. Az enekesmadarak eneklese eppen ezert foleg a parosodasi idoszakban hallhato, illetve a mennyisege fokozodik akkor, ha a territoriumba masik him hatol be. Es ami meg erdekesebb: ugy tiinik, hogy az enekles szabalyozasanak lateralizacioja idoszakos, mert amikor a madar nincsen elkotelezve a territorialis viselkedesre es abbahagyja az eneklest, akkor az eneket sza203
balyozo agyi ,,kozpont" nem mutat semmilyen funkcionalis aszimmetriat. Sok biologus veli ligy, hogy a foldtorteneti kozepkorban a legkorabban kialakult emlosok nem tudtak felvenni a versenyt a szarazfoldi nagy hiillokkel, es ezert fold alatti vagy ejszakai eletmodra kenyszeriiltek. Mindket eletmodban a latas segitsegevel torteno orientacio es jelfeldolgozas jelentosege kisebb, mint a fold feletti vagy nappali eletmod eseten. Ezert az emlosok kicsi osei szagloes/vagy hallorendszeriik alapjan valo tajekozodasra es miikodesekre voltak itelve. A latasi informaciofeldolgozas iranyaban tiilspecializalodott, a foldtorteneti kozepkorban elt hiillokkel szemben, kornyezetiikhoz valo sikeres alkalmazkodasukhoz idegrendszeriik alapveto ujjaszervezodesere volt sziikseg. Ez lehetett talan az egyik inditek az emlos agy kialakulasaban, es a terbeli, nem-latasi jelfeldolgozasban kezdo lokest adhatott az idegrendszeri aszimmetriak (a funkcionalis lateralizaciok) kialakulasahoz. Ugy tiinik, hogy a lateralizacio es a latasi jelfeldolgozas egy kicsit nehezen egyeztetheto oszsze; ugyanis az erosen vizualis orientaciora hagyatkozo fajokban alig vagy egyaltalan nem talaltak lateralizaciot (kivetelt kepez ez alol a ,,szabaly" alol az ember). Az emberi agyi aszimmetriak eredete nem ismeretes. Lehetseges, hogy nemelyik funkcio agyi aszimmetriat mutato fejlodese szinten a territorialitassal volt (vagy van) kapcsolatban, de valoszinii, hogy sok aszimmetrikus emberi agyi funkcio nem ezen az uton alakult ki az elovilag evoliiciojaban. Mindenesetre az emberi agy funkcionalis aszimmetriaja — ugy tiinik — jelenleg mar olyan magas 204
fokot ert el, amelynel mar majdnem lehetove valik az egyes funkciok ,,deduplikaciqja": azaz egyes funkciok mar csak az egyik agyfeltekeben vannak kepviselve, mig a masik felszabadul az egyeb mukodese szamara. A francia Broca szerint (1861) az emberi beszed bizonyos aspektusainak valamifele szabalyozasi ,,kozpontja" a bal oldali agykereg egyik tekervenye mogott lokalizalhato, a homloklebenyben. Az emberek tobbseget kitevo ,,jobbkezesekben" a beszed es a tudatos agyi aktivitasok (pi. absztrakt matematikai ,,kepessegek", analiziskeszseg) tehat a bal agyfeltekeben lokalizalhatok, mig a jobb oldali felteke inkabb egeszleges felismeresekre (formafelismeres, geometriai ,,erzek", zenei dallamfelismeres stb.) specializalodott. Szamos mas lateralizalt agyi mukodes eseteben is az egyik felteke a szoban forgo funkcio szabalyozasara nezve inkabb dominans, mig a masik szubdominans. Az egyik funkcio tekinteteben dominans felteke egy masik mukodes szabalyozasa tekinteteben lehet szubdominans vagy dominans egyarant. Az ember sziiletesekor meg mindket felteke majdnem azonos fejlodesi kepesseggel rendelkezik: igen korai gyermekkorban akarmelyik felteke karosodasa eseten az ellenkezo fejlodik dominans jellegiive; felnottben azonban ez a valtas mar alig lehetseges. A bemutatott peldak — es alighanem a be nem mutatottak is — arra latszanak utalni, hogy a biologiai szimmetriak es aszimmetriak az elovilag evoluciqja soran ugyanugy ala vannak vetve a termeszetes kivalogatodas torvenyenek, mint barmely mas biologiai sajatossag. Kiss Jdnos
A Fibonacci-szamokkal jellemezheto novenyi racsok kozos eredete (V6. a 91. oldalial)
Szamozzuk meg magassaguk szerint sorra a noveny hengeres szaran elhelyezkedo ismetlodo elemeket: szamozott feliileti mozaikracshoz jutunk. Ha lehamozzuk ezt a novenyrol (kepzeletben) es a rombuszokbol (vagy hatszogekbol) allo racsot negyzetes raccsa torzitjuk, akkor lenyegeben egy hengerre feltekert, negyzethalos szalagot nyeriink. (A jelzett ,,pikkely"-deformacio nem erinti a a racsszerkezet lenyeget, csak az egyszeriibb abrazolast segiti.) E szalagot ketfelekeppen vaghatjuk fel: jobbra tekeredo vagy balra tekeredo szalagga tehetjiik. Az egy novenyrol lehamozhato ketfele szalag azonban mindig Fibonacci-szam szelessegu, es csak egyetlen esetben lehet azonos szelessegu: a buzakalasz szimmetriajahoz hason16, 1 + 1 szelessegu esetekben. Az abran a kiilonfele novenyekrol lehamozhato szalagokat parosaval egyesitve tuntettiik fol, es olyan — genetikai vagy fejlodesi kapcsolatra utalo — elrendezesben soroltuk fel oket, amelyben a legegyszerubb 1 + 1-es (jobbra 1 es balra 1 pikkelynyi szelessegu) feliileti szalagpartol elindulva egyfele csusztatasi miivelettel tetszoleges Fibonacci-szamparhoz tartozo szalagparu felQletracs — mindket tiikorszimmetrikus 206
207
valtozatban — levezetheto. A jelzett csiisztatasi miivelet soran a szalagpar egyiken beliil kell a reszszalagokat egymas mellett egysegnyi hosszan (racsallandonyival) elcsiisztatni. A szetcsiisztatast valtakozva hoi a jobbra, hoi pedig a balra csavarodo szalagon vegrehajtva jutunk az abran bemutatott ket — tukorszimmetrikus - ,,csaladfa" egyikehez. A bal oldali evolucios sort kapjuk, ha a jobbra tekeredo szalagra alkalmazzuk eloszor a csiisztatas miiveletet a kiindulasi 1 + 1-es racson; a jobb oldali evolucios sort kapjuk az ellenkezo esetben. (B.Sz.)
A szabalyos es felig szabalyos testek tablazatos osszefoglalasa (Vo. a 113. oldallal)
A legtobb diszkret szimmetriaval rendelkezo testek (6s mozaikok) a konvex*, szabalyos (platoni) testek (es mozaikok). Az oket hatarolo (felepito) terelemek alakjukkal es/vagy elrendezesukkel szemmel lathatoan is utalnak azoknak a szimmetriamuveleteknek a tobbsegere, melyekkel e testeket (es mozaikokat) onmagukkal fedesbe hozhatjuk. Nemcsak a testeket borito (es a mozaikokat alkoto) lapok szabalyosak es egybevagoak, hanem a csucsalakzatok is rendelkeznek ezzel a tulajdonsaggal a szabalyos testeknel (es mozaikoknal). A csucsalakzatok szabalyossaga es egybevagosaga az, amit kihasznalunk, amikor felig szabalyos (arkhimedeszi) testeket (es mozaikokat) alakitunk ki a platoni testekbol (es mozaikokbol) a csonkitas miiveletevel. Tekintsiik a 97. oldalon mar emlitett, ,,projektiv geometriai ertelemben polaris paroknak tekintheto" szabalyos test (illetve mozaik)-parokat. A csonkitas mfiveletevel ezen parok egyike a masikbol levezetheto (kialakithato), es a miivelet alkalmazasa soran all e!6 az arkhi* A szabalyos csillagtestekre itt nem terunk ki.
208
209
I
medeszi testek egy resze is. Az arkhi medeszi testek masik csoportjat a ket polaris part kepezo platoni test kozott ,,feluton" allo, mindket platoni test lapjait magan viselo testre alkalmazott lijabb csonkitasi miiveletekkel nyerhetjiik. A csonkitas miivelete a kovetkezo: a csonkitott test csiicsai iranyaban, a csiicsok helyen uj lapokat hozunk letre azaltal, hogy a testbe metszo, a csiicsot a test kozeppontjaval osszekoto egyenesre meroleges sikokkal levagjuk a csiicsok kisebb-nagyobb kornyezetet. Ezzel a miivelettel a platoni testekbol arkhimedesziekig ugy jutunk, ha a csonkitassal letrehozott — szabalyos — lap elhoszsziisaga megegyezik a csonkitassal csucsainak kornyezetet elveszito, csonkulo — szinten szabalyos — lap elhosszusagaval. A platoni paronkent sorokba rendezve a csonkitasok eredmenyekent kapott arkhimedeszi testeket (es mozaikokat) es az azonos csonkitasi lepesekben nyert testeket (es mozaikokat) egymas ala helyezve jutunk az abran bemutatott tablazathoz, amely minden olyan arkhimedeszi testet tartalmaz, amelynek nincsen kitiintetett forgastengelye. Lathatjuk, hogy egy-egy platoni paros hetfele arkhimedeszi testet general, amelyek azonban nem mindig mind kiilonbozoek, vagy pedig neha arkhimedeszi test ,,helyen" magasabb szimmetriaju platoni jelenik meg. A testekhez hasonloan csonkulnak a sik mozaikjai is. A szabalyos es a kitiintetett forgastengely nelkiili felig szabalyos testek (prizmak es antiprizmak kizarva), amelyek szimmetriatulajdonsagaikat tekintve — es itt 211
csak errol van szo — megegyeznek a gombi mozaikokkal, ilyen tablazatban foghatok ossze a planaris es hiperbolikus mozaikokkal egyiitt tetszoleges n dimenzioban is.
NEV- ES TARGYMUTAT6
(B. Sz.)
abszoliit hosszusagetalon 153 Adam teremtese 34 affin geometria 118 algebrai relacio 162 Alinari 182 anatazkristaly modellje 149 Anderson 182 antineutrino 191 antineutron 190 Apollon 40 aranymetszes 91 Archibald, R. C. 90 Arisztophanesz 40 Arisztotelesz 14, 15 Arkhimedesz 113, 149 arkhimedeszi testek 211 aszimmetria 24 —, agyi 203-204 —, idegrendszeri 204 asszociativitasi torveny 116—117 atomi dinamika 151 atteres uj bazisra 117 attikai vaza 69 213
automorfizmus 30, 56, 60, 162, 164, 168 — 169 —, fizikai 154 —, geometriai 154 —, hasonlosagi 57 — , merettarto 60 automorfizmuscsoport 164—169 — , veges 61 azonos lekepezes 75 azulejos ornamentika 136
B balcsavar 28 balra forgato kristaly 1. kristaly bazis 116-119 Beale 202 becsi Szent Istvan-dom csigalepcsoje 85 Beethoven, L. van 68 Bentley, W. A. 184 Birkhoff, G. D. 13, 68 bizanci ikon 26 — ostyatanyer 20 Bonnet, Ch. 90 Broca 205 Browne, Th. 81, 125
Camerarius, J. 13 Castorp, H. 81, 151 Church, A. H. 91 ciklikus csoport 82, 96, 99, 100, 120, 165, 178 — szimmetria 1. szimmetria Clarke 32, 38-39 214
Cn csoport 1. ciklikus csoport Cohn-Vossen, S. Ill Corballis 202 Cronin 192 Cs
csavarmozgas 90 csonkitas 211 csoport 57 — , egyenesmenti eltolasoke 71 — rendje 71 —, unimodularisan ekvivalens 130 —, unimodularisan nemekvivalens 130 csuszotengely 133 D Dareiosz 21, 63 Darwin, Ch. 113 de Beer, G. R. 46 Descartes, R. 116 determinans 118 dezoxi-ribonukleinsav 197—200 Dickson, L. 145 diedercsoport 82, 96, 99-100, 120, 179 Dirac, P. 193 Dirichlet 145 Discomedusa 78 diszitmenyek szimmetriaja 121 diszkret csoport 121-122, 146 disztributivitasi torveny 117 Dn csoport 1. diedercsoport dodekaedercsoport 98, 100 215
Driesch, H. 47-48 Diirer 13, 82 Dye, D. S. 137, 182
egybevagdsag 57-58, 120, 154, 193 — , nemvalodi 58 —, valodi 58 egybevagosagi transzformacio 57—58 , ketdimenzios 132-133 egyedfejlodes 1. ontogenezis egyenertekliseg, jobb es bale 29—36 —, pozitiv es negati'v elektromossage 37 egyenesre valo tiikrozes 1. tiikrozes egyensulyi allapot 37 Einstein, A. 155 — 156 ekvivalens polusosztalyok 178 — pontok 174 elegseges ok leibnizi elve 38-39, 194 elektron 190 elforgatas (1. m6g forgatas) 58—59 -, nemvalodi 59, 98-99, 180-181 -, valodi 58, 60, 173, 180-181 elforgatasok csoportja 96 elmozgatas 58 eltolas 59, 62, 66-67, 120 eltolasi szimmetria 1. szimmetria eltolasok osszetetele 114—115 enantiomorf kristalyok 41—45, 50 Entenema 17 — kiraly eziistedenye 19 enzim 199-200 Epikurosz 152 eros kolcsonhatasok 194 216
Eudoxosz 160 Eukleidesz 29, 93, 112 Euler, L. 173 Ewald, E. 182
Faistauer, A. 36 felig szabalyos testek 209-212 fenilketonuria 42 fenotipusos inverzio 50 Fibonacci-sorozat 90—91 Fibonacci-szam 206 Fitch 192 Fjodorov 113 ,,fluidum" mozgasa 86—87 Fontenelle 113 forgascsoport, veges 69, 120, 144 forgasszimmetrikus alakzat 15 forgatas (1. meg elforgatas) 15 Frey, D. 27
Galenosz 14 Galois, E. 162-163 Galois-csoport 162—163 Galois-elmelet 162-163, 167 Gauss, C. F. 145 gaznemu allapot 40 genek!98-199 genotipusos inverzio 50 Goethe, J. W. 90 golyaorr 83 217
gombi mozaik 212 gyemantracs 125 gyenge kolcsonhatasok 188—189, 191 — 192 H Haeckel, E. 75, 78, 93, 182 Hambidge, J. 8, 90 haranttiikrozes 65 haromlab 84 Harris, H. 182 Harrison, R. G. 47 hasonlosag 56, 58 hasonlosagi automorfizmus 1. automorfizmus — csoport 60 hatszoges korelrendezes 105 — minta 106 — 110 — racs 133 Helianthus maximus 89 Helmholtz, H. 29, 153 heraldikai kompozicio 19 — szimmetria 17, Hermite, Ch. 145 Herzfeld, E. 21 Hilbert, D. Ill Hodler 28 hokristalyok 79 homogen linearis transzformacio 1. transzformacio Huxley, J. S. 46
idSirany-megforditas 36—37, 67 idtftiikrozes 67 imadkozo fiii szobra 18 inhomogen linearis transzformacio 1. transzformacio 218
Jaeger, F. M. 8, 41 Janos evangelista 27 Japp, F. R. 44 jobb es bal egyenertekiisege 1. egyenertekusdg jobbcsavar 28 jobbra forgato kristaly 1. kristaly Jones, O. 137, 183 Jordan, P. 44-45 K Kant, J. 33, 155 Kelvin 113 Kepler, J. 93, 111, 183 Keresztelo Szent Janos 27 ketoldali szimmetria 1. szimmetria kettosen vegtelen ismetlodes 122—123 Kiss J. 205 Kitrosser, I. 183 Klein, F. 157 Koenig, S. 112-113 kombinalt ter- es idotiikrozes 192 kommutativitasi torveny 115 komplex szam 161 kovamoszatok kovapancelja 107 korzovel es vonalzoval vegezhetS algebrai muveletek 166 kristalyallapot 40 kristaly, balra forgato 41—43 — Jobbra forgato 41—43 kristalyok 79, 143-170 — szimmetriaosztalyai 144 kristalyracs dinamikaja 151 krisztallografiai szimmetria 1. szimmetria 219
Krisztus21, 24-25,27, 34 kukorica parenchimaja 106 Kuchnel, F. 183 kvadratikus alak 131 — alakok elmelete 145 kvantummechanika 158 — 160
laterizacio 202-204 Laue, M. von 147 Laue-diagram 149 Lee, T. 188, 191 legszorosabb korelhelyezes 103 — 105 Leibniz, G. W. 30, 32-33, 36, 38-39, 112-113, 152 lekepezes inverze 55 Leonardo da Vinci 83, 121 Leonardo-fele tablazat (sikbeli veges forgascsoportoke) 120, 123, 143 Iepl03-104, 112-113 logaritmikus spiral 87—90 Lord Kelvin 113 Lorentz, H. A. 156 Lorentz-csoport 156 Lorentz-transzformacio 157 Lorenz, A. 68 Ludwig, W. 38, 51, 183
M Mach,E. 30-31,36, 202 magerok 193-194 mainzi katedralis 72—74 Mann, Th. 81 220
Maraldi 112 Maschke, H. 130 masodlagos aszimmetriak 38 mazas szfinx 22 mediiza 79 megaroni padlomintak 22 mehsejt 103—104, 112—113 merettarto hasonlosag 1. egybevagosag metameria 66 metrikus alapforma 118, 127—128 — geometria 118 Michelangelo 33 Minkowski.H. I l l , 145 monrealei mozaik 25, 63—65 mozaikpete-hipotezis 50 mozgascsoport, kettosen vegtelen ismetlod6su 123—126 N Nagy T. 195 Nautilus heja 88-89 Needham, J. 47, 183 negyes csoport 97 neutrino 189-191, 195 neutron 190 Newton, I. 32, 39, 112-113, 155 Nicolle, J. 8 Niggli, P. 147 Nod 42 noszirom 75 novdnyi racsok 206—208 nukleotid 196 - bazisok 197-198
221
o
R
Obelia 79 oegyiptomi oszlopf6k 71 oktaedercsoport 98, 100, 179 ontogenezis 45—49 Oppe, P. 36 optikailag aktiv anyagok 41—44 ornamensek 67—69 ornamentalis csoport 126—132 ortogonalis transzformacio 1. transzformacio — — csoportok 121
racionalis indexek torvdnye 146 — szamok 160 racs 111 — bazisa 122 —, ketdimenzios 122 Raffaello 35 relativitas 153, 156 relativitaselmelet 152, 157—158 Rembrandt 35 reszcsoport 57-58, 60 rhodoszi korso 70 ritmus 67 rombdodekaeder 111 Romer, O. 156
Pasteur 41-44 P csoport 1. dodekaedercsoport pentagramma 60 Pfuhl, E. 183 ,,pikkely"-deformaci6 206 pisai Babtisterium 73 Pitagorasz-tetel 118 Platon 17, 40, 92-93, 163 platoni testek 92-95, 209-212 polaris alakzatok 97 - parok 209 polusl73-179 polusosztaly 177 Poliikleitosz 13, 82 Polya Gy. 126 pontracs, paralelogrammas 122 pontra valo tiikroz^s 1. tiikrozes proton 190 pusztai meteng 83 Piithagorasz 163 222
Sales, H. 183 San Apollinare-i mozaik 26 Schlosser, J. 36 sejtosztodas 47—50 Senk, H. 13 Siegel 145 sikbeli tiikrozes 1. tiikrozes Speiser, A. 8, 68, 93, 183 spektrumvonalak 158 spin 189-190 sugarallatka kovavaza 94, 110—111 sumer kep 20 Swindler, M. H. 183 Sz szalagdiszek 63, 65, 68 szabalyos hatszogalakzat 103 — 104 223
- poliederek 92-95 — p-szog szerkeszthet6s£ge 167 - testek 209-212 — tizenhetszog Gauss-fele szerkesztese 164 Szent Mate 34 szimmetria altalanos matematikai eszmeje 143—170 -,belso 194 —, bilateralis 1. szimmetria, ketoldali —, ciklikus 74 —, eltolasi 64—65 -, hatszoges 138 -, idegrendszere 201-205 —, komplementer 197 -, ketoldali 15-52, 202-205 —, kettosen vegtelen ismetlSdesu 114 —, krisztallografiai 103 —, molekulak optikailag aktiv modosulataie 193 —, molekularis 196 -, negyzetes 136-138 —, optikai aktivitasi 197 -, tertiikrb'zesi 188 -, toltestukrozesi 191 -, tukrozesi 192 —, iires tere 152 szimmetriaelvek 193 szimmetriaserto erok 192 szimmetrikus alakzat 14 Szollosy K. 81 Sztalin 153 szuperelvek 1. szimmetriaelvek s/vasztika 84
taktus 68 teglalapracs 125 terbeli alakzat szimmetriait megado csoport 59—60 — szilard ornamensek 145 ter gombokkel valo legszorosabb kitoltese 111 terszerkezet 29-30 test (algebrai) 169 tetraedercsoport 98, 100, 179 tetrakaidekaeder 113 Theaitetosz 93 Thompson, D. 8, 78, 184 tornyoscsiga 86 toltestiikrozes 191 torteneti aszimmetria 27—28 transzformacio 55 — , homogen linearis 117 — , inhomogen linearis 119—120 —, ortogonalis 119 —, unimodularis 123 transzformaciocsoport 57 — invariansai 157 transzformaciopar 30 transzlacios szimmetria, epiteszeti 65 tricliniumi etruszk siremlek 24 triquetrum 84 Troll, W. 66, 184 tiikorszimmetria 62 tukrozes 15, 31-32, 58, 60, 62, 154 —, egyenesre 21 —, hosszanti 65—67 —, pontra 98-99 —, sikbeli 30 tuskesbdruek 78
T csoport 1. tetraedercsoport Tail, P. G. 91 224
225
valos szamok 160 ,,vegtelen ismetlSdes" 62 vektor 59 — hossza 118 — koordinatai 116 vektorbazis 1. bazis vektorok linearis fiiggetlensege 116 — linearis kombinacioja 116 — osszeadasa 114—115 velencei dozsek palotaja 65 Vitruvius 13 W W csoport 1. oktaedercsoport Wagner, R. 68 Weyl, H. 9, 184, 187-188, 190, 192-193, 196 Wickham, A. 15 Wigner J. 193 Wohler 44 Wolfflin, H. 31 Wulff, O. 184 X XI. szazadi tabla 23 Y Yang, Cs. N. 188, 191 Z Zeusz 40 226
