ELMÉLETI MATEMATIKA DOKTORI PROGRAM

MATEMATIKA DOKTORI ISKOLA

ELMÉLETI MATEMATIKA DOKTORI PROGRAM DOKTORI SZIGORLATI TEMATIKA

Tartalomjegyzék 1. Analízis (Valós függvénytan)

2

2. Analízis (Komplex függvénytan)

4

3. Analízis (Dierenciálegyenletek)

7

4. Analízis (Funkcionálanalízis)

9

5. Geometria (Dierenciálgeometria)

12

6. Geometria (Topológia)

15

7. Geometria (diszkrét, kombinatorikus, véges és konvex geometria)

16

8. Sztochasztika (Valószín¶ségszámítás)

19

9. Sztochasztika (Sztochasztikus folyamatok)

25

10. Sztochasztika (Statisztika)

31

11. Algebra

37

12. Számelmélet

39

13. Diszkrét matematika

41

14. Halmazelmélet és matematikai logika

43

1

ELMÉLETI MATEMATIKA DOKTORI PROGRAM, DOKTORI SZIGORLATI TEMATIKA

2

1. Analízis (Valós függvénytan) Szigorlati f®tárgy számára a 19 blokkból 12-t kell kiválasztani.

1. Klasszikus mérték- és integrálelmélet. szolút folytonosság és szingularitás.

Mértékterek. Integrál mértékterekben. Ab-

Szorzatterek.

Lp -terek.

Haar-mérték.

Általánosított

integrálok.

2. Többváltozós dierenciálás. Green és Stokes tételei.

Implicit- és inverzfüggvény-tétel. Integrálformulák: Gauss-

Dierenciálformák integrálása.

Sard tétele.

Whitney kiterjesztési

tétele. Lipschitz-függvények. Kirszbraun kiterjesztési tétele. Rademacher tétele.

3. Deriváltak.

A deriváltak tulajdonságai. Monotonitási tételek. A s¶r¶ségtopológia. Ap-

proximatív folytonosság. A kontingencia-tétel. A Denjoy-Young-Saks tétel.

4. Geometriai mértékelmélet I. Lefedési tételek.

Hausdor-mérték és -dimenzió. További

dimenziófogalmak. Izoperimetrikus és izodiametrális egyenl®tlenség. Fraktálok és dimenzióformulák. Mértékek és integrálok dierenciálása. A maximális operátor és alkalmazásai.

5. Geometriai mértékelmélet II.

Reguláris és irreguláris s-halmazok.

Vetítési tételek.

Szorzattételek. Frostman-lemma, energia-kapacitás. Besicovitch-halmazok. Fraktálok alkalmazásai más területeken (pl.

számelmélet, dinamikus rendszerek, véletlen fraktálok, zikai

alkalmazások).

6. A kategória-tétel. A kategória-tétel.

Teljes metrikus terek. Lengyel-terek. Baire-tulajdonságú halmazok.

Folytonos függvények tipikus tulajdonságai.

A Banach-Mazur játék.

Az

Erd®s-Sierpi«ski-féle dualitási tétel.

7. A leíró halmazelmélet elemei.

Borel halmazok.

(A)-operáció, analitikus halmazok.

Univerzális halmazok. A szeparációs tétel és a grakon-tétel. A Baire-féle függvényosztályok. Szuszlin- és Luzin-terek.

8. Dinamikai rendszerek.

Mértéktartó leképezések egyparaméteres félcsoportjai, illetve

csoportjai. Konkrét rendszerek: az egységkör homomorzmusai, a lineáris leképezés és a pék leképezése, Gauss leképezés, az intervallum endomorzmusai, a tórusz algebrai automorzmusai. Invariáns mértékek. Krylov-Bogoljubov tétel. Szimbolikus dinamika.

9. Ergodelmélet.

Poincaré rekurrencia-tétele. Ergodtételek. Ergodikus, kever® leképezések

és ezek spektrális jellemzése. Entrópia és topologikus entrópia. Dinamikai rendszerek izomorája. Bernoulli-sorozatok ergodicitása.

10. Komplex függvénytan.

Komplex dierenciálás. Hatvány- és Laurent-sorok. Általános

integráltételek. Izolált szingularitások, reziduum. Konform leképezések alaptétele, kiterjesztés a határra. Harmonikus függvények, Dirichlet-feladat körre. Kapacitás: Csebisevkonstans, Green-függvény, kapcsolat a Hausdor-mértékkel.


11. Fourier-sorok. Fischer-tétel.

L2 -elmélet,

Dirichlet- és Fejér-mag, szummáció.

Bochner-tétel.

Pontonkénti konvergencia.

3

Carleson-tétel, Riesz-

Multiplikátorok.

Sidon-halmazok.

Hézagos sorok. Szinguláris integrálok.

12. A Fourier-integrál.

Konvolúció. Inverziós képlet. Wiener approximációs tétele. Kom-

plex mérték Fourier-transzformáltja.

Parseval-formula.

rierintegrál a komplex síkon, a Paley-Wiener tétel.

Poisson összegzési formula.

Fou-

A Laplace-integrál, inverziós képletek,

alkalmazások.

13. Harmonikus és reguláris függvények osztályai. rálja.

Hardy-osztályok.

Lp -beli

függvények Poissoninteg-

Konjugált harmonikus függvények, Riesz Marcell tétele.

Lp -beli

operátorok interpolációja. A Riesz-vérek tétele.

14. Approximációelmélet. tételei.

Weierstrass tételei. Bernstein-polinomok. Jackson és Timan

Legjobban közelít® polinomok, Csebisev-polinom.

Polinomok deriváltjának becslé-

se. Inverz tételek. Lagrange-interpoláció, vetít®operátorok. Stone-Weierstrass-téte, DaniellStone-tétel.

15. Topologikus vektorterek.

Lokálisan konvex topologikus vektorterek származtatása

félnormacsalád segítségével. Metrizálhatóság. Duális tér, Banach-Alaoglu tétel. A Baire-féle kategóriatétel. Banach-Steinhaus és Banach nyíltleképezés és zárt gráf-tételei. Hahn-Banach tétel. Konvex halmazok szétválasztása. Krein-Milman tétel.

16. Operátorok és Banach-algebrák.

Adjungált operátorok. Kompakt operátorok Riesz-

Schauder-elmélete. Fredholm-alternatíva. Riesz reprezentációs tételei. Konvolúció és mértékalgebra. Unitér ábrázolás és reprezentáció. Gelfand-Raikov tétel. Irreducibilis komponensekre bontás.

17. Közönséges dierenciálegyenletek. és analitikus jobb oldal.

Egzisztencia, unicitás, folytathatóság. Mérhet®

A karakterisztikus függvény folytonossága és dierenciálhatósága.

Paramétert®l függ® egyenletek. A kiegyenesítési tétel. Lineáris rendszerek. Lineáris állandó együtthatós rendszerek stacionárius pontjainak osztályozása. Stabilitáselméleti alapfogalmak. Linearizálás, Ljapunov-féle függvények.

18. Parciális dierenciálegyenletek.

Kezdeti-, peremérték és vegyes feladatok, zikai pél-

dák. A f®részükben lineáris parciális dierenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakja állandó együtthatós esetben. Klasszikus és általánosított Cauchy-feladat állandó együtthatós hiperbolikus és parabolikus egyenletekre.

19. Disztribúciók és Szoboljev-függvényterek.

Algebrai m¶veletek, a disztribúciók

S térben L1 -ben és L2 -ben. Állandó együtthatós lineáris parciális 1 dierenciálegyenletek alapmegoldása; példák. H (Ω)-függvények kiterjesztése. Ekvivalens 1 1 1 1 normák a H0 (Ω) térben. H0 (Ω) és H (Ω) beágyazása az L2 (Ω) térbe. H (Ω) -függvények deriváltja. Disztribúciók direkt szorzata és konvolúciója. Fourier-transzformáció az és a temperált disztribúciók körében,

nyoma.


4

2. Analízis (Komplex függvénytan) Szigorlati f®tárgy számára a 21 blokkból 12-t kell kiválasztani.

1. A komplex függvénytan elemei.

Komplex dierenciálhatóság. Hatvány- és Laurentso-

rok. Izolált szingularitások. Integráltételek. Nyeregpontmódszer. Argumentum-, maximumés tükrözési elv. Konform leképezések. Picard tétele. Reguláris függvények sorozatai. Harmonikus függvények. Parciálisan holomorf többváltozós függvények.

Többváltozós integráltételek, hatványsorok,

Reinhardt-tartományok. Izolált szingularitások nem-létezése. Gömb és policilinder inekvivalenciája.

2. Geometriai függvénytan.

Phragmén-Lindelöf típusú tételek. Kapacitás, Green-függvény,

kapcsolat a Hausdor-mértékkel. Konform sugár. Egyrét¶ függvények, területelv, Koebe torzítási tételei, együtthatók.

Extremális hossz, négyszög és gy¶r¶ modulusa.

Kvázikonform

leképezések, kváziszimmetrikus függvények, kvázikonform görbék.

3. Függvényosztályok.

Lp -beli

függvények Poisson-integrálja.

jugált harmonikus függvények, Riesz Marcell tétele.

Lp -beli

Hardy-osztályok.

Kon-

operátorok interpolációja.

A

Riesz-vérek tétele. Hardy-osztályok jellemzése a maximális operátorral. Végesrend¶ egészfüggvények kanonikus el®állítása, Borel tétele. Meromorf függvények a síkon, Nevanlinna 1. és 2. f®tétele.

4. Komplex dinamikus rendszerek.

Julia- és Fatou-halmazok.

Sima Julia-halmazok.

Vonzó, szupervonzó, parabolikus xpontok, Cremer-pontok és Siegel-körök. pontformula.

Nevezetes s¶r¶ részhalmazok a Julia halmazban.

Holomorf x-

Herman-gy¶r¶k.

Vándorló

tartományok. Polinomok iterációja. A Mandelbrot-halmaz. A Newton-iteráció. Hiperbolikus leképezések.

5. Moduláris formák.

A hiperbolikus sík Poincaré-féle modellje.

Az

SL2 (R)

csoport és

diszkrét részcsoportjai. Klasszikus holomorf moduláris formák és Maass-formák, számelméleti alkalmazás.

Maass-formák és a Laplace-Beltrami-operátor spektruma.

kompakt hányados esetén. Spektrálfelbontás

6. Riemann-felületek.

Disztkrét spektrum

SL2 (Z)-re.

Absztrakt deníció. Fedések, univerzális fedés. Dierenciálok. Di-

richletfeladat, Perron módszere. Egyszeresen összefügg® felületek konform leképezése. Uniformizáció. Fundamentális tartomány. Függvényelemek, -csírák. Kib®vítés elágazási pontokkal.

7. Komplex sokaságok (folytatás). felületek, algebrai függvények és görbék.

Elliptikus függvények és görbék. Ricci-áram Riemann-felületeken.

Ricci-áram segítségével. Projektív algebrai sokaságok, Chow tétele, Kodaira beágyazási tétele.

Zárt RiemannUniformizáció


8. Kévék.

5

Cousin I., II. problémája, kévék, kévekohomológiák, Dolbeault és de Rham izom-

orzmustételei.

A holomorf függvénycsírák gy¶r¶jének algebrai tulajdonságai: Weierstrass-

tételek, divizorok, Chern-osztályok, Oka-Serre-tétel, koherens analitikus kévék, Oka koherenciatétele, Cartan-féle A és B tétel

9. Komplex konvexitás.

C n -beli

tartományokra.

Kompakt szingularitások megszüntethet®sége.

Holomorf kon-

vexitás, egzisztenciatartományok, pszeudokonvexitás, Levi-konvexitás, Levi-probléma, polinomiális konvexit ás.

Oka-Weil-tétel.

Inhomogén Cauchy-Riemann-egyenletek egy és több-

változóban, Dolbeault-féle kohomológiacsoportok.

Hörmander

L2 -es

módszere a

δ¯-egyenlet

megoldására pszeudokonvex tartományokon.

10. Klasszikus mérték- és integrálelmélet. szolút folytonosság és szingularitás.

Mértékterek. Integrál mértékterekben. Ab-

Szorzatterek.

Lp -terek.

Haar-mérték.

Általánosított

integrálok.

11. Geometriai mértékelmélet.

Lefedési tételek. Hausdor-mérték és -dimenzió. További

dimenziófogalmak. Izoperimetrikus és izodiametrális egyenl®tlenség. Fraktálok és dimenzióformulák. Mértékek és integrálok dierenciálása. A maximális operátor és alkalmazásai.

12. Fourier-sorok. Fischer-tétel.

Dirichlet- és Fejér-mag, szummáció.

Bochner-tétel.

Pontonkénti konvergencia.

L2 -elmélet,

Carleson-tétel, Riesz-

Multiplikátorok.

Sidon-halmazok.

Hézagos sorok. Szinguláris integrálok.

13. A Fourier-integrál.

Konvolúció. Inverziós képlet. Wiener approximációs tétele. Kom-

plex mérték Fourier-transzformáltja. Parseval-formula. Poisson-féle összegzési formula. Fourierintegrál a komplex síkon, a Paley-Wiener-tétel. Laplace-integrál, inverziós képletek, alkalmazások.

14. Approximációelmélet. pozitív operátorok. polinom.

Weierstrass tételei, Stone-Weierstrass-tétel. Bernstein-polinomok,

Jackson és Timan tételei.

Polinomok deriváltjának becslése.

Legjobban közelít® polinomok, Csebisev-

Inverz tételek.

Lagrange-interpoláció, vetít®o-

perátorok.

15. Közönséges dierenciálegyenletek klasszikus elmélete.

Megoldások létezése és egy-

értelm¶sége, Gronwall-lemma. Lineáris rendszerek. Másodrend¶ lineáris dierenciálegyenletre vonatkozó pereemértékproblémák. Stabilitási fogalmak. Lineáris dierenciálegyenlet-rendszer stabilitásvizsgálata:

stabil, instabil, centrális altér, egyensúlyi pont stabilitásvizsgálata li-

nearizálással. Ljapunov módszere. Aszimptotikus viselkedés, határhalmazok, vonzó halmaz, Poincaré- Bendixson-elmélet. Periodikus megoldás stabilitása, Poincaré-leképezés.

16. Disztribúcióelméleti alapfogalmak. körében,

L1 -ben

és

L2 -ben.

terjesztés, ekvivalens normák a

k n A H (R ) és a

Fourier-transzformáció temperált disztribúciók

Alkalmazás az alapmegoldások el®állítására. Szoboljev-terek. Ki-

H01 (Ω)

térben. Nyomoperátor. Kompakt beágyazási tételek.

H k (Rn+ ) tér jellemzése Fourier-transzformációval, A Szoboljev-tér függvényei-

nek a simasága. Anizotróp Szoboljev-terek.


6

17. Lineáris parciális dierenciálegyenletekre vonatkozó kezdeti- és peremértékfeladatok. Klasszikus és általánosított peremérték- és sajátértékfeladatok. Variációs értelmezésük.

Altarnatívatétel általános alakú elliptikus peremértékproblémákra.

A megoldás

egyértelm¶sége. A megoldások létezése és el®állítása a Fourier- és a Galjorkin-módszerrel.

18. A funkcionálanalízis alapjai.

Banach-tér és duálisa. Operátorok Banach-terek között.

Hahn-Banach-tétel. Baire-kategóriatétel. Banach-Steinhaus-tétel. Banach nyílt leképezéstétele és a zártgráftétel. Kompakt operátorok Riesz-Schauder-elmélete. Fredholm-alternatíva.

19. Topologikus vektorterek elemi elmélete.

Topologikus vektorterek el®állításai. Fél-

normacsal ádok és lokálisan konvex terek. Induktívan el®állított lokálisan konvex terek. Szigorú induktív limeszek. A Hahn-Banach-tétel geometriai formája. Hahn-Banach szétválasztási tételei.

20. Banach-algebrák.

Spektrum és rezolvens tulajdonságai. Banach-algebra karaktertere

és Gelfand-reprezentációja. Bochner-tétel. Holomorf függvényszámítás egységelemes komplex Banach-algebrában. Reguláris Banach-algebrák. Fed®

21. Topologikus csoportok.

C ∗ -algebrák

és absztrakt Stone-tétel.

Csoporttopológiák jellemzése, projektív el®állításai. Topolo-

gikus csoportok féligmetrizálhatósága. Topologikus csoportok közötti egyenletesen folytonos függvények.

Topologikus csoportok tranzitív folytonos ábrázolásai.

Wigner-Neumann-tétel.

Topologikus csoport duálisa. Invariáns Radon-mértékek és folytonos unitér ábrázolások konstrukciója. Haar-mérték létezése és egyértelm¶sége.


7

3. Analízis (Differenciálegyenletek)

F®tárgy: 6 blokk választható Melléktárgy: 3 blokk választható a 310. 1. A funkcionálanalízis alapjai.

blokkok közül.

Banach-tér és duálisa. Operátorok Banach-terek között.

Hahn-Banach tétel. Baire kategóriatétel. Banach-Steinhaus tétel. Banach nyílt leképezés tétele és zárt gráf tétel. Kompakt operátorok Riesz-Schauder elmélete. Fredholm alternatíva.

2. Hilbert-terek geometriája és operátorok Hilbert-terek között.

Riesz-féle felbontási

tétel és reprezentációs tétel. Hilbert-Schmidt tétel kompakt normális (önadjungált) operátorokra. Dunford klasszikus spektráltétele folytonos normális (önadjungált) operátorokra.

3. Közönséges dierenciálegyenletek klasszikus elmélete.

Megoldások létezése és egy-

értelm¶sége, Gronwall lemma. Lineáris rendszerek. Másodrend¶ lineáris dierenciálegyenletre vonatkozó peremértékproblémák.

Stabilitási fogalmak; lineáris dierenciálegyenlet-rendszer

stabilitás vizsgálata: stabil, instabil, centrális altér, egyensúlyi pont stabilitás vizsgálata linearizálással. Stabilitásvizsgálat Ljapunov módszerével. Aszimptotikus viselkedés, határhalmazok, vonzó halmaz, a Poincaré-Bendixson elmélet. Periodikus megoldás stabilitás vizsgálata, Poincaré leképezés.

4. Dinamikai rendszerek.

Dinamikai rendszerek topologikus osztályozása.

Kiegyenesí-

tési tétel, lineáris rendszerek topologikus osztályozása, Hartman-Grobman tétel, nemlineáris rendszerek osztályozása a Poincaré-féle normálforma segítségével. Stabilis, instabilis, centrális sokaság. Lokális vizsgálat periodikus megoldások körül, periodikus megoldás stabilis, instabilis, centrális sokasága.

5. Bifurkáció elmélet, káosz.

Dinamikai rendszerek bifurkációi. Nyereg-csomó és Andronov-

Hopf bifurkáció. Két-kodimenziós bifurkációk. Strukturális stabilitás. Morse-Smale rendszerek. Diszkrét dinamikai rendszerek. Periodikus pályák stabilitása. Kaotikus pálya fogalma, szimbolikus dinamika, példák. Káosz a Lorenz-féle dierenciálegyenletben. Attraktorok típusai, kaotikus attraktor.

6. Operátor félcsoportok és alkalmazásaik dierenciálegyenletekre.

Végtelen dimen-

ziós fázister¶ dinamikai rendszerek. Operátor félcsoportok, generátorok. Absztrakt Cauchyfeladatok, egzisztencia tételek. Stabilitás, operátor félcsoportok aszimptotikus tulajdonságai. Késleltetett argumentumú dierenciálegyenletek, alkalmazások. Reakció-diúzió egyenletek, utazó hullámok létezése és stabilitása.

7. Disztribúcióelméleti alapfogalmak. körében, az

L1

és

L2

H01 (Ω) térben. Nyom operátor. Kompakt beágyazási tételek. k n H (R+ ) tér jellemzése a Fourier-transzformációval, a Szoboljev-térbeli függvé-

terjesztés, ekvivalens normák a

k n A H (R ) és

Fourier-transzformáció temperált disztribúciók

térben. Alkalmazás alapmegoldások el®állítására. Szoboljev-terek. Ki-

nyek simasága. Anizotróp Szoboljev-terek.


8. Lineáris elliptikus egyenletekre vonatkozó peremérték feladatok.

8

Szimmetrikus

egyenletekre vonatkozó általánosított peremérték feladatok és sajátérték feladatok.

A pe-

remérték feladatok és sajátérték feladatok variációs értelmezése. Alternatíva tétel általános alakú elliptikus peremérték problémákra.

9. Kezdeti-peremérték feladatok lineáris hiperbolikus és parabolikus egyenletekre. A klasszikus és általánosított feladatok értelmezése. A megoldás egyértelm¶sége. A megoldások létezésének bizonyítása és el®állítása a Fourier-módszerrel és a Galjorkin-módszerrel.

10. Nemlineáris egyenletek.

A monoton típusú operátorok elméletének alapjai. Mono-

ton és pszeudomonoton operátorokra vonatkozó egzisztencia tételek, alkalmazás nemlineáris elliptikus egyenletekre. Absztrakt evolúciós egyenletek vizsgálata a monoton típusú operátorok elméletével. Monoton és pszeudomonoton operátorokkal tekintett kezdeti érték feladatok, alkalmazás nemlineáris parabolikus egyenletekre vonatkozó kezdeti-peremérték feladatokra.


9

4. Analízis (Funkcionálanalízis)

A funkcionálanalízis alapjai. Hahn-Banach tétel.

Banach-tér és duálisa.

Baire kategóriatétel.

Operátorok Banach-terek között.

Banach-Steinhaus tétel.

Banach nyíltleképezés-

tétele és zártgráf-tétel. Kompakt operátorok Riesz-Schauder elmélete. Fredholm alternatíva.

Függvényterek.

Approximáció és intergrálreprezentáció.

Uriszon-tétel és Dieudonné-féle

felbontási tétel lokálisan kompakt terekre. Stone-Weierstrass tétel. Daniel-Stone tétel. Riesz tételei. Szoboljev-terek. Ekvivalens normák. Beágyazási tételek.

H 1 -függvények

Hilbert-terek geometriája és operátorok Hilbert-terek között.

nyoma.

Riesz-féle felbontási

és reprezentációs tétel. Hilbert-Schmidt tétel kompakt normális (önadjungált) operátorokra. Dunford klasszikus spektráltétele folytonos normális (önadjungált) operátorokra.

Operátorok kiterjesztései.

Félig korlátos önadjungált operátorok. Neumann, Friedrichs és

Krein kiterjesztési tételei. Integrálás projektormérték szerint. Operátorkalkulus. A klasszikus Stone-tétel.

Topologikus vektorterek elemi elmélete.

Topologikus vektorterek el®állításai. Félnorma-

családok és lokálisan konvex terek. Induktívan el®állított lokálisan konvex terek. Induktívan el®állított lokálisan konvex terek. Szigorú induktív limeszek. A Hahn-Banach tétel geometriai formája. Hahn-Banach szétválasztási tételek.

Metrizálható topologikus vektorterek.

A metrizálhatóság kritériuma.

Banach nyíltle-

képezés tételének általánosítása teljes metrizálható topologikus vektorterekre. Zártgráf-tétel teljes metrizálható topologikus vektorterekre. A nyíltleképezés tétel általánosításai.

Folytonos lineáris operátorok terei.

Korlátosság topologikus vektortereken és a félnor-

málhatóság jellemzése. Korlátos halmazok szigorú induktív limeszben.

S-topológiák

operá-

tortereken. Ascoli-tételek. Az Alaoglu-Bourbaki és a Banach-Alaoglu tétel. Banach ekvifolytonosság tétele. A Banach-Steinhaus tétel általános formája. Operátortopológiák Hilbert-tér feletti folytonos lineáris operátorok terén. Neumann-algebrák.

Dualitás-elmélet topologikus vektorterekre.

Duális párok.

Poláris halmazok és polá-

ris topológiák. Dualitással kompatibilis topológiák és azok jellemzése (Mackey-Arens tétel). Mackey-terek.

Hordós, infrahordós, bornologikus és ultrabornologikus terek.

Félreexív és

reexív terek. Montel-terek.

Kompakt konvex halmazok.

Carathéodory-Minkowski tétel.

Krein-Milman tétel.

lószín¶ségi Radon-mértékek kompakt terek felett és a koncentráció értelmezése.

Va-

Kompakt

konvex halmaz feletti valószín¶ségi Radon-mérték baricentruma. Metrizálható kompakt konvex halmaz pontjának baricentrális felbontása (absztrakt Choquet-tétel). Choquet-rendezés. Baricentrális felbontás nem metrizálható kompakt konvex halmazra.

Absztrakt integrálelmélet. p Integrál szerinti L és

Vektorhálók és elemi integrálok. Fels® integrálok és integrálok.

F p terek. Riesz-Fischer tétel. Beppo-Levi tétel. Lebesgue tétele. Fels®

integrálok szorzata. Lebesgue-Fubini tétel. Vektorfüggvények integrálása. Vektormértékek és


10

integrálás vektormérték szerint. Gelfand-Dunford tétel. Halmazgy¶r¶s és topologikus integrálelmélet.

Banach-algebrák.

Spektrum és rezolvens tulajdonságai.

Gelfand-reprezentációja.

Bochner-tétel.

Banach-algebra karaktertere és

Holomorf függvényszámítás egységelemes komplex

Banach-algebrában. Reguláris Banach-algebrák. Fed® C*-algebrák és absztrakt Stone-tétel.

C*-algebrák.

A C*-norma egyértelm¶sége. Kommutatív C*-algebrák jellemzése (els® Gelfand-

Najmark tétel). Spektráltétel C*-algebra normális elemeire és a folytonos függvényszámítás. Baer-C*-algebrák és a topologikus Schur-lemma. Projektorhálók (Hilbert-hálók és Neumannhálók) és a nemklasszikus valószín¶ségszámítás alapjai. MSC-algebrák és absztrakt polárfelbontás. Ultraspektrális C*-algebrák és absztrakt spektráltétel.

Banach *-algebrák ábrázolásai. kusakra.

*-algebra nemelfajult *-ábrázolásának felbontása cikli-

Ábrázolható pozitív funcionálok *-algebra felett.

rázolhatóság Sebestyén-tétele.

A GNS-konstrukció és az áb-

Absztrakt Gelfand-Rajkov tétel.

Banach-*-algebra ciklikus

*-ábrázolásának felbontása irreducibilisakra (absztrakt Choquet-tétel). C*-algebrák Kadisonreprezentációja. C*-algebra h¶ *-ábrázolásának létezése (második Gelfand-Najmark tétel).

Topologikus csoportok. állításai.

Csoport-topológiák jellemzése. Csoport-topológiák projektív el®-

Topologikus csoportok félmetrizálhatósága.

letes folytonos függvények.

Topologikus csoportok közötti egyen-

Topologikus csoportok tranzitív folytonos ábrázolásai.

Wigner-

Neumann tétel. Topologikus csoport duálisa. Invariáns Radon-mértékek és folytonos unitér ábrázolások konstrukciója. Haar-mérték egzisztenciája és unicitása.

Lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolása.

Konvolúció és lokálisan

kompakt csoport mértékalgebrája. A mértékalgebra egységelemességének és kommutativitásának jellemzése. Az összeköt® operátorok tétele. A harmonikus analízis alaptétele. GelfandRajkov tétel. A harmonikus analízis Choquet-tétele.

Kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásai.

Ortogonalitás-relációk és irreduci-

bilis folytonos unitér ábrázolások véges dimenzióssága. Trigonometrikus polinomok kompakt csoport felett.

A trigonometrikus polinomok s¶r¶ségi-tétele (els® Peter-Weyl tétel).

Ábrá-

zoláskarakterek. Kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásainak felbontása irreducibilisek Hilbert-összegére (második Peter-Weyl tétel).

Kommutatív lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásai.

Kommuta-

tív lokálisan kompakt csoport duálisa. Absztrakt Fourier-transzformáció. Kommutatív lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásainak felbontása irreducibilisekre (Stone-tétel). Folytonos unitér ábrázolás spektruma.

Indukált unitér ábrázolások. lett.

Radon-mértékek faktorizációja lokális kompakt csoport fe-

Bruhat-féle keresztmetszet-függvény.

lajdonságai.

A Mackey-féle skalárszorzás értelmezése és tu-

Indukált unitér ábrázolások és imprimitivitás-rendszerek.

Az indukálhatóság

Mackey-féle kritériuma (imprimitivás-tétel). Glimm-feltétel és Mackey-féle reprezentációs tétel.


Nemlineáris funkcionálanalízis.

11

Szigorú dierenciálhatóság és az inverzfüggvény-tétel.

Topologikus algebrai komplementerek. Immerziók és Banach-részsokaságok. Szubmerziók és normálegyenletek. Szubimmerziók és függvények linearizálhatósága. Az állandó rang tétele.

Felületi mértékek.

Riemann-részsokaságok véges dimenziós valós euklidészi terekben.

A

kollektív paraméterezés tétele. A helyettesítéses integrálás általános tétele és a felületi mértékek. A Gauss-Osztrogradszkij tétel elemi formája. Green-tételek és alkalmazások a parciális dierenciálegyenletek elméletében. A Gauss-Osztrogradszkij tétel nem elemi formái.


12

5. Geometria (Differenciálgeometria) F®tárgyi vizsga esetén az alábbi öt témakörb®l négyet kell kiválasztani. Az öt témakör bármelyike önállóan választható melléktárgyi vizsgának.

5.1. Klasszikus dierenciálgeometria.

Görbék dierenciálgeometriája az

n-dimenziós eu-

klideszi térben. Görbék ívhossza, Crofton-formula, Cauchy-formula, Barbier tétele, természetes paraméterezés. Simuló alterek, a kitüntetett Frenet-féle bázismez®, görbületi függvények, Frenet-formulák, a görbeelmélet alaptétele. Simulókör és a simulógömbök. Síkgörbék evolútája, evolvensei és parallel görbéi. A görbék globális dierenciálgeometriája. Teljes görbület, a körülfordulási szám tétele, Fenchel tétele, a FáryMilnor-tétel, konvex síkgörbék jellemzése, a négy csúcspont tétele. Hiperfelületek

Rn -ben.

Regulárisan paraméterezett hiperfelület érint®tere, felületi görbe gör-

bülete, normálmetszet, normálgörbület, Meusnier tétele. Weingarten leképezés, f®irányok és f®görbületek, Euler tétele, Rodrigues tétele felületekre.

Gauss- és a Minkowski-görbület, a

Gauss- és a CodazziMainardi-egyenletek. Felületek bels® geometriája, Theorema Egregium. A hiperfelületelmélet alaptétele (Bonnet tétele). Kovariáns deriválás egy hiperfelületen. Integrálás hiperfelületen. Görbületi vonalak.

Forgásfelületek görbületi vonalai.

Dupin tétele, másodrend¶ felületek

görbületi vonalai. Vonalfelületek, torokvonal, lefejthet® felületek, a lefejthet® felületek struktúrája. Aszimptotikus vonalak negatív görbület¶ felületeken, BeltramiEnneper-tétel. Állandó negatív görbület¶ felületek, Csebisev-hálók, Hilbert tétele.

Konvex felületek jellemzése,

merevségi tételek konvex felületekre. A GaussBonnet-tétel (lokális és globális alak). Minimálfelületek. Irodalom: [1] M.P. do Carmo: Dierential geometry of curves and surfaces [2] J.J. Stoker: Dierential geometry [3] Csikós B.: Dierential geometry (jegyzet az interneten)

5.2. A dierenciálható sokaságok elmélete.

A dierenciálható sokaság fogalma. A die-

renciálható sokaság érint®terei. Dierenciálható leképezések. Az érint®leképezés. Immerziók, beágyazások, szubmerziók. Részsokaságok. Vektormez®k, Lie-zárójel. Lie-csoport és annak Lie-algebrája.

Vektormez®k integrálása és teljessége.

Disztribúciók és azok integrálhatósá-

ga, a Frobenius-tétel. Tenzormez®k. Lie-deriválás. A dierenciálformák

Ω∗ (M )

gy¶r¶je. Az

Ω∗ (M ) gy¶r¶ deriválásai és antideriválásai, bels® szorzás egy vektormez®vel, a küls® dierenciál. Cartan formulája dierenciálformák Lie-deriváltjára. Dierenciálformák integrálása sima szinguláris láncokon és reguláris tartományokon. A Riemann-sokaság térfogati formája. Az általános Stokes-tétel és klasszikus speciális esetei. A de Rham-féle kohomológiagy¶r¶ és a sima leképezések által indukált homomorzmus, homotopikus invariancia. Poincaré-lemma. Kovariáns deriválás, annak torziótenzora és görbületi tenzora. Az érint®vektor párhuzamos eltolása egy görbe mentén. A kovariáns deriválás kiterjesztése tenzormez®kre. Bianchi-azonosságok. Irodalom: [1] F. Warner: Foundations of dierentiable manifolds and Lie groups


13

[2] L. Auslander, R.E. MacKenzie: Introduction to dierentiable manifolds

5.3. Szemi-Riemann-geometria.

A szemi-Riemann-sokaság fogalma.

A Levi-Cività-féle

kovariáns deriválás és a párhuzamos eltolás. A görbületi tenzor azonosságai, metszetgörbület. Az állandó görbület¶ sokaságok, Schur tétele. A Ricci-tenzor és az Einstein-sokaságok, a SchoutenStruik-tétel és a SingerThorpe-tétel.

Algebrai görbületi tenzorok, a Kulkarni

Nomizu-szorzás és a görbületi tenzor felbontása, a Weyl-tenzor. A Weyl-tenzor konform invarianciája. Geodetikusok. Exponenciális leképezés. Normális környezetek. Geodetikus teljesség. Riemann-sokaságok teljessége, a HopfRinow-tétel. Lorentz-sokaságok teljessége. Az ívhossz els® és második variációja. Jacobi-mez®k egy geodetikus mentén. Konjugált pontok. A geodetikus szegmenshez rendelt index forma, a Morse-féle index tétel. A Rauch-féle összehasonlítási tétel. A CartanHadamard-tétel. Részsokaságok geometriája. A második alaptenzor. A normálvektorhoz tartozó alak-operátor. A normális konnexió. A görbületi tenzorokra vonatkozó Gauss-, Codazzi- és Ricci-egyenletek. A részsokaság fokális pontjai. Totálgeodetikus részsokaságok. Az általános relativitáselmélet alapjai. Lorentz-sokaságok geodetikusai, teljesség. Id®orientáció, észlel®mez®, sztatikus térid®k. Az Einstein-egyenlet, a Schwarzschild-féle megoldás és a Kruskal-féle kiterjesztés. Az id®orientált Lorentz-sokaságok kauzális struktúrája. A Hawkingféle szingularitási tétel. Irodalom: [1] Szenthe J.: A Riemann geometria elemei [2] M.P. do Carmo: Riemannian geometry [3] B. O'Neill: Semi-Riemannian geometry. [4] S.W. Hawking, G.F.R. Ellis: The large scale structure of space-time

5.4. Homogén és szimmetrikus Riemann-terek. SteenrodMyers-tétel.

Izometriák egy Riemann-sokaságon, a

Sima csoporthatás egy dierenciálható sokaságon, az orbitok osztá-

lyozása. A Lie-csoportokból nyert

G/H

hányadostér, mint dierenciálható sokaság. A

G/H

homogén térnél az invariáns Riemann-metrika létezésének kritériuma. Reduktív homogén terek. A lokálisan szimmetrikus Riemann-terek jellemzése. A biinvariáns Riemann-metrikával ellátott kompakt Lie-csoport, mint szimmetrikus tér.

A

szimmetrikus Riemann-terek általános konstrukciója. Szimmetrikus téren a LeviCività-féle kovariáns deriválás és a görbületi tenzor leírása az izometriacsoport Lie-algebrájának alkalmazásával. Totálgeodetikus részsokaságok, a tér rangja. Az egyszeresen összefügg® szimmetrikus Riemann-tér dekompozíciója. Kompakt típusú és nem kompakt típusú szimmetrikus terek, a metszetgörbületek el®jele, dualitás. Az irreducibilis szimmetrikus terek osztályozása. Riemann-sokaságok holonómia csoportjai, a BergerSimons-féle tétel és annak kapcsolata a szimmetrikus terekkel. Irodalom: [1] M. Berger: A panoramic view of Riemannian geometry [2] J. Cheeger, D.G. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry


14

[3] S. Helgason: Dierential geometry, Lie groups, and symmetric spaces [4] F.W. Warner: Foundations of dierentiable manifolds and Lie groups

5.5. Lie-csoportok.

Lie-csoportok, lokális Lie-csoportok és Lie-algebrák kapcsolata.

Lie-

funktorok. Egyparaméteres részcsoportok és az exponenciális leképezés. Az univerzális burkolóalgebra, a PoincaréBirkhoWitt-tétel, Hopf-algebrák. A HausdorCampbell-sor és a Dynkin-féle alakja. Egy lokális Lie-csoport rekonstrukciója a Lie-algebrájából, a lokális Liecsoportok globalizálhatósága. Cartan-tétele. Lie-algebrák és reprezentációik. Nilpotens és feloldható Lie-algebrák, Engel tétele, féligegyszer¶ és reduktív Lie algebrák.

Reprezentáció nyomformája, Killing-forma, a feloldhatóság

és féligegyszer¶ség Cartan-féle kritériumai. Casimir-operátorok. Lie-algebrák kohomológiái, Whitehead-lemmák és alkalmazásaik, LeviMal'cev-tétel. Féligegyszer¶ Lie-algebrák.

Cartan-féle részalgebra, súlyfelbontás, gyökfelbontás.

féligegyszer¶ Lie-algebrák és azok irreducibilis reprezentációi.

Komplex

A kompakt Lie-algebrák és

kapcsolatuk a komplex féligegyszer¶ Lie-algebrákkal. Irodalom: [1] M.M. Postnikov: Lie groups and Lie algebras; Lectures in geometry V. [2] M. Goto, F.D. Grosshans: Semisimple Lie algebras [3] Csikós B.: Lie-csoportok és Lie-algebrák (jegyzet az interneten)


15

6. Geometria (Topológia) F®tárgyi vizsga esetén a lenti tematika egészét tudni kell. A Topológia melléktárgyi vizsga tematikája: 6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2 (6.2.1-ben Gromov-tétel nélkül).

6.1. Algebrai topológia. 6.1.1.

Homotópiaelmélet. Homotopikus csoportok. Egzakt sorozatok térpárra, térhármasra

és brálásokra. Freudenthal-tétel. Homotopikus Whitehead-tétel. Homotopikus kivágás. Általánosított Freudenthal-tétel. Pontrjagin-konstrukció. A gömbök nulladik, els® és második stabil homotopikus csoportjai. Vektornyalábok és

6.1.2.

G-nyalábok

osztályozása.

Homológiaelmélet. Szimpliciális, szinguláris és CW homológiák deníciója, ezek meg-

egyezése. Homologikus Whitehead-tétel. Lefschetz-tétel. Poincaré-dualitás. PoincaréHopftétel. Kohomologikus szorzás. Künneth-formula. Szorzás duálisa a metszet. De Rham kohomológiák. Gradiens, rotáció és divergencia

6.1.3. 6.1.4.

R3 -ban.

Univerzális együttható formula.

LerayHirsch-féle spektrális sorozat. Serre gyilkos terek módszere. Mod

C

tételek.

Karakterisztikus osztályok deníciói. Alkalmazások: Immerziók és beágyazások. Eg-

zotikus gömbök. Kobordizmusok és karakterisztikus számok.

6.2. Dierenciáltopológia. 6.2.1.

Beágyazások és immerziók: Whitney tételei. WhitneyGraustein-tétel. Smale, Hirsch

és Gromov tételei. Kiegyenesítési tétel. Felületek immerziói.

6.2.2. 6.2.3.

Morse-elmélet. Poincaré-dualitás Morse-elméleti bizonyítása. h-kobordizmus tétel. Általánosított Poincaré-hipotézis.

6.3. Kobordizmusok .

Thom-konstrukció.

mokról. Buoncristiano bizonyítása. Wall és Atiyah egzakt sorozatai. Az

PontrjaginThom-tétel a karakterisztikus szá-

Ω∗ ⊗ Q kiszámítása. Dold- és Wall-sokaságok. Ω∗ 2-torziója. Nincs páratlan torzió.

Irodalom: Melléktárgyi vizsgához [1-2], f®tárgyi vizsgához [1-8] [1] Hatcher: Algebraic topology [2] Hirsch: Dierential topology [3] Milnor: Characteristic classes [4] Milnor: Morse theory [5] Milnor: h-cobordism theorem [6] Husemoller: Vector bundles [7] Switzer: Algebraic topology [8] Juhász András jegyzetei Sz¶cs András honlapján.

Rohlin,


16

7. Geometria (diszkrét, kombinatorikus, véges és konvex geometria) F®tárgyi vizsga esetén az alábbi öt témakörb®l négyet kell kiválasztani. Az els® kivételével bármelyik témakör önállóan választható melléktárgyi vizsgának.

7.1. Euklideszi és an geometria. Az euklideszi tér szintetikus geometriája. Az euklideszi geometria axiomatikus megalapozása és felépítése. Az an geometria elemei. Egy kommutatív test feletti an tér fogalma. An alterek. An függetlenség, an bázis, an koordináta-rendszerek. Az alterek egyenletei. An leképezések. Az alterekhez tartozó projekciók és szimmetriák. Az an geometria alaptétele. Pontrendszer súlypontja, osztóviszony, baricentrikus koordináták. Az euklideszi vektorterek geometriája.

Irányítás.

A GramSchmidt-féle ortogonalizálás.

A

Grassmann-algebrák alkalmazása az alterek geometriájában. Alterek szöge és az alterek közti f®szögek. Alterek távolsága. Térfogatszámítás. Gram-determinánsok, a Cayley-Menger determináns. A gömbök geometriája. Pont gömbre vonatkozó hatványa, inverzió, gömbsorok. Gömbi trigonometria. Az ortogonális csoportok és struktúrájuk különböz® dimenziók esetén. Az izometriák és az innitezimális izometriák kanonikus alakja. A sík és a tér egybevágósági transzformációinak osztályozása. Az ortogonális csoport generálása tükrözésekkel, Cartan tétele. Az szabályos poliéderek osztályozása, ezek szimmetriacsoportjai. inak és

Iso(R3 )

Iso(R2 )

n-dimenziós

diszkrét részcsoportja-

véges részcsoportjainak osztályozása. Hasonlósági transzformációk.

Irodalom: [1] Hajós Gy.: Bevezetés a geometriába [2] M. Berger: Geometry I, II

7.2. Nemeuklideszi geometriák. A projektív geometria elemei. Egy an tér projektív b®vítése. Egy kommutatív test feletti vektortérb®l képezett projektív tér.

A duális tér.

Projektív koordináták.

Projektív alte-

rek. Az an tér projektív b®vítése. Kett®sviszony, harmonikus négyesek. A Papposz- és a Desargues-tétel. Kollineációk, a projektív geometria alaptétele. Projektív korrelációk. A kvadratikus formák geometriája. Artin-terek. Ortogonalitás. A kvadratikus forma csoportja. Witt tétele. Projektív másodrend¶ alakzatok. Másodrend¶ alakzatok projektív és an osztályozása. Polaritás egy nem-elfajuló másodrend¶ alakzatra nézve; a centrum. Kúpszeletek a projektív síkon. Az átmér® és az aszimptota. Kúpszelet, mint projektív képz®dmény. Pascal és Brianchon tétele. Kúpszeletsorok. A hiperbolikus geometria elemei.

A hiperbolikus geometria felépítése az Appendixben.

Az

abszolút párhuzamosság és a korrespondencia fogalma és a kapcsolatos tételek. A párhuzamossági szög, a ciklusok geometriája, a Hilbert-féle végkalkulus.

A hiperbolikus geometria


17

Beltrami-Cayley-Klein és Poincaré-féle modelljei; a hiperboloid modell. A modellek közötti kapcsolat. Hiperbolikus trigonometria. Terület és térfogat, Schläi-formula. Irodalom: [1] Szenthe J., Juhász R.: A geometria alapjai [2] Strohmajer J.: A geometria alapjai [3] M. Berger: Geometry I, II

7.3. Diszkrét és kombinatorikus geometria. Rácsok, kvadratikus formák.

Blichtfeld tétele, Pick tétele, Minkowski tétele, számelméleti

alkalmazások. Szabályos és félig szabályos mozaikok állandó görbület¶ terekben. Pakolások és fedések a síkon és térben. S¶r¶ség, tágasság, szorosság és a térigény fogalma. Telítettség, szoliditás és a szeparálhatóság. DirichletVoronoi-cellák, L-felbontás. Rácsszer¶ pakolások, Fáry tétele, MinkowskiHlawka-tétel, RogersShephard-egyenl®tlenség.

Dowker

tételei. Momentum lemma. Helly-típusú tételek.

Színes Carathéodory-tétel, frakcionális Helly-tétel, Tverberg tétele, az

Erd®sSzekeres-tételkör (Horton-halmaz). T¶leszúrási problémák. Borsuk-probléma, Hadwigerprobléma, megvilágítási problémák. Egységtávolságok síkon és térben, geometriai gráfok, Koebe tétele. Geometriai transzverzálisok, a Vapnikervonenkis-féle dimenzió, az

ε-háló

létezése.

Irodalom: [1] J. Matou²ek: Lectures on discrete geometry [2] Fejes Tóth L.: Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum [3] Fejes Tóth L.: Regular gures [4] J. Pach: Combinatorial geometry

7.4. Konvex geometria. A valós an tér konvex részhalmazai. Konvex burok. Konvex halmazok topológiája. Carathéodory tétele. Extremális pontok, KreinMilman tétel. Exponált pontok, Straszewicz tétele. Elválasztási tételek. Konvex poliéderek és politópok, ezek laphálója. Poláris politóp. Euler tétele. DehnSommervilleegyenletek, a fels® és alsó korlát tétele, Gale-transzformáció. Politópok néhány alkalmazása: gyenge perfekt gráf sejtés. Mértékkoncentráció a gömbön, Dvoretzky tétele, Milman QS-tétele (alterek projekciójáról), Uryson-egyenl®tlenség, Inverz BlaschkeSantaló-egyenl®tlenség. Távolságfüggvény, támaszfüggvény, vegyes térfogat, Steiner tétele, konvex test alapmértékei, Hadwiger alaptételei funkcionálokról, zonoidok, Minkowski-, Steiner- és Schwarz-szimmetrizáció, BrunnMinkowski-egyenl®tlenség. Irodalom:


18

[1] B. Grünbaum: Convex polytopes [2] Szabó L.: Konvex geometria [3] A.A. Giannopolus, V.D. Milman: Euclidean structure in nite-dimensional normed spaces, in W.B. Jonson and J. Lindenstrauss ed., Handbook of the geometry of Banach spaces [4] G. Pisier: The volume of convex bodies and Banach space geometry [5] R. Schneider: Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory

7.5. Véges geometria. A véges síkok létezésének problémája, a Bruck-Ryser tétel. Projektív síkok koordinátázása, kongurációs tételek (Desargues, Papposz) kapcsolata a koordinátastruktúra algebrai tulajdonságaival. Ívek, oválisok, Segre tétele, hiperoválisok. Lefogó ponthalmazok, a Rédei-polinom alkalmazásai. Magasabb dimenziós projektív terek. Kollineációk és polaritások leírása. Kvadrikák, Hermite-varietások, körgeometriák, általánosított négyszögek. A véges geometriák néhány alkalmazása (gráfelmélet, kódelmélet). Irodalom: [1] Kiss Gy., Sz®nyi T.: Véges geometriák [2] D.R. Hughes, F.C. Piper: Projective planes [3] J.W.P. Hirschfeld: Projective geometries over nite elds [4] J.W.P. Hirschfeld, J.A. Thas: General Galois geometries


19

8. Sztochasztika (Valószín¶ségszámítás) (F®tárgy)

A f®tárgy tematikája számozott szakaszokra bomlik. Ezek közül az egyik a jelölt választása szerint elhagyható. A melléktárgyak nem választhatók a f®tárgy témaköréb®l.

1. Valószín¶ségi mértékek, valószín¶ségi változók. Valószín¶ségi változók és vektorváltozók általános, ill. speciális esetben. Eloszlásuk, marginálisok. Kolmogorov-alaptétel. Eloszlásfüggvény és tulajdonságai. Abszolút folytonos eloszlás, s¶r¶ségfüggvény és tulajdonságai. Valószín¶ségi változók függvényei. Függetlenség. BorelCantelli lemma, Kolmogorov-féle 0 vagy 1 törvény és alkalmazásai. Várható érték, szórás, kovarianciamátrix. Limesz és várható érték felcserélhet®sége. A valószín¶ségszámításban használatos konvergenciafajták és kapcsolatuk. 1 valószín¶ség¶,

Lp -konvergencia.

Sztochasztikus,

Egyenletes integrálhatóság. Gyenge konvergencia, relatív

kompaktság és feszesség, Prohorov-tétel. Karakterisztikus függvény és tulajdonságai, inverziós formulák, folytonossági tétel.

2. Független valószín¶ségi változók összegei. A nagy számok gyenge törvényei, Hincsin, Bernstein tételei. Feller tétele. Szükséges és elegend® feltétel a független esetben. A nagy számok er®s törvényei, a Kolmogorov-kritérium a független, azonos eloszlású esetben. Az iterált logaritmus-tétel. Független tagú sorok. Két sor, illetve három sor tétel. A különböz® konvergenciafajták ekvivalenciája (Lévy tétele). Centrális határeloszlás-tétel.

Független szériák sorozata, LindebergFeller tétel.

Ljapunov

tétele. A konvergenciasebesség becslése, Esséen-egyenl®tlenség, BerryEsséen-típusú tételek.

3. Feltételes várható érték, martingálok. A feltételes várható érték általános fogalma, tulajdonságai és kiszámítási módjai. Reguláris feltételes valószín¶ség, feltételes eloszlás. Feltételes s¶r¶ségfüggvény. Martingál, szub- és szupermartingál. megállított martingál.

Deníció, alaptulajdonságok, példák.

Megállási id®,

Doob alapegyenl®tlensége, maximálegyenl®tlenségek.

Szubmartingá-

lok DoobMeyer felbontása, Krickeberg-felbontás. Martingálok és szubmartingálok 1 valószín¶ség¶ konvergenciája. Átmetszési lemma. Egyenletes integrálhatóság, martingálok

Lp -ben

való konvergenciája.

Korlátos dierenciájú martingálok konvergenciahalmazának jellemzése. A BorelCantelli lemma Lévy-féle általánosítása. Reguláris megállási id®k, Wald azonosság.

4. Információelmélet. Az információmennyiség mértékszámai.

Entrópia,

I -divergencia

és formális tulajdonságaik.

Típusok és tipikus sorozatok. Forráskódolás változó hosszúságú és blokk-kódokkal. A zajos csatorna fogalma, csatornakódolási tételek. Rate-distortion elmélet. Csatornakapacitás és kiszámítási módjai. Forrás- és csatornakódolás lineáris kódokkal. Több felhasználós hírközl® rendszerek: korrelált források egyedi kódolása, több bemenetel¶ csatornák.


20

Tömörítési modellek. A veszteségmentes tömörítés korlátai (KraftFano egyenl®tlenség, entrópia). Gyakorlati veszteségmentes adattömörít® eljárások és a hatékonyságuk becslése (Shannon, GilbertMoore-, Human-kód, blokk kódok, aritmetikai kód). Az írott szöveg tömörítésének korlátai. Markov forrás tömöríthet®sége. A veszteséges tömörítések módszerei.

Irodalom

Mogyoródi J., Somogyi Á.:

Valószín¶ségszámítás I-II .

Egyetemi jegyzet, Tankönyvkiadó,

Budapest, 1990.

Probability Theory. Springer, New York, 1978. Sums of Independent Random Variables. Springer, Berlin, 1972. C. Heyde: Martingale Limit Theory and its Applications. Academic

Y. S. Chow, H. Teicher: V. V. Petrov: P. Hall, C.

Press, New

York, 1980. Móri T.:

Diszkrét paraméter¶ martingálok.

Egyetemi jegyzet, ELTE, Budapest, 1999. [online

http://www.cs.elte.hu/mori/erdekes.html] Csiszár I., Körner J.:

Information Theory: Coding Theorems for Discrete Memoryless Systems.

Akadémiai Kiadó, Budapest és Academic Press, New York, 1981. Gy®r L., Gy®ri S., Vajda I.:

Információ és kódelmélet.

Typotex, Budapest, 2005.


21

VALÓSZÍNSÉGI MÉRTÉKEK, VALÓSZÍNSÉGI VÁLTOZÓK (Melléktárgy) Valószín¶ségi változók és vektorváltozók általános, ill. speciális esetben. Eloszlásuk, marginálisok. Kolmogorov-alaptétel. Eloszlásfüggvény és tulajdonságai. Abszolút folytonos eloszlás, s¶r¶ségfüggvény és tulajdonságai. Valószín¶ségi változók függvényei. Események, eseményosztályok és valószín¶ségi változók függetlensége.

Független kísérletek.

BorelCantelli lemma, Kolmogorov-féle 0 vagy 1 törvény és alkalmazásai. Várható érték, szórás, kovarianciamátrix. Limesz és várható érték felcserélhet®sége. A valószín¶ségszámításban használatos konvergenciafajták és kapcsolatuk. Sztochasztikus, 1 valószín¶ség¶,

Lp -konvergencia.

A konvergenciafajták metrizálhatósága. Egyenletes integrál-

hatóság. Gyenge konvergencia, relatív kompaktság és feszesség, HellyBray-tétel, Prohorovtétel. Karakterisztikus függvény és tulajdonságai, inverziós formulák, folytonossági tétel.

Irodalom

Mogyoródi J., Somogyi Á.: Budapest, 1990. Y. S. Chow, H. Teicher:


Probability Theory.


Springer, New York, 1978.


22

FÜGGETLEN VALÓSZÍNSÉGI VÁLTOZÓK ÖSSZEGEI (Melléktárgy) A nagy számok gyenge törvényei, Hincsin, Bernstein tételei. Feller tétele. Szükséges és elegend® feltétel a független esetben. A nagy számok er®s törvényei, a Kolmogorov-kritérium a független, azonos eloszlású esetben.

MarcinkiewiczZygmund-tétel.

Az iterált logaritmus-tétel, Erd®sFellerKolmogorov

Petrovszkij-tétel. Független tagú sorok. Két sor, illetve három sor tétel. A különböz® konvergenciafajták ekvivalenciája (Lévy tétele). ChungFuchs-tétel. Centrális határeloszlás-tétel.

Független szériák sorozata, LindebergFeller tétel.

Ljapunov

tétele. A konvergenciasebesség becslése, Esséen-egyenl®tlenség, BerryEsséen-típusú tételek.

Irodalom

Mogyoródi J., Somogyi Á.: Budapest, 1990.


Probability Theory. Springer, New York, 1978. Sums of Independent Random Variables. Springer, Berlin, 1972.

Y. S. Chow, H. Teicher: V. V. Petrov:



23

MARTINGÁLELMÉLET (Melléktárgy) A feltételes várható érték általános fogalma, tulajdonságai és kiszámítási módjai. Reguláris feltételes valószín¶ség, feltételes eloszlás. Feltételes s¶r¶ségfüggvény. Martingál, szub- és szupermartingál. megállított martingál.

Deníció, alaptulajdonságok, példák.

Megállási id®,

Doob alapegyenl®tlensége, maximálegyenl®tlenségek.

Szubmartingá-

lok DoobMeyer felbontása, Krickeberg-felbontás. Martingálok és szubmartingálok 1 valószín¶ség¶ konvergenciája. Átmetszési lemma. Egyenletes integrálhatóság, martingálok

Lp -ben

való konvergenciája.

Korlátos dierenciájú martingálok konvergenciahalmazának jellemzése. A BorelCantelli lemma Lévy-féle általánosítása. Reguláris megállási id®k, Wald azonosság. Kvadratikus varáció. Dierenciában való majorálás. Martingáltranszformált. Martingáldierenciák szériáira vonatkozó centrális határeloszlás-tételek. A konvergenciasebesség becslése. Fordított martingál, tulajdonságok, konvergenciatétel. HewittSavage 0 vagy 1 törvény.

Felcserélhet®ség, de Finetti tétele, a

U -statisztikák. Irodalom

Móri T.:

Diszkrét paraméter¶ martingálok.

Egyetemi jegyzet, ELTE, Budapest, 1999. [online

http://www.cs.elte.hu/mori/erdekes.html]

J. Neveu:

Discrete-Parameter Martingales. North-Holland, Amsterdam, 1975. Probability Theory. Springer, New York, 1978.

Y. S. Chow, H. Teicher:


24

INFORMÁCIÓELMÉLET (Melléktárgy) Az információmennyiség mértékszámai.

Entrópia,

I -divergencia

és formális tulajdonságaik.

Típusok és tipikus sorozatok. Forráskódolás változó hosszúságú és blokk-kódokkal. A zajos csatorna fogalma, csatornakódolási tételek. Rate-distortion elmélet. Csatornakapacitás és kiszámítási módjai. Forrás- és csatornakódolás lineáris kódokkal. Több felhasználós hírközl® rendszerek: korrelált források egyedi kódolása, több bemenetel¶ csatornák. Tömörítési modellek. A veszteségmentes tömörítés korlátai (KraftFano egyenl®tlenség, entrópia). Gyakorlati veszteségmentes adattömörít® eljárások és a hatékonyságuk becslése (Shannon, GilbertMoore-, Human-kód, blokk kódok, aritmetikai kód). Az írott szöveg tömörítésének korlátai. Markov forrás tömöríthet®sége. A veszteséges tömörítések módszerei.

Irodalom

Csiszár I., Körner J.:

Information Theory: Coding Theorems for Discrete Memoryless Systems.

Akadémiai Kiadó, Budapest és Academic Press, New York, 1981.

Információ és kódelmélet. Typotex, Budapest, 2005. Data Compression. The Complete Reference. 3rd ed., Springer, New York, 2004.

Gy®r L., Gy®ri S., Vajda I.: D. Salomon:


25

9. Sztochasztika (Sztochasztikus folyamatok) (F®tárgy)


1. Markov-láncok és -folyamatok. A Markov-tulajdonság. Átmenetvalószín¶ségek. ChapmanKolmogorovféle egyenletek diszkrét és folytonos paraméter¶ esetben. Az állapotok osztályozása. Visszatér®ség. Pozitív állapotok. Ergodtételek (az átmenetvalószín¶ségekre, függvényátlagra vonatkozóan). Stacionárius eloszlás. Véges állapotter¶ Markov-láncok leírása pozitív mátrixokkal. FrobeniusPerron-tételek. Születési és halálozási folyamatok. Folytonos trajektóriájú Markov-folyamatok innitezimális generátora. Az átmenetvalószín¶ség-függvény tulajdonságai, folytonosság, dierenciálhatóság, ChapmanKolmogorov-egyenlet. Feller-folyamatok. Potenciálok. Erd®sKac-tétel.

2. Stacionárius folyamatok. Er®s és gyenge stacionárius folyamatok. A Gauss-folyamatok esete. Véletlen ortogonális sztochasztikus mérték. BochnerHincsin tétel, Herglotz-tétel. Stacionárius folyamatok spektrálel®állítása. A spektrálmérték. A Gauss-féle eset. Az

L2 -izomora következményei.

A mintavételezés s¶r¶ségére vonatkozó KotelnyikovShannon

tétel. Ergodicitás. A gyengén stacionárius folyamatok osztályozása a lineáris ltráció szerint.

Wold-felbontás.

Teljesen reguláris folyamatok spektráls¶r¶ség-függvénye. Er®sen stacionárius folyamatok, Keverés. A Birkho-féle ergodtétel er®sen stacionárius folyamatokra. A korrelogram és a periodogram. A spektrálfüggvény konzisztens becslése.

3. Mértékek konvergenciája függvényterekben. Folytonos trajektóriájú folyamatok, folytonossági modulusok. függvények. A

C[0, 1]

és a

D[0, 1]

Másodfajú szakadás nélküli

tér, feszesség ezekben a terekben.

A Wiener-mérték. A Wiener-folyamat különböz® konstrukciói, tulajdonságai. A trajektóriák viselkedése. A szummációs folyamatra vonatkozó gyenge invariancia-elv (Donsker-tétel).

A tapasztalati

eloszlásfüggvény, mint sztochasztikus folyamat konvergenciája a Brown-hídhoz. Véletlen ortogonális mérték. Wiener-integrál és alkalmazásai.

4. Független növekmény¶ folyamatok. A független és stacionárius növekmény¶ folyamatok karakterisztikus függvényének jellemzése, a LévyHincsin tétel. Független növekmény¶ pontfolyamatok leírása véletlen pontmérték szerinti integrál alakjában. Független növekmény¶ folyamatok trajektóriális felbontása folytonos és ugró folyamat összegére. Független növekmény¶ Gauss-folyamatok.


26

Független növekmény¶ folyamatok funkcionáljainak várható értékére vonatkozó dierenciálegyenlet.

Irodalom

Sztochasztikus folyamatok . Gondolat Kiadó, Budapest, 1985. Linear Estimation and Stochastic Control . Chapman and Hall, London, 1977. M. B. Priestley: Spectral Analysis and Time Series . Academic Press, New York, 1981. Yu. Rozanov: Stationary time series . Holden Day, San Francisco, 1967. K. L. Chung, K.L.: Markov Chains with Stationary Transition Probabilities . Springer, Berlin,

S. Karlin, H. M. Taylor: M. H. A. Davis:

1967. D. L. Isaacson, R. W. Madsen: 1976.

Markov Chains: Theory and Applications, Wiley, New York,


27

MARKOV-LÁNCOK, MARKOV-FOLYAMATOK (Melléktárgy) Sztochasztikus folyamatok: Markov-tulajdonság, er®s Markov-tulajdonság, homogenitás. Diszkrét paraméter¶ Markov-láncok:

deníció, átmenetvalószín¶ség-mátrix, ChapmanKolmogo-

rov-egyenletek. Az állapotok osztályozása. Periódus, visszatér®ség. Az átmenetvalószín¶ségek konvergenciája. Stacionárius eloszlás. Nagy számok törvénye és centrális határeloszlás-tétel irreducibilis, pozitív rekurrens Markov-lánc funkcionáljára. Átmenetvalószín¶ségek tabu állapotokkal. Reguláris mérték, Doeblin hányados-tétele. Megfordított Markov-lánc. Elnyel®dési valószín¶ségek. PerronFrobenius-tételek. Születési és halálozási folyamatok. Folytonos trajektóriájú Markov-folyamatok innitezimális generátora. Az átmenetvalószín¶ség-függvény tulajdonságai, folytonosság, dierenciálhatóság, ChapmanKolmogorov-egyenlet. Feller-folyamatok. Potenciálok. Erd®sKac-tétel.

Irodalom

Sztochasztikus folyamatok . Gondolat Kiadó, Budapest, 1985. Markov Chains with Stationary Transition Probabilities . Springer, Berlin,

S. Karlin, H. M. Taylor: K. L. Chung, K.L.: 1967.

D. L. Isaacson, R. W. Madsen: 1976. G. Kemeny, J. L. Snell:

Markov Chains: Theory and Applications, Wiley, New York,

Finite Markov Chains .

Van Nostrand, Princeton, 1960.


28

STACIONÁRIUS FOLYAMATOK (Melléktárgy) Er®s és gyenge stacionárius folyamatok. A Gauss-folyamatok esete. Véletlen ortogonális sztochasztikus mérték. BochnerHincsin-tétel, Herglotz-tétel. Stacionárius folyamatok spektrálel®állítása. A spektrálmérték. Az

L2 -izomora

következményei. A mintavételezés alaptétele. Ergodicitás.

A gyengén stacionárius folyamatok osztályozása a lineáris ltráció szerint. Wold-felbontás és kapcsolata a spektrálmérték Lebesgue-felbontásával. Teljesen reguláris folyamatok spektráls¶r¶ségfüggvénye. ARMA folyamatok.

Racionális spektráls¶r¶ségfüggvénnyel rendelkez® gyengén stacionárius

folyamatok. Az ARMA folyamatok állapotegyenletes el®állítása. Er®sen stacionárius folyamatok. A Birkho-féle ergodtétel. A keverés különböz® mér®számai.

Irodalom

Sztochasztikus folyamatok . Gondolat Kiadó, Budapest, 1985. The Statistical Analysis of Time Series . Wiley, New York, 1971. M. B. Priestley: Spectral Analysis and Time Series . Academic Press, New York, 1981. Yu. Rozanov: Stationary Time Series . Holden Day, San Francisco, 1967.

S. Karlin, H. M. Taylor: T. W. Anderson:


29

FÜGGETLEN NÖVEKMÉNY FOLYAMATOK (Melléktárgy) A független és stacionárius növekmény¶ folyamatok karakterisztikus függvényének jellemzése. Korlátlanul osztható eloszlások karakterisztikus függvénye, LévyHincsin formula.

Poisson

pontfolyamat és integrál. Az eloszlás tulajdonságainak (nemnegativitás, véges szórás) jellemzése a karakterisztikus függvény segítségével. Stabilis eloszlások karakterisztikus függvénye. Stabilis eloszlású változó generálása. Stabilis eloszlások farok-valószín¶ségének nagyságrendje. Független növekmény¶ pontfolyamatok leírása véletlen pontmérték szerinti integrál alakjában. Független növekmény¶ folyamatok trajektóriális felbontása folytonos és ugró folyamat összegére. Független növekmény¶ Gauss-folyamatok. Független növekmény¶ folyamatok funkcionáljai. A várható értékére vonatkozó dierenciálegyenlet.

Irodalom

I. I. Gihman, A. V. Szkorohod: Könyvkiadó, Budapest, 1975.

Random Measures . Academic Verlag, Berlin, 1976. Sums of Independent Random Variables. Springer, Berlin, 1972.

O. Kallenberg: V. V. Petrov:

Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe .

M¶szaki


30

SZTOCHASZTIKUS ANALÍZIS (Melléktárgy) Lokális martingál, szemimartingál. Integrál szemimartingál szerint. Az integrál tulajdonságai. Kvadratikus variáció, BDG-egyenl®tlenség, izometria-tétel. Itô-formula, Lévy-karakterizáció, Girsanov-tétel, Kazamaki- és Novikov-feltétel. Itô-integrál. Sztochasztikus dierenciálegyenletek, er®s és gyenge megoldás, eloszlásbeli és trajektóriánkénti unicitás, ezek kapcsolata. Gyenge megoldás mértékcserével, tempóváltással. Fubini-tétel, lokális id®. Eltöltött id® formula. Hölder-folytonos együtthatók esete egy dimenzióban. Tsirelson példája. Rendezési tétel.

Irodalom

D. Revuz, M. Yor: 1999. P. E. Protter: 1990.

Continuous Martingales and Brownian Motion , 3rd ed.

Stochastic Integration and Dierential Equations ,

2nd ed.

Springer, Berlin, Springer, Berlin,


31

10. Sztochasztika (Statisztika) (F®tárgy)


1. Statisztikai mez®. Minta. Tapasztalati eloszlás és eloszlásfüggvény. GlivenkoCantelli tétel. Tapasztalati s¶r¶ségfüggvény (ParzenRosenblatt), hisztogram. Dominált mértékosztályok.

HalmosSavage tétel.

Elégségesség.

Neyman-féle faktorizációs

tétel. Minimális elégségesség. Teljesség, korlátos teljesség. Basu tétele. Exponenciális eloszláscsalád. Lehmann tétele. Az exponenciális eloszláscsalád teljessége. Fisher-információ, tulajdonságai. Kapcsolat az elégségességgel.

2. Becsléselmélet. Veszteségfüggvény, rizikófüggvény. Torzítatlanság, megengedhet®ség, minimaxitás. Optimális becslés. BlackwellRao tétel. Jackknife, bootstrap. CramérRao típusú egyenl®tlenségek. Becslések aszimptotikus tulajdonságai. Konzisztens becslések, aszimptotikusan normális becslések. Bahadur tétele, szupereciens becslések. Maximum-likelihood becslés.

A ML-becslés konzisztenciája és aszimptotikus optimalitása.

Nemparaméteres ML-becslések. KaplanMeyer becslés cenzorált mintából. A Bayes-féle becslések és kiszámításuk. Formális Bayes-becslés, Jerey-féle nem-informatív a priori eloszlás.

3. Speciális becslések. Invariancia, ekvivariáns becslések. Az eltolásparaméter Pitman-becslése, a becslés minimax tulajdonsága.

L-statisztikák, aszimptotikus normalitásuk. Az eltolás- és skálaparaméter optimális és aszimptotikusan optimális L-becslése. M -becslések. Robusztusság. A Huber-féle becslés és minimax tulajdonsága. Rangstatisztikák, R-becslések (pl. HodgesLehmann becslés). Véges sokaságból való mintavétel. A HorvitzThompson becslés. Állandó együtthatós lineáris becslések megengedhet®sége.

4. Hipotézisvizsgálat. Statisztikai hipotézisek, próbák, véletlenített próbák. Egyenletesen leger®sebb próbák. Torzítatlan próbák. NeymanPearson lemma. Az er® aszimptotikája. Nagy eltérés-tételek (Cramér-, Cherno-, Sanov-tétel) alkalmazása a statisztikában. Monoton likelihood-hányadosú osztály, egyoldali ellenhipotézis. Kétoldali ellenhipotézis exponenciális családban. Hasonlóság, Neyman-struktúra. Hipotézisvizsgálat zavaró paraméterek jelenlétében. A normális eloszlás paramétereire vonatkozó klasszikus próbák optimalitása. Általánosított likelihood-hányados próba,

χ2 -próbák.


32

A tapasztalati eloszlásfüggvény Brown-hídhoz való konvergenciája. Gauss-folyamatok Karhunen Loève sorfejtése. A klasszikus nemparaméteres próbák, Kolmogorov-, Szmirnov-, von Misespróba. BlumKieferRosenblatt próba. Kondenciahalmazok, -intervallumok. Kapcsolat a hipotézisvizsgálattal. A ML-becslésen és a likelihood-függvényen alapuló aszimptotikus kondenciahalmazok. Szekvenciális döntési módszerek. A Wald-féle szekvenciális eljárás.

5. Többdimenziós analízis A többdimenziós normális eloszlás. FisherBartlett tétel és megfordítása. A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek becslése. A Wishart-eloszlás tulajdonságai. Hipotézisvizsgálat a várható értékkel, a korrelációs és a regressziós mátrixszal kapcsolatban. Lineáris modell, lineáris becslések.

Becsülhet®ség, GaussMarkov tétel.

Lineáris hipotézis

tesztelése normális lineáris modellben. Változószelekció, lépésenkénti regresszió. Robusztus regresszió. Szórásanalízis. FisherCochran tétel. Kovarianciaanalízis. F®komponens-analízis. Faktoranalízis. Kanonikus korreláció. A paraméterek becslése maximum likelihood módszerrel, a becslések tulajdonságai. Osztályozás, legközelebbi társ módszer, klaszteranalízis. Többdimenziós skálázás. Kontingenciatáblázatok elemzése. A loglineáris modell. Maximum likelihood becslés a loglineáris modellben. A minimális diszkrimináló információ módszere. A maximális entrópia és minimális divergencia módszere. Iteratív arányos illesztés és EM algoritmus.

Irodalom Móri F. Tamás, Székely J. Gábor (szerk.): Könyvkiadó, Budapest, 1984. Mogyoródi J., Michaletzky Gy. (szerk.):

Többváltozós statisztikai módszerek.

Matematikai statisztika.

M¶szaki

Egyetemi jegyzet. Nemzeti

Tankönyvkiadó, Budapest, 1995.

Statisztikai következtetések elmélete. Typotex Kiadó, Budapest, 2005. A. A. Borovkov: Matematikai statisztika. Typotex Kiadó, Budapest, 1999. E. L. Lehmann, Theory of Point Estimation, Wiley, New York, 1983. E. L. Lehmann, Testing Statistical Hypotheses, 2nd ed. Wiley, New York, 1986. O. J. Dunn, V. A. Clark: Applied Statistics: Analysis of Variance and Regression, 2nd ed. Bolla M., Krámli A.:

Wiley, New York, 1987. S. Zacks:

Parametric Statistical Inference.

Pergamon Press, Oxford, 1981.

P. K. Andersen, O. Borgan, R. D. Gill, N. Keilding N.:

Processes.

Springer, New York, 1993.

J. D. Jobson:

Statistical Models Based on Counting

Applied Multivariate Data Analysis , Vol. I. and II. Springer, New York, 1992.


33

NEMPARAMÉTERES MÓDSZEREK (Melléktárgy) Nominális, ordinális skálájú meggyelések. Kategorikus változók. Permutációteszt. A binomiális és polinomiális próba. Kapcsolatuk a A változók közötti kapcsolat mérése.

χ2 -próbával.

Fisher-féle egzakt teszt a függetlenségre.

χ2 -próba.

Spearman-féle rangkorreláció és teszt. Homogenitásvizsgálat. KolmogorovSzmirnov-próba. Medián próba. MannWhitney-féle teszt.

WaldWolfowitz-féle teszt.

Wilcoxon-féle el®jeles rangpróba.

U-

Wilcoxon-féle el®jel-

próba. KruskalWallis-próba. AnsariBradley-próba. Nemparaméteres szórásanalízis.

Friedman-próba.

Nemparaméteres

t-próba

(Tukey-teszt).

Páronkénti összehasonlítás, Scheé-féle nemparaméteres kondenciaintervallum. Nemparaméteres becsléselmélet. A HodgesLehmann statisztika.

U -statisztikák.

Nempara-

méteres maximum-likelihood becslés. A KaplanMeier-féle szorzatbecslés. Monoton regresszió.

Irodalom

Vincze I., Varbanova M.:

Nemparaméteres matematikai statisztika. Elmélet és alkalmazások.

Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993. R. E. Barlow, D. J. Bartholomew, J. M. Bremner, H. D. Brunk:

Order Restrictions.

Wiley, New York, 1972.

Nonparametric Statistical Methods. Wiley, New York, 1973. Nonparametric Statistical Inference. Marcel Dekker, Basel, 1971. K. Sen, Nonparametric Methods in Multivariate Analysis. Wiley, New York,

M. Hollander, D. A. Wolfe: J. D. Gibbons: M. L. Puri, P. 1971.

Statistical Inference Under


34

IDSOROK STATISZTIKAI ELEMZÉSE (Melléktárgy) Az id®sorok additív felbontása. A trend és a szezonalitás becslése. Stacionárius id®sorok modellezése. A várható érték és a kovariancia-, illetve korrelációfüggvény becslése. A korrelogram. A becslések aszimptotikus tulajdonságai. A becslések konzisztenciája négyzetesen integrálható spektráls¶r¶ségfüggvény esetén. Aszimptotikus normalitás lineáris folyamatok esetén. A diszkrét spektrum becslése ismert és ismeretlen frekvenciák esetén. A periodogram. Várható értéke és kovarianciafüggvénye. Fisher-féle teszt, GrenanderRosenblatt-féle teszt. A spektráls¶r¶ség-függvény becslése. Konzisztens becslés konstruálása a periodogram simítása, illetve a tapasztalati kovarianciafüggvény súlyozásával. A simított periodogram aszimptotikus tulajdonságai. A

P (λ)-teszt.

Autoregresszív-mozgóátlag folyamatok. Folyamatok transzformációja. A transzformált folyamat tulajdonságai, korrelogramja, spektráls¶r¶ség-függvénye. ARIMA modellek becslései, a becslések tulajdonságai. A periodogram kiszámításának gyakorlati kérdései. A gyors Fourier-transzformáció.

Irodalom

Id®sorok analízise. M¶szaki Könyvkiadó, Budapest, 1986. T. W. Anderson: The Statistical Analysis of Time Series . Wiley, New York, 1971. D. R. Brillinger: Time Series: Data Analysis and Theory. Holt, Linehart and Winston, New

Tusnády G., Ziermann M. (szerk.):

York, 1975. M. B. Priestley:

Spectral Analysis and Time Series.

Academic Press, New York, 1981.


35

ÉLETTARTAM-ADATOK ELEMZÉSE (Melléktárgy) Alapfogalmak, meghibásodási id®k, cenzorálás típusai, összm¶ködési id®.

Hazárdfüggvény,

meghibásodási tényez®. Nevezetes élettartam-eloszlások.

Exponenciális minta elemzése.

Paraméterbecslés a Cox-

modellben. Nemparaméteres maximum likelihood. Túlélésfüggvény becslése cenzorált mintából: Kaplan Meyer-féle szorzatbecslés. Greenwood-formula. Aktuárius becslés. Arányos hazárd-modell. Teljes, feltételes, ill. parciális likelihood. Öreged® eloszlások osztályai: IFR, IFRA, NBU. Tartalmazási kapcsolatok. Az osztályok zártsága gyenge konvergenciára és konvolúcióra. Monoton és koherens rendszerek, a rendszer megbízhatósága. Az IFRA és NBU osztály zártsága. Az IFR osztály lezárása. Sokk-modellek. A víztároló-modell. Öreged® tulajdonságok meg®rz®dése. IFRA eloszlásfüggvény ML becslése, inkonzisztencia. IFR eloszlásfüggvény ML becslése, legnagyobb konvex minoráns. Konzisztencia. A bioassay-probléma. Az EM-algoritmus.

Móri T.: [online

Élettartam-adatok elemzése.

Irodalom Jegyzet. Budapest, 2006.

http://www.math.elte.hu/mori/elettartam.pdf]

R. E. Barlow, F. Proschan:

Statistical Theory of Reliability and Life Testing .

Holt, Rinehart

and Winston, New York, 1975. D. R. Cox, D. Oakes,

Analysis of Survival Data .

Chapman and Hall, London, 1984.


36

TÖBBDIMENZIÓS STATISZTIKAI MÓDSZEREK (Melléktárgy) A többdimenziós normális eloszlás. Feltételes és marginális eloszlás. Korreláció és regresszió, parciális korreláció, többszörös korreláció és regresszió. FisherBartlett tétel és megfordítása. A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek becslése. A Wishart-eloszlás tulajdonságai. Hipotézisvizsgálat a várható értékkel, a korrelációs és a regressziós mátrixszal kapcsolatban. Lineáris modell, lineáris becslések.

Becsülhet®ség, GaussMarkov tétel.

Lineáris hipotézis

tesztelése normális lineáris modellben. Változószelekció, lépésenkénti regresszió. Robusztus regresszió. Szórásanalízis. FisherCochran tétel. Kovarianciaanalízis. F®komponens-analízis. Faktoranalízis. Kanonikus korreláció. A paraméterek becslése maximum likelihood módszerrel, a becslések tulajdonságai. Osztályozás, legközelebbi társ módszer, klaszteranalízis. Többdimenziós skálázás. Kontingenciatáblázatok elemzése. A loglineáris modell. Maximum likelihood becslés a loglineáris modellben. A minimális diszkrimináló információ módszere. A maximális entrópia és minimális divergencia módszere. Iteratív arányos illesztés és EM algoritmus.

Irodalom Móri F. Tamás, Székely J. Gábor (szerk.): Könyvkiadó, Budapest, 1984. K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: 1979. J. D. Jobson:

Többváltozós statisztikai módszerek.

Multivariate Analysis .

M¶szaki

Academic Press, New York,

Applied Multivariate Data Analysis , Vol. I. and II. Springer, New York, 1992.


37

11. Algebra A tematika elején szerepl® lez®. Akinek az algebra

f®tárgya,

annak

Csoportelmélet

melléktárgya,

emellett még

és

Gy¶r¶elmélet

blokk mindenkinek köte-

annak ez a vizsga teljes anyaga. Akinek az algebra a

az alábbi kilenc

Választható blokk

közül

háromból

kell

fölkészülnie (ezeket tetsz®legesen választhatja).

11.1. Csoportelmélet. •

Szabad csoportok. Nielsen-Schreier-tétel. Csoportok megadása generátorokkal és deniáló relációkkal. Csoportvarietások, Birkho tétele.

•

Csoporthatás.

Permutációcsoportok, tranzitív, primitív, többszörösen tranzitív cso-

portok.

•

Sylow-tételek. Nilpotens csoportok, centrális láncok. p-csoportok, Frattini-részcsoport, Burnside bázis-tétel.

• • • •

Feloldható csoportok, Hall-tételek. Abel-csoportok. A végesen generált Abel-csoportok alaptétele. Lineáris csoportok, PSL(n, F) egyszer¶. Véges csoportok lineáris reprezentációi a komplex számtest felett. Irreducibilis, teljesen reducibilis reprezentációk, Maschke-tétel, Schur-lemma. Karakterek. Reprezentációk ekvivalenciájának feltétele. Karaktertáblázat, ortogonalitási relációk.

• •

Burnside tétele: a paqb rend¶ csoportok feloldhatók. Indukált reprezentációk, Frobenius-reciprocitás, Frobenius-csoportok.

11.2. Gy¶r¶elmélet. •

Asszociatív algebrák. Struktúraelmélet: radikál, féligegyszer¶ség. Láncföltételek; Hilbert bázistétele.

•

Kategóriák, funktorok, természetes transzformációk.

A Hom és a tenzor funktorok

alaptulajdonságai (nem kommutatív gy¶r¶kre is). Funktorok egzaktsága, projektív és injektív modulusok.

• •

Lánckomplexusok, homológiacsoportok, homológiacsoportok hosszú egzakt sorozata. Kommutatív gy¶r¶k. Prím és primér ideálok. Ideálok fölbontásai. Hilbert-féle nullhelytétel.

•

Alapfogalmak Lie-algebrákról. Feloldható és nilpotens Lie-algebrák. Gyökrendszerek, kvadratikus alakok.

Dynkin-diagramok, a féligegyszer¶ komplex Lie-algebrák osztá-

lyozása.

11.3. Választható blokkok. 1. Véges csoportok. B®vítéselmélet.

Szemidirekt szorzat, Schur-Zassenhaus-tétel. Transz-

fer és alkalmazásai, Burnside normál p-komplementum tétele. Véges p-csoportok: extraspeciális, reguláris, hatványteljes, maximális osztályú csoportok. Kommutátorkalkulus. Részcsoporthálók. 2.

Egyszer¶ csoportok.

A véges egyszer¶ csoportok osztályozása. A klasszikus egyszer¶

csoportok. Lie-típusú egyszer¶ csoportok. Sporadikus csoportok. 3.

Permutációcsoportok.

Többszörösen tranzitív csoportok leírása.

Primitív permutá-

ciócsoportok, O'Nan-Scott-tétel. Koszorúszorzat. Prímfokú csoportok. Frobeniuscsoportok,


38

Zassenhaus-csoportok. 4.

Csoportreprezentációk.

Cliord-tételek. Karakterfokok. Karakterizációk az involúciók

centralizátorával. Projektív reprezentációk, Schur-multiplikátor. 5.

Kommutatív algebra és algebrai geometria.

Lokalizálás. Diszkrét értékelésgy¶r¶k,

egyéb nevezetes gy¶r¶osztályok. Krull f®ideál tétele. Az algebrai geometria elemei: an és projekív algebrai sokaságok. Biracionális leképezések. Riemann-Roch-tétel. 6.

Nemkommutatív gy¶r¶k.

Artin- és Noether-gy¶r¶k. Noether-Skolem-tétel. Artingy¶-

r¶k általánosításai, egyéb speciális gy¶r¶osztályok. Goldie-elmélet. PI-algebrák. Centrálisan egyszer¶ algebrák, Brauer-csoport. Testelmélet, ferdetestek. 7.

Homologikus algebra.

rok, az Ext és a Tor funktor.

Projektív és injektív modulusok szerkezete.

Derivált funkto-

Modulusok egzakt sorozatainak osztályai és az Ext funktor,

Yoneda-szorzat. Homologikus dimenziók. Alkalmazások a reprezentációelméletben. Nevezetes sejtések és tételek. 8.

Univerzális algebra.

Varietások, szabad algebrák, Birkho tételei. Kongruenciaazonos-

ságok, nevezetes Malcev típusú tételek. Klónok. Teljességi tételek, diszkriminátorvarietások. A kommutátorelmélet és a szelíd kongruenciák elméletének alapjai és néhány alkalmazása (például szabad spektrum, reziduálisan kicsi varietások, eldönthet®ség, a követelményteljesítési feladat algebrai vonatkozásai). 9.

Hálók.

Disztributív és moduláris hálók, Boole-algebák, dualitás disztributív hálók és

poszetek között. Szabad hálók. Projektív geometriák és komplementumos moduláris hálók. Desargues-azonosság, koordinátázás. Hálók reprezentálása partícióhálókban. Algebrai hálók.


39

12. Számelmélet

Kombinatórikus számelmélet:

A Brun szita és alkalmazásai. Schnirelmann addíciós téte-

lei, a prímszámok bázist alkotnak. További addíciós tételek. Additív és multiplikativ Sidon sorozatok. Oszthatóság sorozatokban, primitív sorozatok. A "nagyobb szita". Hilbert-kocka s¶r¶ sorozatokban, alkalmazása. Van der Waerden és Szemerédi számtani sorozatokra vonatkozó tételei, alkalmazás. Schur tétele.

Exponenciális összegek, Fourier analízis alkalmazásai a számelméletben:

Additív

és multiplikatív karakterek, kapcsolatuk, alkalmazások. Gauss-összegek. A Pólya-Vinogradov egyenl®tlenség.

A legkisebb kvadratikus nem-maradék becslése.

Kloosterman-összegek.

A

nagy szita analitikus, aritmetikai és karakter változata, alkalmazások. A számtani sorozatokban való eloszlás irregularitásai, karakterösszegek alsó becslése. kritérium.

Egyenletes eloszlás, Weyl-

Diszkrepancia, Erd®s-Turán egyenl®tlenség, eloszlások irregularitásai.

Van der

Corput módszere, alkalmazások.

Additív számelmélet:

Az Erd®s-Fuchs tétel. Weyl összegek becslése. A Hardy-Littlewood

módszer, a Waring probléma. A Goldbach probléma, Vinogradov tétele. 3 tagú számtani sorozatok s¶r¶ sorozatokban. Összeghalmazok és különbséghalmazok szerkezete és multiplikatív tulajdonságai. Particiók.

Analítikus és multiplikativ számelmélet:

A gamma függvény. A

ζ -függvény

(analitikus

folytatás, függvényegyenlet, gyökmentes tartomány, nagyságrend, s¶r¶ségi becslés). A prímszámtétel bizonyítása hibataggal. Prímek számtani sorozatokban, az L-függvények alkalmazása. A Siegel-Walsz tétel. Prímek rövid intervallumokban, s¶r¶ségi becslések alkalmazása. A Selberg szita. A Bombieri-Vinogradov tétel. A kis prímekb®l felépül® számok.

Számelméleti függvények, valószín¶ségszámítás a számelméletben: A Turán-Kubilius egyenl®tlenség. Az Erd®s-Kac tétel. Multiplikatív függvények középértéke. Additív függvények határeloszlása. Additív és mutiplikatív függvények karakterizációja, egyértelm¶ségi halmazai. Valószín¶ségszámítási módszerek alkalmazása, összegsorozatok tanulmányozása. Algebrai számelmélet, diofantikus egyenletek: Algebrai számtestek és azok egészei. Kvadratikus és körosztási testek.

Ideálok, alaptétel, Dedekind gy¶r¶k, következmények.

osztályszám, egységek, Dirichlet tétele.

Ideálosztályok,

A Pell egyenlet, Mordell egyenlet, a Fermat sejtés

speciális esetei, reguláris prímek. A diofantikus approximációelmélet elemei, lánctörtek, kapcsolatuk diofantikus egyenletekkel, a Thue-Siegel tétel. Baker eektív módszere. A geometriai számelmélet elemei.

Számítógépes számelmélet: n = pq zás.

esetén

p, q

Elemi m¶veletek és számelméleti alapfeladatok id®igénye.

meghatározása polinomiálisan ekvivalens

ϕ(n)-ével.

Moduláris hatványo-

Faktorizáció algebrai azonosságokkal, Mersenne számok faktorizációja.

A kriptográa

alapfogalmai, RSA, diszkrét logaritmus, a Die-Hellman kulcs csere rendszer. Prímtesztelés, pszeudoprímek. Faktorizáció, a faktorbázis algoritmus, a kvadratikus szita. Elliptikus görbék véges test felett, a Die-Hellman kulcs csere analogonja. Pszeudo- véletlen bináris és sorozatok, alkalmazásuk a kriptográában, illetve a Monte-Carlo módszer kapcsán.

[0, 1)

Szám-

elméletb®l f®tárgyként való vizsgázás esetén a fenti modulokból 4-et, melléktárgyként való vizsgázás esetén 2-t kell kiválasztani.


40

Irodalom: G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. H. Halberstam, K. F. Roth: Sequences. C. Pomerance, A. Sárközy: Combinatorial Number Theory (in: Handbook of Combinatorics). S. W. Graham, G. Kolesnik: Van der Corput's Method of Exponential Sums, 144. oldal. L. Kuipers, H. Niederreiter: Uniform Distribution of Sequences, 1-163 oldal. R. C. Vaughan: The Hardy-Littlewood Method, 15., 7. és 10. fejezet. H. Davenport: Multiplicative Number Theory. P. D. T. A. Elliott: Probabilistic Number Theory, 3., 4., 5., 6., 9., 12. és 15. fejezet. H. Pollard, H. G. Diamond: The Theory of Algebraic Numbers. L. J. Mordell: Diophantine Equations. T. N. Shorey, R. Tijdeman: Exponential Diophantine Equations. N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography.


41

13. Diszkrét matematika A f®tárgyként való vizsgához a 7 témakörb®l négyet kell kiválasztani. Melléktárgyként való vizsgához vagy egy a vizsgáztatóval megbeszélt monográából, vagy az alábbi témákból kett®b®l lehet vizsgázni.

Gráfelmélet 1.

Utak és körök, Euler vonal, Hamilton vonal.

Ramsey típusú tételek a

gráfelméletben, halmazelméletben, számelméletben és geometriában. Ramsey számok becslései.Turán tipusú tételek. Nem-páros kizárt részgráfok, az extrém gráfok aszimptotikus struktúrája, adott részgráfok el®fordulási száma. Erd®s-Stone-Simonovits tétel. Páros kizárt részgráfok, utak és K(p,q) Turán-száma. Véges geometriai és algebrai konstrukciók. Szemerédi regularitási lemma és alkalmazásai. Erd®s-Rényi.

Turán-Ramsey típusú tételek.

Gráfparaméterek várható értéke és koncentrációja.

Véletlen gráf modellek: Martingál-módszer.

Kü-

szöbfüggvény, evolúció p=log n/n környékén. Pszeudovéletlen gráfok.

Gráfelmélet 2.

Párositások páros és nem-páros gráfban, Tutte tétel.

Stabil párosítások,

Galvin tétel. Többszörös összefügg®ség, Menger tétel és változatai. Minimax tételek. Pontés élszinezések, Brooks és Vizing tétele.

Kromatikus szám, kromatikus index, kritikus grá-

fok Síkba- és felületre rajzolhatóság, Kuratowski tétel, négyszíntétel.

Minorok, Robertson-

Seymour elmélet elemei. Kromatikus polinom és tulajdonságai.Perfekt gráfok. Nagy kromatikus számú, kis kört nem tartalmazó gráfok konstrukciója.

Halmazrendszerek.

A klasszikusok: Sperner tétel, LYM egyenl®tlenség, Erd®s-Ko-Rado,

Erd®s-Rado. Fisher egyenl®tlenség és De Bruijn-Erd®s tétele. L-metsz® extremális halmazrendszerek, keresztben metsz® halmazrendszerek. Metszet-tételek alterekre. Tiltott részstruktúrák. Árnyék, árnyék-metszet, a Kruskal-Katona tétel. Párosítások, lefogások és törtverziójuk hipergráfokra. Véletlen módszer: várható érték és második momentum. A lokális lemma és alkalmazásai. A tört- és egész optimum hányadosa. Vapnik-Chervonenkis dimenzió alaptétele. Színezések. Diszkrepancia, Beck-Fiala tétel, Spencer hatszoros szórás tétele.

Leszámláló kombinatorika. generátorfüggvények.

A generátorfüggvény-módszer.

Közönséges és exponenciális

Szám- és halmazpartíciók, Bell-számok és Stirling-számok generátor-

függvénye, rekurziók ezekre.

Módszerek azonosságok igazolására: WZ párok (Wilf és Zeil-

berger) módszere, Gosper algoritmus határozatlan összegzésre és a Gosper-Zeilberger algoritmus.

Aszimptotikus leszámlálás, Lagrange inverzió, Cauchy módszer, nyeregpont módszer.

Szita-módszerek. Részben rendezett halmaz M®bius-függvénye, inverziós formulák. A Pólya módszer.

Szimmetrikus struktúrák, algebrai módszerek.

Blokkrendszerek létezése, szükséges fel-

tételek, aszimptorikus eredmények. Steiner hármasrendszerek. t-rendszerek, Ray-ChaudhuriWilson egyenl®tlenség t-rendszerekre.

Projektív síkok, Hadamard mátrixok, bisikok.

strukciók, blokkrendszerek b®vítése.

Dierencia-halmazok, multiplikátor-tétel.

sajátértékeik.

Kromatikus szám és sajátérték.

sen reguláris gráfok, barátság tétel.

Legnagyobb sajátérték.

Kon-

Gráfok és

Expanderek.

Távolság-reguláris gráfok, asszociációs sémák.

Er®-

Kódok,

Hamming-kód. Példák. Perfekt kódok és blokkrendszerek. Golay kódok és Witt-féle blokkrendszerek.


Kombinatorikus optimalizálás, algoritmusok.

42

Legrövidebb utat keres® algoritmusok.

Gráfbejárársok. Minimális költség¶ folyamok. Poliéderes kombinatorika. Párosítások és poliédereik. Perfekt gráfok és poliéderek. Fülfelbontások, 2-összefügg®, er®sen összefügg® és faktorkritikus gráfok. Adatrendezések. Közelít® algoritmusok. Leemelés és alkalmazásai. Fedés és pakolás fákkal és feny®kkel, Matroidok, mohó algoritmus. Körmatroid, dualitás. Matroid metszet, összeg, alkalmazásai. A bonyolultságelmélet elemei. P és NP osztályok, NP teljesség.

Végtelen kombinatorika.

Végtelen gráfok.

Gráfok erd®kre bontása.

Aharoni-Berger-

Menger tétel. Kromatikus szám, a kiválasztási axióma szerepe. De Bruijn-Erd®s tétel. Nagykromatikus, háromszög nélküli gráfok. Minden, megszámlálhatónál nagyobb kromatikus gráf tartalmaz négy hosszú kört.

Halmazleképezések.

halmazrendszerek, milyen számosságúak léteznek.

Fodor Géza tétele.

Majdnem diszjunkt

Elekes-Homann tétel.

A Ramsey tétel

általánosításai: Erd®s-Rado tétel. Delta-rendszer lemma.

Irodalom: T. Beth, D. Jungnickel, J. Lenz, Design theory, B. Bollobás, Random graphs A. E. Brouwer, A. M. Cohen, Distance regular graphs, Hajnal András, Hamburger Péter, Halmazelmélet, R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik, Konkrét matematika, M¶szaki Kiadó Frank András, Gráfelmélet, elektronikus jegyzet Frank András, Matroidelmélet, elektronikus jegyzet Hajnal Péter, Halmazrendszerek, Polygon Kiadó Hajnal Péter, Gráfelmélet, Polygon Kiadó Hajnal Péter, Összeszámlálási problémák, Polygon Kiadó Lovász László, Kombinatorikai problémák és feladatok, Typotex Kiadó J. H. van Lint, R. Wilson, A course in combinatorics, Oxford Univ. Combinatorics N. Alon, J.Spencer, The probabilistic method

Press Handbook of


43

14. Halmazelmélet és matematikai logika Vizsgázni lehet

A1-A6 vagy B1-B6 közül 4 tétel választásával.

A1. Kombinatorikus halmazelmélet.

Fák.

Partíció relációk, halmazleképezések.

A

Todorcevic-séta alkalmazásai. Stepping-up lemmák. Végtelen gráfok. Jónsson-algebrák.

A2. Forszolás.

Láncfeltétel. Iterált forszolás. Klasszikus problémák. Martin axióma. Pro-

per forszolás. Martin maximum.

A3. Nagy számosságok.

Elérhetetlen, gyengén kompakt, Ramsey, mérhet® számosságok.

Leírhatatlanság. Elemi beágyazások. Extenderek. Bels® modellek. Lefedési tételek. Woodin, er®sen kompakt, szuperkompakt, óriási számosságok.

Nagyszámosság-forszolás.

Szaturált

ideálok.

A4. pcf-elmélet.

A pcf-elmélet alapjai. Tranzitív generátorok. Becslések a hatványfügg-

vényre. Jónsson-algebrák.

A5. Halmazelméleti topológia. π -súly,

altereken,

sup = max

problémák. Szorzatok.

A6. Leíró halmazelmélet. mazok.

Alapvet® számosságfüggvények (súly, s¶r¶ség, cellularitás,

karakter, stb) közötti egyenl®tlenségek. Speciális térosztályok. Számosságfüggvények

S-

és

L-terek.

Borel és analitikus halmazok. Valódi és teljes analitikus hal-

Uniformizációs, redukciós, szeparációs tételek.

Borel halmazok eldöntöttsége.

A

determináltsági axióma.

B1. Modellelmélet.

Teljességi, kompaktsági tétel.

Típuselhagyási tétel.

Interpolációs

tételek. Szaturált, speciális, univerzális modellek. Kétszámosság tételek. Ultraszorzat. AxKochen-Jersov elmélet. Véges modellek. Stabilitás, rang. Prím modellek. Morley kategoricitás tétele. Stabilitás spektrum tétel. Shelah main gap tétele. Deniálhatóságelmélet, Beth tétel, Chang-Makkai tétel. Beth tulajdonságok.

B2. Rekurzióelmélet.

Rice tétele. Kreatív, szimpla halmazok. Post problémája. Szópro-

blémák. Degree-k. Jump-operáció. Turing gépek, Church tézis, kiszámíthatóság, eldönthet®ség.

B3. Bizonyításelmélet és limitatív tételek.

Gödel-féle nemteljességi tételek, Kalmár bi-

zonyítása is. Tarski tétele az igazság deniálhatatlanságáról. Vágáselhagyás. Gentzen tétele. PA-ban bizonyíthatatlan tételek.

B4. Algebrai logika és operátoros Boole algebrák.

Boole algebrák és univerzális algeb-

rai alapismeretek (pl. diszkriminátor varietások, kongruencia disztributiv varietások), relációk elméletei, reláció kalkulusok, többargumentmú relációk algebrai, reziduált Boole algebrák, operátoros Boole algebrák Tarski-Jonsson-Kripke tipusú reprezentaciója, nem normális eset reprezentálása parciális elérhet®ségi relációkkal.


B5. Cilindrikus, poliadikus és relációalgebrák. relációk algebrái, n-argumentumú relációk algebrái.

44

Tetsz®leges logika algebraizálása. Binér Pozitív, negatív tételek.

Daigneault-

Monk- Keisler tétel (poliadikus algebra) és korlátai. Modellek, modellosztályok algebraizáltja, interpretációk. Cilindrikus relativizált halmazalgebrák eldönthet®sége,

Lω,ω

korlátos szeleté-

nek véges modell tulajdonsága.

B6. Nem teljesen klasszikus logikák.

Számítástudományi logikák, dinamikus logika, tem-

porális logika, nyelvészeti logikai szemantika, intuicionista logika és Kripke-modellek, Lambek kalkulus és teljessége, multi-modális és nyíl logikák, kapcsolat a Jonsson-Tarski féle operátoros Boole algebrakkal. Eldönthet®ségi kérdések.

Irodalom: P. Erd®s, A. Hajnal, A. Máté, R. Rado:

Combinatorial Set Theory:

Partition Relations for

Cardinals.

Proper and Improper Forcing. Multiple forcing. A. Kanamori: The higher innite. S. Shelah: T. Jech:

M. Burke, M. Magidor: S.Shelah's pcf theory. I. Juhász:

Cardinal Functions, Ten Years Later.

Y. N. Moschovakis: Descriptive set theory.

Model Theory, North-Holland. S. Shelah: Classication Theory, North-Holland. H. Rogers: Theory of Recursive Functions & Eective Computability, McGrew-Hill, 1967. Handbook of Mathematical Logic. North-Holland. J. D. Monk: Lectures on cylindric set algebras. In: Algebraic Methods in logic and in cumputer science, Banach Center Publications, Warsaw, 1993. L. Henkin, J. D. Monk, A. Tarski, H. Andréka, I. Németi: Cylindric Set Algebras, Lecture C. C. Chang, H. J. Keisler:

Notes in Mathematics 883, Springer, 1981

Handbook of Philosophical Logic, Kluwer. 1986, 1996. P. Hájek, P. Pudlák: Metamathematics of rst-order arithmetic, Springer, 1993.

ELMÉLETI MATEMATIKA DOKTORI PROGRAM

Recommend Documents