Élesmenetű csavar egyensúlya másként

Élesmenetű csavar egyensúlya – másként A szakirodalom – ld. pl.: [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] – tanulmányozása során feltűnt, hogy ~ leginkább a laposmenetű csavar erőjátékának vizsgálatát közlik, annak egyensúlyi állapotában; ~ az élesmenetű csavarra vonatkozó elemzések körül nincs minden teljesen rendben. Ez utóbbi alatt azt értem, hogy elvileg egymástól lényegesen eltérő levezetések találhatók a könyvekben, melyek talán nincsenek igazán megvilágítva. Minthogy úgy tűnik, van itt némi elrendeznivaló – legalábbis számunkra – , nézzük meg, mit tehetünk ez ügyben. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

1. ábra Az 1. ábrán egy élesmenetű csavar egy részét ábrázoltuk; a csavart az M erőpár és a V erő terheli. A csavarszár a menete alsó felületén támaszkodik fel az anyamenet megfelelő szakaszára. Az alsó menetfelület egy rk közepes sugarú csavarvonala P pontjában a felületre merőleges elemi dN nyomóerő, valamint dS súrlódóerő ébred. Utóbbi hatásvonala a közepes csavarvonal αk menetemelkedési szögével egyező hajlású csavarvonal - érintő, nyílértelme pedig olyan, hogy az elfordulást akadályozni igyekszik. Az élesmenet profilját a β fél - ékszög jellemzi. Az 1. ábrán feltüntettük a síkba terített közepes csavarvonalat is. Az adott csavarmenetre állandó h menetmagassággal a közepes menetemelkedési szögre írható – [ 4 ] – , hogy

2

tg k 

h . 2  rk 

(1)

A továbbiakban ( 1 ) - ben néhol – kényelemi okok miatt – elhagyjuk a „ k ” indexet. Mivel a dN elemi nyomóerő a menetfelület P pontbeli érintősíkjára merőleges hatás vonalú, ezért a szögviszonyok jellemzéséhez előállítjuk ezt az érintősíkot – ld.: 2. ábra!

2. ábra A 2. ábra [ 3 ] nyomán készült. Itt PQ : a P ponton átmenő csavarvonal hengerének alkotója. Az SQ egyenes az alapkörhöz a Q pontban húzott érintő; ha ennek S pontjából αk szög alatt húzott egyenes átmegy a P ponton, akkor az SP egyenes a P pontbeli csavarvonal érintője. Tudjuk, hogy az élesmenetű csavartestnek a henger tengelyén átfektetett síkkal való metszete olyan háromszög, melynek oldalai a vízszinteshez β szög alatt hajlanak. Ha tehát a QO sugár meghosszabbítására úgy mérjük fel a β szöget, hogy annak ferde szára P - n menjen át, akkor az RP egyenes a csavarfelület P - beli alkotója. Minthogy az egyenes vonalú csavarfelület P - beli érintősíkját kifeszíti a csavarvonal P beli érintője és a P - n átmenő alkotója – [ 6 ] – , így az RP alkotó és az SP érintő kifeszítik az alsó csavarfelület P pontbeli érintősíkját.

3 A 2. ábra jobb oldali részén is megtalálható, a további számításhoz szükséges derékszögű háromszögeket a 3. ábrán gyűjtöttük össze.

3. ábra A 2. ábra alapján közvetlenül:

d 2  x 2D  y 2D  z 2D ;

(2)

a 3. ábra felső része alapján:

x D  d  cos  ,  y D  d  cos  ,  z D  d  cos  . 

(3)

Most ( 2 ) és ( 3 ) - mal:

d 2  d  cos   d  cos   d  cos  , 2

2

2

innen:

cos 2   cos 2   cos 2   1 . Majd a 3. ábra alsó része alapján:

(4)

4

d  , u  d  cos   ,  v   d  cos   . w  cos  

(5)

Ezután ( 4 ) és ( 5 ) - tel:

 d   d   d           1 .  u   v   w  2

2

2

(6)

Ismét a 2. ábra alapján:

w tg w v tg

u

 ,     .  

(7)

Most ( 6 ) és ( 7 ) - tel:

 d         tg 2    d   tg 2   d   1 ,  w   w   w  2

2

2

innen:

d 1  , 2 2 w 1  tg   tg 

(8)

majd ( 5 ) és ( 8 ) - cal:

cos  

1 1  tg   tg  2

2

.

Most egy függőleges vetületi egyensúlyi egyenlettel:

V   dN  cos    dS  cos 90    0 , innen:

(9)

5

V  N cos  S sin  .

( 10 )

Most a Coulomb - súrlódás képlete szerint:

S  N ,

( 11 )

így ( 10 ) és ( 11 ) - gyel:

V  N  cos   sin   .

( 12 )

Most alkalmazzuk a virtuális munka elvét – [ 1 ], [ 2 ] – !

M   V z  S l  0 .

( 13 )

Ezután vessünk egy pillantást a 4. ábrára!

Forrása: [ 1 ]. 4. ábra Eszerint is:

  s  r  ,  z  r  tg ,  r   l  .  cos   Most ( 13 ) - at átírva ( 14 ) - gyel:

( 14 )

6

M   V  r   tg  S 

r  0 , cos 

innen:

M  V  r  tg  S 

r . cos 

( 15 )

Most ( 11 ) és ( 15 ) - tel:

M  V  r  tg    N 

r . cos 

( 16 )

Majd ( 12 ) - ből:

N

V . cos  sin 

( 17 )

Ezután ( 16 ) és ( 17 ) - tel:

M  V  r  tg   

r V  . cos  cos  sin 

( 18 )

Bevezetjük a

P

M r

( 19 )

jelölést, így ( 18 ) és ( 19 ) - cel:

   1  . P  V   tg    cos  cos  sin  

( 20 )

Újabb egyszerűsítő jelöléssel, ( 20 ) - ból:

P  VZ ,

( 21 )

ahol:

Z  tg 

 1  . cos  cos    sin 

( 22 )

Most ( 22 ) - ből ( 9 ) - cel:

Z  tg 

  cos 

1 1 1  tg 2  tg 2 

;   sin 

( 23 )

7 azonos átalakításokkal: 1  tg 2  tg 2  Z  tg    cos  1  sin   1  tg 2  tg 2   tg  1  sin   1  tg 2  tg 2    1  tg 2  tg 2   cos    2 2 1  sin   1  tg   tg  sin 2   tg    1  tg 2  tg 2    1  tg 2  tg 2  cos  cos    2 1  sin   1  tg   tg 2   

tg 

   1  tg 2  tg 2   1 sin 2   tg   1  tg 2  tg 2   cos2  cos  cos    2 2 1  sin   1  tg   tg  1  sin   1  tg 2  tg 2

tg    cos   1  tg 2  tg 2  1  sin   1  tg 2  tg 2 

,

tehát:

Z

tg   cos   1  tg 2  tg 2  1 sin   1  tg   tg  2

2

.

( 24 )

Majd ( 21 ) és ( 24 ) - gyel:

P  V

tg    cos   1  tg 2  tg 2 1 sin   1  tg   tg  2

2

,

( 25 )

illetve ( 19 ) és ( 25 ) - tel:

M  V r

tg    cos   1  tg 2  tg 2  1  sin   1  tg   tg  2

2

.

( 26 )

A ( 26 ) képlet adja meg az élesmenetű csavar egyensúlya – illetve állandó sebességű teheremelése – esetén a szükséges forgatónyomaték nagyságát. Az alkalmazott szokásos feltevések mellett ez a pontos képlet. Ez a dolgozat azért született, mert ezt vagy egy hasonló képletet csak nagyon ritkán lehet találni a szakirodalomban. Úgy is fogalmazha tunk, hogy elvileg helytelen, bár gyakorlatilag elegendően pontos képletek terjedtek el, gyakran meg sem említve azok közelítő mivoltát.

8 Az említett képletek a pontos képlet speciális eseteiként adódnak. Speciális esetek: S1.)   0 . Ekkor fennállnak az alábbiak is:

(*)

  sin   tg ,  2 1  tg   1 . cos   1 ,

( 27 )

Most ( 26 ) és ( 27 ) - tel:

 tg    1  tg  cos  M  V r  Vr ; 2  1  tg  1  tg  1 tg  cos  2

tg 

( 28 )

bevezetve a

tg* 

 cos 

( 29 )

rövidítő jelölést, ( 28 ) és ( 29 ) - cel kapjuk, hogy

M*  V  r 

tg  tg *  V  r  tg    * . 1 tg  tg *

( 30 )

Többnyire ezt a képletet találjuk meg a tankönyvekben / szakkönyvekben, az élesmenetű csavarra. S2.)   0 ,   0 . Ekkor ( 29 ) - ből:

tg* 

    tg , cos 0

( ** )

( 31 )

így ( 30 ) és ( 31 ) - gyel:

M **  V  r 

tg  tg  V  r  tg    . 1 tg  tg

Többnyire ezt a képletet találjuk meg a tankönyvekben / szakkönyvekben, a laposmenetű csavarra.

( 32 )

9 Megjegyzések: M1. A 4. ábra laposmenetű csavaremelő esetét szemlélteti. M2. A ( 25 ) képlet majdnem ugyanebben az alakjában megtalálható [ 3 ] - ban. Sokszor mondtuk már: régi könyv – nem rossz könyv! M3. A 2. és a 3. ábra ismerős lehet; nem véletlenül, mert az axonometrikus ábrázolással kapcsolatos levezetéseink során is alkalmaztunk hasonlókat, illetve a belőlük kinyerhető összefüggéseket. M4. Több szerző vektoralgebrai úton állítja elő a szükséges képleteket. Egy nem szokványos megoldás található pl.: [ 7 ] - ben. Eszerint, az itteni jelölésekkel:

M  V r

 cos  sin     cos  ,  cos  cos     sin 

(a)

ahol

1



cos   sin  cos  2

2

2

.

(b)

Most ( a ) - val:

  cos     cos  sin    cos  M  cos  sin     cos        V  r  cos  cos     sin   sin    cos  cos    cos      cos   tg   cos   cos    .  sin   cos   1  tg   cos     cos  sin  

Ezután ( b ) - vel:



innen:

1 cos 2   sin 2  cos2 



1 1  , cos  1  tg 2 cos 2 

(c)

10

 cos  

1 1  tg  cos  2

2

.

(d)

Most ( c ) és ( d ) - vel:

  cos  tg   1  tg 2  cos 2  M   ; 2 2  V  r 1  tg  1   tg  1  tg  cos   cos  tg 

(e)

ámde

1 tg2 cos2  sin2 cos2  tg2 cos2  cos2 1 tg2 tg2 ,

így

1  tg 2  cos 2   cos   1  tg 2  tg 2  .

(f)

Majd ( e ) és ( f ) - fel:

tg    1  tg 2  cos 2  tg    cos   1  tg 2  tg 2 M    V  r 1    tg  1  tg 2  cos 2  1    tg  cos   1  tg 2  tg 2 

tg    cos   1  tg 2  tg 2  1    sin   1  tg   tg  2

2

(g)

,

tehát ( g ) - ből:

M  V r

tg    cos   1  tg 2  tg 2  1    sin   1  tg   tg  2

2

.

(h)

A ( h ) képlet tartalmazza a ( 26 ) képletet is, ám nem csak a teher emelésére, hanem a süllyesztésére is érvényes; utóbbi az alsó előjelekkel. Az elvégzett átalakítások során egyúttal néhány lehetséges képletalak - változatot is bemutattunk. M5. Ha bevezetjük a

 '   1  cos 2   tg 2  tg '

(i)

képlettel értelmezett látszólagos súrlódási tényezőt – v. ö.: [ 4 ]! – , akkor az ( e ) és ( i ) képletekkel:

11

M  V r

tg   ' tg  tg '  V r  V  r  tg    ' . 1  tg  ' 1  tg  tg '

(j)

M6. A csavar meghúzásához / a teher emeléséhez, illetve a csavar meglazításához / a teher süllyesztéséhez szükséges kerületi erő nagysága a ( 19 ) és a ( j ) képletekkel:

P  V  tg    ' .

(k)

M7. A szakirodalom egy részében – v. ö.: [ 4 ]! – eltérés található fentiekhez képest; ott ugyanis az élesmenet ékszögét β - val jelölik, míg itt azt mi 2β - val jelöltük. Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk – másként.

Irodalom: [ 1 ] – Muttnyánszky Ádám: Statika 8. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1964. [ 2 ] – L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz teoreticseszkoj mehaniki Tom 2.: Dinamika 6. izdanije, Moszkva, Nauka, 1983. [ 3 ] – Nagy Dezső: Dinamika Magyar Mérnök és Építész Egylet, Budapest, 1905. [ 4 ] – Zsáry Árpád: Kötőelemek és kötések Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. [ 5 ] – Herrmann Miksa: Gépelemek Németh József Technikai Könyvkereskedése, Budapest, 1924. [ 6 ] – Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995. [ 7 ] – Franz Ziegler: Technische Mechanik der festen und flüssigen Körper Springer Verlag Wien / VEB Fachbuchverlag Leipzig, 1985.

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. január 15.