DR. F E R E N C Z CSABA Űrkutatási Kormánybizottság
Elektromágneses hullámterjedés; a csoportsebesség analízise ETO
Az elektromágneses hullámterjedési vizsgálatok egyik alapvető kérdése — a mindenkori hullámkép meg határozása mellett — az energia (jel, jelzés, hullám csomag stb.) haladásának vizsgálata a hullámkép ben. Ennek közismert gyakorlati fontossága mellett emlékeztetni kell elméleti jelentőségére is, mivel az energiaterjedés leírása közvetlenül kapcsolódik az elektromágneses tér energiaimpulzus tenzora fel írásának véglegesen nem lezárt kérdéséhez. A korábbi vizsgálatokban kialakított „inhomogén alapmódusok módszere" segítségével [1] a szokásos tól eltérő módon, közvetlenül a Maxwell-egyenletekből származtathatjuk az energia terjedését jellemző sebességet; szokásos nevén „csoportsebességet" — v . Ehhez mindenekelőtt vizsgáljuk meg az elektromág neses energia leírásának és terjedése jellemzésének szokásos módszerét. g
I t t A — felület, V — térfogat. Azt, hogy (1) bármely általános eset leírására is alkalmas, szintén igazolták t J= = = = Legyen a továbbiakban e, x, v és p független az elektromágneses hullám jellemzőitől — szigorúan line áris közeg, s- időben állandó. A közeg ne mozogjon. (Összhangban az [l]-ben közölt vizsgálatok érvényes ségi körével.) Emellett külön kitérünk majd az időben nem lineáris — más szóval diszperzív stb. közegekre. Bár ilyen módon az időben változó és a mozgó köze geket vizsgálataink köréből kizárjuk, belátjuk, hogy e vizsgálatok egyik közvetlen célja az időben változó és a mozgó közegek esetén tapasztalt nehézségek, illetve súlyos diszkrepánciák feloldásához vezető ú t keresése. Ezen túlmenően nem vizsgáljuk a monokromatikus megoldás létezésének a feltételeit, hanem (l) szerint feltesszük, hogy a megoldás 5
t
1. A feladat és a kiindulás
F ^ ^ - ^ ^ Z i a u e ^ ' F o n ) ^ ^
Az elektromágneses tér energiáját ugyanúgy a ta pasztalatból absztrahált alapvető Maxwell-egyenletből határozzuk meg, mint a hullámképet, például [l]-gyel összhangban: V H = X
f
£ o
VB=0
0
1,1
k
1=1
l=v
l=v — valós, k — képzetes komponenst jelent, ez utób biba beleértve a / imaginárius számot is, / = —la,
(l)-ből származtatható az energiaegyenlet; azonban azt, hogy műveleteink eredménye energiasűrűség, illetve energia, a tapasztalat alapján döntöttük el. Ismert módon így, ha D=1E+SH _ _- _ _ B^E+^H,
(2)
az általánosság kedvéért, ahol E — az elektromos (ExH)dA = térerősség, D — az eltolási vektor, B — a mágneses indukció, H — a mágneses térerősség, I , v, p — a kö A zegjellemzők (permittivitás, stb.}, e és /J, — a vá C( - _ 3 E -=6H - SE , kuum permittivitása és permeabilitása, r — a hely = - J I e Ee — +s Ex — +^ Hv — + vektor, t — az idő, akkor [2]: v • 0
0
=
0
( | } ( E X H ) d A = - j* ( í ^ f + E ,
0
0
0
r-^ÖH],., H _ j dV.
f t )
/ t
(5)
dV.
V
(3) Beérkezett: 1976. X . 2.
(4)
2
VD=0
A
,
0
(1)
0
0
alakban létezik, ahol F és q> valamilyen módon válto zó függvények. I t t F — a keresett elektromágneses térjellemző (E, D, B, H), co — a jel körfrekvenciája, q>i — az inhomogén alapmódusok fázisfüggvényei, í — 1, 2, . . . , n, az egyes inhomogén alapmódusokat jelenti, n
- • 3B VxE=-/x — ,
S37.S71.12i
A bal oldalon álló integrandus vektorteret szokás Poynting-vektornak nevezni, azaz S= EXH.
(6)
71
H ÍRAPÁSTECHNIKA X X V I I I . ÉVF. 3. SZ.
Fizikai jelentése vákuumban bármely esetben könynyen megadható [2], anyag jelenlétében már nehe zebben, míg mozgó stb. közegekben komoly prob lémákat vet fel [3]. Az eddigiek alapján látjuk, hogy közismert módon az energia terjedését (6) —S — illetve S megváltozá sa, mint „detektálható, terjedő jelenség" írja le. (4) alakja miatt azonban azonnal belátható, hogy S és megváltozása értelmezése átlagolási problémákat vet fel, s ezért foglalkoznunk kell az átlagos energia egy értelmű megadhatóságának a kérdésével is. 2. A csoportsebesség szokásos tárgyalása Mivel első ránézésre úgy tűnik, hogy az energia ter jedése csak S tényleges megváltoztatásával követ hető nyomon, ezért a szokásos eljárásnál abból indu lunk k i , hogy az elektromágneses hullámriak mindig van eleje és vége [4], s így minden esetben (még az ily módon hipotetikussá váló „monokromatikus" esetben is) hullámvonulatot, hullámcsomagqt vizs gálunk. Ezzel egyben az átlagos energiafogalom hasz nálatától is eltekinthetünk, ami nagy könnyebbség. A hullámcsomag szokásos felírása homogén közeg ben F(r, 0 = ko + 4k
J
F (k, k )e 0
0
<{«-«[(í).^]|' dk, (7)
ahol k — terjedési vektor co(k) =
(k ) (k-k )^||j
ro
0 +
+...
0
co(k )=co , 0
(8)
0
és a hullámcsomag spektrumát olyan szűknek veszszük, hogy a (8) lineáris közelítés elegendően pontos legyen. Ekkor a (7)-tel megadott „csoport" fázisát az integrálból kiemelt exp. j(co t—k r) írja le. E kiemelés formailag önkényes, azaz a sorfejtés helyének meg választása nem szigorúan határozott. Az energiára jellemző amplitúdó terjedését (7)-ben az integrál állandó értékeiből adódó felületek haladásából ítél hetjük meg. Ha F (k, k ) lassan változó függvény, ami' az adott esetben reális feltételezés, akkor ezen felü leteket a 0
0
0
0
állandó
(k-k ) 0
(9)
egyenlet adja meg. Innen a felületek terjedési se bessége tehát: dr (10) dí a csoportsebesség. Megállapítható, hogy ha w(k)~k, akkor — mint az közismert — ahol
72
d
a
(11)
a fázissebesség és s. az ívhossz a fázisút mentén. (Ugyanez levezethető az ismert „állandó fázis elve" alapján [4] stb.) Ez a definíció önmagában korrekt, de néhány kér dést felvet: — Nem válaszol általában az energiaáramlás se bességének a kérdésére a fenomenológiái leírás teljes érvényességi tartományán belül, ahol az esetek egy igen nagy részében folyamatos és sok esetben szigorú an monokromatikus jelekkel dolgozunk. — A csoportsebesség e definiálása a felvett megol dási alakon és nem a Maxwell-egyenleteken keresztül történik! — A (10) egyenlet alakja nem alkalmas arra, hogy a sokféle lehetséges közegben való terjedést össze hasonlító módon vizsgáljuk, hiszen a közegjellemzők már önmagukban bonyolult módon bújtatva szere pelnek (10)-ben. Következmény: A v klasszikus tárgyalása nem te kinthető teljes vizsgálatnak, s ezért meg kell vizsgálni az energia megadásának kérdéseit, s terjedése Maxwell-egyenletek segítségével való vizsgálatának a le hetőségét. g
3. Az elektromágneses energia meghatározása Ahhoz tehát, hogy valamilyen általános és áttekinthetö vizsgálatot kezdjünk az energia terjedés analíziséré,^mindenekelőtt meg kell vizsgálni a ter jedő energia — (5), illetve (6) — tulajdonságait a (4) megoldások esetén. E megoldások érvényességi tar tományát ismerjük [1]. Ennél általánosabb vizsgálatot (nagyon inhomogén terek, mozgó vagy időben válto zó, inhomogén terek stb.) csak e vizsgálatokra építve kezdhetünk, mivel jelenleg számos homogén vagy inhomogén [2] esetben is sok megoldatlan kérdéssel találkozunk. Mint az (5)-ből is kiderül, a fizikai mérésekben és vizsgálatokban nem S szerepel közvetlenül, hanem valamely mérési felületen (A vagy ZlA) valamely idő (At) alatt áthaladó energia vagy annak megváltozása, azaz az S integrálja. Ezt esetleg azután egységnyi felületre vagy időre vonatkoztatjuk — átlagoljuk. Ilyen módon eredményünk nem csupán a hullám képtől, hanem az integrálási, illetve átlagolási felület és időtartam megválasztásától is függ. Tehát alapvetően fontos kérdés: Milyen feltételek mellett kapunk a „mérési" felülettől és időtől füg getlen energia-átlagértéket? Függ-e az átlagolás ered ménye attól, hogy az idő és felület szerinti átlagolás sorrendje milyen? Milyen tényezők érintik az ener gia-átlagolásra vonatkozó vizsgálatok egyértelműsé gét? i (6) alapján, (4)-et figyelembe véve a pillanatnyi Poynting-vektor felírható: , s(r, /) = E(F, í)XH(r, t)
(12)
(12) segítségével megoldhatjuk már a AA felületen időegység alatt átáramló, At mérési időtartamra vo natkoztatott, átlagos W energiát. (Az átlagértékjel ~ legyen.)
DR. FERENCZ CS.: ELEKTROMÁGNESES HULLÁMTERJEDÉS
Innen (12) aktuális alakja:
Ez: h
s(r, 0 = 2'[2'a oíA
™ Jt
\ [ J^.OdAjdí.
=
h
(13)
i
JI.LJ-
(13) és (14) már lehetőséget ad a feltett kérdések egzakt megfogalmazására. Vizsgálatainkban addig beszélhetünk egyértelműen energiáról és átlagener giáról, amíg W = W°, (15) és mellékfeltételként valamely (r , / ) egyértelmű és elegendően kis környezetében és
0
grad3A Wsconst.,
(16)
a közegre és a megoldásra tett eddigi feltételeink egy idejű teljesülése mellett. Tekintve, hogy (4) stancioner megoldás [1], ezért 8F = 0. dt
(17)
0
így, ha az energiaterjedés vizsgálata válamilyen perturbáció alkalmazását kívánja meg, akkor is teljesülnie kell annak, hogy 8F (pert.) _ 8/
8F df
0
-
(18)
(18)-at a további vizsgálatokban mindig szem előtt kell tartani! Ekkor (13) és (14) számításánál a At idő tartam alatt F (pert.) s áll. A (13)—(17) egyenletek összevetése mutatja, hogy e vizsgálat indításánál már felhasználjuk, hogy idő ben nem változó közegben, monokromatikus, állan dósult megoldás esetén vizsgáljuk az energiaanalízis lehetőségét és egyértelműségének a feltételeit. Ezért minden újabb esetben az új feltételek mellett az energia ilyen vagy hasonló elemzése újra elvégzendő. 0
3.1. A feladat analízise Végezzük vizsgálatainkat az ( é , e„, e ) koordináta egységvektorokkal leírt, derékszögű koordináta rend szerben, ahol k = m, n, p (illetve 1, 2, 3). Ekkor (4) alapján a fizikailag létező megoldás: m
p
= 2 {2 i oiifik sin (M t-q> - (19) i k ahol az l indexnek (4) kifejtésénél fellépő automatikus eltűnése miatti változásokat (aF ) és cp hor dozzák. A triviálisan teljesülő (17) ekkor részletez hető is: a F
ai
0
mk
da,-F ,- _ 8ft) dt ' dt ~ ' 0
A
0
0
oiFk
d(
H7n\
n
dt
K
k
k
i
i
sm(co t - q> - q> +cp )] = 0
t
ai
oiHk
0E
AA
0
k
(
E
X£H e
(14)
t)dt dA.
i
= 2 ok^k sin(co„í -
h
F
k
X 2[2a,Ho, e
AA
Azonban átlagenergiát kaphatunk más módon is:
8W ÍO d(Aty
^(oi f-(p -(Pa +
E
i
>
k
ok
k
sin(w t-(p+(p ). 0
(20)
0Hk
(20) áttekintése után látható, hogy formailag azonos a vizsgálat: — egymódusú ( i s 1) esetben és — az egyébként szükséges feltételek teljesülése mellett [1] az általános, eredő tér esetén. Az általános, eredő tér inhomogén alapmódusokra felbontott alakjának vizsgálata ehhez képest a (15) és (16) egyenletekben feltett kérdések megválaszolá sánál elvileg újat nem adhat. Lényeges részleteket tisztázhat azonban az energia belső mozgásainak, a módusok közti csatolásoknak stb. a feltárásával, és ezen keresztül esetleg utat nyit az inhomogén alapmódusokból felépülő „terjedő" alapmódusok (együtt mozgó energiarészek) definiálásához és az [l]-ben megadott megoldási eljárás továbbfejlesztéséhez. (Ennek szükségességét a módszer távvezetékekre való alkalmazása [18] alátámasztotta.) Fentiek alapján a továbbiakban elvégezzük a vizs gálatokat az általános, eredő tér (és automatikusan az egymódusú tér) esetére. Ezzel a csoportsebességi vizsgalatokhoz szükséges válaszokat megkapjuk. A többmódusú eset részletekbe menő analízise más elemzésekben kerül majd sorra. Egyidejűleg (20) ezen áttekintése azt is mutatja, figyelembe véve az (1), (2) és (5) egyenleteket is, hogy a használni kívánt fenomenológiai tárgyalás esetén, ahhoz, hogy S, illetve (20) létezzen, mindenek előtt igaznak kell lenni, hogy az összes közeg—elektro mágneses tér kölcsönhatás 1, JL,Késv szerint úgy és olyan gyorsan játszódik le, hogy beszélhetünk E-ről és H-ról stb. egyidejűleg. Külön vizsgálat tárgyát képezné ettől eltérő esetek analízise. Ide kívánkozik még az a megjegyzés, hogy azokban az esetekben, amelyekben a (4) szerinti „hullámsze r ű " megoldás nem létezik vagy oly bonyolulttá válik, hogy például a terjedés, terjedési irány stb. fogalmak értelmetlenné válnak, valószínű, hogy az egyetlen energiacsomag szétszóródásának vizsgálata ( I I . pont) legalább annyi információt nyújt, mint valamely stacionárius megoldás analízise. Ezzel vizsgálataink érvényességi körét meghatároz tuk. 3.2 Az integrálási sorrend felcserélhetősége Első lépésként részletesen megvizsgálandó s — (20) egyenlet. Az x egyszerű kifejthetősége érdekében legyen a k = l, 2, 3 index ciklikus, azaz a (A-+1) és (A* — 1) bármely A- értékre legyen értelmezhető. (Például: k = 3 esetén A- + 1 = 1.) Ekkor: s(r, 0 = E X H = 2 ( £
t + 1
ff . -£ . ff i
1
i
1
i + í
)e
i
(21)
73
HÍRADÁSTECHNIKA X X V I I I . ÉVF. 3. SZ.
(21) felhasználásával (20) a (13) és (14) kifejtéséhez alkalmas alakúra írható át. Legyen
ahol:
t
co
0
t (
és akkor: S( > ?
0=
9>0EA+1
s i n
2[ Ok+l 0k-l E
H
A-
ük
S I N
(25) és (26) összevetése Mivel:
s**(0 = 2K EH±I
x
sin qs^.! sin
ük+í
mk
+
k
sin
+ ( EH±I A
+ 2'{- 0/c-l W E
i
k
SÍn
[ F ö ( 0 +9?0EA+1 +
.
+
ö
=c£
t
(22a)
0
#
=
W
£oí-1^0*+l AEHÍI*
időtől független tényezők. A kézenfekvő átalakítások titán: s„ (í)sinv'o(0 = !
sin
+ [^£H±iSÍn(co < + 0 o
0
)-
± 1
A
0
2 f
Hs
0
0
AA
®±1 =
o*
s m 2 w
(24) segítségével mind a (13), mind a (14) egyenlet kiszámítható. Ekkor: 0
AA
W
(
o + ^ J | J s ^ ( 0 s i n c o í d / dA, 0
AA
At
^oO díj dA.
i(joédA) .0
es
(29)
-g^ő,
0
0
At
legyen, [zlí és A A alsó korlátját majd a (16) feltételek kielégítése szabja meg, hogy egyáltalán értelme le gyen W-nak.] Legyen továbbá: J*sin co í dí = F (í) és 2
0
ss
At
J* sin co t cos co í dt= 0
0
F (t); sc
At
J^cos dA = W (25)
es
w°=
000
valamint:
J j J ( S » +s**(0 sin a> í) d A j dí =
0
n
0
(24)
+
* oV.
Feltétel: Bármilyen vizsgálatban csak olyan per turbációkat engedünk meg, illetve At és AA-t úgy választjuk meg (elegendően kicsire), hogy:
At
0
° 3 F / [ J ^ ( 0 d A sin co í dí
s
2
4-8^^(0 sin co í,
0
+
grad | J sin co í díj ^ grad |^ J* sin co t cos <wí díj SÍ 0.
ahol: 8S*/8í=0.
W
dí,
0
valamint:
9'
93*0 = 0. 9í
és
s(r, t) = (S +!$*„) +!**(*) sin co t=\
=
cos cwf
0
dt
Tehát:
At
(28)
0
J[( / ^ o s d A ) sin* a> í + /I/
f>
(
74
+
AA
W=
k
cos a) í
An
W°=W
ahol:
0
0
es
(23)
= 9EH+I~(P
A
-dA J<
sin co í}e =S* +s* (í) sin coí>
Tl
0
0
sin
sin
•
^ I
Tl
+ 1 j * c7Í dAj sin
EH±1
k
0
o
+ a\ / [ /
sin
A
^ \ sin(eo í + 0 )]
T1
=
6S
EH±1
A
cos <£ ) sin a> í +
sin ) cos co í]é =
£ í í T l
0
'
(22) további kifejtésénél az r és t szerinti függés teljes szétválasztása a cél. További célszerű rövidítés, hogy:
E H
£ H T l
s a jelölések értelemszerűek. Innen:
8So = 0. dt
A
- A
sin co t +cé
cos
ahol (17a) miatt:
= 2{I EH*I
± 1
= JZi^cos sin co í +C7é cos co t)e =
(22)
sin Vo(0e*»
s(r, í) = S +s„ (0 sin y (í),
^Ok+l^Dk-l—
felbontását kívánja.
&#*(t)
0
azaz:
- A
cos ®
A
- E _H
(27)
W = /(So+S^dA,
fo( )= o - P'
(26)
és
cos
AA
jd
dA = W .
sin
sln
AA
Ekkor, a (29) feltételcsoport teljesülése következté ben a kifejtés tovább folytatható, és W=W, o+j
Jw sin co ídí + 2
t
cos
At
0
DR. FERENCZ CS.: ELEKTROMÁGNESES HULLÁMTERJEDÉS
akkor
+ 2jj J sln n W Í COS Cü t át W
s i
0
F (AT, 0)5*0
0
es W° Innen pedig látható, hogy a tett feltevések mellett W=WO==W +l[W F (0+W F (í)] 0
cos
SS
sin
és
SS
sc
(30)
Ezzel beláttuk, hogy a (15) követelmény az adott körülmények között kielégül. Az átlagenergia meg határozásánál az eredmény nem függ az integrálás sorrendjétől. E vizsgálatban At és A A-ra felső korlátot kaptunk (esetleges perturbációkra is gondolva). Azonban elemi úton belátható, hogy a hullámhosszhoz és a periódus időhöz képest igen kis At és /2ÍA választásával W-ra tág határok közt tetszőleges értéket kaphatunk. Ezért At és AA-ra alsó korlátot is kell adni.
F (AT,0)^0.
(33)
SC
Következmény: A (32) és (33) összefüggések bi zonyítják az időtartományban — és analóg módon belátható a tér-tartományban is — ,hogy a „mérhető" energia értéke függ a mérési időtől (felülettől), ingadozik, s W érdemben csak várható értékként adható meg valamekkora szórással. A szórás például a At függvénye. — Részletes (mérés-) analízisnél ettől nem lehet eltekinteni! — Esetünkben, amikor a csoportsebesség tanulmányozása a célunk, nem szükséges e statisztikus analízis, hiszen csak azt vizs gáljuk, hogy értelmezhető-e W és az egyértelműen összekapcsolható-e a jelamplitúdóval, ha értelmezhető a jelamplitúdó. (33) miatt külön kikötésként érvényesíteni kell, hogy n?±0 a továbbiakban. Ekkor, (31)-et és (32)-t felhasználva és TJ értékét növelve: r^Arr » sm2co AT 1 ^ I J A T . n ) ^ - - — — ^ — ^ n—+AT 1
1
.... (34)
1
0
es
3.3 W vizsgálata Ez esetben a közvetlen célunk a (16) feltételek kielégítésének vizsgálata, amely feltételek teljesülése esetén beszélhetünk állandó vagy egyértelmű átlag energiáról. a) Az idő — függés vizsgálata Tekintve, hogy az időtől való függés még pertubált esetben is — (18) — alapvetően periodikus, legyen
1 , SAW x -T; F (AT, n)= At '
1
T
sSCc v
n
n
l-cos^oZJT^ 1 S;r—<stl 4to -2im
,
Arw
n0
\-AT
ahol rcs>\. n értékét a megkívánt pontosság szabja meg. Ezzel Zl/-re alsó korlátot is kaptunk! Ez a jelen számítás menete (a> t kiemelt kezelése) miatt adódott ebben a sorrendben. Ha 93-t kezeljük analóg módon kiemelve — amit (oo t—(p) szerkezete miatt megtehe tünk —, akkor analóg megkötés (korlát) adódik AA-ra. b) A felület — függés vizsgálata A (27) és a (30) egyenletekből tudjuk, hogy W füg gését a AA felülettől az 0
0
At=n — +AT, ahol 7J = 0, 1, 2, O^AT^—.
(31)
természetes
egész
szám és
Tudjuk továbbá, hogy „ ... At F
*
sin2co zl/
/(So+S^dZ;
0
2-
Á t ) =
-&r~-'
l-cos2co Zlf ^ ) =— •
ha a At tartományra a t(0, At) szakaszon integrálunk, ami nem jelenti az általánosság megszorítását, meg tehetjük. (31)-et behelyettesítve belátható, hogy n)s
sc
dI
és
j^ ÖA sin
AA
integrálok tartalmazzák. Ezek részletes elemzésénél W -t hagyjuk utolsónak és definiáljunk valamilyen /JA felületet. Legyen 0
0
0^F (AT,
C 0 S
AA
és F
J^"
1 2co
(32) n
A A = Aa-p X Aa e =Aa aX
a2
Aa e ,
1
2
(35)
A
ahol e és e nem || és nem feltétlenül J_. Továbbá e = ^ l e . Tudjuk továbbá, hogy (28) alapján haszal
A
k
a2
A
A
. _
__
_
nálhatjuk az _egyértelmű dl =dL -c?í és <^ i =c^ in± — °^sinT jelöléseket. Ekkor a W - t és W - t meghatározó tagok szerkezetét elegendő egy példán vizsgálni. így elegendő az cos
S
es
2
n
c o s T
ms±
S
cos
sin
) 1/ 2\
2
n_
2
»o.
A J
co
továbbá, ha
,\
J
0
F (AT, SS
és
d A = \Z(A cos® )Z d da í< ^cosdr J k EH±1
1 J_ 2 2co
0
*
n= 0
n)s
AT<^n/cú , 0
AA
±1
k
ai
2
(36)
AA
vizsgálata. Feltétel: — (36) értékének megbecslése érdekében, tekintve, hogy (4)-re eleve vannak változási sebesség korlátozások [1], tegyük fel, hogy van értelme „ a m p -
75
HÍRADÁSTECHNIKA X X V I I I . ÉVF. 3. SZ.
libidóról" beszélni és AA. csak akkora, hogy zlA -hoz tartozó Aafi i grad A (37a) <sl EH±l azaz a felület mentén az amplitúdót sorbafejtve az a felület mentén felvett valamely értékével helyette síthető. — Ha időben is változik (lassan) a jel, például perturbáció miatt, — (co í)-én kívül — akkor (37a)-val analóg feltétel adódik zlí -ra. max
a
EH±1
í
0
Az energia „bőrözésére" jellemző tagokat — (32) és (38) megfelelőit — elhagyjuk. Ezt addig tehetjük meg, amíg a tett feltévések igazak. Megjegyzés: Ezen energiaingadozásra jellemző ta gok analízise mind méréstechnikai, mind az ún. „meddő teljesítmény" vizsgálati szempontból fontos. Jelen esetben célunk eléréséhez elegendő volt az adott feltételek mellett való elhanyagolhatóság igazolása az átlag számításánál és csak i t t és ebből a szempontból. így belátható, hogy
j S dAsí 2
max
— Legyen továbbá a kiválasztott AA felület kis darabon síkkal jól közelíthető, azaz |grad £ \ k
L
(376)
- EHTl
X
J c 4 > s ± dAsa2£ A. H±i j K
J
k
j"
B
c
o
Í9EH±I-
s
d
AA
- A
x
0Ek+1
j sm2
(38)
2
Ezzel a felületre vonatkozóan is — a hullámhosszhoz képest (Aa (39) 0
/ aa
x
2
0
ami a (31) időbeni kötöttség analógja. Ekkor elemi mó don belátható, hogy (38) Aa és 2a -től független kis várható érték körül ingadozik (32) analógjaként, x
cé
cos±
dAs
2
2%IAEH±I
2\\ p\\a a
k,q
AA
(
1
2
ahol 0 ^ | a | á l , s a többi értelemszerűen adódik (38)-ből. Ez a felülettel arányos W mellett elhanya golható, illetve zlA -gyel szorozva <szl. ± ?
0
-1
c) Az átlagenergia: Az előzőek alapján W=W +^F (t)W +~F (í)W ^W At
ss
caa
sc
sin
oHk+1
x
O(AA)+O(At)O(AA)^W . 0
0
0Ek
x
oHk+1
x
0
2
(41)
0
ZA[(ReE XReH ) + ( I m E X ImH )]. 0
0
0
0
(42)
(42) alapján aztán már — formalitásként — bevezethetünk komplex energia és Poyting-vektor fogalmat. Külön ellenőrzendő minden esetben nemcsak a W, hanem a komplex energia képzetes részének jelentése, kapcsolata az energia „bőrözésével", az egész átlag szórása stb. Ulegállapítás: (42) alapján belátható, hogy az in homogén alapmódusokkal leírt megoldás léte és a tett kiegészítő feltételek mellett az átlagenergia értelmez hető és azt a jel általános amplitúdója (F ) határozza meg. Az energia terjedése tehát vizsgálható az F változásának haladásaként. Kiegészítés: — (42) alapján a várható értékekre bevezethető az átlagos és a komplex Poynting-vektor, azaz — ha b* a b komplex konjugáltját jelöli ez eset ben — triviális, hogy: 0
0
(40)
látott módon kifejtjük és a (39) megkötést is érvénye sítjük.
76
+
S - l Re(E X H * ) = ^ Re(E X H*).
Ezek után a W = J (S +S* ) dA-t a 3.3.b. pontban AA
oHk
sin
Legyen S=-ExH*, ~~2
ft
Q
(p ..i-
n fmk+x sin í t o r t - j -
0
+ [1-oiAty
r
A a
azaz visszatérve a (4)-ben látott, szokásos exp /(co í—
+
0
s i
E
2
+
Aa
x
oEk+1
+(A H±I
J cos 2f da da +
Aai Aaz
mkJrl
Ell±1
EH¥x
0
0Eft
W^2t [(A cos
;
cos(9P _ +
E H T 1
oEk
+sin (q>
Z,a
Innen, elemi átalakítások és összevonások után adódik, hogy:
k
x
9>0/ft+l)£* l 2>
2
M c o s ± d& = 2£k&EH±l[<X>S ((p0Ek+l +
+ foHk-i) J
S Í n
E
k
azaz
SÍD
0
«i « •
Továbbá, (4) alapján figyelembe véve a szereplő mennyiségek jelentését és (37)-t, J
Pom-i"
-rr 1 S* dAss^- 2%k[A H±i c°s(
d
AA
AA
s i n
es
Ilyen módon A + és £ a AA mentén (36)-ban az integrálból kiemelhető, azaz: EH
A
k
A
«1.
sin 9 W i
( EH±I
0
es W=
k
J S dA, k
AA
W=Re*W.
DR. FÉRENCZ CS.: ELEKTROMÁGNESES HULLÁMTERJEDÉS
— Nyitott maradt összes feltett és adódott kér désünk a tett feltevések körén kívül eső jelenségekre. E téren célszerű további vizsgálatok végzése. — Amennyiben az integrálási tartományok alsó és felső korlátaira tett feltevések ütköznek, átlagenergia nem értelmezhető.
+ ( V E j +7=H?,) + «V,„E?/> +
Í
/
í
í
(
^ [ g r a d (In a„ +/„-/9> )(vE?/ +/xH? ) + al
4. A csoportsebesség egy megadási lehetősége az inhomogén alapmódusok módszere segítségével
(
ahol:
(w +ő), val,
illetve
0
K — grady,;
(ci) +ő ) 0
(F , +<5), illetve (F val 0 7
+5,)
0(7
8 InH 30/i 3y
d In H dz
0
8 InH, 30/í 8x
8 I n H10// 9y
8 In a2<W 8a;
0
0
0
ml
7.THOil'
analóg 7 -lel; 8 I n H1(W dt
TEOU
7
rHOí7
frekvenciamoduláció
i
8 I n H20ÍÍ dz
0
i7
fázismodulációval,|
+<^H?/» "
-7K
Az amplitúdó elemien kicsi és lassú [lásd a korábbi feltételeket — (17), (18) stb.] megváltozásának a ter jedését az eredetileg az inhomogén alapmódusok módszere kiindulásaként használt Maxwell-egyenlet alakból [1] ismételten elindulva meg lehet határozni, a (4) szerinti megoldás létét elfogadva. A továbbiakban tehát az amplitúdót pertubáljuk (moduláljuk): (a, +<5), illetve (a +ő,) alakban, ahol ő elemien kicsiny. A más lehetséges perturbációkkal (modulációk kal): bPat+S), illetve (tpat+ö.)
(44)
- TC (ÍEf +«Hf )] = 0
+ (Vf Ef, +7=H&) HituK)
7
<
polarizáció-moduláció
7/tfoíí —
később, külön foglalkozunk. Az eredeti, perturbálatlan megoldásunk alakja (4) szerinti. így, ha a perturbáció (a +ő,) alakú, akkor:
0
3 In ff o« dt
0
0
0
8 InH 3017 8í
2
(7
VtEoii
7> = 7e,
(43)
= ^[(l+///)fl«c-^«F ,^o í
analóg 7
ahol:
ífí0
, lel; r
Ví=VS,
7f=7v
\Vríl)jk— jk
g^T
e
A Maxwell-egyenleteket nemcsak a (4) megoldás nak, hanem a (43) perturbált megoldásnak is k i kell elégítenie. A Maxwell-egyenleteket az [l]-ben már megszokott alakra törekedve fejtjük k i . Figyelembe vesszük, hogy ln(l+/, )s^, . így: 7
7
7*//. 7
w 7
es '
és 7^, értelemszerűen analóg 7 -lel; e//
Ezen túlmenően kihasználjuk a továbbiakban, hogy (44)-be fa —0-t helyettesítve F, -re kapunk egyenletet, H S - fK, X Hf ] = amelyet F, , mivel megoldása a Maxwell-egyenleteknek, kielégít. 7
^ [ g r a d (In a +fu ~ Í<Pai)X Hf, + 7 u
THOÍi
;
~ Ej} + | ? H,, | + ( i 7 , , E * + *7 ,Hj}) + £oj
+
/ 8(ln
ag+fu-md +jco dt
W0í
(SE'+KH?,)
0
^ [ g r a d (In a,, +/„ - X E f , +7 Ef, TEoil
=
~2vo | E * +^
Hf,) + (v% E^ mi
- fK,XE/,] +p7
OToa
8(lna +/, -/V ) +/«,„ (vEjJ+/iHf,) dt í7
7
a(
^ [ g r a d (In a +/ -7> )(iEf + « H j ) + i7
i7
ŰI
/
7
=
H?,) +
4.1. A közegjellemzőkről Mielőtt (44) megoldási lehetőségeit vizsgálnánk, szót kell ejteni a (2)-ben definiált i , x, v és p közeg jellemzőkről. — Eleve feltettük [2, 1], hogy a közegjellemzőket kialakító energia nagyságrendileg nagyobb, mint a. vizsgált, monokromatikus, kis energiasűrűségű jel. így következik, hogy e, H, 1> és Jx nem függ F -tól, a jel amplitúdójától. Ez azt jelenti, holy lineáris összefüg gésekkel leírható (közelíthető) közegekkel dolgozunk. Ha szükséges a nemlineáris tárgyalás, ezen vizsgálatok általánosításával kell megpróbálni. Lehetséges út b , illetve f kicsiny volta miatt a közegjellemző sor fejtése az a „pont" ő, kicsiny körzetében stb. 0
L
u
u
77
HÍRADÁSTECHNIKA X X V I I I . ÉVF. 3. SZ.
— A lineárisnak tekintett — (2)-vel leírható — kö zegek két fontos nagy csoportja a szigorúan lineáris és a diszperzív közegek. Először a szigorúan lineáris közegekkel foglalko zunk, amelyeknél: > de dco
0
dv 3 i = 0, da> 8c% 8ft) 0
(45)
0
vagy ez az összefüggés az éppen aktuális co elegendő en nagy környezetében a kívánt pontossággal telje sül. Ekkor a közegjellemzők szóban forgó frekvencia sávban a jel minden paraméterétől függetlenek. — Teljesen külön esetként vizsgáljuk meg a disz perzív közegeket, ahol legalább.egy közegjellemző függ c» -tól, például 0
0
^0.
dm
0
Ezekben az esetekben azonban megállapíthatjuk — tekintve a diszperzív közegek közegjellemzői közismert levezetéseit [4, 6—8 stb.] —, hogy a (44) egyenletek szempontjából elvileg hibás lenne például az é = e(co ) (46a)
. 2 [grad (In a - jcpj ( I E + KH, ) + (V -E, +, ü
H
7
e
7
+ VjfH ) +«V ,E, > +
e
7
^ígrad (In a ^jq>J
M7
7
(vE +/zH„) + ( V ; E -
u
l7
l7
+ V;H, )+«V E, >+(V ,H »]=0, 7
w7
/
A
(48)
l7
egyenletrendszereket külön-külön. Figyelembe veszszük ezenkívül a közegre tett összes feltevéseinket; szigorúan lineáris, időben nem változik, nem mozog stb. Felhasználjuk, hogy a (47) egyenletrendszer módusonként külön-külön is teljesül. Tudjuk, hogy (4) monokromatikus, stacioner megoldás. Mindezeket felhasználva (44) egyszerűsíthető és átrendezhető. így; ^{/«[grad (In a„-j )XU Val
+V
u
+ grad f X (1 +/„)H,} =
H„] +
Hu) -§ (eE„ + «H„),
u
Zí/i/ferad (In a -j )XE u
r a o a
Val
+7
u
TB0ÍI
E„] +
0
összefüggés használata. A (43) jel esetén £7íe(tt> ), hanem új e*-gal kell számolnunk. (A *, hacsak külön fel nem tüntetjük, nem jelent komplex konjugáltat, csak egyszerű jelzést!) Mivel (44)-ből azonnal, elemi úton belátható, hogy f léte esetén f térbeli és idő beli deriváltjai is léteznek, azaz:
+ grad/, X(l +/, )E } = 7
;
I7
0
u
u
(In a -j
á
u
aí
S
e*= e(co ,f )
7
u
a
összefüggéssel kell számolni. (46) miatt először csak a (45) esetet vizsgáljuk, majd teljesen különálló fejezetben a (46) esetet, bele értve a linearitás értelmezhetőségét diszperzív kö zegekben.
ei7
7
ií
íí
( l + / , ) g r a d / ( i E , + « H ) } = 0, 7
, (46)
=
0
2{fu[g™
+ (7iE„ + V H„) +«f E, > + < ? , H » ] +
/« = /«(?,*),
ezért
(49) Ot
i.l
ií
7
i7
^{//ífgrad (In a - ]
a
U
+ w7
+
7
+ (1 +/„) grad /, (?E 7
i7
+pti )}=0. u
(47) ismételten figyelembe vehető, mivel: 4.2. A csoportsebesség lineáris közegekben Feladatunk jelenleg a (44) egyenlet megoldása szigorúan lineáris közegek esetén f meghatározása illetve az f terjedési sebessége meghatározása cél jából. Kihasználjuk, hogy 2 u az inhoniogén alap-
1
eE +«H = • l7
K,XH , í7
(7
u
u
p
K.XE,.,. H co Ezek alapján a (49) rot és div egyenletek egyaránt átírhatók és / könnyebben határozható meg. Azon ban már a jelenlegi alakból is sok értékes információ nyerhető. Azonnal belátható például, hogy 8/ /8/=0, vagy grad f = 0 esetben érdemben a (4) megoldást kapjuk vissza. Ezek után a csoportsebességet — így, közvetlenül a Maxwell-egyenletekből levezetve — a vE +pH u
1
ir
0
módusok módszere segítségével kapott megoldás, azaz kielégíti az [1]: K, X H = — a> e (eE l7
0
0
+xH )
u
u
o
u
u
K,(3E +ÍH, )=O Í 7
;
K (vE + pH) = 0, i
(47)
lV
és ^ [ g r a d (In a - / % , ) X H , +7 H„] i7
(
l7
;í
K, X E«=o ix 0E + p H „ ) o
=0
THoll
3/a 8í
al
78
lt
+V
T£o
, E ]= 0 7
i/
grad/, |, 7
(50)
adja meg, mivel most a -t perturbáltuk. (Gyorsan kaphatunk érdekes eredményeket, ha % stb. inhomogenitását úgy választjuk, hogy ismert megoldásoki7
Ztgrad (In a„-f
0
DR. FERENCZ CS.: ELEKTROMÁGNESES HULLÁMTERJEDÉS
kai rendelkező differenciálegyen let-típusokhoz jus sunk. [18]) Mivel ez az elemzési mód még szokatlan, a továb biakban nézzük meg néhány egyszerűbb, de fontos eset konkrét eredményeit.
jelentenek, például [7]. Ezt feltételezve (52)-ből a füg getlenül terjedő módusokra, illetve az egymódusú jelre (i = 1) adódik, hogy E jrH, l7
4.3. A csoportsebesség lineáris, homogén közegben
miatt
7
grad/, ||K,,
(53)
7
és az egyenletek l mindkét esetére nézve azonosak, mivel Kt azonos, Z-től független. Tehát f = f = f vagv
A közeg homogén
iv
VÍ=V;=7= =V^=0.
Továbbá homogén közegben az alapjel — (4) — is állandó, tekintve monokromatikus voltát stb. [1]. A. jel stacioner, azaz V = 0 stb. teljesül; amiből V = 0 stb. következik ez esetben. (49) átírható és néhány vektoralgebrai átalakítást is végrehajtva 2(1 Hu) grad/, XH, = ~2V 7
K, 8/, grad/, + ^ ^ = 0. co at
(54)
0
Tehát grad /, (-3/,/BO
+fuM%XH
u
7
if
Innen:
í £ o i (
r/ÍOl7
ik
K,
es
W o
lgrad/,1 |8/ /8/|
K,
(
"<>'
11 ~20- Hu) j£ ' * «
2(1 Hu) grad / X E = í7
l
u
K
(51)
210- +/,-,) grad/, xH, ]K, = 0 7
7
vagyis ebben az esetben
E
es
ahol y
/,=w /K,
és
0
2lQH )P*df xE ]K =0, U
u
u
l
tetszőleges bianizotóp esetben! Tudjuk továbbá, hogy /„<s:l. Ezért (51) igen pontosan megfelel az alábbi egyenleteknek: 2prif xH =-2%r—xü u
u
u
i,l
0
2g^df XE =-2%^ XE 2(grad/„XH ,)K =0 i
il
il
(
1
2(ff**fuXE„)K
(52)
= 0.
l
Mivel (E, , H, ) ismert, létező, nem triviális meg oldásai a Maxwell-egyenleteknek, tudjuk [1], hogy például: 7
7
E =
e (K, +co e «)H, = <x,H, , X
(7
0
0
7
7
ahol: K,u = K X u /
és
a,7íl.
Tehát E ]fH stb. Ezzel lehetővé vált bármelyik konkrét esetben v meghatározása. Általánosan nem léphetünk tovább, mert az inhomogén alapmódusok között fellépő „csatolás" minden konkrét feladat sa játságaitól függ. A peremfeltételeket is figyelembe véve adódik a teljes hullámkép a perturbációval együtt, s ebből az adott — homogén — esetben (szabadtéri terjedéstől a csőtápvonalakig) az energia terjedési sebessége a vizsgált monokromatikus jelben. Speciális esetek: a) Homogén esetben az inhomogén alapmódusok általában ortogonális, függetlenül terjedő módusokat u
u
g
V
(55)
V^HK,.
b) Egyetlen, önmagában terjedő módus esetén ( í = l ) külön feltételek nélkül is mindig (55) adódik. Állítás: A fázis és a csoportsebesség monokromatikus sík hullámban még bianizotróp esetben is azonos! 4.4. Megjegyzés a mozgó közegekben való terjedéshez '
i,l öí co il
V I I /<
A 4.3. pontot lezáró állításnak alapvető, elvi je lentősége van a mozgó közegekben való elektromág neses hullámterjedésre vonatkozó vizsgálatokban. Közismert és máig véglegesen lezártnak nem te kinthető kérdés, hogy a homogén, mozgó közegekben terjedő monokromatikus síkhullám fázissebessége még a legegyszerűbb esetben sem ( i = el, x = v = 0, / I = l ) követi az Einstein-féle sebességtranszformá ciót [ 9 - 1 2 ] . Az ellentmondás feloldására számos kísérlet tör tént, amelyek e specifikus fizikai jelenség energia impulzus tenzorának analízisén alapultak, és ame lyek szerint ez esetben a fázissebesség nem azonos a csoportsebességgel, v ^Vj [12 — 14]. Más vizsgálatokban viszont a Maxwell-egyenletekbŐl kiindulva [15—17] a terjedés tárgyalásánál for málisan a „sebesség-paramétert" is tartalmazó bianizotróp közegjellemzőket vezetnek be és a mozgó közeget bianizotróp „álló" közeggel ekvivalens módon kezelik. Például: Ha a V sebességgel +x irányban mozgó közeggel együttmozgó rendszerben (K') — és c a fénysebesség vákuumban — g
D' = eE'
és
B' = H'
akkor a laboratóriumi rendszerben (K) D = £ÁÉ+BH
és
B=ÁH-BE
(56)
79
HÍRADÁSTECHNIKA X X V I I I . ÉVF. 8. SZ.
ahol: 1 0 0' A= 0 A 0 ; .0 0 A_
"0 B= 0 _o'
1-- V /c A= ; " 1 - -eV*/c* 2
2
73 =
0 0 0 —B B 0_
V e-1 c 1- e V / c 2
2
Ezzel egyidőben formálisan eltűnik e tárgyalásból az E(E') stb. kapcsolat. így nemcsak a Doppler-effek tust stb. tüntetik el, illetve figyelembe vételét tet szőlegessé minősítik — mint arról már korábban szóltunk [5] — hanem biztosan ellentmondásba ke rülnek az energia-impulzus tenzoron alapuló vizsgá latokkal a csoportsebesség szempontjából/ Ennek oka, hogy az (56)-nak megfelelően és más esetekben analóg módon kiadódó bianizotróp közeg jellemzők függetlenek a jelparaméterektől, szigorúan lineáris, bianizotróp kapcsolatot adnak. Ekkor pedig (55) alapján biztos, hogy v = Vj\ Állítás: A mozgó közegek esetén a fázis és csoportsebesség transzformációja miatt már korábbról ismert prob lémát a jelen vizsgálat hangsúlyozottá teszi. Feloldása elvi jelentőségű és nem tehető meg á hullámkép — az előzőek alapján triviálisan geometriai típusú — sajá tosságainak figyelembe vétele nélkül. (Az ellentmon dás feloldását más cikkben adjuk meg.) g
4.5. Kiegészítések a) A homogén közegben terjedő jel elemi perturbá ciójának haladását egyetlen monokromatikus sík hullám (egyetlen terjedő módus) esetén más formában is meg lehet adni, (44) alapján. Legyen például e és /j, a közeg jellemzője. Ekkor az elemi perturbáció végigfutását a jelen az alábbiak szerint kaphatjuk meg: Az alapmegoldás kielégíti a
b) Az eddigiek alapján e vizsgálatok továbbfejleszthetők. Célszerű például a periodikus vagy hat vány függvényekkel leírható inhomogén esetekre, néhány fontos peremfeltételre (csőtápvonalak) is megvizsgálni a csoportsebesség alakulását. Fontos arra tekintettel lenni, hogy az elemi perturbáció végigfutása a teljes interferencia képén az inhomogén alapmódusokon való terjedés eredője. Tehát nem az inhomogén alapmódusokon való elemi perturbáció terjedés meghatározása a cél, az csak a fentiek szerint jól használható út. 5. Csoportsebesség diszperzív közegekben Ebben az esetben is a (44) egyenletekből indulunk ki. Figyelembe vesszük azonban, hogy ekkor a sze replő közegjellemzők (46) szerintiek (44)-ben, míg (46a) szerinti „alapértékükkel" szerepelnek a (47) és (48) egyenletekben! Tekintve, hogy számos szempontból a vizsgálat elvileg is új, ezért a részletes kifejtés, az áttekinthető ség és az eredmények összehasonlíthatóságának biz tosítása érdekében szorítkozzunk a továbbiakban az egy terjedő módusú esetek vizsgálatára. Emellett tudjuk, hogy a 4. pontban látottakkal analóg módon az eredmények általánosíthatók. E vizsgálatok módszereit és eredményeit fel használva választ adhatunk a diszperzív közegekben a hullámfront-felépülés kérdésére, a nyalábkialakulás menetére, stb. E kérdések sok helyen (whistler ter jedési út vizsgálatok, lézer-fény nyaláb haladása, stb.) alapvetően fontosak. 5.1. Az egyenletek diszperzív esetekben Az előzőek szerint, néhány célszerű átalakítást elvégezve, az egyenleteink a következő alakúak lesz nek: 2{fu[&&* (
K*=l$ep diszperziós egyenletet, ahol k% = m%e ii . így a csoportsebességet, amely a jel valamilyen elemi perturbáció jának a haladását adja, az alábbi egyenletből nyer hetjük: 0
0
l n
<*u ~ Í<Pad X H„ + 7
JHOIf
H ]+ a
+ [iFad/, -/K ]XH, (l +/,)} = 7
-o2(l+/
( í
i
v
)[(f E „ + f H ) í7
+
VrH,>H = £ e7 E 0
<Eo
Vra,E= —/w*7/#,H <^H>=0
és figyelembe kell venni a peremfeltételeket is! Más esetre hasonló egyenletek írhatók fel. Innen, például x irányú terjedésre: ,— dH
0
+ [grad /„
7
ií
i7
X E, (l + /„)} = 7
+
= -tó.(l+/«) u
(58)
egyenlet jelenti a perturbáció haladását, azaz — természetes módon — (54) egy speciális esetéhez jutottunk. Polarizációingazodás stb. közvetlen vizsgálatára (57) sokszor kedvezőbb.
80
e
0/
£
0
0
.^{///[grad (ln a „ - j > ) X E + f ^ E , - , ] +
= 0,
9H
+ ( ^ + / c o ) ( * É ; + S*H )] , =
(57)
. m
(59)
2"{[grad (ln a,,-/^) +grad / „ - / K J • " . (e*E +x*H„)(l +f„) +[(Ví.E + 7 j . H ) + u
í7
w
DR. FERENCZ CS.: ELEKTROMÁGNESES HULLÁMTERJEDÉS
+ «V*„E,.,> +„,) +grad / „ - / K , ] M u
• <5*E„ +M*H, )(1 + / , . , ) ' + [ ( 7 ? E + 7 Í . H „ ) + 7
H
+«^*v E„> +<^f«H /»](l +///)) = °> /
ahol a * jelentését (46) adja. (59)-ből kiindulva a fon tos vagy érdekes gyakorlati esetekben, ha ismerjük az arra az esetre érvényes * közegjellemzőket, a csoport sebesség vizsgálható. a) A számunkra a továbbiakban az egy módusú (homogén) esetek a fontosak. (59)-ből adódik, hogy ekkor: (grad f-jK) H=B X
3f
+jco (5*E + »*H) 0
(grad/-/K)XE=- . M
+
0
{/[(K +co e ^*-\(f 0
3 Í * - 3^* - \ — E + — H | +
0
Ywof'e*] +
1
+ [ ( K + w e x * ) p * ( K - a> i T>*) + * p * ] } E = 0. (64) _1
0
0
of 0
0
( K + w e « ) p |co - ^ r - Ö> /V) + _1
/
0
0
0
[(grad / - / K ) + g r a d (In a-j
[(grad f-fK)
VW"*] +
+][<&-sjx*)^- ^-aw*)-*o
+/to J(v*E + i * H 0
+p/v*)-k
0
Ezen egyenlettel is, mint az előzőekben is minden lépésnél, olyan alakhoz jutottunk, hogy érdemi diszkussziója a *-gal jelölt közegjellemzők pontos ismeretét igényli. b) Mielőtt erre rátérnénk, ellenőrzésként nézzük meg a (64) egyenlet megoldását nem-diszperzív eset ben. Ekkor e* = e stb. Ezen túlmenően az co —f nem 0 és nem =o mennyiséggel szorozzuk végig az egyenletet. így
[ [ ^ - E +-^- H J +
0
adott és a [ ]-ben levő tenzorra kell ennek fényében megállapításokat tenni. Ezért tovább alakítjuk (63)-at és figyelembe veszszük, hogy E (analóg módon H) milyen eredeti disz perziós egyenlet által leírt megoldás. Továbbá figye lembe vesszük, hogy / és / változásai csak igen kicsi nyek lehetnek, így szorzatuk elhanyagolható, má sodrendűen kicsiny mennyiségnek minősül. Ekkor:
+grad (In a-jq> )](v*E +p*H) = 0 (60)
-l-l
^
0
j
: x [f i ( K - a w ) + 2 / c gSejE = 0.
-L
0
a
Látható, hogy mindenekelőtt a * közegjellemzők analízisét kell elvégezni, tekintve, hogy ezek ismerete nélkül érdemben továbblépni nem lehet. Ha feltesszük, hogy 9e*/3f = 0 stb. teljesül, és figyelembe vesszük, hogy stacioner, homogén meg oldásban grad (In a—/
(65) Ismerve, hogy E korábbi megoldás, amely a [5] [(K +ro e «)p~ (K-co u v) +/fp]E = 0 1
0
0
01
0
egyenlethez tartozik a kiadódó K , illetve q> sajátérték és sajátfüggvény mellett, (65) csak úgy teljesülhet bármelyik létező E esetén, ha (66)
(grad / - /K) X H = e ( - | +ja> 1 (i*E + x*H) 0
0
ami (54)-gyel azonos állítás. (v*E+/i*H) (61)
(grad/-/K)XE
5.2. A perturbált közegjellemzők Általános vizsgálatokra nem vállalkozunk e cikk keretében. A számunkra szemléletesnek és fontosnak tűnő esetek közül három konkrét példát ragadunk k i . a) Semleges gáz és izotróp, ionizált gáz egyszerű közelítése:
Legyen továbbá f' = df/dt; K u = (grad/-/K)Xü=(í7-/K)ü /
(62)
Ekkor (61) a szokásos módon [5] átalakítható, E-re, vagy H-ra kifejthető. E-re kifejtve: [(Kj-e^fit^-^+iiyojv*) + e p co)s*]E = 0. (63) A H-ra kifejtett alak ekvivalens értékű, újat nem mond [5]. Fontos azonban i t t észrevenni, hogy (63)-hoz nem rendelhetünk diszperziós egyenletet. E és H ugyan nem nulla, de más diszperziós egyenlet sajátértékéhez tartozó megoldást jelentenek. Tehát esetünkben E 0
0
— Semleges gáz egyszerű közelítése: A szokásos módon ekkor feltesszük, hogy % = 7 = 0, p = l és e = el, ahol e=n és n a törésmutató. Ilyen esetben a gázt szokásosan nem tekintjük diszperzív nek. Tehát: 2
cco
n
és ugyanennek a következtében e* = e
(67)
81
HÍRADÁSTECHNIKA X X V I I I , ÉVF. 3. SZ.
— Izotróp, ionizált gáz egyszerű közelítése:
akkor:
Most sem törődünk a közegjellemző tényleges szerkezetével, hanem a már ismert [6 stb.J eredmé nyeket átvéve feltesszük, hogy x=y = Ö, Jí = l és e = el, ahol: e^l, azaz 6 = 1—e. Tekintve, hogy e^a? l<ú\, ahol co a plazma frekvencia [4, 6 stb.] és (62)-t is ismerjük: p
p
qN 1 e m col 2
fl-
Ezért általános esetben, semleges gázban s*^e\ A perturbált e* meghatározásakor E* = (1 +/)E e/ °' gerjesztő térrel számolunk. (69) megoldását próbáljuk meg a (61) és (62) egyenletek sugallta alakban keresni, cu
0
azaz r*-ban A = 0 és co ^-w* = co f 1 +-/—] helyettesí0
COp*
s* = l -
(68)
:'\2 K-/77
0
téssel éljünk. Belátható, hogy^ d v* a át 'm 2
— Ezen egyszerű közelítések összehasonlító vizsgá lódásra lesznek jók. Azonban a közegjellemzők pon tos analízise érdekesebb összefüggéseket tár fel.
2
E*,
— _
+
egyenletnek az
b) Semleges gáz pontos analízise:
(1 +/)Eo
Egyszerű semleges gázban tudjuk, hogy x = f = 0 , Jí = l. A permittivitás meghatározásához pedig a po larizáció esetén fellépő mozgásegyenletből indulunk ki. Közismert, hogy:
m
1
«
ei , aot
2L
fY
CO U + - T 2
0
m
{
]co ) 0
stacioner megoldása, ha
dv m-~dt
— ar+qE,
dcot/dt = 0.
ahol m a részecske tömege, v a sebesség, a a rugalmas visszahúzó erő jellemző állandója (kis kitérésekről van szó) és q a töltés. Tehát: d r" - + _ F = -X-E, dr m m 2
2
(69)
és az állapot stacioner volta miatt csak az időben ál landósuló megoldás érdekel bennünket. E = E el moí
0
r =
(70b)
0
m
8e */8f=-/-/" = 0, a korábban tett feltevéseink értelmében. Az ellenőr zésnél a másodrendűen kicsiny mennyiségeket elha nyagoljuk. Tehát a linearitás diszperzív esetben (az adott példában) nem a jel paramétereitől való teljes függet lenséget jelenti, hanem az általános értelemben vett frekvenciától (co*) való függés mellett a (71) egyenlet teljesülését! Ez esetben a diszperzív, semleges gáz még lineáris. O
Így:
A V ^ + -lE„-l m a
qN 2
!
-OJI
(71)
= 1+
(72)
em n
ahol (a stacioner állapot miatt) jogos az A = 0 meg oldás elfogadása a szokásos módon. Innen, mivel
771
^
]CO ) 0
(70) és (72) felhasználásával analizálni fogjuk a p alakulását semleges gázban. Fontos: Pontosabb vizsgálatokban sem a belső veszteségek, sem a több gázkomponens hatása nem hanyagolható el, sem az A = 0 feltétel nem érvényesít hető (legalábbis külön elemzés nélkül — lásd a 3.1. pont utolsó megjegyzését). g
D=— f Jdí+E, [5], adódik L
e
a-mo)l\
0
c) Anizotrop plazma analízise:
ahol J az áramsűrűség, N a részecskesűrűség.
Tudjuk, hogy anizotrop plazmában x = v=0, és JL = 1, továbbá a permittivitás e [6, 7]. Ezen túlmenően
Tehát: qN 1 e=l + e /n a 2
0
(70) 9
ahol a a vezetés tenzora [5].
Fontos: Amíg eoő<sca/m, addig e
\
+
f^=állandó.
(70a)
Azonban a rezonancia környékén, illetve felette a kö zeg diszperzív lesz. Ekkor például, ha oyfcs>aJm,
82
D = eE=— í J d í + E = — f ö E d í + E ,
— A nem-perturbált permittivitás: A szokásos módon [6, 7], temperált plazmában, az ütközési tagokat elhanyagolva, figyelembe véve, hogy a pozitív részecskék és a negatív részecskék (elektronok) tömege sok nagyságrenddel eltér
DR. FERENCZ CS.: ELEKTROMÁGNESES HULLÁMTERJEDÉS
( m » m _ ) és az anizotrópiát okozó mágneses tér a jelhez képest állandó, azaz +
3B
dv - ^ 7 = ?( + X B ) , E
7
/'
valamint a nem-perturbált eset levezetésének részeredményeit. Ezek alapján keressük a megoldást a (76)
V
0
operátorcserével, vagyis a v* = vfie1 ° hipotézissel tudva, hogy v* ugyanúgy nem állandó, mint (1 + / ) E . Ez az út járható, ha teljesül a m
E = E ei ° és csak stacioner megoldást keresünk. Ezért: v—Vfyel""*, dv/dí = /tu v w
dE*
8E
0
akkor a mozgásegyenlet, amit csak az elektronokra kell felírnunk ezen egyszerűbb közelítésben m
Vegyük figyelembe, hogy
í
0
0
0
feltételezéssel élünk. ( I t t is érvényes az 5.2b pont zárómegjegyzése.) Legyen továbbá:
(1 +/)E eW 0
6
(77)
egyenlet
- - ^ • B X v = cö Xv = í3 v. 0
í
^ = ^(/"íl-fl r (H-/)Eo 1
B
f l
(ico l — Í 2 „ ) v = — E n
mellett. Innen:
és
m
of
T*Az irodalomban leghasználatosabb [2—8]B (0,0, B ) koordinátarendszer-választással éljünk. Ekkor 0
jco
-co
Q
0
0
0
jco
m 0
Elvégezve (73) kifejtését és figyelembe véve az előző ek alapján, hogy 8D
-
e —=J
0
0
0
0
0
0
0
E,
0
(74)
col
<1 N 1
cop
em 0
n
81*-* +(/ft)*l-í2 )I*- =l. dt 1
(80)
Hiszen e vizsgálatok elvégzésével alapfeltételei kö zött szerepelt az /<scl, f«co is. Állítás: Az anizotrop (homogén) plazma addig te kinthető lineárisan diszperzív közegnek, amíg a 81*-^0 8í
CÚQ
én = l - a ; co
megoldása-e az eredeti (75) egyenletünknek. Behe lyettesítés és kifejtés után
2
2
2
(79)
0
m
0
ahol a tett feltevések mellett:
_ a ft
Ezeket felhasználva ellenőrizhető, hogy a
_1
0
0
(78)
col-cof
(78)-ból látható, hogy I* -ben csak co* az időfüggő és (71) alapján a korábban tett feltevésekkel össz hangban 8w*/8ís0.
adódik, hogy: J +/ft) e E = /<M £ eE=/w e
0
0
B
8lE +/co e E = e dt 0
0
0
=
jco
0
icoZ(col-cof)
0
b
-cof
b
v* _9 T*-i(i +/)g e''V
0
b
co
b
0
-ja>$co
tco
mcú
n
(81a).
feltevéssel a (80) egyenletben élhetünk. Ez a linearitás feltétele! _ Ekkor viszont (80) az I * I * = 1 azonossággá válik, s így (79) megoldása (75)-nek. Tehát I * formailag azonos a (74)-ben megadott i-nal, csak az to ^co* =co (l +f'/jco ) cserét kell alkalmazni. ?=i(ffl ->wj) (816) _ 1
Látható, hogy e = e(co ), a közeg anizotrop és diszperzív. — A perturbált permittivitás: A fentiekkel teljesen analóg utat járjunk végig az E * = ( l +f)E eJ""' gerjesztés esetén. A megoldandó egyenlet ekkor: 0
í
0
=1E*.
(75)
0
0
0
0
cl) Megjegyzés: Jelen pontban az ~S* meghatározá sán kívül sikerült objektív kritériumot adni, hogy a jel időbeli változásait leíró paraméterektől függő közegjellemzők mennyiben és milyen határokon belül tekinthetők lineárisnak.
83
HÍRADÁSTECHNIKA X X V I I I . ÉVF. 3. SZ.
— Általában is izotróp elemi úton belátható innen, hogy K és grad / || vektorok. — Izotróp, ionizált gáz esetén (68)-at használjuk fel a kifejtésnél. Ekkor:
5.3. A csoportsebesség diszperzív esetekben
Az 5.2. pontban meghatározott közegjellemzők felhasználásával nézzük meg e gyakorlatilag is fontos esetekben a monokromatikus, egy módusú jelben a D alakulását. A kapott eredmények bármilyen irány K ,K]_2: ban — más homogén közeg, inhomogén közeg, disz /') CüJ c* perzív távvezeték stb. — könnyen általánosíthatók. LUo (-/') ( Az 5.2. pontban olyan eseteket szemeltünk k i Innen példaként, ahol x = v = 0 és 7* = 1» azaz %* = v*=0 K (df/dx) ésji*=l egyidejűleg. Innen kiindulva (64) egyenle co (-8//8Í) c tünk új alakja, (65a)-t is felhasználva: azaz Kf7 +(7K - 2kl 1- i* - jkfö* - 1 ) E = 0. (82) v =cfe F
E = 0.
(85)
2
0
Figyelembe véve, hogy k\ = a>\lc , értelemszerű rö vidítésekkelélve és tudva, hogy K = /c X megenge dett és célszerű átírás [1, 5], legyen. l
0
— Kihasználva a K || grad / tényt, kaphatunk (82)-ből a két gáztípusra közös kifejezést is. Ekkor már a levezetés során felhasználjuk a %
Innen (82), ha
=
l/v/=M
és
A = 2(-/')!*-/« (!*-i)
=
:
Vv
g
(86)
e* - c. ~ T~2
0
. co
0
akkor a
5
(83) egyenlet határozza meg a csoportsebességet a minket érdeklő esetekben, ahol E a Maxwell-egyenletek is mert monokromatikus (síkhullám) alapmegoldása. a) Semleges és izotróp, ionizált gáz összehasonlí tása: E példában a (67) és (68) összefüggéseket használ juk fel (83) további kifejtésénél. A közeg izotróp volta miatt felvehetünk az általánosság megszorítása nélkül K = Ki
és
0
Mivel monokromatikus jelet vizsgálunk és /' igen kicsiny, ha szükséges, figyelembe vesszük az /'/<w
Izotróp plazmában innen — (68) — v = cfe. g
Vákuumban ellenőrzésként: g
0
y
z
[í* * + * Í ) 2 4 I ] E = 0. LWo ( - / ) ( - / ) o>/ -I +
Állítás: Eddigi eredményeink alapján látható, hogy a különféle közegek összehasonlító elemzése e módszer segítségével igen jól és áttekinthetően végezhető el. b) Semleges gáz részletes vizsgálata: A (70) és (72) összefüggések mutatták, hogy az izotrópia megmaradt. Ezért ez esetben is vizsgáljunk x-irányú terjedést, ahol:
c
3C
0
2
Innen adódik, hogy
= J£ = E =Ü 3
1
es =0
ami triviálisan teljesül. Az E ?±0, pedig a K (8//3x) _ e co (-3//3Q c y
2
E^O
miatt (84)
0
azaz (84a) helyes eredmény.
]
v = c.
K = k Y~é=a> ^
x-irányban terjedő jelet. Tudjuk, hogy E(0, E ,E ) a megoldás alakja. — Semleges gáz esetén emellett (67) teljesül. Innen (83), célszerűen átalakítva:
84
G K-f)
jelöléseket. így a feltételi egyenlet (82)-ből,
•
£
(85a)
(83) alakja ekkor, ha e* — e = e* jelölést is használunk :
'o Te
Í7
G=
2
.(J
3
r? ' 8
2
~2G=! o 0 -2Í?!.
1 + -[2(-/')i*-/co e*]
+
0
0
Vegyük az általános, azaz col^a/m
=0.
(87)
és COQÍ a/m
DR. FERENCZ CS.: ELEKTROMÁGNESES HULLÁMTERJEDÉS
közé eső „átmeneti" szakaszra vonatkozó e és e* értéket. Ekkor A meghatározható:
(90) diszkussziójához vezessük be az qW
e
A.=I[2(-/V-W*]. Ezen túlmenően a (70) szerint s=í+e kifejezés szakadási helyének elkerülése érdekében tegyük fel, hogy co és et>* egyaránt elég távol van a rezonancia helytől, így még jogos (70) használata, elhanyagolha tók a belső súrlódási stb. veszteségek. (Ez esetünk ben nem elvi megszorítás, egyszerűen számítási kényelem.) Ekkor pedig az A kifejtésénél fellépő
és
cof>=-
m
jelöléseket. Tudjuk továbbá, hogy VJ=C[\[E. — Ha igen távol vagyunk a rezonanciától, akkor: co\
és
0
=
1 +
col
(91a)
(On
ÍO% (O^ +
COj)
e
2/
— Ha távol vagyunk még a rezonanciától, de a nevező második tagja már nem hanyagolható el, ami az co /to viszonytól is függ, akkor
p
D
p
mco%
mivel másodrendűen kicsinynek tekinthető 1 mellett, így (70) és (72) alapján: e
e
*--2/»/-
f
(916)
co„
l+^>
—
col ca% + co%
— Végül, a feltételeink megengedte mértékben közeledve a rezonancia felé:
-COÍ,
m
1
v„ = v
íe+e*.
(91c)
co%
1+-
col-cof,
Innen:
coj +
coí-coi
c) Anizotrop plazma analízise: e
2 ( - / > +2jco f - ^ - i - (M> +2/') c — col
c
0
m
Mivel korábban B (0, 0, 5 )-hoz illeszkedő koor dináta rendszert választottunk, az általánosság meg szorítása nélkül választhatunk: 0
A kapott értékét felhasználva (87) kifejthető:
0
0 -K K 0 L 0 K
e
0
3
A
s
A ü Ve
0
<7s
fa
= 0,
[0
-2(7
X
:Ve"
x
(88)
megoldást. Ekkor (83) a
-2r7i + [
(88)-ból elemi úton adódik, hogy: azaz
2 I
*-'(Z7)( *-^]} 1
i. iL-L) 2
g
e-1 Ve _£ m
/'ft)
0
col
(90)
(M>+2/')
(93)
jco
0
l
]co
0
l
—
p-J
(93) felhasználásával belátható, hogy '
Fontos: (90)-ből megállapíthatjuk, hogy már a leg egyszerűbb közegekben is a v ^Vf általában, s a leg váratlanabb jelenségekre számíthatunk a terjedés nél! g
=
(89)
-2(7^=0.
(89) tv-re kifejthető és a tett felvételek mellett v = c
(92)
Mindenekelőtt az e* egyes komponenseinek elem zését végezzük el, s a megtehető elhanyagolások u t á n :
r?||K.
Továbbá: cfe
1 = 0
e* — g = e* =
el
-/£ 0
/<£ p* ±
e
0 ' 0 ~/\
(94)
0
Innen az A„ megadható:
85
HÍRADÁSTECHNIKA X X V I I I . ÉVF. 3. SZ.
(
2
A.=(-2f)
•
2
\
B
r,
2
/5
2
\ o
(95)
--(~2f')á , e
0 Ha a plazma izotróp (£? =0), akkor A = ( —2/')l. Ebben az esetben rövid úton belátható, hogy visszajutunk a (85) és (85a) eredményekhez. 0
2
eiz
Esetünkben tehát a csoportsebességet megadó egyenlet:
(96)
=0.
(-/')
[EJ
Innen az anizotrop plazmában ismert [6—8] valamely E megoldást kivéve a (hozzátartozó K (K , 0, JQ-mal, azt (96)-ba visszahelyettesítve, felírhatok és diszkutálhatók a komponens egyenletek. Ezek alapján adódik a konkrét terjedési irányra vonatkozó f?7(—/') „energiaterjedési tényező" és v = | —j'\lQ~ is. Ezek az eredmények alapvetően fontosakká válnak például a whistlerek terjedési útja elemzésében és számos más űrkutatási, csillagászati és mérnöki vizs gálatban ! x
analógiával az amplitúdó-perturbációra vissza. Azzal azonos módon terjed.
vezethető
6.2. Polarizáció-perturbáció Ebben az esetben a perturbált tényező az
g
5.4. Összegezve
(FQÍÍ
+5,)=F (e 0(7
+fifidi)-
0l7
Legyen e =T e , á(
ai
azaz
0i(
Tehát
A diszperzív esetekben is sikeresen alkalmaztuk a v meghátározására javasolt eljárást és bemutattuk az eljárás gyakorlati alkalmazását is egyidejűleg új eredményeket nyerve.
(98) i,l
g
(98) értékeléséhez diszkutáljuk az F = ( 1 + / T ) F egymódusú megoldását. Az F -val végzendő műve letek a Maxwell-egyenletekbe való behelyettesítés után rot, div és 8/8f. Megvizsgálhatók ezek Fj-re és / T ^ - r e egyaránt. A részletszámítások elvégzése után belátható, hogy az egyenletek két független részre esnek szét, s innen Í
Í
1
a
6. Az egyéb perturbációk terjedése A 4. pont bevezetőjében felvázoltuk, hogy stacio ner megoldásunkat (a +ő,); i7
.(
< b
/
és
(F +a,)
módon lehet perturbálni. A 3. pont alapján indokol tuk, miért az (a +ő,) perturbációval vizsgáljuk v -t. Most röviden vizsgáljuk meg a többi perturbáció viselkedését is. Ez különösen a különféle modulációs eljárások terjedése szempontjából érdekes! Alapkifejezésünk a (43) egyenlet. Ezzel összevetve vizsgáljuk a többi elemi „moduláció" viselkedését. i7
(99)
T J , = K
0l7
az ugyanazon a
g
6.1. Fázis-perturbáció Ebben az esetben a perturbált tényező az
hm
F =F /F . a
6.3. Frekvencia-perturbáció Ebben az esetben a perturbált tényező az e
/K+áO'^(l+/a .f)e/H i
(100)
a szokott módon átírva. (100)-át csak akkor lehet az .eddigi eredmények felhasználásával kezelni, ha a ő,<s:co mellett a
Tehát a fázis-moduláció (perturbáció) az
86
2
Tehát polarizáció-moduláció esetén a perturbáció új módust hoz be, s az alapjel és az új összetevő cso portsebessége nem szükségképpen azonos. Polarizáció-moduláció esetén ezért járulékos ter jedési hatások (zavarok) felléptével kell számolni.
tekintve, hogy — <scl. Innen: <Pa
/,-(-/«/)
1 +
0
(97)
ő,/«l
(101)
DR. FERENCZ CS.: ELEKTROMÁGNESES HULLÁMTERJEDÉS
is teljesül. (101) teljesülése esetén eddigi eredménye ink átvehetők. Általában azonban i miatt (101) nem teljesül. Tehát a frekvencia-moduláció alapvetően eltér az eddigi esetektől. Terjedése külön elemzendő nem mo nokromatikusként kezelve a jelet.
Ügy tűnik, hogy energetikai szempontból a frek vencia az elektromágneses jel meg nem zavarható sajátja! (E vizsgálatok ezen irányban is tovább vihetők.)
Kiegészítés: Kíséreljük meg csak a szigorúan és gyorsan 0-hoz tartó perturbációkat kiválasztva szigorúan mono kromatikus esetben külön megszorításokkal előző eredményeink esetleges érvényességi körét megke resni. Az előzőeket szem előtt tartva azt mondhatjuk, hogy ha eredményeink külön megszorításokkal al kalmazhatók, akkor — esetleg másodrendűen k i csiny o, mellett — értelmezni tudjuk a
Általánosságban az az eredmény adódott, hogy az amplitúdó és a fázismoduláció ugyanazon módus modulációját jelenti, a polarizáció és a frekvencia moduláció egy, illetve sok (esetleg °° sok) új módus jelentkezésével jár. A fázismoduláció terjedési szempontból az ampli túdó-moduláció párja és nem a frekvencia-modulációé I Ez a hírközlési gyakorlat számára fontos elvi ered mény.
<7) — jtA tenzort,
7. Összefoglalás, következmények
ahol
7.1.
zí->-gradő x . . .-hoz tartozik. Nem-diszperzív esetben ekkor érvényesnek kell lenni például a K
6.4.
(103)
Megállapítottuk, hogy a csoportsebesség szokásos leírása monokromatikus esetben nem igazán jó és célszerű. Megállapítottuk, hogy a csoportsebesség szokásos leírása nem a Maxwell-egyenleteken keresztül adja meg Vg-t, hanem a felvett megoldási alakhoz köti azt. Ügy találtuk, hogy e szokásos leírás nem alkalmas széles körű összehasonlító elemzésre, továbbá nem tekinthető teljesnek.
mivel
7.2.
Igrad d\ |-ő'|
(102)
összefüggésnek. Azonban esetünkben co ~(-d')' 0
ahol ( - d ' ) = ( - / f ) ( ő ' + 8 / f ) . (103)-ból „
0
Innen
pedig,
|grad ő| |-ő'-ő/r
(104)
adódik, (102) teljesüléséhez a ő«ö't
(105)
járulékos feltételnek kell teljesülni. Tehát érvényesek korábbi eredményeink, egyidejűleg teljesül a
ha
<3<scco
n
<5/
(106)
d«ö't feltétel. Azonban ő perturbáció, a hely és idő függvénye, amint • azt korábban beláttuk. Perturbáció volta miatt d kiindulási (ő ) értéke biztosan 0 és igen kicsiny, térben és időben lassan változó volta miatt általában közelíthetjük sorfejtéssel, például: ö
ő(f)F~Ő r-főíí~őp/ 0
(107)
alakban. (105) és (107) egyszerre nem teljesülhet. Fontos: Részletes vizsgálattal talán találhatnánk olyan ő(r, t) perturbációosztályt, amelyre a korábbi ered mények frekvencia-moduláció esetén is érvényesek. Általában azonban a frekvencia-perturbáció a többi től alapvetően eltérő módon viselkedik.
Megvizsgáltuk az átlagenergia értelmezhetőségé nek a kérdését térben, illetve közegben terjedő elektro mágneses hullám esetén, ha a jel az inhomogén alap módusok módszere segítségével leírható és egyéb tett feltevéseink teljesülnek. Ekkor: A jel esetleges perturbációja esetén a'perturbáció nagyságát és sebességét korlátozó feltételeket kap tunk. Módszert adtunk az eredő, illetve az egymódusú tér vizsgálatára. Röviden átgondoltuk milyen kiegé szítő eredményekkel járna az inhomogén alapmódusokra bontott leírás analízise — megmutatva az utat a „terjedő alapmódusok" megkereséséhez. Az átlagenergia meghatározásánál az átlagolás felületére és időtartamára alsó és felső korlátokat ta láltunk. Igazoltuk, hogy az átlagenergia csak várható érték ként, valamekkora szórással együtt, értelmezhető már „klasszikus" esetben is! Ügy találtuk, hogy az átlagérték értelmezhetősége és a szórása a felvett mérőfelülettől és mérésidő-tartamtól függ. Ennek fontos elvi és méréstechnikai következményei van nak. Tovább fejlesztendő e vizsgálat a teljesen sta tisztikus leírás alkalmazásáig. Igazoltuk, hogy az átlagenergia értéke nem függ a térbeli és időbeli integrálás sorrendjétől. Igazoltuk, hogy értelmezhető átlagenergia, illetve átlagos energiasűrűség a mérési időtől, illetve felü lettől függetlenül, azaz egyértelműen. Igazoltuk, hogy ekkor az átlagenergiát egyértel műen az általános (teljes — F ) jelamplitúdó határoz za meg. 0
87
HÍRADÁSTECHNIKA X X V I I I . ÉVF. 3. SZ.
Utat találtunk az energiaingadozás, „bőrözés" (meddő energia) tanulmányozására bonyolultabb esetekben is. Igazoltuk, hogy ez esetben definiálhatunk komplex Poynting-vektort, komplex átlagenergiát stb., ami nek a valós része a tényleges átlagenergia.
Igazoltuk, hogy a módszer mind összehasonlító elemzésre, mind valamely kívánatos v érték keresé sére jól alkalmazható. Részletesen analizáltuk pontosabban leírt, izotróp, semleges gázban a v és v kapcsolatát. Megadtuk a v ^íVj teljesülése feltételeit, még más esetekben az elterés jellegét. Igazoltuk, hogy általában is v |jv ,
7.3.
dev 7£Vj.
g
g
f
g
g
g
Vizsgáltuk a csoportsebességet szigorúan lineáris közegekben: Módszert adtunk v meghatározására a Maxwellegyenletekből a tett feltevések melletti általános esetben. (A csoportsebességre kapott eredményeket különös gondossággal és körültekintéssel kell át vinni olyan esetekre, amikor a fázis terjedési vektora és értelemszerűen a perturbáció terjedési vektora is komplex, azaz nem tisztán terjedést jellemez [18]). Módszert adtunk v meghatározására homogén esetben is, több módusú jelekre is. Speciális esetként megadtuk a homogén, egymódusú és homogén, egymástól függetlenül terjedő módusokból álló jelekre, hogy monokromatikus sík hullámban, még bianizotróp esetben is v =Vj és
f
v
Részletesen vizsgáltuk v meghatározását anizotrop plazmában. Megadtuk a meghatározás módját és fontosabb alkalmazási területeit. g
g
t
g
Röviden összehasonlítva a mozgó, homogén köze gekre vonatkozó vizsgálatokat igazoltuk, hogy: — a fázissebesség nem einsteni módon való transz formációja által képviselt diszkrepancia igen fontos és elvi jelentőségű, — a diszkrepancia feloldásának egyedüli lehetséges útja valamilyen geometriai jellegű vizsgálat. 7.4.
Vizsgáltuk a csoportsebességet diszperzív köze gekben. Megadtuk v Maxwell-egyenletekből való megha tározása általános módszerét. Homogén esetben a ter jedési vektorort (K = grad cp) meghatározó diszper ziós egyenlethez hasonló egyenlettel tudtuk leírni a csoportsebességet meghatározó energiaterjedési tényezőt. Igazoltuk, hogy ezen egyénletek nem diszperzív esetekben a 7.3. vizsgálatok eredményeit adják vissza. Meghatároztuk a perturbált közegjellemzőket: — semleges gáz és izotróp plazma esetén egyszerű közelítéssel, — semleges gázban pontosabb közelítéssel, — anizotrop plazmában. Ezzel egyben megmutattuk a perturbált közeg jellemzők meghatározásának általános módszerét. Megadtuk annak a pontos feltételeit* hogy a disz perzív közeg milyen esetekben tekinthető még lineá risnak. Megadtuk a v -t meghatározó általános egyenletet homogén, diszperzív esetben, ha x=v = 0 és Jl=l, továbbá a permittivitás valamilyen izotróp vagy ani zotrop közegjellemző. Összehasonlító elemzést végeztünk égyszerű, sem leges gáz és izotróp plazma esetében. Bemutattuk, hogyan megy át v = c/Y~s megoldás a v = cf~e meg oldásba, miközben v =c/Ye változatlanul. g
g
g
g
f
88
7.5.
Megvizsgáltuk a fázis-, polarizáció- és frekvenciaperturbáció jellegét az amplitúdó-perturbációval összevetve. Megadtuk, mely esetben várhatók nagyobb vagy a monokromatikusétól eltérő terjedési zavarok. Javaslatot tettünk az általános híradás technikai, mérnöki alkalmazásra. * Ez úton is köszönetet mondok dr. Kárólyházi Frigyes professzornak észrevételeiért és tanácsaiért. IRODALOM [1] Ferencz Cs.: Elektromágneses hullámterjedés Inhomogén közegben: Az inhomogén alapmódusok módszere. Hír adástechnika, X X V I I I . , 50, 1977. [2] K. Simonyi: Theoretische Elektrotechnik. "VEB Deutsches "Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1968. [3] J.E. Tamm: Osznovi Teorii Elektricsesztva. Izd. „Nauka" Moszkva, 1966. [4] J. J. Brandstatter: An Introduction to Waves, Rays and Radiation in Plasma Media. McGraw-Hill Book Go., New-York, 1963. [5] Ferencz Cs.: Elektromágneses hullámterjedés inhomogén közegekben: Gyenge és erős inhomogenitások. Híradás technika, X X V I I I . , 19, 1977. [6] K. G. Budden: Radio Waves in the Ionosphere. Cambridge at the Univ. Press; 1966. [7] W. P. Allis, S. J. Buchsbaam and A. Bers: Waves in Anisotropic Plasmas. M. I. T. Press, Cambridge, Mass, 1963. [8] Ferencz Cs.: Elektromágneses hullámterjedés inhomogén, lineáris közegekben. Kandidátusi értekezés, MTA Könyv tár, Budapest 1970. [9] Novobátzky K.: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1951. [10] G. Marx: Das Elektromagnetische Feld in bewegten, anisotropen Medien. Acta Phys. Hung., "III., 75. 1953. [11] J . L. Synge: Relativity, the Special Theory. NorthHolland Publ. Co.; Amsterdam, 1965. [12] M. v. Laue: Die Relativitatstheorie, I . Fr. \ieweg & Sohn, Braunschweig, 1955. [13] H. Ott: Zum Energie-Impulstensor der Maxwell-Minkowskischen Elektrodynamik. Annalen der Phys. (6), 11, 33, 1952. [14] F. Beck: Die Allgemeingültigkeit der Tragheitsgesetzes der Energie in der Planksclien Fassung. Zeitschrift für Phys, 134, 136, 1953. [15] I. V. Lindell: On the Definiteness of the Gonstitutive Parameters of a Moving Anisotropic Médium. Proc. I E E E ; 60, 638, 1972. [16] J . A. Kong and D. K. Cheng: Modiíied Reciprocity Theorem for Bianisotropic Media. Proc. I E E E , 117, 349, 1970. [17] D. Censor: First-Order Propagation in Moving Media. I E E E Trans. on Micr. Theory and Techn.; MTT—16, 565, 1968. [18] F . Árkos I.: Az inhomogén távvezetéken terjedő mono kromatikus jel általános vizsgálata. Publikálás alatt.
