Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye Feszültség előállítása indukcióval Homogén mágneses térben forgó vezetőben és menetben indukálódó feszültség. Az órán elhangzottak szerint. Időben szinusz függvény szerint változó feszültség előállítása Frekvencia, körfrekvencia, periódusidő. A frekvencia és a generátor fordulatszámának kapcsolata. A pólusszám szerepe. Az órán elhangzottak szerint. Szinusz függvény szerint változó mennyiségek fázisviszonyai Fázishelyzet, referencia választás, szokásos fázisszög értelmezés. A váltakozó áramú mennyiségek jellemzői, kezdeti fázisszög, effektív- és csúcsérték. Az órán elhangzottak szerint. Előjelek konvenciók Általában az ún. fogyasztói pozitív irányokat használják, ezek szerint: - a ϕ fázisszög az áram helyzete a feszültség szinusz hullám szöghelyzetéhez képest, - a fogyasztott P hatásos teljesítmény a pozitív és a termelt a negatív, - az induktív fogyasztó Q meddő teljesítménye pozitív, a kapacitívé negatív. 1. Ohmos ellenállás Váltakozó feszültségre kapcsolt ellenállás feszültségesése minden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel. i(t)
u(t)
∼
R
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt R ellenállás áramköri vázlata u(t)-i(t)R=0 ⇒ u(t)=i(t)R Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: u(t ) U m U i(t ) = = sin ω t = I m sin ω t , itt I m = m . R R R Ohmos ellenálláson az áram fázisban van a feszültséggel, ϕi=ϕu, így ϕ=0. U U Az áram és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff = eff , vagy I = . R R A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m sin ω t ⋅ I m sin ω t = U m I m sin 2 ω t = U I U I cos 2ω t U m I m = m m− m m = (1 − cos 2ω t ) . 2
2
2
1
p(t) u(t) i (t ) wt
Az ellenállás feszültségének, áramának és teljesítményének időfüggvénye A teljesítmény egy középérték körül kétszeres frekvenciájú koszinusz függvény szerint leng, lüktet. Előjele mindig pozitív, tehát az energiaáramlás iránya minden pillanatban azonos. U m Im U2 A teljesítmény középértéke: P = = U eff I eff = UI = = I2R . R 2 Az ellenállás teljesítménye hatásos teljesítmény, mértékegysége [P]=W watt.
2. Induktivitás Ideális (ellenállás mentes) induktivitásra (tekercsre) kapcsolt váltakozó feszültség hatására folyó áram váltakozó mágneses teret hoz létre. A váltakozó mágneses tér az induktivitáson önindukciós feszültséget indukál. Ez a feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel. i (t )
u(t)
∼
L
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt L induktivitás áramköri vázlata di(t ) di(t ) = 0 ⇒ u(t ) = L . dt dt Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: U U π U i( t ) = m ∫ sin ω tdt = − m cos ω t = − I m cos ω t = I m sin ω t − , itt I m = m . 2 L Lω Lω u(t ) − L
Az áram 90°-os fáziskéséssel követi a feszültséget ϕ i = ϕ = −
π
2
.
Az áram és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff =
2
U eff Lω
, vagy I =
U . Lω
XL
f
Az induktív reaktancia frekvencia-függése
ωL=XL - az induktív ellenállás (induktív reaktancia), mértékegysége [XL]=Ω ohm. Az induktív reaktancia XL =ωL=2πfL arányos a frekvenciával és az induktivitással. A tekercsben indukálódó feszültséget az induktív ellenálláson eső feszültség helyettesíti.
u(t) i (t )
p(t)
wt
Az induktivitás feszültségének, áramának és teljesítményének időfüggvénye
A teljesítmény pillanatértéke:
sin 2ω t 2 kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változik. A tekercsben negyed periódus alatt (pozitív szakasz) felhalmozódó energia a következő negyed periódus alatt (negatív szakasz) visszaáramlik a tápforrásba. A tekercsben energia nem használódik fel, munkát nem végez, ezért meddő teljesítménynek nevezik és a maximális (csúcs) értékével jellemzik. Az ún. fogyasztói pozitív irányok mellett az induktív meddő teljesítmény pozitív előjelű: U I U2 QL = m m = U eff I eff = UI = = I 2 X L , mértékegysége [Q]=VAr voltamper reaktív. 2 XL A meddő teljesítmény fenti értelmezése csak szinuszos táplálás esetén igaz. Nemszinuszos vagy többhullámú táplálásnál járulékos veszteségek jelennek meg, ezeket gyakran a meddővel összevonják, pl. impulzus-szerű táplálásnál. p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = −U m sin ω t ⋅ I m cos ω t = −U m I m
3
3. Kapacitás Egy kondenzátorban tárolt töltés minden pillanatban arányos a fegyverzetei közötti feszültséggel: q(t)=Cu(t). Ha a feszültség változik, változik a tárolt töltés és a töltés változásának megfelelő áram folyik az elektródokhoz (vezetési áram), illetve a dielektrikumon át (eltolási áram) dq(t ) du(t ) i(t ) = =C . dt dt i (t )
u(t)
∼
C
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt C kapacitás áramköri vázlata
Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: du(t ) d sin ω t π π i(t ) = C = CU m = Cω U m cos ω t = Cω U m sin ω t + = I m sin ω t + , 2 2 dt dt U U itt I m = Cω U m = m = m . 1 XC ωC Az áram 90°-kal siet a feszültséghez képest ϕ i = ϕ =
π
. 2 Az áram és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff=CωUeff=XCUeff, vagy I=XCU. XC
f
A kapacitív reaktancia frekvencia-függése
1 = X C a kapacitív ellenállás (kapacitív reaktancia), mértékegysége [XC]=Ω ohm. ωC 1 1 = fordítottan arányos a frekvenciával és a kapaciA kapacitív reaktancia X C = ω C 2π f C tással. A teljesítmény pillanatértéke: sin 2ω t p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m sin ω t ⋅ I m cos ω t = U m I m 2 4
kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változik.
u(t)
p(t)
i (t )
wt
A kapacitás feszültségének, áramának és teljesítményének időfüggvénye
A kondenzátorban az áram által szállított töltések építik fel a villamos teret. A negyed periódus alatt (pozitív szakasz) felépülő villamos tér a következő negyed periódus alatt lebomlik (negatív szakasz). A kondenzátorban energia nem használódik fel, munkát nem végez, ezért meddő teljesítménynek nevezik és a maximális (csúcs) értékével jellemzik. Az ún. fogyasztói pozitív irányok mellett a kapacitív meddő teljesítmény negatív előjelű: U I U2 QC = − m m = −U eff I eff = −UI = = −I 2 XC . 2 XC 4. Soros R-L kör A sorosan kapcsolt ellenállás feszültségesése és az induktivitás önindukciós feszültsége minden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: di(t ) di(t ) u(t ) − uR (t ) − ul (t ) = u(t ) − i(t ) R − L = 0 ⇒ u(t ) = i(t ) R + L . dt dt i (t )
R
u(t)
XL
∼
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros R-L kör vázlata
A soros áramkör elemein azonos az áram, ha szinusz függvény szerint változik, i(t)=Imsinωt, ϕi=0, akkor az előző egyenletből: u(t)= ImRsinωt+ImωLcosωt=Im(Rsinωt+ωLcosωt)=ImZsin(ωt+ϕu)=Umsin(ωt+ϕu) itt Um=ImZ és Rsinωt+ωLcosωt=Rsinωt+XLcosωt= Zsin(ωt+ϕu), ωt=0 esetén XL= Zsinϕu, ωt=π/2 esetén R= Zsin(π/2+ϕu)= Zcosϕu.
5
XL X = tgϕ u , ϕ u = arctg L (ϕu mindig pozitív), R R 2 2 2 a két egyenlet négyzetének összegéből: R +XL = Z .
Az utóbbi két egyenlet hányadosából:
Z=
R 2 + X L2 az áramkör látszólagos ellenállása, impedanciája, [Z]=Ω ohm.
Z=
R2 + X L2 XL=ωL
ϕ R Az R ellenállás, az XL impedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az ohmos-induktív áramkörben az u(t) feszültség ϕu szöggel siet az i(t) áramhoz képest. Mivel ϕi=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕi-ϕu=-ϕu, az áram késik a feszültX séghez képest, ϕ = −arctg L . R U U U Amennyiben u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor i(t ) = m sin(ω t − ϕ ) , Z = m = . Z Im I
u(t) uR(t)
uL(t)
i (t )
wt
Soros R-L kör áramának és feszültségeinek időfüggvénye A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = I m ( R sin ω t + X L cos ω t ) I m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = I m2 R sin 2 ω t + I m2 X L cos ω t ⋅ sin ω t = I m2 R + I m2 X L . 2 2
6
p(t) pR(t)
wt pL(t)
i (t )
Soros R-L kör áramának és teljesítményeinek időfüggvénye A teljesítmény középértékének különböző alakjai: I m2 R R R P= = I eff2 R = I 2 R = UI = UI = UI cos ϕ , 2 Z 2 R + X L2 a meddő teljesítmény: I2 X X Q = m L = I eff2 X L = I 2 X L = UI L = UI Z 2
XL
= UI sin ϕ . R 2 + X L2 A munkát (pl. hőfejlesztést, mechanikai elmozdulást) végző hatásos teljesítmény kisebb, mint az egyenáramú körben számított UI szorzat. Ezt a szorzatot látszólagos teljesítménynek nevezik: S=UeffIeff=UI, [S]=VA voltamper. A hatásos, a meddő és a látszólagos teljesítmény közötti összefüggés az eddigiek alapján: P=Scosϕ, Q=Ssinϕ, illetve P2+Q2=S2.
S Q
ϕu P A P hatásos, a Q meddő és az S látszólagos teljesítmény összefüggésének illusztrálása A villamos és az elektromechanikai eszközök, berendezések (pl. villamos forgógépek) helyettesítő áramköreiben a hatásos teljesítményt (mechanikai teljesítmény, súrlódási veszteség, vasveszteség stb.) egyenértékű ohmos veszteségi teljesítménnyel képezik, megfelelő nagyságú ellenállás beiktatásával. A fogyasztott hatásos teljesítmény a hővé vagy más fajta energiává alakuló teljesítmény középértéke, ami a tápforrásba nem tér vissza.
5. Soros R-C kör A soros R-L körhöz hasonlóan számítható.
7
Az ellenállás feszültségesése és a kondenzátoron az áram (töltésváltozás) okozta feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: 1 1 u(t ) − uR (t ) − uc (t ) = u(t ) − i(t ) R − ∫ idt = 0 ⇒ u(t ) = i(t ) R + ∫ idt . C C
i (t )
R
u(t)
XC
∼
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros R-C kör vázlata Ha az áram szinusz függvény szerint változik, i(t)=Imsinωt, ϕi=0, akkor az előző egyenletből: I u(t ) = I m R sin ω t − m cos ω t = I m Z sin(ω t + ϕ u ) = U m sin(ω t + ϕ u ) . ωC itt Um=ImZ és I R sin ω t − m cos ω t = R sin ω t − X C cos ω t = Z sin(ω t + ϕ u ) ωC ωt=0 esetén -XC= Zsinϕu, ωt=π/2 esetén R= Zsin(π/2+ϕu)= Zcosϕu. X Az utóbbi két egyenlet hányadosából: − C = tgϕ u , vagy másképpen: R X − XC ϕ u = arctg = − arctg C (ϕu mindig negatív), a két egyenlet négyzetének összegéből: R R 2 2 2 R +XC = Z . A fázisszög számításánál az XC kapacitív reaktancia előjele negatív.
Z=
R 2 + X C2 az áramkör látszólagos ellenállása, impedanciája. R
ϕu XC=ωL Z=
R 2 + X C2
Az R ellenállás, az XC impedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az ohmos-kapacitív áramkörben az u(t) feszültség ϕu szöggel késik az i(t) áramhoz képest. Mivel ϕi=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕi-ϕu=-ϕu, az áram siet a feszültX séghez képest, ϕ = arctg C . R U U U Amennyiben u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor i(t ) = m sin(ω t + ϕ ) , Z = m = . Z Im I
8
u(t)
uC(t)
uR(t) i (t )
wt
Soros R-C kör áramának és feszültségeinek időfüggvénye A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = I m ( R sin ω t − X C cos ω t ) I m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = I m2 R sin 2 ω t − I m2 X C cos ω t ⋅ sin ω t = I m2 R − I m2 X C . 2 2 Az ellenállás teljesítményének középértéke a soros R-L körhöz hasonlóan: I2R R R P = m = I eff2 R = I 2 R = UI = UI = UI cos ϕ , Z 2 R 2 + X L2 a meddő teljesítmény különböző alakjai: I2 X X Q = − m C = − I eff2 X C = − I 2 X C = −UI C = −UI Z 2
XC R 2 + X L2
= −UI sin ϕ .
p(t) pR(t)
wt i (t )
pC(t)
Soros R-C kör áramának és teljesítményeinek időfüggvénye 6. Soros R-L-C kör A soros R-L és R-C körhöz hasonlóan számítható. Az ellenállás feszültségesése, az induktivitás önindukciós feszültsége és a kondenzátoron az áram (töltésváltozás) okozta feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel:
9
u( t ) − u R ( t ) − uL ( t ) − uC ( t ) = u( t ) − i( t ) R − L
u(t ) = i(t ) R + L
di(t ) 1 + ∫ idt . dt C R
u(t)
di( t ) 1 − ∫ idt = 0 , ebből dt C
i (t )
XC
XL
∼
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros R-L-C kör vázlata Ha az áram szinusz függvény szerint változik, i(t)=Imsinωt, ϕi=0, akkor az előző egyenletből: I I u(t ) = I m R sin ω t + I mω L cos ω t − m cos ω t = I m R sin ω t + ω L − m cos ω t ωC ω C = I m R sin ω t + ( X L − X C ) cos ω t = I m ( R sin ω t − X cos ω t ) =
[
]
=ImZsin(ωt+ϕu)=Umsin(ωt+ϕu), itt ϕu - az eredő feszültség fázishelyzete a áramhoz képest, 1 X =ω L− = X L − X C - az eredő reaktancia. ωC
Z=
R2 + X 2 X=XLXC
ϕu R Az R ellenállás, az X impedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása
Az előzőekhez hasonlóan az eredő impedancia: Z2=R2+X2, illetve Z =
R2 + X 2 , X − XC X X − XC X és a fázisszög tgϕ u = L = , vagy ϕ u = arctg L = arctg . R R R R Mivel ϕi=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕi-ϕu=-ϕu: i(t)=Imsin(ωt-ϕ). 1 ϕ < 0, ha X > 0, azaz ω L > - az eredő áram késik a feszültséghez képest (R-L jellegű), ωC 1 ϕ = 0, ha X = 0, azaz ω L = - az eredő áram fázisban van a feszültséggel (R jellegű), ωC 1 ϕ > 0, ha X < 0, azaz ω L < - az eredő áram siet a feszültséghez képest (R-C jellegű). ωC
10
uL(t) u(t)
uC(t) uR(t)
i (t )
wt
Soros R-L-C kör áramának és feszültségeinek időfüggvénye
A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = I m R sin ω t + ( X L − X C ) cos ω t I m sin ω t =
[
]
sin 2ω t 1 − cos 2ω t − I m2 X , részletezve: 2 2 1 − cos 2ω t az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = I m2 R , 2 sin 2ω t az induktivitás teljesítménye: p L (t ) = I m2 X L , 2 sin 2ω t a kapacitás teljesítménye: pC (t ) = − I m2 X C . 2 A pR(t) hatásos teljesítmény minden pillanatban pozitív, középértéke P=I2R. pL(t) és pC(t) kétszeres frekvenciával leng, középértéke zérus, az eredőjük a kettő összege: sin 2ω t q(t ) = p L (t ) + pC (t ) = I m2 ( X L − X C ) . 2 = I m2 R sin 2 ω t + I m2 X cos ω t ⋅ sin ω t = I m2 R
p(t) pR(t)
wt pC(t)
pL(t) i (t )
Soros R-L-C kör áramának és teljesítményeinek időfüggvénye
11
I m2 ( X L − XC ) = I 2( XL − XC ) = I 2 X . 2 A meddő teljesítmény egyik része az induktivitás és a kapacitás között leng, a másik részét az áramkör a táphálózatból veszi fel és oda juttatja vissza. Induktivitás és kapacitás egyidejű jelenléte esetén az induktivitás mágneses energiája (vagy annak egy része) átalakul a kapacitás elektrosztatikus energiájává (vagy annak egy részévé). Amennyiben az induktivitás és kapacitás energiájának maximuma megegyezik, ha az induktivitásban ugyanakkora energia halmozódik fel, mint a kapacitásban, akkor ez a két áramköri elem ellátja egymást energiával és az R-L-C áramkör a táphálózatból nem vesz fel meddő teljesítményt és nem is ad oda le. Ez a rezonancia jelensége. A rezonanciára méretezett áramkört rezgőkörnek nevezik. Soros áramkörben soros (vagy feszültség-) rezonanciáról és soros rezgőkörről beszélünk. 1 Jelen áramkörben a rezonancia feltétele: X L = ω L = = XC . ωC Így az eredő impedancia: Z=R (mivel XL-XC=0), az áram és a feszültség fázisban van, a tápforrásból nincs meddő teljesítmény felvétel. Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és fordítva. Az induktivitáson és a kapacitáson eső feszültség minden pillanatban megegyezik egymással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így rövidzárként viselkedik. A pillanatértékekre: uL(t)=i(t)XL=-i(t)XC=uC(t) ezért uL(t)+uC(t)=0, illetve pL(t)=i(t)uL(t)=-i(t)uC(t)=-pC(t), pL(t)+pC(t)=0. A rezonancia jellemzője a rezonancia frekvencia, aminek jelölése fr, f0 vagy fs, vagy a rezonancia körfrekvencia ωr, ω0 vagy ωs. Számításuk a reaktanciák egyezése alapján: 1 1 1 1 ω 0L = , amiből ω 20 = vagy ω 0 = és f 0 = . ω 0C LC 2π LC LC Az összefüggésekből láthatóan akár az induktivitás, akár a kapacitás növelésével a rezonancia frekvencia csökken, fordított feladatnál pedig minél alacsonyabb a szükséges rezonancia frekvencia, annál nagyobb induktivitás és kapacitás értékeket kell választani.
Az eredő meddő teljesítmény: Q =
XL
XC
f f0
A rezonancia frekvencia értelmezése 7. Párhuzamos R-L kör A feszültség mindkét elemen azonos, di (t ) u(t ) = iR (t ) R = L L , dt az áramok összeadódnak a csomóponti törvény szerint i(t)=iR(t)+iL(t),
12
i(t ) =
u(t ) 1 + ∫ u(t )dt . R L i (t )
∼
u(t)
iR(t)
i L( t ) R
XL
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzamos R-L kör vázlata
Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: U U i(t ) = m sin ω t − m cos ω t = U m (G sin ω t − BL cos ω t ) = R ωL = U mY sin(ω t + ϕ ) = I m sin(ω t + ϕ ) .
Itt ϕ=ϕi - a fázisszög, az eredő áram fázishelyzete a feszültséghez képest, 1 BL = - az induktív vezetés (induktív szuszceptancia), mértékegysége [BL]=S Siemens. ωL u(t) i (t ) iR(t)
i L( t )
wt
Párhuzamos R-L kör feszültségének és áramainak időfüggvénye Gsinωt-BLcosωt=Ysin(ωt+ϕ), ωt=0 esetén -BL= Ysinϕ, ωt=π/2 esetén G= Ysin(π/2+ϕu)= Ycosϕ. − BL Az utóbbi két egyenlet hányadosából: = tgϕ , ebből G 1 − R −B ωL ϕ = arctg L = arctg = arctg − , 1 G ω L R a két egyenlet négyzetének összegéből: GL2+B2= Y2.
13
Y = G 2 + BL2 az áramkör látszólagos vezetése, admittanciája, [Y]=S Siemens.
A párhuzamos R-L kör fázisszöge negatív, az eredő áram ϕ szöggel késik a feszültséghez képest. G
ϕ BL Y = G 2 + BL2
A G konduktivitás, a BL szuszceptancia és az Y admittancia összefüggésének illusztrálása
Az induktív szuszceptancia BL =
1 1 = fordítottan arányos a frekvenciával és az inω L 2π fL
duktivitással. BL
f
Az induktív szuszceptancia frekvencia-függése
A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m (G sin ω t − BL cos ω t )U m sin ω t = sin 2ω t 1 − cos 2ω t = U m2 G sin 2 ω t − U m2 BL cos ω t ⋅ sin ω t = U m2 G − U m2 BL , részletezve: 2 2 1 − cos 2ω t az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = U m2 G , 2 sin 2ω t az induktivitás teljesítménye: p L (t ) = −U m2 BL . 2 A teljesítmény középértékének különböző alakjai: U 2 G U eff U P= m = = = UI cos ϕ , R R 2 a meddő teljesítmény: 2 U m2 BL U eff U 2 Q= = = = UI sin(−ϕ ) . 2 XL XL
14
p(t)
u(t)
pR(t)
wt pL(t)
Párhuzamos R-L kör feszültségének és teljesítményeinek időfüggvénye 8. Párhuzamos R-C kör i(t)
u(t)
∼
iR(t)
iC(t) R
XC
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzamos R-C kör vázlata A feszültség mindkét elemen azonos, 1 u(t ) = iR (t ) R = ∫ iC (t )dt , C u(t)
i(t)
iR(t) iL(t) wt
Párhuzamos R-C kör feszültségének és áramainak időfüggvénye az áramok összeadódnak a csomóponti törvény szerint i(t)=iR(t)+ iC(t) vagy 15
u(t ) 1 du(t ) + ∫ u(t )dt + C . R L dt Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: U i(t ) = m sin ω t + U m Cω cos ω t = U m (G sin ω t + BC cos ω t ) = R = U mY sin(ω t + ϕ ) = I m sin(ω t + ϕ ) . i(t ) =
Itt ϕ=ϕi - a fázisszög, az eredő áram fázishelyzete a feszültséghez képest, BC=ωC - a kapacitív szuszceptancia. ωC B ϕ = arctg C = arctg = arctgRωC , a párhuzamos R-C kör fázisszöge pozitív, az eredő 1 G R áram ϕ szöggel siet a feszültséghez képest.
Y = G 2 + BC2
BC
ϕ G A G konduktivitás, a BC szuszceptancia és az Y admittancia összefüggésének illusztrálása A kapacitív szuszceptancia arányos a frekvenciával és a kapacitással. BC
f
A kapacitív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m (G sin ω t + BC cos ω t )U m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = U m2 G sin 2 ω t + U m2 BC cos ω t ⋅ sin ω t = U m2 G + U m2 BC , részletezve: 2 2 1 − cos 2ω t , az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = U m2 G 2
16
az induktivitás teljesítménye: pC (t ) = U m2 BC
u(t)
sin 2ω t . 2
p(t)
pR(t)
pC(t) wt
Párhuzamos R-C kör feszültségének és teljesítményeinek időfüggvénye A teljesítmény középértékének különböző alakjai: U 2 G U eff U P= m = = = UI cos ϕ , 2 R R a meddő teljesítmény: U eff2 U m2 BC U2 Q=− =− =− = UI sin(−ϕ ) . 2 XL XL 9. Párhuzamos R-L-C kör A feszültség mindhárom elemen azonos di (t ) 1 u(t ) = iR (t ) R = L L = ∫ iC (t )dt , dt C az áramok összeadódnak a csomóponti törvény szerint i(t)=iR(t)+iL(t)+iC(t) vagy u(t ) 1 du(t ) . i(t ) = + ∫ u(t )dt + C R L dt i(t)
u(t)
∼
iR(t)
iL(t) R
iC(t) XL
XC
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzamos R-L-C kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: 17
i(t ) =
Um U U 1 sin ω t − m cos ω t + U m Cω cos ω t = m sin ω t + U m Cω − cos ω t = R ωL R ω L
= U m (G sin ω t + B cos ω t ) = U mY sin(ω t + ϕ ) = I m sin(ω t + ϕ ) .
Y = G 2 + BC2
B= BCBL
ϕ G A G konduktivitás, a B szuszceptancia és az Y admittancia összefüggésének illusztrálása Itt ϕ - a fázisszög, az eredő áram fázishelyzete a feszültséghez képest, 1 B=ω C− = BC − BL - az eredő szuszceptancia. ωL Gsinωt+Bcosωt=Ysin(ωt+ϕ), ωt=0 esetén B= Ysinϕ, ωt=π/2 esetén G= Ysin(π/2+ϕu)= Ycosϕ. B = tgϕ , ebből Az utóbbi két egyenlet hányadosából: G 1 ω C− ωL B ω 2 LC − 1 ϕ = arctg = arctg = arctgR , 1 G ωL R a két egyenlet négyzetének összegéből: G2+B2= Y2. Y = G 2 + B 2 az áramkör látszólagos vezetése, admittanciája, [Y]=S Siemens. u(t) iR(t)
iL(t)
i(t) wt
iC(t)
Párhuzamos R-L-C kör feszültségének és áramainak időfüggvénye
18
Gsinωt+Bcosωt=Ysin(ωt+ϕ), ωt=0 esetén B= Ysinϕ, ωt=π/2 esetén G= Ysin(π/2+ϕu)= Ycosϕ. B = tgϕ , ebből Az utóbbi két egyenlet hányadosából: G 1 ω C− ωL B ω 2 LC − 1 ϕ = arctg = arctg = arctgR , 1 G ωL R a két egyenlet négyzetének összegéből: G2+B2= Y2. Y = G 2 + B 2 az áramkör látszólagos vezetése, admittanciája. Mivel ϕu=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest 1 ϕ > 0, ha B > 0, azaz ω C > - az eredő áram siet a feszültséghez képest (R-C jellegű), ωL 1 ϕ = 0, ha B = 0, azaz ω C = - az eredő áram fázisban van a feszültséggel (R jellegű), ωL 1 ϕ < 0, ha B < 0, azaz ω C < - az eredő áram késik a feszültséghez képest (R-L jellegű). ωL A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m (G sin ω t + B cos ω t )U m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = U m2 G sin 2 ω t + U m2 B cos ω t ⋅ sin ω t = U m2 G + U m2 B , részletezve: 2 2 1 − cos 2ω t , az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = U m2 G 2 sin 2ω t , az induktivitás teljesítménye: p L (t ) = −U m2 BL 2 sin 2ω t . a kapacitás teljesítménye: pC (t ) = U m2 BC 2 u(t)
pL(t)
p(t) pR(t)
wt
pC(t)
Párhuzamos R-L-C kör feszültségének és teljesítményeinek időfüggvénye 19
A pR(t) hatásos teljesítmény minden pillanatban pozitív, középértéke P=I2R. pL(t) és pC(t) kétszeres frekvenciával leng, középértéke zérus, az eredőjük a kettő összege: sin 2ω t q(t ) = p L (t ) + pC (t ) = U m2 ( BC − BL ) . 2 A teljesítmény középértékének különböző alakjai: U m2 G U eff U P= = = = UI cos ϕ , 2 R R a meddő teljesítmény: U m2 ( BL − BC ) Q= = UI sin(−ϕ ) . 2 Párhuzamos áramkörben párhuzamos rezonanciáról és párhuzamos rezgőkörről beszélünk. 1 = BL , vagy XC=XL. Jelen áramkörben a rezonancia feltétele: BC = ω C = ωL Rezonancia esetén Y=G (mivel BC-BL=0), az áram és a feszültség fázisban van, a tápforrásból nincs meddő teljesítmény felvétel. Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és fordítva. Az induktivitáson és a kapacitáson folyó áram minden pillanatban megegyezik egymással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így szakadásként viselkedik. Párhuzamos áramkörben párhuzamos (vagy áram-) rezonanciáról és párhuzamos rezgőkörről beszélünk. A párhuzamos rezgőkör sajátfrekvenciája és sajátkörfrekvenciája ugyanúgy számítható, mint a soros körben. Szinusz függvény szerint változó mennyiségek kifejezése komplex számokkal Komplex leírás és koordinátarendszer használata, ábrázolás, elvégezhető műveletek. A komplex impedancia, a komplex teljesítmény. Soros és párhuzamos R-L, R-C és R-L-C kör mennyiségeinek és paramétereinek számítása komplex számokkal, ábrázolásuk és értelmezésük a komplex síkon. Többfázisú feszültségrendszerek Többfázisú feszültségrendszerek előállítása. Szimmetrikus háromfázisú feszültségek és fogyasztók kapcsolása, vonali- és fázismennyiségek. Fázissorrend. Háromfázisú teljesítmény. Összeállította: Kádár István 2010. november
20
Ellenőrző kérdések
1. Hogyan állítható elő időben szinusz függvény szerint változó feszültség forgási indukcióval? 2. Hogyan állítható elő időben szinusz függvény szerint változó feszültség nyugalmi indukcióval? 3. Mi a frekvencia, a periódusidő és a körfrekvencia fogalma, a pólusszám értelmezése? 4. Melyek a váltakozó áramú mennyiségek legfontosabb jellemzői? 5. Mi a kezdeti fázisszög, a frekvencia, a körfrekvencia, az effektív- és csúcsérték? 6. Értelmezze az időben szinusz függvény szerint változó mennyiségek fázisviszonyait, a fázisbeli sietést, késést. 7. A szinuszosan váltakozó feszültségre kapcsolt ellenállás, induktivitás és kondenzátor árama és teljesítménye, a reaktancia fogalma. 8. Soros és párhuzamos R-L, R-C és R-L-C körök szinuszos váltakozó áramú táplálása, az impedancia fogalma. 9. Mi a soros és a párhuzamos rezonancia, a rezgőkör, a rezonancia frekvencia? 10. Síkvektorok alkalmazása szinuszosan váltakozó áramú mennyiségek leírására. 11. Síkvektorral ábrázolt, időben szinuszosan váltakozó mennyiségek kifejezése komplex számokkal. 12. Időben szinuszosan váltakozó mennyiségek ábrázolása komplex síkon. 13. Komplex impedancia, komplex teljesítmény. 14. Soros és párhuzamos R-L, R-C és R-L-C kör mennyiségeinek és paramétereinek számítása komplex számokkal, ábrázolásuk és értelmezésük a komplex síkon. 15. Mi a fázisjavítás (meddőkompenzálás) célja? 16. Többfázisú feszültségrendszerek előállítása. 17. Szimmetrikus háromfázisú feszültségek és fogyasztók kapcsolása, vonali- és fázismennyiségek. 18. A fázissorrend értelmezése, a háromfázisú teljesítmény számítása.
21
Példák, feladatok
1. Az ábrán látható kapcsolásban szereplő feszültségmérő műszerek effektív értéket mérnek. Mindhárom voltmérő 100 V-ot mutat. A tápfrekvencia f=50 Hz, az ellenállás értéke R=10 Ω. Számítsa ki az I áramot, az U feszültséget, az L induktivitást, C kapacitást, az eredő S, P, Q teljesítményeket és a teljesítménytényezőt (cosϕ). Rajzolja fel az áramkör fázorábráját. + V
V
V
R
L
C
UR = U
I
I
+j
U
UL
UC
{ I=10 A, U=100 V, L=31,84 mH, C=318,47 µF, S=1 kVA, P=1 kW, Q=0, cosϕ=1} 2. Az ábrán látható áramkört U=230 V feszültségű (effektív érték), f=50 Hz frekvenciájú forrásról tápláljuk. Az effektív értéket mérő két műszer U=100 V-ot illetve I=0,5 A-t mutat. Számítsa ki az R ellenállást, az L induktivitást, az eredő S, P, Q teljesítményeket és a teljesítménytényezőt (cosϕ). Rajzolja fel az áramkör fázorábráját. + V R
U
UR ϕ I
U
A
+j
L
UL
{R=200 Ω, L=1,319 H, S=115 VA, P=50 W, Q=103,56 VAr, cosϕ=0,43479} 3. Az ábrán látható áramkörben R1=10 Ω, R2=75 Ω, C=60 µF, a tápfrekvencia f=50 Hz, a kondenzátor ágban lévő, effektív értéket mérő ampermérő IC=2 A mutat. Számítsa ki az eredő I áramot, az U tápfeszültséget és a ϕ fázisszöget, rajzolja fel az áram és feszültség vektorábrát. R2 U + I R1 U C = U R2 C A U R1 ϕ I R2 Ic U +j
IC {I=2-j1,4147 A (2,449 A), U=20-j120,247 V (121,89 V), ϕ=45,287°}
22
4. Az ábrán látható soros R-L kört U=230 Veff feI R szültségről tápláljuk. Ha a tápfrekvencia f1=45 Hz, A az effektív értéket mérő ampermérő I=4 A-t, f2=91 Hz esetén I=2 A-t mutat. U Számítsa ki az ellenállás és az induktivitás értékét, valamint az ellenálláson és az induktivitáson lévő feszültséget f1 és f2 esetén. {R=9,78 Ω, L=0,2 H, UR1=39,12 V, UR2=19,56 V, UL1=226,195 V, UL2=228,71 V }
L
5. Az ábrán látható áramkörben a tápfeszültV V ség U=200 V (effektív), a frekvencia f=50 Hz, az induktivitás értéke L=200 mH, a R L kondenzátor feszültségét (effektív értéket) mérő műszer UC=91,2 V-ot mutat, az ampermérő pedig I=4 A-t (effektív). V C U Számítsa ki az ellenállás UR és az induktiviI tás UL feszültségét, az R ellenállás, a C konA denzátor értékét, a P hatásos-, a Q meddőés az S látszólagos teljesítményt, a cosϕ-t. Rajzolja fel feszültség és az impedancia fázorábrát. {UR= 120 V, UL= 251,2 V, R=30 Ω, C=139,68 µF, P=480 W, Q=640 VAr, S=800 VA, cosϕ=0.6} + + U
ϕ +j
−U C UL
Z
UR
R
ϕ
I +j
UC
-jXC jXL
-jXC
6. Az ábrán látható áramkörben az áram effektív V értékét mérő műszer I=2,5 A-t mutat, a teljesítI L ménytényező cosϕ=0,4 induktív, a frekvencia A f=50 Hz, az ellenállás R=230 Ω, az induktivitás IL L=350 mH. V C Számítsa ki az ellenállás IR és az induktivitás IL U R IR áramát, az U tápfeszültséget, az induktivitás UL feszültségét, a kondenzátor UC feszültségét és C kapacitását, az S látszólagos-, a P hatásos- és a Q meddő teljesítményt. Rajzolja fel feszültség és az admittancia fázorábrát. {IR=1 A, IL=2,29 A, U=230 V, UL= 251,9 V, UC= 21,9 V, C=333 µF, S=575 VA, P=230 W, Q=526,7 VAr}
23
+ +
I
+j
G
IL +j jXL
IR ϕ
UL −U C
U
Y
UC
jBC
ϕ
-XC
-BC
B
-jBL
-jXC X=j(XL-XC)
7. Az ábrán látható áramkörben a tápfeszültség VL VR U=170 V (effektív), az ellenállás értéke R=8 Ω. R L f1=50 Hz frekvenciájú táplálás esetén az effektív értéket mérő ampermérő I1=10 A-t mutat. Mekkora az induktív reaktancia értéke? Mit mutat a VR és a VL effektív értéket mérő voltmérő? Mekkora f2 frek- U venciánál lesz az áram I2=17 A? Mekkora az indukI tív reaktancia értéke f2 frekvenciánál, mit mutat a VR A és a VL voltmérő? Rajzolja fel feszültség és az impedancia fázorábrát. {XL1=15 Ω, UR1=80 V, UL1=150 V, f2=20 Hz, XL2=6 Ω, UR2=136 V, UL2=102 V} + + I U Z ϕ UR ϕ R +j +j jXL
UL
8. Az ábrán látható áramkörben a tápfeszültség U=325 V VR (effektív), az ellenállás értéke R=24 Ω. f1=50 Hz frekvenciáR ról történő táplálás esetén az effektív értéket mérő ampermérő I1=13 A-t mutat. Mekkora a kapacitív reaktancia értéke? Számítsa ki a P hatásos-, a Q meddő- és az S látszólagos telVC C jesítményt, valamint a cosϕ értékét? U Mekkora lesz az áram f2=35 Hz frekvenciájú táplálás esetén I A és a kapacitív reaktancia értéke? Számítsa ki f2 frekvencián a P hatásos-, a Q meddő- és az S látszólagos teljesítményt, valamint a cosϕ értékét? Rajzolja fel a teljesítmény és az impedancia fázorábrát. Számítsa ki az ellenállás UR és a kapacitás UC feszültségét f1 és f2 frekvencián. Rajzolja fel feszültség fázorábrát. + + + U Z S UR R P +j
I
ϕ
ϕ
+j
UC
ϕ
+j
-jXC
24
-jQ
{I2=12,5 A, XC=10 Ω, P2=3,75 kW, Q2=−1,5625 kVAr, S2=4,0625 kVA, cosϕ =0,923, UR1=312 V, UR2=300 V, UC1=91 V, UC2=125 V} 9. Az ábrán látható párhuzamos R-L kört U=173 Veff feszültségről tápláljuk, a tápfrekvencia f=50 Hz. Az ellenállás nagysága R=17,3 Ω, induktivitáson folyó áram effektív értéke ILeff=17,3 A. Számítsa ki az L induktivitás értékét, az eredő I áramot, U az áramkör Z impedanciáját és Y admittanciáját, az S látszólagos-, a P hatásos-, a Q meddő teljesítményt és a cosϕ-t.
R
IR
I
L IL
10. Az ábrán látható váltakozó áramú körben az R I L induktivitás L=68 mH, az ellenállás értéke R=20 Ω, a tápfrekvencia f=50 Hz, az ellenálláUR UL son mérhető feszültség effektív értéke UR=200 C UC V, a kondenzátor feszültségének effektív értéke U UC=100 V. Számítsa ki az I áramot, a kondenzátor C kapacitását, az induktivitás feszültségének UL effektív értékét, U feszültség effektív értékét, a Z impedanciát, a ϕ fázisszöget, valamint az S látszólagos, a P hatásos és a Q meddő teljesítményt. {I=10 A, C=318,3 µF, UL=213,6 V, U=230 V, Z=23 Ω, ϕ=29,6°ind, S=2,3 kVA, P=2 kW, Q=1,136 kVAr} 11. Az ábrán látható R1-L áramkört U=170 V feszültségű (effektív érték), f=50 Hz frekvenciájú forrásról tápláljuk. Az effektív értéket mérő két műszer U=150 V-ot illetve I=10 A-t mutat. a) Számítsa ki az R1 ellenállást, az L induktivitást és a teljesítménytényezőt (cosϕ), írja fel a komplex impedanciát és a komplex teljesítményt, rajzolja fel az áramkör feszültség és áram fázorábráját. o {R1=15 Ω, L=25,47 mH, cosϕ=0,8823, Z = 15 + j8 = 17e j 28, 072 Ω, o
S = 1499,9 + j 799,85 = 1700e j 28, 072 VA}, V
+
U
UR
R1 A U
ϕ R2
L
I
+j
UL b) Az L induktivitással egy R2=6 Ω értékű ellenállást kapcsolunk párhuzamosan. Mennyi lesz ebben az esetben az áram, mekkora az R1 ellenálláson mérhető feszültség és az eredő teljesítménytényező? Rajzolja fel a kör admittancia-impedancia fázorábráját. Számítsa ki az eredő S, P, Q teljesítményeket. o {I=8,919 A, U1=133,8 V, cosϕ=0,988, S = 1498,6 + j 229,09 = 1516e j 8, 686 VA, P=1498,6 W, Q=229,09 VAr (ind)}
25
ZLR2
Ze
+
1 = YLR2
R1
+j
ϕ jXL
YLR2 G2 -jBL
R1 12. Az ábrán látható áramkörben R1=16 Ω, A C=80 µF, a tápfrekvencia f=50 Hz, a kondenzáI toron lévő, effektív értéket mérő voltmérő Uc V UC=240 V-ot, az ugyancsak effektív értéket Uk R2 C mérő ampermérő I=10 A-t mutat. Rajzolja fel a teljes impedancia-admittancia, valamint áramfeszültség fázorábrát. Számítsa ki az R2 ellenállás értékét, írja fel az eredő komplex impedanciát, határozza meg az Uk kapocsfeszültség effektív értékét. Számítsa ki az (I áram és az Uk feszültség közötti) eredő fázisszöget és az eredő komplex teljesítményt. + + Ze
U R1
+j
I
ϕ
R1
U C = U R2 I R2
+j
IC
YCR2
G2 jBC
{R2=30 Ω, Ze = 35,167 − j14,44 = 38e − j 22,32 , Uk=380 V, ϕ=22,33°, o
o
S = 3515 − j1443,77 = 3800e − j 22,33 VA}
26
ϕ
ZCR2
