GEOMETRIA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
10. 11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.
Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F1 az AB szakasz, F2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F1F2 szakasz? Az AB és CD szakaszok közös része a CB szakasz. Mekkora az AD szakasz, ha AB= 10 cm, CD = 12 cm, CB = 4 cm? Szerkesszünk szögeket, amelyeknek mértéke: 45°, 60°, 30°, 22,5°, 15°! Egy közös szárral rendelkező két szög aránya 7:3. A két szög közül az egyik 72°-kal nagyobb a másiknál. Bizonyítsuk be, hogy a két szög együtt egyenesszöget alkot! Négy szög együtt egyenesszöget alkot, továbbá mindegyik szög az előzőnél 10°-kal nagyobb. Számítsuk ki a szögek nagyságát! Fejezzük ki fokokkal a következő szögek nagyságát: a) 21°36’ b) 49°9’ c) 51°24’ d) 17°27’45’’ Fejezzük ki fokokban, percekben, másodpercekben a következő szögeket: a) 108,5° b) 20,7° c) 18,3° d) 59,7° e) 100,01° Az ábrán az α szög 32°42’. Mekkora a többi jelölt szög? Indokoljuk meg állításainkat!
Egy ABC derékszögű háromszög C csúcsából bocsássunk merőlegest az AB oldalra. A merőleges AB-vel való metszéspontja legyen T. Bizonyítsuk be, hogy TCB által bezárt szög egyenlő az A-nál levő szöggel és TCA által bezárt szög egyenlő a B-nél lévő szöggel! (A C csúcsnál van a 90°.) Egy háromszög egyik szöge 70°. A másik két szög aránya 5:6. Mekkorák a háromszög szögei? Van-e olyan háromszög, amelyben az egyik szög kétszer akkora, a másik szög pedig háromszor akkora, mint a harmadik csúcsnál levő külső szög? Egy egyenlő szárú háromszög egyik szárához tartozó magasság a másik szárral 13°-kal kisebb szöget alkot, mint az alapon levő szög. Mekkorák a háromszög szögei? Vegyünk fel az ABC háromszög belsejében egy P pontot, és bizonyítsuk be, hogy az APB szög mindig nagyobb, mint az ACB szög! Létezik-e olyan háromszög, melynek oldalai a) 10, 12, 13 cm; b) 1, 2, 3 cm; c) 1911, 1918, 3826 cm 1 2 3 d) 2 ; 3 ; 4 m? Egy háromszög egyik oldala 1,8 m, a másik 0,7 m. Mekkora a harmadik oldal, ha tudjuk, hogy mértékszáma egész szám? Egy egyenlő szárú háromszög két oldala 3 és 6 cm. Mekkora a harmadik oldal? Igazoljuk, hogy ha P az ABC háromszög belső pontja, akkor PB + PC < AB + AC! Bizonyítsuk be, hogy a háromszög egy belső pontjának a csúcsoktól mért távolságösszege a kerület és a fél kerület közé eső számérték! Hány átló húzható egy konvex 16 szög egyik csúcsából? Hány háromszögre bontják a konvex 12 szöget az egyik csúcsából kiinduló átlók? Hány oldalú a konvex sokszög, ha egy csúcsából 12 átló húzható? Két szög különbsége 54°, ugyanezen két szög aránya 5:2. Hány fokosak ezek a szögek?
23. 24. 25.
Hány oldalú a sokszög, ha hatszor annyi átlója van, mint oldala? Hány oldalú a konvex sokszög, ha az egy csúcsából kiinduló átlók 18 háromszögre bontják? Ha egy sokszög belső szögeinek összegéhez hozzáadjuk egyik külső szögét, 1846°-ot kapunk. Hány oldalú a sokszög, és mekkora a külső szög?
EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS 1.
Az ábrán négyzetet rajzoltunk egy derékszögű háromszögbe, majd meghosszabbítottuk a négyzet egyik átlóját és a háromszög átfogóját, metszéspontjukat pedig összekötöttük a derékszögű csúccsal. Igazoljuk, hogy a jelölt szögek egyenlők!
2.
Bizonyítsuk be, hogy ha az egyenlő szárú háromszögben összeadjuk az alap bármely pontjának a két szártól mért távolságát, mindig ugyanazt az értéket kapjuk! Rajzoljunk egy háromszöget. Tükrözzük az egyik oldalának egyenesére, az egyik szögfelezőjére, az egyik magasságának egyenesére, a sík tetszőleges egyenesére! Az ABC háromszög AB oldalán felvett tetszőleges P pontot tükrözzük az A csúcsból húzható szögfelező – egyenesre. A képpontot tükrözzük a C csúcsból húzható szögfelező –egyenesre, végül az így kapott képpontot tükrözzük a B csúcsból húzható szögfelező egyenesre. A harmadik tükrözéssel kapott pontot nevezzük P*-nak. Mit mondhatunk a PP* egyenesről? Egy egyenesen megadunk egy P pontot és rajta kívül A-t. Szerkesszünk az egyenesen olyan X pontot, hogy az AX + XP összeg egy adott szakasszal legyen egyenlő! Egy egyenesen megadunk egy P pontot és rajta kívül A-t. Szerkesszünk az egyenesen egy X pontot úgy, hogy az AX – XP különbség egy adott szakasszal legyen egyenlő! Szerkesszünk egyenlő szárú háromszöget, ha adott a szimmetriatengelye, az azon levő csúcs, továbbá a másik két csúcson átmenő egy-egy egyenes! Adott három egyenes. Szerkesszünk egyenlő oldalú háromszöget, amelynek az egyik egyenes szögfelezője, a másik kettő pedig egy-egy csúcsán megy át. Szerkesszünk háromszöget, ha ismert két oldala és az ezekkel szemközti szögek különbsége! Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott 𝛽 − 𝛾 , ma , b. Szerkesszük meg egy adott kör ismeretlen középpontját! Szerkesszük meg egy adott kör ismeretlen középpontját, ha csak egy derékszögű vonalzó áll rendelkezésünkre! Bizonyítsuk be, hogy a háromszög két magasságának a talppontjai egyenlő távolságban vannak a harmadik oldal felezőpontjától! Szerkesszünk háromszöget egy oldalból, a hozzá tartozó magasságból és valamelyik másik magasságból!
3. 4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 18.
19. 20.
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.
Bizonyítsuk be, hogy a derékszögű háromszög átfogója kétszer akkora, mint az átfogóhoz tartozó súlyvonal! Egy d hosszúságú szakasz két végpontja egy derékszög egy-egy szárán mozog. Mit ír le a szakasz felezőpontja? Szerkesszünk Thalesz-kört a háromszög magasságpontja és egyik csúcsa által meghatározott szakasz fölé. Hol metszi ez a kör a háromszög két oldalát? Két egymást metsző kör egyik közös pontjából húzzuk meg mindkettőben az átmérőt. Bizonyítsuk be, hogy az átmérők végpontjait összekötő egyenes átmegy a körök másik közös pontján! Szerkesszünk adott szakasz mint átfogó fölé derékszögű háromszöget, amelynek egyik befogója adott ponton megy át. Szerkesszünk a füzet síkjában egy 4 cm és 2 cm sugarú kört, amelyek középpontjai 9 cm távolságra vannak egymástól. Szerkesszük meg a két kör közös külső és belső érintőit! Tűzzünk ki két pontot egymástól 4 cm- nyire. Szerkesszünk egyenest, amely az egyiktől 2 cm, a másiktól 1 cm távolságban halad! Egy érintőnégyszög három oldala 6,7,8 méter a felírt sorrendben. Mekkora a negyedik oldala? Szerkesszünk érintőnégyszöget, ha a négyszögbe írt kör sugara 4 cm, a négyszög két szomszédos oldala 7 és 8 cm, és az általuk bezárt szög 75°! Bizonyítsd be, hogy a derékszögű háromszögbe írható kör átmérőjét úgy számíthatjuk ki, hogy a két befogó összegéből kivonjuk az átfogót! Igazold, hogy a derékszögű háromszögbe rajzolható kör sugara kisebb a körülírt kör sugarának a felénél! Egy téglalap négy oldalán adott egy-egy pont, továbbá a téglalap egyik oldalának hossza. Szerkesszük meg a téglalapot! Vegyünk egy kört és két pontot! szerkesszünk téglalapot, melynek egyik csúcsa a körön van, és egyik átlójának két végpontja az adott két pont! Egy kör valamelyik húrjának egyik végpontját kössük össze a kör középpontjával! Igazoljuk, hogy az így kapott sugár Thalesz-köre, felezi a húrt! A és B pontok távolsága 5 cm. Szerkesszünk az A ponton át a B ponttól 3 cm távolságban haladó egyenest! Szerkesszünk érintőnégyszöget, ha adva van a beírt kör sugara és három szöge! Szerkessz derékszögű háromszöget, ha adott az átfogója és az átfogóhoz tartozó magassága! Szerkesszünk érintőnégyszöget, ha adva van a beírt kör sugara, két szemközti szöge és egy oldala! Szerkesszünk adott szakasz mint átfogó fölé derékszögű háromszöget, amelynek egyik befogója adott ponton megy át! Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott átfogójának egyenese és befogóiból egy-egy pont, továbbá az átfogóhoz tartozó magasság! Egy kör belsejében adott két pont. Szerkesszünk a körbe olyan derékszögű háromszöget, amelynek egy-egy befogója az adott pontokon megy át! Igazoljuk, hogy a rombusz beírt körének az oldalakkal való érintési pontjai téglalapot határoznak meg! Szerkesszünk rombuszt, ha adott az oldala és a beírt kör sugara! Szerkesszünk adott kör köré érintőtrapézt, ha adottak a szárai!
KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13.
14. 15.
16.
17.
18. 19.
Rajzoljunk fel egy tetszőleges négyszöget, és tükrözzük azt egyik csúcsára! Adjunk meg két párhuzamos és egyenlő szakaszt. Szerkesszük meg azt a pontot, amelyre tükrözve a szakaszokat, egymásba mennek át! Mutassuk meg, hogy ha a háromszöget egyik oldalának felezőpontjára tükrözzük, paralelogrammát kapunk! Szerkessz paralelogrammát, ha adott a két oldala: a = 8 cm, b = 6 cm és az egyik átló 6 cm! A paralelogramma két magassága 60°-os szöget zár be egymással, és a két magasság egyenlő. Szerkessz a feltételnek megfelelő paralelogrammát! Egy szög szárai között kitűzünk egy pontot. Szerkesszünk ezen át olyan szelőt, amelynek a szárak közé eső szakaszát a pont felezi! Egy szög szárai között kitűzünk egy pontot. Szerkesszünk négyzetet, amelynek két átellenes csúcsa egy-egy szögszáron van, középpontja pedig az adott pont! Adott egy négyszög és belsejében egy pont. Írjunk a négyszögbe olyan paralelogrammát, amelynek középpontja az adott pont! Adott két egyenes és egy pont. Keressünk az egyeneseken egy-egy pontot, amelyek tükrösek az adott pontra! Adott két kör és egy pont. Szerkesszünk a ponton át szelőt a körökhöz úgy, hogy annak a körök közé eső szakaszát a pont felezze! Szerkesszünk háromszöget, ha adott a) ma ; fa ; 𝛼 b) sa ; sb ; sc Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott a BC=a oldal, a BB1 = sb súlyvonal és az ABB1 által bezárt 𝛽 2 szög! Szerkesszünk trapézt, ha adott a két párhuzamos oldal összege, továbbá a) a szárak hossza és a trapéz magassága, b) az alapon levő két szög és a trapéz magassága, c) az átlók hossza és egyik szára. Számítsd ki az ABC háromszög középvonalainak a hosszúságát, ha az oldalak hossza 40 cm, 28 cm és 52 cm! Egy háromszög oldalai: a) 7 ; 9 ; 12 cm; 2 4 7 b) 3 ; 5 ; 6 cm; Mekkorák az oldalfelező pontok alkotta háromszög oldalai? Egy háromszög oldalfelező pontjai olyan háromszög csúcsai, amelynek oldalai: a) 2 cm ; 4 cm ; 5 cm 1 2 5 b) 2 ; 3 ; 4 cm Mekkorák az eredeti háromszög oldalai? Egy háromszöget középvonalai négy háromszögre bontanak, ezek kerületeinek összege a) 20 cm b) 7,5 cm Mekkora az eredeti háromszög kerülete? A tetőt tartó szarufák végpontjai 4,8 m-re vannak egymástól. Mekkora a felezőpontjaikat összekötő gerenda? Egy repülőtérről két repülőgép indul el, haladási irányuk különböző. Mindkettő egyenlő sebességgel, egyenes irányban halad. Fél óra alatt 180 km-re távolodnak el egymástól. Mekkora a távolságuk az indulástól számított
20. 21. 22. 23. 24.
25. 26. 27. 28. 29.
a) egy óra múlva; b) 1,25 óra múlva? Egy derékszögű háromszög egyik szöge 60°-os, a szög melletti befogó 4 cm. Mekkora az átfogó? Egy szimmetrikus trapéz alapja 12 cm, az ezen az alapon fekvő szögek 60°-osak, a trapéz szára 7 cm. Számítsd ki a trapéz középvonalát! Szerkessz háromszöget, ha adott a háromszög két középvonala és az ezek által bezárt szög! Mutassuk meg, hogy a háromszög oldalfelező pontjai és az egyik oldal magassági talppontja egyenlő szárú trapézt határoznak meg! Egy szakasz felezőpontján át felveszünk tetszőleges, de a szakaszra nem merőleges egyenest. Bizonyítsuk be, hogy a) a szakasz végpontjaiban a szakaszra állított merőlegesekből egyenlő hosszúságú szakaszokat metsz ki; b) a szakasz végpontjaitól egyenlő távolságra halad! Szerkesszünk paralelogrammát, ha adott az egyik átlója, a magassága és az átlók által bezárt szöge! Bizonyítsuk be, hogy a háromszög két magasságának a talppontjai egyenlő távolságban vannak a harmadik oldal felezőpontjától! Szerkesszünk négyszöget, ha ismert megadott sorrendben négy oldala és egyik középvonala! Szerkesszünk trapézt, ha ismerjük két átlóját, az átlók szögét és az egyikalapot! Szerkesszünk háromszöget, ha adott a) két oldal és a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal; b) egy oldalhoz tartozó súlyvonal, az oldallal szemközti szög és egy másik oldal; c) egy oldal, a hozzá tartozó magasság és egy másik oldalhoz tartozó súlyvonal; d) egy oldal, a másikhoz tartozó súlyvonal és a harmadikhoz tartozó magasságvonal;
FORGATÁS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
Rajzoljunk egy háromszöget, és forgassuk el 90°-kal egyik csúcsa körül! Egy szög szárai között tűzzünk ki egy pontot, és forgassuk el e körül a szöget 90°-kal! Szerkesszünk meg olyan középpontot, amely körül egy adott A pont egy adott B pontba forgatható! Rajzoljunk fel két egyenlő (de nem párhuzamos) szakaszt. Szerkesszünk pontot, amely körül a két szakasz egymásba forgatható! Szerkesszünk négyzetet, ha adott a középpontja és egy csúcsa! Szerkesszünk szabályos háromszöget, ha adott az A csúcspontja és a körülírt körének O középpontja! Szerkesszünk egyenlő szárú derékszögű háromszöget, ha adott a derékszögű csúcsa, a másik két csúcsa pedig egy-egy adott egyenesen helyezkedik el! Rajzoljunk meg két párhuzamos egyenest, és közöttük egy pontot. Szerkesszünk olyan egyenlő oldalú háromszöget, amelynek egyik csúcsa a kitűzött pont, másik két csúcsa pedig egy-egy párhuzamosra esik! Egy szög szárai között tűzzünk ki egy pontot, és szerkesszünk olyan egyenlő oldalú háromszöget, amelynek egy-egy csúcsa a szárakon van és a) egyik csúcsa az adott pont; b) középpontja az adott pont.
10. 11. 12. 13.
14. 15.
16.
Írjunk egy adott háromszögbe szabályos háromszöget úgy, hogy egy csúcsa az egyik oldal adott pontja legyen! Rajzoljunk meg egy kört, egy egyenest és egy pontot. Szerkesszünk egyenlő oldalú háromszöget úgy, hogy egy-egy csúcsa a körön, az egyenesen, illetve a pontban legyen! Mutassuk meg, hogy a szabályos háromszög köré írt kör egy pontját a csúcsokkal összekötő három szakasz közül az egyik egyenlő a másik kettő összegével! Adjunk meg három pontot. Szerkesszünk a) négyzetet; b) egyenlő oldalú háromszöget, amelynek középpontja az egyik pont, a másik pont pedig egy-egy szomszédos oldalra esik! Szerkesszünk egyenlő szárú háromszöget, ha adott a szárak által bezárt szög nagysága, a szöghöz tartozó csúcs és két egyenes, amelyeken az alap egy-egy csúcsa fekszik! Bizonyítsuk be, hogy egy négyzet két szemközti oldala közé eső tetszés szerinti szakasz ugyanakkora, mint a rá bárhol emelt merőlegesnek a másik két oldalegyenes közé eső szakasza! Adjunk meg három tetszőleges kört (lehetnek egyközepűek is), és szerkesszünk olyan egyenlő oldalú háromszöget, amelynek egy-egy csúcsa a körökön van, méghozzá egyik csúcs adott pontban!
ELTOLÁS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Rajzoljunk egy tetszőleges négyszöget, és tűzzünk ki egy pontot. Toljuk el a négyszöget úgy, hogy egyik csúcsa az adott pontba kerüljön! Adjunk meg egy kört és egy négyzetet. Toljuk el a négyzetet úgy, hogy középpontja a kör középpontjába kerüljön! Adjunk meg két párhuzamos egyenest és egy háromszöget. Tükrözzük a háromszöget az egyik, majd a tükörképet a másik egyenesre. Mit állapíthatunk meg az eredményről? Adjunk meg egy szöget és egy szakaszt. Toljuk el a szakaszt úgy, hogy végpontjai a szög szárára kerüljenek! Szerkesszünk paralelogrammát úgy, hogy két szomszédos csúcsa két előre kitűzött pont legyen, másik két csúcsa pedig adott egyenesekre essék! Szerkesszünk trapézt négy adott oldalból! Adjunk meg egy kört és egy szakaszt. Toljuk el a szakaszt úgy, hogy a körnek húrja legyen! Mutassuk meg, hogy az egyenlő szárú háromszög alapjának egy pontjából a szárakig húzott és a szárakkal párhuzamos szakaszok összege állandó! Szerkesszünk négyszöget, ha adottak – előírt sorrendben – oldalai és két szemközti oldalegyenesének szöge! Szerkesszünk négyszöget, ha adottak előírt sorrendben szögei és két szemközti oldala! Szerkesszünk téglalapot, amelynek oldalegyenesei egy-egy ponton mennek át, és egyik oldala adott hosszúságú!
VEKTOROK 1.
2.
3.
4. 5.
6. 7.
8.
9.
10.
Egy négyzetnek rajzoljuk be mindkét átlóját! Az oldalakat és az átlókat irányítsuk úgy, hogy összesen 6 vektort kapjunk. Válasszuk ki ezek közül azokat, amelyeknek összege 0. Az ábra vektorai közül állítsuk elő a) a g – t az a és f segítségével; b) a h – t az a és f segítségével; c) az e –t a g és i segítségével!
Egy téglalap csúcsai legyenek A, B, C, D. Szerkesszük meg a következő vektorokat ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ a) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 b) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝐶𝐵 c) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d) 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 e) 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 f) 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ g) 𝐶𝐵 + 𝐷𝐶 + 𝐴𝐶 h) 𝐴𝐶 − 𝐵𝐷 i) 𝐶𝐷 − 𝐴𝐷 Az ABCD paralelogramma síkjában O tetszőleges pont. Bizonyítsuk be, hogy ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑂𝐴 Legyen ABCD egy tetszőleges paralelogramma. Bizonyítsuk be, hogy ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ a) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ c) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 Az a és b vektorok hossza egyenlő, és 120°-os szöget zárnak be egymással. Határozzuk meg az a + b hosszát! Egy O pontból egy tetszőleges A ponthoz az a vektor, egy másik B ponthoz a b vektor mutat. Bizonyítsuk be, hogy az AB szakasz F felezőpontjába mutató OF = f –re fennáll az f + f = a + b egyenlőség. Egy kocka A csúcsából kiinduló élvektorok a, b, c . Állapítsuk meg, hogy az alábbi vektorok közül melyek mutatnak az A-ból kiindulva valamelyik kockacsúcsba. a) a + b + c b) a + b – c c) a + c d) b – b e) a – b f) a + b + c - a A 2-es feladatban levő ábrán jelölt vektorok közül válasszuk ki a) az egyenlőket; b) az ellentetteket; c) adjunk meg olyan vektorokat, amelyeknek összege 0. Egy szabályos hatszög egyik csúcsából a többi öt csúcsba mutató vektorok legyenek rendre: a , b , c , d , e . Szerkesszük meg a következő vektorokat: a) a + b b) a + b + c + d + e c) a - b d) a - c e) c - a f) a + b - c
11. 12.
13.
g) a + d – c - b h) a + b – d - e i) a + a + b + b j) a + b + a + b Az a vektor hossza kétszerese a b vektorénak. Mekkora a két vektor szöge, ha a – b merőleges b – re? Egy kocka egyik csúcsából kiinduló élvektorok a , b , c . Állítsuk elő ezek segítségével (összegként, illetve különbségként) a) az összes lapátlóvektorokat; b) testátlóvektorokat. Adott a b vektor. Szerkesszük meg a következő vektorokat: 4 1 a) − 3 b b) 2b c) 0,5 b d) 3 b 4
14.
1
e) 5 b f) – b g) 4 b Adottak az a és b vektorok. Szerkesszük meg a következő vektorokat: a) a +1 2b b) a – 2b c) 2a – 3b 1 1 1 1 1 1 d) − 2 a + 3 b e) 2 a + 2 b f) 2 a + 2 b 2
1
1
2
15.
g) 3 a + 3 b h) 0,5 ( 2a – 3b) Adottak az a , b , c egysíkú vektorok. Szerkesszük meg a következő vektorokat: 1 1 a) 3 ( a + b + c ) b) 2 (a + b ) – c c) 3 [2𝐚 + 2 (𝐛 − 𝐜)]
16.
d) 3 a + 3 b + c e) a – 0,5 (b – c) Legyenek A, B, C, D, E adott pontok. Mekkora 𝜆 értéke, ha ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆 (𝐷𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 𝐸𝐴) Az ábrán adottak az a , b , x vektorok. Bontsuk fel x-et az a és b irányú összetevőkre.
17.
18. 19. 20.
21.
Egy O pontból az AB szakasz végpontjaihoz az a és b vektorok vezetnek. Bizonyítsuk 2 1 1 2 be, hogy az AB szakasz harmadolópontjaihoz vezető vektorok 3 a + 3 b és 3 a + 3 b . Mutassuk meg, hogy ha az AB szakasz végpontjainak a helyvektorai a , ill. b, akkor 1 1 felezőpontjának helyvektora 2 a + 2 b ! a) Bontsuk fel egy háromszög egyik szögfelező vektorát a kezdőpontjából kiinduló oldalvektorokkal párhuzamos összetevőkre. b) Legyenek a háromszög oldalai a, b, c. Határozzuk meg a párhuzamos összetevők együtthatóit is! Az a és b vektorok nem párhuzamosak, és egyik sem nullvektor. Határozzuk meg 𝛼 é𝑠 𝛽 értékét, ha a) 3 a + 5 b = 𝛼 a + (2𝛽 + 1) b b) (𝛼 + 𝛽 − 1) a – (2𝛼 − 𝛽) b = 0 c) 𝛼 a + 𝛽 b = ( 𝛽 + 1) a – (𝛼 − 1)b d) (2𝛼 − 𝛽 − 1)a – (3𝛼 + 𝛽 + 10)b = 0 .
EGYBEVÁGÓSÁG FOGALMA HÁROMSZÖGEK, SOKSZÖGEK EGYBEVÁGÓSÁGA 1.
2.
3. 4.
Bizonyítsuk be, hogy két háromszög egybevágó, ha megegyeznek a) két oldalban és az egyikhez tartozó súlyvonalban; b) két szögben és az egyikhez tartozó szögfelezőben; c) két szögben és a harmadikhoz tartozó szögfelezőben; d) két szögben és a harmadikhoz tartozó magasságban; e) két szögben és az egyikhez tartozó magasságban; f) egy oldalban, egy rajta fekvő szögben és az ehhez tartozó szögfelezőben; g) egy oldalban, egy rajta fekvő szögben és a szög csúcsából kiinduló magasságban. Bizonyítsuk be, hogy két egyenlő szárú háromszög egybevágó, ha megegyeznek: a) alapjukban és a vele szemközti szögben; b) alapjukban és a hozzá tartozó magasságban; c) alapjukban és a szárakhoz tartozó magasságban; d) alapjukban és szárukban; e) alapon fekvő szögükben és az alaphoz tartozó magasságban. Igazoljuk, hogy két négyszög egybevágó, ha megegyeznek oldalaikban és egy a megfelelő oldalak által közrefogott átlóban! Rajzoljunk négyzetet egy derékszögű háromszög átfogójára és egyik befogójára. Bizonyítsuk be, hogy az ábrán EB = CG!
5.
Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenlő oldalú háromszög minden oldalát egyenlő módon osztjuk két részre, akkor az osztópontok egy egyenlő oldalú háromszög csúcsai!
6.
Szerkesszünk háromszöget, ha adottak: a) ma ; fa ; 𝛼 b) c ; fa ; 𝛼 c) c ; ma ; fb ! Szerkesszünk háromszöget, ha adott a kerülete és a két szöge! Bizonyítsuk be, hogy két derékszögű háromszög egybevágó, ha a) két-két befogójuk egyenlő; b) átfogójuk és egyik befogójuk egyenlő; c) egy befogójuk és az ezzel szemközti szögük egyenlő!
7. 8.
