Egy szép és jó ábra csodákra képes… Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.
1. ábra Az a különlegessége, hogy valaki nem volt rest megcsinál(tat)ni, még ha sok is volt vele a munka. Ennek eredményeként villámgyorsan megérthető az igazolandó állítás, ami az alábbi. Tétel: Egy körhenger minden síkmetszete ellipszis, ha a metsző sík nem párhuzamos a körhenger tengelyével. Igazolás: Az 1. ábrán azt szemléltetik, hogy egy a sugarú körhengert egy α síkkal elmetszettek, mely a henger tengelyére merőleges β metszősíkkal φ szöget zár be. A β sík a körhengert egy k körben metszi. Azt akarjuk igazolni, hogy az α sík által előállított k’ metszeti görbe: ellipszis. Ehhez felvesszük α - ban az Oxy síkbeli derék szögű koordináta - rendszert, az 1. ábra szerint. Most válasszuk ki a k’ görbe egy tetszőleges M pontját, melynek k - n lévő vetülete az P pont, majd írjuk fel a M pont Oxy - beli koordinátáit! Az 1. ábra szerint:
x = OQ = OP ⋅ cos t = a ⋅ cos t , y=
QP OP ⋅ sin t a = = ⋅ sin t = b ⋅ sin t , cos ϕ cos ϕ cos ϕ
2
azaz:
x = a ⋅ cos t , y = b ⋅ sin t , ahol a b= . cos ϕ
(1)
Az ( 1 ) egyenletek egy ellipszis paraméteres egyenletrendszere, hiszen innen 2
2
x y 2 2 + = cos t + sin t = 1 , a b vagyis 2
2
x y + =1 , a b
(2)
ami pedig egy ellipszis kanonikus egyenlete. Megjegyzendő, hogy
, 0 ≤ ϕ < 90 .
b=
a ≥a cos ϕ
(3)
Itt b az ellipszis nagytengelye, a pedig a kistengelye. Értelemszerűen: ha φ = 0, akkor ( 1 ) és ( 3 ) szerint b = a, vagyis a síkmetszet kör. Ezzel igazolást nyert a fent kimondott tétel.
Megjegyzések: M1. Az 1. ábra „gusztust csinált” egyéb összefüggések felírására is, mintegy ismétlő jelleggel. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! Ez alapján az M pont koordinátáira írhatjuk, hogy
X = a ⋅ cos t , Y = a ⋅ sin t , Z = a ⋅ tgψ .
(4)
3
2. ábra Majd ( 4 ) - gyel is:
ρ = X 2 + Y 2 + Z 2 = a 2 ⋅ cos 2 t + a 2 ⋅ sin 2 t + a 2 ⋅ tg 2 ψ =
(
)
= a 2 ⋅ cos 2 t + sin 2 t + tg 2 ψ = a ⋅ 1 + tg 2 ψ , tehát:
ρ = a ⋅ 1 + tg 2 ψ .
(5)
Ezután megint ( 4 ) - gyel is:
tgϕ =
Z a ⋅ tgψ tgψ = = , Y a ⋅ sin t sin t
innen:
tgψ = tgϕ ⋅ sin t .
(6)
Most megint a 2. ábra alapján:
X = ρ ⋅ cos ϑ = ρ ⋅ cos ψ ⋅ cos t ,
és
(7)
4
d = ρ ⋅ sin ϑ = ρ ⋅
sin ψ . sin ϕ
(8)
Majd ( 7 ) és ( 8 ) - cal: sin ψ ρ⋅ d sin ψ 1 tgψ sin ϕ tgϑ = = , = ⋅ = X ρ ⋅ cos ψ ⋅ cos t sin ϕ cos ψ ⋅ cos t sin ϕ ⋅ cos t tehát:
tgϑ =
tgψ . sin ϕ ⋅ cos t
(9)
Ezután ( 6 ) és ( 9 ) - cel:
tgϑ =
tgϕ ⋅ sin t tgt = , sin ϕ⋅ cos t cos ϕ
tehát:
tgϑ =
tgt . cos ϕ
( 10 )
Majd a jellemző szögek összefüggései ( 6 ) és ( 10 ) - ből:
ψ (ϕ, t ) = arctg ( tgϕ ⋅ sin t ) , 1 ϑ(ϕ, t ) = arctg ⋅ tgt . cos ϕ
( 12 )
Ezután ( 5 ) és ( 6 ) szerint:
ρ(ϕ, t ) = a ⋅ 1 + tg 2 ϕ ⋅ sin 2 t . Azonos átalakításokkal, ( 10 ) - zel is:
tg 2t cos 2 ϕ ⋅ tg 2ϑ ρ 2 2 2 2 = 1 + tg ϕ ⋅ = = 1 + tg ϕ ⋅ sin t = 1 + tg ϕ ⋅ 1 + tg 2t 1 + cos 2 ϕ ⋅ tg 2ϑ a sin 2 ϕ⋅ tg 2 ϑ 1 + cos 2 ϕ ⋅ tg 2 ϑ + sin 2 ϕ ⋅ tg 2 ϑ = 1+ = ; 1 + cos 2 ϕ ⋅ tg 2 ϑ 1 + cos 2 ϕ ⋅ tg 2 ϑ 2
( 13 )
5
tovább alakítva:
(
)
2 2 2 2 1 + tg 2 ϑ 1 ρ 1 + tg ϑ⋅ cos ϕ + sin ϕ = = = = 2 2 2 2 2 1 + cos ϕ ⋅ tg ϑ 1 + cos ϕ ⋅ tg ϑ cos ϑ⋅ 1 + cos 2 ϕ ⋅ tg 2 ϑ a
=
(
)
1 , cos ϑ + cos 2 ϕ ⋅ sin 2 ϑ 2
innen ( 1 / 3 ) - mal is:
a2 1 1 ρ = = = , 2 2 2 2 2 2 2 cos ϑ sin ϑ cos ϑ + cos ϕ⋅ sin ϑ cos ϑ cos ϕ + ⋅ sin 2 ϑ + 2 2 2 a a a2 b 2
amiből:
ρ(ϑ) =
1 cos ϑ sin ϑ + 2 a2 b 2
2
.
( 14 )
Ez az ellipszis polárkoordinátás egyenlete, ahol a pólus az origó. Ugyanis (14 ) - gyel:
cos 2 ϑ sin 2 ϑ ρ ⋅ + 2 =1 , 2 a b ρ2 ⋅ cos 2 ϑ ρ2 ⋅ sin 2 ϑ + =1 , a2 b2 2
valamint a 2. ábráról is leolvasható
x = ρ ⋅ cos ϑ , y = ρ ⋅ sin ϑ
( 15 )
egyenletekkel ( 2 ) adódik. M2. Ha az 1. ábra szerinti P pont ω = áll. szögsebességgel kering O körül, akkor a t szögre írhatjuk, hogy t (τ) = ω⋅ τ , ( 16 ) ahol τ az idő - változó.
6
Most ( 10 ) - et az idő szerint differenciálva:
1 dϑ 1 1 dt ⋅ = ⋅ ⋅ ; cos 2 ϑ d τ cos ϕ cos 2 t d τ
( 17 )
bevezetve a ferde síkon történő keringés szögsebességére az
Ω=
dϑ dτ
( 18 )
jelölést, ( 16 ), ( 17 ) és ( 18 ) - cal kapjuk, hogy
ω cos 2 ϑ ω 1 + tg 2t Ω= ⋅ = ⋅ ; cos ϕ cos 2 t cos ϕ 1 + tg 2 ϑ
( 19 )
majd ( 10 ) és ( 19 ) - cel:
ω 1 + tg 2t 1 + tg 2t Ω= ⋅ = ω⋅ cos ϕ⋅ , tg 2t cos ϕ cos 2 ϕ + tg 2t 1+ cos 2 ϕ
( 20 )
vagy ( 16 ) és ( 20 ) - szal:
Ω ( τ ) = ω⋅ cos ϕ ⋅
1 + tg 2 ( ω⋅ τ )
cos 2 ϕ + tg 2 ( ω⋅ τ )
.
( 21 )
Eszerint a ferde síkon való keringés szögsebessége az időben periodikusan változik az
Ω ( τ = 0 ) = ω⋅ cos ϕ ⋅
1 + tg 2 ( ω⋅ 0 )
cos 2 ϕ + tg 2 ( ω⋅ 0 )
= ω⋅ cos ϕ⋅
1 ω = cos 2 ϕ cos ϕ ( 22 )
és az
π 1 + tg 2 π 2 Ωτ = = ω⋅ cos ϕ ⋅ 2⋅ω π cos 2 ϕ + tg 2 2
1 +1 2π tg 2 = ω⋅ cos ϕ⋅ = ω⋅ cos ϕ cos 2 ϕ +1 2π tg 2 ( 23 )
7
határok között. A 3. ábrán szemlélhetjük a ( 21 ) függvény lefutását, az alábbi adatokkal:
ω =1 2.8
1 , ϕ = 60 . s f(x)=2*(1+tan(x)*tan(x))/(1+4*tan(x)*tan(x))
Ω( 1 / s )
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
τ( s ) -0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
6.2
6.4
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
3. ábra M3. A fenti képletek alakja már máshonnan is ismerős lehet a figyelmes Olvasónak. Valóban, a kardáncsukló kinematikájával kapcsolatos korábbi dolgozataink szerint is éppen egy ( 10 ) alakú összefüggés áll fenn a hajtó és a hajtott tengelyek szögelfordu lásai között, így nem véletlen, hogy a szögsebességek formulái is ismerősek. Ezek szerint előttünk áll egy lehetséges geometriai szemléltető eszköz, a kardáncsukló működésének magyarázatához.
Forrás: [ 1 ] – Ефимов, Н. В. : Краткий курс аналитической геометрии (10-е изд.), М.: Наука, 1967. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2013. június 10.
