EGY NÖVEKEDÉSI MODELL VIZSGÁLATA NUMERIKUS MÓDSZEREKKEL

EGY NÖVEKEDÉSI MODELL VIZSGÁLATA NUMERIKUS MÓDSZEREKKEL Stagl Ádám I. évfolyam, pénzügy és számvitel szak Kaposvári Egyetem Gazdaságtudományi Kar, Kaposvár Matematika és Fizika Tanszék Konzulens: Dr. Kövér György egyetemi docens

ÖSSZEFOGLALÓ A dolgozat célja a Ramsey féle növekedési modell vizsgálata. A modell optimalitási kritériuma egy véges időszakon elért fogyasztás diszkontált értékének maximalizálása. A modellt három egymástól eltérő feladat elemzésére alkalmaztam. A fogyasztás évenkénti relatív változásának elemzésével hosszú távú – nyolc éves periódust és két egymást követő rövidebb – négy éves – periódus modelljét készítettem el. Létrehoztam egy alacsony induló tőkeállományú modellt, majd elemeztem az értékcsökkenés bevezetésének hatását a modellbe. Rámutattam, hogy megteremthető a Ramsey és Solow féle modellek közötti kapcsolat az egyensúlyi tőkeállomány nagyságának meghatározásán keresztül. Az elemzés kitér a technológiai fejlettség és az induló befektetett tőke változásának hatásaira, valamint a fogyasztás évenkénti változására tett kritériumok modellt befolyásoló hatásaira. A modell matematikai eszköze az MS Excel Solver modulja, melynek a korlátaira is rámutattam.

BEVEZETÉS A közgazdaságtan szakirodalma bőséges kínálatot nyújt matematikai modellek alkalmazásában. DEDÁK (2006) összefoglalja a növekedéssel foglalkozó modelleket. A legtöbb modell nem oldható meg analitikusan, ezért ezek numerikus vizsgálata szükséges. Viszont ha analitikusan megoldható a modell, akkor is érdemes kiszámítani numerikusan ellenőrzésképp. Összességében a numerikus eljárás elfogadott összetettebb modelleknél, melyek esetében analitikusan már nem jutunk eredményre. A dolgozat témájául szolgáló Ramsey féle növekedési modell változatosan használható fel közelmúltunk és napjaink makrogazdasági eseményeinek modellezésére ezért különösen aktuális a téma.

ANYAG ÉS MÓDSZER TAYLOR és UHLIG(1990) által módosított Ramsey féle növekedési modell vizsgálata áll a dolgozat középpontjában. A modell ismertetése és a számításokra felhasznált első változata megtalálható KENDRICK, MERCADO és AMMAN (2006) munkájában.

1

A növekedési modell A kibocsátást tekintsük a tőkeállomány és a technikai haladás függvényének(1). Ez termelési függvény a széles körben használt Cobb-Douglas-féle alakja. Rendszerint szerepel a függvényben mind a tőke- mind a munkaerő-állomány. Az egyszerűség kedvéért a termelési függvény ebben a modellben csak a tőkeállományt tartalmazza.

Yt = Θ Ktα ahol

Yt Θ Kt α

= = = =

(1)

kibocsátás t időszakban a technológiai fejlettség paramétere befektetett tőke nagysága t időszakban tőke kitevője a termelési függvényben

A modell egyik jellegzetessége, hogy hosszabb, de véges időtartományra vonatkozik, melyet a vizsgálataink során nyolc véges időszakra osztunk. A tőkefelhalmozás képlete a következő:

Kt+1 = Kt + Yt - Ct ahol

Ct

=

(2)

a fogyasztás a t időszakban.

Vagyis a befektetett tőke a következő időszakban megegyezik a jelenlegi periódus és a termelés és fogyasztás különbségének összegével (2), mely megtakarításként vagy befektetésként jelentkezik. A megtakarítást ebben a modellben nem megtakarítási ráta segítségével fejezzük ki, mivel hosszabb időszakot vizsgálunk és közben a megtakarítási ráta értéke változhat. Az elértéktelenedést a modell első változatában figyelmen kívül hagytam. Ezek után a termelési függvény (1) behelyettesíthető a tőkefelhalmozás képletébe (2).

Kt+1 = Kt + Θ Ktα - Ct

(3)

Hozzá kell tenni, hogy a modellben kezdeti feltételként meg kell határozni a befektetett tőkét mellyel a kezdeti periódusban rendelkezünk.

K0 adott.

(4)

A modell ezen felül tartalmaz egy végső feltételt is, mely tartalmaz egy fix tőkeösszeget, amit el kell érni, hogy a következő generáció is versenyképes maradjon a vizsgált időszak végeztével.

KN ≥ K * ahol

K*

=

(5)

alsó korlát a szükséges tőke nagysághoz a végső időszakban, N.

2

Végül a modellnek van egy optimalizálási feladata. A vizsgálati időtartam során az egyes időszakokban történt fogyasztás hasznossági értékeit diszkontálja, a jelenértékek összegét maximalizálja.

Ct(1-τ)

U(Ct) = ahol

U(Ct) = τ =

(6)

a hasznosság, amely a t időszak alatti fogyasztás függvénye a hasznossági függvény paramétere

A diszkontált hasznosságok összege pedig t

J=

U(Ct)

(7)

ahol

J = a hasznosságok jelenértékének összege β = diszkontálási tényező. BARTUS és munkatársai (2005) összefoglalták a társadalmi diszkontráta meghatározásának módszertanát. Ezek után behelyettesítve a hasznossági függvényt (6) a (7) képletbe kapjuk

J=

t

Ct(1-τ)

(8)

Összességében, a modell tartalmaz egy maximalizálandó kritérium függvényt(8), a tőkefelhalmozási egyenletet(3) és a kezdő- és vég feltételeket (4), (5). A feladat az, hogy úgy válasszuk meg az egyes időszakok fogyasztási értékeit, (C0,C1,…,CN-1)-t, hogy kritérium függvény(8) maximális értéket vegyen fel. Tehát a legfőbb probléma az egyes időszakok fogyasztás szintjének megválasztása, vagyis az egyensúly megtalálása a fogyasztás és befektetés között. Adott időszakban kisebb fogyasztás kisebb hasznossággal kecsegtet, viszont nagyobb megtakarítást és később magasabb tőkét, ami magasabb termelést eredményez. A modell nem tartalmazza külső erőforrás bevonását, sem az inflációt nem veszi figyelembe. Az MS Excel Solver A jól ismert táblázatkezelő program, az MS Excel, tartalmaz egy hatékony lineáris és nemlineáris problémamegoldó eljárást. Mivel az Excel felülete nagyon ismert és az optimalizálandó problémák megfogalmazása a kisebb feladatok esetében viszonylag egyszerű, ezért néha az Excel jobbnak bizonyul az optimalizálási feladatok megoldására mint más, nagyobb felkészültséget igénylő matematikai programok. Sőt, ha a modellünk elég egyszerű, nincs semmi előnye az Excel-lel szemben például a GAMS-nak, vagy MATLAB-nak, stb.

3

EREDMÉNYEK ÉS ÉRTÉKELÉSEK KENDRICK, MERCADO és AMMAN (2006) munkájában található növekedési modellt, melyet MS Excel környezetben valósítottak meg három különféle esetben alkalmaztuk. Az egyes esetekben a modell szükség szerinti módosítására is sor került. 1. Eset. 1.1

A modell fogyasztás-centrikus elemzése Az eredeti modell

KENDRICK és munkatársai (2006) rámutattak a modell által szolgáltatott fogyasztási adatok és a diszkonttényező kapcsolatára. A fogyasztási értékek ugyanakkor további vizsgálatokra is lehetőséget kínálnak. Az 1. táblázatban megtalálhatjuk az eredeti modell induló és számított értékeit. A számítások induló értékei egyfelől a paraméterek (tau, bet, alpha, theta) melyek számértékei szakirodalmi becslésekre alapozva adhatunk meg, másfelől az induló tőkeállomány (7 egység) és az a tőkefeltétel (9,1 egység) melyet a vizsgálati időszak után a következő generációra kell hagynunk. Az 1. táblázatban a fogyasztási értékek már azt a megoldást tükrözik, amely maximalizálja a diszkontált hasznosságok összegét. A leolvasható maximális érték 9,97 egység. 1. táblázat David Kendric és Ruben Mercado által kidolgozott eredeti növekedési modell

Időszak Fogyasztás Kibocsátás Tőkeállomány Hasznosság

0 0,347 0,570 7,000 1,178

1 0,351 0,576 7,223 1,161

2 0,355 0,582 7,448 1,144

Számítási paraméterek Tau 0,5 Beta 0,98 Alpha 0,33 Theta 0,3

3 0,358 0,588 7,676 1,126

4 0,361 0,594 7,906 1,108

5 0,364 0,599 8,138 1,090

6 0,366 0,605 8,373 1,072

7 0,368 0,611 8,612 1,054

Tőkefeltétel:

9,100

Összes hasznosság:

9,970

8 9 0,370 0,616 8,854 9,100 1,035

2. táblázat Az eredeti növekedési modell fogyasztási adataiból számított relatív fogyasztásváltozás Időszak Relatív fogyasztás változás

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1,012 1,011 1,010 1,008 1,008 1,007 1,006 1,005

4

0,375 0,370 0,365 0,360 0,355 0,350 0,345 0,340 0,335

1,014 1,012 1,01 1,008 1,006 1,004

relatív változás

fogyasztás

A fogyasztás és relatív változása

1,002 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

időszak

fogyasztás

relatív változás

Forrás: a 2. táblázat alapján, saját munka, 2008

1. ábra: Az eredeti növekedési modell fogyasztási adatai és a relatív fogyasztásváltozások. Az eredeti modell fogyasztási adataiból rajzolt görbe növekvő, ami a lakosság szempontjából tekintve kedvező, ugyanakkor konkáv. Azt jelenti számunkra, hogy növekszik ugyan a fogyasztás, de a növekedés mértéke egyre szerényebb. SÁGI (2005) kifejti, hogy a társadalmi stabilitás feltétele, hogy az állampolgárok észleljék a társadalmi-gazdasági trendeket és ezekkel elégedettek legyenek. Az észlelt relatív változásokat és a viszonyítási csoportokat is egyaránt fontosnak tartja az elégedettség szempontjából. Az 1. ábrán bemutatjuk, hogy a fogyasztás relatív változása a teljes vizsgálati idő alatt csökkenő. A fogyasztási görbe alakját a matematikai modell optimális megoldása – amely maximalizálta az összes hasznosságot – alakította konvexre. KORNAI (1995) tanulmányában részletes történelmi elemzését adja annak, hogy Magyarországon a politikai szférában bekövetkezett rendszerváltást követően is folyamatosan jellemezte az elmúlt harminc év fejlődését a lakosság anyagi jólétének a prioritása, erős paternalista jóléti állam. Ez a folyamat Kornai tanulmányát követően is folytatódott. Vizsgáljuk meg tehát azt, hogy modell hogyan módosítható. 1.2

Módosított modell: A fogyasztás relatív változása ne csökkenjen

A modell úgy módosítjuk, hogy a fogyasztás relatív változása ne csökkenjen. A MS Excel Solver korlátozó feltételei közé megadjuk azt, hogy az egymást követő időszakok fogyasztási adataiból számítható relatív növekedés legyen nagyobb, vagy egyenlő 1,02, majd ezt követően 1,04. A módosított modell optimalizálása után kapott fogyasztási adatokat a 2. ábrán találjuk. A modell továbbra is az előzőleg adott induló tőkeállománnyal és záró tőkefeltétellel optimalizálta a fogyasztási adatokat. Megfigyelhető, hogy azon az áron érte el a relatív fogyasztásváltozás szinten tartását, hogy az első néhány periódus fogyasztási adatát jelentősen le kellett csökkenteni. Ezzel egy időben a második félidőben a fogyasztási adatok magasabbak lettek. A modell eredményezett egy olyan fogyasztási görbét, amely hosszú távú társadalmi előrelátást, megegyezést igényel.

5

A fogyasztás három modell alapján 0,440 0,420

fogyasztás

0,400 0,380 0,360 0,340 0,320 0,300 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

időszak

Eredeti modell

Relatív változás=1,02

Relatív változás=1,04

Forrás: a 2. táblázat alapján, saját munka, 2008

2. ábra: Módosított növekedési modell. Fogyasztási adatok előírt relatív fogyasztásváltozások esetén. KORNAI (1995) tanulmányából és az azóta eltelt időszak tapasztalataiból ugyanakkor az derül ki, hogy ilyen hosszú távú gondolkodásmódra nem feltétlenül lehet számítani. A vizsgált időtartomány nyolc időszak, oszthatjuk két négyes intervallumra, mint két kormányzati időszak, félidőben egy politikai választás. Tapasztalataink szerint az első félidő kormánya nem vállalja, hogy kormányzása alatt olyan alacsony legyen a fogyasztás, mint amit a 2. ábra 1.04 relatív változású egyenese ábrázol. Bár „lendületes” a fogyasztás növekedése, jóval alacsonyabb, mint amit az eredeti modell konkáv görbéje lehetővé tesz. A félidőben bekövetkező választást elvesztené, viszont az utódja átvenne egy olyan gazdasági pályát, ahol a fogyasztás nem csak erősen növekszik, de már abszolút értékben is magas. Arra számíthatunk tehát, hogy a gondolatkísérletben szereplő első félidei kormány inkább a konkáv görbét választja, amely a második félidőre a „pangás” korszakát jelenti. Érdemes itt felhívni arra a figyelmet, hogy az összhasznosság maximuma csökkenhet, ha az eredeti modellt további korlátozó feltételekkel egészítjük ki, mint ahogyan ezt tettük a 2. ábra adatainak kiszámításakor. A 3. táblázatban láthatjuk, hogy valóban, minél inkább eltér a fogyasztási görbe az eredeti modell által szolgáltatott konvex görbétől, annál kisebb a számított összhasznosság. 3. táblázat Az összes hasznosság értéke csökkenhet, ha a modellt további korlátozó feltételekkel egészítjük ki. Modell

Eredeti modell


9,970

Relatív Relatív változás=1,02 változás=1,04 9,968

9,962

6

1.3

Módosított modell: A „pangás” elkerülése a második félidőben

Az előzőekben láttuk, hogy a rövid távú, választó-centrikus kormányzati politika számára nem elfogadható a fogyasztás alacsony szintről való indítása, mert a lakosság csak a második kormány alatt él át valódi prosperitást. A modellt úgy módosítottam, hogy a kezdeti időszakban ne legyen „károsan” alacsony a fogyasztás, de a második kormányzati periódusban legyen elérhető erőteljesebb fogyasztásnövekedés. Az eredeti modell konkáv görbéje az utolsó (nyolcadik) időszakban már csak fél százaléknyi növekedést mutat. Az MS Excel Solver korlátozó feltételét úgy adtam meg, hogy csak a hatodik, hetedik, nyolcadik időszakban legyen a fogyasztásnövekedés előre megadott mértékű. Az első öt időszakra ilyen korlátozó feltételt most nem írtam elő. A 3. ábrán látható az eredeti konkáv fogyasztási görbe mellett annak a modellnek az eredménye, ahol az utolsó három időszakra korlátozó feltétel volt az, hogy a relatív növekedés legyen legalább akkora, mint a legelső időszakban. A második kormányzati ciklusban módosított görbe alakja jól mutatja, hogy egy későbbi dinamikusan növekvő fogyasztásért a „jelenben fizetni kell”. A második kormányzati ciklus első időszaka a fogyasztás visszaesését szemlélteti. A fogyasztás három modell alapján 0,380 0,375

fogyasztás

0,370 0,365 0,360 0,355 0,350 0,345 0,340 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

időszak

Eredeti modell

Két ciklusú modell

Forrás: modell optimalizálás alapján, saját munka, 2008

3. ábra: Módosított növekedési modell. Fogyasztási adatok előírt relatív fogyasztásváltozások esetén. 2. Eset.

Alacsony induló tőkeállomány, fejlett technológia

A modell induló adatait és korlátozó feltételeit úgy adtam meg, hogy egy szélsőséges esetet is megvizsgálhassak. Az induló tőkeállományt alacsonyra (2 egység), a technológiai fejlettséget reprezentáló Θ értékét magasra (1 egység) választottam. Megnöveltem a tőke kitevőjét is. A záró tőkeállomány értékét nem változtattam meg.

7

A modell optimalizálása során az MS Excel Solver nem talált megoldást. Mivel a hasznosságmaximalizálás, mint kritérium változatlanul szerepel a modellben, olyan megoldásra tett kísérletet a Solver, amelyben a fogyasztás meghaladta a kibocsátást. A számítások elvégzését a negatív értékek megjelenése lehetetlenné tette. Azt a kiegészítő korlátozó feltételt adtam meg, hogy: a fogyasztás ne haladja meg a kibocsátást. A 4. táblázatban találhatjuk az optimalizált modellt. A 4.ábrán pedig láthatjuk a fogyasztás és a relatív fogyasztásváltozás görbéjét. A görbék értékelésekor megállapíthatjuk, hogy a céltőke elérhető a 9. időszak előtt a gyors növekedésnek köszönhetően, ugyanakkor a fogyasztás relatív változása ilyen látványos növekedés esetén is csökkenő lehet. 4. táblázat

Alacsony induló tőkeállomány, fejlett technológia. Időszak Fogyasztás Kibocsátás Tőkeállomány Hasznosság

0 0,335 1,414 2,000 1,157

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,531 0,785 1,107 1,508 2,008 2,634 3,017 3,017 1,755 2,074 2,365 2,617 2,821 2,962 3,017 3,017 3,079 4,303 5,592 6,850 7,959 8,772 9,100 9,100 9,100 1,428 1,702 1,981 2,266 2,561 2,875 3,016 2,955

Számítási paraméterek tau 0,5 beta 0,98 alpha 0,5 theta 1

Tőkefeltétel:

9,100


19,942

3,500

1,800 1,600 1,400 1,200 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000

fogyasztás

3,000 2,500 2,000 1,500 1,000 0,500 0,000 0

1

2

3

4

5

6

7

relatív változás

A fogyasztás és relatív változása

8

időszak

fogyasztás

relatív változás


4. ábra: Módosított növekedési modell: Alacsony induló tőkeállomány, fejlett technológia. Fogyasztási adatok előírt relatív fogyasztásváltozások esetén.

8

3. Eset.

A modell kiegészítése az értékcsökkenés figyelembevételével

KENDRICK, MERCADO és AMMAN (2006) munkájában található növekedési modell nem tartalmaz értékcsökkenést. A tradicionális Solow modell az értékcsökkenés figyelembevételével határozza meg a tőkeállomány egyensúlyi értékét (MANKIW, 2005). Bár a Ramsey és Solow modell eltér egymástól, az értékcsökkenés bevezetését érdemes a modellünkben elvégezni.. Az értékcsökkenés a tőkeállomány felhalmozódási ütemét csökkenti, a kibocsátásból nagyobb arányban kell megtakarítani, kevesebb fogyasztásra van lehetőség, ha a befejező időszakra előírt tőkefeltételt teljesíteni kívánjuk. Az értékcsökkenés három különböző értékével optimalizáltam a módosított modellt. 10%, 5% és 3% mértékét vettem számításba. Az induló (7 egység) és záró tőkeállomány (9,1 egység) azonos az eredeti modell adataival. A technikai fejlettséget reprezentáló Θ értékét 0,5-re növeltem, mivel csak nagyon alacsony értékcsökkenési adatok mellett vált elérhetővé a záró tőkeállomány feltétele. A fogyasztási adatok számított értékeit az 5. táblázat tartalmazza. Az 5. ábrán nyomon követhetjük a fogyasztás alakulását a három optimalizált modell esetén. Megfigyelhető, hogy a záró időszak tőkefeltételének teljesítési kényszere azt eredményezi, hogy a legmagasabb értékcsökkenés esetén csak csökkenő, alacsony fogyasztás mellett teljesíthető. 5. táblázat Az optimalizált modellek fogyasztási adatai értékcsökkenés esetén 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Időszak Ért. Csökkenés 0,478 0,453 0,429 0,405 0,381 0,357 0,335 0,312 0,291 10% Ért. Csökkenés 0,674 0,703 0,732 0,759 0,785 0,810 0,834 0,857 0,880 5% Ért. Csökkenés 0,705 0,763 0,824 0,884 0,947 1,012 1,081 1,152 1,225 3% A fogyasztás három értékcsökkenési százalék esetén 1,400 1,200

fogyasztás

1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

időszak

Ért. Csökkenés 10%




5. ábra: Módosított növekedési modell: Az értékcsökkenés bevezetése. A fogyasztási adatok három különböző értékcsökkenés esetén 9

A tőkeállomány számított értékeit a 6. táblázat tartalmazza. A 6. ábrán a tőkeállomány alakulását követhetjük nyomon a három optimalizált modell esetén. Megfigyelhető, hogy a záró időszak tőkefeltételét mind a három értékcsökkenés esetén teljesíteni lehet, ugyanakkor a görbék jellege teljesen eltérő. Konvex és konkáv eset is megfigyelhető. 6. táblázat Az optimalizált modellek fogyasztási adatai értékcsökkenés esetén Időszak

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Értékcsökkenés 10%

7,000 7,145 7,314 7,506

7,721 7,957 8,214

8,491 8,787

9,100


7,000 7,299 7,582 7,848

8,098 8,331 8,547

8,748 8,932

9,100


7,000 7,408 7,783 8,121

8,418 8,669 8,869

9,011 9,090 9,100

A tőkeállomány három értékcsökkenési százalék esetén 9,500 9,000

tőkeállomány

8,500 8,000 7,500 7,000 6,500 6,000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

időszak





6. ábra: Módosított növekedési modell: Az értékcsökkenés bevezetése. A tőkeállomány számított adatai három különböző értékcsökkenés esetén

10

A Ramsey és Solow modell eltéréseinek ellenére tehetünk egy kísérletet arra, hogy a Solow féle egyensúlyi tőkeállomány mértékét meghatározzuk. MANKIW (2005) alapján az egyensúlyi tőkeállományra felírható

ahol

k* s δ

k* s = * f (k ) δ = az egyensúlyi tőkeállomány = megtakarítási ráta = értékcsökkenés

(9)

7. táblázat A meghatározható egyensúlyi tőkeállomány értékcsökkenés esetén

Minimális megtakarítási ráta Átlagos megtakarítási ráta




8,44

181,46

552,58

14,61

244,26

1012,82

A három értékcsökkenést tartalmazó modell megtakarítási rátája az optimalizálást követően meghatározható. Azonban az a Ramsey modellnek megfelelően minden egyes időszakra (0-8) más-más. A megtakarítási ráták közül kiválasztható a minimális érték, ennek a felhasználásával adódik a legkisebb egyensúlyi tőkeállomány (7. táblázat). Mivel a megtakarítási ráta folyamatosan változik, az átlagos értékét is figyelembe vettem az egyensúlyi tőkeállomány meghatározásához. A 7. táblázatból megállapítható, hogy az értékcsökkenést tartalmazó modellek egyensúlyi tőkeállománya csak akkor nem éri el a 9,1 egységnyi értéket, amely a záró tőkefeltétel, ha az értékcsökkenés 10% és az időszak minimális megtakarítási rátájával számolunk. Minden más esetben eléri.

KÖVETKEZTETÉSEK ÉS JAVASLATOK A vizsgált növekedési modell tanulmányozása alapján megállapítható, hogy a modell alkalmas arra, hogy megfelelő módosításokkal, korlátozó feltételekkel úgy alakítsuk, hogy valós tapasztalatokkal egybevethető eredményeket szolgáltassanak. Alkalmasnak bizonyult a modell arra, hogy két politikai cikluson keresztül ívelő, hosszú távú, tartós fogyasztásnövekedést tükrözzön, illetve sikeresen modelleztük a rövid távú, választó-centrikus szemléleten alapuló fogyasztáspolitikát. Az értékcsökkenés bevezetésével lehetővé vált a Ramsey és Solow modellek együttes vizsgálata. Az MS Excel Solver használatában nehézségek mutatkoztak mind az alacsony induló tőkeállomány adattal indított, mind az értékcsökkenéssel kiegészített modellek optimalizálása esetén. Kiderült, hogy rendkívül fontos az optimalizálás végeredményeként meghatározásra kerülő fogyasztási adatok induló értékének megválasztása. A Solver erre nagyon érzékeny, az optimalizálás folyamata optimum érték meghatározása nélkül fejeződhet be.

11

IRODALOMJEGYZÉK (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Kendrick, D. A., Mercado, P., R., Amman, H., M.: Computational economics Princeton University Press 2006. 13-31. Mankiw, N., G.: Makroökonómia, Osiris Kiadó, Budapest, 2005. 111-153. Sági, M.:A lakossági elégedettség alakulása. TÁRKI monitor jelentések 2005. Budapest 2006, szerk Szivós , P., Tóth, I., Gy. 149-160 Bartus, G., Monostori K., Szabó K.: A fejlesztéspolitikai intézkedések teljes társadalmi költségének becslése. TÁRKI, Budapest, 2005 5-60 Kornai J.: Négy jellegzetesség. Közgazdasági szemle, XLII évf., 1995. 12. sz. 10971117 Taylor J. B., Uhlig H.: "Solving Nonlinear Stochastic Growth Models: A Comparison of Alternative Solution Methods", Journal of Business and Economic Statistics, 1990 8, 1-17 Dedák I.:A megtakarítások és a növekedés kapcsolata egy kis nyitott gazdaságban, a globalizálódó világban. Gazdasági növekedés Magyarországon (szerk.: Dombi Ákos) Műegyetemi Kiadó 2005.

12

EGY NÖVEKEDÉSI MODELL VIZSGÁLATA NUMERIKUS MÓDSZEREKKEL

Recommend Documents