Egy kis csoportos elmélet Molnár Attila
1. Röviden és tömören és keveset. . . 1. Definíció (Csoport). Egy G halmaz csoport, ha értelmezett rajta egy művelet, melyre teljesül, hogy • Asszociatív: (∀a, b, c ∈ G) (a b) c = a (b c) • Van neutrális elem: (∃e ∈ G)(∀g ∈ G) e g = g e = g
• Minden elemének van inverze: (∀g ∈ G)(∃g −1 ∈ G) g g −1 = g −1 g = e ahol e (az) egységelem. 2. Definíció (Abel-csoport). Abel-csoportnak nevezzük a kommutatív csoportokat, azaz a fenti felsoroláshoz még képzeljük hozzá ezt: • Kommutatív: (∀a, b ∈ G) a b = b a 3. Definíció (Részcsoport). A G csoportban H egy részcsoport, ha H minden eleme G-nek is eleme, és csoportot alkot a G-beli műveletre nézve. Jelölés: H ≤ G. 4. Állítás. Akkor és csak akkor igaz, hogy H ≤ G, ha 1. H zárt a műveletre, (∀h1 , h2 ∈ H) h1 h2 ∈ H
2. H tartalmazza G neutrális elemét. (∃e ∈ G)(∀g ∈ G) (e g = g ∧ g e = g) → (∀h ∈ H)(e h = h ∧ h e = h) 3. H zárt az inverzképzésre. (∀h ∈ H) h−1 ∈ H
Néhány észrevétel: • A második pont ekvivalens azzal a kikötéssel, hogy H nem üres. • A G és H egységeleme ugyanaz.
1
2. Csoportok innen, csoportok onnan... 2.1. Variációk egész számokra Z+ : Az egész számok az összeadásra nézve: G := Z = {. . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . .} e := 0 + Z := + g −1 := −g Z+ n : Az egész számok az összeadásra nézve modulo n. Ez azt jelenti, hogy a számok n-nel vett osztási maradékai jöhetnek csak szóba. Pl. ha n = 6, akkor bár nyugodtan írhatunk 8-at, az nem fog mást jelenteni, mint 2-t, 14-et, vagy akár 600002-t. (Az elemek most tehát nem a szokásos számaink, hanem az osztási maradék alapján vett ekvivalenciaosztályok lesznek, melyeket egy-egy elemükkel reprezentálunk, pl. a 6-tal osztva 4 maradékot adókat a 4-gyel:) Z+ n
G
:= Zn = {0, 1, 2, . . . n − 1} | {z } + |Zn |=n
e := 0 := + g −1 := −g = n − g
Z× n : Az egész számok a szorzásra nézve modulo n: Itt most kihagyjuk a nullát, mert azzal elromlana az inverztulajdonság, és elhagyunk minden olyan számot, amely osztja n-t – hiszen akkor megkapnánk a 0-át. Tehát azokat a számokat fogja ez tartalmazni, amelyek relatív prímek n-hez, és így a |Z× n | = ϕ(n), ahol ϕ a számelméletből ismert Euler-féle ϕ függvény (ami a számhoz a hozzá relatív prímek számát rendeli). G := Zn = {1, . . . n − 1} | {z } × |=ϕ(n) |Zn Z× e := 1 n := · g −1 := spec. Itt az inverzképzés egyébként érdekes: Z× 5 -ben pl. 1−1 2−1 3−1 4−1
=1 =3⇐2·3=6≡1 =2 = 4 ⇐ 4 · 4 = 16 ≡ 1 = (−1)(−1) ≡ 4 · 4
2
2.2. Cserebere-forgatós: Szimmetriacsoportok, permutációcsoportok Sn◦ : Ezek az úgynevezett szimmetriacsoportok. Nevüket onnan kapták, hogy elemeik afféle szimmetriák; Olyan bijekciók, amelyek egy alakzatot önmagába visznek. Elképzelhetjük ezt például úgy, hogy egy négyzet csúcsait valamilyen trükkös módszerrel összekeverjük, megpermutáljuk. Ez a permutáció egy elem lesz tehát a csoportban (tehát nem a csúcsok az elemek, hanem ezek a permutációk!). A csoportok közti művelet pedig – lévén függvények az elemek – a kompozíció. Mondjuk egy ilyen elem, ha egy kocka két csúcsát megcseréljük, a többit meg meghagyjuk. Adja magát, hogy az ilyen permutációkat megadhatjuk a következőképpen, mondjuk S4 -ben: 1 2 3 4 g= 2 1 3 4 Ez azt mondja, hogy az 1-essel megjelölt csúcs a 2-essel megjelölt csúcs helyére kerül, míg a 2ssel megjelölt csúcs az 1-essel megjelölt csúcs helyére kerül – azaz helyet cserélnek. Világos, hogy ennek az elemnek a négyzete (g ◦ g) maga az id identitás, azaz egységelem. Ennek az elemnek tehát például önmaga az inverze. Bár ez egy alkalmas jelölés, mégsem ezt fogjuk általában használni. Az előbbi esetben felírhatjuk azokat a köröket, amik egy idő után önmagukba visszatérnek. Az előbbi tehát így nézne ki (lineárisan fogjuk írni, de ’képzeljük őket körbe’ !): g = (12)(3)(4) De mivel a g = (12) pont ugyanolyan beszédes, ezért az ilyen egyes köröket elhagyjuk. Tehát mégegyszer: egy ilyen (123 . . . k) sorban úgy működik a körbepermutálás, hogy minden szám a következőbe jut, az utolsó pedig az elsőbe. Ebből már persze következik, hogy egy ilyen k hosszú körnek a k-szorosa lesz az inverze. Lássunk akkor egy műveletet! (A kompozíciót egymás mellé írással rövidítjük) (123)(23) Az algoritmus a következő: Leírjuk a következőt: (1 Majd elgondolkodunk, hova viszi az 1-et az első függvény? (Figyelem! Kompozíció miatt jobbról megyünk, azaz most a (23)-on kell töprengenünk!) Hát az első függvény sehova sem (azaz önmagába) viszi. Hova viszi a második, azaz az (123) ? Hát ez bizony a 2-esbe viszi. Akkor továbbírjuk: az 1-est ez bizony a 2-esbe viszi: (12 Hát a kettesel mi történik? a 2-est az első (jobbról persze) a 3-asba viszi. Remek! Hova viszi a második a 3-ast? Hát az egyesbe. Ezzel azonban körbeértünk, a zárójelt bezárhatjuk: (12) Persze mehetnénk tovább, de rögtön látszik is ezen meggondolásokból, hogy a 3-as önmagába kerül vissza. Tehát: (123)(23) = (12) Kombinatorikai ismereteinkből egyébként azt is pontosan tudjuk, hogy Sn -ben n! darab ilyen elem lesz. Tömören tehát a kis összefoglaló: 1 2 3 ... 1 2 3 ... 1 2 3 ... G := Sn = { 1 2 3 . . . , 2 1 3 . . . , . . . , n n − 1 n − 2 . . . } {z } | id | {z } n!) S◦n = {id, (12), . . . , (1 . . . n)} {z } | ◦ |=n!) |Sn e := id := ◦ g −1 := g −1 3
2.3. Tükrözős-forgatós: Diédercsoportok Dn◦ : Ez egy olyan speciális szimmetriacsoport, ahol az alakzat egy szabályos n-oldalú sokszög, és a csoport elemei nem akármilyen bijekciók, hanem a távolságtartó bijekciók: Ezeket a geometriában egybevágóságoknak nevezzük. A középiskolában lényegében három egybevágósággal találkozhattunk: Eltolással, forgatással1 és tengelyes tükrözéssel. Sokszög önmagába vivő bijekcióit az eltolások közt biztosan nem kell keresnünk. Forgatások jók lesznek, ebből természetesen n darab van, mert a forgatásokkal a többi n − 1 csúcsba juthatunk el, és még ott van az identitás, ami talán csúnyán mondva 0◦ -os forgatás. Tükrözésből szintén n darab van, mivel páratlan csúcsú sokszögek esetén minden csúcsra jut egy, páros csúcsúak esetén minden második csúcsra és minden második oldalfelezőpontra jut egy. Összesen tehát 2n darab elem lesz ebben az elemben. Vegyük észre, hogy a tükrözések és a forgatások élesen különböznek egymástól, hiszen a tükrözések megfordítják a sokszög körüljárását, míg a forgatások ilyet nem tesznek 2 – azaz nem számoltunk egy elemet kétszer. A diédercsoport elemeinek a felírása a következő stratégiát követi: Az identikus leképezés szokás szerint id lesz. A forgatások megkapható a legkisebb szögű forgatás különböző hatványaiként3 , így azokat majd f hatványaival fogjuk jelölni. A tükrözések pedig megkaphatók úgy, hogy vesszük az egyik tükrözés tengelyét, majd ha ez megvan, akkor előbb a kívánt helyre forgatunk, és csak utána tükrözünk. Tehát a diédercsoport elemei (ne felejtsük, hogy a művelet a kompozíció, ami jobbról kezdendő!): Dn = {id, f, f 2 , . . . , f n−1 , t, tf, tf 2 , . . . , tf n−1 } D◦n
G
:= Dn = {id, f, f 2 , . . . , f n−1 , t, tf, tf 2 , . . . , tf n−1 } {z } | ◦ |=2n |Dn
e := id := ◦ g −1 := spec.
Itt is egymásmelléírással fogjuk írni a kompozíciót. Csináljunk itt is egy kis számolást, mondjuk D6◦ -ben: (tf 3 )(f 4 )(t)(tf 5 )(t)(f 2 ) Azon fogunk lovagolni, hogy a tükrözés inverze önmaga, a forgatások modulo működnek, valamint a szorzás asszociatív és végül azon, hogy igaz a következő: tf k t = f −k Ez onnan látszik, hogy a jobbról szorozva f k -val és kicsit csoportosítva a következő adódik: (tf k )(tf k ) = id Amiről tudjuk, hogy igaz, hiszen tf k valamelyik tengelyes tükrözés, ami saját magának az inverze. (Ennek a tengelye ugye k forgatásnyira van a t tengelytől.)4 A középpontos tükrözés a forgatás speciális esete: ϕ = 180◦ úgy mondják, hogy a tükrözések irányításváltó transzformációk, míg forgatások irányítástartó egybevágóságok – azaz ún. mozgások. 3 : Már úgy is fogalmazhatunk, hogy a forgatások részcsoportja ciklikus és a legkisebb szögű forgatás generálja. Azaz nem más, mint hf i. 4 Becsületesen azért a következőt kéne írnom: tf k t−1 = f −k Ez ugye ugyanaz, hiszen a tükrözések inverzei önmaguk. Mégis fontos, hogy a baloldalon egy bizonyos művelet áll, melynek neve: konjugálás. A baloldalon lévő dolog nem más, mint f k -nak a t-vel való konjugálása. Ez a művelet nem csak itt, nagyon sok helyen előfordul, és szinte mindenütt kivételes jelentősége van. Kategóriaelmélet szemüvegén keresztül egyébként (az objektumok helyébe rögtön egy példát helyettesítve): 1:
2 Ezt
/
[1234]
[3214]
=
/
[2341] kommutatív.
4
[4321]
Tehát a példa: (tf 3 )(f 4 )(t)(tf 5 )(t)(f 2 )
= t f 5 f 4 |{z} tt f 5 tf 2 | {z }
=
id
f2
=
t f 2 f 5 tf 2 | {z }
=
=
tf t f 2 |{z}
=
=
f −1 f 2
=
f
f −1
f
2.4. Kvaterniók Q: A kvaterniócsoport. Q·
G
:= Q = {1, i, j, k, (−1), (−i), (−j), (−k)} | {z } |Q· |=8
e := 1 := · g g −1 := −g
, ha g=1 máskor
A szorzás pedig a következőképpen megy:5 i2 = j 2 = k 2 = (−1),
ij = k jk = i , ki = j
ji = (−k) kj = (−i) , ik = (−j)
(−1)i = (−i) (−1)j = (−j) (−1)k = (−k)
Egy példa: k(−1)ji3 k 2 (−k)ij(−k)jji = (−k)ji3 k 2 (−k)ij(−k)jji = = (−k)(−k)i2 k 2 (−k)ij(−k)jji = = (−1)2 k 2 i2 k 2 (−k)ij(−k)jji = = (−1)i2 k 2 (−k)ij(−k)jji = = (−1)(−1)k 2 (−k)ij(−k)jji = = k 2 (−k)ij(−k)jji = = (−1)(−k)ij(−k)jji = = kij(−k)jji = = jj(−k)jji = = (−1)(−k)jji = = kjji = = k(−1)i = = (−1)ki = = (−1)j = −j 5 Azt, hogy a szorzás asszociatív, úgy látjuk be, hogy a kvaterniócsoport izomorf a következő komplex számok fölötti 2 × 2-es mátrixok által generált részcsoporttal (ez két bizonyítandó: részcsoport/izomorfia): „ « „ « „ « „ « 1 0 i 0 0 1 0 i E= I= J= K= 0 1 0 −i −1 0 i 0 „ « „ « „ « „ « −1 0 −i 0 0 −1 0 −i −E = −I = −J = −K = 0 −1 0 i 1 0 −i 0
5
2.5. Táblázatok, listák ... Mátrixok GL(2, C): Általános lineáris csoport. Ezek elemei C komplex test fölötti 2 × 2-es invertálható (azaz kétoldali inverzzel rendelkező) mátrixok, a művelet pedig a mátrixszorzás.6 a b G := GL(2, C) = : a, b, c, d ∈ C c d 1 0 · e := E = GL(2, C) 0 1 := · g −1 := spec. A mátrixszorzás:
a2 c2
b2 d2
a1 c1 a1 a2 + c1 b2 a1 c2 + c1 d2
b1 d1 b1 a2 + d1 b2 b1 c2 + d1 d2
6 Természetesen lehet 2 helyett tetszőleges n-re is venni, ez esetben mindenhol ki kell cserélni a 2-t n-re. (Például az inverznél!)
6
3. És most némi elmélkedés a csoportokon belül. 3.1. Mellékosztályozás 5. Definíció (Mellékosztályok). Legyen H = (H, ) a G = (G, ) csoport egy H ≤ G részcsoportja. Ha veszünk egy rögzített g ∈ G elemet, akkor a következő halmazt gH halmazt a G csoport H szerinti bal oldai mellékosztályának nevezzük: gH = {g h : h ∈ H} Hasonlóképp értelmezzük a G csoport H szerinti jobb oldali mellékosztályát is: Hg = {h g : h ∈ H} 6. Állítás. A G csoport H részcsoportjának összes lehetséges baloldali mellékosztályai egy felosztását adja a G alaphalmazának. Ugyanígy tesznek a H szerinti jobboldali mellékosztályok is. Például: Vegyük a G = S3 szimmetrikus csoportot! Ebben (egy igen egyszerű) részcsoportot alkot a H = ({1, (12)}, ◦}. Nézzük meg S3 csoport H szerinti baloldali mellékosztályait. 1. idH = {id ◦ id, id ◦ (12)} = {id, (12)} 2. (12)H = {(12) ◦ id, (12) ◦ (12)} = {(12), id} 3. (23)H = {(23) ◦ id, (23) ◦ (12)} = {(23), (132)} g ∈ G-re gH : 4. (13)H = {(13) ◦ id, (13) ◦ (12)} = {(13), (123)} 5. (123)H = {(123) ◦ id, (123) ◦ (12)} = {(123), (13)} 6. (132)H = {(132) ◦ id, (132) ◦ (12)} = {(132), (23)} Sikeresen mindent kétszer mondtunk, kétszer mondtunk, ennek hol a gyökere? látjuk, hogy pl.: (132) ◦ (12) = (23) (23) ◦ (12) = (132) Márpedig ha jobbról komponáljuk az elsőt (12)−1 = (12)-vel, akkor rögtön megkapjuk a másodikat. Hát ezért. Tehát a csoportunk felosztása a H szerinti bal oldali mellékosztályokkal valahogy így néz ki: GF = {H, (13)H, (23)H} = {{id, (12)}, {(13), (123)}, {(23), (132)}} Vagy ábrán, kicsit bénán rajzolva: id H
(12)
(123) (132) GG GG www wwGGG H(23) ww GH(13) w (23) (13)
Míg a jobboldali mellékosztályok szerinti felosztás: 1. Hid = {id ◦ id, (12) ◦ id} 2. H(12) = {id ◦ (12), (12) ◦ (12)} 3. H(23) = {id ◦ (23), (12) ◦ (23)} g ∈ G-re Hg : 4. H(13) = {id ◦ (13), (12) ◦ (13)} 5. H(123) = {id ◦ (123), (12) ◦ (123)} 6. H(132) = {id ◦ (132), (12) ◦ (132)}
id H
(12)
(123) H(23)
(23)
7
(132) H(13)
(13)
= = = = = =
{id, (12)} {(12), id} {(23), (123)} {(13), (132)} {(123), (23)} {(132), (13)}
Tehát ez a H hol így oszt, hol úgy oszt, attól függően, hogy bal vagy jobboldali mellékosztály. No de vegyük most az N = {id, (123), (132)} részcsoportot! Nézzük meg ennek a jobb és baloldali mellékosztályait! (Mivel részcsoport, a benne lévő elemekkel megszorozni és kíváncsian várni az eredményül kapott halmazt igen kiábrándító, és ezért azokat most nem végezzük el. 2. (12)N = {(12) ◦ id, (12) ◦ (123), (12) ◦ (132)} = {(12), (23), (13)} g ∈ G-re gN : 4. (23)N = {(23) ◦ id, (23) ◦ (123), (23) ◦ (132)} = {(23), (13), (12)} 6. (13)N = {(13) ◦ id, (13) ◦ (123), (13) ◦ (132)} = {(13), (12), (23)} 2. N (12) = {id ◦ (12), (123) ◦ (12), (132) ◦ (12)} = {(12), (13), (23)} g ∈ G-re gN : 4. N (23) = {id ◦ (23), (123) ◦ (23), (132) ◦ (23)} = {(23), (12), (13)} 6. N (13) = {id ◦ (13), (123) ◦ (13), (132) ◦ (13)} = {(13), (23), (12)} De ezen sem kellene meglepődnünk. Mondjunk legalább 3 indoklást, hogy miért nem kellett volna ezt háromszor végigszámolni! id
(12)
N
(123)
N (12) (12)N
(23)
N
N (12) (12)N
(132)
(13)
És ami a szép, hogy ebben az esetben: gN = N g
3.2. Normálosztó 7. Definíció. Egy ilyen G csoportot ilyen szépen, normálisan szétosztó N részcsoportokat normálosztóknak nevezzük. Tehát amire a fenti teljesül, jelölésben N C G ⇐⇒ (∀g ∈ G) N ≤ G → gN = N g def.
8. Megjegyzés. Talán nem meglepő, hogy Abel-csoportban minden részcsoport normálosztó. Nézzük meg ezt egy kicsit közelebbről! gN = N g az tulajdonképpen nem más, mint ( ez most nem egyszerű leosztás leosztás lesz, mivel komplexusszorzásról van szó, de igazából arra is igaz): gN g −1 = N Ami tulajdonképpen azt jelenti, hogy (∀g ∈ G)(∀n ∈ N )(g n g −1 ∈ N ) Amit úgy is szokás mondani, hogy N zárt a g-vel való konjugálásra. Ez ad a kezünkbe egy relációt. Az a ∈ G és b ∈ G konjugáltak, ha aKb ⇐⇒ (∃g ∈ G) g a g −1 = b def.
Ez egy ekvivalenciareláció: reflexív: aKa mert e a e−1 = a vagy a a a−1 = a 8
szimmetrikus: aKb ⇐⇒ bKa mert g a g −1 = b ⇒ a = (g −1 ) b (g −1 )−1 tranzitív: (aKb ∧ bKc) ⇒ aKc mert g a g −1 = b h b h−1 = c h g a g −1 h−1 = c (h g) a (h g)−1 = c Tehát a normálosztó képes konjugáltosztályokra, azaz konjugálásra zárt osztályokra bontani a csoportját. Ezek közt az osztályok közt értelmezünk is mindjárt egy műveletet, és kapunk egy újabb csoportot, az ún. faktorcsoportot. Ez jól jön akkor, mikor konkrét elemek helyett valamilyen invariánst szeretnénk megragadni, amiről tudjuk, hogy nem elemet, hanem hasonló elemeket, egy osztályban lévő elemeket jellemez.
3.3. Faktorcsoport
4. Elmélkedés a csoportok közt: Homomorfizmusok
9
