1
ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ 32 Základní èástice 33 Dynamika mikroèástic 34 Atom - elektronový obal 35 Atomové jádro 36 Radioaktivita 37 Molekuly
TABULKA: Základní èástice
Druh
Název
Spin náboj
Klidová hmotnost (me)
èástice pole
Leptony
Mezony
Energetický
Poloèas
ekvivalent
rozpadu
(MeV)
(s)
foton
1/ 0
0
0
stabilní
graviton
1
0
0
stabilní
neutríno e
1/2
0
0
stabilní
neutríno í
1/2
0
0
stabilní
elektron
1/2 / -1 e
1
0,51
stabilní
mezon ì
1/2
207
106
1,5.10-6
mezon (neutr.) ð
0
264
135
7.10-17
mezon (elektr. nabitý) Ê
0
273
140
1,8.10-8
mezon ç
0
1073
548
1.10-18
2 Baryony
proton
1/2 / +1e
1836
938
stabilní
neutron
1/2 / 0
1839
940
6,5.102
hyperon
1/2
2182
1115
1,7.10-10
hyperon (neutr.) Ë
1/2
2332
1194
1,0.10-12
hyperon (elektr. nabitý) Ó
1/2
2341
1197
1,2.10-10
hyperon (neutr.) Ó
1/2
2571
1310
1,0.10-10
hyperon (elektr. nabitý) Ó
1/2
2583
1320
0,9.10-10
hyperon Ù
3/2
3290
1676
1.10-10
Co je to dynamika mikroèástic? Ukažme si typický experiment - tunelování
33 DYNAMIKA MIKROÈÁSTIC Mikroèástice v potenciálové jámì Tunelový jev Harmonický oscilátor
Mikroèástice se pøi svém pohybu vyznaèují mnoha zvláštnostmi, které pomocí klasické fyziky nelze vysvìtlit a jsou èasto v pøímém rozporu se "zdravým" rozumem. Tyto zvláštnosti však vyplývají úplnì pøirozenì ze Schrödingerovy rovnice, a co je nejdùležitìjší, jsou v dokonalém souhlase s experimentem. Triviálním pøípadem je pohyb úplnì volné èástice. Jelikož na ni nepùsobí vnìjší síla, je
3 Wp=konst., což pøi vhodné volbì vztažnésoustavy pøejde na Wp=0, a øešení rovnice (31.2) - napø. pro èástici pohybující se ve smìru osy +x mùžeme vyjádøit ve tvaru
V pøípadì volné èástice nemáme žádné omezující podmínky, proto i energie W vystupující v této funkci mùže mít libovolnou hodnotu.
Èástice v potenciálové jámì
33.1 Mikroèástice v potenciálové jámì Velmi ilustrativním pøíkladem zvláštností pøi pohybu mikroèástic je jejich pohyb v tzv. potenciálové jámì. Je to prostor, ve kterém má èástice menší potenciální energii, než mimo nìj. Pøíkladem potenciálové jámy mùže být elektron v atomu ( obr. 33.1).
O b r. 33.1 Pøíklad reálné potenciálové jámy
4 33.1
ÈÁSTICE V “JÁMÌ”
Celková energie èástice v nekoneènì hluboké potenciálové jámì je kvantovaná a je urèena vztahem (33.1)
kde n je kvantové èíslo, a je šíøka potenciálové jámy a m je hmotnost èástice.
Obr. 33.2 Nekoneènì hluboká pravoúhlá potenciálová jáma
Obr. 33.3 Rozložení hustoty pravdìpodobnosti výskytu èástice v potenciálové jám ì pro nejnižší dovolené stavy n = 1, 2, 3
Odvození Matematicky definujeme nekoneènou potenciálovou jámu podmínkami (obr. 33.2).
(33.3) Jelikož jsme položili Wp=0, má Schrödingerova rovnice pro oblast potenciálové jámy tvar
5
(33.4)
a její øešení je urèeno funkcí
(33.5)
Potenciálové stìny jsou nekoneènì vysoké, proto pravdìpodobnosti výskytu mikroèásice na hranicích potenciálové jámy jsou rovny nule, což mùžeme vyjádøit podmínkami
(33.6)
Prvou z nich splníme volbou B=-A, takže øešení (33.5) mùžeme napsat ve tvaru
(33.7) Druhou podmínku (33.6) splníme tak, že požadujeme splnìní rovnice sin pa/S=0. Vyhovují jí øešení splòující podmínku
(33.8) Z této rovnice vyplývá, že energie mikroèástice W mùže nabýt jen urèité diskrétní hodnoty urèené vztahem (33.1). Rozdíl mezi prvými dvìma energetickými hladinami je ( obr. 33.3.)
Pro elektron s hmotností mÑ10-30 kg v potenciálové jámì šíøky rovnající se meziatomové vzdálenosti v krystalech (aÑ0,3 nm) je tato energie pøibližnì ÄWÑ13 eV. Pro makroskopické èástice (napø. balon s hmotností m=0,1 kg se vzdáleností mezi stìnami a=0,1 m) je tato energie pøibližnì ÄWÑ10-45 eV, takže hovoøit o kvantování energie nemá v tomto pøípadì smysl. Na tomto jednoduchém pøíkladì si ukážeme, jak je možno normovat vlnovou funkci a najít pravdìpodobnost výskytu èástice. Pravdìpodobnost, že se èástice nachází nìkde v potenciálové jámì je rovna 1. Proto podmínka normovanosti
6 vlnové funkce (30.10) má v tomto pøípadì tvar
(33.9)
Dosazením funkce (33.7) do této rovnice dostaneme vztah
(33.10)
protože platí
Hustota pravdìpodobnosti výskytu èástice tedy bude (33.11)
kde jsme použili vyjádøení dovolených hodnot hybností (33.8). Vidíme, že èástice se nevyskytují se stejnou pravdìpodobností uvnitø potenciálové jámy. Hustota pravdìpodobnosti je pro daný kvantový stav vyjádøený èíslem n funkcí souøadnice x. Pøi stìnách x=0 a x=a je tato hustota pravdìpodobnosti rovna nule. Pro prvé tøi energetické hladiny je rozložení hustoty pravdìpodobnosti výskytu èástice znázornìno na obr. 33.3.
7 33.2 - VNIKNUTÍ MIKROÈÁSTICE DO ENERGETICKÉ BARIÉRY Mikroèástice s celkovou energií W menší než je výška potenciálové bariéry Wpo mùže proniknout do prostoru potenciálového pole. Hustota pravdìpodobnosti výskytu èástice v této oblasti ve vzdálenosti x od rozhraní je urèena vztahem (Obr. 33.4)
(33.2)
Vniknutí do bariery
Obr. 33.4 Rozhraní dvou potenciálových polí
Odvození Jestliže pøejdeme k reálnému pøípadu potenciálového pole, ve kterém nejsou bariéry nekoneènì veliké zjistíme zajímavý z hlediska klasické fyzky nepochopitelný - jev, že totiž èástice s menší energií než je výška bariéry se mohou dostat do oblasti bariéry. Jestliže pak má bariéra jen koneènou tloušku existuje koneèná pravdìpodobnost proniknutí èástice touto bariérou (obr. 33.4). Za úèelem dùkazu tohoto jevu uvažujeme o pøípadì jednoduchého rozhraní dvou potenciálových polí - jednoho ve kterém je potenciální energie èástice rovna nule Wp=0, druhého s potenciální energií W p=W po (obr. 33.4). V prvém poli platí rovnice (33.4) s øešením (33.5), které oznaèíme jako ø1, ve druhém poli má Schrödingerova rovnice tvar
8
(33.12)
Jejím øešením je funkce
(33.13)
Pro nás je zajímavý pøípad, ve kterém je W<Wpo, tj. èástice má menší energii než je výška potenciálové bariéry. Je proto možno psát p'=j[2m(Wpo-W)]1/2=j p2, kde p2 je reálná velièina. Funkce (33.13) pøejde do tvaru
(33.14)
Ze standartních podmínek (vìta 31.3) vyplývá, že na rozhraní (x=0) musí být vlnová funkce ø 1 a ø 2 a jejich derivace spojité
(33.15)
(33.16)
a kromì toho podmínky koneènosti vlnové funkce vyplývá, že pro x64 musí být ø 2 koneèná. Tuto podmínku splníme volbou B2=0. Podmínky (33.15) a (33.16) nám potom umožní vypoèítat podíly B 1/A 1 resp. A /A 1. Na tomto místì si znovu pøipomeòme, že prvá èást vlnové funkce ø1 charakterizuje èástice pohybující se opaèným smìrem, tj. èástice odražené od této bariéry. Funkce ø2
(33.17)
popisuje èástice pohybující se dovnitø potenciálového pole (energie W po). Nalezením podílù (B 1/A 1)2 mùžeme tak nalézt pomìr pravdìpodobností výskytu èástic v jednotlivých situacích, tj. èástic odražených od potenciálové bariéry, resp. èást tìch, které vnikly do bariéry. Jelikož odraz èástic s menší energií od potenciálové bariéry s vìtší energií je pøirozeným jevem,
9 soustøedíme se jen na èástice, které vnikaví dovnitø potenciálového pole. Pravdìpodobnost jejich vniku najdeme aniž bychom museli hledat hodnoty konstant A1, B1 a A 2. Poèet tìch èástic, které se na rozhraní x=0 "octly" se smìrem postupu do potenciálového pole bariéry urèuje zøejmì výraz ø 2* (x) ø 2(x), proto jejich podíl, neboli pravdìpodobnost vniku do bariéry je s ohledem na tvar funkce (33.17) vyjádøena vztahem
(33.18)
což je vztah (33.2). Vidíme, že v reálných podmínkách se tato pravdìpodobnost nikdy nerovná nule, což znaèí, že i èástice s malou energií mají urèitou pravdìpodobnost prùniku do oblasti potenciálového pole bariéry charakterizované vìtší potenciální energií. Tato pravdìpodobnost se však významnì liší od nuly jen v mikroskopických podmínkách. Napø. pro elektrony (mÑ10-30 kg) pøi rozdílu energií Wpo-W=1 eV (které jsou bìžné napø. na kontaktech) je pravdìpodobnost výskytu vzdálenosti x=0,1 nm asi p=0,6, ve vzdálenoati 0,3 nm je P = 0,1 a ve vzdálenosti x =1 nm již jen P = 0,003. Je možno lehce ukázat, že existuje i od nuly rùzná pravdìpodobnost, že se èástice odrazí od stìny i tehdy, jestliže má vìtší energii, než je potenciální energie bariéry. Z hlediska klasické fyziky je každá pøekážka pro èástici buï neprostupná, nebo prostupná, v kvantové fyzice každá pøekážka èástice èásteènì odráží a èásteènì propouští.
Obr. 33.5
Potenciálová bariéra elektronu tvoøená vrstvou záporného náboje
10
TUNELOVÁNÍ MIRKOÈÁSTICE
33.2 Tunelový jev Již v pøedcházejícím èlánku jsme se dozvìdìli, že reálná potenciálová bariéra nemùže zabránit tomu, aby èást mikroèástic vnikla do oblasti bariéry. Mùžeme proto oèekávat, že jestliže oblast potenciálového pole bude dostateènì úzká, mohou se èástice bariérou dostat na druhou stranu, i když mají menší energii než je potenciální energie bariéry. Tento jev se podobá pøekonání kopce vlakem prùjezdem tunelu, proto se uvedený jev nazývá obecnì tunelovým jevem. V souèasné elektronice se široce využívá, proto se jím budeme podrobnìji zabývat (vìty 33.3 a 33.4).
33.3
PRAVDÌPODOBNOST TUNELOVÁNÍ
Pravdìpodobnost prùchodu èástic pravoúhlou potenciálovou bariérou výšky Wpo a šíøky d je urèena vztahem
(33.19)
kde m je hmotnost èástic a W jejich celková energie.
Obr. 33.6 Pravdìpodobnost tunelového jevu elektronu jako funkce šíøky bariéry pro W po-W=0.01 eV
11 33.4 Pravdìpodobnost prùchodu èástic bariérou obecného tvaru Wp(x) tloušky d je
Odvození Potenciálové bariéry vznikají nahromadìním elektrického náboje jednoho znaménka. Potenciální energie elektronu pøi prùchodu vrstvou záporného náboje (obr. 33.5) se mìní tak, jak je vyznaèeno na obrázku. Idealizací takové obecné bariéry vytváøíme si pøedstavu tzv. obdélníkové potenciální bariéry matematicky definované podmínkami
(33.21)
které nám slouží jako model obecnìjších potenciálových bariér, na které mùžeme ilustrovat zvláštnosti tunelového jevu. V oblasti 1 a 3 má Schrödingerova rovnice tvar (33.4) a øešení
(33.22)
(33.23)
a v oblasti 2 tvar (33.12) s øešením
(33.24)
Podobnì jako v pøedcházejícím pøípadì (podmínky /33.15/ a /33.16/) musí i zde platit podmínky
12
(33.25)
S použitím funkcí (33.22) - (33.25) dostaneme za tìchto podmínek rovnice
(33.26)
Jsou to ètyøi rovnice pro šest konstant. Konstanta B3 však charakterizuje èástice, které se vracejí k bariéøe z pravé strany. Tok èástic má smìr osy x, proto nené dùvodu pøedpokládat, že by se v oblasti 3 nacházely èástice s opaènì orientovanou rychlostí. Konstanta B 3 se proto rovná nule. Konstanta A 1 charakterizující proud èástic k bariéøe je úmìrná intenzitì toku èástic. Ostatní ètyøi konstanty mùžeme vypoèítat z rovnic (33.26). Øešení je však
(33.27)
Na obr. 33.6 je vynesená závislost pravdìpodobnosti prùniku elektronù potenciálovou bariérou rùzné šíøky tunelovým jevem. Vidíme, že bariéry o tloušce rovnající se nìkolika desetinám nm, což je pøibližnì meziatomová vzdálenost v krystalech, jsou pro elektrony prakticky prùzraèné, zatímco bariéry o tloušce vìtší jako nìkolik desítek nm jsou již témìø úplnì nepropustné. Tento výsledek nejen že vysvìtluje mnoho z hlediska klasické fyziky nepochopitelných jevù (napø. jevy na kontaktech, usmìròovací jev, èinnost tzv. Tunelové diody), ale se i prakticky využívají.
13
33.3 Harmonický oscilátor Vniknutí do bariery
Z mechaniky a nakonec i z praktika víme , že klasický, makroskopický oscilátor mùže mít libovolnou energii. Mikroskopický oscilátor ( na pø. atom, kmitající kolem své rovnovážné polohy), má energie kvantovány. Stejnì tak pravdìpodobnost výskytu kmitající mirkoèástice je odlišná od pravdìpodobnosti oscilátorù v makrosvìtì.
33.5 Energie harmonického oscilátoru je kvantována podle vztahu kde n je kvantovací èíslo
(33.28)
14
obr. 33.7 Energetické spektrum kvantového harmonického oscilátoru
Odvození Potenciální energie harmonického oscilátoru pohybujícího se v ose x je podle vztahu (23.11) vyjádøena funkcí
(33.29)
Schrödingerova rovnice popisující pohyb harmonického oscilátoru má proto tvar
(33.30)
Není jednoduché najít pøímo øešení takové rovnice, které vyhovuje podmínkám, kladeným na vlnovou funkci (vìta 31.3). Zaveïme oznaèení
(33.31)
Pro prvou, resp. druhou derivaci vlnové funkce podle x-ové souøadnice dostaneme potom vztahy
15
(33.32)
Jestliže toto vyjádøení dosadíme do rovnice (33.30), dostaneme
(33.33)
Poslední èlen v závorce je promìnná u2 a oznaèíme-li èlen pøed ním symbolem A
(33.34)
mùžeme rovnici (33.33) napsat v zjednodušeném tvaru
(33.35)
Hledejme øešení této rovnice. Zkusme nejprve øešení ve tvaru
(33.36)
Prvá derivace této funkce je dø o/du=-uø o a druhá derivace zase funkce
(33.37)
(33.38)
16 Vidíme, že tato rovnice se ztotožní s rovnicí (33.35), jestliže položíme A=1, tj. podle vztahu (33.34) Funkce (33.36) je tedy øešením diferenciální rovnice harmonického oscilátoru (33.35), vyhovuje-ji jeho energie podmínce (33.38). Podobným postupem dokážeme, že i funkce
(33.39)
je øešením rovnice (33.35), protože platí postupnì
jelikož v tomto pøípadì je A=3, energie harmonického oscilátoru musí podle vztahu (33.34) splòovat podmínku
(33.40)
takto bychom postupnì dokázali, že všechny funkce typu
(33.41)
vyhovují diferenciální rovnici (33.35), pøièemž energie harmonického oscilátoru musí splòovat podmínku
Tím jsme dokázali, že energie harmonického oscilátoru je skuteènì kvantovaná podle vztahu (33.28). Jeho energetické spektrum je znázornìno na obr. 33.7. V pøípadì makroskopických harmonických oscilátorù je kvantovost urèena vztahem (33.28) zanedbatelná, protože i pøi relativnì vysokých kmitoètech í.103 Hz jsou rozdíly mezi jednotlivými hladinami energie øádu 10-32J, což pøi energiích kmitajících makroskopických tìles nemìøitelné hodnoty. Jak jsme již poukázali na nìkolika místech mùžeme i v pøípadì harmonického oscilátoru konstatovat, že kvantovost nemá v makrofyzice žádný význam a že tedy makroskopický harmonický oscilátor mùže nabývat prakticky všechny možné energie vyplývající z klasického vztahu (23.3). Jiná je situace v mikrosvìtì. Tam se vìtšinou realizují stavy s nízkými kvantovými èísly (n=1, 2, 3...), takže rozdíl mezi jednotlivými dovolenými energiemi je stejného øádu jako samotná energie k,itajících èástic. Urèitým neèekaným pøekvapením vyplývajícím z kvantovìmechanického øešení problému harmonického oscilátoru je existence stavù charakterizovaných energií hí/2. Jelikož k vnitøní energii pøispívají jen kvanta hí, musíme pøedpokládat,
17 že kmity charakterizované energiemi hí/2 nevymizí ani pøi poklesu teploty k absolutní nule. Nazýváme je proto nulovými kmity.Jejich úloha a význam v mikrosvìtì nejsou doposud uspokojivì objasnìny. Zdá se, že jejich existence se zøetelnì projevuje pøi tuhnutí helia. Na závìr ještì pøipomeòme, že funkce v hranaté závorce (33.41) se v matematice uvádí pod jménem Hermitovy polynomy. Grafický obraz prvých tøí funkcí (33.41) poskytuje obr. 33.8. Na obr. je vždy vyznaèena oblast (+-A) v níž by se mìla výhradnì vyskytovat èástice kmitající "klasicky" se stejnou celkovou energií Wn.
Oscilátor v mikrosvìtì
