DYNAMICAL MODEL OF A FLEXIBLE TUBE

DYNAMICAL MODEL OF A FLEXIBLE TUBE

P. Frantı´k1 , M. Vorˇechovsky´2 Summary: The paper presents two numerical models applied to a dynamic problem of interaction between fluid and a tube made of a flexible material. In particular, we model a foil tube filled with water. The motivation is to analyse behavior of the tube depending on the inner water pressure. This kind of structure has previously been proposed in river engineering to serve as a mobile weir, cofferdam, line flood protection etc. The model proved itself to be simple and fast and therefore suitable for such class of problems. 1.

´ vod U

Manipulace s povrchovou vodou patrˇ´ı ve stavebnictvı´ (a nejen v neˇm) k financˇneˇ i technicky na´rocˇny´m pracı´m. Je-li zapotrˇebı´ zmeˇnit cˇi usmeˇrnit tok rˇeky, poprˇ´ıpadeˇ vytvorˇit v rˇecˇisˇti jı´mku, pouzˇ´ıvajı´ se cˇasto sˇteˇtove´ steˇny, ktere´ se beranı´ do podlozˇ´ı. Jako protipovodnˇova´ ochrana se pouzˇ´ıvajı´ zemnı´ valy, ru˚zne´ typy mobilnı´ch za´bran a v kriticky´ch situacı´ch se stavı´ steˇna z pytlu˚ s pı´skem.

Obra´zek 1: Ilustrace prˇeva´deˇnı´ vody trubkou z fo´lie Pro tyto a dalsˇ´ı u´cˇely byl navrzˇen syste´m pro prˇeva´deˇnı´ stavebnı´ vody, viz [Vorˇechovsky´ 1980]. Syste´m se skla´da´ z fo´lie uzavrˇene´ do tvaru trubky, ktera´ je plneˇna pod tlakem vodou. Voda se do trubky prˇiva´dı´ bud’ samospa´dem z recˇisˇteˇ (z vyvy´sˇene´ho mı´sta), nebo je do nı´ vha´neˇna cˇerpadly. Vy´stupnı´ otvor trubky je proveden tak, aby byl za dany´ch podmı´nek udrzˇova´n ve va´lci potrˇebny´ ´ stav stavebnı´ mechaniky, Fakulta stavebnı´, Vysoke´ ucˇenı´ technicke´ v Brneˇ, Veverˇ´ı Ing. Petr Frantı´k, Ph.D., U 331/95, 602 00 Brno, e-mail: [email protected] 2 ´ stav stavebnı´ mechaniky, Fakulta stavebnı´, Vysoke´ ucˇenı´ technicke´ v Brneˇ, Ing. Miroslav Vorˇechovsky´, Ph.D., U Veverˇ´ı 331/95, 602 00 Brno, e-mail: [email protected] 1

tlak. Profil trubky lze prˇizpu˚sobovat de´lkou obvodu a tlakem vody. Je zrˇejme´, zˇe tento syste´m ma´ mnoho prˇednostı´: je levny´ a ekologicky´, snadno se prˇeva´zˇ´ı, instaluje a upravuje. Hodı´ se pro ru˚zne´ podmı´nky. Lze jej pouzˇ´ıt pro prˇeva´deˇnı´ vody, jı´mkova´nı´, jako pasivnı´ i aktivnı´ liniovou ochranu prˇed povodneˇmi, jako prˇenosny´ jez. Obtı´zˇe prˇi uzˇitı´ tohoto syste´mu jsou na´sledujı´cı´: • neurcˇitost tvaru trubky po naplneˇnı´ pod dany´m tlakem, • fixace polohy trubky a zamezenı´ podtecˇenı´, • stanovenı´ chova´nı´ trubky prˇi bocˇnı´m tlaku vody, • regulace tlaku a sˇkrcenı´ vy´tokove´ho otvoru, • stav napjatosti ve fo´lii. Tento prˇ´ıspeˇvek se veˇnuje modelova´nı´ profilu trubky pro urcˇenı´ za´vislosti jejı´ho tvaru a dalsˇ´ıch vlastnostı´ na vnitrˇnı´m tlaku vody. Mezi du˚lezˇite´ vlastnosti profilu patrˇ´ı jeho vy´sˇka, mnozˇstvı´ vody, de´lka kontaktu s podlozˇ´ım a kontaktnı´ napeˇtı´. Cı´lem je take´ uka´zat alternativnı´ metody k metodeˇ konecˇny´ch prvku˚ (MKP). Formulace u´lohy v MKP by byla pravdeˇpodobneˇ komplikovana´ a rˇesˇenı´ by bylo cˇasoveˇ na´rocˇne´. 2.

Modelova´nı´

Profil trubky byl modelova´n pro zjisˇteˇnı´ uvedeny´ch vlastnostı´ jako rovinna´ u´loha (prˇ´ıcˇny´ rˇez va´lcove´ plochy trubky). Rˇesˇenı´ je provedeno pomocı´ dvou metod zalozˇeny´ch na fyzika´lnı´ diskretizaci hypoteticke´ho kontinua. Prvnı´ metoda uvazˇuje fo´lii jako velmi sˇtı´hly´ prut, viz [Frantı´k 2004, Frantı´k 2005] a druha´ metoda modeluje fo´lii jako rˇeteˇzec „pseudocˇa´stic“. Teleskopicke´ dı´lce Prvnı´ model fo´lie, zalozˇeny´ na analogii s pruzˇny´m sˇtı´hly´m prutem, ji nahrazuje zvoleny´m pocˇtem „teleskopicky´ch dı´lcu˚“, ktere´ se pruzˇneˇ prodluzˇujı´ a jsou vza´jemneˇ propojeny klouby s rotacˇnı´mi pruzˇinami, viz obr. 2. Podlozˇ´ı je modelova´no jako Winkleru˚v podklad (linea´rnı´ kontakt, bez smyku, bez trˇenı´) a voda je zde reprezentova´na pouze tlakem na dı´lce.

Obra´zek 2: Sche´ma modelu trubky z teleskopicky´ch dı´lcu˚

Liniove´ pruzˇiny v dı´lcı´ch i rotacˇnı´ pruzˇiny na kloubech jsou uvazˇova´ny jako linea´rnı´. Tedy jejich napjatost je linea´rneˇ za´visla´ na jejich deformaci: Fl = kl dl, Mf = kf dϕ,

(1)

kde Fl je sı´la, kterou liniova´ pruzˇina pu˚sobı´ na spojovacı´ klouby, kl je tuhost liniove´ pruzˇiny, dl je protazˇenı´ liniove´ pruzˇiny; Mf je moment, ktery´m rotacˇnı´ pruzˇina pu˚sobı´ na prˇipojene´ dı´lce, kf je tuhost rotacˇnı´ pruzˇiny a dϕ je natocˇenı´ dı´lcu˚ v mı´steˇ prˇipojenı´ pruzˇiny. Pro prˇetvorˇenı´ liniove´ pruzˇiny dlij spojujı´cı´ klouby i a j je uzˇit geometricky prˇesny´ popis: dlij = lij −

0 , lij

q lij = (xj − xi )2 + (yj − yi )2 ,

(2)

kde xi , yi jsou aktua´lnı´ sourˇadnice kloubu˚, lij je aktua´lnı´ de´lka pruzˇiny, pu˚vodnı´ de´lka nenapjate´ 0 pruzˇiny je lij . Podobneˇ pro prˇetvorˇenı´ rotacˇnı´ pruzˇiny dϕijk lezˇ´ıcı´ na kloubu j a va´zane´ na klouby i a k (viz obr. 2) lze psa´t geometricky prˇesneˇ: dϕijk = ϕijk − ϕ0ijk , ϕ0ijk = ϕjk − ϕij , sin ϕij =

yj − yi , lij

(3)

kde ϕij je aktua´lnı´ natocˇenı´ dı´lce, ϕijk je aktua´lnı´ u´hel mezi dı´lci ij a jk a ϕ0ijk je u´hel nenapjate´ rotacˇnı´ pruzˇiny. Voda je v modelu reprezentova´na pouze svy´m tlakem, ktery´ je prostrˇednictvı´m dı´lcu˚ prˇena´sˇen na klouby. Dı´lec ij pu˚sobı´ na kloub i silou Fwij , kolmou na dı´lec, pro kterou platı´:

Fwij

 (2qi + qj )    lij (2qi − 3qj )qi2 / (qi − qj )2 · = qj3 / (qi − qj )2 6    0

jestliže qi ≥ 0 ∨ qj ≥ 0, jestliže qi ≥ 0 ∨ qj < 0, jestliže qi < 0 ∨ qj ≥ 0, jinak,

(4)

kde qi je intenzita fiktivnı´ho tlaku vody nad kloubem i, pro ktery´ platı´: qi = ρg(yw − yi ),

(5)

kde ρ je hustota vody, g je tı´hove´ zrychlenı´ a yw je vy´sˇka fiktivnı´ vodnı´ hladiny. Podlozˇ´ı je modelova´no kontaktnı´m Winklerovy´m podkladem v u´rovni y = 0. Kontakt je uvazˇova´n linea´rnı´ s tuhostı´ kc . Pro kontaktnı´ sı´lu Fci , pu˚sobı´cı´ svisle vzhu˚ru na kloub i, platı´: ½ Fci =

−kc yi jestliže yi < 0, 0 jinak.

(6)

Jelikozˇ je uvazˇova´no soustrˇedeˇnı´ hmoty fo´lie do kloubu˚, je stav modelu v cˇase t jednoznacˇneˇ da´n polohou a rychlostı´ vsˇech teˇchto kloubu˚. Pohybove´ rovnice lze odvodit uzˇitı´m naprˇ. Newtonovy klasicke´ mechaniky ve tvaru: dvxi 1 dxi = vxi , = (Rxi − c m vxi ), dt dt m dyi dvyi 1 = vyi , = (Ryi − c m vyi ), dt dt m

(7)

kde c je koeficient u´tlumu, m je hmotnost kloubu, vxi , vyi jsou slozˇky rychlosti kloubu a Rxi , Ryi jsou slozˇky vy´slednice interakcˇnı´ sı´ly Ri , kterou dı´lce pu˚sobı´ na kloub. Vy´slednice R = f (Fl , Mf , Fw , Fc ), viz vztah (1), je jediny´m nelinea´rnı´m cˇlenem vyskytujı´cı´m se v pohybovy´ch rovnicı´ch (7) dı´ky nelineariteˇ vztahu˚ (2), (3), (4) a (6). Pohybove´ rovnice (7) jsou rˇesˇeny numericky metodou Runge-Kutta. Pseudocˇa´stice Druhy´ model fo´lie, zalozˇeny´ na analogii s pu˚sobenı´m atomu˚ a molekul, ji nahrazuje zvoleny´m pocˇtem „pseudocˇa´stic“, ktere´ jsou vza´jemneˇ propojeny pomocı´ linea´rnı´ interakce, viz obr. 3. Tento model tedy, narozdı´l od prˇedchozı´ho, neuvazˇuje ohybovou tuhost fo´lie. Podlozˇ´ı je modelova´no rovneˇzˇ jako Winkleru˚v podklad (linea´rnı´ kontakt, bez smyku, bez trˇenı´). Voda je zde reprezentova´na pseudocˇa´sticemi druhe´ho druhu, ktere´ pu˚sobı´ vza´jemneˇ na vsˇechny pseudocˇa´stice obou druhu˚.

Obra´zek 3: Sche´ma modelu trubky z pseudocˇa´stic Cˇa´stice reprezentujı´cı´ fo´lii pu˚sobı´ na sousednı´ cˇa´stice fo´lie linea´rnı´ interakcı´. Jejich napjatostnı´ funkce je tedy totozˇna´ s prvnı´m ze vztahu˚ (1) u prˇedcha´zejı´cı´ho modelu. Pseudocˇa´stice vody interagujı´ se vsˇemi ostatnı´mi pseudocˇa´sticemi. Interakcˇnı´ sı´la Frij mezi cˇa´sticı´ i a j je da´na vztahem: ½ Frij =

0 0 kr (rij − rij ) jestliže rij < rij , 0 jinak.

(8)

0 je vzda´lenost, prˇi kde kr je fiktivnı´ tuhost interakce, rij je vzda´lenost interagujı´cı´ch cˇa´stic a rij ktere´ interakce vymizı´. Podlozˇ´ı je modelova´no stejneˇ jako u prˇedchozı´ho modelu, viz vztah (6). Pohybove´ rovnice pseudocˇa´stic jsou totozˇne´ s pohybovy´mi rovnicemi prˇedchozı´ho modelu (uplatnˇujı´ se pro oba druhy pseudocˇa´stic). Jediny´ rozdı´l spocˇ´ıva´ v definici vy´slednice sil R = f (Fl , Fr , Fc ). Tyto pohybove´ rovnice jsou rovneˇzˇ rˇesˇeny numericky metodou Runge-Kutta.

3.

Vy´sledky simulacı´

Jizˇ v u´vodu bylo rˇecˇeno, zˇe mezi du˚lezˇite´ vlastnosti profilu z ohebne´ fo´lie patrˇ´ı vy´sˇka, mnozˇstvı´ vody, de´lka kontaktu s podlozˇ´ım a kontaktnı´ napeˇtı´.

Vzhledem k faktu, zˇe se jedna´ o kvalitativnı´ studii chova´nı´ fo´liove´ trubky a s ohledem na zvolene´ vlastnosti fo´lie a podlozˇ´ı (tahoveˇ tuha´ fo´lie a tuhe´ podlozˇ´ı), neza´lezˇ´ı prˇ´ılisˇ vy´sledky na konkre´tnı´ch rozmeˇrech a hodnota´ch parametru˚. Proto nejsou tyto hodnoty specifikova´ny a vy´sledky jsou uvedeny v bezrozmeˇrne´m tvaru vztazˇene´m k nenapjate´ fo´lii ve tvaru kruzˇnice s obvodem O. Rˇ´ıdı´cı´m parametrem syste´mu je ve vsˇech prˇ´ıpadech vy´sˇka fiktivnı´ hladiny vody, tedy vnitrˇnı´ tlak. Srovna´nı´ modelu˚ Na obr. 4 je videˇt porovna´nı´ usta´lene´ho stavu obou modelu˚ (usta´leny´ stav pseudocˇa´sticove´ho modelu nenı´ staticky´). Model vlevo je slozˇen z 80 teleskopicky´ch dı´lcu˚. Model vpravo obsahuje 160 pseudocˇa´stic fo´lie a 378 pseudocˇa´stic vody (22 cˇa´stic prˇi simulaci uniklo3 ). Pseudocˇa´sticovy´ model fo´lie je hustsˇ´ı kvu˚li diskretizaci vodnı´ masy.

Obra´zek 4: Porovna´nı´ obou modelu˚: vlevo teleskopicke´ dı´lce, vpravo pseudocˇa´stice Acˇkoliv jsou zde prezentova´ny dva modely, pro dalsˇ´ı studie byl pouzˇit model s teleskopicky´mi dı´lci, zejme´na kvu˚li jeho lepsˇ´ı vy´stizˇnosti prˇi nizˇsˇ´ıch na´rocı´ch na trva´nı´ simulace. Uzˇitı´ pseudocˇa´sticove´ho modelu se ocˇeka´va´ v budoucnu prˇi nutnosti modelova´nı´ dynamiky kapaliny. Vlastnosti profilu Simulace u´lohy s uzˇitı´m teleskopicke´ho modelu byla prova´deˇna na´sledujı´cı´m zpu˚sobem: Vzhledem ke zvolene´ u´rovni podlozˇ´ı se nad nı´m vytvorˇila trubka s minima´lnı´ napjatostı´ ve tvaru kruzˇnice. Fiktivnı´ hladina vody byla nastavena pod u´rovnı´ podlozˇ´ı. Prˇi zapocˇetı´ simulace dosˇlo k pa´du trubky na podlozˇ´ı a usta´lenı´ do tvaru blı´zke´ho zcela „splaskle´“ trubce (odchy´lenost u´plne´ho „splasknutı´“ je da´na velikostı´ ohybove´ tuhosti fo´lie). Hladina vody, jejı´zˇ zvysˇova´nı´ probı´halo linea´rneˇ, dosa´hla u´rovneˇ podlozˇ´ı azˇ po usta´lenı´ trubky po prˇedcha´zejı´cı´m pa´du v cˇase t = 10 sekund. Na´sledoval na´ru˚st tlaku vody v trubce a meˇrˇenı´ vybrany´ch vlastnostı´ azˇ do u´rovneˇ hladiny 0.7O dosazˇene´ v cˇase t = 80 sekund. Na obra´zku 5 je videˇt vy´voj usta´lene´ho tvaru trubky pro ru˚zne´ u´rovneˇ fiktivnı´ hladiny yw (vnitrˇnı´ho tlaku vody). Prˇi nı´zky´ch hladina´ch (yw . 0.04O v za´vislosti na ohybove´ tuhosti fo´lie) docha´zı´ k vytva´rˇenı´ kapes nezaplneˇny´ch vodou. Na stupnici vpravo jsou vyznacˇeny stavy fiktivnı´ hladiny vody odpovı´dajı´cı´ zobrazeny´m tvaru˚m. Limitnı´m tvarem trubky je prˇi nekonecˇneˇ velke´m vnitrˇnı´m tlaku vody kruzˇnice o obvodu O za prˇedpokladu tahove´ nepoddajnosti fo´lie. Na obra´zcı´ch 6 a 7 jsou vyneseny geometricke´ vlastnosti profilu. Jmenoviteˇ vy´sˇka trubky H a plocha pru˚rˇezu A, opeˇt v za´vislosti na u´rovni hladiny yw . Obeˇ jsou vztazˇeny k vy´sˇce Ho 3

Jedinou barie´rou v pseudocˇa´sticove´m modelu je silova´ interakce. Pokud ma´ cˇa´stice vody dostatecˇnou kinetickou ´ niky cˇa´stic souvisı´ s diskretizacı´ syste´mu. energii, mu˚zˇe dojı´t k prorazˇenı´ rˇeteˇzce cˇa´stic fo´lie. U

Obra´zek 5: Tvar trubky v za´vislosti na tlaku vody dane´m u´rovnı´ fiktivnı´ hladiny yw

a plosˇe Ao limitnı´ kruzˇnice o obvodu O. Dodejme, zˇe vsˇechny uvedene´ grafy obsahujı´ za´rovenˇ cˇasovou osu pro zdu˚razneˇnı´ zpu˚sobu rˇesˇenı´ pomocı´ dynamicke´ simulace. Cˇasova´ osa rovneˇzˇ umozˇnˇuje synchronneˇ sledovat vy´voj vsˇech studovany´ch parametru˚. Zopakujme, zˇe pocˇa´tecˇnı´m stavem v cˇase t = 0 sekund byla nenapjata´ fo´lie ve tvaru kruzˇnice, ktera´ se v za´peˇtı´ zhroutila (splaskla). V cˇase t = 10 sekund vymizely dynamicke´ u´cˇinky pa´du a mohlo dojı´t k postupne´mu zvysˇova´nı´ fiktivnı´ hladiny vody (plneˇnı´ trubky). Proto na obra´zcı´ch 6 a 7 pocˇa´tecˇnı´ vy´sˇka resp. plocha odpovı´da´ pocˇa´tecˇnı´mu a za´rovenˇ limitnı´mu stavu – kruzˇnici. Poznamenejme, zˇe vy´sˇka profilu prˇi naplnˇova´nı´ nejprve poklesne (viz obra´zek 6) cozˇ opeˇt souvisı´ s ohybovou tuhostı´ fo´lie a vy´skytem oblastı´ nenaplneˇny´ch vodou. Tyto oblasti jsou ovsˇem zapocˇteny do plochy pru˚rˇezu A, viz obra´zek 7.

Obra´zek 6: Vy´sˇka trubky H v za´vislosti na tlaku vody dane´m u´rovnı´ fiktivnı´ hladiny yw Obra´zky 8 a 9 zna´zornˇujı´ velicˇiny souvisejı´ci s kontaktem trubky a podlozˇ´ı. Na obra´zku

Obra´zek 7: Plocha pru˚rˇezu trubky A v za´vislosti na tlaku vody dane´m u´rovnı´ fiktivnı´ hladiny yw

8 je vynesen podı´l obvodu trubky, ktery´ se doty´ka´ podlozˇ´ı (odpovı´da´ kontaktnı´ de´lce Lc ). Kontaktnı´ de´lka je ve velmi citliva´ na kmita´nı´ dı´lcu˚, cozˇ se promı´ta´ do neusta´lenosti jejı´ hodnoty v cˇase t = 0 azˇ 10 sekund. Na´hle´ snı´zˇenı´ kontaktnı´ de´lky v cˇase t = 10 sekund je zpu˚sobeno odpouta´nı´m hornı´ho povrchu trubky od podlozˇ´ı4 . Schodovitost v dalsˇ´ım pru˚beˇhu souvisı´ s konecˇnou diskretizacı´ fo´lie.

Obra´zek 8: De´lka kontaktu trubky s podlozˇ´ım Lc v za´vislosti na tlaku vody dane´m u´rovnı´ fiktivnı´ hladiny yw Extre´mnı´ kontaktnı´ napeˇtı´ σc ext vztazˇene´ k pru˚meˇrne´mu kontaktnı´mu napeˇtı´ σc avg = Fc /Lc , kde Fc je celkova´ tı´ha trubky a vody, je zobrazeno na obra´zku 9. Podstatne´ je, zˇe za´hy po pocˇa´tku naplnˇova´nı´ trubky vodou je kontaktnı´ napeˇtı´ rozlozˇeno te´meˇrˇ rovnomeˇrneˇ (σc ext /σc avg → 1). Se vzru˚stajı´cı´m tlakem vody se bude ovsˇem od te´to hodnoty mı´rneˇ odchylovat. 4

Kontakt mezi elementy fo´lie nebyl rˇesˇen.

Obra´zek 9: Extre´mnı´ kontaktnı´ napeˇtı´ trubky s podlozˇ´ım σc v za´vislosti na tlaku vody dane´m u´rovnı´ fiktivnı´ hladiny yw

4.

Za´veˇr

Cˇla´nek se veˇnoval modelova´nı´ trubky z ohebne´ fo´lie v kontaktu s kapalinou a s podlozˇ´ım. Motivacı´ bylo popsa´nı´ napeˇt’ove´ho a deformacˇnı´ho stavu trubky a jejı´ interakce s kapalinou a s podlozˇ´ım v pru˚beˇhu plneˇnı´ trubky vodou. ´ loha byla modelova´na pomocı´ dvou ru˚zny´ch dynamicky´ch modelu˚, zalozˇeny´ch na fyzika´lnı´ U diskretizaci kontinua: teleskopicky´ch dı´lcu˚ a pseudocˇa´stic. Zvla´sˇteˇ model z teleskopicky´ch dı´lcu˚ se uka´zal jako vy´pocˇetneˇ efektivnı´. Dalsˇ´ı pra´ce bude zameˇrˇena na prakticˇteˇjsˇ´ı aspekty uzˇitı´ trubky pro jı´mkova´nı´, prˇeva´deˇnı´ stavebnı´ vody, prˇenosne´ jezy a protipovodnˇove´ ochrany. 5.

Podeˇkova´nı´

Tento vy´sledek byl zı´ska´n za financˇnı´ho prˇispeˇnı´ MSˇMT, projekt 1M6840770001, v ra´mci cˇinnosti vy´zkumne´ho centra CIDEAS. Prˇi rˇesˇenı´ byly cˇa´stecˇneˇ vyuzˇity teoreticke´ vy´sledky dosazˇene´ v projektu GA CˇR 103/07/0760. 6.

Literatura

[Frantı´k 2004] Frantı´k, P., 2004: Stability study of the elastic loop, 5th International PhD Symposium in Civil Engineering, vol. 2, p. 1083-1088, Delft, Netherlands [Frantı´k 2005] Frantı´k, P., 2005: Simulation of stability loss of von Mises truss in the state of unsymmetrical stress, CD sbornı´k konference Inzˇeny´rska´ mechanika 2005, Svratka [Vorˇechovsky´ 1980] Vorˇechovsky´, M., 1980: Prˇeva´deˇnı´ stavebnı´ vody (smeˇrnice pro na´vrh a vyuzˇitı´), Tech. Rep. Povodı´ Moravy, Brno