ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ
Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Dopravní nehoda
ŠKOLNÍ ROK: 2007/2008 DATUM ODEVZDÁNÍ: 7.1.2008 ROČNÍK: 4 VYPRACOVAL: Bc.Ondřej Tyc OBOR: KOSTRUKCE VÝR. STROJŮ E-MAIL:
[email protected]
Dopravní nehoda: Při dopravní nehodě, která se stala mezi městy Mýto a Rokycany havaroval řidič motocyklu Jawa 350 typ 18. Jehož řidič neutrpěl jako zázrakem žádná zranění. Po ohledání místa havárie a zjištění všech potřebných dat o havárii bylo zjištěno, že řidič motocyklu je v registru hledaných osob a že se mohl dopustit krádeže v bance ve městě Jesenice u Prahy. Podezřelý byl odvezen k výslechu a tam vypověděl : - jede z domova, tj. obec Kařez, kde byl doma úplně sám a nikdo ho tedy nemohl vidět ( vzdálenost od havárie cca 4,7km ) - město Jesenice u Prahy nezná a nikdy tam nebyl ( svědci tvrdí že byl, vzdálenost cca 80 km ) - Policii zavolal ihned po nehodě tj. cca 5 minut
Další zjištěné hodnoty z havárie : -
teplota okolí R= 20 0C teplota motoru při příjezdu policie 500C po čase jedné hodiny měl motor teplotu 300C
Tabulkové hodnoty pro zmíněný motocykl : -
ustálená teplota při ohřátí motoru je 1000C teplota motoru při popsaném umístění motocyklu před startem je T(00)= 220C motor po uvedení do provozu má za 6 min. teplotu 500C
Úkolem je určit : a) b) c) d) e) f) g) h) i)
jakou vzdálenost ujel po jaké době byla zavolána policie po havárii dobu za kterou se motor ohřeje na 100°C maximální možná teplota motoru dle výpovědi časový harmonogram událostí místo odkud podezřelý vyjel ( chceme vyvrátit výpověď ) určení možného prostoru pro ukrytí lupu určení času potřebného pro bezpečné zastavení motocyklu určení brzdné dráhy pro bezpečné zastavení motocyklu
1
Řešení : Motocykl Jawa 350 pérák typ 18:
Pozn.: Foto ilustrativní, kdyby měl podezřelý tento motocykl, tak by nemusel krást ☺
Proces ochlazování motoru se bude řídit zákonem
dT (t ) = −k (T (t ) − R); t ≥ 0 dt -
počáteční teplota dána hodnotou
T(0) = 500C -
metodou integračního faktoru stanovíme funkci chladnutí
50 = k ⋅ e − λt + 20 30 = k ⋅ 1 k = 30 T (t ) = 20 + 30e −λt
2
-
Není zřejmé kolik je koeficient chladnutí λ >0. Po zjištění že za jednu hodinu je teplota T(1) = 300C
30
=
10
= 30 − λ
e ln
10 30
λ
=
+ 30
20
=
e
e
− λ 1
− λ
10 30 =
− λ
− ln
10 30
= 1 , 098
Takže:
T(t) = 20+30-1,098t Křivka chladnutí motoru viz. Příloha 1.
Zajímá nás nyní čas t2 při kterém byla teplota motoru na ustálené hodnotě T(t2)=1000C :
100 = 20 + 30 ⋅ e −1, 098t2 80 = e −1, 098t2 30 1 80 − ln = t2 1,098 30 t 2 = −0,893 t 2 = −53 min O 53 minut havaroval dříve než zavolal policii. Předkládá se tedy otázka co vlastně takovou dobu po havárii dělal??
Dále vyvrátím výpověď podezřelého o ujeté vzdálenosti : Při výjezdu byly tyto hodnoty: T(00)=220C, R=200C, T (0,1)=500C, S2=80km
22 = 20 + ke − λt 2 = ke −λ .0 k =2 T (t ) = 20 + 2e −λt 3
50 = 20 + 2 e λ t 30 = e λ 0 ,1 2 1 . ln 15 = − λ 10 λ = − 27 T ( t ) = 20
+ 2e
27 t
Ohřev motoru na teplotu 1000C :
100 = 20 + 2e 27t t = 8,14 min Čas ohřevu motoru z výchozí teploty 220C na 1000C je tedy 8,14 minuty. Křivka ohřevu motoru viz. Příloha 1.
Podezřelý tvrdí že jel minimálně 50km/h a proto zřejmě havaroval. Pro nás z toho ale plyne: 50km/h ⇒ t =
s 4700 = = 388,6 sec ⇒ 5,64 min v 13,88
T (0,09) = 20 + 2 ⋅ e 27⋅0,09 T (0,09) = 45,34°C Odsud je zřejmé, že by se za dobu která by odpovídala podmínkám z výpovědi podezřelého motor ani neohřál na teplotu po příjezdu policie, což je velmi podezřelé!!
4
Souhrn známých a určených časů:
Průměrná rychlost motocyklu je v0 = 60 km/h. Po předložení časového harmonogramu a důkazů podezřelému, tento začal panikařit a rychle nesmyslně měnit výpověď. Po krátkém naléhání se přiznal ke krádeži peněžního obnosu, který dle zprávy okradené banky byl 3 192 000Kč. Kde však tento obnos je odmítl zloděj prozradit (zřejmě si tento obnos chtěl vyzvednout po letech strávených ve vězení☺).
Z tohoto důvodu je nutno vypočítat možný rádius kde mohou peníze být schovány: -
průměrná rychlost při pohybu podezřelého vp = 9,5 km/h
v= t=
dx dt
s ⇒ s = v p ⋅ t = (9,5 ⋅ 0,88) / 2 = 4.2km v
Vzhledem k tomu, že hledal místo ukrytí se musel pohybovat rychlostí o něco menší než rychlostí průměrnou, proto volím rádius možného pohybu přibližně 3,5km.
3.5km Rokycany
směr jízdy směr Plzeň
Obec Kařez
Místo havárie
Prostor pro ukrytí ukradené částky
Cesta
5
směr Jesenice u Prahy
Pro naši zajímavost ještě určím dráhu pro bezpečné zastavení motocyklu a čas potřebný pro toto zastavení: Brzdná dráha: -
pro výpočet provedu zjednodušení pohybu motocyklu na pohyb hmotného bodu určení pohybové rce hmotného bodu: F v m dv a
r r r r r r dv d ( m ⋅ v ) F = ΣFi = m ⋅ a = m ⋅ = = m⋅a dt dt r r r F − m ⋅ a = 0................. pohyb.rovnice
1
Zrychlující síla m.a = součtu všech sil působících na hmotný bod -
zavedení D’Alambertova principu: - zavádíme výhodně myšlenou setrvačnou dynamickou sílu D = - m . a potom rci 1 přepíšeme na tvar :
F+D=0 -
, takže
2
znění D’Alambertova principu:
Hmotný bod se pohybuje tak, že setrvačná síla bodu je v rovnováze se soustavou sil působících na hmotný bod. -
důvod aplikace D’Alambertova principu:
Zavedením setrvačné síly D dosáhneme toho, že pro dynamické úlohy píšeme „statické“ podmínky rovnováhy, ale přitom hovoříme o dynamické rovnováze. -
zjištění brzdné dráhy l = ? l x
t =?
N
v0
a
v
D
m.g.f 6
v1
m.g
v=0
- pohybové rovnice: D − m⋅ g ⋅ f = 0 N − m⋅ g = 0 m⋅a − m⋅ g ⋅ f = 0 N = m⋅ g
- zrychlení lze vyjádřit jako:
( )
d v2 2dx
a = v& = &x& =
- v našem případě: - jedná se o pohyb ve smyku, jinak by šlo o valivý pohyb - pro zjednodušení jsem do hmotného bodu styk obou pneumatik a=−
( )
d v2 = g⋅ f 2dx ; a jde proti x, proto je před derivací znaménko -
( ) = 2adx ∫ − d (v ) = ∫ 2adx
−d v
; v0 = 60km/h - prům. rychlost motocyklu
2
0
l
2
v02
0
v02 = 2al ⇒ l =
l=
v02 v2 = 0 2a 2 gf
; f = 0.55 pro styk suchý asfalt-pneumatika
16.6 2 = 25.6m 2 ⋅ g ⋅ 0.55
Brzdná dráha pro bezpečné zastavení je tedy 25.6m.
7
-
zjištění času bezpečného brždění t=? :
a=−
dv = g⋅ f dt
0
t
v0
0
− ∫ dv = g ⋅ f ⋅ ∫ dt v0 = g ⋅ f ⋅ t ⇒ t =
t=
v0 g⋅ f
16.6 = 3.1s g ⋅ 0.55
Čas potřebný k bezpečnému zastavení motocyklu z prům. rychlosti je t = 3.1 sekundy.
Souhrn zjištěných hodnot: a) b) c) d)
Podezřelý havaroval o 53 minut dříve než volal policii Ohřev motoru na ustálenou hodnotu je 8,14 Doba kterou měl podezřelý dle výpovědi jet je 5,64min. Teplota motoru by za tuto dobu musela být 45,34°C , což je méně než při příjezdu policie e) Harmonogram časů
f) Rádius možného ukrytí peněz určen z průměrné rychlosti 4,2 km, ale musíme uvažovat zmatenost pachatele a proto byl rádius zmenšen na 3,5km g) Brzdná dráha pro bezpečné zastavení motocyklu je 25,4m h) Čas potřebný pro bezpečné zastavení je 3,1 sekundy
8
Literatura : [1] Přednášky z předmětu Mechanika 2 Dynamika (MECH2) 2007, ZČU Plzeň [2] Přednášky z předmětu Mechanika 1 Kinematika (MECH1) 2006, ZČU Plzeň [3] Přednášky z předmětu Matematické modelování (MM) 2007, ZČU Plzeň [4] O. Janeček, V. Zeman. Technická dynamika, Ediční středisko VŠSE Plzeň, 1985.
9
Příloha 1
Chladnuti 50 45
T[°C]
40 35 30 25 20 15 10 5 0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
t[hod] Křivka chladnutí motoru
ohrev 120 100
T[°C]
80 60 40 20 0 0
0,05
0,1
0,15
t[hod]
10
Křivka ohřevu motoru
11
