Západočeská univerzita v Plzni Fakulta strojní Semestrální práce z Matematického Modelování Dynamika pohybu rakety v 1D
Vypracoval: Pavel Roud Obor: Technologie obrábění e‐mail:
[email protected] 1
1.Úvod ...................................................................................................................................................... 3 2 .Bilance sil .............................................................................................................................................. 5 2.1
Vertikální síly ........................................................................................................................... 5
2.2
Horizontální síly ....................................................................................................................... 6
3.Představení jednoduchého modelu ...................................................................................................... 7 3.1
Pohyb rakety bez odporu prostředí ......................................................................................... 8
3.2
Pohyb rakety s odporem prostředí .......................................................................................... 9
4.Použité zdroje ...................................................................................................................................... 11
2
1 Úvod Raketa je těleso, které v závislosti na čase mění svoji hmotnost a díky tomu i rychlost. Základní schéma rakety je na obr.1. Raketa je nejčastěji konstruována jako vícestupňová. Důvodem je co největší úspora hmotnosti. Část ve které již bylo vyčerpáno palivo je zbyteč‐ ná a pouze způsobuje zby‐ tečnou zátěž. Samotná hmotnost rakety je tvořena z 90% hmotností paliva, zbytek tvoří samotná kons‐ truktce, včetně přídavných látek ( výbušniny , zařízení pro sběr dat apod.). Obr. 1
Rakety můžeme rozdělit podle několika hledisek: •
•
Dle dráhy letu o
S plochou
o
Vertikální
o
Po balistické křivce‐ nejčastější
Dle paliva o
Jednosložkové
o
Dvou složkové
o
Vícesložkové
Tuhé ‐ motory používající toto palivo se vyznačují jednoduchou konstrukcí a dosahují vysokého tahu a spolehlivosti. Palivo je umístěno ve spalovací komoře a je nazýváno zrnem. Kromě směsi zrna je možné tah motoru ovlivňovat jeho tvarem.
Kapalné – předností je vyšší výkon, menší hmotnost, možnost řídit velikost a směr tahu v širokém rozsahu, včetně restartu. Nevýhodou je konstrukční složitost tudíž vyšší cena.
Hybridní ‐jedna složka pohonné látky v tuhém skupenství a druhá v kapalném. Mají vysoký specifický impuls, lze u nich regulovat tah a restartovat je. Ve spalovací komoře je blok paliva tvořen práškovým kovem (stačí levný hliník) a pojivem. Do komory se vstřikuje kapalné okysličovadlo, například kapalný kyslík nebo fluór
3
•
Dle probíhají reakce o
Chemické‐ výkonné, lehké a jednoduché
o
Jaderné – při reakci se uvolňuje 10‐100x106 více energie než při chemickém reakci
o
Elektrické‐ pracovní látka se zrychluje elektrickou energií ze zdroje, který si raketa nese s sebou
Velikost rychlosti na použitém palivu udává Tab.1. Palivo
Okysličovadlo
Výtoková rychlost [m/s]
černý prach
2360
benzín
tekutý kyslík
4377
benzín
tekutý ozon
4888
benzín
peroxid vodíku
3640
benzín
kyselina dusičná
3450
etylalkohol
kyslík
4164
benzol
kyslík
4450
pentan
kyslík
4455
vodík
kyslík
5180
Dalšími charakteristikami je maximální dolet, maximální výška od země tzv. apogeum. Tyto charakteristiky se vztahují na balistické střely pohybující se po balistické křivce. Nejdůlěžitějším parametrem je tzv. specifický impuls raketového motoru [Ns/kg]. Uvádí velikost tahu, který vyvine daný raketový motor, v němž spálíme kilogram pohonné látky za sekundu. Jinými slovy: tah je přibližně roven součinu specifického impulsu a sekundové spotřeby pohonných látek‐ někdy také nazývané reaktivita paliva. Specifický impuls motoru je ovlivněn řadou faktorů, z nichž některé jsou dány vlastnostmi použitých pohonných látek, jiné konstrukčním řešením. Nejvhodnější jsou pohonné látky s minimální hmotností a maximální spalnou teplotou. Technici pochopitelně usilují o použití materálů, které tuto teplotu vydrží, a o lehkou konstrukci, umožňující ve spalovací komoře vyvinout vysoký tlak a naopak dosáhnout téměř nulový tlak na výstupu z trysky.
4
2 Bilance sil Pro popis pohybu rakety se používá 1. Impulsový zákon: Kde: [p(t)]‐ hybnost tělesa v čase t Ns [Fc] ‐ celková působí síla N Hybnost tělesa je dána součinem jeho hmotnosti a rychlosti, jež jsou obecně v čase proměnné. p t m t v t Kde: [m(t)]‐ hmotnost tělesa v čase t kg [v(t)]‐ rychlost tělesa v čase t m/s Celková působící síla, znamená výslednici sil, které na těleso působí. Tyto síly můžeme podle směru rozdělit na • Vertikální •
Horizontální
2.1 Vertikální síly Jednou ze sil působících na raketu je gravitační síla, která táhne těleso směrem dolů. Její velikost lze určit z Newtonova zákona síly: Kde: ‐je zrychlení tělesa, V konkrétním případě [a]=g =m/s2 [m]‐ hmotnost tělesa kg Silou jež působí proti gravitační síle je vztlaková síla Fz a tu lze obdržet dosazením do věty Kutta‐ Žukovského:
Гaρ Kde:
Г ‐ cirkulace m3/s [a]‐rychlost proudícího média (vzduchu) [m/s]
ρ ‐hustota média[kg/m3]
5
2.2 Horizontální síly Mezi horizontální síly patří reaktivní síla motoru , která způsobuje pohyb rakety. Tato síla je úměrná relativní rychlosti spalin [m/s] a reaktivitě paliva, resp. jeho hmotnostnímu toku r[kg/s]. r
Rozměrová analýza: N
Podle prostředí ve kterém se raketa pohybuje, působí na ni odporová síla nabývat hodnot •
, která může
0 ‐ pro prostředí, které neklade žádný odpor‐vakuum, nebo neuvažujeme vliv prostředí
•
0 o
Konstantní
o
Proměnná
ρ1
V závislosti na jednom parametru např. ρ pak
Kde:
ρ hustota prostředí
ρ hustota referenčního prostředí odporová síla referenčního prostředí
ρ2
K
Rozměrová analýza : N
N
K
1
ρ
V závislosti na více parametrech ρ, , pak
Kde:
‐ součinitel odporu prostředí [‐]
ρ ‐ hustota prostředí [kg/m ]
Sx – plocha v normálném směru na kterou odpor prostředí působí [m2]
3
‐ rychlost [m/s]
Rozměrová analýza: N
kgm
m
ms
kgms
6
3 Představení jednoduchého modelu Raketa s plochou dráhou letu má prorazit stěnu o šířce l a hustotě ρ. Na základě znalosti
fyzikálních zákonitostí se má stanovit změna rychlosti rakety v závislosti na čase a odporu prostředí, která brání pohybu rakety konst. silou. Jako další zjednodušující podmínka je rovnováha mezi gravitační a vztlakovou silou a proto se pohyb rakety odehrává pouze v horizontální rovině. Dalším zjednodušujícím předpokladem je vypotřebování veškerého paliva v době nárazu. Dalšími parametry jež se mají stanovit: •
potřebná rychlost rakety k proražení stěny
•
určit dobu do vyhoření paliva
•
pokud je uvažován odpor prostředí, jak je nutné změnit relativní rychlost spalin nebo reaktivitu paliva, aby byla proražena stěna o dané šířce
•
pokud tah rakety změnit nelze, jak se změní její rychlost a jak se změní tlouštka stěny, která raketa bude schopná prorazit
Použité symboly :
[kg]
počáteční hmotnost paliva
[kg]
hmotnost vlastní konstrukce rakety
[kg]
celková hmotnost rakety
[kg]
hmotnost rakety v čase t
[kg/s]
reaktivita paliva
[N]
reaktivní síla motoru rakety
[m/s]
relativní rychlost spalin vycházejících z motoru
[m/s]
rychlost rakety v čase t
[J]
koncová kinetická energie
[J]
počáteční kinetická energie
[J]
r
W
práce odporové síly
ρZDI
[km/m ]
hustota zdi
[N]
odporová síla zdi
[m]
šířka zdi
ρVZD
[km/m3]
hustota vzduchu
[N]
odporová síla vzduchu
3
7
3.1 Pohyb rakety bez odporu prostředí Doba do vyhoření paliva První impulsový zákon Derivací podle dt Vznikne diferenciální rovnice prvního řádu: Úpravou
za :
Řešení dif. Rovnice pomocí metody Variace konstant: ln
1
ln
ln
ln
Derivací podle dt : C
m t m t
Dosazením do dif. Rovnice: C
m t m t
Dosazením do v(t):
m t
M
rt
8
Potřebná rychlost pro proražení stěny se vypočte za zákonu o změně kinetické energie tělesa: Uvažuje se, že v době nárazu došlo palivo 1 0 2 2
2
ρZDI ρVZD
Potřebná rychlost spalin
M
r
3.2 Pohyb rakety s odporem prostředí Bude se uvažovat konstantní síla, která klade odpor proti pohybu rakety. Tzn. , že na pravé straně rovnice přibude člen Proto bude rovnice pro první impulsový zákon ve tvaru: Použijí se stejné úpravy jako v případě pohybu raket bez odporu prostředí: Dostáváme diferenciální rovnici prvního řádu: Úpravou
za :
Řešení dif. Rovnice pomocí metody Variace konstant: ln
1
ln
ln
ln
9
Derivací podle dt : C
m t m t
Dosazením do dif. Rovnice: C
m t m t
Dosazením do v(t):
m t M rt Pokud má raketa prorazit stěnu musí mít stejnou rychlost jako v případě bez uvažování odporu nebo použít palivo o větší reaktivi‐ prostředí. Proto se musí zvýšit buď relativní rychlost spalin tě r. Pro případ, že použité palivo bude stejné, je potřebná relativní rychlost spalin:
Pokud rychlost spalin změnit nelze, (kvůli konstrukci) , nutná reaktivita paliva r:
V případě, že nelze změnit ani jeden z parametrů bude maximální tlouštka stěny, kterou raketa bude schopná prorazit odvozena ze zákona o změně kinetické energie: 1 0 2 2
10
4 Použité zdroje [1] MÍKA ,S. Texty z aplikované matematiky:Matematické modelování,Plzeň 2006 [2] KUCHTA ,R. Texty z přednášek Technická Fyzika pro FST ,Plzeň 2004 [3] Balistické rakety http://www.palba.cz/viewtopic.php?t=2197 [4] Co žene rakety vzhůru http://www.21stoleti.cz/view.php?cisloclanku=2006050417
11
