Kapitola 1 Odraz vln 1.1
Korektn´ı zakonˇ cen´ı struny Zakonˇcen´ı visk´ozn´ım tlumiˇcem. Charakteristick´a impedance.
V mnoha praktick´ ych situac´ıch poˇzadujeme, aby prostˇred´ım postupovaly sign´aly pouze jedn´ım smˇerem, tj. aby nevznikaly odrazy. Nam´atkou uved’me veden´ı televizn´ıho sign´alu koaxi´aln´ım kabelem od ant´eny k pˇrij´ımaˇci nebo sn´ım´an´ı zvuku v nahr´avac´ım studiu. Na strunˇe takov´ y poˇzadavek znamen´a, ˇze na poˇca´tku rozkmit´avan´a struna je na sv´em konci opatˇrena mechanick´ ym zaˇr´ızen´ım, kter´e pˇresnˇe napodobuje dalˇs´ı pokraˇcov´an´ı struny. Takov´e zaˇr´ızen´ı budeme naz´ yvat korektn´ı zakonˇcen´ı. Z hlediska energie mus´ı korektn´ı zakonˇcen´ı u ´plnˇe pohltit energii dopadaj´ıc´ı postupn´e vlny, aniˇz vznikne vlna odraˇzen´a. Bude tedy tlumiˇcem a s´ılu Fx , kterou m´a p˚ usobit na strunu, si odvod´ıme ze s´ıly F2x = T (∂ψ/∂z) zn´am´e z odvozen´ı vlnov´e rovnice, odd´ıl 1.2, obr. ??. Vzpomeˇ nme si, ˇze F2x je pˇr´ıˇcn´a s´ıla, kterou p˚ usob´ı pokraˇcov´an´ı struny na strunu v bodˇe z2 . Podle definice mus´ı korektn´ı zakonˇcen´ı (simuluj´ıc´ı pokraˇcov´an´ı struny) p˚ usobit na strunu pˇr´ıˇcnou silou Fx rovnou F2x , jestliˇze na zakonˇcen´ı dopad´a postupn´a vlna typu ψ(z, t) = F (z − vt). Pomoc´ı vzorce (??) pak m˚ uˇzeme ps´at Fx = T
q 1 ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ = T (− ) = − T% = −Z . ∂z v ∂t ∂t ∂t
S´ıla Fx je tedy s´ıla visk´ozn´ıho tlumen´ı, u ´mˇern´a rychlosti s konstantou ´mˇernosti, tzv. √ u zatˇeˇzovac´ı impedanc´ı, rovnou charakteristick´e impedanci struny Z = T %. Zaˇr´ızen´ı, kter´e m´a realizovat korektn´ı zakonˇcen´ı v m´ıstˇe z2 = 0, mus´ı tedy p˚ usobit na strunu pˇr´ıˇcnou silou Fx = −Z
∂ψ dx (0, t) = −Z (t) ∂t dt
(1.1)
kde x(t) = ψ(0, t) je v´ ychylka tlumiˇce v ˇcase t. Je-li struna korektnˇe zakonˇcena, nem˚ uˇzeme vysl´an´ım puls˚ u urˇcit d´elku struny, protoˇze ˇza´dn´ y puls se nevrac´ı odraˇzen. Stejn´ y efekt nast´av´a, i kdyˇz je tlumiˇc pˇr´ımo napojen na zdroj puls˚ u. Odtud plyne, ˇze na zdroj postupn´ ych vln emituj´ıc´ı na nekoneˇcnou nebo korektnˇe 1
2
KAPITOLA 1. ODRAZ VLN
zakonˇcenou strunu p˚ usob´ı od struny s´ıla reakce, kter´a je stejn´a, jako kdyby byl zdroj pˇr´ımo napojen na visk´ozn´ı tlumiˇc (1.1).
1.2
Odraz na nekorektn´ım zakonˇ cen´ı Koeficient odrazu na zakonˇcen´ı struny visk´ozn´ım tlumiˇcem. Odrazivost. Pˇrizp˚ usoben´ı.
Mˇejme strunu napjatou pod´el z´aporn´e osy z, −∞ < z ≤ 0 a v bodˇe z = 0 zakonˇcenou visk´ozn´ım tlumiˇcem Fx = −Z2 x˙ o zatˇeˇzovac´ı impedanci Z2 . Struna s mechanick´ ymi parametry T, % m´a vlnov´e parametry s
v=
T , %
Z=
q
T%.
Pro nekorektn´ı zakonˇcen´ı Z2 6= Z mus´ıme vedle dopadaj´ıc´ı harmonick´e postupn´e vlny ψdop (z, t) = A cos(ωt − kz) uvaˇzovat jako ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice i odraˇzenou harmonickou postupnou vlnu ψodr (z, t) = RA cos(ωt + kz) . V ust´alen´em stavu dopadaj´ıc´ı vlna pohybuje zakonˇcen´ım s u ´hlovou frekvenc´ı ω, x(t) = A cos ωt. Zakonˇcen´ı jednak pohlcuje ˇca´st energie vlny, jednak bud´ı zeslabenou odraˇzenou vlnu o stejn´e frekvenci. Pˇr´ısluˇsn´ y koeficient odrazu R urˇc´ıme z okrajov´e podm´ınky v m´ıstˇe z=0 ! ∂ψ ∂ψ (0, t) = − −Z2 (0, t) , (1.2) −T ∂z ∂t jeˇz vyjadˇruje z´akon akce a reakce pro pˇr´ıˇcn´e s´ıly, jimiˇz p˚ usob´ı struna na zakonˇcen´ı a zakonˇcen´ı na strunu. V´ ysledn´a vlna na strunˇe je pak takovou superpozic´ı ψ(z, t) = ψdop + ψodr = A cos(ωt − kz) + RA cos(ωt + kz) ,
(1.3)
jeˇz nav´ıc splˇ nuje okrajovou podm´ınku (1.2). Dosazen´ı (1.3) do (1.2) d´av´a −T kA(1 − R) sin ωt = Z2 ωA(−1 − R) sin ωt pro vˇsechna t, odkud R=
T k − Z2 ω Z − Z2 = . T k + Z2 ω Z + Z2
(1.4)
kde jsme s pouˇzili T k = T ω/v = Zω. Vˇsimnˇete si, ˇze koeficient odrazu pˇri hodnot´ach 0 ≤ Z2 ≤ +∞ nab´ yv´a hodnot v intervalu −1 ≤ R ≤ 1. Protoˇze nez´avis´ı na ω, kaˇzd´a
ˇ ´I 1.3. VLNA NA ROZHRAN´I DVOU TRANSPARENTN´ICH PROSTRED
3
Fourierova komponenta se odr´aˇz´ı se stejn´ ym R a tvar pulsu se odrazem nemˇen´ı. Rozliˇsujeme tˇri d˚ uleˇzit´e speci´aln´ı pˇr´ıpady: Z2 R 0 +1 voln´ y konec Z 0 korektn´ı zakonˇcen´ı +∞ -1 pevn´ y konec 1
(1.5)
. Pˇri korektn´ım zakonˇcen´ı tlumiˇc pohlt´ı veˇsker´ y dopadaj´ıc´ı tok energie, pˇri pevn´em a voln´em konci naopak tlumiˇc neabsorbuje ˇza´dnou energii (pˇri pevn´em konci je x(t) ˙ = 0, pˇri voln´em Fx (t) = 0) a veˇskerou energii odn´aˇs´ı odraˇzen´a vlna. Veliˇcina, kter´a urˇcuje pod´ıl odraˇzen´eho toku energie, je odrazivost R = R2 ∈ h0, 1i . Cviˇ cen´ı. Ukaˇzte, ˇze vlnu (1.3) lze ps´at ve tvaru π + (1 + R)A cos kz cos ωt ψ(z, t) = (1 − R)A sin kz cos ωt − 2
dvou stojat´ ych vln, z nichˇz prvn´ı m´a v bodˇe z = 0 uzel, druh´a kmitnu. Diskutujte speci´aln´ı pˇr´ıpady R = ±1!
1.3
Vlna na rozhran´ı dvou transparentn´ıch prostˇ red´ı Formulace u ´lohy pro strunu: vlna dopadaj´ıc´ı, odraˇzen´a a proˇsl´a. Podm´ınky na rozhran´ı. Koeficienty odrazu a prostupnosti pro amplitudu; odrazivost a transmitivita.
Uvaˇzujme jednorozmˇern´ y model ostr´eho rozhran´ı mezi dvˇema prostˇred´ımi. Necht’ dvˇe struny nataˇzen´e pod´el osy z jsou spojeny v bodˇe z = 0 a spojovac´ı bod se m˚ uˇze pohybovat jen v pˇr´ıˇcn´em smˇeru: struna 1 −∞ < z < 0 T1 , %1 s q T1 v1 = , Z1 = T1 %1 %1 2 2 ∂ ψ1 2 ∂ ψ1 = v 1 ∂t2 ∂z12
struna 2 0 < z < +∞ T2 , %2 s q T2 v2 = , Z2 = T2 %2 %2 2 2 ∂ ψ2 2 ∂ ψ2 = v 2 ∂t2 ∂z22
V u ´loze na odraz a pr˚ uchod vln rozhran´ım pˇredpokl´ad´ame, ˇze po strunˇe 1 dopad´ a harmonick´a postupn´a vlna (ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice 1) ψdop (z, t) = A cos(ωt − k1 z) , 1
k1 =
ω . v1
Zmˇenu znamen´ı v´ ychylky na pevn´em konci lze ekvivalentnˇe vyj´adˇrit zmˇenou f´aze o 180◦
4
KAPITOLA 1. ODRAZ VLN
Kmity rozhran´ı bud´ı vlnu odraˇzenou s koeficientem odrazu pro amplitudu R12 ψodr (z, t) = R12 A cos(ωt + k1 z) a vlnu proˇslou na strunu 2 (ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice 2) ψ2 (z, t) = T12 A cos(ωt − k2 z) ,
k2 =
ω , v2
(1.6)
kde T12 se naz´ yv´a koeficient prostupnosti pro amplitudu. Na strunˇe 1 m´ame proto v ust´alen´em stavu ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice 1, ψ1 = ψdop + ψodr v oblasti −∞ < z < 0, ψ1 (z, t) = A cos(ωt − k1 z) + R12 A cos(ωt + k1 z).
(1.7)
Toto ˇreˇsen´ı je tˇreba seˇs´ıt“ v bodˇe z = 0 s ˇreˇsen´ım (1.6) vlnov´e rovnice 2 v oblasti 0 < z < ” +∞. K tomu mus´ıme zformulovat podm´ınky na rozhran´ı z = 0: 1. spojitost v´ ychylek ψ1 (0, t) = ψ2 (0, t) .
(1.8)
pro vˇsechna t (a diferencovatelnost podle ˇcasu) implikuje t´eˇz spojitost rychlost´ı ∂ψ1 ∂ψ2 (0, t) = (0, t) . ∂t ∂t
(1.9)
2. z´akon akce a reakce pro pˇr´ıˇcn´e s´ıly na rozhran´ı (−F1x = F2x ) T1
∂ψ1 ∂ψ2 (0, t) = T2 (0, t) ∂z ∂z
(1.10)
pro vˇsechna t pˇripouˇst´ı skok derivace ∂ψ/∂z pˇri T1 6= T2 . Proˇsl´a vlna (1.6) se snadno urˇc´ı z podm´ınky spojitosti: kmity poˇc´atku struny 2 ψ2 (0, t) = ψ1 (0, t) = (1 + R12 )A cos ωt bud´ı na intervalu 0 < z < +∞ proˇslou harmonickou postupnou vlnu
ψ2 (z, t) = ψ2
z 0, t − v2
= (1 + R12 )A cos(ωt − k2 z)
s koeficientem prostupnosti T12 = 1 + R12 .
(1.11)
Pro nalezen´ı koeficientu odrazu pˇrepiˇsme pravou stranu podm´ınky (1.10) pomoc´ı vztahu ∂ψ2 1 ∂ψ2 =− , ∂z v2 ∂t
ˇ TOV ˇ ´ A PROUDOVE ´ VLNY NA HOMOGENN´IM VEDEN´I 1.4. NAPE E
5
Obr´azek 1.1: Napˇet´ı u a proud i na homogenn´ım veden´ı
Obr´azek 1.2: N´ahradn´ı obvod u ´seku veden´ı (z, z + ∆z)
kter´ y plat´ı pro vlnu postupuj´ıc´ı ve smˇeru +z. Z´ıskan´ y vztah T1
∂ψ1 T2 ∂ψ2 ∂ψ1 (5.9) (0, t) = − (0, t) == −Z2 (0, t) ∂z v2 ∂t ∂t
m´a stejn´ y tvar jako podm´ınka nekorektn´ıho zakonˇcen´ı (1.2) a tud´ıˇz vede postupem odd´ılu 5.2 na koeficient odrazu Z1 − Z2 R12 = . (1.12) Z1 + Z2 Intervalu hodnot −1 ≤ R12 ≤ 1 odpov´ıd´a podle (1.11) interval pˇr´ıpustn´ ych hodnot koeficientu prostupnosti 0 ≤ T12 ≤ 2. Vlna tedy proch´az´ı vˇzdy se stejn´ ym znam´enkem. Ener2 getick´e veliˇciny se odr´aˇzej´ı s odrazivost´ı R12 = R12 a proch´azej´ı rozhran´ım s transmitivitou 2 T = T12 = (1 + R12 )2 . ˇ sen´ım Cviˇ cen´ı. Dosad’te vlny (1.6), (1.7) do podm´ınek na rozhran´ı (1.8), (1.10). Reˇ z´ıskan´ ych vztah˚ u odvod’te (1.11), (1.12) !
1.4
Napˇ et’ov´ e a proudov´ e vlny na homogenn´ım veden´ı Homogenn´ı veden´ı (Lecherovy dr´aty). Telegrafn´ı rovnice a jejich ˇreˇsen´ı. Odraz na zatˇeˇzovac´ı impedanci.
Homogenn´ı veden´ı jsou dva dlouh´e pˇr´ım´e rovnobˇeˇzn´e vodiˇce zapuˇstˇen´e v prostˇred´ı o dielektrick´e permitivitˇe ε a magnetick´e permeabilitˇe µ, obr. (1.1) Veden´ı m´a spojitˇe rozloˇzen´e parametry vztaˇzen´e na jednotku d´elky: odpor R indukˇcnost L kapacitu C svod G = 1/R0
[Ω/m] [H/m] [F/m] [S/m]
´ Usek veden´ı (z, z + ∆z) bude tedy m´ıt odpor R∆z, indukˇcnost L∆z, kapacitu C∆z a svod G∆z. (N´ahradn´ı obvod je na obr.1.2.) Podle obr.1.1 a obr.1.2 m˚ uˇzeme ps´at rovnice pro u ´bytek napˇet´ı −∆u a u ´bytek proudu −∆i na u ´seku d´elky ∆z
6
KAPITOLA 1. ODRAZ VLN ∂i(z, t) − ∆u(z, t) = ∆z Ri(z, t) + L ∂t
!
∂u(z, t) − ∆i(z, t) = ∆z Gu(z, t) + C ∂t
, !
.
Pod´ıly ∆u/∆z a ∆i/∆z pˇri pevn´em t definuj´ı v limitˇe ∆z → 0 parci´aln´ı derivace ∂u/∂z a ∂i/∂z, takˇze dost´av´ame telegrafn´ı rovnice ∂u ∂i = Ri + L , ∂z ∂t ∂i ∂u − = Gu + C . ∂z ∂t
−
(1.13) (1.14)
Jejich ˇreˇsen´ı ud´av´a pr˚ ubˇeh napˇet´ı u(z, t) a proudu i(z, t) pod´el veden´ı v z´avislosti na ˇcase. Zab´ yvejme se nejprve speci´aln´ım pˇr´ıpadem, kdy je v rovnic´ıch (1.13), (1.14) moˇzno zanedbat disipativn´ı ˇcleny |Ri|
∂i L ∂t
, |Gu|
∂u C ∂t
.
(1.15)
Takov´e pomˇery vznikaj´ı na veden´ı typicky pˇri velmi vysok´ ych frekvenc´ıch. Pˇredpokl´ad´ √ameli totiˇz harmonickou ˇcasovou z´avislost (Fourierovu sloˇzku v komplexn´ım tvaru, j = −1) u(z, t) = U (z)ejωt ,
i(z, t) = I(z)ejωt ,
(1.16)
lze nerovnosti (1.15) ekvivalentnˇe zapsat R ωL ,
G ωC .
(1.17)
Za tˇechto podm´ınek se z telegrafn´ıch rovnic −
∂i ∂u =L , ∂z ∂t
∂i ∂u =C ∂z ∂t
(1.18)
∂ 2i ∂ 2i = LC , ∂z 2 ∂t2
(1.19)
−
snadno odvod´ı vlnov´e rovnice2 ∂ 2u ∂ 2u = LC , ∂z 2 ∂t2
√ kter´e popisuj´ı ˇs´ıˇren´ı netlumen´ ych vln u(z, t), i(z, t) s f´azovou rychlost´ı v = 1/ LC. 2
Prvn´ı rovnici zderivujeme podle z a pouˇzijeme druhou rovnici ∂2u ∂2i ∂ ∂i ∂2u − 2 =L =L = −LC 2 . ∂z ∂z∂t ∂t ∂z ∂t
Analogicky se z´ısk´ a stejn´ a vlnov´ a rovnice pro i(z, t).
ˇ TOV ˇ ´ A PROUDOVE ´ VLNY NA HOMOGENN´IM VEDEN´I 1.4. NAPE E
7
Pˇ r´ıklad. Pro dva nekoneˇcnˇe dlouh´e pˇr´ım´e vodiˇce (Lecherovy dr´aty) o polomˇeru a a vzd´alenosti D povrch˚ u v prostˇred´ı ε, µ plat´ı vzorce C=
ε , 4 ln D+a a
L = 4µ ln
D+a a
a tedy LC = εµ. Vid´ıme, ˇze f´azov´a rychlost napˇet’ov´ ych a proudov´ ych vln na Lecherov´ ych dr´atech 1 1 v=√ =√ (1.20) εµ LC se pˇresnˇe shoduje s f´azovou rychlost´ı elektromagnetick´ ych vln v prostˇred´ı ε, µ. M˚ uˇzeme tedy ˇr´ıci, ˇze vlny u(z, t), i(z, t) jsou pouze projevem ˇs´ıˇren´ı elektromagnetick´e vlny, kter´a postupuje pod´el veden´ı. Vrat’me se k telegrafn´ım rovnic´ım (1.13), (1.14) zahrnuj´ıc´ım disipativn´ı ˇcleny a zkoumejme jejich ˇreˇsen´ı s harmonickou ˇcasovou z´avislost´ı (1.16). Po dosazen´ı (1.16) do (1.13), (1.14) dostaneme soustavu dvou obyˇcejn´ ych diferenci´aln´ıch rovnic −U 0 (z) = (R + jωL)I(z) , −I 0 (z) = (G + jωC)U (z) ,
(1.21) (1.22)
z nichˇz vylouˇcen´ım I(z) −U 00 (z) = (R + jωL)I 0 (z) = −(R + jωL)(G + jωC)U (z) plyne U 00 − γ 2 U = 0,
(1.23)
γ 2 = (R + jωL)(G + jωC).
(1.24)
kde Pˇri nenulov´ ych R, G zvol´ıme za γ komplexn´ı√odmocninu γ = β + jk, β > 0, k > 0 (pro R = G = 0 je β = 0, γ = jk = jω/v = jω LC). Charakteristick´a rovnice pro (1.23), λ2 − γ 2 = 0, m´a komplexn´ı koˇreny λ1,2 = ±γ, takˇze obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (1.23) je U (z) = A1 eγz + A2 e−γz .
(1.25)
Dosazen´ım do (1.16) zjist´ıme, ˇze dva ˇcleny (1.25) odpov´ıdaj´ı harmonick´ ym tlumen´ ym vln´am, kter´e postupuj´ı (a exponenci´alnˇe se tlum´ı) ve smˇerech −z a +z: u(z, t) = A1 eβz ej(ωt+kz) + A2 e−βz ej(ωt−kz) .
(1.26)
Pˇr´ısluˇsn´a proudov´a vlna se urˇc´ı pomoc´ı rovnice (1.21) i(z, t) = −
U 0 (z)ejωt 1 = −A1 eβz ej(ωt+kz) + A2 e−βz ej(ωt−kz) . R + jωL Z
(1.27)
8
KAPITOLA 1. ODRAZ VLN
Zde jsme definovali charakteristickou impedanci veden´ı s
Z=
R + jωL G + jωC
fyzik´alnˇe jako pomˇer napˇet´ı a proudu pro vlnu postupuj´ıc´ı ve smˇeru +z. Na z´avˇer odvod´ıme koeficienty odrazu RU , RI pro napˇet´ı a proud, je-li na veden´ı −∞ < z < 0 v m´ıstˇe z = 0 pˇripojena zatˇeˇzovac´ı impedance Z2 . Nejdˇr´ıve urˇc´ıme integraˇcn´ı konstanty A1 , A2 z podm´ınek U (0) = A1 + A2 , ZI(0) = −A1 + A2 na konci veden´ı: 1 A1 = (U (0) − ZI(0)), 2
1 A2 = (U (0) + ZI(0)). 2
Vzhledem k tomu, ˇze na zatˇeˇzovac´ı impedanci plat´ı U (0) = Z2 I(0), vlny budou m´ıt v´ ysledn´ y tvar u(z, t) =
i I(0) h (Z2 − Z)eβz ej(ωt+kz) + (Z2 + Z)e−βz ej(ωt−kz) , 2
i I(0) h −(Z2 − Z)eβz ej(ωt+kz) + (Z2 + Z)e−βz ej(ωt−kz) . 2Z Prvn´ı ˇcleny pˇredstavuj´ı vlny odraˇzen´e uodr , iodr , druh´e ˇcleny vlny dopadaj´ıc´ı udop , idop . Koeficienty odrazu RU , RI pak definujeme jako pomˇery uodr (0, t)/udop (0, t), iodr /idop (0, t) v bodˇe z = 0 (vzhledem k tlumen´ı):
i(z, t) =
RU =
Z2 − Z = −RI . Z2 + Z
Cviˇ cen´ı. Diskutujte pˇr´ıpady Z2 = Z (korektn´ı zakonˇcen´ı), Z2 = 0 (veden´ı nakr´atko) a Z2 → ∞ (veden´ı napr´azdno)! Srovnejte s analogick´ ymi situacemi na strunˇe. Co nastane pˇri Z2 = Zejα ?
