VLIV KONEČNÉHO POČTU LOPATEK U HYDRODYNAMICKÝCH ČERPADEL

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE

VLIV KONEČNÉHO POČTU LOPATEK U HYDRODYNAMICKÝCH ČERPADEL SLIP FACTOR OF HYDRODYNAMIC PUMPS

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR´S THESIS

AUTOR PRÁCE

PETR DUDA

AUTHOR

VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR

BRNO 2012

Ing. ROMAN KLAS, Ph.D.

ABSTRAKT, KLÍČOVÁ SLOVA

ABSTRAKT Bakalářská práce obsahuje základní informace o hydrodynamických čerpadlech. Zabývá se popisem měrné energie pro nekonečný počet velmi tenkých lopatek a následnou korekcí na konečný počet lopatek. Část práce je věnována úkazům vznikajících v mezilopatkovém kanále a jejich vlivu na měrnou energii čerpadla. Jsou zde objasněny výpočty korekčních faktorů dle jednotlivých autorů a na závěr jsou provedeny korekce u třech reálných oběžných kol se srovnáním jednotlivých metod.

KLÍČOVÁ SLOVA Hydrodynamické čerpadlo, Lokální vír, Coriolisova síla, Měrná energie, Korekční součinitel, Rychloběžnost, Mezilopatkový kanál

ABSTRACT Bachelor thesis contains basic information about the hydrodynamic pumps. It describes the specific energy for an infinite number of very thin blade and following corrections to the finite number of blades. Part of this work is dedicated to all-weather resulting in blade to blade channel and their effect on specific energy pump. There are illustrated by calculations of correction factors of individual authors and finally corrections are made on real three impeller wheels with a comparison of different methods.

KEYWORDS Centrifugal pump, Slip factor, Coriolis effect, Specific energy, Impeller discharge flow coefficient, Specific speed, Blade to blade chanel (Intel-blade chanel),

BRNO 2012

BIBLIOGRAFICKÁ CITACE

BIBLIOGRAFICKÁ CITACE DUDA, P. Vliv konečného počtu lopatek u hydrodynamických čerpadel. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 2012. 49 s. Vedoucí diplomové práce Ing. Roman Klas, Ph.D.

BRNO 2012

ČESTNÉ PROHLÁŠENÍ

ČESTNÉ PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že tato práce je mým původním dílem, zpracoval jsem ji samostatně pod vedením Ing. Roman Klas, Ph.D. a s použitím literatury uvedené v seznamu.

V Brně dne 12. května 2012

…….……..………………………………………….. Petr Duda

BRNO 2012

PODĚKOVÁNÍ

PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych poděkovat Ing. Romanu Klasovi, Ph.D. za metodické, pedagogické a odborné vedení, při tvorbě a psaní bakalářské práce. Zvláštní poděkování patří Bc. Šárce Křivinkové za odborné rady při tvorbě v Autocadu. Na závěr bych chtěl poděkovat mojí rodině a přátelům, kteří mě podpořili a stále podporují v mé snaze.

BRNO 2012

OBSAH

OBSAH Úvod ......................................................................................................................................... 11 1

2

Hydrodynamická čerpadla ................................................................................................ 12 1.1

Stručný popis ............................................................................................................. 12

1.2

Rozdělení hydrodynamických čerpadel ..................................................................... 12

1.3

Radiální (odstředivá) hydrodynamická čerpadla ....................................................... 12

1.4

Popis funkce ............................................................................................................... 13

1.5

Kinematický rozbor hydrodynamického čerpadla ..................................................... 13

1.6

Proudění kapaliny ...................................................................................................... 14

1.7

Rychloběžnost hydraulických strojů .......................................................................... 14

Úkazy ovlivňující dopravní výšky.................................................................................... 17 2.1

Lokální vír (otáčivé proudění) ................................................................................... 17

2.1.1

Nepohyblivý zakřivený kanál ............................................................................. 17

2.1.2

Oběžný zakřivený kanál ..................................................................................... 17

2.1.3

Vliv setrvačnosti hmoty na lokální vír ............................................................... 18

2.2

Coriolisova síla .......................................................................................................... 19 Rossbyho kritérium ............................................................................................ 20

2.2.1 3

4

Vliv konečného a nekonečného počtu lopatek ................................................................. 21 3.1

Eulerova čerpadlová rovnice pro konečný a nekonečný počet lopatek ..................... 22

3.2

Porovnaní měrných energii konečného a nekonečného počtu lopatek ...................... 23

Metody korekce dopravní výšky podle různých autorů ................................................... 26 4.1

Stodola (1922)............................................................................................................ 26

4.2

Krouza (1959) ............................................................................................................ 27

4.3

Pfleilderer (1949) ....................................................................................................... 28

4.4

Eck (1957).................................................................................................................. 32

4.5

Siebrecht (1929) ......................................................................................................... 32

4.6

Proskura (1954) .......................................................................................................... 32

4.7

Erhart (1954) .............................................................................................................. 32

4.8

Busemann (1928) ....................................................................................................... 34

4.9

Waisser (1976) ........................................................................................................... 35

4.10

Wiesner (1967) ....................................................................................................... 36

4.11

Balje (1981) ............................................................................................................ 36

4.12

Stanitz (1952) ......................................................................................................... 36

4.13

Strýček (1988) ........................................................................................................ 37

4.14

Šestrjuka ................................................................................................................. 38

BRNO 2012

9

OBSAH

5

Výpočet korekce podle různých metod ............................................................................ 39 5.1

Zadání ........................................................................................................................ 39

5.2

Vypočtené hodnoty .................................................................................................... 39

5.2.1

Stodola ................................................................................................................ 39

5.2.2

Krouza ................................................................................................................ 40

5.2.3

Šerestjuka ........................................................................................................... 40

5.2.4

Wiesner ............................................................................................................... 40

5.3

Porovnání výsledků .................................................................................................... 41

5.4

Účinnosti .................................................................................................................... 41

5.5

Teoretické návrhové dopravní výšky ......................................................................... 42

5.6

Teoretické skutečné dopravní výšky.......................................................................... 43

Závěr ......................................................................................................................................... 44 Použité informační zdroje......................................................................................................... 46 Seznam použitých zkratek a symbolů ...................................................................................... 47 Seznam příloh ........................................................................................................................... 49

BRNO 2012

10

ÚVOD

ÚVOD Tato bakalářská práce má za úkol vytvořit si představu o proudění v mezilopatkovém kanále odstředivého čerpadla. V první části práce bude věnovaná pozornost odstředivému čerpadlu jako takovému, pochopení principu s popsáním jednotlivých části čerpadla je základem k porozumění dalších vztahů v této bakalářské práci. Hydrodynamická radiální čerpadla jsou spojena se specifickými ztrátami, jako je například tření tekutiny o disk jak na vnitřní tak i vnější stěně oběžného kola. V rozšiřujících se kanálech, které nejsou dostatečně zahlceny kapalinou, vzniká tzv. lokální vír. Nežádoucí ohyb proudnic vlivem lokálního víru se navíc projeví značným odklonem od úhlů lopatek na výstupu z kola. Nejvíce se s tímto jevem setkáváme u pomaloběžných hydrodynamických čerpadel, u rychloběžných hydrodynamických čerpadel nemusí být vliv lokálního víru tak značný. Teorie se opírá o fakt, že by bylo možné lokálnímu víru zabránit nekonečným počtem velmi tenkých lopatek, nicméně volba většího počtu lopatek nebývá většinou dost dobře možná, neboť by došlo k přílišnému uzavření oběžného kola v sacím prostoru. Dále zde bude popsán vliv konečného a nekonečného počtu lopatek u hydrodynamických čerpadel. Kde se měrná energie nejdříve stanoví pro nekonečný počet velmi tenkých lopatek a dále se poté koriguje na reálný počet s uvažováním konečné tloušťky lopatek. V průběhu osmdesáti let badatelé jako Busemann, Stodola, Stanitz, Pfeifer, Baije, Fuije a Wiesner upravovali tento korekční faktor. Bylo stanoveno několik matematických vztahů se snahou se co nejpřesněji přiblížit reálné hodnotě. Výpočtová část této práce je založená na testování třech různých oběžných kol, pro které jsme použili výpočtové metody podle různých autorů. Hodnoty korekčních faktorů byly vypočteny pomocí geometrie oběžného kola. Analyticky vypočtené hodnoty jsou následně srovnány s reálnými hodnotami zjištěnými u oběžných kol.

BRNO 2012

11

HYDRODYNAMICKÁ ČERPADLA

1 HYDRODYNAMICKÁ ČERPADLA 1.1 STRUČNÝ POPIS Hydrodynamická čerpadla jsou rotační lopatkové stroje určené k dopravě kapalin. Mechanická energie hnací jednotky se mění v oběžném kole čerpadla na energii kinetickou a ta na tlakovou. Kinetická energie se na tlakovou mění v difuzoru, pokud čerpadlo nemá difuzor, mění se kinetická energie v tlakovou ve spirální skříni. Ve výtlačném hrdle má kapalina převážně tlakovou energii, kinetická energie je poměrně malá. Jedna z výhod těchto čerpadel je, že kapalina protéká stejnoměrně, nepřetržitým proudem. Pohyb kapaliny není ovlivněn nestejnoměrným pohybem pístu. Nepotřebují tedy větrník ani setrvačník. [5]

1.2 ROZDĚLENÍ HYDRODYNAMICKÝCH ČERPADEL Podle průtoku dopravované kapaliny oběžným kolem můžeme hydrodynamická čerpadla rozdělit na: 1. Radiální (odstředivá) 2. Diagonální 3. Axiální (vrtulová) Tato práce se kvůli rozsahu bude zaměřovat jenom na radiální (odstředivá) čerpadla, proto uvedené příklady se budou týkat jenom jich.

1.3 RADIÁLNÍ (ODSTŘEDIVÁ) HYDRODYNAMICKÁ ČERPADLA Oběžné kolo připomíná svým tvarem oběžné kolo Francisovi vodní turbíny s opačným průtokem kapaliny. Základní části jednostupňového radiálního čerpadla jsou na následujícím Obr. 1.

Obr. 1 Proudění kapaliny v odstředivém čerpadle

BRNO 2012

12


Celkově tato čerpadla patří mezi nejpoužívanější lopatková čerpadla. Radiální hydrodynamická čerpadla mají zpravidla sací hrdlo v ose oběžného kola a výtlačné hrdlo na obvodu spirální skříně. Čerpaná kapalina je odstředivou silou vytlačována na obvod oběžného kola. Vzhledem k tomu vzniká v ose oběžného kola podtlak – sání. Odstředivou silou vytlačovaná kapalina na obvod oběžného kola do spirální skříně vytváří požadovaný tlak kapaliny ve výtlačném hrdle.

1.4 POPIS FUNKCE Hnací motor otáčí přes hřídel oběžným kolem. Oběžné kolo nasává kapalinu v axiálním směru a vlivem odstředivé síly mění kapalina směr proudění v lopatkách oběžného kola na radiální. V oběžném kole se mění mechanická energie – otáčky oběžného kola, dodaná hnacím motorem na energii kinetickou kapaliny – pohybovou. Kapalina proudící z oběžného kola do difuzoru ztrácí v rozšiřujících se lopatkách difuzoru kinetickou energii (pohyb se zpomaluje) a získává tlak. V difuzoru se tedy mění kinetická (pohybová energie kapaliny) na tlakovou energii kapaliny. Pokud čerpadlo nemá difuzor, mění se kinetická energie kapaliny v tlakovou ve spirální skříni. Ve spirální skříni proudí kapalina se získanou tlakovou energií do výstupního – výtlačného hrdla. [3]

1.5 KINEMATICKÝ ROZBOR HYDRODYNAMICKÉHO ČERPADLA Kinematické poměry u oběžného kola čerpadla uvádí Obr. 2, kde přeměna mechanické energie na energii hydraulickou začíná na vstupní hraně oběžné lopatky 1 a končí na výstupní hraně této lopatky 2. Charakteristickým prvkem průtokové části oběžného kola jsou kanály tvarované jako difuzory. Dalším typickým znakem hydrodynamických strojů je kontinuální průtok, neboť kanály oběžného kola jsou trvale propojeny se vstupní a výstupní části stroje.g[3] V oběžném kole vystihují kinematické poměry tyto rychlosti: 1. Absolutní rychlost kapaliny – c 2. Relativní rychlost kapaliny – v 3. Unášivá rychlost oběžného kola - u Vektorovým součtem těchto rychlostí vznikne rychlostní trojúhelník, orientovaný podle zásady “ složky směřují proti jejich výslednici “, tedy podle vztahu: ⃗

⃗

⃗⃗

(1)

Obr. 2 Kinematické poměry v oběžném kole BRNO 2012

13


1.6 PROUDĚNÍ KAPALINY Kapalina vstupuje do oběžného kola absolutní rychlostí c1. Kolo je však unášeno obvodovou rychlostí u1, tak že relativní vstupní rychlost částic kapaliny vzhledem k pohybujícímu se oběžnému kolu je v1. Aby nenastal náraz vody na lopatku, a tím víření a ztráta na energii, je třeba dát lopatce na začátku sklon podle směru této relativní rychlosti v1. [2] Z tohoto směru je pak kapalina odchylována zakřivenou lopatkou. Částice kapaliny opouštějí oběžné kolo na průměru D2 relativní rychlostí v2, jejíž směr je určen úhlem konce lopatky B2. Na průměru D2 je však obvodová rychlost u2, je tedy absolutní rychlost částic kapaliny c2. [2] Důležité doplňující složky absolutní rychlosti navzájem na sebe kolmé jsou: cm – meridiánová rychlost kapaliny cu – hybná (obvodová nebo taky unášivá) složka absolutní rychlosti

1.7 RYCHLOBĚŽNOST HYDRAULICKÝCH STROJŮ V oboru hydraulických strojů lze účelně a efektivně uplatnit fyzikálně podobnost. Teorie podobnosti se využívá např. při výzkumu a vývoji nových typů hydraulických strojů a při analýze fyzikálních jevů v nich probíhajících. R.Camerer roku 1915 zavedl novou charakteristiku pro popsání hydraulického typu vodních turbín, které bylo později použito u odstředivých čerpadel. Rychloběžnost nb je souhrnným kritériem přibližné hydrodynamické podobnosti hydraulických strojů, které respektuje nejdůležitější síly působící v kapalině. Měrné otáčky jsou měřítkem rychloběžnosti čerpadla a vyjadřují frekvenci otáčení, kterou by mělo čerpadlo geometricky podobné danému, kdyby v bodě maximální účinnosti při měrné energii 1 J.kg-1 dosahovalo průtoku 1 m3.s-1. Rychloběžnost (taky měrné nebo specifické otáčky) nb souvisí s parametry hydraulického stroje a to s jeho průtokem Q (m3.s-1), měrnou energii E (J.kg-1) i otáčkami n (s-1) následovně:

nb  n 

Q

0,5

E 0, 75

(2)

Z hlediska velikosti kritéria rychloběžnosti lze čerpadla rozdělit na: 1.

Specificky pomaluběžná

2.

Specificky rychloběžná

Rychloběžné čerpadlo vyžaduje sice k dosažení téže pracovní výšky (čerpadla pomaluběžného) větší obvodové rychlosti, ale má příznivější poměr energie potenciální ke kinetické za oběžným kolem a tedy má lepší hydraulickou účinnost. Obvodová rychlost je dána průměrem kola a počtem otáček. Při stejném průměru oběžného kola a stejné pracovní výšky vyžaduje tedy rychloběžné čerpadlo většího počtu otáček než pomaluběžné. [3]

BRNO 2012

14


Lokální vír (který bude popsán v následující kapitole) se nejvíce projevuje u pomaloběžných hydrodynamických čerpadel s radiálním oběžným kolem.

Obr. 3 Optimální oblast použití hydrostatických a hydrodynamických čerpadel různých typů [3]

V počátečním stadiu vývoje čerpadel bylo zvykem dělit čerpadla podle poměru jejich hydraulického typu, jako je poměr šířky oběžného kola při výstupu a vnějšího průměru kola (b2/D2). Pro tentýž účel se rovněž užívalo poměru průměru kola v sání a vnějšího průměru (D1/D2). [5] Fyzikální význam specifických otáček nemá žádné praktické hodnoty a užívá se jich jako čísla k označení „ typu“. Specifické otáčky jako „ typové číslo“ jsou konstantní pro všechna podobná čerpadla a u téhož čerpadla se s otáčkami nemění. Na obrázku je možno vidět několik oběžných kol různých specifických otáček. Každým specifickým otáčkám odpovídají určité velikosti hlavních rozměrů oběžného kola jako - b2/D2, nebo D1/D2. [5] Odvození vzorce pro rychloběžnost Podle Strouhalova kritéria bude: Sh 

c d n

(3)

Když si vyjádříme měrnou energii kapaliny:

Y

p2  p1





p



(4)

A dosadíme do Eulerova kritéria (Eu), dostáváme: Eu 

BRNO 2012

p Y  2 2  c c

(5)

15


Froudovo kritérium:

Fr 

c c  gH Y

(6)

Z průtoku kapaliny si vyjádříme průměr (d):

Q  cd2  d 

Q c

(7)

Otáčky n potom dostáváme dosazením rychlosti (c) z Froudova kritéria za průměr (d)

n

c d2 d  Sh 3



c Fr  Y   d  Sh Q  Sh c

Fr  Y Q Fr  4 Y

  Sh

Fr  Y  Fr  Y 4

Q  Sh



1, 5

3 4

Fr Y  Sh Q (8)

Pro rychloběžnost poté dostáváme vztah:

nb 

BRNO 2012

Q Fr 1,5  n 3 Sh Y4

(9)

16

ÚKAZY OVLIVŇUJÍCÍ DOPRAVNÍ VÝŠKY

2 ÚKAZY OVLIVŇUJÍCÍ DOPRAVNÍ VÝŠKY 2.1 LOKÁLNÍ VÍR (OTÁČIVÉ PROUDĚNÍ) Při zkoušení nového hotového čerpadla se shledáváme s tím, že dosažená hodnota pracovní dopravní výšky je mnohem menší, než předpokládaná. Jednu z příčin lokální vír (vznikající v prostoru lopatkového kanálu), popsal např. akademik V.Krouza ve své knize „Odstředivá čerpadla“ [2] proto teorie vzniku bude zde popsána podle něj. V zakřiveném nepohyblivém kanále vzniká lokální vír (otáčivé proudění), který je opačného smyslu než smysl otáčení oběžného kola. Jeho vlivem vyjde výtokový trojúhelník se zvětšenou hodnotou ψ a proto bude dosažená hodnota výšky H menší. Vlivem lokálního víru dochází k ohybu proudnic a ke zmenšení výtokového úhlu β2. 2.1.1 NEPOHYBLIVÝ ZAKŘIVENÝ KANÁL V nepohyblivém zakřiveném kanále na Obr. 4 nejsou v daném průřezu mn, po celé jeho ploše tlaky a rychlosti stejné. Tlak p roste od A k B podle křivky P následkem odstředivé síly proudící kapaliny a v závislosti na tlaku ubývá rychlosti v podle křivky V. Rychlost v je větší u vypouklé stěny A a menší u vyduté B, s tlaky p je to obráceně. Celý tento proces jen potvrzuje platnost Bernuliho rovnice v praxi.

Obr. 4 Proudění v zakřiveném nepohyblivém kanále

2.1.2 OBĚŽNÝ ZAKŘIVENÝ KANÁL V oběžném zakřiveném kanále oběžného kola jsou poměry poněkud jiné. Na Obr. 5 přenášejí lopatky kola na kapalinu mechanickou práci tím způsobem, že na vodu tlačí. To znamená, že na přední stěně lopatky A je větší tlak p, než na zadní stěně B. Naopak rozložení rychlostí bude zcela opačné větší rychlost v u vydutého povrchu lopatky B než u vypouklého povrchu A v proudícím kanále. Následkem nestejných rychlostí v kanále je relativní pohyb kapaliny pojmenován jako lokální vír. Ten se uplatňuje tím více, čím větší je rozdíl mezi největší krajní rychlostí a nejmenší krajní rychlostí.

Obr. 5 Proudění v oběžném zakřiveném kanále BRNO 2012

17


Dále se tento vír uplatňuje tím více čím méně kapaliny kanálem protéká (čím méně kapaliny nám čerpadlo dává). Při zcela uzavřeném šoupátku ve výtlaku (Q=0), bude při stěně B kapalina proudit zpět a vytvoří uzavřený lokální vír (Obr. 6), Ten má opačný smysl otáčení než otáčení oběžného kola.

Obr. 6 Proudění v kanále při uzavřeném šoupátku

Rozdíl krajních rychlostí bude tím větší, čím bude kanál prostornější. Teorie kdy by nevznikl lokální vír v oběžném kanále se tedy opírá o nekonečný počet lopatek s nekonečně malým prostorem, kde by nevznikl dostatečný prostor pro vytvoření lokálního víru. 2.1.3 VLIV SETRVAČNOSTI HMOTY NA LOKÁLNÍ VÍR Další příčinou vzniku lokálního víru v oběžném kanále je setrvačnost hmoty vodního obsahu v kanále. Tu už popisuje V.Krouza ve svém rozšířeném vydání „Čerpadla odstředivá a jim příbuzná“ [1] Pokud se hmotný kotouč K, který je unášen na kruhové dráze D volně otáčí kolem svého středu S. Tak můžeme spatřit, že v poloze 1 je hrot šipky napravo od přímky procházející středem kruhové dráhy, v poloze 2 je nalevo od ní otočený o 90°, v poloze 3 o 180° a ve 4 o 270°. To dává relativní rotaci opačnou smyslu rotace na kruhové dráze na Obr. 7. Obě rotace se sčítají. Měl by tedy mít lokální vír v oběžném kanále dvojnásobnou úhlovou rychlost ω oběžného kola. Následkem hydraulických odporů se tato hodnota sníží asi na polovinu a s tím budeme počítat, pokud bude zapotřebí. Lokální vír v kanále bude mít tedy úhlovou rychlost ω, stejnou jako má oběžné kolo.

Obr. 7 Vliv setrvačnosti

BRNO 2012

18


2.2 CORIOLISOVA SÍLA Lokální vír, lze také popsat Coriolisovou silou, kde v neinerciálních vztažných soustavách, které rotují konstantní úhlovou rychlostí velikosti ω, mohou na těleso působit kromě odstředivé síly ještě další síly. Pokud se těleso o hmotnosti m, pohybuje relativní rychlostí v, tak působí na toto těleso kromě odstředivé síly F0 i další, zdánlivá síla. Ta je nazývána silou Coriolisovou a je definovaná jako dvojnásobek vektorového součinu dvou výše zmíněných rychlostí. [5] Její velikost je pak dána rovnicí, kde úhel φ je úhel, který svírá vektor úhlové rychlosti s vektorem rychlosti tělesa.

Fc  2.m..v. sin 

(10)

Že Coriolisova síla ovlivňuje pohyb hmotných částic v rotujícím prostoru prokázal pokus Sternův. V něm od středu rotujícího prostoru radiálně pohybující se částice vykázala vlivem Coriolisovy síly zakřivení dráhy od radiálního směru, které bylo orientováno proti smyslu otáčení rotujícího prostoru. Coriolisova síla Fc je silou setrvačnou, která se projevuje v soustavě otáčející se úhlovou rychlostí ω tehdy, jestliže se předmět (částice) o hmotnosti m pohybuje ve směru relativní rychlosti w, odlišné od osy rotace. Rychlost rovnoběžná s osou rotace má nulový průmět do roviny x- y kolmé k ose rotace a Coriolisova síla nevzniká. Coriolisovu sílu vyvolává zrychlení hmotné částice: ac  2    wxy

(11)

Kde relativní rychlost wxy je průmětem relativní rychlosti w do zmíněné roviny x – y. Vektor Coriolisovy síly je orientován v rovině x - y podle zrychlení ac, kolmého na rychlost wxy    Fc  m  ac  m  2    wxy

(12)

U odstředivého čerpadla působí síla Fc proti smyslu otáčení oběžného kola, čímž zvyšuje moment, kterým působí kapalina na oběžné lopatky. Důsledkem je zvýšení hnacího momentu a příkonu na hřídeli čerpadla. Coriolisova Síla Fc bude v čerpadlovém provozu působit na tlakové straně oběžných lopatek ve smyslu cirkulace lokálního víru a radiální složka Fcr bude orientována proti průtoku kapaliny oběžným kolem (Obr. 8)

Obr. 8 Orientace Coriolisovy síly

BRNO 2012

19


Jak shora zmíněno, síla Fc složkou tečnou Fct zvyšuje moment, jímž působí kapalina na oběžné lopatky v čerpadlovém provozu. Složka Fct v čerpadlovém provozu průtok kapaliny snižuje. V čerpadlovém provozu síla Fc přispívá ke sníženi užitečného výkonu stroje. [5] Rychlostní poměry v oběžných kolech hydrodynamických strojů vystihují rychlostní trojúhelníky, u nichž základnou bývá unášivá (obvodová) rychlost oběžného kola u (m.s -1). Na koncové body vektoru obvodové rychlosti navazují směry vektorů rychlosti absolutní c a relativní w.

Obr. 9 Výstupní trojúhelník rychlostí z oběžného kola

Pravoúhlé souřadnice A jsou (vzhledem ke směru obvodové rychlosti) mírou hlavních parametrů Q a Y hydraulického stroje. Podle Obr. 8 u odstředivého čerpadla tečná složka Coriolisovy síly Fct zvyšuje na výstupu z oběžného kola relativní rychlost kapaliny w, čímž v Obr. 9 bod A posouvá do A´. Tím dochází ke snížení hybné (unášivé) složky absolutní rychlosti cu2, popř. měrné energie čerpadla Y. [5] 2.2.1 ROSSBYHO KRITÉRIUM K zobecnění poměrů v prostoru proudění kapalin v oběžných kolech hydrodynamických strojů může také posloužit kritérium Rossbyho, definované k hodnotám směrodatným pro relativní proudění kapaliny v oběžném kole takto: Ro 

w l 

(13)

Kde l (m) je délka relativní dráhy částice kapaliny v oběžném kole. Jak výše uvedeno, hodnotami ω , w je definována Coriolisova síla viz vztah (10), takže Rossbyho kritérium se nabízí k obecnému posouzení účinku Coriolisovy síly v relativním proudovém poli kapaliny v oběžných kolech hydrodynamických strojů. Délka relativní dráhy l rychlosti kapaliny w se podílí na Coriolisově síle jak velikostí a zakřivením (deviací), tak orientací vůči ose otáčení ω. Třeba poznamenat, že Rossbyho kritérium respektuje setrvačné síly konvektivního zrychlení kapaliny, které je charakteristické v prostoru relativním mezi oběžnými lopatkami. Za to Strouhalovo kritérium zahrnuje setrvačné účinky lokálního zrychlení kapaliny, které se uplatňují v prostoru absolutním, kde jsou tyto účinky periodicky ovlivňovány interakcí lopatek rotoru a statoru hydrodynamického stroje. [5]fdsfdsdfsffdsfsdfdssfdfssfdfsdfdsfsdfsds.

BRNO 2012

20

VLIV KONEČNÉHO A NEKONEČNÉHO POČTU LOPATEK

3 VLIV KONEČNÉHO A NEKONEČNÉHO POČTU LOPATEK Pro ideální kapalinu oběžného kola s konečným počtem lopatek se zanedbatelnou tloušťkou dostáváme menší teoretickou dopravní výšku, protože se změnil rychlostní trojúhelník na výstupu z oběžného kola. Teoretická dopravní výška je menší v důsledku konečného rozměru kanálu. V jednotlivých elementárních vláknech nastavují různé tlaky a relativní rychlosti. Na lopatce se vytváří takzvaná přetlaková a podtlaková strana. Výsledkem je, že se zmenší složka rychlosti c2u. Skutečná dopravní výška Hd je vždy menší než výška teoretická Ht. Při teoretickém zkoumání proudění v kanálech nekonečného počtu lopatek se vychází nejprve z ideálních vlastností kapalin a ideálních geometrických parametrech čerpadla. Zjednodušené řešení je založené na předpokladu neviskózní a nestlačené kapaliny a na nekonečném počtu tenkých lopatek, které dokonale vedou kapalinu. V dalších fázích výpočtového řešení proudového procesu v čerpadlech se koriguje výsledek uvedeného zjednodušeného řešení vztahy, které respektují reálné vlastnosti kapaliny a reálný počet lopatek. Děje se tak díky korekčního faktoru σY, který bude podrobněji popsán v následující kapitole. Podle východiskového schéma nekonečného počtu velmi tenkých lopatek se řeší proudění zejména v radiálních a diagonálních oběžných kolech. V případě axiálních oběžných kol, která mají malý počet krátkých lopatek korekce z nekonečného na reálný počet lopatek nejsou dostatečně přesné. Proto se obvykle vychází ze schématu obtékaní osamělého lopatkového profilu, které hydrodynamické charakteristiky se získávají experimentálně v hydrodynamickém a aerodynamickém tunelu. Výsledky získané na osamělém profilu se potom přepočítávají na případ reálného počtu tj. na případ lopatkové mříže. V rámci zjednodušeného řešení i pro výpočet axiálních čerpadel používáme jednotnou výpočtovou metodu, založenou na zjednodušení schématu korekce z nekonečného na reálný počet lopatek. Tato práce bude zaměřená na výpočet proudění zejména v radiálních oběžných kolech. [7]

Obr. 10 Rozložení tlaku a rychlostí u kol s a) nekonečným počtem lopatek b) konečným počtem lopatek

Na oběžném kole s nekonečným počtem lopatek (Obr. 10) je průběh tlaků a rychlostí po celé šířce nekonečně úzkého kanálu konstantní. Naopak je tomu u kola s konečným počtem lopatek. Kde tlačná strana lopatky tlačí na kapalinu, takže na ní vzniká větší tlak, který se zmenšuje ve směru otáčení oběžného kola. Kde je menší tlak, tam je větší rychlost a opačně.

BRNO 2012

21


3.1 EULEROVA

ČERPADLOVÁ ROVNICE PRO KONEČNÝ A NEKONEČNÝ POČET

LOPATEK

Při odvození základní pracovní rovnice budeme předpokládat proudění ideální kapaliny. Měrnou energii, kterou oběžné kolo za těchto předpokladů transformuje označíme Yt∞ (index t se váže na teoretický případ ideální kapaliny a index ∞ na nekonečný počet nekonečně tenkých lopatek, které dokonale vedou kapalinu.) Pracovní rovnice čerpadla odvodíme pomoci věty o změně hybnosti. Změna hybnosti je dána rozdílem hybnosti, která má kapalina před vstupem do lopatkového prostoru oběžného kola a hybností, kterou má kapalina po výstupu z lopatkového prostoru oběžného kola.

Yt  u 2 cu 2  u1cu 0

(14)

Druhý člen rovnice u1cu 0 se obvykle rovná nule, protože cu 0  0 . Výjimkou tvoří případ, v kterých je před oběžným kolem zabudované zařízení, schopné udělit kapalině moment hybnosti např. před rozváděč. Ten se většinou u odstředivých čerpadel nepoužívá, pracovní rovnice bude mít tedy potom tvar.

Yt  u 2 cu 2

(15)

Oběžné kolo s reálným počtem lopatek neusměrňuje dokonale ani kapalinu s ideálními vlastnostmi. Vlivem mezilopatkových prostor vzniká především rozdíly tlaků na čelní (tlačné) straně a na zadní (nasávací) straně lopatek. Působením nerovnoměrných sil dochází k výraznému nerovnoměrnému rozložení rychlosti a tlaku v celém prostoru lopatkových kanálu. I bez výpočtu rychlostních a tlakových polí v kanálech oběžného kola (výpočty těchto polí patří mezi nejsložitější úlohy hydraulických řešení) dojdeme k logickému závěru, že čím menší počet lopatek bude mít oběžné kolo, tím větší bude rozdíl mezi úhly lopatek a úhly průměrných relativních rychlostí v jednotlivých lopatkových kanálech. [5] Rozdíl na výstupu oběžného kola znázorňuje trojúhelník rychlostí (Obr. 11), kde vlivem lokálního víru dochází k ohybu proudnic a ke zmenšení výtokového úhlu β2.

Obr. 11 Výstupní trojúhelník rychlostí konečného a nekonečného počtu lopatek

BRNO 2012

22


Z toho vyplívá, že skutečná obvodová složka rychlostí cu 2 bude menší než složka cu 2 a to stejné bude platit i pro shodující hodnoty měrné energie. Měrná energie pro reálný počet lopatek tedy bude:

Yt  u 2 cu 2

(16)

Rozdíl měrných energii mezi nekonečným a konečným počtem lopatek udává změna obvodové složky rychlosti z cu2 na c´u2.

3.2 POROVNANÍ

MĚRNÝCH ENERGII KONEČNÉHO A NEKONEČNÉHO POČTU

LOPATEK

Pro co možná nejlepší zevšeobecnění základních vztahů pro hydraulické řešení čerpadel, zavedeme bezrozměrné veličiny

t 

Yt u 22

(17)

2 

cm 2 u2

(18)

t je součinitel teoretické měrné energie čerpadla

2 je součinitel průtoku čerpadla Při odečtení rovnic měrné energie nekonečného a konečného počtu lopatek nám vznikne:

Yt  Yt  u 2 (cu 2  cu 2 )  u 2 cu 2

(19)

Rovnice bude mít tvar:

Yt  Yt  u 2 cu 2

(20)

Když dosadíme z rovnice

u 2 cm 2 tg 2

(21)

u 2 cm 2  Yt  u 2 cu 2 tg 2

(22)

Yt  u 2  2

Tak vzniká

u2  2

BRNO 2012

23


Po úpravě

c  u c 2 Yt  u 2 1  u 2   2 m 2 u 2  tg 2 

(23)

Výraz v závorce udává výraz, který nazveme korekční faktor reálného počtu lopatek:



c 

 Y  1  u 2  u2  

(24)

Po následném zkrácení

u 2 cm 2 tg 2

(25)

cm 2 tg 2  u 2

(26)

Yt  u 2  Y  2

Celou rovnici vydělíme u22

Yt u2

2

 Y 

Po zjednodušení rovnice díky vzorům 17 a 18 nám vzniká

t   Y 

2 tg 2

(27)

Obdobným způsobem vyjádříme rovnice pro nekonečný počet lopatek a vzniká

t  1 

2 tg 2

(28)

Korekční faktor reálného počtu lopatek, který vlastně reprezentuje v bezrozměrné hodnotě měrnou energii čerpadla při nulovém průtoku má hodnotu vždy menší než jedna. To znamená, že teoretická charakteristika s reálným počtem lopatek bude přímka, která je tažena níž pod přímkou teoretické charakteristiky s nekonečným počtem lopatek a je s ní rovnoběžná. [5]

Obr. 12 Teoretická charakteristika konečného a nekonečného počtu lopatek BRNO 2012

24


Při výpočtu čerpadla potřebujeme poznat hodnotu  Y velmi přesně, protože od něj závisí přesnost výpočtu samotné měrné energii čerpadla. Určení této hodnoty se zřetelem na složité rychlostní a tlakové poměry v oběžném kole je úloha velmi náročná. [5] Všechny známé výpočtové metody, zabývající se určením vztahů pro korekční faktor, se museli doposud opírat o vícero zjednodušení, které se týkají fyzikální i matematické stránky problému. Vztahy prezentované různými autory se proto vyznačují určitými osobnostmi a dávají částečné rozdílné výsledky. Smyslem téhle práce bude srovnat výsledky u různých oběžných kol s metodami různých autorů.dsdsdssdsddsdsdsdsdsdsdsdsdsddsdsdsddsdssdsdsddssdsddssd

BRNO 2012

25

METODY KOREKCE DOPRAVNÍ VÝŠKY PODLE RŮZNÝCH AUTORŮ

4 METODY KOREKCE DOPRAVNÍ VÝŠKY PODLE RŮZNÝCH AUTORŮ Vyjádřit číselně a přesně změnu složky c2u v c3u není snadná úloha a také dosud nelze udat metodu, která by přesně vystihla tuto změnu. V odborné literatuře se uvádí několik metod, které změnu složky c2u vystihují v postačující míře pro praktické použití. V práci bude uvedeno podle několika autorů.

4.1 STODOLA (1922) Tato metoda je jednou z nejstarších a vyznačuje se jednoduchým výsledným vztahem. V současné době se v případě čerpadel téměř nepoužívá, měla ale svůj význam v rozvoji turbo strojů. Nedostatkem této metody je skutečnost, že vychází z potřeb konstrukce dmychadel a ventilátorů, kde bývají lopatky často velice tenké a je možné zanedbat jejich tloušťku. Rotace lokálního víru je navázána na úhlovou rychlost kola v její absolutní výši. Při použití této metody se vepíše do výkresu navrženého oběžného kola do výstupu lopatkového kanálu kružnice o průměru a2 (Obr.13) a určí se její obvodová rychlost ua. [1]

Obr. 13 Výtoková světlost oběžného kanálu

Protože nebylo dbáno tloušťky lopatky, je možné přistoupit k zjednodušení a stanovit přibližnou hodnotu: a2  t 2 sin 2

(29)

Obvodová rychlost ua na vepsané kružnici o poloměru a2 bude potom vyjádřena rovnicí: ua 

t 2 sin 2  D2  sin 2  sin 2   u2 2 2z z

(30)

Rychlosti ua je využito ke snížení cu složky v obvyklém trojúhelníku výstupních rychlostí. Teoretická dopravní výška Ht musí být dána vztahem:

1 H t  u 2 c 2u  u a  g

BRNO 2012

(31)

26


Pro korekci teoretické měrné energie (dopravní výšky) platí:

  1

 sin  2 z

(32)

Korekční faktor σ je podle Stodoly závislý na úhlu lopatky β2 a počtu lopatek z.

4.2 KROUZA (1959) Tato metoda se zakládá na zjevu lokálního víru v kanále a předpokládá dostatečný přesah lopatek na výstupu z oběžného kola. Obdobně jako u Stodolova postupu je do kanálu oběžného kola vepsána kružnice o průměru a2 (Obr. 14). Obvodová rychlost ua je určena na základě úhlové rychlosti oběžného kola, šířce kanálu v prostoru a otáčkách kola. [1]

u a   a2 n

(33)

Obr. 14 Výtoková světlost oběžného kanálu

První změna však nastává v konstrukci trojúhelníku výstupních rychlostí. Postupuje se tak, že se zvolí úhel β2, následně se z něj odměří w2 a přičtením ua dostáváme w3 dle vztahu:

   w3  w2  u a

(34)

Obr. 15 Výtokové rychlosti

BRNO 2012

27


Druhá změna nastává v odečítání šířky lopatky, kdy neodečítáme celou šířku lopatky s2, ale jen část poněvadž konec lopatky bývá zeslaben.

a2  a2  0,5  0,8s2

(35)

Přibližnou velikost skutečného průměru vepsané kružnice a2 s vlivem šířky lopatky s2 lze určit z grafu v Obr.16 a ze vztahu (35).

Obr. 16 Zjištění poměru a´2 / D2

Korigovaná teoretická dopravní výška poté nabude této podoby:

1 H th  u 2 c 3u g

(36)

Korekční součinitel měrné energie σ

 c 2m    1 u 2  

2   1  a2 n       1  cotg  2   c 2m    sin  2 

(37)

4.3 PFLEILDERER (1949) Tato metoda je velmi rozšířená, nejvíce pro případ radiálních kol se standartními tvary meridiálního řezu a lopatek. V metodě se vychází z předpokladu, že tlakový spád na výstupu oběžného kola (zapříčiněný rozdíl tlaků na tlačné a nasávací straně lopatek) je nepřímo úměrný rychlostnímu spádu relativních rychlostí Obr. 17.

Obr. 17 Rozložení rychlosti na výstupu oběžného kola BRNO 2012

28


Přesto Pfleiderer předpokládal rovnoměrné rozložení síly, kterou lopatka působí na kapalinu. To znamená, že na jednotkovou délku lopatky působí síla: F  p b  p2 b2  p1 b1

(38)

Stanovením přenášeného momentu od oběžných lopatek a rozborem proudového pole obr. 17 je tlak Δp2 na výstupu z oběžného kola dán jako:



w2 ´2  w2 ´´2 2

  p 2

(39)

Kde  představuje konstantu úměrnosti a je menší než 1. Zatížení jednotky délky lopatky K je :

K    h  b    h2  b2    h1  b1

(40)

Obr. 18 Axiální rovinný řez vzhledem k ose otáčení

Odtud lze určit moment přenášený lopatkou. (Ur je statický moment proudnice). r2

r2

r1

r1

M  z  F r dx  z F  r dx  z F U r

(41)

Protože však musí být výkon na hřídeli čerpadla:

M    Q g Hth

BRNO 2012

(42)

29


Je možné s přihlédnutím k vyjádření průtoku Q a výstupní tloušťky lopatky s2 sestavit tuto podmínku: M

2  r2 b2 c2m g H th t 2  s2  z p2 b2 Ur  t2

(43)

Následně s užitím (39) je: 2

2

w ´  w I´ 2 r g H th t 2  s2 p2  2   2 c2m  2 z Ur  t2 2g 

(44)

Z rozboru rychlostí v obr. 19 vyplývá, že: w2 ´2 w2 ´´2  4w2 (w2´  w2 )

(45)

Dosazením (45) do (44) a náhradou c2m z trojúhelníku výstupních rychlostí je:

w 2´  w 2   

g 2H th r2 t 2  s2 sin  2  z Ur t 2

(46)

Z tohoto trojúhelníku je potom možné odečíst rozdíl obvodových složek absolutních rychlostí c2u a c3u.

 u 2  c 2u  c 3u

(47)

Obr. 19 Výtokové rychlosti

Odchylka mezi teoretickou dopravní výškou při nekonečném množství lopatek Ht∞ teoretickou dopravní výškou Ht je:

Ht  Ht 

u2 c2u  c3u  g

a

(48)

Skutečná teoretická dopravní výška může být poté korigována, dle následujícího poměru: H t c c 1  1  2u 3u   1  p Ht c 3u 

BRNO 2012

(49)

30


Přičemž p je Pfleidererův faktor konečného počtu lopatek

p  ´

r22 z Ur

(50)

Tato korekce činitelem p představuje snížení výkonu čerpadla, které nesouvisí s hydraulickými ztrátami. Faktor p je také označován jako tzv. součinitel snížení výkonu. Oběžné lopatky se navrhují na měrnou energii Yt∞ (Ht∞). Vycházíme přitom z měrné energie Y. Aby kapalina vystupující z oběžného kola měla po střední proudnici hybnou složku c3u potřebnou k vyvození Y, musí být výstupní úhel lopatky β2´ navržen na složku c2u. tg  2´ 

c2m c2m  u 2  c 2u u  E 1  p  2 u 2 h

(51)

Pfleiderer pro čerpadla se spirálou nebo rozváděcím kolem navrhnul koeficient ψ´ takto:

 ´  0,55 až 0,68   0,6 sin 2

(52)

V případě zcela radiálních lopatek je statický moment proudnice Ur: r2

Ur   r dr  r1



1 2 2 r2  r1 2



(53)

Aby se zmenšila hodnota výrazu 35 (poměr Ht∞/Ht) co nejvíce přiblížila jedné, vkládaly se do středů kanálů oběžného kola krátké lopatky o celkovém počtu n (Obr. 20).

Obr. 20 Zdvojení počtu lopatek na výstupu

Z toho vyplivá, že počet lopatek na výtoku z2, byl dvakrát větší než počet lopatek na vtoku z1. Čerpadlo se poté reguluje přivíráním regulačního šoupátka na výtlačném hrdle, ale zhoršuje se tím účinnost. Krátké lopatky zasahují tedy do vzniku lokálního viru v oběžném kole. Toto řešení se vidí spíše u větráku, než u odstředivých čerpadel. [5]

BRNO 2012

31


4.4 ECK (1957) Později Eck modifikoval Pfleidererův faktor p : p

 sin  2  D  2z  1  1   D2 

(54)

4.5 SIEBRECHT (1929) Modifikace koeficientu ψ vyjádřena jako: 2   cm 2     sin  2   1,7  13,3   u 2 tg  2   ´

(55)

4.6 PROSKURA (1954) Proskura zpřesnil hodnotu součinitele ψ tím, že uplatňuje i úhel vstupní části lopatek.



2   D1    sin  2    sin 1  2   D2   ´

(56)

4.7 ERHART (1954) Erhartův přístup vychází z rovnice, kterou odvodil Pfleiderer. Částice ABCD v obr. 21 přejde za čas dt do polohy A´B´C´D´ a přitom dojde k jejímu natočení a deformaci. [5]

Obr. 21 Znázornění natočení a deformace částice

Úhlová rychlost této částice bude opět v absolutní velikosti rovna úhlové rychlosti kola 

BRNO 2012

1 2d  d 2 dt

(57)

32


Dosazením za úhel dφ a dψ z geometrických a kinematických poměrů zřejmých z obr. 21, lze dospět k této rovnici:  w dw   2  dy  

(58)

Kde je relativní přírůstek rychlosti w v závislosti na úhlové rychlosti ω oběžného kola, poloměru křivosti ρ proudnice proudnice a šířky dy uvažovaného elementárního vlákna ve směru ρ. Pro její praktické využití je, ale vhodnější použít následujícího tvaru:  w w   2  y  

(59)

Obr. 22 Erhartův postup

V bodě 1 (Obr. 22) předpokládáme, pro nulovou a jednu vhodně zvolenou velikost, rychlost w21. Rovnici (59) využijeme k výpočtu rychlostního pole v bodech 1 až 5. Pro něj pak určíme křivky KA a KB v témže obrázku. Průsečík rychlostí w25 a středních relativních rychlostí v kanále w2s vede ke konstrukci bodů A a B, které můžeme proložit přímkou. Ze známé požadované střední relativní rychlosti v kanále w2s, určené z průtoku a plochy kanálu, jsme schopni stanovit rychlost w25 (červená barva). Zkonstruujeme-li trojúhelník relativních rychlostí, můžeme odečíst složku absolutní rychlosti c3u, kterou využijeme k výpočtu dopravní výšky.

Obr. 23 Výtokové rychlosti BRNO 2012

33


V tomto případě je již zahrnuta i hydraulická účinnost a získáme tak přímo dopravní výšku H, rovnice (59). V obrázku je zachycen i bod C, který dokresluje pouze to, že body A, B, C leží na přímce.

1 H  u 2 c 3u g

(60)

1 2  52  u 2  w 2  c 2m  h  

(61)

Obvodová složka rychlosti c3u c 3u 

Rozdíl obvodových složek absolutní rychlosti Δcu 2

2

w 25  c 2m  1 cu  u 2  1     c 2m cotg  2 h  h 

(62)

Korekční součinitel měrné energie σ 2

2

u 2  w 25  c 2m c   2m cotg  2 u 2 h u2

(63)

4.8 BUSEMANN (1928) Metoda je založena na rozboru proudění v konformním zobrazení. Přetransformoval se případ obtékaní ideální kapaliny okolo válce na obtékaní v radiální mříží. Výpočtová metoda je po matematické stránce velmi složitá i přes zjednodušení, které Busemann zavedl. Pro zjednodušení se předpokládají nekonečně tenké lopatky ve tvaru logaritmické spirály, přičemž úhel těchto lopatky β je konstantní od vstupu po výstup. [5] Šířka meridiálního řezu musí být také konstantní a lopatková mříž se uvažuje převážně radiální (λ=90°). Vzhledem ke složitostem výpočtových vztahů jsou výsledky vyjádřené graficky prostřednictvím série diagramů. (obr.24). Ty udávají závislost korekčního součinitele σ na poměru výstupního a vstupního průměru oběžného kola. Každý diagram je sestavený pro konstantní úhel β. V diagramu jsou charakteristické dvě oblasti, první tzv. „Překrytá oblast“, kde lopatky tvoří uzavřené lopatkové kanály a druhá tzv. „nepřekrytá oblast“ kde lopatky netvoří uzavřené lopatkové kanály.

Obr. 24 Ukázka Busemannova diagramu BRNO 2012

34


Pro překrytou oblast platí:

2 tg 2

´  

(64)

Pro nepřekrytou oblast:

 2  max   ) tg 2  max

 ´    (1 

(65)

Veličiny Φ2max a Φ2max∞ reprezentují součinitele průtoku, které vyjadřují nulovou hodnotu měrné energie. Pro jejich vyjádření vycházíme z rovnic:

 

1 

 max tg 2

0

(66)

 max  0 tg 2

(67)

Následným upravením:

2 max    tg 2

(68)

2 max   tg 2

(69)

Po úpravě tedy dostáváme vztah pro korekční faktor:

 2 max  2 max 

 (70)

4.9 WAISSER (1976) Waisser vycházel ze závislostí popsaných v Busemannových diagramech. Waisser měl snahu doplnit diagramy přibližnými rovnicemi. V tomto řešení je však počet omezen na rozsah 3 až 16 lopatek a rozmezí mezi výstupním úhlem β2 je 15° až 35°. [9]

  1

BRNO 2012

0,4  0,445  sin  2 z

(71)

35


4.10 WIESNER (1967) Wiesner analyticky zpracoval Busemannovy závislosti obdobně, jak tomu bylo učiněno v předchozí metodě, a získal následující vztahy pro korekci měrné energie. Výsledky jsou podobně graficky zpracované. [2]

Obr. 25 Ukázka Wiesnerových diagramů

Pro poměř průměru menší než ε platí: sin  2 D1   ,   1 D2 z 0, 7

(72)

Kde ε se vypočítá:

 e

8,168 sin 2 z

(73)

Pro poměř průměru větší než ε platí:   D1       sin  2 D1  1   D2  ,   1 0, 7   1    D2 z      

(74)

4.11 BALJE (1981) Faktor skluzu μ

z



D  z  6,2 1   D2 

2 3

(75)

4.12 STANITZ (1952) Faktor skluzu μ

BRNO 2012

  1

0,63



z c2m 1 u 2 tg  2

(76)

36


4.13 STRÝČEK (1988) Strýček si kladl za cíl zabudovat do výpočtových rovnic další geometrické faktory, které v předcházejících faktorech nevystupují, ale které experimentální výzkum pokládá za důležité. Metoda se opírá o fakt, že v lopatkových prostorech při konečném počtu lopatek existuje členění kanálu na překrytou část a část okrajovou (periferní). Výpočet vlivu konečného počtu a tvaru lopatek je pak založen na plochách překrytí, které procházejí napříč kanálem a rozdělují jej na uvedené oblasti. Obr 26. Tvar těchto ploch odvodíme z rovnováhy cirkulace ve vztahu k výsledné integrované měrné energii čerpadla.

Obr. 26 Znázornění ploch

Plocha překrytí na výstupu spolu s tlačnou stranou lopatky ve výstupu periferní části oběžného kola tvoří charakteristickou výstupnou plochu oběžného kola, na kterou je třeba vztahovat výstupní výpočtové parametry měrné energie prvního členu měrné energie YtA (určovat jeho integrální hodnotu). V případě druhého členu YtB uplatníme průměrnou hodnotu po celou plochu lopatky od vstupu po výstup. Všeobecné vyjádření bude mít tvar. [5]

Yt  YtA  YtB 

1 1 Q u 2 dm dn  u cot  2 dm dn   P(C ) C P( D) D S

(77)

P(C) je plocha v meridiální rovině s množinou bodů C, vymezená plochou překrytí na výstupu. P(D) je plocha v meridiální rovině s množinou bodů D na celém rozsahu délky lopatky od vstupu po výstup, vymezená trajektoriemi průtoku.

 c  Q Q Yt  u22 1  u   u2 cot  2  u 22   u2 cotg  2 u2  S2 S2 

(78)

Ze srovnání (76) a (77) vyplivá korekční součinitel měrné energie: 

BRNO 2012

u 22

1 P(C )

 u

2

dm dn

(79)

C

37


Řešit vztah (79) je dosti složité i za přijetí určitých zjednodušení. Předpokládáme, že měrná energie se v meridiálním řezu po šířce kanálu nezmění. Střední proudnice je přímka a také úhel lopatky je po celé délce konstantní.

4.14 ŠESTRJUKA Jedná se o modifikaci korekčního faktoru:

2 sin  2

  1 1

BRNO 2012

z 3 2 sin  2

(80)

z 3

38

VÝPOČET KOREKCE PODLE RŮZNÝCH METOD

5 VÝPOČET KOREKCE PODLE RŮZNÝCH METOD Pro ověření teorie budou zde vypočítaný korekce pro čtyři skutečná oběžná kola.

5.1 ZADÁNÍ Tabulka č.1 Zadané hodnoty 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

n

2900

1485

2900

2910

[ot/min]

ω

303,7

155,5

303,7

304,7

[rad/s]

P

6,2

54

425

11,5

[kW]

Q

7

87

175

7

[l/s]

D1

76

190

190

65

[mm]

D2

222

400

400

244

[mm]

z

5

6

6

5

[počet]

η

55,4

79

80,8

47,8

[%]

β2

20,50

21,00

21,00

20,30

[°]

sin β2

0,3502

0,3584

0,3584

0,3469

[rad]

a2

0,048

0,075

0,075

0,05

[m]

t1

0,003

0,006

0,006

0,0035

[m]

B2

0,007

0,0345

0,0345

0,0089

[m]

5.2 VYPOČTENÉ HODNOTY 5.2.1 STODOLA Tabulka č.2 Vypočtené hodnoty dle Stodoly 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

t2

0,139

0,211

0,211

0,146

[m]

ua

7,392

5,879

11,482

7,717

[m/s]

u2

33,711

31,100

60,740

37,173

[m/s]

S2

0,00488

0,02800

0,02800

0,00689

[m2]

cm2

1,434

3,107

6,250

1,016

[m/s]

w2

4,094

8,670

17,440

2,928

[m/s]

cu2

29,876

23,006

44,458

34,427

[-]

σ

0,780

0,812

0,812

0,782

[m/s]

Yt

757,075

533,986

2008,118

978,538

[J/kg]

Yt∞ Ht

1007,133

715,475

2700,391

1279,765

[J/kg]

77,174

54,433

204,701

99,749

[m]

Ht∞

102,664

72,933

275,269

130,455

[m]

BRNO 2012

39


5.2.2 KROUZA Tabulka č.3 Vypočtené hodnoty dle Krouzy 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

σ

0,783

0,822

0,822

0,786

[-]

Yt

761,069

543,502

2044,416

984,104

[J/kg]

Yt∞ Ht

1007,133

715,475

2700,391

1279,765

[J/kg]

77,581

55,403

208,401

100,316

[m]

Ht∞

102,664

72,933

275,269

130,455

[m]

5.2.3 ŠERESTJUKA Tabulka č.4 Vypočtené hodnoty dle Šerestjuka 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

σ

0,797

0,826

0,826

0,799

[-]

Yt

776,891

547,375

2059,188

1001,883

[J/kg]

Yt∞ Ht

1007,133

715,475

2700,391

1279,765

[J/kg]

79,194

55,798

209,907

102,129

[m]

Ht∞

102,664

72,933

275,269

130,455

[m]

5.2.4 WIESNER Tabulka č.5 Vypočtené hodnoty dle Wiesnera 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

σ

0,808

0,829

0,829

0,809

[-]

Yt

789,151

550,286

2070,292

1015,943

[J/kg]

Yt∞ Ht

1007,133

715,475

2700,391

1279,765

[J/kg]

80,444

56,094

211,039

103,562

[m]

Ht∞

102,664

72,933

275,269

130,455

[m]

BRNO 2012

40


5.3 POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ Tabulka č.6 Teoretická dopravní výška dle různých autorů 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

Ht∞ Ht stodola

102,664

72,933

275,269

130,455

[m]

77,174

54,433

204,701

99,749

[m]

Ht krouza

77,581

55,403

208,401

100,316

[m]

Ht šesterjuka

79,194

55,798

209,907

102,129

[m]

Ht wiesner

80,444

56,094

211,039

103,562

[m]

Hn

50,000

50,000

200,000

80,000

[m]

Hs

60,500

47,000

192,000

85,000

[m]

nq

11,185

24,401

23,520

8,697

[min-1]

z

5

6

6

5

[počet]

Obr. 27 Teoretické dopravní výšky dle různých autorů

5.4

ÚČINNOSTI

Tabulka č.7 Dopočtené účinnosti 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

Výkon P

4,155

40,113

329,616

5,837

[KW]

Příkon Pv

8,000

53,000

400,000

10,200

[KW]

η

0,519

0,757

0,824

0,572

[-]

ηHS

0,594

0,866

0,943

0,655

[-]

ηHN

0,641

0,904

0,924

0,547

[-]

BRNO 2012

41


5.5 TEORETICKÉ NÁVRHOVÉ DOPRAVNÍ VÝŠKY Tabulka č.8 Teoretické dopravní výšky násobené hydraulickou návrhovou účinností 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

Ht∞ Hn stodola

102,664

72,933

275,269

130,455

[m]

49,438

49,201

189,243

54,554

[m]

Hn krouza

49,699

50,078

192,664

54,864

[m]

Hn šesterjuka

50,732

50,435

194,056

55,855

[m]

Hn wiesner

51,533

50,703

195,102

56,639

[m]

Hn

50,000

50,000

200,000

80,000

[m]

Hs

60,500

47,000

192,000

85,000

[m]

nq

11,185

24,401

23,520

8,697

[min-1]

z

5

6

6

5

[počet]

Obr. 28 Teoretické návrhové dopravní výšky dle různých autorů

Tabulka č.9 Rozdíl od návrhové dopravní výšky 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

Hn stodola

0,183

0,047

0,014

0,358

[m]

Hn krouza

0,179

0,065

0,003

0,355

[m]

Hn šesterjuka

0,161

0,073

0,011

0,343

[m]

Hn wiesner

0,148

0,079

0,016

0,334

[m]

BRNO 2012

42


5.6 TEORETICKÉ SKUTEČNÉ DOPRAVNÍ VÝŠKY Tabulka č.10 Teoretické dopravní výšky násobené hydraulickou skutečnou účinností 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

Ht∞ Hs stodola

102,664

72,933

275,269

130,455

[m]

45,855

47,137

193,000

65,311

[m]

Hs krouza

46,097

47,977

196,489

65,682

[m]

Hs šesterjuka

47,056

48,319

197,908

66,869

[m]

Hs wiesner

47,798

48,576

198,975

67,807

[m]

Hn

50,000

50,000

200,000

80,000

[m]

Hs

60,500

47,000

192,000

85,000

[m]

nq

11,185

24,401

23,520

8,697

[min-1]

z

5

6

6

5

[počet]

Obr. 29 Teoretické skutečné dopravní výšky dle různých autorů

Tabulka č.11 Rozdíl od skutečné dopravní výšky 40-NED-200-7

200-NED-400-35 200-NED-400-35

40-NED-250-9

Hs stodola

0,242

0,003

0,005

0,232

[m]

Hs krouza

0,238

0,021

0,023

0,227

[m]

Hs šesterjuka

0,222

0,028

0,031

0,213

[m]

Hs wiesner

0,210

0,034

0,036

0,202

[m]

BRNO 2012

43

ZÁVĚR

ZÁVĚR Bakalářská práce se věnovala prvotnímu obeznámení s oběžným kolem hydrodynamického čerpadla, kdy jsme se snažili stanovit měrnou energii nekonečného počtu velmi tenkých lopatek a dále jí korigovat na reálnou hodnotu. Pro výpočet korekčního faktoru jsme zvolili čtyři různé autory a porovnali jsme jejich výpočet u třech reálných oběžných kol. V práci jsme porovnávali změřenou skutečnou dopravní výšku s vypočtenou teoretickou dopravní výškou, dle jednotlivých autorů, vynásobenou odhadovanou hydraulickou účinností. Byla snaha dodržet trend, který se vyskytoval v grafech čerpadel, kde je srovnaná návrhová a skutečná dopravní výška, tak aby platila shoda pro všechna oběžná kola. Tímto trendem byla míněna poloha skutečného provozního bodu vůči návrhovému. To se podařilo v případě, když jsme pracovali s tabulkou hodnot teoretických dopravních výšek násobených skutečnou hydraulickou účinností. V případě tabulky násobené návrhovou hydraulickou účinnosti, vyšla Hn dle Stodoly pod křivkou hodnot skutečné dopravní výšky. Nicméně v grafu byla pozice zmíněného bodu přesně opačná. Proto jsme se rozhodli dát větší prioritu tabulce vynásobené skutečnou hydraulickou dopravní výškou, kde výsledky odpovídali trendu H-Q charakteristik testovaných čerpadel. Ve výpočtech bylo nutné stanovit hydraulickou účinnost, znali jsme totiž jen celkovou účinnost. Proto jsme mechanickou a objemovou účinnost odhadli a zvolili jsme ji u všech kol stejnou. U jednoho z oběžných kol jsme se po vynásobení hydraulickými účinnostmi výrazně vzdálili od naměřené hodnoty. Mohlo to být způsobené tím, že při prvotním návrhu se počítalo s většími ztrátami a to se právě podepsalo na snížení celkové a následně i hydrodynamické účinnosti. Chyba mohla vzniknout i při odhadu mechanické a objemové účinnosti. Bylo zajímavé sledovat přístup jednotlivých autorů při definování korekčního faktoru, kde základ pro jeho výpočet položil Stodola. Jeho metodu jsme aplikovali na sadu oběžných kol a následně i metody Krouzy, Šestrjuka a Wiesnera. Všichni autoři kromě Wiesnera při formulaci svého korekčního faktoru uvažovali počet lopatek z, úhlovou rychlost ω, výstupní průměr D2, výstupní úhel lopatek β2 a obvodovou rychlost u2. Nicméně následným zkrácením a zasazením do korekčního faktoru jim vyšla závislost pouze na výstupním úhlu lopatek β2 a počtu lopatek z. Wiesner (který analyticky zpracoval Busemannovy diagramy) ve svém korekčním faktoru předpokládal nekonečný počet lopatek, které jsou popsány jako logaritmické spirály s konstantním úhlem β po celé délce, a stejnou šířkou kanálu v meridiálním řezu. Wiesner se také snažil zpřesnit korekční faktor tím, že do něj zavedl poměr vstupního průměru k výstupnímu průměru. Wiesner totiž jako jediný nepřímo ve svém korekčním faktoru pracuje s možným průtokem oběžným kolem, protože jeho korekční faktor nabývá dvou podob v závislosti na poměru D1/D2. Kde D1/D2 významně napovídá o tvaru meridiánu a tedy o možné průtočnosti oběžného kola. Nicméně pro tento případ testovaných oběžných kol vychází velikost poměru D1/D2 tak, že tvar korekčního faktoru není na tomto poměru závislý.

BRNO 2012

44

ZÁVĚR

Korekce dle Wiesnera dávala nejlepší výsledky pro oběžná kola s nejnižší rychloběžností, ve skutečnosti však byla rozhodující závislost korekčního faktoru na počtu lopatek z. V případě testovaných oběžných kol měla čerpadla s nejnižší rychloběžností i nejmenší počet lopatek. U Stodolova korekčního faktoru hraje velký význam počet lopatek z, vystupuje totiž v první mocnině (viz příloha č.1). Úhel β2, který vystupuje u dalších korekčních faktorů je pro všechny oběžná kola téměř stejný, dominantnější vliv má tedy právě počet lopatek z. Díky stejnému úhlu β2 však právě prostřednictvím počtu lopatek z získáváme základní představu o šířce lopatkového kanálu (viz vztah (29)). Stodolův postup je jednoduchý a vychází z předpokladu, že úhlová rychlost lokálního víru je stejná jako úhlová rychlost oběžného kola. Stodola vkreslil kružnici o průměru a2 do lopatkového kanálu a cirkulací vektoru rychlosti po této kružnici modeloval proudění charakteristické pro lokální vír. Jedná se však pouze o matematické zjednodušení, pro vyjádření rychlosti v mezilopatkovém kanále. U kol s nejvyšší rychloběžností pak Stodola vychází nejlépe. Odvozené korekce pro jednotlivé autory nemůžeme z hlediska přesnosti porovnat například dle rychloběžnosti, protože Stodola, Krouza i Šestrjuk ve svých korekčních faktorech uvažují pouze úhel β2 a počet lopatek z. Podle kterých nelze jednoznačně usoudit, zda dle rychloběžnosti fungují hůře či lépe a to z toho důvodu, že rychloběžnost je závislá na počtu otáček n, průtoku Q a měrné energii E. Mezi počtem lopatek z, úhlem lopatek β2 a zmíněnými veličinami, ale neexistuje jednoznačná závislost. V našem případě můžeme říci, že pro vyšší počet lopatek funguje lépe metoda od Stodoly. Naopak pro menší počet lopatek se zdá být užitečnější korekce dle Wiesnera. Ukazuje to proto na skutečnost, že v závislosti na počtu lopatek z (při přibližně stejném výstupním úhlu lopatek β2) by měla být křivka korekčního faktoru v příloze č. 1 spíše plošší. Křivka Krouzova korekčního faktoru je však pouze posunuta o téměř konstantní vzdálenost vzhledem ke korekci Stodolově a z hlediska šíře použitelnosti Krouzova vztahu je taková úprava málo významná. Aby jsme všechny tyto skutečnosti ověřili, tak bychom potřebovali prověřit více oběžných kol.

BRNO 2012

45

POUŽITÉ INFORMAČNÍ ZDROJE

POUŽITÉ INFORMAČNÍ ZDROJE [1] V, KROUZA. Čerpadla odstředivá a jim příbuzná. 1953. Praha: Nakladatelství ČSAV, 1956. 363 s. [2] V, KROUZA. Odstředivá čerpadla. Praha: Česká matice technická, 1947. 183 s [3] BLÁHA, J; BRADA, K. Příručka čerpací techniky. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1997. 256 s. [4] LAKSHMINARAYANA, B. Fluid dynamics and heat transfer of turbomachinery. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1996. 848 s. [5] STRÝČEK, Oldřich. Hydrodynamická čerpadla. Bratislava: Vydavatelství SVŠT, 1988. 297 s. [6] STRÝČEK, Oldřich. Hydraulické stroje. Bratislava: Vydavatelství STU, 1998. 206 s. [7] PELCÁK, Jan. Čerpadla pístová, odstředivá, různá. Praha: Vydavatelství Dr. Ed. Grégr a syn, 1988. 297 s. [8] ČERMÁK, Oskar. Čerpadlá a čerpacie stanice. Bratislava: Vydavatelství ST, 2001. 138 s. [9] GOLHA,dMichal.gHydraulickýgnávrhflaggnumerickékkmodelovaníffproudění v hydrodynamickém čerpadle (Disertační práce). Bratislava, 2005

BRNO 2012

46

SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK A SYMBOLŮ

SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK A SYMBOLŮ a2

Průměr vepsané kružnice na výstupu z oběžného kola

[m] -2

ac

[m.s ]

Coriolisovo zrychlení

b1

[m]

Šířka kanálu na vstupu

b2

[m]

Šířka kanálu na výstupu

c1

[m.s-1]

Absolutní rychlost na vstupu

c2

[m.s-1]

Absolutní rychlost na výstupu

c1m

[m.s-1]

Meridiální rychlost na vstupu

c2m

[m.s-1]

Meridiální rychlost na výstupu

-1

c1u

[m.s ]

Složka absolutní rychlosti ve směru unášivé rychlosti na vstupu

c2u

[m.s-1]

Složka absolutní rychlosti ve směru unášivé rychlosti na výstupu

c3u

[m.s-1]

Korigovaná unášivá rychlost

g

[m.a-2]

Tíhové zrychlení

n

[ot/min]

Otáčky

nq

[min-1]

Měrné specifické otáčky

r1

[mm]

Vnitřní poloměr oběžného kola

r2

[mm]

Vnější poloměr oběžného kola

t1

[m]

Tloušťka lopatky

t2

[m]

Výstupní délka mezilopatkového kanálu

ua

[m.s-1]

Unášivá rychlost v mezilopatkovém kanále

u1

[m.s-1]

Unášivá rychlost na vstupu

u2

[m.s-1]

Unášivá rychlost na výstupu

w1

-1

Relativní rychlost na vstupu

-1

[m.s ]

w2

[m.s ]

Relativní rychlost na výstupu

w3

[m.s-1]

Korigovaná relativní rychlost na výstupu

z

[počet]

Počet lopatek

B2

[m]

Šířka lopatky

D1

[m]

Vnitřní průměr oběžného kola

D2

[m]

Vnější průměr oběžného kola

Ur

3

[m ]

Statický moment proudnice

Hn

[m]

Návrhová dopravní výška

Hs

[m]

Skutečná dopravní výška

BRNO 2012

47

SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK A SYMBOLŮ

Ht∞

[m]

Teoretická dopravní výška nekonečného počtu lopatek

Ht

[m]

Teoretická dopravní výška konečného počtu lopatek

Fc

[N]

Coriolisova síla

P

[KW]

Výkon

Pv

[KW]

Příkon

Q

[dm3.s-1]

Průtok

Y

[J.kg-1]

Měrná energie

Yt

[J.kg-1]

Teoretická měrná energie konečného počtu lopatek

Yt∞

[J.kg-1]

Teoretická měrná energie nekonečného počtu lopatek

α1 α2

[°]

Úhel mezi absolutní a unášivou rychlostí na vstupu

[°]

Úhel mezi absolutní a unášivou rychlostí na výstupu

β1

[°]

Úhel sklonu lopatky na vtoku

β2

[°]

Úhel sklonu lopatky na výtoku

β3

[°]

Korigovaný úhel na výtoku

σ

[-]

Korekční faktor měrné energie

η

[-]

Celková účinnost

ηHN

[-]

Hydraulická návrhová účinnost

ηHS

[-]

Hydraulická skutečná účinnost

ω

[rad/s]

Úhlová rychlost

BRNO 2012

48

SEZNAM PŘÍLOH

SEZNAM PŘÍLOH Příloha 1 - Srovnání korekčních faktorů pro konstantní β2

BRNO 2012

49

PŘÍLOHY

1. SROVNÁNÍ KOREKČNÍCH SOUČINITELŮ PRO KONSTANTNÍ VÝSTUPNÍ ÚHEL Tabulka č.12 Srovnání korekčních součinitelů pro výstupní úhel 21° Počet lopatek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ stodola -0,125846118 0,437076941 0,624717961 0,718538471 0,774830776 0,81235898 0,83916484 0,859269235 0,874905987 0,887415388

σ krouza -0,116007402 0,446915656 0,634556676 0,728377186 0,784669492 0,822197696 0,849003556 0,869107951 0,884744702 0,897254104

σ šestrjuka 0,434779751 0,60605783 0,697671966 0,754714828 0,793648889 0,826201539 0,843371958 0,860213655 0,873785125 0,884954568

σ wiesner 0,401361587 0,631494831 0,722553211 0,77315846 0,805962541 0,829211468 0,846681009 0,860362653 0,871413663 0,880555933

[-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-]

Srovnání korekčních součinitelů σ 1

Korekční součinitel σ

0,9 0,8 0,7 0,6

Stodola

0,5

Šestrjuka

0,4

Wiesner

0,3

Krouza

0,2 0,1

0 0

2

4

6 Počet lopatek z

8

10

12

Obr. 30 Srovnání korekčních součinitelů

BRNO 2012

50

VLIV KONEČNÉHO POČTU LOPATEK U HYDRODYNAMICKÝCH ČERPADEL

Recommend Documents