i
TRUNCATED STOP LOSS SEBAGAI SOLUSI PERJANJIAN REASURANSI YANG OPTIMAL DALAM MODEL SATU PERIODE
SAIFUR ROHIM
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
ii
ABSTRAK SAIFUR ROHIM. Truncated Stop Loss Sebagai Solusi Perjanjian Reasuransi yang Optimal dalam Model Satu Periode. Di bawah bimbingan I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI. Reasuransi merupakan salah satu cara untuk mengontrol risiko bagi perusahaan asuransi. Sama halnya dengan asuransi, reasuransi juga mengharuskan pihak tertanggung untuk membayarkan premi kepada penanggung. Kontrak reasuransi yang diamati adalah kontrak reasuransi satu periode. Selanjutnya akan dibentuk aturan kontrak reasuransi optimal dengan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dari premi tetap reasuransi. Untuk itu diperlukan pembentukan kontrak reasuransi yang optimal bagi perusahaan asuransi. Premi reasuransi dihitung menggunakan beberapa prinsip premi yaitu prinsip ekonomi, prinsip umum utilitas nol, prinsip Esscher, dan prinsip nilai harapan-ragam. Berbagai prinsip ini memberikan kendala yang berbeda dalam masalah pengoptimuman. Stop Loss merupakan suatu kontrak reasuransi yang memberikan jaminan kepada perusahaan asuransi atas kerugian yang melebihi jumlah tertentu. Hasilnya adalah Truncated Stop Loss dapat menjadi solusi bagi setiap kendala premi untuk membentuk kontrak reasuransi yang optimal. Kata kunci: truncated stop loss, reasuransi, peluang kebangkrutan.
iii
ABSTRACT SAIFUR ROHIM. Truncated Stop Loss as a Optimal Solution of Reinsurance Agreement in OnePeriod Model. Under supervision of I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI. Reinsurance is one of risk management efforts of an insurance company, which is called the cedent. Similar with insurance, reinsurance constitutes the cedent to pay the premium. We consider one-period reinsurance model and derive a rule which minimizes the ruin probability of the cedent for a fixed reinsurance premium. Therefore, it is needed to construct an optimal reinsurance agreement for the cedent. The premium is calculated according to four different principles, i.e. economic, generalized zero-utility, Esscher, and mean-variance principles. Stop loss is a reinsurance contract which protect the insurance company for losses that exceed a certain amount. The result of this research shows that a truncated stop loss is an optimal agreement in the class of all reinsurance contracts with various premiums calculated using above mentioned principles. Keywords: truncated stop loss, reinsurance, ruin probability.
iv
TRUNCATED STOP LOSS SEBAGAI SOLUSI PERJANJIAN REASURANSI YANG OPTIMAL DALAM MODEL SATU PERIODE
SAIFUR ROHIM
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
v
Judul Skripsi : Truncated Stop Loss Sebagai Solusi Perjanjian Reasuransi yang Optimal dalam Model Satu Periode Nama : Saifur Rohim NIM : G54070089
Menyetujui, Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. NIP. 19651218 199002 1 001
Ir. Retno Budiarti, MS. NIP. 19610729 198903 2 001
Mengetahui, Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus : ………………………………
vi
PRAKATA Segala puji hanya milik Allah SWT atas segala nikmat yang telah dikaruniakan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Truncated Stop Loss Sebagai Solusi Perjanjian Reasuransi yang Optimal Dalam Model Satu Periode. Sholawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan kepada nabi besar Muhammad SAW. Ucapan terima kasih dan penghargaan sebesar-besarya diberikan kepada: 1 Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. dan Ir. Retno Budiarti, MS. selaku pembimbing pertama dan kedua yang telah dengan sabar dan penuh perhatian memberikan bimbingan kepada penulis dalam menyusun karya ilmiah ini, 2 Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. selaku pembimbing akademik, Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen penguji, dan seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB, 3 Ayah dan Ibu tercinta yang senantiasa mendoakan dengan penuh kasih sayang, 4 Kementrian Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis di PerguruanTinggi (PT), 5 Fatkhur Rohman, Rahayu dan Istiqomah selaku adik penulis, serta seluruh keluarga besar di Sukaraja yang selalu memberikan motivasi dan doa, 6 keluarga besar CSS MoRA IPB 44 Iwan, Hery, Cirzin, Qomar, Bidin, Tachu, Asep, Adi, Lukman, Olih, Yaman, Muna, Iip, Ahyar, Eko, Na’im, Nurus, Iyam, Siti, Linda, Miftah, Petri, Umi, Kholis, Atin, Elfa Ana, dan Eneng yang selalu memberikan motivasi dan doa, 7 saudara-saudara di Wisma Dampo Awang: Endro, Mustofa, Irwanto, Yayan, mas Dodik, mas Diki, mas Deni, dan Hendri yang senantiasa menghibur dan memberikan motivasi, 8 teman-teman Matematika 44 Ruhiyat, Anis, Nurul, Pepi, Fajar, Sri, Sari, Melon, Imam, Ima, Dora, Ayung, Rahma, Rofi, Ayum, Wahyu, Indin, Nurus, Deva, Endro, Ipul, Lukman, Yuli, Ririh, Yuyun, Istiti, Denda, Lugina, Yanti, Ali, Aswin, Aze, Eka, Fani, Kodok, Dela, Tyas, Pandi, Dian, Wenti, Nurul, Solih, Naim, Nadiroh, Dhika, Ikhsan, Aqil, Lilis, Abe, Diana, Yogi, Tendi, Tita, Lingga, Mariyam, Cita, Arina, Lina, Masay, dan Siska yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak langsung dalam menyelesaikan karya tulis ini, 9 seluruh staf Departemen Matematika Bapak Yono, Ibu Susi, Mas Heri, Mas Deni, Bapak Bono, dan Ibu Ade yang telah membantu penulis dalam administrasi dan sebagainya, 10 teman-teman kelas B 10 TPB IPB 2007 dan teman-teman Asrama TPB IPB 2007-2008 yang telah memberikan inspirasi penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini, Penulis menyadari pada karya tulis ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak. Semoga karya tulis ini bermanfaat.
Bogor, Februari 2012
Saifur Rohim
vii
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kabupaten Ogan Komering Ulu (OKU) Timur pada tanggal 23 April 1989, anak pertama dari tiga bersaudara. Penulis merupakan putra dari Kasno (Alm) dan Junainah. Penulis menghabiskan masa sekolah TK dan SMA di OKU Timur. Lulus dari TK Nurul Huda Sukaraja dilanjutkan di Madrasah Ibtidaiyyah Nurul Huda, kemudian dilanjutkan di Madrasah Tsanawiyah (MTs) Nurul Huda. Setelah lulus dari MTs, pendidikan dilanjutkan di Madrasah Aliyah (MA) Nurul Huda Sukaraja. Penulis lulus dari MA pada tahun 2007, kemudian melanjutkan pendidikan tingkat tinggi di Departemen Matematika FMIPA IPB melalui jalur BUD pada tahun yang sama. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di Community of Santri Scholars of Ministry of Religious Affairs (CSS MoRA) IPB - Divisi pengembangan minat dan bakat pada tahun kepengurusan 2008-2009. Penulis juga pernah aktif di Bimbingan Belajar CSS MoRA IPB.
vii
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. viii I
PENDAHULUAN ............................................................................................................. 1.1 Latar Belakang .......................................................................................................... 1.2 Tujuan .......................................................................................................................
1 1 1
II
LANDASAN TEORI ......................................................................................................... 2.1 Definisi-definisi .........................................................................................................
1 1
III
PEMBAHASAN ................................................................................................................ 3.1 Meminimumkan Peluang Kebangkrutan (Ruin Probability) ..................................... 3.1.1 Prinsip Ekonomi ............................................................................................. 3.1.2 Prinsip Umum Utilitas Nol ............................................................................. 3.1.3 Prinsip Esscher ............................................................................................... 3.1.4 Prinsip Mean-Variance....................................................................................
4 4 4 7 9 9
IV
SIMPULAN .......................................................................................................................
10
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................
10
LAMPIRAN ...............................................................................................................................
11
viii
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1
Fungsi Sebaran Kumulatif Sebaran Pareto .....................................................................
12
2
Pembuktian Teorema 1 ...................................................................................................
13
3
Nilai Harapan Fungsi Kompensasi Reasuransi 𝔼𝑅𝑏 ....................................................
14
4
Pembuktian Teorema 2 ...................................................................................................
15
5
Pembuktian Teorema 3 ....................................................................................................
16
6
Pembuktian Teorema 4 ....................................................................................................
17
1
I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Berbicara tentang pertanggungan ulang (reasuransi) tidak ubahnya berbicara tentang manajemen risiko. Sebagaimana telah diketahui bersama, seseorang ataupun badan usaha yang selalu menghadapi risiko akan berusaha memperkecil segala risiko dengan berbagai macam cara. Salah satu cara yang ditempuh adalah dengan membeli polis-polis asuransi. Di sisi lain, perusahaan asuransi juga akan selalu menghadapi risiko kemungkinan tuntutan ganti rugi (kompensasi) kepada tertanggung. Dengan demikian, perusahaan asuransi juga memerlukan kebijakan mengelola tanggung gugat yang mungkin akan terjadi setiap saat. Menjawab permasalahan di atas, reasuransi dapat memberikan solusi dalam
II
rangka memperkecil kemungkinan kerugian dari perusahaan asuransi. Karya ilmiah ini mengkaji perencanaan perjanjian reasuransi yang optimal dengan truncated stop loss, yaitu dengan meminimumkan peluang kebangkrutan (ruin probability) perusahaan asuransi. Karya ilmiah ini juga merupakan rekonstruksi dari tulisan Marek Kaluszka (2005) yang berjudul Truncated Stop Loss as Optimal Reinsurance Agreement in One-Period Models. 1.2. Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah mengkaji truncated stop loss sebagai salah satu bentuk reasuransi yang optimal dalam model satu periode.
LANDASAN TEORI
2.1. Definisi-definisi Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak. (Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan ℱ adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi 𝑃 ∶ ℱ → [0, 1] pada (Ω, ℱ) yang memenuhi : 1. 𝑃 ∅ = 0, 𝑃 Ω = 1 , 2. Jika 𝐴1 , 𝐴2 , … ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas yaitu 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ untuk setiap pasangan 𝑖 ≠ 𝑗, maka ∞ 𝑃 ∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 = 𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ). (Grimmet dan Stirzaker, 1992) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω. (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 5 (Peubah Acak) Misalkan ℱ adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak 𝑋 adalah suatu fungsi 𝑋 ∶ Ω → 𝑅 dengan sifat {𝜔 ∈ Ω ∶ 𝑋(𝜔) ≤ 𝑥} ∈ ℱ untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅. (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 3 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut : 1. ∅ ∈ ℱ, 2. Jika 𝐴 ∈ ℱ maka 𝐴𝑐 ∈ ℱ, 3. Jika 𝐴1 , 𝐴2 , … ∈ ℱ maka ∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 ∈ ℱ . (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret ) Suatu peubah acak 𝑋 dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari 𝑅. (Grimmet dan Stirzaker, 1992) Catatan : Suatu himpunan bilangan 𝐶 disebut terhitung jika 𝐶 terdiri atas bilangan terhingga atau anggota 𝐶 dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
2
Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak 𝑋 dikatakan kontinu jika ada fungsi 𝑓𝑋 (𝑥) sehingga fungsi sebaran 𝐹𝑋 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) dapat dinyatakan sebagai 𝑥 𝐹𝑋 𝑥 = −∞ 𝑓𝑋 𝑢 𝑑𝑢 , 𝑥 ∈ 𝑅 , dengan 𝑓 ∶ 𝑅 → [0, ∞] adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi 𝑓 disebut fungsi kepekatan peluang dari 𝑋. (Grimmet dan Stirzaker, 1992) Definisi 8 (Fungsi Sebaran) Misalkan 𝑋 adalah peubah acak dengan ruang 𝒜. Misalkan kejadian 𝐴 = (−∞, 𝑥] ⊂ 𝒜, maka peluang dari kejadian 𝐴 adalah 𝑝𝑋 𝐴 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝐹𝑋 𝑥 . Fungsi 𝐹𝑋 disebut fungsi sebaran dari peubah acak 𝑋. (Hogg dan Craig, 1995) Definisi 9 (Fungsi Sebaran Kumulatif) Jika 𝐹(𝑥) adalah akumulasi dari semua nilai peluang {𝑋 ≤ 𝑥} maka 𝐹(𝑥) disebut dengan fungsi sebaran kumulatif yang dinotasikan dengan : Jika X adalah peubah acak diskret maka 𝐹𝑋 𝑥 = 𝑢≤𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑢) Jika X adalah peubah acak kontinu maka 𝑥
𝐹𝑋 𝑥 =
𝑓𝑋 (𝑢)𝑑𝑢. −∞
(Grimmet dan Stirzaker, 1992) Fungsi Kerapatan Peluang
asalkan integral mutlak.
Nilai Harapan, Ragam, dan Standar Deviasi Definisi 11 (Nilai Harapan) 1. Jika 𝑋 adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang 𝑝𝑋 𝑥 , maka nilai harapan dari 𝑋, dinotasikan dengan 𝐸[𝑋], adalah 𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑥 𝑝𝑋 𝑥 , asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Misalkan 𝑋 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑋 (𝑥). Nilai harapan dari 𝑋 adalah ∞
𝐸𝑋 =
atas
konvergen
(Ghahramani, 2005) Teorema Beberapa sifat dari nilai harapan 1. Jika k suatu konstanta, maka 𝐸 𝑘 = 𝑘. 2. Jika 𝑘1 , 𝑘2 suatu konstanta dan 𝑋1 , 𝑋2 adalah peubah acak, maka : 𝐸 𝑘1 𝑋1 + 𝑘2 𝑋2 = 𝑘1 𝐸 𝑋1 + 𝑘2 𝐸 𝑋2 , Secara umum, jika 𝑘1 , 𝑘2 , … 𝑘𝑛 adalah konstanta dan 𝑋1 , 𝑋2 , … 𝑋𝑛 adalah peubah acak, maka 𝐸 𝑘1 𝑋1 + 𝑘2 𝑋2 + ⋯ + 𝑘𝑛 𝑋𝑛 = 𝑘1 𝐸 𝑋1 + 𝑘2 𝐸 𝑋2 + ⋯ + 𝑘𝑛 𝐸 𝑋𝑛 . Definisi 12 (Ragam) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan 𝐸 𝑋 , maka ragam dari X yang dinotasikan dengan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) didefinisikan sebagai 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸[ 𝑋 − 𝐸(𝑋) 2 ] = 𝐸[𝑋 2 − 2𝑋 𝐸 𝑋 + 𝐸(𝑋)2 ] = 𝐸 𝑋 2 − 2(𝐸𝑋)2 + (𝐸𝑋)2 = 𝐸 𝑋 2 − (𝐸𝑋)2 . (Ghahramani, 2005) Definisi 13 (Standar Deviasi) Jika X adalah peubah acak, 𝜎𝑋 disebut dengan standar deviasi dari X yang didefinisikan sebagai 𝜎𝑋 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 𝐸[ 𝑋 − 𝐸(𝑋) 2 ]. (Ghahramani, 2005)
= Definisi 10 (Fungsi Kerapatan Peluang) Misalkan (Ω, ℱ, 𝑃) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret 𝑋 adalah fungsi 𝑝 ∶ 𝑅 → [0,1] yang diberikan oleh : 𝑝𝑋 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 . (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
di
Definisi 14 ( Sebaran Pareto) Jika X adalah peubah acak kontinu, X dikatakan menyebar pareto jika untuk suatu parameter 𝑥 ≥ 𝑥0 dengan 𝑥0 > 0 adalah kemungkinan minimum nilai X dan α adalah parameter yang positif, maka fungsi kepekatan peluang X adalah 𝛼 𝑥0 𝛼 𝑓 𝑥; 𝛼, 𝑥0 = 𝑥0 + 𝑥 𝛼 +1 dengan 𝑥 ≥ 𝑥0 dan 𝛼 > 0 sehingga sebaran kumulatifnya 𝑥0 𝛼 . 𝐹 𝑥 =1− 𝑥0 + 𝑥 (Dickson, 2006) Teorema Fubini Jika fungsi f kontinu dan terbatas pada segiempat ℛ = 𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}, maka 𝑏 𝑑
𝑥 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 ,
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =
−∞ ℛ
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑎 𝑐
3
𝑑 𝑏
=
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑐 𝑎
(Stewart, 1999) Definisi 15 (Sifat Darboux) Sifat Darboux setara dengan Teorema Nilai Antara yang menyatakan bahwa: Andaikan bahwa f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan N adalah sebuah bilangan di antara 𝑓 𝑎 dan 𝑓 𝑏 . Maka terdapat sebuah bilangan c pada (a,b) sedemikian sehingga 𝑓 𝑐 = 𝑁. (Stewart, 1999) Asuransi dan Reasuransi Definisi 16 (Asuransi) Asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih dimana pihak tertanggung mengikat diri kepada penanggung, dengan membayar premi-premi asuransi untuk memberi penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga yang mungkin akan diderita tertanggung karena suatu peristiwa yang tidak pasti. Pihak-pihak yang terlibat dalam suatu proses asuransi, yaitu: 1. Tertanggung, yaitu pihak yang mempunyai risiko atas harta benda yang dipertanggungkan. 2. Perantara asuransi, yaitu pihak yang memberikan jasa perantara dalam hal penutupan asuransi. 3. Penanggung, yaitu pihak yang memberikan jaminan atas objek yang dipertanggungkan. Terdapat beberapa fungsi dan peran asuransi, antara lain: 1. Transfer risiko, yaitu dengan membayar premi yang relatif kecil seseorang atau perusahaan dapat memindahkan ketidakpastian hidup dan harta bendanya (risiko) ke perusahaan asuransi. 2. Memberikan jaminan perlindungan dari risiko-risiko kerugian yang diderita suatu pihak. 3. Sebagai dasar pihak bank untuk memberikan kredit, karena bank memerlukan jaminan perlindungan atas agunan yang diberikan oleh peminjam uang. (Marianto, 1997)
Definisi 17 (Reasuransi) Reasuransi adalah suatu perjanjian atau cara dimana perusahaan asuransi (ceding company) menyerahkan seluruh atau sebagian dari pertanggungan yang ditutupnya kepada penanggung lain yang dikenal dengan penanggung ulang. Pihak-pihak yang terlibat dalam suatu proses reasuransi, yaitu: 1. Tertanggung ulang, yaitu badan hukum/perusahaan yang memberikan pertanggungan atas risiko yang dimiliki oleh seorang tertanggung, atas imbalan jasa. 2. Perantara reasuransi, yaitu pihak-pihak yang bertindak untuk dan atas nama penanggung dalam hal mencarikan proteksi asuransi. 3. Penanggung ulang, yaitu pihak-pihak yang memberikan pertanggungan ulang kepada pihak yang mengalihkan risiko kepadanya, atas dasar pembayaran jasa. Terdapat beberapa fungsi dan peran reasuransi, antara lain: 1. Menaikkan kapasitas akseptasi perusahaan asuransi. 2. Sebagai alat penyebaran risiko. 3. Menciptakan stabilitas keuangan. (Marianto, 1997) Stop Loss dan Truncated Stop Loss Definisi 18 (Stop Loss) Stop loss adalah suatu kontrak reasuransi non proporsional yang memberi jaminan kepada pemberi sesi atas kerugian yang melebihi jumlah kerugian yang diperjanjikan untuk jenis kelas bisnis tertentu. (Marianto, 1997) Misalkan X adalah peubah acak tak negatif dengan fungsi kompensasi R(X), maka stop loss dari X adalah 𝑅 𝑋 = (𝑋 − 𝑎)+ , 𝑎 > 0, dimana 0 ; jika 𝑎 ≤ 0, 𝑎+ = 𝑎 𝐼 𝑎 > 0 = 𝑎 ; jika 𝑎 > 0. sehingga 0 ; jika 𝑋 ≤ 𝑎, 𝑅 𝑋 = (𝑋 − 𝑎)+ = 𝑋 − 𝑎 ; jika 𝑋 > 𝑎. Definisi 19 (Truncated Stop Loss) Misalkan X adalah peubah acak tak negatif dengan fungsi kompensasi R(X), maka truncated stop loss dari X adalah 𝑅 𝑋 = 𝑋 −𝑎 +𝐼 𝑋 < 𝑏 0; 𝑋 ≤ 𝑎 = 𝑋−𝑎; 𝑎 < 𝑋 <𝑏 0; 𝑋 ≥ 𝑏 dengan 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 < ∞.
4
III PEMBAHASAN 3.1. Meminimumkan Peluang Kebangkrutan (Ruin Probability) Kebijakan suatu perusahaan asuransi dalam memilih kontrak reasuransi sangatlah penting, salah satu pendekatan rasional untuk memilih kontrak reasuransi adalah dengan meminimumkan peluang kebangkrutan. Dalam meminimumkan peluang kebangkrutan suatu perusahaan asuransi dapat dilakukan dengan menentukan premi reasuransi yang optimal. Premi reasuransi sendiri dapat ditentukan dengan beberapa prinsip, antara lain: 1. Prinsip ekonomi, 2. Prinsip umum utilitas nol, 3. Prinsip Esscher, 4. Prinsip mean-variance. 3.1.1. Prinsip Ekonomi Penghitungan premi dengan prinsip ekonomi akan kita dapatkan melalui persamaan 𝑃 = 𝔼(𝑅𝜙) dengan 𝜙 = 𝜙(𝑋) adalah fungsi tak negatif sedemikian sehingga 𝔼𝜙 𝑋 = 1. Fungsi 𝜙 disebut juga fungsi kerapatan harga. Misalkan 𝑤0 ∶ kekayaan awal perusahaan asuransi, 𝑃 ∶ premi reasuransi, 𝜋 ∶ premi asuransi, 𝑅 ∶ fungsi kompensasi reasuransi, 𝑋 ∶ besar klaim pada asuransi, maka kekayaan perusahaan asuransi yaitu w sebesar 𝑤 = 𝑤0 + 𝜋 − 𝑃 ≥ 0. Selanjutnya premi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat ditentukan dari
min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝔼 𝑅𝜙 = 𝑃 , 𝐿 ≤ 𝑅 ≤ 𝑈, (3.1) dimana : 𝐿 = 𝐿(𝑋), 𝑈 = 𝑈(𝑋), sehingga memberikan batasan 0 ≤ 𝐿 ≤ 𝑈 ≤ 𝑋. Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 1 berikut. Teorema 1 𝑅 ∗ = 𝑅∗ (𝑋) didefinisikan oleh 𝑅∗ 𝑥 𝑥 − 𝑤 ; 𝐿 𝑥 ≤ 𝑥 − 𝑤 ≤ 𝑈 𝑥 dan 𝑐 𝑥−𝑤−𝐿 𝑥 𝜙 𝑥 <1 = 𝐿 𝑥 ; selainnya, merupakan solusi dari masalah (3.1) dengan c>0 sehingga 𝔼 𝑅 ∗ 𝜙 = 𝑃. Bukti: (Lihat Lampiran 2) Contoh Kasus Prinsip Ekonomi: Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip nilai harapan dengan konstanta pengaman (safety loading) 𝛽 > 0, sehingga 𝑃 = (1 + 𝛽)𝔼𝑅 dan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutannya. Maka solusi dari min ℙ 𝑋 − 𝑅 > 𝑤 dengan kendala 𝔼𝑅 = 𝑃𝛽 , 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, dengan
0 < 𝑃𝛽 < 𝐸𝑋 < ∞,
𝑃𝛽 =
𝑃
,
(1+𝛽 )
sehingga 𝑃𝛽 < 𝐸(𝑋 − 𝑤)+ adalah truncated stop loss 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏 ∗ ), dimana 𝑏 ∗ adalah bilangan real sehingga 𝔼𝑅(𝑋) = 𝑃𝛽 .
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Ekonomi min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) 𝑃 dengan kendala 𝔼𝑅 𝑋 = 𝑃𝛽 = , 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, (1+𝛽 )
Akan dibuktikan bahwa truncated stop loss 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤 bilangan real sehingga 𝔼𝑅(𝑋) = 𝑃𝛽 .
+
𝐼(𝑋 < 𝑏 ∗ ), dimana 𝑏 ∗ adalah
Bukti: Misalkan X adalah peubah acak dan F adalah fungsi sebaran kumulatif dari X yang kontinu pada [𝑤, ∞) dan jika 0 < 𝑃 < min{𝑤0 + 𝜋, (1 + 𝛽)𝔼(𝑋 − 𝑤)+}, maka keberadaan b mengikuti sifat Darboux. 𝑅𝑏 (𝑥) = 𝑥 − 𝑤 + 𝐼(𝑥 < 𝑏), 𝑥 − 𝑤 + ; 𝑤 < 𝑥 < 𝑏, = 0 ; selainnya,
5
𝑏
𝔼𝑅𝑏 𝑥 =
𝑥 − 𝑤 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑤 𝑏
=
𝑏
𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑤
𝑤 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑤
i ii Persamaan (i) dapat terselesaikan dengan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑓(𝑥), 𝑣 = 𝐹(𝑥). Sehingga 𝑏
𝔼𝑅𝑏 𝑥 = 𝑥 𝐹 𝑥
|𝑏𝑤
𝐹(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑤 𝐹(𝑥)|𝑏𝑤
− 𝑤
𝑏
=𝑏𝐹 𝑏 −𝑤𝐹 𝑤 − 𝑏
= 𝑏−𝑤 𝐹 𝑏 −
𝐹(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑤 𝐹 𝑏 + 𝑤 𝐹(𝑤) 𝑤
𝐹(𝑥)𝑑𝑥 .
(3.2)
𝑤
Misalkan 𝜓 𝑏 = 𝔼𝑅𝑏 𝑥 dengan 𝑤 ≤ 𝑏 < ∞, maka 𝜓 𝑏 = 𝔼𝑅𝑏 𝑥 𝑏
= 𝑏−𝑤 𝐹 𝑏 −
𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑤
i. untuk batas bawah w : 𝑤 𝜓 𝑤 = 𝑤 − 𝑤 𝐹 𝑤 − 𝑤 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 = 0 𝐹 𝑤 −0 =0 ii. untuk batas atas ∞ : ∞ 𝜓 ∞ = ∞ − 𝑤 𝐹 ∞ − 𝑤 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 >0 sehingga 𝜓 𝑏 kontinu saat 𝑏 ≥ 𝑤. Misalkan ada suatu kasus dimana X mempunyai anggota 𝑥0 > 𝑤, dan ternyata 𝜓 𝑏 tidak kontinu di 𝑥0 . Akibatnya tidak ada b yang membuat 𝑃 = (1 + 𝛽)𝔼𝑅 untuk suatu P sehingga premi reasuransi harus dirubah. Misalkan, X menyebar pareto dengan parameter 2 dan α sehingga fungsi sebaran kumulatif X dinotasikan dengan: 𝑎2 𝐹 𝑥 = 1− 𝐼(𝑥 ≥ 0) 𝑎+𝑥 2 dengan 𝑎 > 0, akan ditentukan b yang membuat 𝔼𝑅𝑏 = 𝑃𝛽 . Dari persamaan (3.2) didapatkan 𝑏
𝔼𝑅𝑏 = 𝑏 − 𝑤 𝐹 𝑏 −
𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑤
= 𝑏−𝑤
𝑎2 1− 𝑎+𝑏
𝑏 2
−
1− 𝑤
𝑎2 𝑎+𝑥 𝑏
2
𝑑𝑥
(𝑏 − 𝑤)𝑎2 𝑎2 = 𝑏−𝑤 − − 𝑥 |𝑏𝑤 + 2 𝑎+𝑏 𝑎+𝑥 𝑤 2 (𝑏 − 𝑤)𝑎 𝑎2 𝑎2 = 𝑏−𝑤 − − 𝑏 − 𝑤 + − 𝑎+𝑏 2 𝑎+𝑏 𝑎+𝑤 2 𝑎 𝑎2 (𝑏 − 𝑤)𝑎2 = − − 𝑎+𝑤 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 2
6
(𝑏 − 𝑤)𝑎2 (𝑏 − 𝑤)𝑎2 − 𝑎 + 𝑤 (𝑎 + 𝑏) 𝑎+𝑏 2 2 2 (𝑏 − 𝑤) 𝑎 = . 𝑎 + 𝑏 2 (𝑎 + 𝑤) Karena 𝔼𝑅𝑏 = 𝑃𝛽 , maka (𝑏 − 𝑤)2 𝑎2 = 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑏 2 (𝑎 + 𝑤) (𝑏 − 𝑤)2 𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) ⇔ = (𝑎 + 𝑏)2 𝑎2 =
⇔
𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) 𝑎2
𝑏−𝑤 = 𝑎+𝑏
𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) +𝑏 𝑎2
⇔ 𝑏−𝑤 =𝑎
𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) 𝑎2
⇔ 𝑏−𝑏
𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2
=𝑎
𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2
+𝑤
⇔ 𝑏 1−
𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2
=𝑎
𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2
+𝑤
𝑎 ⇔ 𝑏=
𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) +𝑤 𝑎2 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) +𝑤 𝑎2
1−
𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 × = 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 1− 1+ 2 𝑎 𝑎2 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) 𝑎 + 𝑤 + (𝑎 + 𝑤) 𝑎2 𝑎2 = 𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) 1− 𝑎2 𝑎
𝑎 =
𝑎
1+
𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 − 1 + 1 + 𝑤 + (𝑎 + 𝑤) −1+1 2 𝑎 𝑎2 𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) 1− −1+1 𝑎2 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤) − + 1 + 𝑤 + (𝑎 + 𝑤) − +1 (𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤) 𝑎2 𝑎2
= 1− 𝑎
𝑃𝛽 1 − (𝑎 + 𝑤) + 1 + 𝑤 + (𝑎 + 𝑤) 𝑎2 (𝑎 + 𝑤)
= 1− Misalkan 𝐴 = 𝑏∗ =
𝑃𝛽 (𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤) − +1 (𝑎 + 𝑤) 𝑎2
𝑃𝛽 𝑎2
−
1 (𝑎+𝑤 )
𝑃𝛽 1 − (𝑎 + 𝑤) + 1 𝑎2 (𝑎 + 𝑤)
𝑃𝛽 1 − (𝑎 + 𝑤) + 1 𝑎2 (𝑎 + 𝑤)
, maka
𝑎 𝐴 𝑎+𝑤 +1 +𝑤+ 𝑎+𝑤 𝐴 𝑎+𝑤 +1 1− 𝐴 𝑎+𝑤 +1
.
7
𝑎𝐴 𝑎 + 𝑤 + (𝑎 + 𝑤) + (𝑎 + 𝑤) 𝐴(𝑎 + 𝑤) + 1 −𝐴(𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤) 𝑎𝐴 + 1 + 𝐴(𝑎 + 𝑤) + 1 = (𝑎 + 𝑤) −𝐴 𝑎𝐴 + 1 + 𝐴(𝑎 + 𝑤) + 1 = −𝐴
=
Sehingga solusinya menjadi 𝑎𝐴 + 1 + 𝐴 𝑎 + 𝑤 + 1 . −𝐴 Selanjutnya akan ditentukan peluang kebangkrutan dari menggunakan persamaan 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡). 𝑅𝑏 ∗ 𝑋 = 𝑋 − 𝑤
+
𝐼 𝑋<
∎ ℙ(𝑋 − 𝑅𝑏 ∗ > 𝑤)
dengan
ℙ 𝑋 − 𝑅𝑏 ∗ > 𝑤 = 1 − ℙ(𝑋 − 𝑅𝑏 ∗ ≤ 𝑤) 𝑏∗
=1−
𝐼 𝑥 − 𝑅𝑏 ∗ 𝑥 ≤ 𝑤 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 0 𝑏∗
=1−
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0
= 1 − 𝐹 𝑏 ∗ − 𝐹(0) 𝑎2 𝑎2 = 1− 1− − 1 − 𝑎 + 𝑏∗ 2 𝑎+0 = 1− 1−
𝑎2 𝑎 + 𝑏∗
2
2
𝑎2
= 1− 1−
𝑎𝐴 + 1 + 𝐴 𝑎 + 𝑤 + 1 𝑎+ −𝐴
= 1− 1−
ℙ 𝑋 − 𝑅𝑏 ∗
2
𝑎2
1+ 𝐴 𝑎+𝑤 +1 −𝐴 2 (𝑎𝐴) >𝑤 = 2. 1+ 𝐴 𝑎+𝑤 +1
3.1.2. Prinsip Umum Utilitas Nol Misalkan perusahaan asuransi mendapatkan fungsi kompensasi R dengan membayar premi P yang membuat 𝔼𝑣 𝑅, 𝑃 = 0. 𝑥 → 𝑣(𝑥, 𝑃) adalah fungsi naik dan kontinu yang mendefinisikan prinsip premi sebagai berikut : 1. Mean-value principle: 𝑃 = 𝑢−1 (𝔼𝑢(𝑅)), dengan u merupakan fungsi kontinu dan naik. 2. Prinsip utilitas nol:
2
∎
𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅 = 𝑢(0), dengan fungsi utilitas u, u’>0. Selanjutnya premi reasuransi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat diperoleh dari min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝔼𝑣 𝑅, 𝑃 = 0, 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, (3.3) dengan w adalah kekayaan awal dari perusahaan asuransi. Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 2 berikut.
8
Teorema 2 Jika 𝑣 0, 𝑃 < 0 < 𝔼𝑣 𝑋 − 𝑤 + , 𝑃 < ∞, maka solusi dari permasalahan (3.3) merupakan truncated stop loss dengan 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏 ∗ ), dimana 𝑏 ∗ adalah bilangan real sehingga 𝔼𝑣 𝑅𝑏 ∗ , 𝑃 = 0. Bukti: (Lihat Lampiran 4)
Contoh Kasus Prinsip Utilitas Nol: Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip umum utilitas nol dengan fungsi utilitas, u, dimana u’ >0. 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑋 − 𝑤 + < 𝑢 0 , dengan P>0. Berdasarkan Teorema 2, dapat ditunjukkan bahwa truncated stop loss 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏 ∗ ), dengan 𝑏 ∗ bilangan real sehingga 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏 ∗ = 𝑢(0) adalah solusi yang optimal.
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Utilitas Nol min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝔼𝑢 𝑃 − (𝑋 − 𝑤)+ < 𝑢(0), 𝑃 > 0, dengan fungsi utilitas u, u’>0. Akan dibuktikan bahwa truncated stop loss 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏 ∗ ), dengan bilangan real sehingga 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏 ∗ = 𝑢(0) adalah solusi yang optimal.
𝑏∗
Bukti: Diketahui fungsi u adalah fungsi utilitas yang merupakan fungsi naik dan kontinu sedemikian sehingga 𝑃 − 𝑋 − 𝑤 + < 𝑢 0 < 𝑢 𝑃 − 0 < ∞ , dengan c>0 maka min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) = min
𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑢(𝑃 − 𝑅 𝑥 ) 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅(𝑥)
= min
𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑢(𝑃 − 𝑅 𝑥 𝑑𝐹(𝑥) − 𝑐𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅(𝑥) .
𝑅∈ℛ
𝑅∈ℛ
𝑅∈ℛ
Misalkan 𝜓 𝑏 = 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏 (𝑥) dan 𝑅𝑏 (𝑥) = 𝑥 − 𝑤 + 𝐼(𝑥 < 𝑏), 𝑥 − 𝑤 + ; 𝑤 < 𝑥 < 𝑏, = 0 ; selainnya, dengan 𝑤 ≤ 𝑏 < ∞, maka 𝜓 𝑏 = 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏 (𝑥) = 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑥 − 𝑤 + i. untuk batas bawah w : 𝜓 𝑤 = 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑤 − 𝑤 + = 𝔼𝑢 𝑃 − 0 =𝑢 𝑃 >𝑢 0 ii. untuk batas atas ∞ : 𝜓 ∞ = 𝔼𝑢 𝑃 − ∞ − 𝑤 + = 𝔼𝑢 𝑃 − ∞ =𝑢 𝑃−∞ <𝑢 0 sehingga 𝜓 𝑏 kontinu saat 𝑏 ≥ 𝑤. Oleh karena itu ada 𝑏 ∗ sehingga 𝜓 𝑏 = 𝑢 0 . min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) = min 𝑅∈ℛ
𝑅∈ℛ
𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑢(𝑃 − 𝑅 𝑥 ) 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅(𝑥)
≥
min 𝐼 𝑥 − 𝑅𝑏 ∗ (𝑥) > 𝑤 + 𝑐 𝑢(𝑃 − 𝑅𝑏 ∗ 𝑥 ) 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏 ∗ (𝑥)
=
𝐼 𝑥 − 𝑅𝑏 ∗ 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏 ∗ 𝑥
𝑅𝑏 ∗
= ℙ 𝑋 − 𝑅𝑏 ∗ > 𝑤 .
∎
𝑑𝐹(𝑥) − 𝑐𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏 ∗ (𝑥)
9
3.1.3. Prinsip Esscher Metode penentuan premi dengan prinsip Esscher memberikan persamaan 𝔼 𝑅𝑒 𝑎𝑅 𝐸𝑠𝑠𝑎 𝑅 = 𝔼 𝑒 𝑎𝑅 dengan a>0. Premi P yang didapat dari prinsip Esscher disebut dengan premi Esscher yang dinotasikan sebagai: 𝑃 = 𝐸𝑠𝑠𝑎 𝑅 . Selanjutnya premi reasuransi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat diperoleh dari min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝑃 = 𝐸𝑠𝑠𝑎 (𝑅), 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, (3.4) Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 3 berikut. Teorema 3 Misalkan 0 < 𝑃 ≤ 𝑎 −1 dan 0< 𝔼 𝑋 − 𝑤 + − 𝑃 exp 𝑎 𝑋 − 𝑤 + < ∞. Maka solusi dari masalah (3.4) merupakan truncated stop los𝑠 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤+ 𝐼(𝑋<𝑏∗), dimana 𝑏∗ adalah bilangan real sehingga 𝑃 = 𝐸𝑠𝑠𝑎 (𝑅𝑏 ∗ ). Bukti: (Lihat Lampiran 5) 3.1.4. Prinsip Mean-Variance Misalkan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutan untuk premi reasuransi, P. Misalkan juga perusahaan asuransi mengontrol keuntungan yang diharapkan dan bersedia membayar premi tidak lebih dari 𝑃0 . Berdasarkan prinsip mean-variance, maka akan timbul permasalahan sebagai berikut min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝑅 ∈ ℛ(𝑀)
dimana ℛ 𝑀 = 𝑅; 𝑅 = 𝑅 𝑋 , 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, 𝔼𝑅≤𝑓𝑃0,𝔻𝑅, 𝔼𝑅≤𝑀, dan 𝑡→𝑓(𝑃,𝑡) merupakan prinsip premi. Prinsip premi yang dimaksud mencakup: 1. Prinsip standard deviation: 𝑃 = 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻𝑅; 𝑓 = 𝑃 − 𝛽𝑡, 2. Prinsip variance: 𝑃 = 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻2 𝑅; 𝑓 = 𝑃 − 𝛽𝑡 2 , 3. Prinsip mixed: 𝑃 = 𝔼𝑅 + 𝛼𝔻𝑅 + 𝛽𝔻2 𝑅; 𝑓 = 𝑝 − 𝛼𝑡 − 𝛽𝑡 2 . dimana 𝛼, 𝛽 > 0, 𝔻𝑅: standar deviasi dari peubah acak R, 𝔻2 𝑅: ragam dari peubah acak R. Asumsikan 𝑏(𝑚) menjadi solusi untuk 𝑏 𝑥 − 𝑤 𝑑𝐹(𝑥 ) = 𝑚 saat 𝑏 > 𝑚. 𝑤 Teorema 4 Misalkan 0 < 𝑀 < 𝔼(𝑋 − 𝑤)+ . Maka truncated stop loss 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤+ 𝐼(𝑋<𝑏∗) adalah solusi dari masalah (3.5) sehingga 𝔼𝑅𝑀 ≤ 𝑓(𝑃0 , 𝔻𝑅𝑀 ). Bukti: (Lihat Lampiran 6) Contoh Kasus Prinsip Mean-Variance: Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip standar deviasi, dan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutannya. Buktikan bahwa solusi dari min ℙ 𝑋 − 𝑅 > 𝑤 dengan kendala 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻𝑅 ≤ 𝑃0 , 𝔼𝑅 ≤ 𝑀, adalah truncated stop loss 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏 ∗ ), dimana 𝑏 ∗ sehingga 𝔼𝑅 = 𝑀 dan 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻𝑅 ≤ 𝑃0 .
(3.5)
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Mean-Variance min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝑅 ∈ ℛ(𝑀) dimana ℛ 𝑀 = 𝑅; 𝑅 = 𝑅 𝑋 , 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻𝑅 ≤ 𝑃0 , 𝔼𝑅 ≤ 𝑀. Akan dibuktikan jika 0 < 𝑀 < 𝔼(𝑋 − 𝑤)+ . Maka truncated stop loss 𝑅𝑏 ∗ 𝑋 = 𝑋 − 𝑤 𝑏 ∗ ) adalah solusi yang optimal sehingga 𝔼𝑅 = 𝑀 dan 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻𝑅 ≤ 𝑃0 .
+
𝐼(𝑋 <
Bukti: Berdasarkan teorema 4, misalkan ℛ𝑚 = 𝑅; 𝑅 = 𝑅 𝑋 , 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, 𝔼𝑅 = 𝑚 = 𝑃0 − 𝛽𝔻𝑅 dan 𝑅𝑚 𝑋 = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏(𝑚)) 𝑋 −𝑤 + ;𝑤 < 𝑋 < 𝑏 𝑚 , = 0 ; selainnya, sehingga 𝑅𝑚 ∈ ℛ𝑚 dengan c>0 maka
10
min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) ≥ min min 𝔼[1 𝑋 − 𝑅 > 𝑤 + 𝑐(𝑅 − 𝔼𝑅)]
𝑅∈ℛ(𝑀)
0≤𝑚 ≤𝑀 𝑅∈ℛ𝑚
≥ min 𝔼 min [1 𝑋 − 𝑅 > 𝑤 + 𝑐(𝑅 − 𝑚)] 0≤𝑚 ≤𝑀
𝑅∈ℛ𝑚
= min ℙ(𝑋 − 𝑅𝑚 > 𝑤) 0≤𝑚 ≤𝑀
= min
0≤𝑚 ≤𝑀
𝐼(𝑥 − 𝑅𝑚 > 𝑤) 𝑑𝐹 𝑥 𝑏(𝑚 )
= min
𝐼(𝑥 − 𝑥 − 𝑤 ≥ 𝑤) 𝑑𝐹(𝑥)
= min
𝐼 𝑤 ≥ 𝑤 𝑑𝐹(𝑥)
= min
𝐼(𝑥 ≥ 𝑏(𝑚)) 𝑑𝐹(𝑥)
0≤𝑚 ≤𝑀 𝑤 𝑏 𝑚
0≤𝑚 ≤𝑀 𝑤 𝑏(𝑚 ) 0≤𝑚 ≤𝑀 𝑤
= min ℙ 𝑋 ≥ 𝑏 𝑚 . 0≤𝑚 ≤𝑀
Misalkan 𝑏(𝑚) merupakan solusi dari 𝔼𝑅 = 𝑚 𝑏 ⇔ 𝔼𝑅 𝑥 = 𝑤 𝑥 − 𝑤 𝑑𝐹 𝑥 = 𝑚 dimana 𝑏 > 𝑤, maka = min ℙ(𝑋 ≥ 𝑏(𝑚)) 0≤𝑚 ≤𝑀
=ℙ 𝑋≥𝑏 𝑀
= ℙ 𝑋 − 𝑅𝑀 ≥ 𝑤 .
∎
IV SIMPULAN Reasuransi merupakan proses pengalihan risiko dari beberapa perusahaan asuransi untuk menghindari kebangkrutan. Perencanaan perjanjian reasuransi yang optimal sangat diperlukan untuk meminimumkan peluang kebangkrutan. Salah satu caranya adalah dengan menentukan premi reasuransi yang optimal. Prinsip premi yang digunakan dalam tulisan ini adalah prinsip ekonomi, prinsip
umum utilitas nol, prinsip esscher, dan prinsip mean-variance. Keempat prinsip tersebut memberikan kendala yang berbeda dalam meminimumkan peluang kebangkrutan. Telah dibuktikan truncated stop loss dapat menjadi solusi untuk menentukan kontrak reasuransi yang optimal dalam model satu periode.
DAFTAR PUSTAKA Dickson DCM. 2006. Insurance Risk and Ruin. Cambridge University Press. Cambridge. United Kingdom. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastics Proceses. Ed. Ke-3. Prentice Hall, Inc. New Jersey. Grimmet
GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed. Ke-2. Clarendon Press. Oxford. New York.
Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-5. Prentice-Hall. Inc. New Jersey.
Kaluszka M. 2005. Truncated Stop Loss as Optimal Reinsurance Agreement in One-Period Models. Astin Bulletin 35(2). 337-349. Marianto AJ. 1997. Reasuransi. Ghalia Indonesia. Jakarta. Stewart J. 1999. Calculus. Jilid Ke-1. Ed. Ke-4. Alih bahasa Drs. I Nyoman susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D. Erlangga. Jakarta. Stewart J. 1999. Calculus. Jilid Ke-2. Ed. Ke-4. Alih bahasa Drs. I Nyoman susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D. Erlangga. Jakarta.
11
LAMPIRAN
12
Lampiran 1 Fungsi Sebaran Kumulatif Sebaran Pareto Jika X menyebar pareto dengan parameter α dan 𝑥0 > 0 dengan fungsi kepekatan peluang X adalah: 𝑓 𝑥; 𝛼, 𝑥0 =
𝛼 𝑥0 𝛼 𝑥 0 +𝑥 𝛼 +1
, 𝑥 ≥ 𝑥0 .
Maka fungsi sebaran kumulatifnya adalah: 𝐹 𝑥 =1− Bukti: 𝑥
𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝐹 𝑥 = 0 𝑥
= 0
𝛼 𝑥0 𝛼 𝑑𝑡 𝑥0 + 𝑡 𝛼 +1 𝑥
= 𝛼 𝑥0 𝛼
𝑥0 + 𝑡
−(𝛼+1)
𝑑𝑡
0
−1 𝑥0 + 𝑡 −𝛼 |0𝑥 𝛼 1 1 − = 𝑥0 𝛼 𝑥0 + 𝑥 𝛼 𝑥0 𝛼 𝑥0 𝛼 =1− . 𝑥0 + 𝑥
= 𝛼 𝑥0
𝛼
∎
𝑥0 𝑥0 + 𝑥
𝛼
.
13
Lampiran 2 Pembuktian Teorema 1 min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝔼 𝑅𝜙 = 𝑃 , 𝐿 ≤ 𝑅 ≤ 𝑈, dimana : 𝑤 = 𝑤0 + 𝜋 − 𝑃 ≥ 0, 𝐿 = 𝐿(𝑋), 𝑈 = 𝑈(𝑋), 0 ≤ 𝐿 ≤ 𝑈 ≤ 𝑋. Akan dibuktikan bahwa 𝑅 ∗ = 𝑅∗ (𝑥) =
𝑥 − 𝑤 ; 𝐿 𝑥 ≤ 𝑥 − 𝑤 ≤ 𝑈 𝑥 dan 𝑐 𝑥 − 𝑤 − 𝐿 𝑥 𝜙 𝑥 < 1
𝐿 𝑥 ; selainnya, merupakan solusi dari masalah (3.1) dengan c>0 sehingga 𝔼 𝑅∗ 𝜙 = 𝑃. Bukti: Misalkan ℛ = {𝑅; 𝔼 𝑅𝜙 = 𝑃, 𝐿 ≤ 𝑅 ≤ 𝑈 } dengan c>0 maka min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) = min 𝑅∈ℛ
𝑅∈ℛ
= min 𝑅∈ℛ
≥ =
𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐𝑅 𝑥 𝜙 𝑥 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝔼 𝑅𝜙 𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐𝑅 𝑥 𝜙 𝑥 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝑃 min
𝐿 𝑥 ≤𝑦≤𝑈(𝑥)
𝐼 𝑥 − 𝑦 > 𝑤 + 𝑐𝑦𝜙 𝑥 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝑃
𝐼 𝑥 − 𝑅∗ 𝑥 > 𝑤 + 𝑐𝑅 ∗ 𝑥 𝜙 𝑥 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝑃
= ℙ 𝑋 − 𝑅∗ > 𝑤 .
∎
(3.1)
14
Lampiran 3 Nilai Harapan Fungsi Kompensasi Reasuransi (𝔼𝑅𝑏 ) Diketahui peubah acak X mempunyai fungsi sebaran kumulatif F dan 𝑅𝑏 (𝑋) = 𝑋 − 𝑤+ 𝐼(𝑋<𝑏), karena F adalah fungsi yang kontinu akan dibuktikan bahwa 𝔼𝑅𝑏→𝔼(𝑋−𝑤)+. Bukti: Dari persamaan (3.2) didapatkan 𝑏
𝔼𝑅𝑏 = 𝑏 − 𝑤 𝐹 𝑏 − dengan t<x. akan ditentukan 𝔼(𝑋 − 𝑤)+
𝐹(𝑡)𝑑𝑡 𝑤
𝑏
𝔼(𝑋 − 𝑤)+ =
𝑥 − 𝑤 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑤 𝑏
=
𝑏
𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −
𝑤 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑤
𝑤
i ii Persamaan (i) dapat terselesaikan dengan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑓(𝑥), 𝑣 = 𝐹(𝑥). Sehingga 𝑏
𝔼(𝑋 − 𝑤)+ = 𝑥 𝐹 𝑥
|𝑏𝑤
𝐹(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑤 𝐹(𝑥)|𝑏𝑤
− 𝑤
𝑏
=𝑏𝐹 𝑏 −𝑤𝐹 𝑤 − 𝑏
= 𝑏−𝑤 𝐹 𝑏 − Karena 𝑡 → 𝑥 maka
𝑏 𝑤
𝐹(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑤 𝐹 𝑏 + 𝑤 𝐹(𝑤) 𝑤
𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑤
𝐹(𝑡)𝑑𝑡 →
𝑏 𝑤
𝐹(𝑥)𝑑𝑥, sehingga 𝔼𝑅𝑏 → 𝔼(𝑋 − 𝑤)+ .
∎
15
Lampiran 4 Pembuktian Teorema 2 min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝔼𝑣 𝑅, 𝑃 = 0, 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, dengan w adalah kekayaan awal dari perusahaan asuransi.
(3.3)
Akan dibuktikan jika 𝑣 0, 𝑃 < 0 < 𝔼𝑣 𝑋 − 𝑤 + , 𝑃 < ∞, maka solusi dari permasalahan (3.3) merupakan truncated stop loss dengan 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏 ∗ ), dimana 𝑏 ∗ adalah bilangan real sehingga 𝔼𝑣 𝑅𝑏 ∗ , 𝑃 = 0. Bukti: Diketahui 𝑣 0, 𝑃 < 0 < 𝔼𝑣 𝑋 − 𝑤 +, 𝑃 < ∞ fungsi 𝑅 → 𝑣(𝑅, 𝑃) merupakan fungsi naik dan kontinu sehingga 𝑣 0, 𝑃 ≤ 𝑣 𝑅𝑏 , 𝑃 ≤ 𝑣 𝑋 − 𝑤 + , 𝑃 < ∞ lim𝑡→𝑏 𝔼𝑣 𝑅𝑡 , 𝑃 = 𝔼 lim𝑡→𝑏 𝑣 𝑅𝑡 , 𝑃 = 𝔼𝑣 𝑅𝑏 , 𝑃 , dengan c>0 maka min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) = min 𝑅∈ℛ
𝑅∈ℛ
= min 𝑅∈ℛ
𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑣(𝑅 𝑥 , 𝑃) 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝔼𝑣 𝑅, 𝑃 𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑣 𝑅 𝑥 , 𝑃 𝑑𝐹(𝑥)
Misalkan 𝜓 𝑏 = 𝔼𝑣 𝑅𝑏 (𝑥), 𝑃 dan 𝑅𝑏 (𝑥) = 𝑥 − 𝑤 + 𝐼(𝑥 < 𝑏), 𝑥 − 𝑤 + ; 𝑤 < 𝑥 < 𝑏, = 0 ; selainnya, dengan 𝑤 ≤ 𝑏 < ∞, maka 𝜓 𝑏 = 𝔼𝑣 𝑅𝑏 (𝑥), 𝑃 = 𝔼𝑣 𝑥 − 𝑤 + , 𝑃 iii. untuk batas bawah w : 𝜓 𝑤 = 𝔼𝑣 𝑤 − 𝑤 + , 𝑃 = 𝔼𝑣 0, 𝑃 = 𝑣 0, 𝑃 <0 iv. untuk batas atas ∞ : 𝜓 ∞ = 𝔼𝑣 ∞ − 𝑤 + , 𝑃 = 𝔼𝑣 ∞, 𝑃 = 𝑣 ∞, 𝑃 >0 sehingga 𝜓 𝑏 kontinu saat 𝑏 ≥ 𝑤. Oleh karena itu ada 𝑏 ∗ sehingga 𝜓 𝑏 = 0. min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) = min 𝑅∈ℛ
𝑅∈ℛ
𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑣(𝑅 𝑥 , 𝑃) 𝑑𝐹 𝑥
≥
min 𝐼 𝑥 − 𝑅𝑏 ∗ (𝑥) > 𝑤 + 𝑐 𝑣(𝑅𝑏 ∗ 𝑥 , 𝑃) 𝑑𝐹 𝑥
=
𝐼 𝑥 − 𝑅𝑏 ∗ 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑣 𝑅𝑏 ∗ 𝑥 , 𝑃 𝑑𝐹(𝑥)
𝑅𝑏 ∗
= ℙ 𝑋 − 𝑅∗ > 𝑤 .
∎
16
Lampiran 5 Pembuktian Teorema 3 min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝑃 = 𝐸𝑠𝑠𝑎 (𝑅), 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, dimana 𝐸𝑠𝑠𝑎 𝑅 =
(3.4)
𝔼(𝑅𝑒 𝑎𝑅 ) 𝔼(𝑒 𝑎𝑅 )
.
Akan dibuktikan jika 0 < 𝑃 ≤ 𝑎−1 dan 0 < 𝔼 𝑋 − 𝑤 + − 𝑃 exp 𝑎 𝑋 − 𝑤 + < ∞. Maka solusi dari masalah (3.4) merupakan truncated stop loss 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏 ∗ ), dimana 𝑏 ∗ adalah bilangan real sehingga 𝑃 = 𝐸𝑠𝑠𝑎 (𝑅𝑏 ∗ ). Bukti: 𝑃 = 𝐸𝑠𝑠𝑎 (𝑅) ⇔ 𝑃 = 𝑎𝑅
𝔼(𝑅𝑒 𝑎𝑅 )
𝔼(𝑒 𝑎𝑅 ) 𝑎𝑅
⇔ 𝔼 𝑅𝑒 = 𝑃𝔼(𝑒 ) ⇔ 𝑅𝔼 𝑒 𝑎𝑅 = 𝑃𝔼(𝑒 𝑎𝑅 ) ⇔ (𝑅 − 𝑃)𝔼 𝑒 𝑎𝑅 = 0 ⇔ 𝔼[ 𝑅 − 𝑃 𝑒 𝑎𝑅 ] = 0 dengan c>0, maka
min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) = min
𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑅 𝑥 − 𝑃 𝑒 𝑎𝑅
𝑥
𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝔼[ 𝑅 − 𝑃 𝑒 𝑎𝑅 ]
= min
𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑅 𝑥 − 𝑃 𝑒 𝑎𝑅
𝑥
𝑑𝐹 𝑥
𝑅
𝑅
𝑅
Misalkan 𝜓 𝑏 = 𝔼[ 𝑅𝑏 (𝑥) − 𝑃 𝑒 𝑎𝑅𝑏 (𝑥) ] dan 𝑅𝑏 (𝑥) = 𝑥 − 𝑤 + 𝐼(𝑥 < 𝑏), 𝑥 − 𝑤 + ; 𝑤 < 𝑥 < 𝑏, = 0 ; selainnya, dengan 𝑤 ≤ 𝑏 < ∞, maka 𝜓 𝑏 = 𝔼[ 𝑅𝑏 𝑥 − 𝑃 𝑒 𝑎𝑅𝑏 (𝑥) ] = 𝔼 𝑥 − 𝑤 + − 𝑃 exp 𝑎 𝑥 − 𝑤 + = 𝔼 𝑥 − 𝑤 + − 𝑃 exp 𝑎 𝑥 − 𝑤 + i. untuk batas bawah w : 𝜓 𝑤 = 𝔼 𝑤 − 𝑤 + − 𝑃 exp 𝑎 𝑤 − 𝑤 + = 𝔼 −𝑃 exp 0 = 𝔼 −𝑃 <0 ii. untuk batas atas ∞ : 𝜓 ∞ = 𝔼 ∞ − 𝑤 + − 𝑃 exp 𝑎 ∞ − 𝑤 + = 𝔼 ∞ exp ∞ =∞ >0 sehingga 𝜓 𝑏 kontinu saat 𝑏 ≥ 𝑤. Oleh karena itu ada 𝑏 ∗ sehingga 𝜓 𝑏 = 0. min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) = min 𝑅
𝑅
𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑅 𝑥 − 𝑃 𝑒 𝑎𝑅
𝑥
𝑑𝐹 𝑥
≥
min 𝐼 𝑥 − 𝑅𝑏 ∗ (𝑥) > 𝑤 + 𝑐 𝑅𝑏 ∗ 𝑥 − 𝑃 𝑒 𝑎𝑅𝑏 ∗
=
𝐼 𝑥 − 𝑅𝑏 ∗ 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑅𝑏 ∗ 𝑥 − 𝑃 𝑒 𝑎𝑅𝑏 ∗
𝑅𝑏 ∗
= ℙ 𝑋 − 𝑅𝑏 ∗ > 𝑤 .
∎
𝑥
𝑥
𝑑𝐹 𝑥
𝑑𝐹 𝑥
17
Lampiran 6 Pembuktian Teorema 4 min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝑅 ∈ ℛ(𝑀)
(3.5)
dimana ℛ 𝑀 = 𝑅; 𝑅 = 𝑅 𝑋 , 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, 𝔼𝑅 ≤ 𝑓 𝑃0 , 𝔻𝑅 , 𝔼𝑅 ≤ 𝑀 . Akan dibuktikan jika 0 < 𝑀 < 𝔼(𝑋 − 𝑤)+ . Maka truncated stop loss 𝑅𝑏 ∗ (𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏 ∗ ) 𝑋 − 𝑤 + ; 𝑤 < 𝑋 < 𝑏∗, = 0 ; selainnya, adalah solusi dari masalah (3.5) sehingga 𝔼𝑅𝑀 ≤ 𝑓(𝑃0 , 𝔻𝑅𝑀 ). Bukti: Misalkan ℛ𝑚 = 𝑅; 𝑅 = 𝑅 𝑋 , 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, 𝔼𝑅 = 𝑚 = 𝑓 𝑃0 , 𝔻𝑅 dan 𝑅𝑚 = 𝑋 − 𝑤 𝑏(𝑚)), sehingga 𝑅𝑚 ∈ ℛ𝑚 dengan c>0 maka min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) ≥ min min 𝔼[𝐼 𝑋 − 𝑅 > 𝑤 + 𝑐(𝑅 − 𝑚)] 𝑅∈ℛ(𝑀)
0≤𝑚 ≤𝑀 𝑅∈ℛ𝑚
≥ min 𝔼 min [𝐼 𝑋 − 𝑅 > 𝑤 + 𝑐(𝑅 − 𝑚)] 0≤𝑚 ≤𝑀
𝑅∈ℛ𝑚
= min ℙ(𝑋 − 𝑅𝑚 > 𝑤) 0≤𝑚 ≤𝑀
= min
0≤𝑚 ≤𝑀
𝐼(𝑥 − 𝑅𝑚 > 𝑤) 𝑑𝐹 𝑥 𝑏 𝑚
= min
𝐼 𝑥 − 𝑥 − 𝑤 ≥ 𝑤 𝑑𝐹(𝑥)
= min
𝐼 𝑤 ≥ 𝑤 𝑑𝐹(𝑥)
= min
𝐼 𝑥≥𝑏 𝑚
0≤𝑚 ≤𝑀 𝑤 𝑏 𝑚
0≤𝑚 ≤𝑀 𝑤 𝑏 𝑚 0≤𝑚 ≤𝑀 𝑤
𝑑𝐹(𝑥)
= min ℙ(𝑋 ≥ 𝑏(𝑚)). 0≤𝑚 ≤𝑀
Misalkan 𝑏(𝑚) merupakan solusi dari 𝔼𝑅 = 𝑚 ⇔ 𝔼𝑅 𝑥 =
𝑏 𝑤
𝑥 − 𝑤 𝑑𝐹 𝑥 = 𝑚 dimana 𝑏 > 𝑤, maka
min𝑅∈ℛ𝑚 ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) = ℙ 𝑋 ≥ 𝑏 𝑀
= ℙ 𝑋 − 𝑅𝑀 ≥ 𝑤 .
∎
+
𝐼(𝑋 <
