Téma: Určování polohy planet na nebeské sféře

Téma: Určování polohy planet na nebeské sféře Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc

Abychom mohli v daném čase popsat polohu zvolené planety (eventuálně družice Země) na nebeské sféře, potřebujeme kromě dvou parametrů, popisujících velikost a tvar eliptické dráhy kolem středu centra (což jsou například délka hlavní poloosy a numerická výstřednost dráhy) znát ještě parametry, popisující polohu eliptické dráhy bodu v prostoru. Tuto polohu určíme ve vztahu ke zvolené referenční sférické souřadnicové soustavě, definované hlavní rovinou ρ0 a hlavním směrem z počátku S (ve středu centra) na hlavní bod H (obr.1). Těmito atributy je známým způsobem definovaná sférická šířka a sférická délka. V případě planet (se Sluncem jako centrem) je referenční sférickou souřadnicovou soustavou ekliptikální (heliocentrická) soustava a v případě družic Země (jakožto centra) se jedná o rovníkovou (geocentrickou) souřadnicovou soustavu druhého druhu.

ρ i

n

ρ0

n0 Π ω

B S=F

A Ω

H

Obrázek 1:

Parametry popisující polohu dráhy bodu v prostoru V hlavní rovině referenční sférické souřadnicové soustavy definujme kladnou orientaci normály ~n0 k této rovině, jestliže tato normála míří do poloprostoru (odděleném hlavní rovinou), v němž je sférická šířka kladná. Polohu roviny ρ dráhy bodu vůči rovině ρ0 popíšeme především úhlem sklonu roviny ρ od roviny ρ0 . Tento úhel je definován jako úhel mezi normálami k těmto rovinám, přičemž normálu ~n k rovině ρ kladně orientujeme palcem pravé ruky, jejíž prsty ukazují smysl obíhání bodu kolem středu centra. Ustálené označení tohoto parametru je i (obr.1). Parametr leží v intervalu h0, πi, přičemž pro hodnoty i ∈ ( π2 , πi hovoříme o tzv. retrográdním pohybu bodu kolem středu centra. 1

Parametrem i ovšem není poloha roviny ρ ještě jednoznačně určena. Za účelem popisu dalšího parametru definujeme několik nutných pojmů. Průsečnici rovin ρ0 a ρ nazveme uzlovou přímkou pohybujícího se bodu. Samotná dráha bodu je elipsa ležící v rovině ρ, jejíž ohnisko (jakožto počátek referenční sférické souřadnicové soustavy) leží rovněž v rovině ρ0 . Odtud plyne, že dráha bodu musí protínat uzlovou přímku právě ve dvou bodech, kterým říkáme uzly bodu. Uzel, při jehož průchodu se sférická šířka bodu mění ze záporné na kladnou, se nazývá výstupní uzel bodu (ustálené označení A) a uzel, při jehož průchodu se sférická šířka bodu mění z kladné na zápornou, se nazývá sestupný uzel bodu (ustálené označení B). Druhým parametrem popisujícím polohu roviny ρ vůči ρ0 je sférická délka výstupního uzlu bodu (ustálené označení Ω). Jedná se tedy o úhel, který svírá směr na výstupní uzel s hlavním směrem příslušné sférické souřadnicové soustavy (a přibývá jej matematicky kladně)(obr.1). Parametry i a Ω už je poloha roviny ρ dráhy bodu v prostoru jednoznačně určena. Protože ohnisko dráhy bodu musí ležet v počátku referenční sférické souřadnicové soustavy (a tudíž má pevnou polohu), popisuje polohu elipsy v její rovině ρ už pouze jediný parametr, který popisuje úhlovou odchylku směru na významný bod na eliptické dráze od směru na výstupní uzel. Za významný bod na dráze obvykle bereme její pericentrum Π (obr.1). Příslušnou odchylku nazýváme argumentem pericentra bodu a ustáleně ji označujeme ω. Měříme ji v rovině dráhy bodu ve smyslu jeho pohybu s přibývajícím časem. Zřejmě je ω ∈ h0, 2π). Polohu eliptické dráhy bodu už máme v prostoru popsánu. Pro dokonalý popis dráhy už chybí pouze v začátku tématu zmíněné parametry popisující velikost a tvar dráhy (délka hlavní poloosy dráhy bodu a a numerická výstřednost ε této dráhy). Dráha bodu kolem středu centra je tedy určena pěti parametry i, Ω, ω, a, a ε. Abychom určili (pomocí Keplerovy rovnice a závislosti ϕ(E) - viz příslušné téma) místo na eliptické dráze bodu, kde se tento bod v zadaném čase nachází, je potřeba prostorové parametry doplnit ještě dvěma časovými parametry. Je třeba zadat dobu oběhu T bodu kolem středu centra a dobu předchozího průchodu bodu pericenrem své dráhy tp . Popsané parametry pro osm planet sluneční soustavy jsou uvedeny v následující tabulce. Tabulka 1: Planeta Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun

i[o ] Ω[o ] 7.0 47.6 3.4 76.4 0 nedef. 1.9 49.3 1.3 100.2 2.5 113.4 0.8 73.8 1.8 131.5

ω[o ] a[au] ε T [rok] tp 29.6 0.39 0.206 0.241 54.8 0.72 0.007 0.615 nedef. 1.00 0.017 1.000 4.1.2011 286.1 1.52 0.093 1.881 9.3.2011 273.7 5.20 0.048 11.862 2.3.2011 339.1 9.54 0.056 29.456 6.8.2004 98.8 19.18 0.047 84.014 20.5.1966 276.1 30.06 0.009 164.793 2.9.1876

Poznámka: Doba posledního průchodu periheliem je v tabulce uvedena do konce roku 2011, kdy vychází tento text. Země prochází periheliem své dráhy vždy 4.ledna každého roku. Vnitřní planety, mající dobu oběhu kratší než rok, procházejí periheliem často. Příslušný údaj je proto vynechán. Případný zájemce se musí podívat do efemerid planet. Pro vnější planety po uplynutí doby oběhu od zde uvedené hodnoty tp bude třeba 2

tuto hodnotu příslušným způsobem změnit. Výpočet heliocentrických ekliptikálních souřadnic planet Heliocentrické ekliptikální souřadnice β a λ planety v daném čase t0 pozorování určíme při znalosti parametrů i, Ω, ω (viz tab.1) a aktuální pravé anomálie ϕ planety. Poznámka: Poznamenejme, že aktuální pravou anomálii planety určíme řešením Keplerovy rovnice a aplikací závislosti ϕ(E) (viz příslušné téma), při znalosti numerické výstřednosti ε, doby oběhu T (viz tabulka 1) a doby t pobytu planety na dráze od posledního jejího průchodu periheliem. Tato doba je zřejmě rozdílem času pozorování a času tp (viz tab.1). y NE

P

B

Π L

S

x

i A

z

Obrázek 2: Na obrázku 2 je situace znázorněna na (jednotkové) nebeské sféře. Je zde zakreslena ekliptika a dráha planety, skloněná oproti ekliptice o úhel sklonu i (viz tab.1). K heliocentrické ekliptikální souřadnicové soustavě jest zakreslena přidružená kartézská souřadnicová soustava (S, x, y, z). Parametr i je zakreslen menší než π2 , čemuž odpovídá prográdní pohyb (opak pohybu retrográdního). Na ekliptice je zakreslen jarní bod Υ, letní bod L a na dráze planety pak výstupní uzel A, sestupný uzel B, pericentrum Π a okamžitá poloha planety P v čase pozorování. Bod P nechť má kartézské souřadnice [x, y, z]. Protože poloměr koule je jednotkový, jsou tyto souřadnice kosíny směrových úhlů směru SP . Tyto směrové úhly jsou odchylky směru SP po řadě od směrů SL, SNE a SΥ, kde NE je severní ekliptikální pól na nebeské sféře. Protože se vesměs jedná o středové úhly, které na kouli odpovídají obloukům, můžeme je chápat jako strany jistých sférických trojúhelníků. Kosíny těchto 3

stran určíme ze známých vět sférické trigonometrie. Dva z vrcholů vzpomínaných sférických trojúhelníků musí být okamžitá poloha planety P, průsečík souřadnicové osy V s nebeskou sférou (V = L pro osu x, V = NE pro osu y a V = Υ pro osu z). Za třetí vrchol vezmeme výstupní uzel A dráhy planety. Všechny tři sférické trojúhelníky jsou znázorněny na obrázcích 3. Z trojúhelníku ALP (obr.a) určíme x−ovou souřadnici pla-

(a)

(b)

(c)

NE

P P

Π

P

Π

Π

L

A

A

A

Obrázek 3: nety, která je rovna kosínu strany LP. V konfrontaci s obrázkem 2 popíšeme jednotlivé strany a úhly v uvažovaném trojúhelníku. Strana AL je obloukem ekliptiky. Protože úhlová délka strany ΥL je π2 a úhlová délka strany ΥA je podle definice délka výstupního uzlu Ω, je délka strany AL rovna π2 −Ω. Protože strana AP je obloukem dráhy planety, je úhel při vrcholu A ve zkoumaném trojúhelníku roven úhlu sklonu roviny dráhy planety od roviny ekliptiky i. Podle obrázku 2 je zřejmě oblouk AP roven součtu oblouků AΠ a ΠP . Oblouk AΠ je podle definice argumentem perihelia a oblouk ΠP je pravou anomálií planety ϕ. Proto strana AP má úhlovou délku ω + ϕ. Z kosínové věty pro strany ve sférickém trojúhelníku na obrázku 3a získáme π π − Ω cos(ω + ϕ) + sin − Ω sin(ω + ϕ) cos i , x = cos 2 2 







odkud x = sin Ω cos(ω + ϕ) + cos Ω sin(ω + ϕ) cos i .

(1)

Z trojúhelníka ANE P určíme y-ovou souřadnici planety. Potřebujeme k tomu určit kosínus strany NE P . Zřejmě je strana ANE = π2 , protože bod A leží na ekliptice. Z obrázku 3b je patrno, že úhel při vrcholu A je π2 − i. Dále stejně jako výše určíme, že strana AP má délku ω + ϕ. Z kosínové věty pro strany potom máme π π π y = cos cos(ω + ϕ) + sin sin(ω + ϕ) cos −i , 2 2 2 



odkud y = sin(ω + ϕ) sin i . 4

(2)

Z trojúhelníka AΥP určíme z-ovou souřadnici planety. Potřebujeme k tomu určit kosínus strany ΥP . Strana ΥA je obloukem ekliptiky a podle definice je rovna délce výstupního uzlu Ω. Z obrázku 3c je patrno, že úhel při vrcholu A je π − i. Stejně jako výše určíme, že strana AP má délku ω + ϕ. Z kosínové věty pro strany potom máme z = cos Ω cos(ω + ϕ) + sin Ω sin(ω + ϕ) cos(π − i) , odkud z = cos Ω cos(ω + ϕ) − sin Ω sin(ω + ϕ) cos i .

(3)

Jestliže β je heliocentrická ekliptikální šířka a λ heliocentrická ekliptikální délka planety, platí pro přidružené kartézské souřadnice planety známé vztahy x = cos β sin λ ; y = sin β ; z = cos β cos λ . Dosazením z (1), (2) a (3) dostaneme cos β sin λ = sin Ω cos(ω + ϕ) + cos Ω sin(ω + ϕ) cos i , sin β = sin(ω + ϕ) sin i ,

(4)

cos β cos λ = cos Ω cos(ω + ϕ) − sin Ω sin(ω + ϕ) cos i . Z těchto rovnic při znalosti veličin i, Ω, ω a ϕ jednoznačně určíme heliocentrické ekliptikální souřadnice β a λ planety v době pozorování. Ze druhé rovnice jednoznačně určíme ekliptikální šířku β, ze třetí rovnice (dvojznačně) poté ekliptikální délku λ. Její jednoznačnou hodnotu upřesníme na základě znaménka sin λ získaného z první rovnice. Přepočet heliocentrických ekliptikálních souřadnic planet na geocentrické Označme polohu středu Slunce S, středu Země Z a středu planety P (obr.4). Vektor ~r nechť vyjadřuje heliocentrickou polohu planety, vektor ~rG geocentrickou polohu planety a vektor ~rZ heliocentrickou polohu Země. Zřejmě platí (obr.4) ~r = ~rG + ~rZ ⇔ ~rG = ~r − ~rZ .

(5)

P rG

r S

rZ

Z

Obrázek 4: Definujeme dále heliocentrické ekliptikální souřadnice Země jako βZ (šířka) a λZ (délka) a k nim přidružené kartézské souřadnice [xZ , yZ , zZ ]. Nakonec ještě definujme geocentrické ekliptikální souřadnice planety jako βG (šířka) a λG (délka) a k nim přidružené kartézské souřadnice [xG , yG , zG ]. Podle (5) zřejmě 5

xG = x − xZ ; yG = y − yZ ; zG = z − zZ .

(6)

Jestliže r je okamžitá vzdálenost planety od Slunce, rZ okamžitá vzdálenost Země od Slunce a rG okamžitá vzdálenost planety od Země, dostáváme vzhledem k souvislostem sférických souřadnic s přidruženými kartézskými (pozor, vzdálenosti nyní nejsou jednotkové), že x = r cos β sin λ ; y = r sin β ; z = r cos β cos λ , xZ = rZ cos βZ sin λZ ; yZ = rZ sin βZ ; zZ = rZ cos βZ cos λZ , xG = rG cos βG sin λG ; yG = rG sin βG ; zG = rG cos βG cos λG . Protože heliocentrická ekliptikální šířka Země je trvale nulová (Země se pohybuje po ekliptice), dostáváme dosazením těchto výrazů do (6) rG cos βG sin λG = r cos β sin λ − rZ sin λZ , rG sin βG = r sin β ,

(7)

rG cos βG cos λG = r cos β cos λ − rZ cos λZ . Umocněním těchto rovnic na kvadrát a jejich sečtením obdržíme 2 rG = (r cos β sin λ − rZ sin λZ )2 + r2 sin2 β + (r cos β cos λ − rZ cos λZ )2 ,

odkud po úpravě rG =

q

r2 + rZ2 − 2rrZ cos β cos(λ − λZ ) .

(8)

Při znalosti veličin r, rZ , β, λ a λZ (to jest při znalosti pravých stran rovnic (7) a (8)) určíme z (8) rG a pak z druhé rovnice (7) jednoznačně βG , ze třetí rovnice (7) dvojznačně λG , které nakonec jednoznačně upřesníme podle znaménka sin λG z první rovnice (7). Budeme tím znát geocentrické ekliptikální souřadnice planety. Poznámka: 1. Z ekliptikálních souřadnic získáme přes známe převodní vztahy (geocentrické) rovníkové souřadnice druhého druhu. Rektascenzi posléze přepočítáme na hodinový úhel, (deklinace se nemění), čímž budeme znát (geocentrické) rovníkové souřadnice prvního druhu planety. Z nich přes známé převodní vztahy získáme (geocentrické) obzorníkové souřadnice planety. Tyto na úplný závěr ve výšce nad obzorem paralakticky posuneme na topocentrický tvar. Topocentrické obzorníkové souřadnice planety budou výstupními parametry algoritmu. 2. Pravou anomálii ϕ planety určíme řešením Keplerovy rovnice a užitím výrazu mezi excenrickou a pravou anomálií. Okamžitou vzdálenost planety od Slunce poté určíme z polární ohniskové rovnice elipsy tvaru r = 1+εpcos ϕ , kde p je parametr elipsy a ε její numerická výstřednost. Analogické parametry můžeme stejným postupem získat i pro Zemi. Zjistíme tím okamžitou vzdálenost Země od Slunce. Ekliptikální délku Země v době pozorování určíme analogickou aplikací Keplerovy rovnice a užitím výrazu mezi excenrickou a pravou anomálií pro doby mezi průchodem Země jarním bodem a periheliem a poté mezi periheliem a okamžitou polohou Země v čase pozorování. 6

Algoritmus určení polohy planety na nebeské sféře Výše popsaný proces uspořádáme do algoritmu výpočtu. Tento jako vstupy obsahuje následujících několik skupin vstupních parametrů: 1. Parametry popisující prostorové uspořádání dráhy planety, tedy parametry i, Ω, ω. 2. Parametry, popisující rozměry a tvar dráhy planety (bez indexu) a Země (s indexem Z), tedy parametry a, aZ , ε, εZ . 3. Časové parametry, popisující pohyb planety (bez indexu) a Země (s indexem Z), tedy parametry T, TZ , tp , tpZ . 4. Zeměpisné souřadnice pozorovacího stanoviště ϕS (šířka) a λS (délka). 5. Doba pozorování τ (datum a čas). 6. Další potřebné konstanty, jejichž výčet je: (a) úhel sklonu roviny ekliptiky od roviny rovníku (zeměpisná šířka obratníků) ε∗ = 23.5o , (b) konstanta, popisující kolikrát plyne hvězdný čas rychleji než sluneční, µ = = 1.00273791, (c) střední poloměr Země RZ = 6373[km], (d) informace o pořadí časového pásma pozorovacího stanoviště p∗ (pro většinu Evropy v době zimního času je p∗ = 1 a v době letního času p∗ = 2), (e) Greenwichský hvězdný čas pro Greenwichskou sluneční půlnoc dne pozorování ΘG (tabelováno ve Hvězdářské ročence pro každý den v roce). Popisovaný algoritmus se skládá pak z následujících bodů: 1. Pro planetu i Zemi určíme doby t a tZ jejich pobytu na jejich trajektoriích od doby posledního průchodu periheliem do času pozorování jako t = τ − tp ; tZ = τ − tpZ . 2. Pro planetu i Zemi určíme aktuální excentrickou anomálii E, resp. EZ numerickým řešením Keplerovy rovnice E − ε sin E = 2π

tZ t ; EZ − εZ sin EZ = 2π . T TZ

3. Pro planetu i Zemi určíme aktuální pravou anomálii ϕ, resp. ϕZ ze vztahů cos ϕ =

cos EZ − εZ cos E − ε ; cos ϕZ = . 1 − ε cos E 1 − εZ cos EZ

4. Pro planetu i Zemi určíme parametr p, resp. pZ jejich eliptické dráhy jako p = a(1 − ε2 ) ; pZ = aZ (1 − ε2Z ) . 7

5. Pro planetu i Zemi určíme aktuální vzdálenost od Slunce (centra) r resp. rZ z polární ohniskové rovnice elipsy tvaru r=

pZ p ; rZ = . 1 + ε cos ϕ 1 + εZ cos ϕZ

6. Z výrazů (4) vypočítáme aktuální heliocentrické ekliptikální souřadnice β a λ planety. 7. Aktuální ekliptikální délku Země λZ určíme ze vztahu λZ = λΠ + ϕZ , kde λΠ je ekliptikální délka zemského perihelia. 8. Z výrazu (8) vypočítáme aktuální vzdálenost rG planety od středu Země. 9. Z výrazů (7) vypočítáme aktuální geocentrické ekliptikální souřadnice βG a λG planety. 10. Určíme aktuální geocentrickou deklinaci δG a rektascenzi αG planety z výrazů cos δG sin αG = cos βG sin λG cos ε∗ − sin βG sin ε∗ , sin δG = cos βG sin λG sin ε∗ + sin βG cos ε∗ , cos δG cos αG = cos βG cos λG . 11. Na zadaném místě pozorování určíme místní hvězdný čas Θ doby pozorování ze vztahu Θ = ΘG + λS + µ(τ − p∗ ) . 12. Aktuální geocentrický hodinový úhel tG planety určíme jako tG = Θ − αG . 13. Určíme aktuální geocentrickou výšku nad obzorem hG a azimut AG planety z výrazů cos hG sin AG = − cos δG sin tG , sin hG = sin δG sin ϕS + cos δG cos tG cos ϕS , cos hG cos AG = − sin δG cos ϕS + cos δG cos tG sin ϕS . 14. Určíme aktuální topocentrickou výšku nad obzorem hT a azimut AT planety z výrazů AT = AG ; hT = hG − RrGZ cos hG . Výstupními parametry algoritmu jsou topocentrické obzorníkové souřadnice planety hT a AT , pomocí kterých planetu na nebeské sféře snadno najdeme. Poznámka: 1. Popsaný postup se hodí nejen na planety, nýbrž na jakákoliv tělesa konající nerušený Keplerovský pohyb kolem Slunce po eliptické dráze s numerickou výstředností dostatečně vzdálenou od jedničky. Hodí se tedy i na asteroidy (planetky) a některé komety. Nehodí se na měsíce planet, protože ty nekonají nerušený Keplerovský pohyb kolem Slunce. 8

2. Pokud by výška hT vyšla blízká nule, bylo by třeba ji ještě opravit (zvětšit) o refrakci podle refrakčních tabulek (viz příslušné téma). 3. Ekliptikální délku zemského perihelia buď doplníme jako další potřebnou konstantu, nebo ji lze určit (řešením Keplerovy rovnice pro Zemi) jako záporně vzatou pravou anomálii pro čas daný rozdílem doby zemského perihelia (4. ledna) a jarní rovnodennosti. Speciální polohy planet, synodická doba oběhu planety Speciální polohy planet popíšeme za zjednodušujících předpokladů kruhovosti drah všech planet v rovině ekliptiky (tedy za předpokladu i = 0 a ε = 0). Tyto předpoklady lze s výjimkou Merkura pro ostatních šest planet s uspokojivou přesností splnit. Definujme nejprve několik potřebných pojmů. Jestliže planeta leží na spojnici Země se Sluncem (viz obr.5), říkáme, že se nachází v syzigii. Jestliže planeta leží na polopřímce vycházející ze Země, na které leží Slunce, říkáme, že se nachází v konjunkci se Sluncem. Leží-li planeta na opačné polopřímce, říkáme, že se nachází v opozici ke Slunci. Z obrázku 5 je zřejmé, že vnější planety (tedy Mars až Neptun) mohou být, za dobu mezi dvěma sousedními stejnými postaveními vzhledem ke Slunci i k Zemi, právě jednou v konjunkci se Sluncem (poloha PK ) a právě jednou v opozici ke Slunci (poloha PO ). Vnitřní planety (Merkur a Venuše) však nemohou být nikdy v opozici, zato však u nich existují dvě polohy konjunkce se Sluncem. Jestliže planeta leží na úsečce spojující Slunce se Zemí, říkáme, že se nachází v dolní konjunkci se Sluncem (poloha PKD ). Jestliže Slunce leží na úsečce spojující planetu se Zemí, říkáme, že planeta se nachází v horní konjunkci se Sluncem (poloha PKH ).

PE Z β PK

PK H

S

PK

β PE

D

Z

P0

V

Obrázek 5: Nachází-li se planeta v konjunkci se Sluncem, nachází se (až na eventuální malou odchylku způsobenou nenulovým parametrem i) ve stejném směru (pro pozemského pozorovatele) jako Slunce. Planeta v této poloze tedy v noci není viditelná. Je-li (vnější) planeta v opozici ke Slunci, nachází se v právě opačném směru než leží Slunce. V době slunečního západu planeta vychází a naopak. Je tedy dobře pozorovatelná prakticky po celou noc. 9

Z obrázku 5 je patrno, že úhlová vzdálenost (pro pozemského pozorovatele) planety od Slunce (tzv. elongace) může pro vnější planetu nabývat libovolné hodnoty z intervalu h 0, π i. Vnitřní planeta se však nemůže úhlově příliš vzdálit od Slunce. Vnitřní planeta tedy je viditelná většinou pouze jako jitřenka (tedy před východem Slunce), nebo jako večernice (tedy po západu Slunce). Největší úhlová vzdálenost vnitřní planety od Slunce je dána úhlem β (tzv. maximální elongační úhel) sklonu tečny ke dráze planety vedené ze Země (obr.5). Tyto polohy jsou dvě (umístěné symetricky vzhledem ke spojnici Země Slunce). Poloha, ve které je planeta v maximální matematicky kladné úhlové odchylce od Slunce, se nazývá východní elongace (poloha PEV ) a opačná poloha se nazývá západní elongace (poloha PEZ ). Protože objekty se s plynoucím časem po nebeské sféře zdánlivě pohybují od východu na západ, plyne z obrázku 5, že v okolí východní elongace se vnitřní planeta chová jako večernice, zatímco v okolí západní elongace jako jitřenka. Vzhledem k platnosti třetího Keplerova zákona vnitřní planety Zemi při svém oběhu předbíhají, zatímco vnější se za ní zpožďují. Pozorovatel spojený se Zemí vnímá právě jen rozdílovou úhlovou rychlost ω = ωZ − ωP pro vnější planetu a ω = ωP − ωZ pro vnitřní planetu. Obecně tedy je ω = |ωZ − ωP |. Doba periody Tsy , příslušející k této úhlové rychlosti, se nazývá synodická doba oběhu planety (synod=setkání). Jestliže Tsi je doba periody příslušející k úhlové rychlosti ωp planety vzhledem k nehybnému pozadí (tzv. siderická doba oběhu planety) a TZ je perioda, příslušející k úhlové rychlosti ωZ Země vzhledem k nehybnému pozadí, dostáváme dosazením do poslední rovnice, že 2π 2π 2π = − , Tsy TZ Tsi

odkud



1 Tsi TZ 1 1 = − . ⇔ Tsy = Tsy TZ Tsi |TZ − Tsi |

Odtud rozšířením zlomku výrazem



1 TZ

(9)

vznikne

Tsy Tsi Tsi′ Tsy Tsi ′ ′ = ⇔ Tsy = ; Tsy = ; Tsi′ = . ′ TZ |TZ − Tsi | |1 − Tsi | TZ TZ

(10)

Čárkované periody (siderická i synodická) označují příslušné periody v jednotkách periody TZ , tedy v siderických letech. V následující tabulce jsou uvedeny siderické i synodické doby oběhu všech planet v siderických letech. Tabulka 2: Planeta Tsi′ ′ Tsy

Merkur Venuše 0.241 0.615 0.318 1.597

Mars Jupiter Saturn Uran Neptun 1.881 11.862 29.456 84.014 164.793 2.135 1.092 1.043 1.012 1.006

Z tabulky je patrno, že synodická doba oběhu planety se od siderického roku liší tím méně, čím je planeta od Slunce vzdálenější. Taková planeta pak za siderický rok uběhne na své dráze pouze nepatrný úhel průvodiče, čímž se uvedená vlastnost vysvětluje. Synodická doba oběhu je tedy také dobou mezi dvěma sousedními průchody planety stejnými významnými body (např. opozicemi, dolními konjunkcemi, západními elongacemi atd.). 10

Protože vnitřní planeta při svém oběhu kolem Slunce Zemi předbíhá, jdou specifické polohy takové planety např. ve sledu: dolní konjunkce (neviditelná), západní elongace (jitřenka), horní konjunkce (neviditelná), východní elongace (večernice) a zpět zase k dolní konjunkci. Vnější planeta naopak se za Zemí zpožďuje, takže za synodickou dobu jejího oběhu jdou specifické polohy takové planety např. ve sledu: konjunkce (neviditelná), pak roste její záporná úhlová vzdálenost od Slunce (jitřenka), opozice (viditelná po celou noc) a poté klesá její kladná úhlová odchylka od směru na Slunce (večernice) zase zpět ke konjunkci. Pro vnitřní planety určíme ještě maximální elongační úhel β. Z obrázku 5 plyne, že z pravoúhlého trojúhelníka SZPE , že r = r′ ⇔ β = arcsin r′ . rZ V tomto vztahu r je poloměr dráhy planety, rZ poloměr zemské dráhy kolem Slunce a r′ poloměr dráhy planety v astronomických jednotkách. Pro Merkur odtud dostáváme ′ rM = 0.387 ⇔ βM = 22o 46′ . Pro Venuši dostáváme rV′ = 0.723 ⇔ βV = 46o 18′ . Merkur se tedy může úhlově odchýlit od Slunce nejvýše o cca 23o . To je důvod, proč je po většinu času tato planeta tak obtížně pozorovatelná. sin β =

Poznámka: Protože reálně jsou dráhy planet eliptické, je naděje (záleží na vzájemném natočení dráhy planety vůči ekliptice), že úhlová odchylka od Slunce může býti i větší než výše vypočítaná. Horní mez této odchylky (jíž planeta nikdy nemůže překonat) se zřejmě určí jako poměr maximální vzdálenosti planety od Slunce (planeta v afeliu) a minimální vzdálenosti Země od Slunce (Země v periheliu). Pak zřejmě je a 1+ε 1+ε a+e = · = a′ · . aZ − eZ aZ 1 − ε Z 1 − εZ V těchto vztazích a a aZ jsou délky hlavních poloos drah planety a Země, e a eZ délkové výstřednosti těchto drah a ε a εZ příslušné numerické výstřednosti. Parametr a′ je délka hlavní poloosy dráhy planety v astronomických jednotkách. Protože εZ = 0.017 a εM =   1.206 = 0.206, dostáváme pro Merkur βsup M = arcsin 0.387 · 0.983 = 28o 21′ . Pro Venuši je sin βsup =





= 47o 47′ . Protože Merkur má ze všech εV = 0.007, takže je βsup V = arcsin 0.723 · 1.007 0.983 planet (zdaleka) nejvýstřednější dráhu, je rozdíl mezi maximálním elongačním úhlem určeným na základě předpokladů kruhovosti drah a úhlem βsup tak značný. U Venuše je tomu zcela naopak. Venuše má totiž ze všech (osmi) planet nejmenší numerickou výstřednost své dráhy.

11