Számrendszerek
A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat. Római számjegyek E számok értéke
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
A római számírás szabályai: 1) Ha az egyik számjegyet többször - de legfeljebb háromszor - egymás után írjuk, azokat össze kell adni: II = 2, XXX = 30, CC = 200, MMM = 3000. 2) Ha nagyobb érték számjegyekt l jobbra kisebb érték áll, akkor ezeket össze kell adni a nagyobb számjeggyel. A kisebb érték számjegy ismétl dhet is: XII = 12, LXXXVII = 87, MDCCLXVI = 1766. 3) Ha kisebb érték számjegy áll a nagyobb érték számjegyt l balra, akkor a kisebb érték számjegyet ki kell vonni a nagyobb érték l. Ekkor nem ismétl dhet a kisebb érték számjegy: XL = 40, XC = 90, IV = 4, IX = 9, ID = 499, EM = 999. 4) Nem vonható ki, és nem ismételhet meg a V, L és D. 5) Az I csak V és X el tt állhat azért, hogy leírhassuk az egyeseket. Az X csak L és C el tt állhat azért, hogy leírhassuk az tízeseket. A C csak D és M el tt állhat azért, hogy leírhassuk az százasokat. Például. 99 = XCIX és nem IC; 1999 = MCMXCIX és nem MIM. 6) A 3999-nél nagyobb számoknál az ezreseket jelöl számcsoport után írunk egy m bet t, vagy azok fölé húzunk egy vonalat, a milliósok fölé két vonalat stb.: XXImDCXII = 21612, ÍVC -4100, 2QCDXDC = 11410600. Könnyen belátható, hogy ez a számképzési szabály, túl nagy számok esetén, körülményes. A tízes számrendszerben való számíráskor tízesével csoportosítunk. Ez azt jelenti, hogy tíz alacsonyabb rend csoport alkot egy magasabb rend csoportot. Vagyis tíz db egyes = egy tízes, tíz db tízes = egy db százas, és így tovább. Tehát az egységrendek: egyesek, tízesek, százasok, ezresek, tízezresek, százezresek, milliósok, tízmilliósok, százmilliósok, milliárdosok, tízmilliárdosok, százmilliárdosok. Az egységrendek hármasával csoportosítva osztályokat alkotnak. Minden harmadik egységrend egyben az illet osztály nevét is adja: egyesek, ezresek, milliósok, milliárdosok. Az ezt követ megnevezések nem egységesek. Magyarországon így következnek: milliárd, billió, billiárd, trillió, … Romániában: milliárd, trillió, kvatrillió, kvintillió,… következik. A szakirodalom ezen „nagy számok” esetén kerüli a megnevezéseket, tíz hatványaival jelöli a számok nagyságrendjét. Minden helyiértékes számírás esetén a számjegyeknek van: alaki értékük, helyi értékük (az illet számban melyik egységrend helyén állnak), a kett együtt adja az illet számjegy valódi értékét. Az is megjegyzend , hogy a tízesével való csoportosításból értelemszer en adódik, hogy a számok írásához tíz számjegyet használunk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Más alapú számrendszerek A nem tízes számrendszerben, a megalkotás módja analóg a tízes számrendszerével. Ha a 3-as számrendszerben dolgozunk, akkor 3 egyes alkot egy magasabb rend csoportot, egy I. rend csoportot, egy hármast (ez lesz a tízesek megfelel je). 3 tízes alkot egy II. rend csoportot, egy 9-est (3·3 = 9) (ez lesz a százasok megfelel je). És így tovább. Nézzük mindezt egy példával. Legyen a szám a 23. Ábrázoljuk és írjuk fel a megadott mennyiséget rendre a tízes, hármas és kettes számrendszerben.
a.)A 23 felírása a tíz többszörösei segítségével: 23 2 10 3 vagyis ha van 23 darab pont, akkor abból tízesével csoportosítva 2 db tízes csoport lesz és még megmarad 3 db pont, tehát ez számjegyekkel leírva a 23-as számot eredményezi. b.)Mi lesz a 23 szám hármas számrendszerbeli alakja? Ha a 23 pontot hármasával csoportosítjuk, el ször is lesz 7 db hármas csoport (lásd a kis karikákat). Másképpen: 23:3=7, kimarad 2 pont, vagyis 2 egyes. De 3 db „tízes” (így nem nevezhetem, mert nem 10-et ér!) (3 pontot tartalmazó kis karika) alkot egy nagyobb karikát, vagyis egy „százast”. Ennek a pontos megnevezése 9-es, vagy 3·3-as, vagy II. rend egység Ilyenb l a rajzon két db van, mert ezeket az el leg kapott 7 tízes csoportosításával alakítottuk ki. Osztással: 7:3=2, marad 1 (tízes). Mivel nincs legalább 3 db II. rend egységünk, azaz 9-es csoportunk, „százasunk”, itt megállunk a csoportosítással, tehát megkaptuk a 23-as szám 3-as számrendszerbeli alakját: 212 ( 3) .
Kiolvasása „kett egy kett a 3-as számrendszerben”. Ha eltekintünk a rajztól és az elvégzett osztásokat egymás mellé helyezzük, az utolsó hányados és „hátulról eléfelé” mellé írva a maradékokat, megkapjuk az el leg már felírt 212 ( 3) alakot: 23 : = 7 7:3=2 2 1 Tehát 23 = 212 ( 3) . c.) Most keressük meg a 23 kettes számrendszerbeli alakját. Készítsünk rajzot! Ha a 23-at kettes számrendszerbe írjuk el ször 11 db 2-es csoportot lehet kialakítani és kimarad ebb l 1. 23:2=11, m=1. (Kérem ezt rajzon ellen rizni!) A 11 db kettes csoportból kettesével 5 db négyes csoportot lehet kialakítani és megmarad 1 kettes csoport. 11:2=5, m=1. Az 5 db négyes csoportból lesz 2 db nyolcas csoport, 2 db III. rend egység, megmarad 1 négyes csoport. 5:2=2, m=1. A két db nyolcas csoport viszont egy tizenhatos csoportot alkot, nyolcas csoport nem marad ki a csoportosításból. 2:2=1, m=0. Tehát így az 10111( 2) számot kaptuk. Ha az osztásokat folyamatosan egymás mellé írjuk, az átalakítás így néz ki: 23 : 2 = 11 11 : 2 = 5 5:2=2 2:2=1 1 1 1 0 Tehát a bekeretezett számjegyeket jobbról balra haladva írjuk egymás után és megkapjuk 10111( 2) alakot, ami a 23-as szám kettes számrendszerbeli alakja. Megjegyzés Figyeljük meg, milyen számjegyek fordulnak el a hármas számrendszerben, milyenek a kettes számrendszerben. Az átalakítás módjából adódik, hogy egy tetsz leges k alapú számrendszerben dolgozva a számrendszer számjegyei 0-tól (k-1)-ig terjednek, lévén hogy ezeket k-val való osztások maradékaiként kapjuk és az osztásokat addig végezzük, amíg az osztandó kisebb nem lesz az osztónál, ami egyben a számrendszer alapszáma (alapja) is. A tízes számrendszerb l egy másikba való átírás módja mutatja a visszaalakítást is. Nézzük ezt meg el ször a hármas számrendszerbe átírt 23 esetében. Ha a 23 = 212 ( 3) kialakítási módját figyeljük, látható hogy a szám áll 2 db II. rend csoportból (2 darab 9-esb l, 2 db 3²-ból) 1 db I. rend csoportból (1 db 3-asból) 2 db egyesb l. Összefoglalva: 222 ( 3) = 2 3 2 1 31 2 18 3 2 23 A kettes számrendszerben: 10111( 2 ) Megjegyzés
1 24
0 2 3 1 2 2 1 21 1
23
-Ha a tízes számrendszerben egy számot a 10 hatványaival írhatunk föl, ezt egészen természetesnek tekintjük. A k alapú számrendszer kialakításának a módjából adódik tehát, hogy egy tetsz leges szám k rendszerbeli bontott alakjában a k hatványai szerepelnek, vagyis: a n a n 1 ...a1 a0 ( k ) a n k n a n 1 k n 1 ... a1 k a 0 . -Ha pl. k = 10, akkor a megnevezésük: egyesek, tízesek, százasok = 10², ezresek = 10³,… -Ha pl. k = 2, akkor a megnevezésük: egyesek, 2-esek, 2² = 4-esek, 2³ = 8-asok, … Pl. Alakítsuk át tízes számrendszerbe a következ számot, majd visszaalakítással ellen rizzük az átalakítás helyességét: 320154 (6 ) . 320154 ( 6)
3 65
2 64
23328 2592 70
0 63 1 62
5 61
4
3 7776 2 1296 36 30 4
25990
A visszaalakítása 6-os számrendszerbe: 4331 : 6 = 721 25 990 : 6 = 4331 4 5
721 : 6 = 120 1
120 : 6 = 20 0
20 : 6 = 3 2
veletek a különböz alapú számrendszerekben A nem tízes alapú számrendszerekben a m veletek elvégzésének algoritmusa ugyanaz, mintha 10es számrendszerben dolgoznánk. Csupán a helyérték átlépésekre kell figyelni. Mind a négy alapm veletet konkrét példán mutatjuk be, magyarázattal. Összeadás Tehát az összeadásban a szokásos módon jobbról balra haladunk: 2+1=3, leírom a 0-t az egyesek helyére, megy tovább az 1. 1 2 2 21 3 1+0+2=3, leírom a 0-t (a 3-asok helyére), megy tovább az 1. 1+1+2=4, leírom az 1-et (a 3²-osok helyére), megy tovább az 1. 11 2 1 0 0 (3) 1+2+2=5, leírom a 2-t (a 3³-osok helyére), megy tovább az 1. 1+2+1=4, leírom az 1-et (a 3 4 -esek helyére)és leírom az 1-et az el tte való egységrend helyére (a 35 -esek helyére). Kiolvasom az összeget. 1 1 1 1
2 21 0 2 (3 )
Az összeadás helyességét ellen rizend , az összeadandókat átírjuk 10-es számrendszerbe, elvégezzük az összeadást, majd az összeget visszaírjuk 3-as számrendszerbe. Próbáljuk ezt önállóan elvégezni. 22102 (3) 12221(3)
2 34 1 34
2 33 1 3 2 2 33
2 32
2 162 54 11
227
2 3 1 81 54 18 7 160
227 160 387 387 : 3 129, m 0, 129 : 3 43, m 0, 43 : 3 14, m 1, 14 : 3 387 112100 ( 3) Tehát az összeadást helyesen végeztük el.
4, m
2, 4 : 3 1, m 1
Végezzük el a következ összeadásokat önállóan. Ha szükséges, itt következik a példák megoldása is: 4424 (5) 3442 3214 7607 (8) 4677 5137
2 1 2 1 1 2
4 4 2 4 ( 5)
7 6 0 7 (8)
3442 3 21 4
4677 513 7
2 21 4 0 5
21 6 4 5(8 )
Kivonás 0-3-at, nem lehet. Az 1 db négyest felbontjuk 4 db egyesre, 4-3=1, leírjuk az egyesek helyére. Az I. rend egység helyén 0 db négyes maradt. 2 3 2 3(4) 0-2-t, nem lehet. 1 1 0 2 1( 4 ) A felbontásig el re kell mennünk a IV. rend egységekig. A 2 db 2 4 egyikét felbontjuk 4 db III. rend egységgé, tehát 1db IV rend egység marad. Ebb l 1 db III. rend egységet felbontunk 4 db II. rend egységre (marad tehát 3 db III. rend egység). A 4 db II. rend egység egyikét felbontjuk 4 db I. rend egységre (marad tehát 3 db II. rend egység). 4-2=2, leírjuk az I. rend egységek helyére. 2 0 01 0 ( 4 )
A II. rend egységek helyén maradt 3 db. 3-3=0, leírjuk a 0-t a II. rend egységek helyére. A III. rend egységek helyén maradt 3 db. 3-2=1, leírjuk a III. rend egységek helyére. A IV. rend egységek helyén 1 db maradt. 1 magában 1, leírjuk az 1-et a IV. rend egységek helyére. -Az ellen rzést az összeadáshoz hasonlóan végezzük el. 20010 ( 4) 2323( 4)
2 44 1 4 2 43
3 42
2 256 4
516
2 4 3 128 48 11 187
516 187 329 329 : 4 82, m 1, 82 : 4 20, m 2, 20 : 4 329 11021( 4) Az eredmény egyezik, tehát a kivonás helyes. -Végezzük el a következ kivonásokat: 1000100 ( 2) 111111
1 0 0 0 10 0 ( 2 ) 11 1111 101( 2) Szorzás
8 0 0 1( 9) 787 6 1 4 (9)
5, m
8001(9)
0, 5 : 4 1, m 1
7876
A részszorzatok: 5x5=25, leírom az 1-et, megy tovább a 4. 2 2 0 51 5x5+4=29, leírom az 5-öt, megy tovább a 4. 12 2 5 3 5x4+4=24, leírom a 0-t, megy tovább a 4. 5x2+4=14, leírom a 2-t, leírom a 2-t. 1 51 5 2 A második részszorzat: 21 04 2 21( 6) 3x5=15, leírom a 3-at, megy tovább a 2. 3x5+2=17, leírom az 5-öt, megy tovább a 2. 3x4+2=14, leírom a 2-t, megy tovább a 2. 3x2+2=8, leírom a 2-t, leírom az 1-et. A harmadik részszorzat: 4x5=20, leírom a 2-t, megy tovább a 3. 4x5+3=23, leírom az 5-öt, megy tovább a 3. 4x4+3=19, leírom az 1-et, megy tovább a 3. 4x2+3=11, leírom az 5-öt, leírom az 1-et. A részszorzatokat összeadjuk, így a szorzat 2104221(6) . 2 4 5 5( 6) 435( 6)
-Ellen rizzük a szorzás helyességét. Az ellen rzés most is úgy történik, hogy a tényez ket átírva 10-es számrendszerbe, így végezzük el a szorzást, majd a kapott szorzatot visszaalakítjuk a 6-os számrendszerbe. 2455 (6 ) 2 6 3 4 6 2 5 6 5 432 144 30 5 611
435 (6 )
4 62
3 6 5 144 18 5 167
61 1 1 6 7 61 1 36 66 4 277 10 2 0 3 7 102037 : 6 17006, m 1, 17006 : 6 2834, m 2, 472 : 6 78, m 4, 78 : 6 13, m 0, 13 : 6 102037 2104221( 6) Tehát valóban visszakaptuk az el szorzás eredményét.
2834 : 6 2, m 1
472, m
2,
Még két példa. Végezzük el a szorzásokat: 652 (7 ) 345 221022 (3) 212 652 ( 7 ) 345
221022 (3) 212
4553 3601 261 6
1212 121 2 21 0 2 2 1212121
33546 3
210112211
Osztás Mivel az osztás egyenl sége, (a maradékos osztás tétele): O o h m, 0 m o, o bármely számrendszerben, ezért az osztások próbáit ez alapján fogjuk elvégezni.
0 , érvényes
400214 (5) : 43
4141
332
próba :
4141 43
23023
132
32214
43
400213
341 332 44 43
400213 1
1
400214 (5)
A hányados számjegyeinek megkeresésekor próbálkozunk: 40-ben a 43 nincsen meg, tehát 43 4 , tehát ez jó, aláírjuk és kivonjuk. próbáljuk 400-ban. 332 43 2 132-ben keressük a 43-at. , ez nem jó, tehát csak 1-szer van meg. 141 Tovább már az el ek alapján adódik az osztás maradék része. -Végezzük el a következ osztásokat, valamint próbájukat szorzással: 210345 (6 ) : 445 213570 (8) : 65 210345 (6 ) : 445
242
1334
próba : 445 242 1334
3254 3112
3112 1334
1425 1334
210254 210254
51
51 210345 ( 6)
213570 (8) : 65 152
2505
próba : 2505 65 15131
415
17636
411
213511
470 411 57
213511 57 213570 (8)
Megjegyzés A fenti m veletek elvégzésére koncentrálva egy kis empátiával ízelít t kaphatunk abból, hogy milyen nehézségekkel kell megküzdenie, f leg a kicsit gyengébb képesség alsós gyereknek akkor, amikor a m veletek elvégzésének algoritmusát kell megértenie és bevésnie. Ezért a számrendszerekkel való munkát egy kicsit empátiafejleszt tréningnek is tekinthetjük, de mindenképpen fejleszti a koncentrációt és mélyíti a m veletvégzés algoritmusát.
