STG Statistika pro geografy

Doplneˇnı´ korelacˇnı´ analy´zy Regresnı´ analy´za

KGG/STG Statistika pro geografy 10. Regresnı´ analy´za

Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015

10. Regresnı´ analy´za

KGG/STG Statistika pro geografy


Nelinea´rnı´ za´vislost - korelacˇnı´ pomeˇr uzˇitı´ v prˇ´ıpadeˇ, kdy regresnı´ cˇa´ra nenı´ prˇ´ımka, ale je vyja´drˇena slozˇiteˇjsˇ´ı matematickou funkcı´ prvky vy´beˇru za´visle promeˇnne´ yi rozdeˇlı´me podle hodnot neza´visle promeˇnne´ xi do skupin oznacˇenyćh yj a pro kazˇdou skupinu se vypocˇı´ta´ pru˚meˇr y¯j korelacˇnı´ pomeˇr se vypocˇı´ta´ podle vztahu s s ¯ ¯ ( y − y ) · n ∑ j ∑(y¯ j nj − ny¯ )2 j = ηyx = ∑(yi − y¯ )2 ∑ yi2 − ny¯ 2 nj je cˇetnost v yj porovnańı´ hodnot korelacˇnı´ho koeficientu a korelacˇnı´ho pomeˇru lze pouzˇ´ıt jako krite´ria linearity vztahu 10. Regresnı´ analy´za



Koeficient mnohona´sobne´ korelace vztah dvou promeˇnnyćh je cˇasto ovlivneˇn dalsˇ´ımi promeˇnny´mi - chceme zjistit celkovou sı´lu vztahu mezi zvolenou promeˇnnou na jedne´ straneˇ a neˇkolika dalsˇ´ımi promeˇnny´mi pro hodnocenı´ korelacˇnı´ za´vislosti trˇ´ı nebo vıće vy´beˇru˚ na´hodnyćh velicˇin - koeficient mnohona´sobne´ korelace vyjadrˇuje cˇı´selneˇ mı´ru predikce cı´love´ promeˇnne´ X pomocı´ promeˇnnyćh Y a Z v u 2 2 − 2r · r · r u rxz + ryz xy xz yz rx.yz = t 2 1 − rxy 10. Regresnı´ analy´za



Parcia´lnı´ korelacˇnı´ koeficient zaby´va´ se ota´zkou vlivu jedne´ nebo vıće neza´visle promeˇnnyćh na za´visle promeˇnnou prˇi vyloucˇenı´ vlivu zby´vajıćıćh neza´visle promeˇnnyćh, u nichzˇ prˇedpokla´da´me konstantnı´ hodnotu tento koeficient lze povazˇovat za zvla´sˇtnı´ prˇ´ıpad koeficientu mnohona´sobne´ korelace, kdy dalsˇ´ı promeˇnne´ povazˇujeme za „rusˇive´“ rxy − rxz · ryz rxy.z = q 2 ) · (1 − r 2 ) (1 − rxz yz prˇ´ıkladem z le´karˇske´ praxe mohou by´t promeˇnne´ veˇk, krevnı´ tlak a koncentrace cholesterolu v krvi u zˇen (parametr veˇku bereme jako rusˇivy´ element) 10. Regresnı´ analy´za



Korelacˇnı´ pole

bodovy´ graf zna´zornˇujıćı´ obeˇ na´hodne´ velicˇiny (za´visle promeˇnnou na ose x a neza´visle promeˇnnou na ose y pomocı´ tohoto grafu lze posoudit dvourozmeˇrnou normalitu dat (prˇi dostatecˇneˇ velke´m pocˇtu pozorovańı´ by meˇly body tvorˇit elipsu)




Korelacˇnı´ pole




Metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚, regresnı´ prˇ´ımka Testovańı´ vy´znamnosti regresnı´ za´vislosti Nelinea´rnı´ regresnı´ funkce Hledańı´ vhodne´ho regresnı´ho modelu

Regresnı´ analy´za - u´vod jizˇ se nejedna´ o urcˇenı´ sı´ly za´vislosti statistickyćh znaku˚ (korelacˇnı´ analy´za), ale o urcˇenı´ druhu za´vislosti u´kolem je tedy sestavit vztah (model) za´vislosti mezi za´visle a neza´visle promeˇnnou regresnı´ analy´za se zaby´va´ odhadem nezna´myćh parametru˚ regresnı´ funkce, testovańı´m hypote´z o teˇchto parametrech a take´ oveˇrˇovańı´m prˇedpokladu˚ regresnı´ho modelu prˇedevsˇ´ım se budeme veˇnovat linea´rnı´ regresnı´ za´vislosti (regresnı´ prˇ´ımkou) 10. Regresnı´ analy´za




Linea´rnı´ regresnı´ za´vislost

nejjednodusˇsˇ´ı prˇ´ıpad regresnı´ za´vislosti - prˇ´ımka y´ = a + bx symbol y´ se pouzˇ´ıva´ pro oznacˇenı´ nejpravdeˇpodobneˇjsˇ´ı teoreticke´ hodnoty y odpovı´dajıćı´ dane´mu x - hodnoty, ktera´ „lezˇ´ı“ na regresnı´ prˇ´ımce (veˇtsˇinou se tato hodnota odlisˇuje od konkre´tnı´ hodnoty yi nacha´zejıćı´ se mimo prˇ´ımku) vyvsta´va´ ota´zka: jak urcˇit rovnici regresnı´ prˇ´ımky?





Metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ urcˇuje pru˚beˇh regresnı´ prˇ´ımky - jejı´ parametry urcˇujıćı´ podmıńka: soucˇet cˇtvercu˚ vzda´lenostı´ vsˇech bodu˚ pole od prˇ´ımky musı´ by´t minima´lnı´, tj.:

∑(yi − yí )2 = min





Metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ vy´pocˇet vertika´lnı´ vzda´lenosti bodu˚ korelacˇnı´ho pole od regresnı´ prˇ´ımky se prova´dı´ podle prˇedchozı´ho obra´zku vzda´lenost konkre´tnı´ hodnoty za´visle promeˇnne´ yi od bodu regresnı´ prˇ´ımky yí musı´ platit vztah: yi − yí = yi − a − bxi soucˇet cˇtvercu˚ „svislyćh“ vzda´lenostı´ yi od regresnı´ prˇ´ımky je potom

∑(yi − yí )2 = ∑(yi − a − bxi )2 = A pro metodu nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ musı´ platit A = ∑(yi − a − bxi )2 = min 10. Regresnı´ analy´za




Vy´pocˇet koeficientu˚ regresnı´ prˇ´ımky ´ pravami vztahu˚ dostaneme vy´razy pro vy´pocˇet U koeficientu˚ regresnı´ prˇ´ımky: ¯ ∑ xi yi − nxy 2 ∑ xi − nx¯ 2 Tento koeficient je smeˇrnicı´ prˇ´ımky (tangenta u´hlu, ktery´ svı´ra´ prˇ´ımka s osou x. b=

a = y¯ − b x¯ Uda´va´ pru˚secˇı´k prˇ´ımky a osy y. 10. Regresnı´ analy´za




Vy´pocˇet koeficientu˚ regresnı´ prˇ´ımky

Vy´pocˇet koeficientu b lze zjednodusˇit pomocı´ vztahu˚ pro kovarianci a smeˇrodatnou odchylku, tedy: b=


Sxy Sx2




Intervaly a pa´sy spolehlivosti linea´rnı´ regresnı´ za´vislosti regresnı´ prˇ´ımku konstruujeme z dat vy´beˇrove´ho souboru z tohoto du˚vodu se mohou rovnice te´to prˇ´ımky lisˇit pro ru˚zne´ na´hodne´ vy´beˇry ze stejne´ho za´kladnı´ho souboru obdobneˇ jako bodovy´ a intervalovy´ odhad parametru˚ za´kladnı´ho souboru funguje i regresnı´ prˇ´ımka doplneˇnı´ pru˚beˇhu regresnı´ prˇ´ımky intervalem spolehlivosti - prˇi vykreslenı´ vzniknou „pa´sy spolehlivosti“ urcˇujeme interval v neˇmzˇ se pro dane´ x s danou pravdeˇpodobnostı´ bude nacha´zet i hodnota y prˇ´ıslusˇna´ hodnoteˇ x 10. Regresnı´ analy´za




Intervaly a pa´sy spolehlivosti linea´rnı´ regresnı´ za´vislosti zvolı´me mı´ru spolehlivosti pro pa´sy spolehlivosti polovicˇnı´ sˇ´ırˇka tohoto intervalu je dańa vztahem √ h A l = t1 − α ( n − 2 ) · √ , n−2 s (x − x¯ )2 kde h = n1 + (n − 1)Sx2 hodnota t1−α (n − 2) je hodnota kvantilu Studentova t rozdeˇlenı´ 1 − α pro n − 2 stupnˇu˚ volnosti 10. Regresnı´ analy´za




Pa´sy spolehlivosti Dolnı´ mez: y´ − l Hornı´ mez: y´ + l





Testovańı´ vy´znamnosti regresnı´ za´vislosti k testovańı´ lze vyuzˇ´ıt jednovy´beˇrove´ho t-testu (nulova´ hypote´za bude tvrdit, zˇe se smeˇrnice prˇ´ımky b nelisˇ´ı vy´znamneˇ od nuly) cˇasteˇji pouzˇ´ıva´me ale analy´zu rozptylu zjistı´me celkovou variabilitu hodnot y vypocˇı´ta´me, z kolika procent je tato celkova´ variabilita vysveˇtlena variabilitou hodnot x celkova´ variabilita: celkova´ suma cˇtvercu˚ odchylek hodnot od pru˚meˇru rozdeˇlı´me ji na variabilitu regresnı´ (tj. vysveˇtlena regresnı´ prˇ´ımkou) a variabilitu rezidua´lnı´ (tj. zbytkovou nevysveˇtlenou regresnı´m modelem)





Testovańı´ vy´znamnosti regresnı´ za´vislosti konkre´tnı´m zpu˚sobem se vsˇak jizˇ nebudeme zaby´vat (postacˇı´ postup v syste´mu STATISTICA)





Prˇ´ıklad Prˇ´ıklad z prˇedna´sˇky Korelacˇnı´ analy´za Jaka´ je za´vislost mezi pH pu˚dy na vy´sypkaćh a pocˇtem rostlinnyćh druhu˚?





ˇ esˇenı´ R

Statistiky–Vıćena´sbona´ regrese volba promeˇnnyćh - za´visle a neza´visle promeˇnna´ Vy´pocˇet: Vy´sledky regrese OK, na za´lozˇce Bodove´ grafy–Korelace 2 promeˇnnyćh - vykreslenı´ grafu korelacˇnı´ho pole s pa´sy spolehlivosti a regresnı´ prˇ´ımkou





Dalsˇ´ı typy regresnıćh funkcı´ - nelinea´rnı´





Hledańı´ vhodne´ho regresnı´ho modelu Postupovat lze dveˇma zpu˚soby: volba vhodne´ho modelu na za´kladeˇ prakticke´ zkusˇenosti cˇi teoretickyćh prˇedpokladu˚ posouzenı´m bodove´ho grafu a interpretacı´ na´stroju˚ regresnı´ analy´zy Zpu˚soby hodnocenı´ vhodnosti regresnı´ho modelu: analy´za rezidua´lnıćh hodnot vy´pocˇet smeˇrodatne´ chyby odhadu vy´pocˇet koeficientu determinace





Analy´za rezidua´lnıćh hodnot

rezidua jsou vzda´lenosti skutecˇnyćh hodnot yi od modelem odhadnutyćh hodnot yí model je vhodny´, pokud rezidua´lnı´ hodnoty splnˇujı´ na´sledujıćı´ podmıńky 1 2

rezidua jsou na´hodna´ a neza´visla´ majı´ norma´lnı´ rozdeˇlenı´ s nulovy´m pru˚meˇrem a konstantnı´m rozptylem





Smeˇrodatna´ chyba odhadu

vyjadrˇuje smeˇrodatnou odchylku, resp. rozptyl rezidua´lnıćh hodnot a je vhodnou mı´rou pro posouzenı´ vhodnosti pouzˇite´ regresnı´ za´vislosti cˇı´m je hodnota rezidua´lnı´ho rozptylu nizˇsˇ´ı, tı´m je model vhodneˇjsˇ´ı s ∑ni=1 (yi − yí )2 se = n−2





Koeficient determinace

zavedli jsme jej jizˇ drˇ´ıve (korelacˇnı´ pocˇet) cˇı´m je hodnota koeficientu determinace veˇtsˇ´ı, tı´m je model vhodneˇjsˇ´ı r2 =


SSregres SStotal




Vıćerozmeˇrna´ regrese

popisuje za´vislost vıće promeˇnnyćh vysveˇtlujıćıćh jednu promeˇnnou v prˇ´ıpadeˇ, zˇe ma´me dveˇ vysveˇtlujıćı´ promeˇnne´, tak je regresnı´ model rovinou odhad parametru˚ se opeˇt prova´dı´ pomocı´ metody nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ y´ = a + b1 x1 + b2 x2 + . . .





Deˇkuji za pozornost...



STG Statistika pro geografy

Recommend Documents