JMP : Volume 1 Nomor 2, Oktober 2009
SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BOLTZMANN LINEAR Agus Sugandha Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Jenderal Soedirman Purwokerto, Indonesia Email :
[email protected] ABSTRACT. In this research, it will be discussed the way to find the solution of linear Boltzmann differential equation. The solution of linear Boltzmann differential equation is a fixed point of Markov Operator. Keywords. Boltzmann differential equation, Markov Operator, fixed point.
1. PENDAHULUAN Banyak metode untuk mencari solusi dari suatu persamaan diferensial. Akan tetapi secara umum adalah sulit untuk mencari solusi umum dari suatu persamaan diferensial. Pada tulisan ini akan dibahas bagaimana mencari solusi dari persamaan diferensial Boltzmann linear. Sedangkan proses untuk mendapatkan persamaan diferensial Boltzmann linear dapat dilihat di Lasota dan Mackey (1994). 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Sebelum membahas solusi dari persamaaan Diferensial Boltzmann linear terlebih dahulu diberikan konsep teori ukuran dan integral Lebesgue.
2.1 Ukuran dan Ruang Ukuran Definisi 2.1.1 (Royden, 1989). Diberikan X himpunan tak kosong. Yang dimaksud dengan aljabar σ himpunan pada X adalah suatu koleksi A ⊂ 2 X yang tertutup terhadap operasi komplemen dan gabungan terhitung, yaitu jika memenuhi sifat-sifat berikut : (a) Jika A ∈ A maka Ac ∈ A (b) Jika {Ai } ⊂ A maka
∞
U A ∈ A. i
i =1
A. Sugandha
18
Selanjutnya pasangan himpunan X ≠ φ dan suatu aljabar - σ himpunan A ⊂ 2 X pada X , ditulis ( X , A), disebut ruang terukur (measurable space) dan setiap anggota ruang terukur ( X , A) disebut himpunan terukur.
Definisi 2.1.2 (Royden, 1989). Diberikan ruang terukur
(X ,
A). Fungsi
himpunan µ : A → R disebut ukuran (measure) pada ruang terukur ( X , A), jika memenuhi sifat-sifat berikut : (a) µ (φ ) = 0 (b) µ ( A) ≥ 0 untuk setiap A ∈ A (c) Jika {Ak } ⊂ A merupakan barisan himpunan-himpunan yang saling asing maka berlaku ∞ ∞ µ U Ak = ∑ µ ( Ak ) . k =1 k =1 Selanjutnya jika µ suatu ukuran pada ruang terukur ( X , A) maka ( X , A, µ ) disebut ruang ukuran (measure space). Jika A ∈ A maka µ ( A) disebut ukuran himpunan A . Definisi 2.1.3. Ruang ukuran ( X , A, µ ) dikatakan σ -finite jika terdapat barisan
{Ak } ⊂
∞
A yang memenuhi X = U Ak dan µ ( Ak ) < ∞ untuk setiap k . k =1
2.2 Operator Markov dan Operator Perron Frobenius Definisi 2.2.1. Diberikan (X , A, µ ) ruang ukuran lengkap dan σ -finite. Setiap operator linear P : L1 → L1 yang memenuhi : (a) Pf ≥ 0 untuk setiap f ∈ L1 , f ≥ 0 (b)
Pf
L1
= f
L1
dengan f
L1
= ∫ f dµ disebut operator Markov. X
Solusi Persamaan Diferensial
19
Definisi 2.2.2. Diberikan (X , A, µ ) ruang ukuran lengkap dan σ -finite, dan P : L1 → L1 operator Markov. Fungsi f ∈ L1 dikatakan titik tetap ( fixed point) P jika berlaku Pf = f . Definisi 2.2.3 (Lasota dan Mackey, 1994). Diberikan (X , A, µ ) ruang ukuran lengkap dan σ -finite. Transformasi terukur (measurable) S : X → X dikatakan
(
)
nonsingular jika µ S −1 ( A) = 0 untuk setiap A ∈ A dengan µ ( A) = 0 . Definisi 2.2.4 (Lasota dan Mackey, 1994). Diberikan (X , A, µ ) ruang ukuran dan S : X → X transformasi nonsingular. Operator
lengkap dan σ -finite,
PS : L1 → L1 yang memenuhi
∫P
S
fdµ =
A
∫ fdµ
untuk setiap A ∈ A
S −1 ( A )
disebut operator Perron-Frobenius yang bersesuaian dengan S.
Definisi 2.2.5.
{Tt }t ≥0
Diberikan operator Tt : L p → L p , 1 ≤ p ≤ ∞ , t ≥ 0 . Keluarga
disebut semigrup operator linear kontraksi (semigrup kontraksi) jika Tt
memenuhi kondisi berikut : (a) Tt (λ1 f1 + λ2 f 2 ) = λ1Tt f1 + λ2Tt f 2 untuk setiap f1 , f 2 ∈ Lp , λ1 ,λ2 ∈ R (b) Tt f ≤ f
Lp
untuk setiap f ∈ Lp
(c) T0 f = f untuk setiap f ∈ Lp (d) Tt +t ' = Tt (Tt ' f ) untuk setiap f ∈ Lp . Jika lim Tt f − Tt0 f t →t 0
Lp
= 0 maka semigrup ini dikatakan kontinu.
A. Sugandha
Definisi
2.2.6.
Operator
A : D(A) → Lp ,
20
1≤ p ≤ ∞
dengan
Tt f − f ada dan konvergen kuat } t →0 t disebut dengan operator infinitesimal.
{
D(A) = f ∈ Lp / Af = lim
Berikut ini adalah Teorema Hille Yosida dan Akibatnya. Teorema 2.2.7. Diberikan A : D(A) → Lp operator linear dengan D(A) ⊂ Lp adalah subruang linear di Lp . Operator A adalah infinitesimal untuk semigrup kontraksi dan kontinu, adalah perlu dan cukup bahwa tiga kondisi berikut dipenuhi : a) D(A) adalah rapat di Lp , yaitu setiap titik di Lp adalah limit kuat dari barisan titik D(A) b) Untuk setiap f ∈ Lp terdapat solusi tunggal g ∈ D(A) dari persamaan resolven λg − Ag = f c) Untuk setiap g ∈ D(A) dan λ > 0 berlaku λg − Ag
Lp
≥λ g
Lp
,
sehingga jika A memenuhi (a)-(c) maka semigrup yang berkaitan dengan A adalah tunggal dan diberikan oleh
Tt f = lim e tAλ f , f ∈ Lp λ →∞
dengan Aλ = λARλ dan Rλ f = g (operator resolven) adalah solusi tunggal dari λg − Ag = f . Akibat 2.2.8. Diberikan A : D(A) → Lp adalah operator yang memenuhi (a)-(c) dari teorema Hille Yosida. Jika solusi Rλ f = g dari (2.2.7) sedemikian sehingga
λRλ adalah operator Markov, maka {Tt }t ≥0 dibangkitkan oleh semigrup kontinu dari operator Markov.
Solusi Persamaan Diferensial
Untuk λRλ operator Markov cukup diperiksa untuk
21
kondisi (a) dan (b) dari
teorema Hille-Yosida , untuk kondisi (c) otomatis dipenuhi. Karena dengan mengambil f = λg − Ag , ketidaksamaan
f
Lp
≥ λRλ f
Lp
selalu dipenuhi jika
λRλ operator Markov.
2.3 Solusi Persamaan Diferensial Boltzmann Linear
Suatu persamaan diferensial yang berbentuk ∂u (t , x) = −u (t , x) + Pu (t , x) ∂t
(2.3.1)
dengan kondisi awal u (0, x) = f ( x) , disebut dengan persamaan diferensial Boltzmann Linear, dengan P adalah operator Perron-Frobenius yang berkaitan ∞
dengan
transformasi
nonsingular
S : X → X , u (t , x ) = ∑ p k P k f ( x )
dan
k =0
p k (t ) =
(λt )k e −λt . k!
Andaikan solusi u (t , x) merupakan fungsi dari bilangan real positip R + ke L1 u : R + → L1 . Sehingga persamaan diferensial (2.3.1) diatas dapat ditulis dalam bentuk du = (P − I )u dt
(2.3.2)
dengan P adalah operator Markov dan I adalah operator identitas. Operator ( P − I ) memenuhi asumsi (a)-(c) dari teorema Hille Yosida. Karena
(P − I )
didefinisikan di L1 dan dengan mengambil D(A) = L1 maka sifat (a)
dipenuhi. Untuk memeriksa sifat b) Misalkan persamaaan resolven λf − Af = g dengan A= P − I , sehingga diperoleh persamaan
(λ +1) f − Pf = g .
(2.3.3)
A. Sugandha
22
Persamaan (2.3.3) dapat diselesaikan dengan metode approksimasi suksesif. Untuk sebarang f 0 didefinisikan f n dengan
(λ + 1) f n − Pf n−1 = g
(2.3.4)
Sehingga diperoleh fn =
Pk g
Karena n
1
∑ (λ + 1) k =1
k
Lp
≤ g
Lp
n 1 1 n + P f P k −1 g ∑ 0 n k (λ + 1) k =1 (λ + 1)
dan
deret
dari
norm
g
(2.3.5)
Lp
konvergen
maka
P k −1g konvergen. Dan solusi tunggal f dari persamaan resolven
(2.3.3) diberikan oleh ∞
1 P k −1 g k k =1 (λ + 1)
f = Rλ g = lim f n = ∑ n→∞
(2.3.6)
Untuk memeriksa persamaan diferensial Boltzmann linear memenuhi sifat c) dari teorema Hille-Yosida, integralkan persamaan (2.3.6) untuk memberikan ∞
1 P k −1 g ( x)dµ k ∫ k =1 (λ + 1) X
∫ Rλ g ( x)dµ = ∑ X
∞
=
1
∑ (λ + 1) ∫ g ( x)dµ k =1
=
k
X
1 1 g ( x ) dµ = ∫ λX λ.
Sehingga diperoleh
∫ λR g (x )dµ = 1 λ
X
.
Karena λRλ linear, non negatif, dan mengawetkan integral maka λRλ adalah operator Markov. Sehingga sifat c) secara otomatis dipenuhi (Akibat 2.2.8). Dengan menggunakan teorema Hille Yosida dan Akibat 2.2.8, persamaan diferensial Boltzmann linear (2.3.1) membangkitkan semigrup kontinu dari Operator Markov
{Pt }t ≥0 .
Solusi Persamaan Diferensial
23
^
Untuk menentukan rumus eksplisit Pt , andaikan
Aλ f = λARλ f = λ ( P − I ) Rλ f ∞
∞ 1 1 k −1 − λ P f P k −1 f ∑ k k k =1 (λ + 1) k =1 ( λ + 1)
= λ ( P − I )∑ lim Aλ f = Pf = f .
λ →∞
Jadi dengan menggunakan teorema Hille-Yosida, semigrup tunggal yang berkaitan dengan A = ( P − I ) diberikan oleh ^
P f = e t ( P−I ) f
(2.3.7)
dan solusi tunggal persamaan (2.3.7) dengan kondisi awal u (0, λ ) = f ( x) adalah
u (t , x) = e t ( P− I ) f ( x) .
3. KESIMPULAN DAN SARAN
3.1 Kesimpulan
Solusi persamaan diferensial Botzmann linear sebenarnya merupakan suatu titik tetap dari Operator Markov.
3.2 Saran Tulisan ini hanya membahas pada P : L1 → L1 , dengan P operator Markov dan operator Perron-Frobenius yang bersesuaian dengan fungsi non singular
S : X → X pada ruang ukuran (X , A, µ ) . Hal ini dapat dikembangkan dengan menggunakan P : L∞ → L∞ , P : Lp → Lp dengan 1 < p < ∞ dan P : Lp → Lq dengan syarat p > q .
A. Sugandha
24
4. DAFTAR PUSTAKA
Jain and Gupta, Lebesgue Measure and Integration, Wiley Eastern Limited,. 1986.
Kreyszeig, E ., Introductory Functional Analysis With Applications, John Wiley and Sons, 1978. Lasota, A. and Mackey, M.C., Chaos, Fractals, and Noise : Stochastic Aspect of Dinamic, Applied Mathematical Science, vol. 97, Springer-Verlag, New York, 1994.
Pazy, A., Semigroup of liniar Operatos and Applications to Partial Differential equations, Springer-Verlag, New York, 1983.
Royden, H.L., Real Analysis, Third Edition, Macmillan, New York , 1989.
