1
ALAPFOGALMAK
Vektoranalízis 1. Alapfogalmak Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után összehasonlíthatóak és összeadhatóak egymással, valamint kivonhatók egymásból; tetszőleges dimenziójú skalárokat szorozhatunk és oszthatunk egymással (ha az osztó nem zérus).
1
ALAPFOGALMAK
Vektor: olyan mennyiség, amelyet egy nagyság és egy irány jellemez (vektor hossza = nagyságának abszolút értéke). Zérus-vektor (~0): zérus hosszú (és határozatlan irányú) vektor. Parallelogramma-szabály: ~a és ~b vektorok ~a + ~b összege és ~a − ~b különbsége az általuk kifeszített parallelogramma két átlója.
1
ALAPFOGALMAK
α skalár és ~a vektor α~a szorzata: ~a-val párhuzamos irányú vektor, melynek nagysága megegyezik α-nak és ~a nagyságának szorzatával (egy irányba mutat ~a-val ha α > 0, egyébként ellentétes irányú). Műveleti szabályok: ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c
asszociativitás
~a + ~b = ~b + ~a
kommutativitás
α(~a + ~b) = α~a + α~b
disztributivitás
0~a = ~0 ~a + ~0 = ~a ~a − ~b = ~a + (−1)~b
1
ALAPFOGALMAK
Skalárszorzat: ~a · ~b = |~a||~b| cos θ ahol θ az ~a és ~b iránya által bezárt szög.
~a · ~b = ~b · ~a (α~a + β ~b) · ~c = α~a · ~c + β ~b · ~c ~a · ~a = |~a|2 ≥ 0
szimmetria linearitás pozitivitás
1
ALAPFOGALMAK
Vektoriális (kereszt-)szorzat: ~a × ~b olyan vektor, amely merőleges mindkét vektorra, nagysága pedig megegyezik a két vektor által kifeszített parallelogramma előjeles területével.
|~a × ~b| = |~a||~b| sin θ |~a · ~b|2 + |~a × ~b|2 = |~a|2 |~b|2
1
ALAPFOGALMAK
Ortogonalitási feltétel: |~a × ~b| = |~a||~b| ! ~a · ~b = 0 ! ~a és ~b irányai merőlegesek egymásra (vagy valamelyikük hossza zérus). Párhuzamossági feltétel: ~a × ~b = ~0 akkor és csak akkor, ha ~a és ~b vektorok párhuzamosak. Műveleti szabályok: ~b×~a = −~a × ~b (α~a + β ~b)×~c = α(~a ×~c) + β(~b×~c) ~a ×(~b×~c) = (~a ·~c)~b − (~a · ~b)~c (~a × ~b)·(~c × ~d) = (~a ·~c)(~b· ~d)−(~a · ~d)(~b·~c) ~a ·(~b×~c) = ~b·(~c ×~a)
antiszimmetria linearitás kifejtési tétel Lagrange–azonosság
1
ALAPFOGALMAK
~ ~ ~a · (b×~c) = vol ~a, b,~c az ~a, ~b és ~c vektorok által kifeszített paralelepipedon (előjeles) térfogata . Vektorok numerikus jellemzése vektorkomponensekkel.
1
ALAPFOGALMAK
Három, nem egy síkba eső ~e1 , ~e2 és ~e3 vektor bázist alkot: minden vektor egyértelműen előállítható a lineáris kombinációjukként, azaz bármely ~a vektor előáll ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 alakban valamely a1 , a2 és a3 skalár együtthatókkal, az ~a vektor {~e1 , ~e2 , ~e3 } bázisra vonatkozó vektorkomponenseivel. Egy másik {~e01 , ~e02 , ~e03 } bázisra vonatkozó a0i komponensek az ai -k lineáris kifejezése a0i
=
X
Tij aj
j
ahol Tij a bázistranszformáció mátrixa.
1
ALAPFOGALMAK
Elemi vektorműveletek kifejezése vektorkomponensekkel (dimenziótlan bázisvektorok) (α~a)i = αai (~a + ~b)i = ai + bi Ortonormált bázis: egységnyi hosszú, kölcsönösen merőleges (ortogonális) vektorokból álló bázis. ( ~ei · ~ej = δij =
1
if i = j
0
if i 6= j
Észrevétel. vol ~e1 , ~e2 , ~e3 = ±1 bármely ortonormált bázisra, pozitív előjellel jobbsodrású, és negatív előjellel balsodrású esetben.
1
ALAPFOGALMAK
Az ~a vektor komponenseinek kifejezése egy {~e1 , ~e2 , ~e3 } ortonormált bázisra vonatkozóan ai = ~a · ~ei míg a különféle vektorszorzatok kifejezése ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ~a × ~b = (a2 b3 − a3 b2 )~e1 + (a3 b1 − a1 b3 )~e2 + (a1 b2 − a2 b1 )~e3 és
a1
a2
a3
vol ~a, ~b,~c = det b1
b2
c1
c2
b3 c3
2
TENZOROK
2. Tenzorok Tenzor: vektorok közti ⇒
⇒
A : ~x 7→ A(~x) lineáris megfeleltetés, azaz ⇒
⇒
⇒
A(α~a + β ~b) = αA(~a) + β A(~b)
bármely α, β skalárokra és ~a, ~b vektorokra. Példák tenzormennyiségekre: tehetetlenségi tenzor, deformációs tenzor, feszültségtenzor, stb.
2
TENZOROK ⇒
Egy {~e1 , ~e2 , ~e3 } bázisra vonatkozóan az A tenzor jellemezhető az A11 h⇒i A = A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33 ⇒
mátrix segítségével, melynek Aij elemeit az A(~ei ) =
P3
j=1
Aji~ej össze-
függés határozza meg. Példák: ⇒
1. A 0 : ~x 7→ ~0 zérustenzor, amely minden vektorhoz a zérusvektort rendeli (mátrixának minden eleme zérus).
2
TENZOROK ⇒
2. Az 1 :~x 7→ ~x identitástenzor, amely minden vektort önmagába visz; 1 0 0 mátrixa az 0 1 0 egységmátrix. 001
3. Az ~a és ~b vektorok diadikus szorzata az ~a ◦ ~b : ~x 7→ (~b·~x) ~a tenzor, melynek (ortonormált bázisra vonatkozó) mátrixa a1 b1 h i ~a ◦ ~b = a2 b1
a 1 b2
a1 b3
a 2 b2
a2 b3
a3 b1
a 3 b2
a3 b3
2
TENZOROK
Műveletek: ⇒
⇒
⇒
1. Egy α skalár és egy A tenzor szorzata az αA : ~x 7→ αA(~x) tenzor, h ⇒i h⇒i melynek mátrixa αA = α A . ⇒
⇒
⇒
2. Egy A tenzor és egy ~a vektor szorzata az A·~a = A(~a) vektor. ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
3. Az A és B tenzorok összege az A + B : ~x 7→ A(~x) + B(~x) tenzor, h ⇒ ⇒i h ⇒ i h⇒i melynek mátrixa A + B = A + B . ⇒
⇒
⇒
⇒ 4. Az A és B tenzorok szorzata az A · B : ~x 7→ A B(~x) tenzor, h ⇒ ⇒ i h ⇒ ih ⇒ i melynek mátrixa A · B = A B . ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
5. Egy ~a vektor és egy A tenzor keresztszorzata az ~a×A :~x 7→ ~a×A(~x) tenzor.
2
TENZOROK ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ A+ B+C = A+B +C ⇒
⇒
⇒
⇒
A+B=B+A ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ A· B·C = A·B ·C ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
(αA + β B) · C = α(A · C) + β(B · C) (α~a + β ~b) ◦ ~c = α(~a ◦ ~c) + β(~b ◦ ~c) ~c ◦ (α~a + β ~b) = α(~c ◦ ~a) + β(~c ◦ ~b) ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
(α~a + β ~b)× A = α(~a × A) + β(~b× A) ⇒
⇒
~a ×(αA + β B) = α(~a × A) + β(~a × B) (~a ◦ ~b) · (~c ◦ ~d) = (~b · ~c)(~a ◦ ~d) ~a × (~b ◦ ~c) = (~a × ~b) ◦ ~c ⇒
⇒
⇒
~a × (~b × A) = (~b ◦ ~a) · A − (~a · ~b)A ⇒
⇒
(~a × ~b) × A = (~b ◦ ~a − ~a ◦ ~b) · A
3
SKALÁR-, VEKTOR- ÉS TENZORMEZŐK
3. Skalár-, vektor- és tenzormezők Skalár-(vektor-/tenzor-)mező: adott tenzori jellegű helyfüggő mennyiség. Szemléletes geometriai jellemzés:
• skalármező szintfelületei, melyek mentén a vizsgált mező konstans értékeket vesz fel; • vektormező erővonalai (áramgörbéi), mely görbék érintője minden pontban párhuzamos a vektormező irányával, míg lokális sűrűségük arányos a mező nagyságával.
3
SKALÁR-, VEKTOR- ÉS TENZORMEZŐK
Térbeli pontok jellemezhetők az ~r helyvektorukkal, azaz egy tetszőlegesen választott referenciapontból – az origóból – a vizsgált pontba mutató vektorral. Helyfüggő mennyiségek jellemezhetők a helyvektor függvényeivel, amelyek megadják az egyes mennyiségek értékét a különböző ~r helyvektorú pontokban. Alternatív módon, egy helyfüggő mennyiség jellemezhető az ~r helyvektor adott bázisra vonatkozó vektorkomponenseinek háromváltozós függvényével.
4
GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK
4. Görbevonalú koordináták Görbevonalú koordináták: háromdimenziós tér pontjainak jellemzése (u1 , u2 , u3 ) ∈ D valós számhármasokkal, ahol D ⊆ R3 egy olyan részhalmaz (fundamentális tartomány), melynek két különböző belső pontja két különböző térbeli pontnak felel meg (határra ez már nem szükségszerű). Görbevonalú koordináták választása tetszőleges, csak praktikus megfontolások befolyásolják (pl. szimmetria). Görbevonalú koordináták választását jellemző ~r(u1 , u2 , u3 ) összefüggés minden (u1 , u2 , u3 ) ∈ D számhármas esetén megadja a megfelelő térbeli pont helyvektorát.
4
GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK
Konverziós függvények: különféle görbevonalú koordináták közti átváltást jellemző u0i (u1 , u2 , u3 ) függvények, melyekre ~r(u01 , u02 , u03 ) =~r(u1 , u2 , u3 ). Ortogonális koordináták: Gij =
∂~r ∂~r · = 0 ha i 6= j. ∂ui ∂uj
∂~r . Lamé–együtthatók: `i = ∂ui
Ívelem: infinitezimálisan közeli u1+du1 , u2+du2 , u3+du3 és (u1 , u2 , u3 ) görbevonalú koordinátájú pontok közti távolság négyzete ds2 = `21 du21 + `22 du22 + `23 du23 Térfogatelem ∂~r ∂~r ∂~r V = vol , , = ±`1 `2 `3 ∂u1 ∂u2 ∂u3
4
GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK
Példák: 1. (x, y, z) Descartes-koordináták, ahol D = {(x, y, z) | − ∞ < x, y, z < +∞}
~r(x, y, z) = x~e1 + y~e2 + z~e3 Lamé–együtthatók: `x = `y = `z = 1 Térfogatelem: V = 1
4
GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK 2. (%, ϕ, z) hengerkoordináták D = {(%, ϕ, z) |0 ≤ % < +∞, 0 ≤ ϕ < 2π, −∞ < z < +∞}
~r(%, ϕ, z) = % cos ϕ ~e1 + % sin ϕ ~e2 + z ~e3 Lamé–együtthatók: `% = `z = 1 és `ϕ = % Térfogatelem: V = %
4
GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK 3. (r, φ, ϑ) gömbkoordináták D = {(r, φ, ϑ) |0 ≤ r < +∞, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ ϑ < π}
~r(r, φ, ϑ) = r cos φ sin ϑ ~e1 + r sin φ sin ϑ ~e2 + r cos ϑ ~e3 Lamé–együtthatók: `r = 1, `φ = r sin ϑ és `ϑ = r Térfogatelem: V = r2 sinϑ
4
GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK
1. Descartes-koordináták ↔ hengerkoordináták:
p
x2 + y 2 y ϕ = arctan x %=
x = % cos ϕ y = % sin ϕ z= z
2. Descartes-koordináták ↔ gömbkoordináták:
p
x2 + y 2 + z 2 y φ = arctan x z ϑ = arccos p x2 + y 2 + z 2 r=
x = r cos φ sin ϑ y = r sin φ sin ϑ z = r cos ϑ
4
GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK
Helyfüggő lokális bázisvektorok
~ei =
1 ∂~r `i ∂ui
Ortogonális koordináták esetén ortonormált bázist alkotnak. Vektor- és tenzorkomponenseket a lokális ~ei (~r) bázisra szokás vonatkoztatni ~ (~r) = w
3 X
wi (~r) ~ei (~r)
i=1
~ (~r) ortogonális koordináták esetén. wi (~r) = ~ei (~r)· w
4
GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK
Példák
1. Descartes-koordináták ~r(x, y, z) = x~e1 + y~e2 + z~e3 ∂~r = ~e1 ∂x ~ex = ~e1
∂~r = ~e2 ∂y ~ey = ~e2
∂~r = ~e3 ∂z ~ez = ~e3
~r = x~ex + y~ey + z~ez 2. Hengerkoordináták ~r(%, ϕ, z) = % cos ϕ ~e1 + % sin ϕ ~e2 + z ~e3 ∂~r = cos ϕ ~e1 +sin ϕ ~e2 ∂% ~e% = cos ϕ ~e1 +sin ϕ ~e2
∂~r = −% sin ϕ ~e1 +% cos ϕ ~e2 ∂ϕ ~eϕ = cos ϕ ~e2 −sin ϕ ~e1 ~r = %~e% + z~ez
∂~r = ~e3 ∂z ~ez = ~e3
4
GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK 3. Gömbkoordináták ~r(r, φ, ϑ) = r cosφ sinϑ ~e1 +r sinφ sinϑ ~e2 +r cosϑ ~e3
~er = cos φ sin ϑ ~e1 + sin φ sin ϑ ~e2 + cos ϑ ~e3 ~eφ = cos φ ~e2 − sin φ ~e1 ~eϑ = cos φ cos ϑ ~e1 + sin φ cos ϑ ~e2 − sin ϑ ~e3
~r = r~er Helyvektornak csak radiális komponense van!
5
VONALMENTI INTEGRÁLOK
5. Vonalmenti integrálok Tekintsünk egy Γ folytonos görbét és egy A(~r) helyfüggő mennyiséget. A Γ görbe minden Γ = ∪N i=1 Γ i felosztására át nem lapoló kis darabokra jelölje ~ri a Γ i valamely pontját és ∆~ri a kezdőpontjából a végpontjába mutató vektort.
5
VONALMENTI INTEGRÁLOK
Ahogy a felosztást finomítjuk, azaz max |∆~ri | (görbeszakaszok hossza) i
egyre kisebb és kisebb lesz, a N X
A(~ri ) ? ∆~ri
i=1
összeg – ahol ? valamely (skaláris, vektoriális vagy diadikus) szorzatot jelöl – egy
ˆ A(~r) ? d~r Γ
határértékhez tart, az A(~r) mennyiség Γ -menti vonalintegráljához.
5
VONALMENTI INTEGRÁLOK
Skalár- vagy tenzormennyiség vonalintegrálja mindig vektor, viszont egy ~ (~r) vektormezőnek négy különböző vonalintegrálja képezhető: w ´ ´ ~ (~r) · d~r skaláris, egy w ~ (~r) × d~r vektoriális és két tenzoriális, egy w Γ ´ Γ ´ ~ (~r). ~ (~r) ◦ d~r illetve d~r ◦ w w Γ
Γ
A görbe egy ~r(t) parametrizációja esetén a vonalintegrál számolása egy határozott integrál meghatározására vezethető vissza az alábbi képlet segítségével (a görbe kezdőpontja ~r(0), míg ~r(1) a végpontja) ˆ A(~r) ? d~r = Γ
ˆ1 0
d~r A(~r(t)) ? dt dt
6
FELÜLETI INTEGRÁLOK
6. Felületi integrálok Tekintsünk egy Σ felületet és egy azon értelmezett, tetszőleges tenzori jellegű A(~r) helyfüggő mennyiséget. Osszuk fel a felületet kicsiny, át nem lapoló Σi darabokra: ezek mindegyikét jellemezhetjük valamely ~ i felületelem-vektorukkal, melynek belső pontjuk ~ri helyvektorával és ∆s nagysága a felületdarab |Σi | területe, és iránya az ~ri pontbeli normális (felületre merőleges) irányba mutat.
6
FELÜLETI INTEGRÁLOK
Ahogy a felosztás finomodik, azaz max |Σi | egyre kisebb lesz, a i
X
A(~ri ) ? d~si
i
összeg (tetszőleges ? szorzatra) a ˆ A(~r) ? d~s Σ
határértékhez tart, az A(~r) mennyiség Σ feletti felületi integráljához. Skalár- vagy tenzormennyiség felületi integrálja mindig vektor, viszont ~ (~r) vektormezőnek négy különböző felületi integrálja képezhető: egy w ´ ´ ~ (~r) · d~r skaláris, egy w ~ (~r) × d~r vektoriális és két tenzoriális, egy w Σ ´ Σ ´ ~ (~r) ◦ d~r illetve d~r ◦ w ~ (~r). w Σ
Σ
6
FELÜLETI INTEGRÁLOK
Ha adott a felület egy ~r(u, v) parametrizációja, ahol (u, v) ∈ D ⊆ R2 , a felületi integrál az alábbi képlet alapján egy kettős integrálra redukálódik ˆ Σ
¨ n ∂~r ∂~r o × dudv A(~r) ? d~s = A(~r (u, v)) ? ∂u ∂v D
~ i felületelemmel súlyozBizonyos esetekben az A(~ri ) értékeket nem a ∆s ´ ~ zuk, hanem csak annak |∆si | nagyságával. Az így adódó A(~r) |d~s| Σ
felületi integrálnak ugyanaz a tenzori jellege mint az A integrandusnak, és Σ területét az alábbi képlet adja ˆ 1|d~s| = |Σ| Σ
7
TÉRFOGATI INTEGRÁLOK
7. Térfogati integrálok Tekintsünk egy V térrészt és egy azon értelmezett A(~r) helyfüggő mennyiséget. Osszuk fel a térrészt kicsiny, át nem lapoló Vi részekre, melyek mindegyikét jellemzi |Vi | térfogata és valamely belső pontjuk ~ri helyvektora. Ahogy a felosztás finomodik (max |Vi | egyre kisebb lesz), a i
X
A(~ri ) |Vi |
i
összeg egy véges határértékhez tart, az A(~r) mennyiség V feletti ˆ A(~r) d3~r V
térfogati integráljához.
7
TÉRFOGATI INTEGRÁLOK
A térfogati integrál tenzori jellege ugyanaz, mint az integrandusé, és a V térrész (előjeles) térfogata egyenlő az A(~r) = 1 konstans függvény tréfogati integráljával:
ˆ d3~r
|V| = V
Ha adott a térrész egy ~r(u1 , u2 , u3 ) parametrizációja (u1 , u2 , u3 ) ∈ D ⊆ R3 görbevonalú koordináták segítségével, akkor a térfogati integrál átalakítható egy hármas integrállá ˆ
˚ 3
A(~r) d ~r = V
D
∂~r ∂~r ∂~r , , du1 du2 du3 A(~r(u1 , u2 , u3 ))vol ∂u1 ∂u2 ∂u3
8
GRADIENS
8. Gradiens és iránymenti derivált Egy Φ(~r) skalármező gradiense a grad Φ = lim
1 |V|
˛ Φ(~r) d~s ∂V
képlet segítségével értelmezett vektormező, ahol a határértéket úgy kell képezni, hogy a |V| térfogatú és ∂V határoló felületű V térrészt egy pontra ~ (~r) vektormező gradiense a zsugorítjuk. Hasonlóképpen, egy w 1 ~ = lim grad w |V|
˛ ~ (~r) d~s ◦ w ∂V
tenzormező, ahol a határátmenet ugyanaz, mint a skaláris esetben.
8
GRADIENS
A gradiens additív és teljesíti a Leibniz–szabályt, vagyis bármely Φ(~r) ~ (~r) és ~v(~r) vektormezők esetén és Ψ(~r) skalár-, illetve w grad(Φ+Ψ) = grad Φ + grad Ψ ~ + grad ~v grad(~ w +~v) = grad w grad(ΦΨ) = Φ(~r) grad Ψ + Ψ(~r) grad Φ ~ ) = Φ(~r) grad w ~ + grad Φ◦ w ~ (~r) grad(Φ w Megmutatható, hogy bármely konstans ~n egységvektor esetén ∂A A(~r + ε~n) − A(~r) grad A · ~n = = lim ε→0 ∂~n ε legyen A(~r) akár skalár-, akár vektormező; a határérték az A(~r) mennyiség változási sebességét adja meg az ~n irányában (irány menti derivált) skalármező gradiense a leggyorsabb változás irányába mutat.
8
GRADIENS
Φ(~r) skalármező gradiense különféle görbevonalú koordinátákban: Descartes-koordináták ∂Φ ∂Φ ∂Φ ~ ~ ~ez ex + ey + grad Φ = ∂x ∂y ∂z Hengerkoordináták grad Φ =
∂Φ 1 ∂Φ ∂Φ ~e% + ~eϕ + ~ez ∂% % ∂ϕ ∂z
Gömbkoordináták ∂Φ 1 ∂Φ 1 ∂Φ ~er + ~eφ + ~eϑ grad Φ = ∂r r sin ϑ ∂φ r ∂ϑ
8
GRADIENS
~ (~r) vektormező gradiensének kifejezése Descartes-koordináták seEgy w gítségével ~ = grad w
X ∂wi i,j
∂xj
~ei ◦ ~ej
Végül, amennyiben ψ(x) egy tetszőleges egyváltozós skalárfüggvény és ~a egy konstans vektor, akkor
grad ψ(|~r − ~a|) = ψ 0 (|~r − ~a|)
(~r − ~a) |~r − ~a|
és o ψ 0 (|~r − ~a|) n ⇒ grad ψ(|~r − ~a|)(~r − ~a) = 3(~r − ~a)◦(~r − ~a) − |~r − ~a|2 1 |~r − ~a|
9
DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ
9. Divergencia és rotáció ~ (~r) vektormező div w ~ divergenciáját és rot w ~ rotációját az alábbi Egy w módon értelmezzük
~ = lim div w
1 |V|
˛ ~ (~r) · d~s w ∂V
~ = lim rot w
-1 |V|
˛
~ (~r)×d~s w ∂V
ahol a határértéket úgy kell képezni, hogy a |V| térfogatú és ∂V határoló felületű V térrészt egy pontra zsugorítjuk. Egy vektormező divergenciája skalármező, míg rotációja vektormező.
9
DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ
~ (~r) vektormező divergenciájának és rotációjának kifejezése különEgy w féle görbevonalú koordináták segítségével: Descartes-koordináták ∂wx ∂wy ∂wz ~ = div w + + ∂x ∂y ∂z ~ = rot w
∂wz ∂wy ~ex + − ∂y ∂z
∂wx ∂wz ~ey + − ∂z ∂x
∂wy ∂wx ~ez − ∂x ∂y
Hengerkoordináták w% 1 ∂wϕ ∂wz ∂w% ~ = + + + div w ∂% % % ∂ϕ ∂z 1 ∂wz ∂wϕ ∂w% ∂wz wϕ ∂wϕ ∂w% ~e% + ~eϕ + ~ez ~ = rot w − − + − % ∂ϕ ∂z ∂z ∂% % ∂% ∂ϕ
9
DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ
Gömbkoordináták
~ = div w
∂wr 2wr 1 ∂wφ 1 ∂wϑ wϑ + + + + ∂r r r sin ϑ ∂φ r ∂ϑ r tan ϑ
és ~ = rot w +
1 ∂wφ ∂wϑ wφ ~er + − r tan ϑ r ∂ϑ ∂φ
∂wϑ wϑ 1 ∂wr 1 ∂wr ∂wφ wφ ~eφ + ~eϑ + − − − ∂r r r ∂ϑ r sin ϑ ∂φ ∂r r
9
DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ ⇒
Egy T(~r) tenzormező divergenciája a 1 div T = lim |V| ⇒
˛
⇒
T(~r) · d~s ∂V
vektormező, a szokásos módon képezve a határértéket (egy pontra zsugorítva V térrészt). Vektorkomponensei Descartes-koordinátákban
⇒
div T =
∂Txx ∂Txy ∂Txz ~ex + + + ∂x ∂y ∂z
∂Tyx ∂Tyy ∂Tyz ~ey + + ∂x ∂y ∂z ∂Tzx ∂Tzy ∂Tzz ~ez + + + ∂x ∂y ∂z
9
DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ ⇒
~ (~r) vektor- és T(~r) tenzormező esetén Egy Φ(~r) skalár-, w ~ ) = Φ(~r) div w ~ +w ~ (~r) · grad Φ div(Φ w ~ ) = Φ(~r) rot w ~ + grad Φ× w ~ (~r) rot(Φ w ⇒
⇒
⇒
div(ΦT) = Φ(~r) div T + T(~r) · grad Φ ~ 1 (~r) és w ~ 2 (~r) vektormezők esetén míg w ~ 2 ) = div w ~ 1 + div w ~2 div(~ w1 + w ~ 2 ) = rot w ~ 1 + rot w ~2 rot(~ w1 + w ~ 2 ) = grad w ~ 1 ·w ~ 2 +grad w ~ 2 ·w ~ 1 +w ~ 1 ×rot w ~ 2 +w ~ 2 ×rot w ~1 grad(~ w1 · w ~ 2) = w ~ 2 · rot w ~1−w ~ 1 · rot w ~2 div(~ w1 × w ~ 2 ) = (grad w ~ 1 −div w ~ 1 )· w ~ 2 −(grad w ~ 2 − div w ~ 2 )· w ~1 rot(~ w1 × w ~ 2) = w ~ 1 div w ~ 2 + grad w ~1·w ~2 div(~ w1 ◦ w
10
FUNDAMENTÁLIS AZONOSSÁGOK
10. Fundamentális azonosságok Minden Φ(~r) skalármezőre rot(grad Φ) = ~0 ~ (~r) vektormezőre és minden w ~)=0 div(rot w továbbá ~ )= grad(div w ~) div(grad w
11
LAPLACE-OPERÁTOR
11. Laplace-operátor A (skaláris) Laplace–operátor minden Φ(~r) skalármezőhöz hozzárendeli a ∆Φ skalármezőt, amely gradiensének divergenciájával egyenlő: ∆Φ = div(grad Φ) ~ (~r) vektormezőhöz hozzárendeli a A vektoriális Laplace–operátor egy w ~ ) − rot(rot w ~) ∆~ w = grad (div w vektormezőt. Mindkét Laplace–operátor lineáris: ∆ (Φ1 +Φ2 ) = ∆Φ1 +∆Φ2
és
~ 2 ) = ∆~ ∆ (~ w1 + w w1 +∆~ w2
11
LAPLACE-OPERÁTOR
Skaláris Laplace–operátor kifejezése különböző koordináta-rendszerekben Descartes-koordináták ∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ ∆Φ = + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 Hengerkoordináták 1 ∂ ∂Φ 1 ∂2Φ ∂2Φ ∆Φ = % + 2 + 2 % ∂% ∂% % ∂ϕ ∂z 2 Gömbkoordináták 2 1 1 ∂Φ ∂ Φ ∂ 1 ∂ 2 ∂Φ r + 2 2 + 2 2 sin ϑ ∆Φ = 2 2 r ∂r ∂r ∂ϕ ∂ϑ ∂ϑ r sin ϑ r sin ϑ
11
LAPLACE-OPERÁTOR
A vektoriális Laplace–operátor kifejezése Descartes-koordináták segítségével ∆~ w=
2 ∂ 2 wx ∂ 2 wx ∂ 2 wx ∂ wy ∂ 2 wy ∂ 2 wy ~ex + ~ey + + + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 +
2
2
2
∂ wz ∂ wz ∂ wz ~ez + + 2 2 2 ∂x ∂y ∂z
Vagyis a vektoriális Laplace–operátor hatását úgy kaphatjuk meg, hogy a ~ (~r) vektormező minden egyes skaláris Laplace–operátort alkalmazzuk a w Descartes–komponensére külön-külön.
12
INTEGRÁLTÉTELEK
12. Integráltételek Az egyváltozós függvényekre vonatkozó klasszikus ˆb f 0 (x) dx = f (b) − f (a) a
Newton-Leibniz–formula (integrálszámítás alaptétele) általánosításai különféle tenzori jellegű integrandusokra (skalár-, vektor- és tenzormezők) és magasabb dimenziós integrációs tartományokra (görbék, felületek és térrészek).
12
INTEGRÁLTÉTELEK
12.1. A gradiens-tétel ~ (~r) vektormező esetén Bármely Φ(~r) skalár- és w ˆ grad Φ · d~r = Φ(γ+ ) − Φ(γ− ) γ
ˆ
~ · d~r = w ~ (γ+ ) − w ~ (γ− ) grad w γ
ahol γ egy folytonos görbét jelöl γ− kezdő- és γ+ végponttal. Az integrálszámítás alaptételének legközvetlenebb általánosításai.
12
INTEGRÁLTÉTELEK
12.2. Stokes tétele és variánsai Jelöljön Σ egy felületet ∂Σ határoló görbével. Ekkor bármely Φ(~r) skalár~ (~r) vektormező esetén és w ˛
ˆ ~ · d~s rot w
~ (~r)·d~r = w S
∂S
˛
ˆ Φ(~r) d~r = − ˆ
˛
~ ×d~s + div w ~ d~s − grad w ~ ·d~s} {rot w
~ (~r)×d~r = w ∂S
grad Φ×d~s S
∂S
továbbá
Stokes–tétel
S
12
INTEGRÁLTÉTELEK
12.3. A divergencia-tétel és következményei ˆ
˛ ~ d3~r = div w
V
~ (~r) · d~s w ∂V
ˆ
˛
~ d3~r = − rot w V
ˆ
˛
⇒
∂V
3
∂V
ˆ
˛
grad Φ d3~r = V
Φ(~r) d~s ∂V
ˆ
˛
~ d3~r = grad w V
⇒
T(~r) · d~s
div T d ~r = V
~ (~r)×d~s w
~ (~r) d~s ◦ w ∂V
Gauss–tétel
12
INTEGRÁLTÉTELEK
bármely V térrészre melyet a ∂V felület határol, és minden Φ(~r) skalár-, ⇒
~ (~r) vektor- illetve T(~r) tenzormezőre. w Észrevétel. Abban a határesetben, ha a V térrész egyetlen pontra zsugorodik, a divergencia-tétel fenti változatai rendre automatikusan teljesülnek a gradiens, divergencia és rotáció definíciói alapján. A Gauss–tételt a Φ(~r) és Ψ(~r) skalármezőkből képzett Ψ grad Φ vektormezőre alkalmazva adódik Green első tétele ˆ
˛ {Ψ(~r) ∆Φ + grad Φ·grad Ψ} d3~r =
V
Ψ(~r) grad Φ·d~s ∂V
A fenti összefüggésben felcserélve Φ-t és Ψ-t, és az eredményt kivonva az
12
INTEGRÁLTÉTELEK
előzőből kapjuk Green második tételét ˆ
˛ {Ψ(~r) ∆Φ − Φ(~r) ∆Ψ} d3~r =
V
{Ψ(~r) grad Φ − Φ(~r) grad Ψ}·d~s ∂V
ahonnan Ψ(~r) = 1 választással ˆ
˛ ∆Φ d3~r =
V
grad Φ·d~s ∂V
~ (~r) vektormező gradiensére alkalmazva a divergenciaHasonlóképpen, egy w tételt
ˆ
˛ ∆~ w d3~r =
V
~ ×d~s−grad w ~ ·d~s} {rot w ∂V
