Sifat-sifat Magnetik dan Efek Kemagnetan dari Arus
Dalam bab ini, Anda akan mempelajari:
v
8.1
Srfat-sfat Magnetik
8.2
Hubungan B, H, dan M
8.3
Efek Kemagnetan Arus Listrik
8.4
Potensial Magnetik Skalar
o.s
Teorema Stoke
Medan Elektromagnetika
8.1
Terapan
81
Sifat-sifat Magnetik Sifat-sifat magnetik atau besaran-besaran magnetik dan interaksi yang terjadi antara besaran yang satu dengan besaran lainnya dan interaksi antara besaran magnetik dan besaran listrik penting sekali dimengerti dengan seksama, karena hasil interaksi ini atau efek yang ditimbulkannya dapat menghasilkan tenaga atau energi yang dibutuhkan oleh kehidupan manusia. adalah produk vektor antara arus listrik dengan rapat fluks magnetik; energi torsi adalah produk vektor antara momen magnetik dengan vektor rapat fluks magnet yang merupakan prinsip kerja dari motor-motor listrik. Besaran-besaran magnetik yang banyak dijumpai yaitu: fluks magnetik (Q); rapat fluks magnetik (B); intensitas medan magnetik (ll); magnetisasi (M); momen magnetik; vektor energi torsi; dan besaran-besaran yang berkaitan dengan sifat bahan atau medium adalah permeabilitas absolut (p), permeabilitas relatif (1,), suseptibilitas magnetik. Besaran magnetik yang berkaitan dengan komponen pasif adalah induktansi (t) dan induktansi timbal-balik (M). Fluks magnetlk (Q), dalam sistem satuan standar internasional skala besar (MKS) dinyatakan dalam satuan Weber (Wb) dan dalam skala kecil (CGS) dinyatakan dalam satuan Maxwell (Mx), yaitu banyaknya garis-garis induksi yang melalui permukaan tegak lurus seluas A. Garis-garis fluks magnetik tidak berakhir di muatan magnetik tetapi garis-garis ini membentuk loop tertutup, dengan demikian, hukum Gauss untuk medan magnetik adalah
Q^=$n.dA=o
(8.1)
A
di mana: B = vektor rapat fluks magnetik, dengan satuan Wb/m2 atau tesla (T) dalam MKS;
dA=
dan Mx/cm2 atau Gauss (Ga) dalam CGS. elemen luas (m2 atau cm2).
Fluks magnetik Q*yang dipancarkan dari permukaan seluas A oleh vektor rapat fluks magnetik B yang homogen atau serba sama adalah
,^={".dAwb
(8.2)
@-=8Acos0
(8.3)
atau
dengan
8.2
B = Vektu rapat fiuks rragFl scrba sama G), dA = Vektor elemen luas
(m2).
t
Hubungan B, H, dan Hubungan antara v.9,!$39.1[$ vektor magnetisasi M: B =
magnetih B dengan
lnensitg!"medan magnetik H dan
ry\pf d = = po1G + l) H3tau '!T/,J.-Iil
!=H+M di mana
H= M = It lrs F, = I^ =
(8.4)
tta vektor intensitas Dodan magnetik (A/m). vektor magnetisasi tA/mt pefi\eabiliras abnolur rnedium (FVm). permeabilitas abmlur ruang vakum atau udara bebas = 12,57 x l0-7 FVm. permeabilitas relaeif rnedium (tidak memiliki dimensi). lt,- I = susepobilius magnetik (tidak memiliki dimensi).
Vektor magnetisasi M didefinisikan sebagai jumlah vektor-vektor momen magnetik yang dimiliki oleh masing-masing atom suatu bahan (A/m2) per satuan volume (m3).
82
Bab
8
Sifat-sifat Magnetik dan Efek Kemagnetan
dai Arus
Permeabilitas relatif untuk berbagai bahan atau medium memiliki nilai yang berbeda-beda, untuk bahan ferromagnetik keras 1u, memiliki orde 103, untuk bahan fenomagnetik lunak (besi lunak, ferrit) nilainya lebih kecil daripada 100, untuk bahan paramagnetik p,r"tit* l, sedangkan untuk bahan diamagnetik nilainya lebih kecil daripada 1. Udara dan ruang vakum termasuk medium paramagnetik.
8.3
Efek Kemagnetan Arus Listrik Rapat fluks magnet yang dihasilkan di sekitar kawat konduktor yang dialiri arus listrik l dapar diperoleh melalui: (l) hukum Biot-Savart, (2) hukum integral Amp"r", definisi vektor potensial 13; magnetik dan hubungan antara vektor rapat fluks magnetik dengan vektor potensial magnetik. Hukum Biot-Savart adalah produk vektor sehingga rapat fluks magnetik di sekitar kawat konduktor yang dialiri arus akan diperoleh dalam bentuk vektor langsung, sedangkan hukum integral Ampere adalah produk skalar sehingga kita tidak langsung mendapatkan besaran vektor dan besaran yang dihitung adalah intensitas medan magnetik bukan rapat fluks magnetik, meskipun antara B dan H terdapat hubungan langsung B = 1rH. Dengan menggunakan konsep hubungan antara vektor potensial magnetik A dengan vektor rapat fluks magnet B untuk mendapatkan nilai vektor B yang sesungguhnya juga memerlukan kecermatan dan pemahaman yang baik.
Hukum Biot-Savart Hukum Biot-Savart yang dinyatakan dalam bentuk integral vektor adalah
B
\
ldl = Jltt {:'
(8.5)
4rr2
di mana: B = vektor rapat fluks magnetik (T).
p-
= lh = 1t, = Idl = N, =
permeabilitas magnetik medium (Hlm) ltnp,i 4.x l0-7 lllm = permeabilitas ruang vakum atau udara bebas p:rmeabilitas relatif (tidak memiliki dimensi) vektor elemen arus (A . m), arah vektor searah arus 1 veklor satuan arah r, r jnakdari elemen arus ldl ke titik di mana B ingin dibtirhui.
Dengan melibatkan anrs. A./m:)
kr+ctan
.
K (vektor kerapatan arus permukaan, A./m) atau melibatkan J * (vektor -Idl = KdS =
di
m
Jdv
(8.6)
dI=danp b pcrmukaan 1m2; bidang yang dilalui arus permukaan K. dY=eh gdrta vohme 1m3;, maka hukum Siot S;vart dapat ditulis: dSla, = JlttKlnt
(8.7)
3= J[rJc3.
(8.8)
S atau
4E-
Untuk kawat lurus yang panjangnya tak dia3ge ke z = +€ serta dialiri arus searah t, scpcrti
,
:-
B
= JlF
lda, 4tv'
dn
ffi
tcrbentang di sepanjang sumbu-z dari 8.1. Hukum Biot-Savart di titik p
n,
(8.e) -t
3
i
*t *
r
M ed a n El e ktro m ag n eti ka Te ra p a n
83
fA
,
a 't
^7
\r'st^S"r-*d
Gambar
8.1
Kawat lurus di sepanjang sumbu-z dialiri arus listrik
Vg
tl{*.
/.
Harga absolut B adalah
g = llt ldzsine _ 1t Iadz J 4nrt - J-47
atau
S
di mana
3 a
= cot 0, unOk z =
e,
B
g = 180" dan untuk
z
ttrt 'e) =41nr(w -4-,9=0o.
Jadi,
.
N B=FI 4* lr"or o= 2tw
,tro"
Di ruang vakum atau udara
hs,
di mana p
-
po, maka
B=hI . g=!N^ 2tu'
(8.10)
2tw-q
Untuk kawat lingkaran dengan jari-jari R, dialiri,arus
l
di medium udara
bebas,
Biot-
Savart menjadi
lrslRdtarxa, -J 4nr' - J 4nr' 1 ltoldlxa, D=l-=l.-
di mana ? = arah sumbu-z
1
ar* velcr B tegak lurus bidang yang melalui r positif = B Sin e= f (4), atau
R2
+ z2;
dan adl, sehingga Brdalam
,=rfrfrvu'|*= B.
_
"--t'#P
: ItoIR' 2(R2 +
,')'''
(8. l
l)
Bab
84
8
Sifat-sifat Magnetik dan Efek Kemagnetan dari Arus
Di pusat lingkaran di mana z = 0 maka
!nI 2R4
Bz =:fl_
(8.12)
Kabel sUTET (saluran udara Tegangan Tinggi) terbentang setinggi 5 m sejajar permukaan tanah dan dialiri arus efektif I = 2000 A, di udara bebas. Hit*ghh vekto;rapat-ti'uks tnugn;,it B di permukaan tanah dan bandingkan dengan medan magnetik bumi f l0
lsetitar
Gauss).
Solusi
B' = ffia6 B=2x16-12QQQsr1 = 0,8 x
l}a
aqT
= 0,g ad Ga
Jadi vektor rapat fluks magnetik yang dihasilkan (sebesar 0,8 Gauss) relatif kecil dibandingkan dengan medan magnetik
bumi.
Sebuah kawat lingkaran berjari-jari R 20 cm dan dialiri arus 1 = 5 A, di udara bebas. Hitunglah vektor rapat = fluks magnetik B di: (a) pusat lingkaran, (b) titik 20 cm dari pusat (c) titik 200 cm dari pusat lingkaran di sepanjang poros. Anggap arus mengalir searah jarum jam bila dilihat dari b";J'ii";J;:
Solusi
(a) ,=#"r=6f85x
(b) n= $;
- (c)
3= =
--€k+-2(R- +:.1
l0-'-rb1..
=6:li
x to-"
=157.125 x t0-?a- r=0.157125a- Gauss
#..a=55.71xt0-?e-r
=6rrs1 l(f- 5olxl
-EI'"
0J!{8 x lO-7 r-f
.\ ,r,Y\L
41
h\4:#/f ,-h,fuu'
Hukum lntegral Ampere Di dalam hukum integral Ampere' hubungn dihasilkan di sekitar kawat konduktor yang rfi.ki
rrr-thr tr f q|j
r=
,,,'dt\ di mana
.
fn.a
-* f
6
-gx4
(8.
dl = vektor elemen jarak yang searah @r h.. q rnehi f,, --i untuk kawat lums yang iitutui I, d: pda., p = jarak dari kawat ke lintasan yang dilalui E H = HaO- vektor intensitas medan maperft 1ag flirtilkzr oleh L
Dengan demikian persamaan hukum integral Ampere
magnetik yang berikut ini.
mjadi
l3)
Med a n Eleffiromagneti ka
r=
{nur.
85
Te raPan
(8.14)
pd@o
Karena hasilkali antara dua buah vektor satuan yang sama
aO
aO=
l,
dan perubahan sudut
@
dari
2n
0 ke
2n
= J H pdQ = H p2r 0 medan magnetikvektor intensitas..%-+,.€
atau
radian, maka persamaan (8. 14) menjadi 1
kita peroleh
dan vektor
turyLq$1-Tg$
{,&
^=h"r B=FH
u=
*. 2np
Sehingga
3t
(8.1s)
(8.16)
={u, 2np'
Vektor Potensial Magnetik Vektor potensial magnetik dengan simUgt
**
9eg11;.t
didefinisikan sebagai
' t uoldl A-O', J 4ttr di mana: po
=
Idl {
pemeabilitas ruang vakum/udara = 4n
(8.17)
x
I0*7
IIlm,
vektor elemen arus diferensial,
1 = iarat dari vektor elemen'ar[s
diferensial ke titik dimana vektor potensial magnetik
dihitung, atau titik P(P, Q, z).
Ambil arus mengalir di sepanjang sumbu-z da./ z = * ke z 0) adalah ld.zar, seperlt diperlihatkan pada Gamtar 8'2'
dl
a-,
sehing ga
/
,
l,/ lL'
P(p. 0, z)
I'i'r7t,
Gambar
g,2
ldl di titik O(0, 0,
I
'ff***
potensid Hubungan antara vektor elemen arus diferensial di sumbu-z dengan vektor magnetik dAz di titik P(P' Q' 2)'
( 86
Bab
8
Sifat-sifat Magnetik dan Efek Kemagnetan
dai
Arus
Bentuk diferensial dari persamaan (g.17):
dA- = ltoldza'
4nr
+n1p2
{?fn
(8.1 8)
Hubungan antara elemen diferensial vektor rapat fluks magnetik u/B dengan elemen diferensial vektor potensial magnetik dA, didefinisikan sebagai
Di dalam sisrem koordinat silinder dB= dBoa,
+
rf;X,?;*-uu"
dBra, + dB,a,
(8.1e)
(8.re) menjadi
=(#_+)",.(+ _#)",
ddA,p\^ _ -* (droo,, l, pap oa1
(8.20)
),
untuk kawat lurus di sepanjang sumbu-z yang dialiri arus t hanya terdapat komponen ats di dalam arah vektor satuan aO, sehingga persamaan (g.20) menjadi
dBrar= dan
adA_^
-rf
(
adA-^
\ -;;f, t-i Eaa_
(8.21)
= 0 sehingga dari persamaan (g.21) diperoleh
dBra,=+=#7vl77t^o ,(:)
,,, ano=H
t' Sesuai dengan e
=
,ilri^;tan0denganbarasz=--hingga z=+@
.l;l ,11
-l; t = *t
maka diperoleh
m'
o=
8.4
[,"Hcoso
do =
ffi,
B. =
H,
(8.22)
Potensial Magnetik Skalar Hubungan antara potensial magnetik skalar dengan vekxor inrensiras medan magnetik didefinisikan sebagai
H = _VV^
(8.23)
Selanjutnya, divergensi dari persamaan (g.23) adalah
Div H =
V.H = V. VV- = 0 Vzv^ = g
(8.24) (8.25)
Medan Elektromagnetika
Div H = 0 diperoleh dari hukum
Terapan
87
Gauss untuk medan magnetik pada Persamaan (8.1) dan teorema
divergensi:
Q"'
=
6n.as
,=*u,
=
lv-n
av
v=uitu'.
Daripersamaanini diperolehV.B=0atau uY .H=
0danV'H=0.
Persamaan (8.25) adalah
persamaan Laplace untuk medan magnetik. Perbedaannya dengan perszrmaan Laplace untuk potensial listrik adalah potensial listrik merupakan fungsi berharga tunggal dari posisi, sedangkan V- bukanlah
fungsi tunggal dari posisi.
ffi
Untuk kawat lurus yang panjangnya tak terhingga, dialiri arus,1 dan berada di udara bebas, tentukan V, di jarak p dari kawat tersebut.
Solusi Dari hukum Biot-Savart atau hukum integral Ampere dapat diperoleh vektor intensitas medan magnetik
F1:
I H= znpao
1t
selain itu berlaku juga
,=-#",
atau
,^
=
-l+
dA =
-*Ampere
p tertentu dari kawu yang dialiri arus I, V^memiliki harga berbeda-beda atau multi harga, potensial listrik harganya tunggal. untuk sedangkan
Jadi pada ja.ak
8.5
Teorema Stoke Teorema Stoke mengubah bentut integal garis menjadi integral permrrkaen. Sebagai contoh, integral Ampere menjadi
t = tn.at Dari definisi arus listrik
l
=
Jrv S+{
* nr
.a
ts?1
dip€roleh
r= Jr-e Dari persamaan (8.26) dan
(8.27)
(un ii Cpctoten hukum Ampere bentuk diferensial: (8.28) J= 9xE= culH
pcrsmn
Hukum Ampere bentuk diferensial ini Ftgn smasuk salah satu dari empat persamaan Maxwell untuk medan tunak.
Curl H dalam tiga dimensi untuk:
1.
Sistem koordinat kartesian:
vxH=
. (* _*)",. (* _+)", *).. [* _
(8.2e)
88
Bab
Sifat-sifat Magnetik dan Efek Kemagnetan dari Arus
B
Sistem koordinat silinder:
2.
VxH=
(k - +)", . (+ - #)", . (w - k)",
Sistem koordinat
bola:
vxH=
{+r,
^h
1'
-
-
.(w-#)"
(8.30)
w}",.
[-h # w)",
(8.31)
Jika diketahui vektor potensial magnetik A 5pl,5a. T/m di udara bebas, tentukan: =
(a) (b)
B dan H
kerapatan arus J.
Solusi (a) B=Vx o=-#^r=-7,5p0,saoT nnu'**o u=
:3ror
fr =
n;:F
pojap
N^=
s'l'l V
i
*"
I
Hoao
v x n = tL $ rourt = _ 7,5(1,5) p{s^r= 9 x lo6 p4sa,
J=
r'' ij
+ #(#dr)
12.57
x
t\-j
Nm2
Permukaan silinder dengan jari-jari = 1 cm dialiri arus permukaan per P satuan letar K = 50a. dan permukaan silinder dengan jati-ja.i P = 5 cm dialiri arus permukaan per satuan lebar K 40a, Nm. fentukan di:
(a)p-3cm,
tb)
=
p-6cm
Solusi
(a) ;Hl = lK-ra.,.l = l4}arxaol = l-40a.1 = 40 A./m (b) lHl = l, Kxarl = 2O Nm I
Diketahui vektor intensitas medan magnetik
(a) (b)
= " cdFa" Tentukan kerapatan arus J. Buktikan bahwa V . .I = 0.
+
,lilfa'
vm
Solusi
.i, ; =Fx"=f* - i+J", -!+
_*.,.- +_*I.
=,
lHl
Medan Elektromag netika
I I
*.+=?+7 #h.6+A-G2k
(b)
Divrr=
8.1
Diketahui arus 1 sebesar 50 A mengalir di sepanjang sumbu-z dari * ke (a) Tentukan Vektor intensitas medan magnetik H di titik P(2,3' 5) m.
raqan
Te
E9
=,
Soal-soal (b) Bila
arus
1=
50
A mengalir di sepanjang sumbu-y
dar.i
4
ke
+-,
+-'
berapa
H di titik P(2,3,5) m'
8.2
Elemen arus diferensial /dl sebesar 3 x 10r Am mengalir dari titik O(1,2,4) m ke titik P(-2' m. Tentukan Vektor elemen diferensial intensitas medan magnetik dII di titik 0(3, l' -2) m.
8.3
Jika diketahui titik A(3, 0, 0) m, B(0, 4,0) m, dan C(0, 0, 5) m. Elemen arus diferensial Idl = 6 x l0r Am mengalir dari titik A(3, 0, 0) m ke titik B(0, 4, 0) m. Tentukan dH di titik C(0, 0, 5) m.
8.4
-1'
3)
KerapatanaruspermukaanK=40a,A/mmengalirdibidangXOZdidaerah-5
x 8.5
8.6
KerapatanaruspermukaanK=50azA/mdibidangy=4m;*('r(+-dan-3
1
8.8
m.
Jika diketahui vektor potensial magnetik l, = SOf''^, fr, (a) vektor rapat fluks magnetik B, (b) vektor intensitas medan magnetik H, (c) vektor kerapatan arus.Pf J ' ioj uon** bahwa hukrim intfgral Ampere berlaku. Diketahui vektor elemen arus diferensial Idl = 2a,+
3au
-
di medium udara bebas,
tentukan:
2armA ' m di titik P(4,3, -2) m. Tentukan
dH di titik QQ,5,2) m. 8.9
A mengalir di sepanjang kawat lurus yang panjangnya tak terhingga. Tentukan ,: r m H di titik P(3,4,5) bila arus 1= 1004 mengalir di sepanjang: {t I 52-';:1 ;:
Diketahui arus
(a) (b) (c)
1
=
100
sumbu-x dari * ke +-, sumbu-y dari .- ke +@, sumbu-z dari .. ke +-.
8.10 Jika diketahui vektor intensitas medan magnetik H=
(a) (b) (c) (d)
\v
-i]---ia, x' t r'-
+
*e + l'- :F -r-
Nm,tentukan:
vektor kerapatan arus J, tentukan potensial magnetik V^(x, l, z) bila diketahui V- - 0 di titit .{(2. 2, 2) m, tentukan vektor potensial magnetik A(x, y, z), bila A, = .{, = -4. = 0 di titik A(2,2,2) m, buktikan bahwa div B = 0.
8.11 Diketahui kawat dan dialiri arus
lingkaran dengan jari-jari R = 20 cm terteral di til-8 XOY dt medium udara bebas lOa, A. Tentukan vektor rapat fluli-< rrglr*'t B d"n vektor intensitas medan
I=
magnetik H di: (a) pusat lingkaran, (b) sumbu lingkaran di titik P(0, 0, 20) cm(c) sumbu lingkaran di titik O(0, 0. -20r Cn
8.12 Diketahui vektor
intensitas medan rnagrcrik:
+ 25lz - 3)an+ g cu' -,Alr d & ff = 4u, DY (a) v6ktor kerapatan arus J. (b) arus 1.
'(c)
l.v ,.
J
u a.
bch. Di titik
P(3 m, 60', 4 m), tentukan:
