SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB–TU Ostrava
[email protected] www.am.vsb.cz/bouchala
2000
3
Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické analýzy III. o příklady vhodné k přemýšlení a k procvičování probírané látky. Tento text není ukončen. Průběžně ho měním a doplňuji. Prosím proto čtenáře o shovívavost a sdělení všech připomínek.
2. října 2000 Jiří Bouchala
5
Příklad 1. Rozhodněte, zda posloupnost (ak ) v Rn konverguje, a určete její případnou limitu, je-li: ; a) n = 2, ak = k def. 2k b) n = 4, ak = k22k+1 , (−1) , 0, 2 k k ; √ √ √ sin k k+1 def. k+2 k k k √ , k, , (−1) · ( k − k + 1) . c) n = 5, ak = , k k 4k2 +1 def.
k3 −k 3k +2k 2k3 +1 , 3k+1 +2k+1
Příklad 2. Rozhodněte, zda je vektorová funkce f diferencovatelná v bodě c, a pokud ano, vypočtěte f 0 (c) a dfc (h), je-li: def. , c = (1, 2, 3), h = (h1 , h2 , h3 ); a) f (x, y, z) = x3 y 2 z, x−y z def.
b) f (x) = (cos x, sin x) , c =
π 4,
√ h = − 2;
def.
c) f (x, y, z) = (xy, sin(xy), arcsin(x)) , c = (1, 1, 6), h = (h1 , h2 , h3 ). Příklad 3. Vypočtěte f 0 (c), g 0 (f (c)) a (g ◦ f )0 (c), je-li: c = (1, 1), def. def. f (x, y) = x2 + y 2 , ln x + ln y, xy , g(u, v, w) = uv + 1, u2 − v 2 + w, w − u . Příklad 4. Nakreslete množinu hϕi = {ϕ(t) : t ∈ I}, je-li: def.
a) ϕ(t) = (3 + 2 cos t, 2 + 2 sin t), I = h0, 2πi; def.
b) ϕ(t) = (3 + 2 cos(2t), 2 + 2 sin(2t)), I = h0, 2πi; def.
c) ϕ(t) = (cos t, 2 + arcsin(cos t)), I = h−π, πi; def.
d) ϕ(t) = (2 sin2 t, 4 cos2 t), I = h0, π2 i; def.
e) ϕ(t) = (t2 − 2t + 3, t2 − 2t + 1), I = (1, +∞); def. 2000t √ f) ϕ(t) = √2000 , I = R. , 1+t2 1+t2 Příklad 5. Parametrizujte množinu Ω, je-li: a) Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 9 ∧ 2x + y − 3z = 0}; b) Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 4 ∧ x2 + y 2 = 2x ∧ z ≥ 0};
6
c) Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 9 ∧ x2 + y 2 − z 2 = 0 ∧ z ≥ 0}; d) Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 − y 2 ∧ x2 + y 2 = 6}; e) Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : y 2 = x ∧ z 2 = y}. Příklad 6. Vypočtěte def.
R
ϕ
f (x, y) ds, je-li: def.
a) f (x, y) = y 2 , ϕ : h0, 2πi → R2 , ϕ(t) = (2(t − sin t), 2(1 − cos t));1 def.
b) f (x, y) = křivka, že
p
x2 + y 2 a ϕ je taková po částech hladká jednoduchá uzavřená hϕi = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 6x}.
Příklad 7. Vypočtěte
R
k
x2 y ds, kde k je hranicí kruhové výseče
√ π {(r cos t, r sin t) ∈ R2 : r ∈ h0, 2i ∧ t ∈ h0, i}. 4 Příklad 8. Vypočtěte def.
a) f (x, y, z) =
R
ϕ
z2 x2 +y 2 ,
def.
b) f (x, y, z) = 2z − Příklad 9. Vypočtěte def.
f (x, y, z) ds, je-li:
R
def.
ϕ : h0, 2πi → R3 , ϕ(t) = (cos t, sin t, t);
p def. x2 + y 2 , ϕ : h0, 2πi → R3 , ϕ(t) = (t cos t, t sin t, t).
k
x2 ds, je-li:
k = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 9 ∧ x + y + z = 0}. Příklad 10. Vypočtěte délku křivky def.
ϕ : h0, 2πi → R3 , ϕ(t) = (t cos t, t sin t, t). Příklad 11. Vypočtěte obsah válcové plochy def.
κ = {(x, y, z) ∈ R3 : y 2 = 2x ∧ 0 ≤ z ≤ Příklad 12. Vypočtěte hmotnost „Vivianiovy křivkyÿ
p
2x − 4x2 }.
def.
k = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 4 ∧ x2 + y 2 = 2x ∧ z ≥ 0}, je-li (délková) hustota v každém jejím bodě rovna vzdálenosti tohoto bodu od osy x. 1 Poznámka
a hádanka pro bystré čtenáře: Všimněte si, že tento příklad není zcela korektní, a najděte způsob, jak vše napravit.
7
Příklad 13. Vypočtěte: R
a)
R
b)
R
c)
def.
(ϕ)
(y − 1) dx + x dy, kde ϕ : h0, π2 i → R2 , ϕ(t) = (3 cos t, 2 sin t);
(ϕ)
(x2 + y 2 ) dx + (x2 − y 2 ) dy, kde ϕ : h0, 2i → R2 , ϕ(t) = (t, 1 − |1 − t|);
(ϕ)
x dx + y dy + (xz − y) dz, kde ϕ : h0, 1i → R3 , ϕ(t) = (t2 , 2t, 4t3 ).
def.
def.
Příklad 14. Vypočtěte Z
(k)
1 1 dx + dy, |x| + |y| |x| + |y|
je-li (k) orientovaný obvod čtverce o vrcholech (1, 0), (0, 1), (−1, 0) a (0, −1), jehož orientace je dána uvedeným pořadím vrcholů. Příklad 15. Vypočtěte Z
y 2 dx + z 2 dy + x2 dz,
(k)
kde orientace „křivkyÿ def.
(k) = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 9 ∧ x2 + y 2 = 3x ∧ z ≥ 0} je dána pořadím bodů: (0, 0, 3), ( 23 , 23 , √32 ), (3, 0, 0). Příklad 16. Vypočtěte
def.
R
(k)
f (x, y, z) ds, kde: def.
f (x, y, z) = (y 2 − z 2 , z 2 − x2 , x2 − y 2 ),
(k) = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0 ∧ xyz = 0} a orientace (k) je dána pořadím bodů: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Příklad 17. Vypočtěte pomocí Greenovy věty: a) Z
(k)
y 2 x 1 arctg ( ) dx + arctg ( ) dy, x x y y
kde (k) je kladně orientovaná hranice oblasti √ {(x, y) ∈ R2 : (1 < x2 + y 2 < 4) ∧ (x < y < x 3)};
8
b) Z
yx2 dx + xy dy,
(k)
kde (k) je obvod čtverce o vrcholech (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0), jehož orientace je dána uvedeným pořadím vrcholů; c) obsah elipsy {(x, y) ∈ R2 :
y2 x2 + ≤ 1} (a, b > 0); a2 b2
d) Z
3 dx + 2 dy,
(hϕi)
je-li
def.
ϕ : h0, 2πi → R2 , ϕ(t) = (2(t − sin t), 2(1 − cos t)),
a orientace (hϕi) je dána pořadím bodů ϕ(0), ϕ(2π).2 Příklad 18. Vypočtěte: a)
(π 4 ,2)
R
(0, π 4)
b)
(1,1) R
def.
f (x, y) ds, kde f (x, y) = (2xy − y sin(xy), x2 + 2 − x sin(xy)); def.
f (x, y) ds, kde f (x, y) = (2yexy + 2x + 2y 2 , 2xexy + 4xy + 2y);
(2,0)
c)
(2,0) R
def.
f (x, y) ds, kde f (x, y) = (3x2 y + y cos(xy), x3 + 1 + x cos(xy));
(π 2 ,1)
d)
(−1,−2) R
def.
f (x, y) ds, kde f (x, y) = (9x2 y+24xy 2 +6+5y, 3x3 +24x2 y+8+5x);
(2,1)
e)
(0,1,2) R
(−1,3,0)
f)
3x2 y 2 z dx + (2x3 yz − z 2 ) dy + (x3 y 2 − 2yz + 3z 2 ) dz;
(1,1,1) R
(y 2 z 2 + 2z) dx + (2xyz 2 + 2y) dy + (2xy 2 z + 2x + 1) dz;
(0,0,1)
g)
(1,0,0) R
(2x + 3y + sin(z 2 )) dx + (2x) dy + (2xz cos(z 2 )) dz.
(0,0,0)
2 Nápověda:
doplňte (a šikovně) „křivkuÿ hϕi na „uzavřenou křivkuÿ.
9
Příklad 19. Vypočtěte a)
RR
ψ
f (x, y, z) dσ, je-li:
def.
f (x, y, z) = x + y + z, def.
Dψ = h0, 1i × h0, 1i, ψ(u, v) = (1, u, v); b) def.
f (x, y, z) = z(x2 + y 2 ), π def. Dψ = h0, 2πi × h− , 0i, ψ(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, 1 + sin v). 2 Příklad 20. Vypočtěte a)
RR
S
f (x, y, z) dσ, kde
def.
f (x, y, z) = z 2 , S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = xy ∧ x2 + y 2 ≤ 1}; b) def.
f (x, y, z) = xy, S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 4z ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≤ 1}; c) def.
d)
f (x, y, z) = xy + yz + zx, p S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2 ∧ x2 + y 2 ≤ 2x}; def.
f (x, y, z) = xyz, S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z 2 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}; e) def.
f (x, y, z) = z, S = {(x, y, z) ∈ R3 :
x2 + y 2 + z 2 = 9 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0 ∧ x + y ≤ 3}; f) 1 , (1 + x + y)2 S je povrch čtyřstěnu s vrcholy (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), a (0, 0, 1); def.
f (x, y, z) =
10
g) def.
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z, S je hranice množiny {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ∧ z ≥ 0}.
Příklad 21. Vypočtěte pomocí plošného integrálu obsah plochy S, je-li: a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − 8)2 + (y − 7)2 + (6 − z)2 = 25}; b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 21 (x2 + y 2 ) ∧ x2 + y 2 ≤ 1}; c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 100 ∧ −8 ≤ z ≤ 6}; d) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 4 ∧ x2 + y 2 ≤ 2x ∧ z ≥ 0}. Příklad 22. Určete souřadnice těžiště plochy: a)
b)
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 36 ∧ z ≥ 0}, def. p 2 x + y2 ; je-li její (plošná) hustota popsaná funkcí h(x, y, z) = S = {(x, y, z) ∈ R3 : z 2 = x2 + y 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}, je-li její (plošná) hustota v každém jejím bodě rovna vzdálenosti tohoto bodu od osy z.
Příklad 23. Vypočtěte a)
RR
(ψ)
f (x, y, z) dσ, je-li:
def.
f (x, y, z) = (0, 0, x2 + y 2 ), π π def. Dψ = h1, 2i × h− , i, ψ(r, t) = (r cos t, r sin t, 0); 2 2 b) def.
f (x, y, z) = (−x2 z, y, 2xy), π π def. Dψ = h0, i × h0, i, ψ(u, v) = (cos u cos v, 2 sin u cos v, sin v). 2 2
11
Příklad 24. Vypočtěte plošné integrály 2. druhu: a) ZZ
(L)
(2y − z, 6z − 2x, 3x − y) dσ,
kde plocha L = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + y + 2z = 6 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0} def. 1 3 (2, 1, 2);
je orientovaná vektorovým polem n(x, y, z) = b) ZZ
(x, y, xyz) dσ,
(L)
kde plocha L = {(x, y, z) ∈ R3 : z = xy ∧ x2 + y 2 ≤ 5} je orientovaná pomocí normálových vektorů „svírajícíchÿ s vektorem (0, 0, 1) ostrý úhel; c) ZZ
(0, 0, x2 y 2 z) dσ,
(L)
kde plocha L = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 6 ∧ z ≤ 0} je orientovaná pomocí normálových vektorů „svírajícíchÿ s vektorem (0, 0, 1) ostrý úhel; d) ZZ
(x, y, z) dσ,
(L)
kde L je záporně orientovaný povrch kužele {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}. Příklad 25. Vypočtěte pomocí Gauss-Ostrogradského věty: a) ZZ
(L)
(x3 − yz, y 3 − zx, z 3 − xy) dσ,
kde L je kladně orientovaný povrch koule {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 18z};
12
b) ZZ
(L)
(x − y + z, y − z + x, z − y + x) dσ,
kde L je záporně orientovaný povrch osmistěnu {(x, y, z) ∈ R3 : |x| + |y| + |z| ≤ 3}; c) tok vektorového pole def.
f (x, y, z) = (x2 , y 2 , z 2 ) kladně orientovanou kulovou plochou se středem v bodě (1, 1, 1) a poloměrem 1; d) objem tělesa ohraničeného plochou ψ,3 kde
def.
Dψ = h0, 2πi × h0, 2πi,
ψ(u, v) = (a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v (0 < b < a).
Příklad 26. Vypočtěte pomocí Stokesovy věty: a) Z
z dx + x dy + y dz,
(k)
kde k = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 4 ∧
x z + = 1} 2 3
a orientace k je daná pořadím bodů (2, 0, 0), (0, 2, 3), (−2, 0, 6);
b) Z
(ϕ)
kde
−y dx + x dy + 0 dz, def.
Dϕ = h0, 2πi, ϕ(t) = (sin t, cos t, 0); 3 Jedná
se o tzv. anuloid.
13
c) Z
x dx + (x + y) dy + (x + y + z) dz,
(ϕ)
kde def. Dϕ = h0, 2πi, ϕ(t) = 3 cos t, 3 sin t, 3(cos t + sin t) ; d) Z
y 2 dx + z 2 dy + x2 dz,
(k)
kde k je obvod trojúhelníku o vrcholech (3, 0, 0), (0, 0, 3), (0, 3, 0), jehož orientace je daná uvedeným pořadím vrcholů.
14
Příklad 27. Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim odpovídající vlastní vektory daných matic:
2, 1 −5, 4
1, 2 3, −2 1, −1 1, −1 1, 5 , , , , , ; −5, −1 4, −1 −1, 1 1, 3 2, 4
2, 1, −2 1, 0, 0 −3, 0, 2 3, −1, 0 1, 1, 0 −1, 0, 0 , 2, 1, −2 , 1, −1, 0 , 6, −3, 2 , 2, 0, 0 . 1, 1, −1 3, 2, 1 −2, −1, 0 8, −6, 5 0, 0, 1 Příklad 28. Najděte všechna řešení (na R) soustavy lineárních diferenciálních rovnic y 0 = Ay, kde za matici A postupně dosazujte matice z Příkladu 27. Příklad 29. Najděte všechna řešení (na R) soustavy lineárních diferenciálních rovnic:
ex ; x
0
2, −1 3, −2
0
b) y =
√ x √1, 3 y + √ e −x ; 3e 3, −1
c) y 0 =
2, −5 1, −2
0
1, 1 4, −2
0
4, −2 8, −4
a) y =
d) y =
e) y =
− 54 ,
0
f) y =
3 4,
3 4
− 54
y+
y+
− cos x ; sin x
y+
e−2x −2 ex
;
y+
x−3 −x−2
(zde hledejte řešení jen na R+ );
2x ex
;
1 −1
;
!
y+
0
2, −1 3, −2
0
√ 1 −3, 2 −x √ y+e ; −1 2, −2
g) y =
h) y =
x
y+e
15
0
2, −5 1, −2
0
2, 3 3, 2
0
−2, 2 3, −1
0
1, 1 −2, −1
i) y =
j) y =
k) y =
l) y =
y+
y+
0 cos x
8 ex 5x
;
;
;
y+
x −x
y+
− cos x sin x + cos x
.
Příklad 30. Najděte řešení Cauchyovy úlohy:
4, 5 −4, −4
0
1, 1 −2, 4
y,
0
1, 1 −2, −1
0
1, −1 2, −1
a) y 0 =
b) y =
c) y =
d) y =
y(0) =
y,
y(0) =
y+
y+
2, 1, 0 f) y 0 = 0, 2, 4 y, 1, 0 −1
5 −6
0 −1
0
!
,
;
;
− cos x sin x + cos x
1 cos x
2, 1, −2 e) y 0 = −1, 0, 0 y, 1, 1 −1
,
y(0) =
1 −2
1 y(0) = ; 1
0 y(0) = 1 ; −1
1 y(1) = 0 ; −1
2, 1, −2 2−x g) y 0 = −1, 0, 0 y + 1 , 1, 1 −1 1−x
0 y(0) = 1 . 1
;
16
Příklad 31. Rozhodněte, které z následujících řad jsou absolutně konvergentní, které konvergentní a které divergentní:
∞ X
1 a) , ln(n + 1) n=1
b)
n ∞ X 3n , c) 3n + 1 n=1
č)
∞ X
d)
∞ X
2n + 1 3n − 1
n
(−1) ·
(−1)n ·
1 , n − ln n
n=1
e)
n=1
n
n=1
∞ X
n! , g) n 2 +1 n=1 ch)
∞ X
n=1
n(n + 1)
∞ X
f)
(−1)n−1 ·
n=1
∞ X
sin
∞ X 2n n! q) , 3n n=1
10n , n!
∞ X 2n · n! , n n n=1
∞ X 1 + 2 + ··· + n , 3 n n=1 ∞ X
1 sin (n + )π , ň) n n=1
r)
∞ X
n2 sin
n=1
∞ √ n X ( e) n! , ř) n n n=1
π , 2n
∞ X 2n − 1 √ s) , n 2 n=1
n
1 , 4n
1 , n2
∞ X n! , p) n n n=1
1 o) cos , n n=1
n=1
1
(−1) 2 n(n+1) ·
n=1
m)
∞ X
š)
n , +1
∞ X 1 1 √ · sin √ , k) n 2 n n=1
∞ X (n − 1)!(n + 3)!3n n) , (2n)! n=1
n+7 3n − 1999
ď)
i)
,
∞ X 1 , n! n=1
∞ X
∞ X
n=1
n ∞ X 1 2 √ · , j) 3 n n=1 l)
,
n2
∞ X n3 , n e n=1
h)
1 p
∞ X
,
∞ X (n!)2 , t) (2n)! n=1
17
ť)
∞ X
n=1
v)
∞ X
n=1
x)
√
n+1− n
n n , 3 + n1
∞ q X √
n=1
z)
∞ X
n=1
√
n tg
n
1 n sin 2 , n π 2n+1
,
,
u)
w)
∞ X
1 , (n + 1) ln(n + 1) n=1 ∞ X
1 1 √ cos 3 , n n3 n=1
∞ X 6n5 − 7n2 + 1998 y) , 1999n5 + 6n4 − 1 n=1
n ∞ X 3n + 7 . ž) 3n + 2001 n=1
18
Literatura [1] J. Bouchala, Matematická analýza 3 (Diferenciální a integrální počet vektorových funkcí), VŠB-TU, Ostrava, 2001. [2] J. Bouchala, Číselné řady, www.am.vsb.cz/bouchala, 2001. [3] J. Eliaš, J. Horváth, J. Kajan, Zbierka úloh z vyššej matematiky (3. časť), Alfa, Bratislava, 1967. [4] J. Eliaš, J. Horváth, J. Kajan, R. Šulka, Zbierka úloh z vyššej matematiky (4. časť), Alfa, Bratislava, 1970. [5] J. Charvát, M. Hála, V. Kelar, Z. Šibrava, Příklady k Matematice II, ČVUT, Praha, 1992. [6] K. Rektorys a spol., Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 1995.
